Ποιες είναι οι εγγεγραμμένες και οι κεντρικές γωνίες; Ν. Νικήτιν Γεωμετρία

Τις περισσότερες φορές, η διαδικασία προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά ξεκινά με επανάληψη βασικών ορισμών, τύπων και θεωρημάτων, συμπεριλαμβανομένου του θέματος "Κεντρικές και εγγεγραμμένες γωνίες σε έναν κύκλο". Συνήθως, αυτός ο τομέαςη επιπεδομετρία έχει μελετηθεί από τότε Λύκειο. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι πολλοί μαθητές αντιμετωπίζουν την ανάγκη να αναθεωρήσουν βασικές έννοιες και θεωρήματα σχετικά με το θέμα «Κεντρική γωνία ενός κύκλου». Έχοντας κατανοήσει τον αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι μαθητές θα μπορούν να υπολογίζουν στη λήψη ανταγωνιστικών βαθμολογιών με βάση τα αποτελέσματα της επιτυχίας της ενιαίας κρατικής εξέτασης.

Πώς να προετοιμαστείτε εύκολα και αποτελεσματικά για να περάσετε το τεστ πιστοποίησης;

Όταν μελετούν πριν περάσουν την ενιαία κρατική εξέταση, πολλοί μαθητές γυμνασίου αντιμετωπίζουν το πρόβλημα να βρουν τις απαραίτητες πληροφορίες για το θέμα "Κεντρικές και εγγεγραμμένες γωνίες σε κύκλο". Δεν είναι πάντα σχολικό εγχειρίδιοδιαθέσιμο στο χέρι. Και η αναζήτηση τύπων στο Διαδίκτυο απαιτεί μερικές φορές πολύ χρόνο.

Η ομάδα μας θα σας βοηθήσει να «αυξήσετε» τις δεξιότητές σας και να βελτιώσετε τις γνώσεις σας σε ένα τόσο δύσκολο τμήμα της γεωμετρίας όπως η επιπεδομετρία εκπαιδευτική πύλη. Το “Shkolkovo” προσφέρει σε μαθητές γυμνασίου και στους δασκάλους τους έναν νέο τρόπο να χτίσουν τη διαδικασία προετοιμασίας για τις ενιαίες κρατικές εξετάσεις. Ολα υλικό βάσηςπαρουσιάζονται από τους ειδικούς μας στην πιο προσιτή μορφή. Αφού διαβάσουν τις πληροφορίες στην ενότητα «Θεωρητικό υπόβαθρο», οι μαθητές θα μάθουν ποιες ιδιότητες επίκεντρη γωνίακύκλος, πώς να βρείτε το μέγεθός του κ.λπ.

Στη συνέχεια, για να εμπεδώσετε τις αποκτηθείσες γνώσεις και τις δεξιότητες εξάσκησης, συνιστούμε την εκτέλεση κατάλληλων ασκήσεων. Μια μεγάλη επιλογή εργασιών για την εύρεση του μεγέθους μιας γωνίας εγγεγραμμένης σε κύκλο και άλλων παραμέτρων παρουσιάζεται στην ενότητα "Κατάλογος". Για κάθε άσκηση, οι ειδικοί μας έγραψαν μια λεπτομερή λύση και υπέδειξαν τη σωστή απάντηση. Ο κατάλογος των εργασιών στον ιστότοπο συμπληρώνεται και ενημερώνεται συνεχώς.

Οι μαθητές γυμνασίου μπορούν να προετοιμαστούν για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους ασκώντας ασκήσεις, για παράδειγμα, για να βρουν το μέγεθος μιας κεντρικής γωνίας και το μήκος ενός τόξου ενός κύκλου, διαδικτυακά, από οποιαδήποτε περιοχή της Ρωσίας.

Εάν είναι απαραίτητο, η ολοκληρωμένη εργασία μπορεί να αποθηκευτεί στην ενότητα "Αγαπημένα" για να επιστρέψετε σε αυτήν αργότερα και να αναλύσετε ξανά την αρχή της επίλυσής της.

Επίκεντρη γωνίαείναι μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου.
Εγγεγραμένη γωνία- μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται σε κύκλο και της οποίας οι πλευρές την τέμνουν.

Το σχήμα δείχνει κεντρικές και εγγεγραμμένες γωνίες, καθώς και τις πιο σημαντικές ιδιότητές τους.

Ετσι, το μέγεθος της κεντρικής γωνίας είναι ίσο με το γωνιακό μέγεθος του τόξου στο οποίο στηρίζεται. Αυτό σημαίνει ότι μια κεντρική γωνία 90 μοιρών θα στηρίζεται σε ένα τόξο ίσο με 90°, δηλαδή σε έναν κύκλο. Η κεντρική γωνία, ίση με 60°, στηρίζεται σε ένα τόξο 60 μοιρών, δηλαδή στο έκτο μέρος του κύκλου.

Το μέγεθος της εγγεγραμμένης γωνίας είναι δύο φορές μικρότερο από την κεντρική γωνία που βασίζεται στο ίδιο τόξο.

Επίσης, για να λύσουμε προβλήματα θα χρειαστούμε την έννοια της «χορδής».

Οι ίσες κεντρικές γωνίες υποτάσσουν ίσες συγχορδίες.

1. Ποια είναι η εγγεγραμμένη γωνία που υποτείνεται από τη διάμετρο του κύκλου; Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Μια εγγεγραμμένη γωνία που υποτείνεται από μια διάμετρο είναι μια ορθή γωνία.

2. Η κεντρική γωνία είναι 36° μεγαλύτερη από την οξεία εγγεγραμμένη γωνία που υποβάλλεται από το ίδιο κυκλικό τόξο. Βρείτε την εγγεγραμμένη γωνία. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Έστω η κεντρική γωνία ίση με x και η εγγεγραμμένη γωνία που υποτείνεται από το ίδιο τόξο είναι ίση με y.

Γνωρίζουμε ότι x = 2y.
Άρα 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με 1. Βρείτε την τιμή της αμβλείας εγγεγραμμένης γωνίας που υποτάσσεται από τη χορδή, ίση με . Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Έστω η χορδή ΑΒ ίση με . Η αμβλεία εγγεγραμμένη γωνία που υποτάσσεται από αυτή τη χορδή θα συμβολίζεται με α.
Στο τρίγωνο ΑΟΒ, οι πλευρές ΑΟ και ΟΒ είναι ίσες με 1, η πλευρά ΑΒ ισούται με . Έχουμε ήδη συναντήσει τέτοια τρίγωνα. Προφανώς, το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, δηλαδή η γωνία ΑΟΒ είναι 90°.
Τότε το τόξο ACB είναι ίσο με 90° και το τόξο AKB είναι ίσο με 360° - 90° = 270°.
Η εγγεγραμμένη γωνία α στηρίζεται στο τόξο AKB και είναι ίση με το ήμισυ της γωνιακής τιμής αυτού του τόξου, δηλαδή 135°.

Απάντηση: 135.

4. Η χορδή ΑΒ χωρίζει τον κύκλο σε δύο μέρη, οι τιμές των βαθμών των οποίων είναι σε αναλογία 5:7. Σε ποια γωνία είναι ορατή αυτή η χορδή από το σημείο Γ, που ανήκει στο μικρότερο τόξο του κύκλου; Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Το κύριο πράγμα σε αυτό το έργο είναι σωστό σχέδιοκαι κατανόηση της συνθήκης. Πώς καταλαβαίνετε την ερώτηση: «Σε ποια γωνία είναι ορατή η χορδή από το σημείο Γ;»
Φανταστείτε ότι κάθεστε στο σημείο Γ και πρέπει να δείτε όλα όσα συμβαίνουν στη συγχορδία ΑΒ. Λες και η συγχορδία ΑΒ είναι οθόνη σε κινηματογράφο :-)
Προφανώς, πρέπει να βρείτε τη γωνία ACB.
Το άθροισμα των δύο τόξων στα οποία η χορδή ΑΒ διαιρεί τον κύκλο είναι ίσο με 360°, δηλαδή
5x + 7x = 360°
Ως εκ τούτου x = 30°, και μετά η εγγεγραμμένη γωνία ACB στηρίζεται σε ένα τόξο ίσο με 210°.
Το μέγεθος της εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του γωνιακού μεγέθους του τόξου στο οποίο στηρίζεται, πράγμα που σημαίνει ότι η γωνία ACB είναι ίση με 105°.

Αυτή είναι η γωνία που σχηματίζουν δύο συγχορδίες, που προέρχεται από ένα σημείο του κύκλου. Μια εγγεγραμμένη γωνία λέγεται ότι είναι ξεκουράζεταιστο τόξο που περικλείεται μεταξύ των πλευρών του.

Εγγεγραμένη γωνίαίσο με το μισό τόξο στο οποίο στηρίζεται.

Με άλλα λόγια, εγγεγραμένη γωνίαπεριλαμβάνει τόσες γωνιακές μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα όσες μοίρες τόξου, τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα περιέχονται στο μισό τόξο στο οποίο στηρίζεται. Για να το δικαιολογήσουμε αυτό, ας αναλύσουμε τρεις περιπτώσεις:

Πρώτη περίπτωση:

Το κέντρο O βρίσκεται στο πλάι εγγεγραμένη γωνίαΑΛΦΑΒΗΤΟ. Σχεδιάζοντας την ακτίνα AO, παίρνουμε ΔABO, σε αυτήν OA = OB (ως ακτίνες) και, κατά συνέπεια, ∠ABO = ∠BAO. Σε σχέση με αυτό τρίγωνο, γωνία AOC - εξωτερικό. Και αυτό σημαίνει ότι είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών ABO και BAO, ή ίσο με τη διπλή γωνία ABO. Άρα ∠ABO ισούται με το μισό επίκεντρη γωνία AOC. Αλλά αυτή η γωνία μετριέται με τόξο AC. Δηλαδή, η εγγεγραμμένη γωνία ABC μετριέται κατά το ήμισυ του τόξου AC.

Δεύτερη περίπτωση:

Το κέντρο O βρίσκεται μεταξύ των πλευρών εγγεγραμένη γωνία ABC Έχοντας σχεδιάσει τη διάμετρο BD, χωρίζουμε τη γωνία ABC σε δύο γωνίες, από τις οποίες, σύμφωνα με την πρώτη περίπτωση, η μία μετριέται κατά το ήμισυ. τόξαμ.Χ., και το άλλο μισό του τόξου CD. Και κατά συνέπεια, μετριέται η γωνία ABC (AD+DC) /2, δηλ. 1/2 AC.

Τρίτη περίπτωση:

Το Centre O βρίσκεται έξω εγγεγραμένη γωνίαΑΛΦΑΒΗΤΟ. Σχεδιάζοντας τη διάμετρο BD, θα έχουμε:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Αλλά οι γωνίες ABD και CBD μετρώνται με βάση το προηγουμένως δικαιολογημένο μισό τόξο AD και CD. Και αφού το ∠ABC μετριέται με (AD-CD)/2, δηλαδή το μισό τόξο AC.

Συμπέρασμα 1.Οποιαδήποτε βασίζονται στο ίδιο τόξο είναι ίδια, δηλαδή ίσα μεταξύ τους. Αφού το καθένα από αυτά μετριέται με το μισό του ίδιου τόξα .

Συμπέρασμα 2. Εγγεγραμένη γωνία, με βάση τη διάμετρο - ορθή γωνία. Δεδομένου ότι κάθε τέτοια γωνία μετριέται με μισό ημικύκλιο και, κατά συνέπεια, περιέχει 90°.

Η έννοια της εγγεγραμμένης και κεντρικής γωνίας

Ας εισαγάγουμε πρώτα την έννοια της κεντρικής γωνίας.

Σημείωση 1

Σημειώστε ότι το μέτρο μοίρας μιας κεντρικής γωνίας είναι ίσο με το μέτρο μοίρας του τόξου στο οποίο στηρίζεται.

Ας εισαγάγουμε τώρα την έννοια της εγγεγραμμένης γωνίας.

Ορισμός 2

Μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται σε έναν κύκλο και της οποίας οι πλευρές τέμνουν τον ίδιο κύκλο ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία (Εικ. 2).

Εικόνα 2. Εγγεγραμμένη γωνία

Θεώρημα εγγεγραμμένης γωνίας

Θεώρημα 1

Το μέτρο μοίρας μιας εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του μέτρου του τόξου στο οποίο στηρίζεται.

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο $O$. Ας υποδηλώσουμε την εγγεγραμμένη γωνία $ACB$ (Εικ. 2). Οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις είναι δυνατές:

• Η ακτίνα $CO$ συμπίπτει με οποιαδήποτε πλευρά της γωνίας. Έστω αυτή η πλευρά $CB$ (Εικ. 3).

Εικόνα 3.

Σε αυτήν την περίπτωση, το τόξο $AB$ είναι μικρότερο από $(180)^(()^\circ )$, επομένως η κεντρική γωνία $AOB$ είναι ίση με το τόξο $AB$. Εφόσον $AO=OC=r$, τότε το τρίγωνο $AOC$ είναι ισοσκελές. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες βάσης $CAO$ και $ACO$ είναι ίσες μεταξύ τους. Με το θεώρημα περί εξωτερική γωνίατρίγωνο, έχουμε:

• Η δοκός $CO$ διαιρείται εσωτερική γωνίασε δύο γωνίες. Αφήστε το να τέμνει τον κύκλο στο σημείο $D$ (Εικ. 4).

Εικόνα 4.

Παίρνουμε

• Η ακτίνα $CO$ δεν διαιρεί την εσωτερική γωνία σε δύο γωνίες και δεν συμπίπτει με καμία από τις πλευρές της (Εικ. 5).

Εικόνα 5.

Ας εξετάσουμε τις γωνίες $ACD$ και $DCB$ ξεχωριστά. Σύμφωνα με όσα αποδείχθηκαν στο σημείο 1, παίρνουμε

Παίρνουμε

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ας δώσουμε συνέπειεςαπό αυτό το θεώρημα.

Συμπέρασμα 1:Οι εγγεγραμμένες γωνίες που στηρίζονται στο ίδιο τόξο είναι ίσες μεταξύ τους.

Συμπέρασμα 2:Μια εγγεγραμμένη γωνία που υποβάλλει μια διάμετρο είναι μια ορθή γωνία.

Εγγεγραμμένη γωνία, θεωρία του προβλήματος. Οι φιλοι! Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για εργασίες για τις οποίες πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες μιας εγγεγραμμένης γωνίας. Αυτή είναι μια ολόκληρη ομάδα εργασιών, περιλαμβάνονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Τα περισσότερα από αυτά μπορούν να λυθούν πολύ απλά, με μία ενέργεια.

Υπάρχουν πιο δύσκολα προβλήματα, αλλά δεν θα παρουσιάσουν μεγάλη δυσκολία για εσάς, πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες μιας εγγεγραμμένης γωνίας. Σταδιακά θα αναλύσουμε όλα τα πρωτότυπα των εργασιών, σας προσκαλώ στο blog!

Τώρα η απαραίτητη θεωρία. Ας θυμηθούμε τι είναι μια κεντρική και εγγεγραμμένη γωνία, μια χορδή, ένα τόξο, πάνω στα οποία στηρίζονται αυτές οι γωνίες:

Η κεντρική γωνία σε έναν κύκλο είναι μια επίπεδη γωνία μεκορυφή στο κέντρο του.

Το τμήμα ενός κύκλου που βρίσκεται μέσα σε μια επίπεδη γωνίαονομάζεται τόξο κύκλου.

Το μέτρο μοιρών ενός τόξου ενός κύκλου ονομάζεται μέτρο μοιρώντην αντίστοιχη κεντρική γωνία.

Μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο εάν η κορυφή της γωνίας βρίσκεταισε έναν κύκλο και οι πλευρές της γωνίας τέμνουν αυτόν τον κύκλο.

Ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο ονομάζεταιχορδή. Η μεγαλύτερη χορδή διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και ονομάζεταιδιάμετρος.

Για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν γωνίες εγγεγραμμένες σε κύκλο,πρέπει να γνωρίζετε τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της κεντρικής γωνίας, με βάση το ίδιο τόξο.

2. Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που υποτάσσουν το ίδιο τόξο είναι ίσες.

3. Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βασίζονται στην ίδια χορδή και των οποίων οι κορυφές βρίσκονται στην ίδια πλευρά αυτής της χορδής είναι ίσες.

4. Οποιοδήποτε ζεύγος γωνιών που βασίζεται στην ίδια χορδή, οι κορυφές του οποίου βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςοι συγχορδίες αθροίζονται έως και 180°.

Συμπέρασμα: οι απέναντι γωνίες ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο αθροίζονται έως και 180 μοίρες.

5. Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που υποτείνονται από μια διάμετρο είναι ορθές.

Γενικά, αυτή η ιδιότητα είναι συνέπεια της ιδιοκτησίας (1). Κοιτάξτε - η κεντρική γωνία είναι ίση με 180 μοίρες (και αυτή η ξεδιπλωμένη γωνία δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια διάμετρος), πράγμα που σημαίνει, σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα, η εγγεγραμμένη γωνία C είναι ίση με το μισό της, δηλαδή 90 μοίρες.

Η γνώση αυτής της ιδιότητας βοηθά στην επίλυση πολλών προβλημάτων και συχνά σας επιτρέπει να αποφύγετε περιττούς υπολογισμούς. Έχοντας κατακτήσει καλά, θα μπορέσετε να λύσετε περισσότερα από τα μισά προβλήματα αυτού του τύπου προφορικά. Δύο συμπεράσματα που μπορούν να εξαχθούν:

Συμπέρασμα 1: αν ένα τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και μια από τις πλευρές του συμπίπτει με τη διάμετρο αυτού του κύκλου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (κορυφή ορθή γωνίαβρίσκεται στον κύκλο).

Συμπέρασμα 2: το κέντρο του περιγραφόμενου περίπου ορθογώνιο τρίγωνοκύκλος συμπίπτει με το μέσο της υποτείνυσής του.

Πολλά πρωτότυπα στερεομετρικών προβλημάτων επιλύονται επίσης χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα και αυτές τις συνέπειες. Θυμηθείτε το ίδιο το γεγονός: εάν η διάμετρος ενός κύκλου είναι μια πλευρά ενός εγγεγραμμένου τριγώνου, τότε αυτό το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (η γωνία απέναντι από τη διάμετρο είναι 90 μοίρες). Μπορείτε να βγάλετε μόνοι σας όλα τα συμπεράσματα και τις συνέπειες που δεν χρειάζεται να τα διδάξετε.

Κατά κανόνα, τα μισά προβλήματα σε εγγεγραμμένη γωνία δίνονται με σκίτσο, αλλά χωρίς σύμβολα. Για να κατανοήσουμε τη διαδικασία συλλογισμού κατά την επίλυση προβλημάτων (παρακάτω στο άρθρο), εισάγονται σημειώσεις για κορυφές (γωνίες). Δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό στην Ενιαία Κρατική Εξέταση.Ας εξετάσουμε τα καθήκοντα:

Ποια είναι η τιμή μιας οξείας εγγεγραμμένης γωνίας που υποβάλλεται από μια χορδή ίση με την ακτίνα του κύκλου; Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Ας κατασκευάσουμε μια κεντρική γωνία για μια δεδομένη εγγεγραμμένη γωνία και ας ορίσουμε τις κορυφές:

Σύμφωνα με την ιδιότητα μιας γωνίας εγγεγραμμένης σε κύκλο:

Η γωνία AOB είναι ίση με 60 0, αφού το τρίγωνο AOB είναι ισόπλευρο και σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες με 60 0. Οι πλευρές του τριγώνου είναι ίσες, αφού η συνθήκη λέει ότι η χορδή είναι ίση με την ακτίνα.

Έτσι, η εγγεγραμμένη γωνία ACB είναι ίση με 30 0.

Απάντηση: 30

Βρείτε τη χορδή που υποστηρίζεται από γωνία 30 0 εγγεγραμμένη σε κύκλο ακτίνας 3.

Αυτό είναι ουσιαστικά το αντίστροφο πρόβλημα (του προηγούμενου). Ας κατασκευάσουμε την κεντρική γωνία.

Είναι διπλάσιο από το εγγεγραμμένο, δηλαδή η γωνία AOB είναι ίση με 60 0. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισόπλευρο. Έτσι, η χορδή είναι ίση με την ακτίνα, δηλαδή τρεις.

Απάντηση: 3

Η ακτίνα του κύκλου είναι 1. Βρείτε το μέγεθος της αμβλείας εγγεγραμμένης γωνίας που υποβάλλεται από τη χορδή ίση με τη ρίζα του δύο. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Ας κατασκευάσουμε την κεντρική γωνία:

Γνωρίζοντας την ακτίνα και τη χορδή, μπορούμε να βρούμε την κεντρική γωνία ASV. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου. Γνωρίζοντας την κεντρική γωνία, μπορούμε εύκολα να βρούμε την εγγεγραμμένη γωνία ACB.

Θεώρημα συνημιτονίου: το τετράγωνο οποιασδήποτε πλευράς τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών, χωρίς το διπλάσιο γινόμενο αυτών των πλευρών επί του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.

Επομένως, η δεύτερη κεντρική γωνία είναι 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Η γωνία ACB, σύμφωνα με την ιδιότητα μιας εγγεγραμμένης γωνίας, είναι ίση με το μισό της, δηλαδή 135 μοίρες.

Απάντηση: 135

Βρείτε τη χορδή που υποτείνεται από γωνία 120 μοιρών εγγεγραμμένη σε κύκλο ρίζας ακτίνας τριών.

Ας συνδέσουμε τα σημεία Α και Β στο κέντρο του κύκλου. Ας το χαρακτηρίσουμε ως Ο:

Γνωρίζουμε την ακτίνα και την εγγεγραμμένη γωνία ASV. Μπορούμε να βρούμε την κεντρική γωνία AOB (μεγαλύτερη από 180 μοίρες), στη συνέχεια να βρούμε τη γωνία AOB στο τρίγωνο AOB. Και μετά, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, υπολογίστε το ΑΒ.

Σύμφωνα με την ιδιότητα της εγγεγραμμένης γωνίας, η κεντρική γωνία ΑΟΒ (η οποία είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες) θα είναι ίση με το διπλάσιο της εγγεγραμμένης γωνίας, δηλαδή 240 μοίρες. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία AOB στο τρίγωνο AOB είναι ίση με 360 0 – 240 0 = 120 0.

Σύμφωνα με το θεώρημα συνημιτόνου:

Απάντηση: 3

Βρείτε την εγγεγραμμένη γωνία που υποτείνεται από ένα τόξο που είναι το 20% του κύκλου. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Σύμφωνα με την ιδιότητα μιας εγγεγραμμένης γωνίας, είναι το μισό του μεγέθους της κεντρικής γωνίας με βάση το ίδιο τόξο, στην περίπτωση αυτή μιλάμε για το τόξο ΑΒ.

Λέγεται ότι το τόξο ΑΒ είναι το 20 τοις εκατό της περιφέρειας. Αυτό σημαίνει ότι η κεντρική γωνία AOB είναι επίσης 20 τοις εκατό του 360 0.*Ο κύκλος είναι μια γωνία 360 μοιρών. Που σημαίνει,

Έτσι, η εγγεγραμμένη γωνία ACB είναι 36 μοίρες.

Απάντηση: 36

Τόξο κύκλου ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ., που δεν περιέχει σημείο σι, είναι 200 ​​μοίρες. Και το τόξο ενός κύκλου π.Χ., που δεν περιέχει σημείο ΕΝΑ, είναι 80 μοίρες. Βρείτε την εγγεγραμμένη γωνία ACB. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Για λόγους σαφήνειας, ας υποδηλώσουμε τα τόξα των οποίων τα γωνιακά μέτρα δίνονται. Τόξο που αντιστοιχεί σε 200 μοίρες – Μπλε χρώμα, το τόξο που αντιστοιχεί στις 80 μοίρες είναι κόκκινο, το υπόλοιπο τμήμα του κύκλου είναι κίτρινος.

Έτσι, το μέτρο μοίρας του τόξου ΑΒ (κίτρινο) και επομένως η κεντρική γωνία ΑΟΒ είναι: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Η εγγεγραμμένη γωνία ACB είναι το μισό του μεγέθους της κεντρικής γωνίας AOB, δηλαδή ίση με 40 μοίρες.

Απάντηση: 40

Ποια είναι η εγγεγραμμένη γωνία που υποβάλλεται από τη διάμετρο του κύκλου; Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.