Τύποι ρίζας. Ιδιότητες των ριζών

Στα μαθηματικά, κάθε δράση έχει το αντίθετό της ζευγάρι - στην ουσία, αυτή είναι μια από τις εκδηλώσεις του εγελιανού νόμου της διαλεκτικής: «η ενότητα και η πάλη των αντιθέτων». Μία από τις ενέργειες σε ένα τέτοιο "ζεύγος" στοχεύει στην αύξηση του αριθμού και η άλλη, το αντίθετό του, στοχεύει στη μείωσή του. Για παράδειγμα, το αντίθετο της πρόσθεσης είναι η αφαίρεση και η διαίρεση είναι το αντίθετο του πολλαπλασιασμού. Η εκθετικότητα έχει επίσης το δικό της διαλεκτικό αντίθετο ζεύγος. Μιλάμε για εξαγωγή της ρίζας.

Για να εξαγάγετε τη ρίζα μιας τέτοιας ισχύος από έναν αριθμό σημαίνει να υπολογίσετε ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί στην κατάλληλη ισχύ για να καταλήξετε σε έναν δεδομένο αριθμό. Οι δύο μοίρες έχουν τα δικά τους ξεχωριστά ονόματα: ο δεύτερος βαθμός ονομάζεται "τετράγωνο" και ο τρίτος ονομάζεται "κύβος". Αντίστοιχα, είναι ωραίο να ονομάζουμε τις ρίζες αυτών των δυνάμεων τετράγωνες και κυβικές ρίζες. Οι ενέργειες με ρίζες κύβου είναι ένα θέμα για ξεχωριστή συζήτηση, αλλά τώρα ας μιλήσουμε για την προσθήκη τετραγωνικές ρίζες.

Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο εύκολο να εξαγάγετε πρώτα τετραγωνικές ρίζες και μετά να προσθέσετε τα αποτελέσματα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε την τιμή της παρακάτω έκφρασης:

Εξάλλου, δεν είναι καθόλου δύσκολο να υπολογίσουμε ότι η τετραγωνική ρίζα του 16 είναι 4 και του 121 είναι 11. Επομένως,

√16+√121=4+11=15

Ωστόσο, αυτή είναι η πιο απλή περίπτωση - εδώ μιλάμε γιαγια τέλεια τετράγωνα, δηλ. για τους αριθμούς που λαμβάνονται με τετραγωνισμό ακεραίων. Αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 24 δεν είναι τέλειο τετράγωνο (δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός που, όταν αυξηθεί στη δεύτερη δύναμη, θα είχε ως αποτέλεσμα 24). Το ίδιο ισχύει και για έναν αριθμό όπως το 54... Τι γίνεται αν χρειαστεί να προσθέσουμε τις τετραγωνικές ρίζες αυτών των αριθμών;

Σε αυτή την περίπτωση, θα λάβουμε στην απάντηση όχι έναν αριθμό, αλλά μια άλλη έκφραση. Το μέγιστο που μπορούμε να κάνουμε εδώ είναι να απλοποιήσουμε την αρχική έκφραση όσο το δυνατόν περισσότερο. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να αφαιρέσετε τους παράγοντες κάτω από την τετραγωνική ρίζα. Ας δούμε πώς γίνεται αυτό χρησιμοποιώντας τους αριθμούς που αναφέρονται παραπάνω ως παράδειγμα:

Αρχικά, ας συνυπολογίσουμε το 24 σε παράγοντες, έτσι ώστε ένας από αυτούς να μπορεί εύκολα να εξαχθεί ως τετραγωνική ρίζα (δηλαδή, έτσι ώστε να είναι τέλειο τετράγωνο). Υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός - είναι 4:

Τώρα ας κάνουμε το ίδιο με το 54. Στη σύνθεσή του, αυτός ο αριθμός θα είναι 9:

Έτσι, παίρνουμε τα εξής:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Τώρα ας εξαγάγουμε τις ρίζες από αυτό που μπορούμε να τις εξαγάγουμε: 2*√6+3*√6

Υπάρχει ένας κοινός παράγοντας εδώ που μπορούμε να βγάλουμε από αγκύλες:

(2+3)* √6=5*√6

Αυτό θα είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης - τίποτα περισσότερο δεν μπορεί να εξαχθεί εδώ.

Είναι αλήθεια ότι μπορείτε να καταφύγετε στη χρήση μιας αριθμομηχανής - ωστόσο, το αποτέλεσμα θα είναι κατά προσέγγιση και με τεράστιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων:

√6=2,449489742783178

Στρογγυλοποιώντας το σταδιακά προς τα πάνω, παίρνουμε περίπου 2,5. Αν πάλι θέλουμε να φέρουμε τη λύση στο προηγούμενο παράδειγμα στο λογικό της συμπέρασμα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε αυτό το αποτέλεσμα επί 5 - και θα έχουμε 12,5. Περισσότερο ακριβές αποτέλεσμαδεν μπορεί να ληφθεί με τέτοια αρχικά δεδομένα.

Τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού Χκαλούμενος αριθμός ΕΝΑ, το οποίο στη διαδικασία πολλαπλασιασμού από μόνο του ( Α*Α) μπορεί να δώσει έναν αριθμό Χ.
Εκείνοι. A * A = A 2 = X, Και √X = A.

Πάνω από τετραγωνικές ρίζες (√x), όπως και άλλοι αριθμοί, μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις όπως αφαίρεση και πρόσθεση. Για να αφαιρέσετε και να προσθέσετε ρίζες, πρέπει να συνδεθούν χρησιμοποιώντας σημάδια που αντιστοιχούν σε αυτές τις ενέργειες (για παράδειγμα √x — √ y ).
Και μετά φέρτε τις ρίζες σε αυτούς απλούστερη μορφή- εάν υπάρχουν παρόμοια μεταξύ τους, είναι απαραίτητο να γίνει μείωση. Συνίσταται στη λήψη των συντελεστών παρόμοιων όρων με τα πρόσημα των αντίστοιχων όρων, στη συνέχεια τοποθέτησή τους σε αγκύλες και εξαγωγή της κοινής ρίζας έξω από τις αγκύλες του παράγοντα. Ο συντελεστής που λάβαμε είναι απλοποιημένος σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες.

Βήμα 1: Εξαγωγή τετραγωνικών ριζών

Πρώτον, για να προσθέσετε τετραγωνικές ρίζες, πρέπει πρώτα να εξαγάγετε αυτές τις ρίζες. Αυτό μπορεί να γίνει εάν οι αριθμοί κάτω από το σύμβολο της ρίζας είναι τέλεια τετράγωνα. Για παράδειγμα, πάρτε τη δεδομένη έκφραση √4 + √9 . Πρώτος αριθμός 4 είναι το τετράγωνο του αριθμού 2 . Δεύτερος αριθμός 9 είναι το τετράγωνο του αριθμού 3 . Έτσι, μπορούμε να λάβουμε την ακόλουθη ισότητα: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Αυτό ήταν, το παράδειγμα λύθηκε. Αλλά δεν συμβαίνει πάντα τόσο εύκολα.

Βήμα 2. Εξαγωγή του πολλαπλασιαστή του αριθμού κάτω από τη ρίζα

Εάν δεν υπάρχουν τέλεια τετράγωνα κάτω από το σύμβολο της ρίζας, μπορείτε να προσπαθήσετε να αφαιρέσετε τον πολλαπλασιαστή του αριθμού κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Για παράδειγμα, ας πάρουμε την έκφραση √24 + √54 .

Υπολογίστε τους αριθμούς:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Αναμεταξύ 24 έχουμε πολλαπλασιαστή 4 , μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. Αναμεταξύ 54 έχουμε πολλαπλασιαστή 9 .

Παίρνουμε ισότητα:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Θεωρώντας αυτό το παράδειγμα, παίρνουμε τον παράγοντα που αφαιρείται κάτω από το σύμβολο της ρίζας, απλοποιώντας έτσι τη δεδομένη έκφραση.

Βήμα 3: Μείωση του Παρονομαστή

Εξετάστε την ακόλουθη κατάσταση: το άθροισμα δύο τετραγωνικών ριζών είναι ο παρονομαστής του κλάσματος, για παράδειγμα, A/(√a + √b).
Τώρα βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το καθήκον «να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή».
Ας χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη μέθοδο: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με την παράσταση √a - √b.

Τώρα παίρνουμε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού στον παρονομαστή:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

Ομοίως, εάν ο παρονομαστής έχει διαφορά ρίζας: √a - √b, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με την παράσταση √a + √b.

Ας πάρουμε ένα κλάσμα ως παράδειγμα:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Παράδειγμα αναγωγής μιγαδικού παρονομαστή

Τώρα ας αναλογιστούμε αρκετά σύνθετο παράδειγμανα απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε ένα κλάσμα: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Πρέπει να πάρετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του και να πολλαπλασιάσετε με την παράσταση √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Βήμα 4. Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή στην αριθμομηχανή

Εάν χρειάζεστε μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή, αυτό μπορεί να γίνει σε μια αριθμομηχανή υπολογίζοντας την τιμή των τετραγωνικών ριζών. Η τιμή υπολογίζεται χωριστά για κάθε αριθμό και καταγράφεται με την απαιτούμενη ακρίβεια, η οποία καθορίζεται από τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων. Στη συνέχεια, εκτελούνται όλες οι απαιτούμενες λειτουργίες, όπως με τους συνηθισμένους αριθμούς.

Παράδειγμα υπολογισμού μιας κατά προσέγγιση τιμής

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η κατά προσέγγιση τιμή αυτής της έκφρασης √7 + √5 .

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Σημείωση: σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να προσθέτετε τετραγωνικές ρίζες όπως πρώτοι αριθμοί, αυτό είναι εντελώς απαράδεκτο. Δηλαδή, αν προσθέσουμε την τετραγωνική ρίζα του πέντε και την τετραγωνική ρίζα του τρία, δεν μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του οκτώ.

Χρήσιμες συμβουλές: εάν αποφασίσετε να συνυπολογίσετε έναν αριθμό, για να εξαγάγετε το τετράγωνο κάτω από το σύμβολο της ρίζας, πρέπει να κάνετε έναν αντίστροφο έλεγχο, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε όλους τους παράγοντες που προέκυψαν από τους υπολογισμούς και το τελικό αποτέλεσμα αυτού ο μαθηματικός υπολογισμός θα πρέπει να είναι ο αριθμός που μας δόθηκε αρχικά.

Κανόνες αφαίρεσης ριζών

1. Η ρίζα της δύναμης του προϊόντος δεν είναι αρνητικούς αριθμούςισούται με το γινόμενο ριζών του ίδιου βαθμού από παράγοντες: όπου (ο κανόνας για την εξαγωγή ρίζας από προϊόν).

2. Αν , τότε y (ο κανόνας για την εξαγωγή της ρίζας ενός κλάσματος).

3. Αν τότε (ο κανόνας για την εξαγωγή ρίζας από ρίζα).

4. Αν τότε ο κανόνας για την ανύψωση της ρίζας σε μια δύναμη).

5. Αν τότε πού, δηλ., ο εκθέτης της ρίζας και ο εκθέτης της ριζικής έκφρασης μπορούν να πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό.

6. Αν τότε το 0, δηλ., αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη θετική ριζική έκφραση και υψηλότερη τιμήρίζα

7. Όλοι οι παραπάνω τύποι εφαρμόζονται συχνά με αντίστροφη σειρά (δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά). Για παράδειγμα,

(κανόνας πολλαπλασιασμού των ριζών).

(κανόνας διαίρεσης ρίζας)

8. Ο κανόνας για την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Στο

9. Το αντίστροφο πρόβλημα είναι η εισαγωγή ενός πολλαπλασιαστή κάτω από το πρόσημο της ρίζας. Για παράδειγμα,

10. Εξάλειψη του παραλογισμού στον παρονομαστή κλάσματος.

Ας δούμε μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις.

• Έννοια της λέξης Να εξηγήσετε τη σημασία των λέξεων: νόμος, τοκογλύφος, δούλος-οφειλέτης. Να εξηγήσετε τη σημασία των λέξεων: νόμος, τοκογλύφος, δούλος-οφειλέτης. ΝΟΣΤΙΜΕΣ ΦΡΑΟΥΛΑ (Επισκέπτες) Σχολεία Ερωτήσεις για το θέμα 1. Ποιοι 3 τύποι μπορούν να χωριστούν […]
• Χρειάζεστε άδεια για να χρησιμοποιήσετε ραδιόφωνο σε αυτοκίνητο; που μπορω να το διαβασω Πρέπει σε κάθε περίπτωση να καταχωρήσετε τον ραδιοφωνικό σας σταθμό. Τα Walkie-Talki που λειτουργούν σε συχνότητα 462 MHz, εάν δεν είστε εκπρόσωπος του Υπουργείου Εσωτερικών, δεν […]
• Ενιαίος φορολογικός συντελεστής - 2018 Ο ενιαίος φορολογικός συντελεστής - 2018 για επιχειρηματίες-ιδιώτες της πρώτης και της δεύτερης ομάδας υπολογίζεται ως ποσοστό του κόστους ζωής και του κατώτατου μισθού που καθορίστηκε από την 1η Ιανουαρίου […]
• Ασφάλιση Avto ΕΓΓΥΗΣΗ ΝΟΜΙΜΟΤΗΤΑΣ. Αποφασίσατε να δημιουργήσετε μόνοι σας μια διεύθυνση email OSAGO, αλλά τίποτα δεν σας βγαίνει; Μην πανικοβάλλεστε! !!Θα εισάγω όλα τα απαραίτητα στοιχεία στην ηλεκτρονική αίτηση ασφάλισης για εσάς […]
• Διαδικασία υπολογισμού και πληρωμής ειδικού φόρου κατανάλωσης Ο ειδικός φόρος κατανάλωσης είναι ένας από τους έμμεσους φόρους αγαθών και υπηρεσιών, ο οποίος περιλαμβάνεται στο κόστος τους. Ο ειδικός φόρος κατανάλωσης διαφέρει από τον ΦΠΑ στο ότι επιβάλλεται σε […]
• Εφαρμογή. Κανόνες για τη χρήση γης και την ανάπτυξη της πόλης του Rostov-on-Don Παράρτημα της απόφασης της Δημοτικής Δούμας της 17ης Ιουνίου 2008 N 405 Κανόνες για τη χρήση γης και την ανάπτυξη της πόλης του Rostov-on-Don Όπως τροποποιήθηκε και [… ]

Για παράδειγμα,

11. Εφαρμογή συντομευμένων ταυτοτήτων πολλαπλασιασμού σε πράξεις με αριθμητικές ρίζες:

12. Ο συντελεστής μπροστά από τη ρίζα ονομάζεται συντελεστής της. Για παράδειγμα, Εδώ 3 είναι ο συντελεστής.

13. Οι ρίζες (ρίζες) ονομάζονται όμοιες αν έχουν τους ίδιους ριζικούς δείκτες και τις ίδιες ριζικές εκφράσεις, και διαφέρουν μόνο ως προς τον συντελεστή. Για να κρίνετε αν αυτές οι ρίζες (ρίζες) είναι παρόμοιες ή όχι, πρέπει να τις αναγάγετε στην απλούστερη μορφή τους.

Για παράδειγμα, και είναι παρόμοια, αφού

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

1. Απλοποιήστε τις εκφράσεις:

Λύση. 1) Δεν έχει νόημα να πολλαπλασιάσουμε τη ριζική έκφραση, αφού κάθε ένας από τους παράγοντες αντιπροσωπεύει το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα για την εξαγωγή της ρίζας ενός προϊόντος:

Στο μέλλον θα κάνουμε τέτοιες ενέργειες προφορικά.

2) Ας προσπαθήσουμε, αν είναι δυνατόν, να αναπαραστήσουμε τη ριζική έκφραση ως γινόμενο παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ο κύβος ενός ακέραιου αριθμού, και να εφαρμόσουμε τον κανόνα για τη ρίζα του γινομένου:

2. Βρείτε την τιμή της παράστασης:

Λύση. 1) Σύμφωνα με τον κανόνα για την εξαγωγή της ρίζας ενός κλάσματος, έχουμε:

3) Μεταμορφώστε τις ριζικές εκφράσεις και εξάγετε τη ρίζα:

3. Απλοποιήστε όταν

Λύση. Κατά την εξαγωγή μιας ρίζας από μια ρίζα, οι δείκτες των ριζών πολλαπλασιάζονται, αλλά η ριζική έκφραση παραμένει αμετάβλητη

Εάν υπάρχει ένας συντελεστής μπροστά από τη ρίζα που βρίσκεται κάτω από τη ρίζα, τότε πριν εκτελέσετε τη λειτουργία εξαγωγής της ρίζας, εισαγάγετε αυτόν τον συντελεστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας μπροστά από την οποία εμφανίζεται.

Με βάση τους παραπάνω κανόνες, ας εξαγάγουμε τις δύο τελευταίες ρίζες:

4. Αύξηση σε δύναμη:

Λύση. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, ο εκθέτης της ρίζας παραμένει αμετάβλητος και οι εκθέτες της ριζικής έκφρασης πολλαπλασιάζονται με τον εκθέτη.

(αφού ορίστηκε, τότε )?

Εάν μια δεδομένη ρίζα έχει έναν συντελεστή, τότε αυτός ο συντελεστής αυξάνεται σε μια ισχύ ξεχωριστά και το αποτέλεσμα γράφεται ως ο συντελεστής της ρίζας.

Εδώ χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα ότι ο δείκτης της ρίζας και ο δείκτης της ριζικής έκφρασης μπορούν να πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (πολλαπλασιάσαμε με, δηλ. διαιρούμε με 2).

Για παράδειγμα, ή

4) Η έκφραση σε παρένθεση, που αντιπροσωπεύει το άθροισμα δύο διαφορετικών ριζών, διαμορφώνεται σε κύβους και απλοποιείται:

Αφού έχουμε:

5. Εξαλείψτε τον παραλογισμό στον παρονομαστή:

Λύση. Για να εξαλείψετε (να καταστρέψετε) τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος, πρέπει να βρείτε την απλούστερη από τις εκφράσεις, η οποία σε ένα γινόμενο με παρονομαστή δίνει μια ορθολογική έκφραση και να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με τον παράγοντα που βρέθηκε.

Για παράδειγμα, εάν ο παρονομαστής ενός κλάσματος περιέχει ένα διώνυμο, τότε ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πρέπει να πολλαπλασιαστούν με την έκφραση συζυγής με τον παρονομαστή, δηλαδή το άθροισμα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με την αντίστοιχη διαφορά και αντίστροφα.

Σε περισσότερα δύσκολες περιπτώσειςΚαταστρέφουν τον παραλογισμό όχι αμέσως, αλλά σε πολλά βήματα.

1) Η έκφραση πρέπει να περιέχει

Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος παίρνουμε:

2) Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το μερικό τετράγωνο του αθροίσματος, παίρνουμε:

3) Ας φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή:

Όταν λύνουμε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να έχουμε κατά νου ότι κάθε κλάσμα έχει μια σημασία, δηλαδή ο παρονομαστής κάθε κλάσματος είναι μη μηδενικός. Εκτός,

Κατά τη μετατροπή εκφράσεων που περιέχουν ρίζες, γίνονται συχνά λάθη. Προκαλούνται από την αδυναμία σωστής εφαρμογής της έννοιας (ορισμού) της αριθμητικής ρίζας και της απόλυτης τιμής.

Κανόνες αφαίρεσης ριζών

Υπολογίστε την τιμή μιας παράστασης

Λύση.

Εξήγηση.
Για να συμπτύξετε τη ριζική έκφραση, φανταστείτε τον αριθμό 31 στον δεύτερο παράγοντα της ριζικής έκφρασης ως το άθροισμα 15+16. (γραμμή 2)

Μετά τον μετασχηματισμό, είναι σαφές ότι το άθροισμα στη δεύτερη ριζική έκφραση μπορεί να αναπαρασταθεί ως το τετράγωνο του αθροίσματος χρησιμοποιώντας τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού. (γραμμή 3)

Τώρα ας φανταστούμε κάθε ρίζα αυτού του προϊόντος ως δύναμη. (γραμμή 4)

Ας απλοποιήσουμε την έκφραση (γραμμή 5)

Εφόσον ο βαθμός του γινομένου είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών καθενός από τους παράγοντες, τον αντιπροσωπεύουμε ανάλογα (γραμμή 6)

Όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιώντας τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού έχουμε τη διαφορά μεταξύ των τετραγώνων δύο αριθμών. Από εκεί υπολογίζουμε την τιμή της παράστασης (γραμμή 7)

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης.

Λύση.

Εξήγηση.

Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της ρίζας ότι η ρίζα μιας αυθαίρετης ισχύος ενός πηλίκου αριθμών είναι ίση με το πηλίκο των ριζών αυτών των αριθμών (γραμμή 2)

Η ρίζα μιας αυθαίρετης ισχύος ενός αριθμού της ίδιας ισχύος είναι ίση με αυτόν τον αριθμό (γραμμή 3)

Ας βγάλουμε το μείον από τις αγκύλες του πρώτου παράγοντα. Σε αυτήν την περίπτωση, όλα τα σημάδια μέσα στις αγκύλες θα αλλάξουν προς το αντίθετο (γραμμή 4)

Ας εκτελέσουμε μείωση κλασμάτων (γραμμή 5)

Ας φανταστούμε τον αριθμό 729 ως το τετράγωνο του αριθμού 27 και τον αριθμό 27 ως τον κύβο του αριθμού 3. Από εκεί παίρνουμε την τιμή της ριζικής έκφρασης.

Τετραγωνική ρίζα. Πρώτο επίπεδο.

Θέλετε να δοκιμάσετε τη δύναμή σας και να μάθετε το αποτέλεσμα του πόσο έτοιμοι είστε για τις εξετάσεις Unified State Exam ή Unified State Exam;

1. Εισαγωγή στην έννοια της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας

Η τετραγωνική ρίζα (αριθμητική τετραγωνική ρίζα) ενός μη αρνητικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με.
.

Ο αριθμός ή η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας πρέπει να είναι μη αρνητικός

2. Πίνακας τετραγώνων

3. Ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας

Εισαγωγή στην έννοια της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας

Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τι είναι αυτή η έννοια της «ρίζας» και «με τι τρώγεται». Για να το κάνετε αυτό, ας δούμε παραδείγματα που έχετε ήδη συναντήσει στην τάξη (καλά, ή πρόκειται απλώς να το συναντήσετε).

Για παράδειγμα, έχουμε μια εξίσωση. Ποια είναι η λύση αυτής της εξίσωσης; Ποιοι αριθμοί μπορούν να τετραγωνιστούν και να ληφθούν; Αν θυμάστε τον πίνακα πολλαπλασιασμού, μπορείτε εύκολα να δώσετε την απάντηση: και (εξάλλου, όταν πολλαπλασιάζονται δύο αρνητικοί αριθμοί, προκύπτει ένας θετικός αριθμός)! Για απλοποίηση, οι μαθηματικοί εισήγαγαν την ειδική έννοια της τετραγωνικής ρίζας και της ανέθεσαν ένα ειδικό σύμβολο.

Ας ορίσουμε την αριθμητική τετραγωνική ρίζα.

Γιατί ο αριθμός πρέπει να είναι μη αρνητικός; Για παράδειγμα, με τι ισούται; Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε να διαλέξουμε ένα. Ίσως τρεις; Ας ελέγξουμε: , όχι. Μπορεί, ; Και πάλι, ελέγχουμε: . Λοιπόν, δεν ταιριάζει; Αυτό είναι αναμενόμενο - γιατί δεν υπάρχουν αριθμοί που όταν τετραγωνιστούν, δίνουν αρνητικό αριθμό!

Ωστόσο, πιθανότατα έχετε ήδη παρατηρήσει ότι ο ορισμός λέει ότι η λύση στην τετραγωνική ρίζα του "ένας αριθμός είναι ένας τόσο μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με ". Και στην αρχή αναλύσαμε το παράδειγμα, επιλέξαμε αριθμούς που μπορούν να τετραγωνιστούν και να ληφθούν, η απάντηση ήταν και, αλλά εδώ μιλάμε για κάποιο είδος "μη αρνητικού αριθμού"! Αυτή η παρατήρηση είναι πολύ σωστή. Εδώ χρειάζεται απλώς να διακρίνετε τις έννοιες των τετραγωνικών εξισώσεων και την αριθμητική τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού. Για παράδειγμα, δεν είναι ισοδύναμο με την έκφραση.

Και από αυτό προκύπτει.

Φυσικά, αυτό είναι πολύ μπερδεμένο, αλλά πρέπει να θυμόμαστε ότι τα σημάδια είναι το αποτέλεσμα της επίλυσης της εξίσωσης, καθώς όταν λύνουμε την εξίσωση πρέπει να γράψουμε όλα τα Χ, τα οποία, όταν αντικατασταθούν στην αρχική εξίσωση, θα δώσουν το σωστό αποτέλεσμα. Και τα δύο και ταιριάζουν στην τετραγωνική μας εξίσωση.

Ωστόσο, αν πάρεις απλώς την τετραγωνική ρίζα ενός πράγματος, λαμβάνεις πάντα ένα μη αρνητικό αποτέλεσμα.

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε αυτήν την εξίσωση. Όλα δεν είναι πια τόσο απλά και ομαλά, έτσι δεν είναι; Δοκιμάστε να διαβάσετε τους αριθμούς, μήπως κάτι θα λειτουργήσει;

Ας ξεκινήσουμε από την αρχή - από την αρχή: - δεν ταιριάζει, προχωρήστε. – λιγότερο από τρεις, το απορρίπτουμε κι εμείς, αλλά τι θα γίνει αν; Ας ελέγξουμε: – επίσης δεν ταιριάζει, γιατί είναι περισσότερα από τρία. Είναι η ίδια ιστορία με τους αρνητικούς αριθμούς. Τι να κάνουμε λοιπόν τώρα; Αλήθεια η αναζήτηση δεν μας έδωσε τίποτα; Καθόλου, τώρα ξέρουμε σίγουρα ότι η απάντηση θα είναι κάποιος αριθμός μεταξύ και, καθώς και μεταξύ και. Επίσης, προφανώς οι λύσεις δεν θα είναι ακέραιοι. Επιπλέον, δεν είναι λογικές. Λοιπόν, τι ακολουθεί; Ας σχηματίσουμε γραφικά τη συνάρτηση και ας σημειώσουμε τις λύσεις σε αυτήν.

Ας προσπαθήσουμε να ξεγελάσουμε το σύστημα και να πάρουμε την απάντηση χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή! Ας βγάλουμε τη ρίζα από αυτό! Ω-ω-ω, αποδεικνύεται ότι αυτός ο αριθμός δεν τελειώνει ποτέ. Πώς μπορείτε να το θυμάστε αυτό, αφού δεν θα υπάρχει αριθμομηχανή στις εξετάσεις!; Όλα είναι πολύ απλά, δεν χρειάζεται να τα θυμάστε, απλά πρέπει να θυμάστε (ή να είστε σε θέση να εκτιμήσετε γρήγορα) την κατά προσέγγιση τιμή. και οι ίδιες οι απαντήσεις. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι, για να απλοποιηθεί η γραφή τέτοιων αριθμών εισήχθη η έννοια της τετραγωνικής ρίζας.
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα για να το ενισχύσουμε αυτό. Ας δούμε αυτό το πρόβλημα: πρέπει να διασχίσετε διαγώνια τετράγωνο πεδίομε μια πλευρά χλμ, πόσα χλμ πρέπει να περπατήσεις;

Το πιο προφανές εδώ είναι να εξετάσουμε το τρίγωνο χωριστά και να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα: . Ετσι, . Ποια είναι λοιπόν η απαιτούμενη απόσταση εδώ; Προφανώς, η απόσταση δεν μπορεί να είναι αρνητική, αυτό καταλαβαίνουμε. Η ρίζα των δύο είναι περίπου ίση, αλλά, όπως σημειώσαμε νωρίτερα, - είναι ήδη μια πλήρης απάντηση.

Εκχύλιση Ρίζας

Για να λύσετε παραδείγματα με ρίζες χωρίς να προκαλείτε προβλήματα, πρέπει να τα δείτε και να τα αναγνωρίσετε. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τουλάχιστον τα τετράγωνα των αριθμών από έως και επίσης να μπορείτε να τα αναγνωρίζετε.

Δηλαδή, πρέπει να γνωρίζετε τι είναι ίσο με ένα τετράγωνο, και επίσης, αντίθετα, τι είναι ίσο με ένα τετράγωνο. Στην αρχή, αυτός ο πίνακας θα σας βοηθήσει να εξαγάγετε τη ρίζα.

Μόλις λύσετε έναν επαρκή αριθμό παραδειγμάτων, η ανάγκη για αυτό θα εξαφανιστεί αυτόματα.
Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την τετραγωνική ρίζα των παρακάτω εκφράσεων:

Λοιπόν, πώς λειτούργησε; Ας δούμε τώρα αυτά τα παραδείγματα:

Ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας

Τώρα ξέρετε πώς να εξάγετε ρίζες, ήρθε η ώρα να μάθετε για τις ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας. Υπάρχουν μόνο 3 από αυτά:

• πολλαπλασιασμός;
• διαίρεση;
• εκθέσεως.

Είναι πολύ εύκολο να θυμάστε με τη βοήθεια αυτού του πίνακα και, φυσικά, της εκπαίδευσης:

Πώς να αποφασίσετε
τετραγωνικές εξισώσεις

Σε προηγούμενα μαθήματα εξετάσαμε το «Πώς να λύσουμε γραμμικές εξισώσεις», δηλαδή εξισώσεις πρώτου βαθμού. Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε αυτό που ονομάζεται τετραγωνική εξίσωσηκαι πώς να το λύσετε.

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τον υψηλότερο βαθμό στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος.

Εάν η μέγιστη ισχύς στην οποία ο άγνωστος είναι "2", τότε έχετε μια τετραγωνική εξίσωση.

Παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

Για να βρείτε τα «a», «b» και «c» πρέπει να συγκρίνετε την εξίσωσή σας με τη γενική μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης «ax 2 + bx + c = 0».

Ας εξασκηθούμε στον εντοπισμό των συντελεστών "a", "b" και "c" στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

• α = 5
• b = −14
• c = 17

• a = −7
• b = −13
• c = 8

• a = −1
• b = 1

• α = 1
• b = 0,25
• c = 0

• α = 1
• b = 0
• c = −8

Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις

Διαφορετικός γραμμικές εξισώσειςγια την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, ένα ειδικό τύπος για την εύρεση ριζών.

Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση χρειάζεστε:

• ανάγουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική εμφάνιση"ax 2 + bx + c = 0". Δηλαδή, μόνο το "0" θα πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά.
• χρησιμοποιήστε τη φόρμουλα για τις ρίζες:

Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας λύσουμε μια τετραγωνική εξίσωση.

Η εξίσωση «x 2 − 3x − 4 = 0» έχει ήδη αναχθεί στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0» και δεν απαιτεί πρόσθετες απλοποιήσεις. Για να το λύσουμε, αρκεί να κάνουμε αίτηση τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Ας προσδιορίσουμε τους συντελεστές "a", "b" και "c" για αυτήν την εξίσωση.

• α = 1
• b = −3
• c = −4

Ας τα αντικαταστήσουμε στον τύπο και ας βρούμε τις ρίζες.

Φροντίστε να απομνημονεύσετε τον τύπο για την εύρεση ριζών.

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης.

Σε αυτή τη μορφή, είναι αρκετά δύσκολο να προσδιοριστούν οι συντελεστές "a", "b" και "c". Ας μειώσουμε πρώτα την εξίσωση στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0».

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τις ρίζες.

Υπάρχουν φορές που οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις δεν έχουν ρίζες. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει όταν ο τύπος περιέχει έναν αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα.

Θυμόμαστε από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ότι είναι αδύνατο να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού.

Εξετάστε ένα παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης που δεν έχει ρίζες.

Έτσι, έχουμε μια κατάσταση όπου η ρίζα έχει αρνητικό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Ως εκ τούτου, ως απάντηση, γράψαμε "Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες".

Τι σημαίνουν οι λέξεις «χωρίς πραγματικές ρίζες»; Γιατί δεν μπορείτε απλά να γράψετε "χωρίς ρίζες";

Στην πραγματικότητα, υπάρχουν ρίζες σε τέτοιες περιπτώσεις, αλλά μέσα στα πλαίσια σχολικό πρόγραμμα σπουδώνδεν μπορούν να περάσουν, οπότε σε απάντηση γράφουμε ότι δεν υπάρχουν ρίζες μεταξύ των πραγματικών αριθμών. Με άλλα λόγια, «Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες».

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Μερικές φορές υπάρχουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές «b» και/ή «c» απουσιάζουν ρητά. Για παράδειγμα, σε αυτή την εξίσωση:

Τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται ελλιπείς τετραγωνικές εξισώσεις. Ο τρόπος επίλυσής τους συζητείται στο μάθημα «Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις».

Γεγονός 1.
\(\bullet\) Ας πάρουμε έναν μη αρνητικό αριθμό \(a\) (δηλαδή, \(a\geqslant 0\) ). Στη συνέχεια (αριθμητική) τετραγωνική ρίζααπό τον αριθμό \(a\) ονομάζεται ένας τέτοιος μη αρνητικός αριθμός \(b\) , όταν στο τετράγωνο παίρνουμε τον αριθμό \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(ίδιο με )\quad a=b^2\]Από τον ορισμό προκύπτει ότι \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Αυτοί οι περιορισμοί είναι σημαντική προϋπόθεσητην ύπαρξη τετραγωνικής ρίζας και πρέπει να τα θυμόμαστε!
Θυμηθείτε ότι οποιοσδήποτε αριθμός όταν τετραγωνιστεί δίνει ένα μη αρνητικό αποτέλεσμα. Δηλαδή, \(100^2=10000\geqslant 0\) και \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Με τι ισούται το \(\sqrt(25)\); Γνωρίζουμε ότι \(5^2=25\) και \((-5)^2=25\) . Εφόσον εξ ορισμού πρέπει να βρούμε έναν μη αρνητικό αριθμό, τότε το \(-5\) δεν είναι κατάλληλο, επομένως, \(\sqrt(25)=5\) (αφού \(25=5^2\) ).
Η εύρεση της τιμής του \(\sqrt a\) ονομάζεται λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα του αριθμού \(a\) , και ο αριθμός \(a\) ονομάζεται ριζική έκφραση.
\(\bullet\) Με βάση τον ορισμό, την έκφραση \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), κ.λπ. δεν βγάζει νόημα.

Γεγονός 2.
Για γρήγορους υπολογισμούς, θα είναι χρήσιμο να μάθετε τον πίνακα τετραγώνων φυσικών αριθμών από \(1\) έως \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(πίνακας)\]

Γεγονός 3.
Τι πράξεις μπορείτε να κάνετε με τις τετραγωνικές ρίζες;
\(\σφαίρα\) Το άθροισμα ή η διαφορά των τετραγωνικών ριζών ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟ με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος ή της διαφοράς, δηλαδή \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Έτσι, εάν πρέπει να υπολογίσετε, για παράδειγμα, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , τότε αρχικά πρέπει να βρείτε τις τιμές των \(\sqrt(25)\) και \(\ sqrt(49)\ ) και μετά διπλώστε τα. Ως εκ τούτου, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Εάν οι τιμές \(\sqrt a\) ή \(\sqrt b\) δεν μπορούν να βρεθούν κατά την προσθήκη του \(\sqrt a+\sqrt b\), τότε μια τέτοια έκφραση δεν μετασχηματίζεται περαιτέρω και παραμένει ως έχει. Για παράδειγμα, στο άθροισμα \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) μπορούμε να βρούμε ότι το \(\sqrt(49)\) είναι \(7\) , αλλά το \(\sqrt 2\) δεν μπορεί να μετατραπεί σε ούτως ή άλλως, γι' αυτό \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Δυστυχώς, αυτή η έκφραση δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω\(\bullet\) Το γινόμενο/πηλίκο των τετραγωνικών ριζών είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου/πηλίκου, δηλαδή \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (υπό τον όρο ότι και οι δύο πλευρές των ισοτήτων έχουν νόημα)
Παράδειγμα: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδιότητες, είναι βολικό να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες του μεγάλοι αριθμοίπαραγοντοποιώντας τα.
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας βρούμε \(\sqrt(44100)\) . Αφού \(44100:100=441\) , τότε \(44100=100\cdot 441\) . Σύμφωνα με το κριτήριο της διαιρετότητας, ο αριθμός \(441\) διαιρείται με το \(9\) (καθώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9 και διαιρείται με το 9), επομένως, \(441:9=49\), δηλαδή \(441=9\ cdot 49\) .
Έτσι πήραμε: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ας δείξουμε πώς να εισάγετε αριθμούς κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της έκφρασης \(5\sqrt2\) (σύντομη σημείωση για την έκφραση \(5\cdot \sqrt2\)). Αφού \(5=\sqrt(25)\) , τότε \ Σημειώστε επίσης ότι, για παράδειγμα,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Γιατί αυτό; Ας εξηγήσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα 1). Όπως ήδη καταλαβαίνετε, δεν μπορούμε με κάποιο τρόπο να μετατρέψουμε τον αριθμό \(\sqrt2\). Ας φανταστούμε ότι το \(\sqrt2\) είναι κάποιος αριθμός \(a\) . Αντίστοιχα, η έκφραση \(\sqrt2+3\sqrt2\) δεν είναι τίποτα περισσότερο από \(a+3a\) (ένας αριθμός \(a\) συν τρεις ακόμη από τους ίδιους αριθμούς \(a\)). Και ξέρουμε ότι αυτό ισούται με τέσσερις τέτοιους αριθμούς \(a\) , δηλαδή \(4\sqrt2\) .

Γεγονός 4.
\(\bullet\) Συχνά λένε "δεν μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα" όταν δεν μπορείτε να απαλλαγείτε από το σύμβολο \(\sqrt () \\) της ρίζας (ριζικό) όταν βρίσκετε την τιμή ενός αριθμού . Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε τη ρίζα του αριθμού \(16\) επειδή \(16=4^2\) , επομένως \(\sqrt(16)=4\) . Αλλά είναι αδύνατο να εξαγάγετε τη ρίζα του αριθμού \(3\), δηλαδή να βρείτε το \(\sqrt3\), επειδή δεν υπάρχει αριθμός που στο τετράγωνο θα δώσει \(3\) .
Τέτοιοι αριθμοί (ή εκφράσεις με τέτοιους αριθμούς) είναι παράλογοι. Για παράδειγμα, αριθμοί \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)και ούτω καθεξής. είναι παράλογες.
Επίσης παράλογοι είναι οι αριθμοί \(\pi\) (ο αριθμός "pi", περίπου ίσος με \(3,14\)), \(e\) (αυτός ο αριθμός ονομάζεται αριθμός Euler, είναι περίπου ίσος με \(2,7 \)) και τα λοιπά.
\(\bullet\) Λάβετε υπόψη ότι οποιοσδήποτε αριθμός θα είναι είτε λογικός είτε παράλογος. Και όλοι μαζί όλοι οι ορθολογικοί και όλοι οι παράλογοι αριθμοί σχηματίζουν ένα σύνολο που ονομάζεται ένα σύνολο πραγματικών αριθμών.Αυτό το σύνολο συμβολίζεται με το γράμμα \(\mathbb(R)\) .
Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι αριθμοί που είναι ενεργοποιημένοι αυτή τη στιγμήγνωρίζουμε ότι ονομάζονται πραγματικοί αριθμοί.

Γεγονός 5.
\(\bullet\) Το μέτρο ενός πραγματικού αριθμού \(a\) είναι ένας μη αρνητικός αριθμός \(|a|\) ίσος με την απόσταση από το σημείο \(a\) έως \(0\) στο πραγματική γραμμή. Για παράδειγμα, τα \(|3|\) και \(|-3|\) είναι ίσα με 3, καθώς οι αποστάσεις από τα σημεία \(3\) και \(-3\) έως \(0\) είναι οι ίδιο και ίσο με \(3 \) .
\(\bullet\) Εάν ο \(a\) είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε \(|a|=a\) .
Παράδειγμα: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Εάν ο \(a\) είναι αρνητικός αριθμός, τότε \(|a|=-a\) .
Παράδειγμα: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Λένε ότι για τους αρνητικούς αριθμούς το μέτρο «τρώει» το μείον, ενώ οι θετικοί αριθμοί, όπως και ο αριθμός \(0\), παραμένουν αμετάβλητοι από το συντελεστή.
ΑΛΛΑΑυτός ο κανόνας ισχύει μόνο για αριθμούς. Εάν κάτω από το σύμβολο συντελεστή σας υπάρχει ένα άγνωστο \(x\) (ή κάποιο άλλο άγνωστο), για παράδειγμα, \(|x|\) , για το οποίο δεν γνωρίζουμε αν είναι θετικό, μηδέν ή αρνητικό, τότε ξεφορτωθείτε του συντελεστή δεν μπορούμε. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτή η έκφραση παραμένει η ίδια: \(|x|\) . \(\bullet\) Ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( παρέχεται ) a\geqslant 0\]Πολύ συχνά γίνεται το εξής λάθος: λένε ότι τα \(\sqrt(a^2)\) και \((\sqrt a)^2\) είναι ένα και το αυτό. Αυτό ισχύει μόνο εάν \(a\) – θετικός αριθμόςή μηδέν. Αλλά αν το \(a\) είναι αρνητικός αριθμός, τότε αυτό είναι λάθος. Αρκεί να εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα. Ας πάρουμε αντί για \(a\) τον αριθμό \(-1\) . Τότε \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , αλλά η έκφραση \((\sqrt (-1))^2\) δεν υπάρχει καθόλου (εξάλλου, είναι αδύνατο να χρησιμοποιήσετε το ριζικό σύμβολο βάλτε αρνητικούς αριθμούς!).
Επομένως, εφιστούμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι το \(\sqrt(a^2)\) δεν ισούται με \((\sqrt a)^2\) !Παράδειγμα: 1) \(\sqrt(\αριστερά(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), επειδή \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Αφού \(\sqrt(a^2)=|a|\) , τότε \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (η έκφραση \(2n\) υποδηλώνει ζυγό αριθμό)
Δηλαδή, όταν παίρνουμε τη ρίζα ενός αριθμού που είναι σε κάποιο βαθμό, αυτός ο βαθμός μειώνεται στο μισό.
Παράδειγμα:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (σημειώστε ότι εάν η μονάδα δεν παρέχεται, αποδεικνύεται ότι η ρίζα του αριθμού είναι ίση με \(-25\ ) αλλά θυμόμαστε ότι εξ ορισμού ρίζας αυτό δεν μπορεί να συμβεί: όταν εξάγουμε μια ρίζα, θα πρέπει πάντα να παίρνουμε έναν θετικό αριθμό ή μηδέν)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (καθώς οποιοσδήποτε αριθμός σε άρτια δύναμη είναι μη αρνητικός)

Γεγονός 6.
Πώς να συγκρίνετε δύο τετραγωνικές ρίζες;
\(\bullet\) Για τις τετραγωνικές ρίζες ισχύει: αν \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aΠαράδειγμα:
1) συγκρίνετε τα \(\sqrt(50)\) και \(6\sqrt2\) . Αρχικά, ας μετατρέψουμε τη δεύτερη έκφραση σε \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Έτσι, αφού \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Ανάμεσα σε ποιους ακέραιους αριθμούς βρίσκεται ο \(\sqrt(50)\);
Αφού \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) και \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Ας συγκρίνουμε τα \(\sqrt 2-1\) και \(0,5\) . Ας υποθέσουμε ότι \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((προσθήκη ενός και στις δύο πλευρές))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((τετράγωνο και στις δύο πλευρές))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(στοίχιση)\]Βλέπουμε ότι έχουμε λάβει μια λανθασμένη ανισότητα. Επομένως, η υπόθεσή μας ήταν εσφαλμένη και \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Σημειώστε ότι η προσθήκη ενός συγκεκριμένου αριθμού και στις δύο πλευρές της ανισότητας δεν επηρεάζει το πρόσημο της. Ο πολλαπλασιασμός/διαίρεση και των δύο πλευρών μιας ανίσωσης με έναν θετικό αριθμό επίσης δεν επηρεάζει το πρόσημο της, αλλά ο πολλαπλασιασμός/διαίρεση με έναν αρνητικό αριθμό αντιστρέφει το πρόσημο της ανίσωσης!
Μπορείτε να τετραγωνίσετε και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης/ανίσωσης ΜΟΝΟ ΑΝ και οι δύο πλευρές είναι μη αρνητικές. Για παράδειγμα, στην ανισότητα από το προηγούμενο παράδειγμα μπορείτε να τετραγωνίσετε και τις δύο πλευρές, στην ανισότητα \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι \[\αρχή(ευθυγραμμισμένη) &\sqrt 2\περίπου 1,4\\ &\sqrt 3\περίπου 1,7 \end(στοιχισμένη)\]Γνωρίζοντας την κατά προσέγγιση σημασία αυτών των αριθμών θα σας βοηθήσει όταν συγκρίνετε αριθμούς! \(\bullet\) Για να εξαγάγετε τη ρίζα (αν μπορεί να εξαχθεί) από κάποιο μεγάλο αριθμό που δεν βρίσκεται στον πίνακα των τετραγώνων, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε ανάμεσα σε ποιες "εκατοντάδες" βρίσκεται και μετά - μεταξύ ποιων " δεκάδες» και, στη συνέχεια, προσδιορίστε το τελευταίο ψηφίο αυτού του αριθμού. Ας δείξουμε πώς λειτουργεί αυτό με ένα παράδειγμα.
Ας πάρουμε \(\sqrt(28224)\) . Γνωρίζουμε ότι \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), κ.λπ. Σημειώστε ότι το \(28224\) είναι μεταξύ \(10\.000\) και \(40\.000\) . Επομένως, το \(\sqrt(28224)\) είναι μεταξύ \(100\) και \(200\) .
Τώρα ας προσδιορίσουμε ανάμεσα σε ποιες «δεκάδες» βρίσκεται ο αριθμός μας (δηλαδή, για παράδειγμα, μεταξύ \(120\) και \(130\)). Επίσης από τον πίνακα των τετραγώνων γνωρίζουμε ότι \(11^2=121\) , \(12^2=144\) κ.λπ., τότε \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Βλέπουμε λοιπόν ότι το \(28224\) είναι μεταξύ \(160^2\) και \(170^2\) . Επομένως, ο αριθμός \(\sqrt(28224)\) είναι μεταξύ \(160\) και \(170\) .
Ας προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το τελευταίο ψηφίο. Ας θυμηθούμε ποιους μονοψήφιους αριθμούς, όταν τετραγωνιστούν, δίνουν \(4\) στο τέλος; Αυτά είναι τα \(2^2\) και \(8^2\) . Επομένως, το \(\sqrt(28224)\) θα τελειώνει είτε σε 2 είτε σε 8. Ας το ελέγξουμε αυτό. Ας βρούμε τα \(162^2\) και \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Επομένως, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Για να λύσετε επαρκώς την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, πρέπει πρώτα να μελετήσετε θεωρητικό υλικό, το οποίο σας εισάγει σε πολλά θεωρήματα, τύπους, αλγόριθμους κ.λπ. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτό είναι αρκετά απλό. Ωστόσο, η εύρεση μιας πηγής στην οποία η θεωρία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά παρουσιάζεται με εύκολο και κατανοητό τρόπο για μαθητές με οποιοδήποτε επίπεδο κατάρτισης είναι στην πραγματικότητα ένα αρκετά δύσκολο έργο. Τα σχολικά εγχειρίδια δεν μπορούν να είναι πάντα διαθέσιμα. Και η εύρεση βασικών τύπων για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά μπορεί να είναι δύσκολη ακόμη και στο Διαδίκτυο.

Γιατί είναι τόσο σημαντικό να σπουδάζουν θεωρία στα μαθηματικά όχι μόνο για όσους δίνουν τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους;

1. Γιατί διευρύνει τους ορίζοντές σου. Η μελέτη θεωρητικού υλικού στα μαθηματικά είναι χρήσιμη για όποιον θέλει να λάβει απαντήσεις σε ένα ευρύ φάσμα ερωτήσεων που σχετίζονται με τη γνώση του κόσμου γύρω του. Όλα στη φύση είναι διατεταγμένα και έχουν ξεκάθαρη λογική. Αυτό ακριβώς αντικατοπτρίζεται στην επιστήμη, μέσω της οποίας είναι δυνατή η κατανόηση του κόσμου.
2. Γιατί αναπτύσσει τη νοημοσύνη. Μελετώντας τα υλικά αναφοράς για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, καθώς και την επίλυση διαφόρων προβλημάτων, ένα άτομο μαθαίνει να σκέφτεται και να συλλογίζεται λογικά, να διατυπώνει τις σκέψεις με ικανότητα και σαφήνεια. Αναπτύσσει την ικανότητα ανάλυσης, γενίκευσης και εξαγωγής συμπερασμάτων.

Σας προσκαλούμε να αξιολογήσετε προσωπικά όλα τα πλεονεκτήματα της προσέγγισής μας στη συστηματοποίηση και παρουσίαση εκπαιδευτικού υλικού.

Ιδιότητες τετραγωνικών ριζών

Μέχρι στιγμής έχουμε κάνει πέντε αριθμητικές πράξεις στους αριθμούς: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση και εκθετικότητα και στους υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκαν ενεργά διάφορες ιδιότητες αυτών των πράξεων, για παράδειγμα a + b = b + a, an-bn = (ab)n, κ.λπ.

Αυτό το κεφάλαιο εισάγει μια νέα πράξη - λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Για να το χρησιμοποιήσετε με επιτυχία, πρέπει να εξοικειωθείτε με τις ιδιότητες αυτής της λειτουργίας, κάτι που θα κάνουμε σε αυτήν την ενότητα.

Απόδειξη. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Έτσι ακριβώς θα διατυπώσουμε το επόμενο θεώρημα.

(Μια σύντομη διατύπωση που είναι πιο βολική για χρήση στην πράξη: η ρίζα ενός κλάσματος είναι ίση με το κλάσμα των ριζών ή η ρίζα του πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των ριζών.)

Αυτή τη φορά θα δώσουμε μόνο μια σύντομη περίληψη της απόδειξης και εσείς προσπαθήστε να κάνετε κατάλληλα σχόλια παρόμοια με εκείνα που αποτέλεσαν την ουσία της απόδειξης του Θεωρήματος 1.

Σημείωση 3. Φυσικά, αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί διαφορετικά, ειδικά αν έχετε διαθέσιμο μικροϋπολογιστή: πολλαπλασιάστε τους αριθμούς 36, 64, 9 και μετά πάρτε την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος που προκύπτει. Ωστόσο, θα συμφωνήσετε ότι η λύση που προτείνεται παραπάνω φαίνεται πιο πολιτιστική.

Σημείωση 4. Στην πρώτη μέθοδο, κάναμε υπολογισμούς «με τα μούτρα». Ο δεύτερος τρόπος είναι πιο κομψός:
κάναμε αίτηση τύπος a2 - b2 = (a - b) (a + b) και χρησιμοποίησε την ιδιότητα των τετραγωνικών ριζών.

Σημείωση 5. Ορισμένα «καυτά κεφάλια» προσφέρουν μερικές φορές αυτή τη «λύση» στο Παράδειγμα 3:

Αυτό, φυσικά, δεν είναι αλήθεια: βλέπετε - το αποτέλεσμα δεν είναι το ίδιο όπως στο παράδειγμα 3. Το γεγονός είναι ότι δεν υπάρχει ιδιοκτησία https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task" width="148" height="26 id=">!}Υπάρχουν μόνο ιδιότητες που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των τετραγωνικών ριζών. Να είστε προσεκτικοί και προσεκτικοί, μην κάνετε ευσεβείς πόθους.

Ολοκληρώνοντας αυτή την παράγραφο, ας σημειώσουμε ένα ακόμη πράγμα που είναι αρκετά απλό και ταυτόχρονα σημαντική περιουσία:
αν a > 0 και n - φυσικός αριθμός , Οτι

Μετατροπή παραστάσεων που περιέχουν λειτουργία τετραγωνικής ρίζας

Μέχρι τώρα, κάναμε μόνο μετασχηματισμούς ορθολογικές εκφράσεις, χρησιμοποιώντας για αυτό τους κανόνες ενεργειών σε πολυώνυμα και αλγεβρικά κλάσματα, συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού κ.λπ. Σε αυτό το κεφάλαιο, παρουσιάσαμε μια νέα πράξη - την πράξη τετραγωνικής ρίζας. το έχουμε διαπιστώσει

όπου, ανάκληση, τα a, b είναι μη αρνητικοί αριθμοί.

Χρησιμοποιώντας αυτά ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι, μπορείτε να εκτελέσετε διάφορους μετασχηματισμούς σε εκφράσεις που περιέχουν πράξη τετραγωνικής ρίζας. Ας δούμε πολλά παραδείγματα και σε όλα τα παραδείγματα θα υποθέσουμε ότι οι μεταβλητές λαμβάνουν μόνο μη αρνητικές τιμές.

Παράδειγμα 3.Εισαγάγετε τον πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας:

Παράδειγμα 6. Απλοποιήστε την έκφραση Λύση. Ας κάνουμε διαδοχικούς μετασχηματισμούς:

Χαιρετίσματα, γάτες! Την τελευταία φορά συζητήσαμε λεπτομερώς τι είναι οι ρίζες (αν δεν θυμάστε, προτείνω να το διαβάσετε). Το κύριο στοιχείο από αυτό το μάθημα: υπάρχει μόνο ένας καθολικός ορισμός των ριζών, που είναι αυτό που πρέπει να γνωρίζετε. Τα υπόλοιπα είναι ανοησίες και χάσιμο χρόνου.

Σήμερα πάμε παρακάτω. Θα μάθουμε να πολλαπλασιάζουμε ρίζες, θα μελετήσουμε κάποια προβλήματα που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό (αν δεν λυθούν αυτά τα προβλήματα μπορεί να γίνουν μοιραία στις εξετάσεις) και θα εξασκηθούμε σωστά. Προμηθευτείτε λοιπόν ποπ κορν, νιώστε άνετα και ας ξεκινήσουμε.

Ούτε εσύ δεν το έχεις καπνίσει ακόμα, έτσι δεν είναι;

Το μάθημα αποδείχθηκε αρκετά μεγάλο, οπότε το χώρισα σε δύο μέρη:

1. Αρχικά θα δούμε τους κανόνες του πολλαπλασιασμού. Το Cap φαίνεται να υπαινίσσεται: αυτό συμβαίνει όταν υπάρχουν δύο ρίζες, μεταξύ τους υπάρχει ένα σημάδι "πολλαπλασιασμού" - και θέλουμε να κάνουμε κάτι με αυτό.
2. Στη συνέχεια, ας δούμε την αντίθετη κατάσταση: υπάρχει μια μεγάλη ρίζα, αλλά ήμασταν πρόθυμοι να την αναπαραστήσουμε ως προϊόν δύο απλούστερων ριζών. Γιατί είναι απαραίτητο αυτό, είναι ένα ξεχωριστό ερώτημα. Θα αναλύσουμε μόνο τον αλγόριθμο.

Για όσους ανυπομονούν να περάσουν αμέσως στο δεύτερο μέρος, είστε ευπρόσδεκτοι. Ας ξεκινήσουμε με τα υπόλοιπα με τη σειρά.

Βασικός κανόνας πολλαπλασιασμού

Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό πράγμα - τις κλασικές τετραγωνικές ρίζες. Τα ίδια που συμβολίζονται με $\sqrt(a)$ και $\sqrt(b)$. Όλα είναι προφανή για αυτούς:

Κανόνας πολλαπλασιασμού. Για να πολλαπλασιάσετε μια τετραγωνική ρίζα με μια άλλη, απλώς πολλαπλασιάζετε τις ριζικές εκφράσεις τους και γράφετε το αποτέλεσμα κάτω από την κοινή ρίζα:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Δεν επιβάλλονται πρόσθετοι περιορισμοί στους αριθμούς δεξιά ή αριστερά: εάν υπάρχουν οι ριζικοί παράγοντες, τότε υπάρχει και το προϊόν.

Παραδείγματα. Ας δούμε τέσσερα παραδείγματα με αριθμούς ταυτόχρονα:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(στοίχιση)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, το κύριο νόημα αυτού του κανόνα είναι η απλοποίηση των παράλογων εκφράσεων. Και αν στο πρώτο παράδειγμα εμείς οι ίδιοι θα είχαμε εξαγάγει τις ρίζες του 25 και του 4 χωρίς νέους κανόνες, τότε τα πράγματα γίνονται δύσκολα: τα $\sqrt(32)$ και τα $\sqrt(2)$ δεν θεωρούνται από μόνα τους, αλλά Το γινόμενο τους αποδεικνύεται τέλειο τετράγωνο, επομένως η ρίζα του είναι ίση με έναν ρητό αριθμό.

Θα ήθελα ιδιαίτερα να επισημάνω την τελευταία γραμμή. Εκεί, και οι δύο ριζικές εκφράσεις είναι κλάσματα. Χάρη στο προϊόν, πολλοί παράγοντες ακυρώνονται και ολόκληρη η έκφραση μετατρέπεται σε επαρκή αριθμό.

Φυσικά, τα πράγματα δεν θα είναι πάντα τόσο όμορφα. Μερικές φορές θα υπάρχει ένα πλήρες χάος κάτω από τις ρίζες - δεν είναι ξεκάθαρο τι να κάνετε με αυτό και πώς να το μεταμορφώσετε μετά τον πολλαπλασιασμό. Λίγο αργότερα, όταν αρχίσετε να μελετάτε παράλογες εξισώσεις και ανισότητες, θα υπάρχουν κάθε λογής μεταβλητές και συναρτήσεις. Και πολύ συχνά, οι συγγραφείς προβλημάτων βασίζονται στο γεγονός ότι θα ανακαλύψετε ορισμένους όρους ή παράγοντες ακύρωσης, μετά τους οποίους το πρόβλημα θα απλοποιηθεί πολλές φορές.

Επιπλέον, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν ακριβώς δύο ρίζες. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τρία, τέσσερα ή και δέκα ταυτόχρονα! Αυτό δεν θα αλλάξει τον κανόνα. Ρίξε μια ματιά:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(στοίχιση)\]

Και ξανα μικρή σημείωσησύμφωνα με το δεύτερο παράδειγμα. Όπως μπορείτε να δείτε, στον τρίτο παράγοντα κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένα δεκαδικό κλάσμα - στη διαδικασία των υπολογισμών το αντικαθιστούμε με ένα κανονικό, μετά από το οποίο όλα μειώνονται εύκολα. Έτσι: Συνιστώ ανεπιφύλακτα να απαλλαγείτε από δεκαδικά κλάσματα σε οποιεσδήποτε παράλογες εκφράσεις (δηλαδή που περιέχουν τουλάχιστον ένα ριζικό σύμβολο). Αυτό θα σας εξοικονομήσει πολύ χρόνο και νεύρα στο μέλλον.

Αλλά αυτό ήταν μια λυρική παρέκβαση. Ας εξετάσουμε τώρα μια πιο γενική περίπτωση - όταν ο ριζικός εκθέτης περιέχει έναν αυθαίρετο αριθμό $n$, και όχι μόνο τον "κλασικό" δύο.

Η περίπτωση ενός αυθαίρετου δείκτη

Λοιπόν, τακτοποιήσαμε τις τετραγωνικές ρίζες. Τι να κάνουμε με τα κυβικά; Ή ακόμα και με ρίζες αυθαίρετου βαθμού $n$; Ναι, όλα είναι ίδια. Ο κανόνας παραμένει ο ίδιος:

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ρίζες βαθμού $n$, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τις ριζικές εκφράσεις τους και μετά να γράψουμε το αποτέλεσμα κάτω από μία ρίζα.

Γενικά, τίποτα περίπλοκο. Εκτός από το ότι το ποσό των υπολογισμών μπορεί να είναι μεγαλύτερο. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παραδείγματα. Υπολογισμός προϊόντων:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(στοίχιση)\]

Και πάλι προσοχή στη δεύτερη έκφραση. Πολλαπλασιάζουμε κυβικές ρίζες, απαλλαγούμε δεκαδικόςκαι ως αποτέλεσμα παίρνουμε το γινόμενο των αριθμών 625 και 25 στον παρονομαστή μεγάλος αριθμός- Προσωπικά, δεν μπορώ να υπολογίσω αμέσως με τι ισούται.

Έτσι, απλώς απομονώσαμε τον ακριβή κύβο στον αριθμητή και στον παρονομαστή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήσαμε μία από τις βασικές ιδιότητες (ή, αν προτιμάτε, ορισμό) της ρίζας $n$th:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\σωστά|. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέτοιες «μηχανουργίες» μπορούν να σας εξοικονομήσουν πολύ χρόνο στις εξετάσεις ή δοκιμαστική εργασία, θυμηθείτε λοιπόν:

Μην βιαστείτε να πολλαπλασιάσετε αριθμούς χρησιμοποιώντας ριζικές εκφράσεις. Πρώτα, ελέγξτε: τι γίνεται αν ο ακριβής βαθμός οποιασδήποτε έκφρασης είναι "κρυπτογραφημένος" εκεί;

Παρά το προφανές αυτής της παρατήρησης, οφείλω να ομολογήσω ότι οι περισσότεροι απροετοίμαστοι μαθητές δεν βλέπουν τους ακριβείς βαθμούς στο εύρος κενού σημείου. Αντίθετα, πολλαπλασιάζουν τα πάντα και μετά αναρωτιούνται: γιατί πήραν τόσο βάναυσους αριθμούς;

Ωστόσο, όλα αυτά είναι κουβέντα μωρού σε σύγκριση με αυτά που θα μελετήσουμε τώρα.

Πολλαπλασιασμός ριζών με διαφορετικούς εκθέτες

Εντάξει, τώρα μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τις ρίζες με τους ίδιους δείκτες. Τι γίνεται αν οι δείκτες είναι διαφορετικοί; Ας πούμε, πώς να πολλαπλασιάσετε ένα συνηθισμένο $\sqrt(2)$ με κάποια χάλια όπως $\sqrt(23)$; Είναι ακόμη δυνατό να γίνει αυτό;

Ναι φυσικά μπορείς. Όλα γίνονται σύμφωνα με αυτόν τον τύπο:

Κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των ριζών. Για να πολλαπλασιάσετε το $\sqrt[n](a)$ με το $\sqrt[p](b)$, αρκεί να εκτελέσετε τον ακόλουθο μετασχηματισμό:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ωστόσο, αυτός ο τύπος λειτουργεί μόνο εάν Οι ριζικές εκφράσεις είναι μη αρνητικές. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο στο οποίο θα επανέλθουμε λίγο αργότερα.

Προς το παρόν, ας δούμε μερικά παραδείγματα:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(στοίχιση)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο. Τώρα ας καταλάβουμε από πού προήλθε η απαίτηση μη αρνητικότητας και τι θα συμβεί αν την παραβιάσουμε.

Γιατί οι ριζοσπαστικές εκφράσεις πρέπει να είναι μη αρνητικές;

Φυσικά, μπορείτε να είστε σαν δάσκαλοι του σχολείου και να αναφέρετε το σχολικό βιβλίο με μια έξυπνη ματιά:

Η απαίτηση της μη αρνητικότητας σχετίζεται με διαφορετικούς ορισμούς ριζών ζυγών και περιττών βαθμών (ανάλογα, οι τομείς ορισμού τους είναι επίσης διαφορετικοί).

Λοιπόν, έγινε πιο ξεκάθαρο; Προσωπικά, όταν διάβασα αυτή τη βλακεία στην 8η δημοτικού, κατάλαβα κάτι σαν το εξής: «Η απαίτηση της μη αρνητικότητας συνδέεται με το *#&^@(*#@^#)~%» - εν ολίγοις, το έκανα Δεν καταλαβαίνω τίποτα εκείνη τη στιγμή.

Τώρα λοιπόν θα εξηγήσω τα πάντα με κανονικό τρόπο.

Αρχικά, ας μάθουμε από πού προέρχεται ο παραπάνω τύπος πολλαπλασιασμού. Για να το κάνετε αυτό, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω μια σημαντική ιδιότητα της ρίζας:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Με άλλα λόγια, μπορούμε εύκολα να αυξήσουμε τη ριζική έκφραση σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη $k$ - σε αυτήν την περίπτωση, ο εκθέτης της ρίζας θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με την ίδια ισχύ. Επομένως, μπορούμε εύκολα να μειώσουμε τυχόν ρίζες σε γενικός δείκτης, μετά πολλαπλασιάστε. Από εδώ προέρχεται ο τύπος πολλαπλασιασμού:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Αλλά υπάρχει ένα πρόβλημα που περιορίζει δραστικά τη χρήση όλων αυτών των τύπων. Σκεφτείτε αυτόν τον αριθμό:

Σύμφωνα με τον τύπο που μόλις δόθηκε, μπορούμε να προσθέσουμε οποιοδήποτε βαθμό. Ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Αφαιρέσαμε το μείον ακριβώς γιατί το τετράγωνο καίει το μείον (όπως κάθε άλλο ζυγό βαθμό). Τώρα ας εκτελέσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό: «μειώστε» τα δύο στον εκθέτη και την ισχύ. Μετά από όλα, οποιαδήποτε ισότητα μπορεί να διαβαστεί τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ένα); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(στοίχιση)\]

Αλλά μετά αποδεικνύεται ότι είναι κάποιο είδος χάλια:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Αυτό δεν μπορεί να συμβεί, γιατί $\sqrt(-5) \lt 0$ και $\sqrt(5) \gt 0$. Αυτό σημαίνει ότι για ζυγές δυνάμεις και αρνητικούς αριθμούς ο τύπος μας δεν λειτουργεί πλέον. Μετά από αυτό έχουμε δύο επιλογές:

1. Να χτυπήσει τον τοίχο και να δηλώσει ότι τα μαθηματικά είναι μια ηλίθια επιστήμη, όπου «υπάρχουν κάποιοι κανόνες, αλλά αυτοί είναι ανακριβείς».
2. Εισαγάγετε πρόσθετους περιορισμούς βάσει των οποίων η φόρμουλα θα λειτουργεί 100%.

Στην πρώτη επιλογή, θα πρέπει να πιάνουμε συνεχώς περιπτώσεις "μη λειτουργικές" - είναι δύσκολο, χρονοβόρο και γενικά ουφ. Ως εκ τούτου, οι μαθηματικοί προτίμησαν τη δεύτερη επιλογή.

Αλλά μην ανησυχείτε! Στην πράξη, αυτός ο περιορισμός δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο τους υπολογισμούς, επειδή όλα τα προβλήματα που περιγράφονται αφορούν μόνο ρίζες περιττού βαθμού και τα μείον μπορούν να ληφθούν από αυτά.

Επομένως, ας διατυπώσουμε έναν ακόμη κανόνα, ο οποίος ισχύει γενικά για όλες τις ενέργειες με ρίζες:

Πριν πολλαπλασιάσετε τις ρίζες, βεβαιωθείτε ότι οι ριζικές εκφράσεις είναι μη αρνητικές.

Παράδειγμα. Στον αριθμό $\sqrt(-5)$ μπορείτε να αφαιρέσετε το μείον κάτω από το σύμβολο της ρίζας - τότε όλα θα είναι κανονικά:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Right arrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(στοίχιση)\]

Νιώθεις τη διαφορά; Εάν αφήσετε ένα μείον κάτω από τη ρίζα, τότε όταν η ριζική έκφραση τετραγωνιστεί, θα εξαφανιστεί και θα αρχίσουν τα χάλια. Και αν πρώτα αφαιρέσετε το μείον, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε/αφαιρέσετε μέχρι να γίνετε μπλε στο πρόσωπο - ο αριθμός θα παραμείνει αρνητικός.

Έτσι, ο πιο σωστός και πιο αξιόπιστος τρόπος πολλαπλασιασμού των ριζών είναι ο εξής:

1. Αφαιρέστε όλα τα αρνητικά από τις ρίζες. Τα μειονεκτήματα υπάρχουν μόνο σε ρίζες περιττής πολλαπλότητας - μπορούν να τοποθετηθούν μπροστά από τη ρίζα και, εάν είναι απαραίτητο, να μειωθούν (για παράδειγμα, εάν υπάρχουν δύο από αυτά τα μείον).
2. Εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω στο σημερινό μάθημα. Αν οι δείκτες των ριζών είναι ίδιοι, απλώς πολλαπλασιάζουμε τις ριζικές εκφράσεις. Και αν είναι διαφορετικά, χρησιμοποιούμε τον κακό τύπο \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Απολαύστε το αποτέλεσμα και καλούς βαθμούς.:)

Καλά; Να ασκηθούμε;

Παράδειγμα 1: Απλοποιήστε την έκφραση:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η απλούστερη επιλογή: οι ρίζες είναι ίδιες και περίεργες, το μόνο πρόβλημα είναι ότι ο δεύτερος παράγοντας είναι αρνητικός. Αφαιρούμε αυτό το μείον από την εικόνα, μετά το οποίο υπολογίζονται εύκολα όλα.

Παράδειγμα 2: Απλοποιήστε την έκφραση:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \δεξιά))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ευθυγραμμίζω)\]

Εδώ, πολλοί θα μπερδεύονταν από το γεγονός ότι η έξοδος αποδείχθηκε ότι ήταν ένας παράλογος αριθμός. Ναι, συμβαίνει: δεν μπορέσαμε να απαλλαγούμε εντελώς από τη ρίζα, αλλά τουλάχιστον απλοποιήσαμε σημαντικά την έκφραση.

Παράδειγμα 3: Απλοποιήστε την έκφραση:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \δεξιά))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(στοίχιση)\]

Θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας σε αυτό το έργο. Υπάρχουν δύο σημεία εδώ:

1. Η ρίζα δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός ή δύναμη, αλλά η μεταβλητή $a$. Με την πρώτη ματιά, αυτό είναι λίγο ασυνήθιστο, αλλά στην πραγματικότητα, κατά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, τις περισσότερες φορές πρέπει να αντιμετωπίσετε μεταβλητές.
2. Τελικά καταφέραμε να «μειώσουμε» τον ριζικό δείκτη και το βαθμό στη ριζοσπαστική έκφραση. Αυτό συμβαίνει αρκετά συχνά. Και αυτό σημαίνει ότι ήταν δυνατό να απλοποιηθούν σημαντικά οι υπολογισμοί εάν δεν χρησιμοποιούσατε τον βασικό τύπο.

Για παράδειγμα, θα μπορούσατε να κάνετε αυτό:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \δεξιά))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(στοίχιση)\]

Στην πραγματικότητα, όλοι οι μετασχηματισμοί έγιναν μόνο με τη δεύτερη ρίζα. Και αν δεν περιγράψετε λεπτομερώς όλα τα ενδιάμεσα βήματα, τότε στο τέλος το ποσό των υπολογισμών θα μειωθεί σημαντικά.

Στην πραγματικότητα, έχουμε ήδη αντιμετωπίσει μια παρόμοια εργασία παραπάνω όταν λύσαμε το παράδειγμα $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Τώρα μπορεί να γραφτεί πολύ πιο απλά:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, έχουμε τακτοποιήσει τον πολλαπλασιασμό των ριζών. Τώρα ας εξετάσουμε την αντίστροφη λειτουργία: τι να κάνετε όταν υπάρχει ένα προϊόν κάτω από τη ρίζα;