Πώς να λύσετε κλάσματα. Επίλυση κλασμάτων

Βολικό και απλό ηλεκτρονική αριθμομηχανήκλάσματα με λεπτομερείς λύσειςΜπορεί:

• Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλάσματα σε απευθείας σύνδεση,
• Λαμβάνω έτοιμη λύσηκλάσματα με μια εικόνα και είναι βολικό να τη μεταφέρετε.

Το αποτέλεσμα της επίλυσης κλασμάτων θα είναι εδώ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σήμα κλάσματος "/" + - * :
_ease Clear
Η ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή κλασμάτων έχει γρήγορη εισαγωγή. Για να λύσετε κλάσματα, για παράδειγμα, απλά γράψτε 1/2+2/7 στην αριθμομηχανή και πατήστε το κουμπί " Λύστε κλάσματα". Η αριθμομηχανή θα σας γράψει λεπτομερής λύσηκλάσματακαι θα εκδώσει μια εύκολη στην αντιγραφή εικόνα.

Σημάδια που χρησιμοποιούνται για τη γραφή σε μια αριθμομηχανή

Χαρακτηριστικά της ηλεκτρονικής αριθμομηχανής κλασμάτων

Εάν χρειάζεται να λύσετε αρνητικά κλάσματα, απλώς χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες του μείον. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση αρνητικών κλασμάτων, το μείον με το πλην δίνει συν. Δηλαδή, το γινόμενο και η διαίρεση των αρνητικών κλασμάτων είναι ίσο με το γινόμενο και τη διαίρεση των ίδιων θετικών. Εάν ένα κλάσμα είναι αρνητικό κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση, τότε απλώς αφαιρέστε το μείον και μετά προσθέστε το στην απάντηση. Όταν προσθέτετε αρνητικά κλάσματα, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο σαν να προσθέτατε τα ίδια θετικά κλάσματα. Αν προσθέσετε ένα αρνητικό κλάσμα, τότε αυτό είναι το ίδιο με το να αφαιρέσετε το ίδιο θετικό.
Κατά την αφαίρεση των αρνητικών κλασμάτων, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο σαν να είχαν ανταλλαγεί και να γίνουν θετικά. Δηλαδή, το μείον προς το πλην σε αυτή την περίπτωση δίνει ένα συν, αλλά η αναδιάταξη των όρων δεν αλλάζει το άθροισμα. Χρησιμοποιούμε τους ίδιους κανόνες όταν αφαιρούμε κλάσματα, ένα από τα οποία είναι αρνητικό.

Για να λύσετε μικτά κλάσματα (κλάσματα στα οποία είναι απομονωμένο ολόκληρο το τμήμα), απλώς προσαρμόστε ολόκληρο το μέρος στο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή και προσθέστε τον στον αριθμητή.

Εάν πρέπει να λύσετε 3 ή περισσότερα κλάσματα διαδικτυακά, θα πρέπει να τα λύσετε ένα προς ένα. Πρώτα, μετρήστε τα 2 πρώτα κλάσματα, μετά λύστε το επόμενο κλάσμα με την απάντηση που θα λάβετε και ούτω καθεξής. Εκτελέστε τις πράξεις μία προς μία, 2 κλάσματα τη φορά και τελικά θα πάρετε τη σωστή απάντηση.

Μια από τις σημαντικότερες επιστήμες, η εφαρμογή της οποίας μπορεί να παρατηρηθεί σε κλάδους όπως η χημεία, η φυσική, ακόμη και η βιολογία, είναι τα μαθηματικά. Η μελέτη αυτής της επιστήμης σάς επιτρέπει να αναπτύξετε ορισμένες ψυχικές ιδιότητες και να βελτιώσετε την ικανότητά σας να συγκεντρώνεστε. Ένα από τα θέματα που αξίζουν ιδιαίτερης προσοχής στο μάθημα των Μαθηματικών είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση κλασμάτων. Πολλοί μαθητές δυσκολεύονται να μελετήσουν. Ίσως το άρθρο μας θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα αυτό το θέμα.

Πώς να αφαιρέσετε τα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι ίδιοι

Τα κλάσματα είναι οι ίδιοι αριθμοί με τους οποίους μπορείτε να εκτελέσετε διάφορες πράξεις. Η διαφορά τους από τους ακέραιους αριθμούς έγκειται στην παρουσία ενός παρονομαστή. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο, όταν εκτελείτε πράξεις με κλάσματα, πρέπει να μελετήσετε ορισμένα από τα χαρακτηριστικά και τους κανόνες τους. Πλέον απλή υπόθεσηείναι η αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων των οποίων οι παρονομαστές παριστάνονται ως ο ίδιος αριθμός. Η εκτέλεση αυτής της ενέργειας δεν θα είναι δύσκολη εάν γνωρίζετε έναν απλό κανόνα:

• Για να αφαιρέσουμε ένα δευτερόλεπτο από ένα κλάσμα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον αριθμητή του αφαιρούμενου κλάσματος από τον αριθμητή του κλάσματος που ανάγεται. Γράφουμε αυτόν τον αριθμό στον αριθμητή της διαφοράς και αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο: k/m - b/m = (k-b)/m.

Παραδείγματα αφαίρεσης κλασμάτων των οποίων οι παρονομαστές είναι ίδιοι

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Από τον αριθμητή του κλάσματος "7" αφαιρούμε τον αριθμητή του κλάσματος "3" που πρέπει να αφαιρεθεί, παίρνουμε "4". Γράφουμε αυτόν τον αριθμό στον αριθμητή της απάντησης και στον παρονομαστή βάζουμε τον ίδιο αριθμό που ήταν στους παρονομαστές του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος - "19".

Η παρακάτω εικόνα δείχνει πολλά ακόμη παρόμοια παραδείγματα.

Ας εξετάσουμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα όπου τα κλάσματα με παρονομαστές αφαιρούνται:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Από τον αριθμητή του κλάσματος "29" που μειώνεται αφαιρώντας με τη σειρά τους τους αριθμητές όλων των επόμενων κλασμάτων - "3", "8", "2", "7". Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το αποτέλεσμα "9", το οποίο σημειώνουμε στον αριθμητή της απάντησης και στον παρονομαστή σημειώνουμε τον αριθμό που βρίσκεται στους παρονομαστές όλων αυτών των κλασμάτων - "47".

Προσθήκη κλασμάτων που έχουν τον ίδιο παρονομαστή

Η πρόσθεση και η αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων ακολουθεί την ίδια αρχή.

• Για να προσθέσετε κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι ίδιοι, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές. Ο αριθμός που προκύπτει είναι ο αριθμητής του αθροίσματος και ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος: k/m + b/m = (k + b)/m.

Ας δούμε πώς φαίνεται αυτό χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Στον αριθμητή του πρώτου όρου του κλάσματος - "1" - προσθέστε τον αριθμητή του δεύτερου όρου του κλάσματος - "2". Το αποτέλεσμα - "3" - γράφεται στον αριθμητή του αθροίσματος και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος με αυτόν που υπάρχει στα κλάσματα - "4".

Κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές και η αφαίρεση τους

Έχουμε ήδη εξετάσει την πράξη με κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Όπως βλέπουμε, γνωρίζοντας απλούς κανόνες, η επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων είναι αρκετά εύκολη. Τι γίνεται όμως αν χρειαστεί να εκτελέσετε μια πράξη με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές; Πολλοί μαθητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης μπερδεύονται με τέτοια παραδείγματα. Αλλά και εδώ, αν γνωρίζετε την αρχή της λύσης, τα παραδείγματα δεν θα σας δυσκολεύουν πλέον. Υπάρχει επίσης ένας κανόνας εδώ, χωρίς τον οποίο η επίλυση τέτοιων κλασμάτων είναι απλά αδύνατη.

Για να αφαιρεθούν κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να μειωθούν στον ίδιο μικρότερο παρονομαστή.



Θα μιλήσουμε λεπτομερέστερα για το πώς να το κάνουμε αυτό.

Ιδιότητα κλάσματος

Για να φέρετε πολλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος στη λύση: αφού διαιρέσετε ή πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, παίρνετε ένα κλάσμα ίσο με το δεδομένο.

Έτσι, για παράδειγμα, το κλάσμα 2/3 μπορεί να έχει παρονομαστές όπως «6», «9», «12» κ.λπ., δηλαδή μπορεί να έχει τη μορφή οποιουδήποτε αριθμού που είναι πολλαπλάσιο του «3». Αφού πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το "2", παίρνουμε το κλάσμα 4/6. Αφού πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με το "3", παίρνουμε 6/9 και αν κάνουμε παρόμοια πράξη με τον αριθμό "4", παίρνουμε 8/12. Μια ισότητα μπορεί να γραφτεί ως εξής:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Πώς να μετατρέψετε πολλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή

Ας δούμε πώς να μειώσουμε πολλαπλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα, ας πάρουμε τα κλάσματα που φαίνονται στην παρακάτω εικόνα. Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε ποιος αριθμός μπορεί να γίνει παρονομαστής για όλους. Για να διευκολύνουμε τα πράγματα, ας παραγοντοποιήσουμε τους υπάρχοντες παρονομαστές.

Ο παρονομαστής του κλάσματος 1/2 και του κλάσματος 2/3 δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί. Ο παρονομαστής 7/9 έχει δύο παράγοντες 7/9 = 7/(3 x 3), τον παρονομαστή του κλάσματος 5/6 = 5/(2 x 3). Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε ποιοι παράγοντες θα είναι οι μικρότεροι και για τα τέσσερα αυτά κλάσματα. Εφόσον το πρώτο κλάσμα έχει τον αριθμό "2" στον παρονομαστή, σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει σε όλους τους παρονομαστές στο κλάσμα 7/9 υπάρχουν δύο τριάδες, που σημαίνει ότι και οι δύο πρέπει να υπάρχουν στον παρονομαστή. Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, προσδιορίζουμε ότι ο παρονομαστής αποτελείται από τρεις παράγοντες: 3, 2, 3 και ισούται με 3 x 2 x 3 = 18.



Ας εξετάσουμε το πρώτο κλάσμα - 1/2. Υπάρχει ένα "2" στον παρονομαστή του, αλλά δεν υπάρχει ένα μόνο "3" ψηφίο, αλλά θα πρέπει να είναι δύο. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με δύο τριπλάσια, αλλά, σύμφωνα με την ιδιότητα ενός κλάσματος, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με δύο τριπλάσια:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Κάνουμε τις ίδιες πράξεις με τα υπόλοιπα κλάσματα.

• 2/3 - ένα τρία και ένα δύο λείπουν στον παρονομαστή:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ή 7/(3 x 3) - ο παρονομαστής λείπει δύο:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ή 5/(2 x 3) - στον παρονομαστή λείπει ένα τρία:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Όλα μαζί μοιάζει με αυτό:



Πώς να αφαιρέσετε και να προσθέσετε κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να αναχθούν στον ίδιο παρονομαστή και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες για την αφαίρεση κλασμάτων που έχουν τον ίδιο παρονομαστή, που έχουν ήδη συζητηθεί.

Ας το δούμε ως παράδειγμα: 18/4 - 15/3.

Βρίσκοντας το πολλαπλάσιο των αριθμών 18 και 15:

• Ο αριθμός 18 αποτελείται από 3 x 2 x 3.
• Ο αριθμός 15 αποτελείται από 5 x 3.
• Το κοινό πολλαπλάσιο θα είναι οι ακόλουθοι παράγοντες: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Αφού βρεθεί ο παρονομαστής, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο παράγοντας που θα είναι διαφορετικός για κάθε κλάσμα, δηλαδή ο αριθμός με τον οποίο θα χρειαστεί να πολλαπλασιαστεί όχι μόνο ο παρονομαστής, αλλά και ο αριθμητής. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε τον αριθμό που βρήκαμε (το κοινό πολλαπλάσιο) με τον παρονομαστή του κλάσματος για το οποίο πρέπει να καθοριστούν πρόσθετοι παράγοντες.

• 90 διαιρούμενο με 15. Ο αριθμός "6" που προκύπτει θα είναι πολλαπλασιαστής για το 3/15.
• 90 διαιρούμενο με 18. Ο αριθμός "5" που προκύπτει θα είναι πολλαπλασιαστής για το 4/18.

Το επόμενο στάδιο της επίλυσής μας είναι να μειώσουμε κάθε κλάσμα στον παρονομαστή "90".

Έχουμε ήδη μιλήσει για το πώς γίνεται αυτό. Ας δούμε πώς γράφεται αυτό σε ένα παράδειγμα:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Εάν τα κλάσματα έχουν μικρούς αριθμούς, τότε μπορείτε να προσδιορίσετε τον κοινό παρονομαστή, όπως στο παράδειγμα που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.



Το ίδιο ισχύει και για όσους έχουν διαφορετικούς παρονομαστές.

Αφαίρεση και έχοντας ακέραια μέρη

Έχουμε ήδη συζητήσει λεπτομερώς την αφαίρεση των κλασμάτων και την πρόσθεσή τους. Αλλά πώς να αφαιρέσετε εάν ένα κλάσμα έχει ένα ακέραιο μέρος; Και πάλι, ας χρησιμοποιήσουμε μερικούς κανόνες:

• Να μετατρέψετε όλα τα κλάσματα που έχουν ακέραιο μέρος σε ακατάλληλα. Ομιλία με απλά λόγια, αφαιρέστε ολόκληρο το τμήμα. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον αριθμό του ακέραιου μέρους με τον παρονομαστή του κλάσματος και προσθέστε το γινόμενο που προκύπτει στον αριθμητή. Ο αριθμός που βγαίνει μετά από αυτές τις ενέργειες είναι ο αριθμητής ακατάλληλο κλάσμα. Ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.
• Εάν τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, θα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο παρονομαστή.
• Εκτελέστε πρόσθεση ή αφαίρεση με τους ίδιους παρονομαστές.
• Όταν λαμβάνετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα.



Υπάρχει ένας άλλος τρόπος με τον οποίο μπορείτε να προσθέσετε και να αφαιρέσετε κλάσματα με ολόκληρα μέρη. Για να γίνει αυτό, οι ενέργειες εκτελούνται χωριστά με ολόκληρα μέρη και οι ενέργειες με κλάσματα χωριστά και τα αποτελέσματα καταγράφονται μαζί.



Το παράδειγμα που δίνεται αποτελείται από κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Στην περίπτωση που οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, πρέπει να φέρουν την ίδια τιμή και στη συνέχεια να εκτελέσετε τις ενέργειες όπως φαίνεται στο παράδειγμα.

Αφαίρεση κλασμάτων από ακέραιους αριθμούς

Ένας άλλος τύπος λειτουργίας με κλάσματα είναι η περίπτωση που ένα κλάσμα πρέπει να αφαιρεθεί από την πρώτη ματιά, ένα τέτοιο παράδειγμα φαίνεται δύσκολο να λυθεί. Ωστόσο, όλα είναι πολύ απλά εδώ. Για να το λύσετε, πρέπει να μετατρέψετε τον ακέραιο σε κλάσμα και με τον ίδιο παρονομαστή που βρίσκεται στο αφαιρούμενο κλάσμα. Στη συνέχεια, εκτελούμε μια αφαίρεση παρόμοια με την αφαίρεση με ίδιους παρονομαστές. Σε ένα παράδειγμα μοιάζει με αυτό:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Η αφαίρεση των κλασμάτων (βαθμός 6) που παρουσιάζεται σε αυτό το άρθρο είναι η βάση για την επίλυση περισσότερων σύνθετα παραδείγματα, τα οποία θα συζητηθούν σε επόμενες τάξεις. Η γνώση αυτού του θέματος χρησιμοποιείται στη συνέχεια για την επίλυση συναρτήσεων, παραγώγων και ούτω καθεξής. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε και να κατανοήσουμε τις πράξεις με τα κλάσματα που συζητήθηκαν παραπάνω.

Ηλεκτρονική αριθμομηχανή.
Αξιολόγηση μιας έκφρασης με αριθμητικά κλάσματα.
Πολλαπλασιασμός, αφαίρεση, διαίρεση, πρόσθεση και μείωση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Με αυτήν την ηλεκτρονική αριθμομηχανή μπορείτε πολλαπλασιασμός, αφαίρεση, διαίρεση, προσθήκη και μείωση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Το πρόγραμμα λειτουργεί με κανονικά, ακατάλληλα και μικτά κλάσματα αριθμών.

Αυτό το πρόγραμμα (σε απευθείας σύνδεση αριθμομηχανή) μπορεί:
- να εκτελέσει πρόσθεση μικτών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
- εκτελεί αφαίρεση μικτών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
- διαιρέστε μικτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές
- πολλαπλασιάστε μικτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές
- ανάγουν τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή
- μετατροπή μικτών κλασμάτων σε ακατάλληλα κλάσματα
- μείωση κλασμάτων

Μπορείτε επίσης να εισαγάγετε όχι μια έκφραση με κλάσματα, αλλά ένα μεμονωμένο κλάσμα.
Σε αυτή την περίπτωση, το κλάσμα θα μειωθεί και ολόκληρο το τμήμα θα διαχωριστεί από το αποτέλεσμα.

Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή για τον υπολογισμό παραστάσεων με αριθμητικά κλάσματα δεν δίνει απλώς την απάντηση στο πρόβλημα, παρέχει μια λεπτομερή λύση με επεξηγήσεις, π.χ. εμφανίζει τη διαδικασία εύρεσης λύσης.

Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου σε σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης κατά την προετοιμασία δοκιμέςκαι εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να ολοκληρώσετε την εργασία σας στα μαθηματικά ή την άλγεβρα όσο το δυνατόν γρηγορότερα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.

Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και εκπαίδευση των μικρότερων αδελφών ή αδελφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα της επίλυσης προβλημάτων.

Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους κανόνες για την εισαγωγή παραστάσεων με αριθμητικά κλάσματα, σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτούς.

Κανόνες εισαγωγής παραστάσεων με αριθμητικά κλάσματα

Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος.

Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός.

Όταν εισάγετε ένα αριθμητικό κλάσμα, ο αριθμητής διαχωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης: /
Είσοδος: -2/3 + 7/5
Αποτέλεσμα: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

Ολόκληρο το τμήμα χωρίζεται από το κλάσμα με το σύμβολο του συμπλεκτικού: &
Είσοδος: -1&2/3 * 5&8/3
Αποτέλεσμα: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

Η διαίρεση των κλασμάτων εισάγεται από το σύμβολο του παχέος εντέρου: :
Είσοδος: -9&37/12: -3&5/14
Αποτέλεσμα: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Να θυμάστε ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις όταν εισάγετε εκφράσεις με αριθμητικά κλάσματα.
Εισαγωγή: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Αποτέλεσμα: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Ανακαλύφθηκε ότι ορισμένα σενάρια που είναι απαραίτητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.

Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά.
Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...

Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Λίγη θεωρία.

Συνήθη κλάσματα. Διαίρεση με υπόλοιπο

Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 4, δηλ. το υπόλοιπο τμήμα παραμένει. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι ολοκληρώνεται διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).

Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης όταν διαιρείται με ένα υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός είναι ο αριθμός 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, το οποίο δεν είναι σε συνηθισμένη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από διαιρέτη.

Η διαίρεση μπορεί να ελεγχθεί με πολλαπλασιασμό. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.

Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a = b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το ατελές πηλίκο, r το υπόλοιπο.

Το πηλίκο των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.

Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".

Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφεί ως κλάσμα \(\frac(m)(n)\), όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες:

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n)\), πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα σε n ίσα μέρη (μερίδια) και να πάρετε m τέτοια μέρη.

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n)\), πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.

Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Για να βρείτε ένα σύνολο από το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μειώνοντας ένα κλάσμα.

Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε αυτή η ενέργεια ονομάζεται αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. Μικτά νούμερα

Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(3)(4)\) σημαίνει τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά από τα προβλήματα της προηγούμενης παραγράφου, τα κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν για να αναπαραστήσουν μέρη ενός συνόλου. Η κοινή λογική υπαγορεύει ότι το μέρος πρέπει να είναι πάντα μικρότερο από το σύνολο, αλλά τι γίνεται με κλάσματα όπως \(\frac(5)(5)\) ή \(\frac(8)(5)\); Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς λέγονται τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, λέγονται σωστά κλάσματα.

Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε κοινό κλάσμα, σωστό και ακατάλληλο, μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος «όχι κατάλληλο κλάσμα"δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι ο αριθμητής αυτού του κλάσματος είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.

Για παράδειγμα:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 είναι το ακέραιο μέρος και \(\frac(2)(3) \) είναι το κλασματικό μέρος.

Αν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b)\) διαιρείται με φυσικός αριθμός n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b)\) δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει επίσης όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε με την πρώτη ματιά αν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.

Ενέργειες με κλάσματα. Προσθήκη κλασμάτων.

Μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις με κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Είναι εύκολο να προσθέσετε κλάσματα με παρονομαστές παρόμοιους. Ας βρούμε, για παράδειγμα, το άθροισμα των \(\frac(2)(7)\) και \(\frac(3)(7)\). Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Εάν χρειάζεται να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.

Προσθήκη μικτών κλασμάτων

Οι συμβολισμοί όπως \(2\frac(2)(3)\) καλούνται μικτά κλάσματα. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός 2 ολόκληρο μέροςμικτό κλάσμα, και ο αριθμός \(\frac(2)(3)\) είναι δικός του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση \(2\frac(2)(3)\) διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".

Όταν διαιρείτε τον αριθμό 8 με τον αριθμό 3, μπορείτε να λάβετε δύο απαντήσεις: \(\frac(8)(3)\) και \(2\frac(2)(3)\). Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(8)(3)\) αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα \(2\frac(2)(3)\). Σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι από ακατάλληλο κλάσμα ανέδειξε όλο το μέρος.

Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)

Αφαίρεση κλασματικοί αριθμοίΤο , όπως και οι φυσικοί αριθμοί, προσδιορίζεται με βάση τη δράση της πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) αφού \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, με μικτό κλάσμα, και επίσης πολλαπλασιάζουμε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1 και ένα μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) με τη μείωση του κλάσματος και την απομόνωση ολόκληρου του τμήματος του ακατάλληλου κλάσματος.

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνδυαστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.

Διαίρεση κλασμάτων

Ας πάρουμε το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) και ας το "αναποδογυρίσουμε", ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα \(\frac(3)(2)\). Αυτό το κλάσμα λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗκλάσματα \(\frac(2)(3)\).

Αν τώρα «αντιστρέψουμε» το κλάσμα \(\frac(3)(2)\), θα πάρουμε το αρχικό κλάσμα \(\frac(2)(3)\). Επομένως, κλάσματα όπως \(\frac(2)(3)\) και \(\frac(3)(2)\) ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac(6)(5) \) και \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) και \(\frac (18 )(7)\).

Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: \(\frac(a)(b) \) και \(\frac(b)(a) \)

Είναι ξεκάθαρο ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι ίσο με 1. Για παράδειγμα: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, μπορείτε να μειώσετε τη διαίρεση των κλασμάτων σε πολλαπλασιασμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα είναι:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Κλάσμα- μια μορφή αναπαράστασης ενός αριθμού στα μαθηματικά. Η γραμμή κλάσματος υποδηλώνει την πράξη διαίρεσης. Αριθμητήςκλάσμα ονομάζεται μέρισμα, και παρονομαστής- διαχωριστικό. Για παράδειγμα, σε ένα κλάσμα ο αριθμητής είναι 5 και ο παρονομαστής είναι 7.

ΣωστόςΛέγεται ένα κλάσμα στο οποίο ο συντελεστής του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από τον συντελεστή του παρονομαστή. Εάν ένα κλάσμα είναι σωστό, τότε ο συντελεστής της τιμής του είναι πάντα μικρότερος από 1. Όλα τα άλλα κλάσματα είναι λανθασμένος.

Το κλάσμα λέγεται μικτός, αν γράφεται ως ακέραιος και κλάσμα. Αυτό είναι το ίδιο με το άθροισμα αυτού του αριθμού και του κλάσματος:

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει, δηλαδή, για παράδειγμα,

Αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή

Για να φέρετε δύο κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, χρειάζεστε:

1. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου
2. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου
3. Αντικαταστήστε τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων με το γινόμενο τους

Πράξεις με κλάσματα

Πρόσθεση.Για να προσθέσετε δύο κλάσματα χρειάζεστε

1. Προσθέστε τους νέους αριθμητές και των δύο κλασμάτων και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο

Παράδειγμα:

Αφαίρεση.Για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα άλλο, χρειάζεστε

1. Μείωση των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή
2. Αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο

Παράδειγμα:

Πολλαπλασιασμός.Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους:

Διαίρεση.Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου:

Κλάσμα- ένας αριθμός που αποτελείται από έναν ακέραιο αριθμό κλασμάτων μιας μονάδας και παριστάνεται με τη μορφή: α/β

Αριθμητής του κλάσματος (α)- ο αριθμός που βρίσκεται πάνω από τη γραμμή κλάσματος και δείχνει τον αριθμό των μετοχών στις οποίες διαιρέθηκε η μονάδα.

Παρονομαστής κλάσματος (β)- έναν αριθμό που βρίσκεται κάτω από τη γραμμή κλάσματος και δείχνει σε πόσα μέρη χωρίζεται η μονάδα.

2. Αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή

3. Αριθμητικές πράξεις σε συνηθισμένα κλάσματα

3.1. Πρόσθεση συνηθισμένων κλασμάτων

3.2. Αφαίρεση κλασμάτων

3.3. Πολλαπλασιασμός κοινών κλασμάτων

3.4. Διαίρεση κλασμάτων

4. Αμοιβαίοι αριθμοί

5. Δεκαδικά

6. Αριθμητικές πράξεις σε δεκαδικούς αριθμούς

6.1. Προσθήκη δεκαδικών αριθμών

6.2. Αφαίρεση δεκαδικών

6.3. Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών

6.4. Δεκαδική διαίρεση

#1. Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, παίρνετε ένα κλάσμα ίσο με το δεδομένο.

3/7=3*3/7*3=9/21, δηλαδή 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - έτσι μοιάζει η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Με άλλα λόγια, παίρνουμε ένα κλάσμα ίσο με το δεδομένο πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό.

Αν ad=π.χ, τότε δύο κλάσματα a/b =c Τα /d θεωρούνται ίσα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα 3/5 και 9/15 θα είναι ίσα, αφού 3*15=5*9, δηλαδή 45=45

Μείωση κλάσματοςείναι η διαδικασία αντικατάστασης ενός κλάσματος στο οποίο το νέο κλάσμα είναι ίσο με το αρχικό, αλλά με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή.

Συνηθίζεται η μείωση των κλασμάτων με βάση τη βασική ιδιότητα του κλάσματος.

Για παράδειγμα, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με τον αριθμό 3, με το 5 και με το 15).

Μη αναγώγιμο κλάσμαείναι ένα κλάσμα της μορφής 3/4 ​ ​ , όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι αμοιβαίοι πρώτοι αριθμοί. Ο κύριος σκοπός της μείωσης ενός κλάσματος είναι να γίνει το κλάσμα μη αναγώγιμο.

2. Αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή

Για να φέρετε δύο κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, πρέπει:

1) επεκτείνετε τον παρονομαστή κάθε κλάσματος σε πρωταρχικούς παράγοντες;

2) πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με αυτούς που λείπουν

παράγοντες από την επέκταση του δεύτερου παρονομαστή.

3) πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με τους συντελεστές που λείπουν από την πρώτη επέκταση.

Παραδείγματα: Μείωση κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

Ας συνυπολογίσουμε τους παρονομαστές σε απλούς παράγοντες: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τον παράγοντα 5 που λείπει από τη δεύτερη επέκταση.

αριθμητής και παρονομαστής του κλάσματος στους συντελεστές 3 και 2 που λείπουν από την πρώτη επέκταση.

= , 90 – κοινός παρονομαστής των κλασμάτων.

3. Αριθμητικές πράξεις σε συνηθισμένα κλάσματα

3.1. Πρόσθεση συνηθισμένων κλασμάτων

α) Πότε ίδιοι παρονομαστέςΟ αριθμητής του πρώτου κλάσματος προστίθεται στον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος, αφήνοντας τον παρονομαστή τον ίδιο. Όπως μπορείτε να δείτε στο παράδειγμα:

α/β+γ/β=(α+γ)/β ​ ​ ;

β) Για διαφορετικούς παρονομαστές, τα κλάσματα αρχικά ανάγεται σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια προστίθενται οι αριθμητές σύμφωνα με τον κανόνα α):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Αφαίρεση κλασμάτων

α) Αν οι παρονομαστές είναι ίδιοι, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφήνοντας τον παρονομαστή ίδιο:

α/β-γ/β=(α-γ)/β ​ ​ ;

β) Αν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διαφορετικοί, τότε πρώτα τα κλάσματα φέρονται σε κοινό παρονομαστή και μετά επαναλαμβάνονται οι ενέργειες όπως στο σημείο α).

3.3. Πολλαπλασιασμός κοινών κλασμάτων

Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων υπακούει στον ακόλουθο κανόνα:

a/b*c/d=a*c/b*d,

δηλαδή πολλαπλασιάζουν χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές.

Για παράδειγμα:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Διαίρεση κλασμάτων

Τα κλάσματα χωρίζονται με τον ακόλουθο τρόπο:

a/b:c/d=a*d/b*c,

δηλαδή το κλάσμα α/β πολλαπλασιάζεται με το αντίστροφο κλάσμα του δεδομένου, δηλαδή πολλαπλασιάζεται επί δ/γ.

Παράδειγμα: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Αντίστροφοι αριθμοί

Αν a*b=1,τότε ο αριθμός b είναι αμοιβαίος αριθμόςγια τον αριθμό α.

Παράδειγμα: για τον αριθμό 9 το αντίστροφο είναι 1/9 ​ ​ , από 9*1/9 = 1 , για τον αριθμό 5 - ο αντίστροφος αριθμός 1/5 ​ ​ , επειδή 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Δεκαδικοί

Δεκαδικόςείναι ένα σωστό κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι ίσος με 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Για παράδειγμα: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Με τον ίδιο τρόπο γράφονται και τα λανθασμένα με παρονομαστή 10^nή μεικτούς αριθμούς.

Για παράδειγμα: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό κλάσμα κοινό κλάσμαμε παρονομαστή που είναι διαιρέτης ορισμένης ισχύος του 10.

ένας μετατροπέας, ο οποίος είναι διαιρέτης ορισμένης ισχύος του αριθμού 10.

Παράδειγμα: Το 5 είναι διαιρέτης του 100, άρα είναι κλάσμα 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Αριθμητικές πράξεις σε δεκαδικούς αριθμούς

6.1. Προσθήκη δεκαδικών αριθμών

Για να προσθέσετε δύο δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να τα τακτοποιήσετε έτσι ώστε να υπάρχουν πανομοιότυπα ψηφία το ένα κάτω από το άλλο και ένα κόμμα κάτω από το κόμμα και, στη συνέχεια, να προσθέσετε τα κλάσματα όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί.

6.2. Αφαίρεση δεκαδικών

Εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως η προσθήκη.

6.3. Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών

Κατά τον πολλαπλασιασμό δεκαδικοί αριθμοίΑρκεί να πολλαπλασιάσουμε τους δεδομένους αριθμούς, χωρίς να δίνουμε προσοχή στα κόμματα (όπως οι φυσικοί αριθμοί) και στην απάντηση που προκύπτει, ένα κόμμα στα δεξιά χωρίζει όσα ψηφία υπάρχουν μετά την υποδιαστολή και στους δύο παράγοντες συνολικά.

Ας πολλαπλασιάσουμε το 2,7 επί 1,3. Εχουμε 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Διαχωρίζουμε δύο ψηφία στα δεξιά με κόμμα (ο πρώτος και ο δεύτερος αριθμός έχουν ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Ως αποτέλεσμα παίρνουμε 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Εάν το αποτέλεσμα περιέχει λιγότερα ψηφία από αυτά που πρέπει να διαχωριστούν με κόμμα, τότε τα μηδενικά που λείπουν γράφονται μπροστά, για παράδειγμα:

Για να πολλαπλασιάσετε με 10, 100, 1000, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή 1, 2, 3 ψηφία προς τα δεξιά (εάν είναι απαραίτητο, εκχωρείται στα δεξιά συγκεκριμένο αριθμόμηδενικά).

Για παράδειγμα: 1,47\cdot 10.000 = 14.700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Δεκαδική διαίρεση

Η διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με έναν φυσικό αριθμό. Το κόμμα στο πηλίκο τοποθετείται αφού ολοκληρωθεί η διαίρεση ολόκληρου του μέρους.

Εάν το ακέραιο μέρος του μερίσματος είναι μικρότερο από το διαιρέτη, τότε η απάντηση είναι μηδέν ακέραιοι, για παράδειγμα:

Ας δούμε τη διαίρεση ενός δεκαδικού με ένα δεκαδικό. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 2,576 με το 1,12. Πρώτα απ 'όλα, ας πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα και το διαιρέτη του κλάσματος με το 100, δηλαδή να μετακινήσουμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά στο μέρισμα και τον διαιρέτη με τόσα ψηφία όσα υπάρχουν στον διαιρέτη μετά την υποδιαστολή (στο σε αυτό το παράδειγμαανα δυο). Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε το κλάσμα 257,6 με τον φυσικό αριθμό 112, δηλαδή, το πρόβλημα μειώνεται στην περίπτωση που έχει ήδη εξεταστεί:

Συμβαίνει ότι το τελικό αποτέλεσμα δεν επιτυγχάνεται πάντα δεκαδικόςόταν διαιρούμε έναν αριθμό με έναν άλλο. Το αποτέλεσμα είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, προχωράμε σε συνηθισμένα κλάσματα.

Για παράδειγμα, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .