Ηλεκτρονική αριθμομηχανή μείωσης κλασμάτων (ακανόνιστα, μικτά). Κανόνες μείωσης κλασμάτων με παραδείγματα

Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 4, δηλ. το υπόλοιπο τμήμα παραμένει. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι ολοκληρώνεται διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).

Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης όταν διαιρείται με ένα υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός είναι ο αριθμός 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, το οποίο δεν είναι σε συνηθισμένη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από το διαιρέτη.

Η διαίρεση μπορεί να ελεγχθεί με πολλαπλασιασμό. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.

Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a = b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.

Το πηλίκο των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.

Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".

Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφεί ως κλάσμα \(\frac(m)(n)\), όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες:

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n)\), πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα σε n ίσα μέρη (μερίδια) και να πάρετε m τέτοια μέρη.

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n)\), πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.

Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Για να βρείτε ένα σύνολο από το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μειώνοντας ένα κλάσμα.

Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε αυτή η ενέργεια ονομάζεται αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. Μικτά νούμερα

Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(3)(4)\) σημαίνει τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά από τα προβλήματα της προηγούμενης παραγράφου, τα κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν για να αναπαραστήσουν μέρη ενός συνόλου. Η κοινή λογική υπαγορεύει ότι το μέρος πρέπει να είναι πάντα μικρότερο από το σύνολο, αλλά τι γίνεται με κλάσματα όπως \(\frac(5)(5)\) ή \(\frac(8)(5)\); Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς λέγονται τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, λέγονται σωστά κλάσματα.

Όπως γνωρίζετε, οποιαδήποτε κοινό κλάσμαΤο , τόσο σωστό όσο και λάθος, μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος «ακατάλληλο κλάσμα» δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι ο αριθμητής αυτού του κλάσματος είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.

Για παράδειγμα:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 είναι το ακέραιο μέρος και \(\frac(2)(3) \) είναι το κλασματικό μέρος.

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b)\) διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b)\) δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει επίσης όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε με την πρώτη ματιά αν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.

Ενέργειες με κλάσματα. Προσθήκη κλασμάτων.

Μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις με κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Είναι εύκολο να προσθέσετε κλάσματα με παρονομαστές παρόμοιους. Ας βρούμε, για παράδειγμα, το άθροισμα των \(\frac(2)(7)\) και \(\frac(3)(7)\). Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Εάν χρειάζεται να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να έρθουν σε κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.

Προσθήκη μικτών κλασμάτων

Οι συμβολισμοί όπως \(2\frac(2)(3)\) καλούνται μικτά κλάσματα. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός 2 ολόκληρο μέροςμικτό κλάσμα, και ο αριθμός \(\frac(2)(3)\) είναι δικός του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση \(2\frac(2)(3)\) διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".

Όταν διαιρείτε τον αριθμό 8 με τον αριθμό 3, μπορείτε να λάβετε δύο απαντήσεις: \(\frac(8)(3)\) και \(2\frac(2)(3)\). Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(8)(3)\) αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα \(2\frac(2)(3)\). Σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι από ακατάλληλο κλάσμα ανέδειξε όλο το μέρος.

Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)

Αφαίρεση κλασματικοί αριθμοίΤο , όπως και οι φυσικοί αριθμοί, προσδιορίζεται με βάση τη δράση της πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) αφού \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένα μικτό κλάσμα - ως ακατάλληλο κλάσμα.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) μειώνοντας το κλάσμα και απομονώνοντας ολόκληρο το τμήμα του ακατάλληλου κλάσματος.

Για τα κλάσματα, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνδυαστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.

Διαίρεση κλασμάτων

Ας πάρουμε το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) και το «αναποδογυρίσουμε», ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα \(\frac(3)(2)\). Αυτό το κλάσμα λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗκλάσματα \(\frac(2)(3)\).

Αν τώρα «αντιστρέψουμε» το κλάσμα \(\frac(3)(2)\), θα πάρουμε το αρχικό κλάσμα \(\frac(2)(3)\). Επομένως, κλάσματα όπως \(\frac(2)(3)\) και \(\frac(3)(2)\) ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac(6)(5) \) και \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) και \(\frac (18 )(7)\).

Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: \(\frac(a)(b) \) και \(\frac(b)(a) \)

Είναι ξεκάθαρο ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι ίσο με 1. Για παράδειγμα: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, μπορείτε να μειώσετε τη διαίρεση των κλασμάτων σε πολλαπλασιασμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα είναι:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Αν το μέρισμα ή ο διαιρέτης είναι φυσικός αριθμόςή ένα μικτό κλάσμα, τότε, για να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας για τη διαίρεση κλασμάτων, πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα.

Με την πρώτη ματιά, τα αλγεβρικά κλάσματα φαίνονται πολύ περίπλοκα και ένας απροετοίμαστος μαθητής μπορεί να πιστεύει ότι τίποτα δεν μπορεί να γίνει με αυτά. Η συσσώρευση μεταβλητών, αριθμών, ακόμη και βαθμών προκαλεί φόβο. Ωστόσο, για να μειωθούν τα συνηθισμένα (π.χ. 25/15) και αλγεβρικά κλάσματαχρησιμοποιούνται οι ίδιοι κανόνες.

Βήματα

Αναγωγικά Κλάσματα

Ελέγξτε τις δραστηριότητες με απλά κλάσματα. Οι πράξεις με συνηθισμένα και αλγεβρικά κλάσματα είναι παρόμοιες. Για παράδειγμα, ας πάρουμε το κλάσμα 15/35. Για να απλοποιήσετε αυτό το κλάσμα, θα πρέπει εύρημα κοινός διαιρέτης . Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με το πέντε, οπότε μπορούμε να απομονώσουμε το 5 στον αριθμητή και στον παρονομαστή:

Τώρα μπορείς μείωση των κοινών παραγόντων, δηλαδή να διαγράψετε το 5 στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το απλοποιημένο κλάσμα 3/7 . ΣΕ αλγεβρικές εκφράσειςΟι κοινοί παράγοντες κατανέμονται με τον ίδιο τρόπο όπως στους συνηθισμένους. Στο προηγούμενο παράδειγμα μπορέσαμε να επιλέξουμε εύκολα 5 από τα 15 - η ίδια αρχή ισχύει για περισσότερα σύνθετες εκφράσεις, όπως 15x – 5. Ας βρούμε τον κοινό παράγοντα. Σε αυτήν την περίπτωση θα είναι 5, αφού και οι δύο όροι (15x και -5) διαιρούνται με το 5. Όπως και πριν, επιλέξτε τον κοινό παράγοντα και μετακινήστε τον αριστερά.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Για να ελέγξετε αν όλα είναι σωστά, απλώς πολλαπλασιάστε την έκφραση σε αγκύλες με 5 - το αποτέλεσμα θα είναι οι ίδιοι αριθμοί όπως αρχικά. Τα σύνθετα μέλη μπορούν να απομονωθούν με τον ίδιο τρόπο όπως τα απλά. Για τα αλγεβρικά κλάσματα ισχύουν οι ίδιες αρχές όπως και για τα συνηθισμένα. Αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος για να μειώσετε ένα κλάσμα. Θεωρήστε το ακόλουθο κλάσμα:

Σημειώστε ότι τόσο ο αριθμητής (πάνω) όσο και ο παρονομαστής (κάτω) περιέχουν έναν όρο (x+2), επομένως μπορεί να μειωθεί με τον ίδιο τρόπο όπως ο κοινός παράγοντας 5 στο κλάσμα 15/35:

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια απλοποιημένη έκφραση: (x-3)/(x+10)

Μείωση αλγεβρικών κλασμάτων

Βρείτε τον κοινό παράγοντα στον αριθμητή, δηλαδή στην κορυφή του κλάσματος. Όταν μειώνετε ένα αλγεβρικό κλάσμα, το πρώτο βήμα είναι να απλοποιήσετε και τις δύο πλευρές. Ξεκινήστε με τον αριθμητή και προσπαθήστε να τον αποσυνθέσετε σε άλλους μεγαλύτερο αριθμόπολλαπλασιαστές. Ας εξετάσουμε μέσα αυτός ο τομέαςτο ακόλουθο κλάσμα:

Ας ξεκινήσουμε με τον αριθμητή: 9x – 3. Για το 9x και το -3, ο κοινός παράγοντας είναι ο αριθμός 3. Ας βγάλουμε 3 από αγκύλες, όπως γίνεται με τους συνηθισμένους αριθμούς: 3 * (3x-1). Το αποτέλεσμα αυτού του μετασχηματισμού είναι το ακόλουθο κλάσμα:

Βρείτε τον κοινό παράγοντα στον αριθμητή. Ας συνεχίσουμε με το παραπάνω παράδειγμα και γράψουμε τον παρονομαστή: 15x+6. Όπως και πριν, ας βρούμε με ποιον αριθμό διαιρούνται και τα δύο μέρη. Και σε αυτή την περίπτωση ο κοινός παράγοντας είναι 3, οπότε μπορούμε να γράψουμε: 3 * (5x +2). Ας ξαναγράψουμε το κλάσμα με την ακόλουθη μορφή:

Συντομεύστε τους ίδιους όρους. Σε αυτό το βήμα μπορείτε να απλοποιήσετε το κλάσμα. Ακυρώστε τους ίδιους όρους στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Στο παράδειγμά μας, αυτός ο αριθμός είναι 3.

Προσδιορίστε ότι το κλάσμα έχει απλούστερη μορφή. Ένα κλάσμα απλοποιείται πλήρως όταν δεν έχουν απομείνει κοινοί παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να ακυρώσετε όρους που εμφανίζονται μέσα σε παρένθεση - στο παραπάνω παράδειγμα δεν υπάρχει τρόπος να απομονώσετε το x από το 3x και το 5x, καθώς οι πλήρεις όροι είναι (3x -1) και (5x + 2). Έτσι, το κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω και η τελική απάντηση είναι η εξής:

Εξασκηθείτε στη μείωση των κλασμάτων μόνοι σας. Ο καλύτερος τρόποςμάθετε η μέθοδος είναι ανεξάρτητη απόφασηκαθήκοντα. Οι σωστές απαντήσεις δίνονται κάτω από τα παραδείγματα.

Απάντηση:(x=13)

Απάντηση:(2x-1)/5

Ειδικές κινήσεις

Τοποθετήστε το αρνητικό πρόσημο έξω από το κλάσμα. Ας υποθέσουμε ότι σας δίνεται το ακόλουθο κλάσμα:

Σημειώστε ότι τα (x-4) και (4-x) είναι «σχεδόν» πανομοιότυπα, αλλά δεν μπορούν να μειωθούν αμέσως επειδή είναι «αντεστραμμένα». Ωστόσο, το (x - 4) μπορεί να γραφτεί ως -1 * (4 - x), όπως το (4 + 2x) μπορεί να γραφτεί ως 2 * (2 + x). Αυτό ονομάζεται «αντιστροφή σημάτων».

Τώρα μπορείτε να μειώσετε τους ίδιους όρους (4-x):

Λοιπόν, παίρνουμε την τελική απάντηση: -3/5 . Μάθετε να αναγνωρίζετε τη διαφορά μεταξύ των τετραγώνων. Διαφορά τετραγώνων είναι όταν το τετράγωνο ενός αριθμού αφαιρείται από το τετράγωνο ενός άλλου αριθμού, όπως στην παράσταση (a 2 - b 2). Η διαφορά των τέλειων τετραγώνων μπορεί πάντα να αποσυντεθεί σε δύο μέρη - το άθροισμα και τη διαφορά των αντίστοιχων τετραγωνικές ρίζες. Τότε η έκφραση θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Αυτή η τεχνική είναι πολύ χρήσιμη όταν βρίσκουμε κοινούς όρους σε αλγεβρικά κλάσματα.

• Ελέγξτε εάν συνυπολογίσατε σωστά αυτήν ή εκείνη την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους παράγοντες - το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι η ίδια έκφραση.
• Για να απλοποιήσετε πλήρως ένα κλάσμα, απομονώνετε πάντα τους μεγαλύτερους παράγοντες.

Τα παιδιά στο σχολείο μαθαίνουν τους κανόνες μείωσης των κλασμάτων στην 6η τάξη. Σε αυτό το άρθρο, θα σας πούμε πρώτα τι σημαίνει αυτή η ενέργεια και στη συνέχεια θα εξηγήσουμε πώς να μετατρέψετε ένα αναγώγιμο κλάσμα σε μη αναγώγιμο κλάσμα. Το επόμενο σημείο θα είναι οι κανόνες για τη μείωση των κλασμάτων και στη συνέχεια θα φτάσουμε σταδιακά στα παραδείγματα.

Τι σημαίνει «μείωση κλάσματος»;

Άρα το ξέρουμε όλοι συνηθισμένα κλάσματαχωρίζονται σε δύο ομάδες: αναγώγιμες και μη αναγώγιμες. Ήδη από τα ονόματα μπορείτε να καταλάβετε ότι αυτά που είναι συσταλτικά είναι συμβατά και αυτά που είναι μη αναγώγιμα δεν είναι συμβατά.

• Για να μειώσουμε ένα κλάσμα σημαίνει να διαιρούμε τον παρονομαστή και τον αριθμητή του με τον (εκτός από έναν) θετικό διαιρέτη τους. Το αποτέλεσμα, φυσικά, είναι ένα νέο κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή και αριθμητή. Το κλάσμα που προκύπτει θα είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα.

Αξίζει να σημειωθεί ότι στα βιβλία μαθηματικών με την εργασία "μείωση κλάσματος", αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μειώσετε το αρχικό κλάσμα σε αυτήν την μη αναγώγιμη μορφή. Αν μιλήσουμε με απλά λόγια, τότε η διαίρεση του παρονομαστή και του αριθμητή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους είναι αναγωγή.

Πώς να μειώσετε ένα κλάσμα. Κανόνες για τη μείωση των κλασμάτων (βαθμός 6)

Άρα υπάρχουν μόνο δύο κανόνες εδώ.

1. Ο πρώτος κανόνας της μείωσης των κλασμάτων είναι να βρείτε πρώτα τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα του παρονομαστή και του αριθμητή του κλάσματός σας.
2. Ο δεύτερος κανόνας: διαιρέστε τον παρονομαστή και τον αριθμητή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη, λαμβάνοντας τελικά ένα μη αναγώγιμο κλάσμα.

Πώς να μειώσετε ένα ακατάλληλο κλάσμα;

Οι κανόνες για τη μείωση των κλασμάτων είναι πανομοιότυποι με τους κανόνες για τη μείωση των ακατάλληλων κλασμάτων.

Προκειμένου να μειωθεί ακατάλληλο κλάσμα, πρώτα θα χρειαστεί να γράψετε πρωταρχικούς παράγοντεςπαρονομαστής και αριθμητής και μόνο τότε μειώνουμε τους κοινούς παράγοντες.

Μείωση μικτών κλασμάτων

Οι κανόνες για τη μείωση των κλασμάτων ισχύουν επίσης για τη μείωση των μικτών κλασμάτων. Υπάρχει μόνο μια μικρή διαφορά: δεν μπορούμε να αγγίξουμε ολόκληρο το τμήμα, αλλά να μειώσουμε το κλάσμα ή να μετατρέψουμε το μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα, μετά να το μειώσουμε και να το μετατρέψουμε ξανά σε σωστό κλάσμα.

Υπάρχουν δύο τρόποι μείωσης των μικτών κλασμάτων.

Πρώτα: γράψτε το κλασματικό μέρος σε πρώτους παράγοντες και μετά αφήστε το ολόκληρο μέρος μόνο του.

Ο δεύτερος τρόπος: πρώτα μετατρέψτε το σε ακατάλληλο κλάσμα, γράψτε το σε συνηθισμένους συντελεστές και μετά μειώστε το κλάσμα. Μετατρέψτε το ήδη ληφθέν ακατάλληλο κλάσμα σε σωστό.

Παραδείγματα φαίνονται στην παραπάνω φωτογραφία.

Ελπίζουμε πραγματικά ότι μπορέσαμε να βοηθήσουμε εσάς και τα παιδιά σας. Άλλωστε, είναι συχνά απρόσεκτοι στο μάθημα, οπότε πρέπει να μελετούν πιο εντατικά στο σπίτι μόνοι τους.

Βασίζεται στη βασική τους ιδιότητα: αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με το ίδιο μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε θα προκύψει ένα ίσο κλάσμα.

Μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές!

Τα μέλη πολυωνύμων δεν μπορούν να συντομεύονται!

Για να μειωθεί ένα αλγεβρικό κλάσμα, πρέπει πρώτα να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή.

Ας δούμε παραδείγματα αναγωγικών κλασμάτων.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος περιέχουν μονώνυμα. Αντιπροσωπεύουν δουλειά(αριθμοί, μεταβλητές και οι δυνάμεις τους), πολλαπλασιαστέςμπορούμε να μειώσουμε.

Μειώνουμε τους αριθμούς με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους, δηλαδή με μεγαλύτερος αριθμός, με το οποίο διαιρείται καθένας από αυτούς τους αριθμούς. Για το 24 και το 36 αυτό είναι 12. Μετά τη μείωση, το 2 παραμένει από το 24 και το 3 από το 36.

Μειώνουμε τις μοίρες κατά το βαθμό με τον χαμηλότερο δείκτη. Για να μειώσουμε ένα κλάσμα σημαίνει να διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο διαιρέτη και να αφαιρούμε τους εκθέτες.

Τα a2 και a7 μειώνονται σε a2. Σε αυτήν την περίπτωση, το ένα παραμένει στον αριθμητή του a² (γράφουμε 1 μόνο στην περίπτωση που, μετά τη μείωση, δεν μένουν άλλοι παράγοντες. Από το 24, παραμένει το 2, οπότε δεν γράφουμε 1 που απομένει από το a²). Από το a7, μετά τη μείωση, το a5 παραμένει.

Τα b και b μειώνονται κατά b οι μονάδες που προκύπτουν δεν γράφονται.

Τα c3º και c5 συντομεύονται σε c5. Από c³º αυτό που απομένει είναι c25, από c5 είναι ένα (δεν το γράφουμε). Ετσι,

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής αυτού του αλγεβρικού κλάσματος είναι πολυώνυμα. Δεν μπορείτε να ακυρώσετε όρους πολυωνύμων! (δεν μπορείτε να μειώσετε, για παράδειγμα, 8x² και 2x!). Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, χρειάζεστε . Ο αριθμητής έχει κοινό παράγοντα 4x. Ας το βγάλουμε από αγκύλες:

Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής έχουν τον ίδιο παράγοντα (2x-3). Μειώνουμε το κλάσμα με αυτόν τον παράγοντα. Στον αριθμητή πήραμε 4x, στον παρονομαστή - 1. Σύμφωνα με 1 ιδιότητα των αλγεβρικών κλασμάτων, το κλάσμα είναι ίσο με 4x.

Μπορείτε να μειώσετε μόνο τους παράγοντες (δεν μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα κατά 25x²!). Επομένως, τα πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος πρέπει να παραγοντοποιηθούν.

Ο αριθμητής είναι το πλήρες τετράγωνο του αθροίσματος, ο παρονομαστής είναι η διαφορά των τετραγώνων. Μετά την αποσύνθεση χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού, λαμβάνουμε:

Μειώνουμε το κλάσμα κατά (5x+1) (για να το κάνετε αυτό, διαγράψτε τα δύο στον αριθμητή ως εκθέτη, αφήνοντας (5x+1)² (5x+1)):

Ο αριθμητής έχει κοινό παράγοντα 2, ας τον βγάλουμε από αγκύλες. Ο παρονομαστής είναι ο τύπος για τη διαφορά των κύβων:

Ως αποτέλεσμα της επέκτασης, ο αριθμητής και ο παρονομαστής έλαβαν τον ίδιο παράγοντα (9+3a+a²). Μειώνουμε το κλάσμα με αυτό:

Το πολυώνυμο στον αριθμητή αποτελείται από 4 όρους. ο πρώτος όρος με τον δεύτερο, ο τρίτος με τον τέταρτο και αφαιρέστε τον κοινό παράγοντα x² από τις πρώτες αγκύλες. Αποσυνθέτουμε τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος των κύβων:

Στον αριθμητή, ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα (x+2) από αγκύλες:

Μειώστε το κλάσμα κατά (x+2):

Διαίρεσηκαι τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος πάνω τους κοινός διαιρέτης, διαφορετικό από ένα, λέγεται μειώνοντας ένα κλάσμα.

Για να μειώσετε ένα κοινό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον ίδιο φυσικό αριθμό.

Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος.

Τα παρακάτω είναι πιθανά έντυπα καταγραφής αποφάσεωνΠαραδείγματα αναγωγής κοινών κλασμάτων.

Ο μαθητής έχει το δικαίωμα να επιλέξει οποιαδήποτε μορφή ηχογράφησης.

Παραδείγματα. Απλοποιήστε τα κλάσματα.

Μειώστε το κλάσμα κατά 3 (διαιρέστε τον αριθμητή με 3.

διαιρέστε τον παρονομαστή με το 3).

Μειώστε το κλάσμα κατά 7.

Εκτελούμε τις υποδεικνυόμενες ενέργειες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος.

Το κλάσμα που προκύπτει μειώνεται κατά 5.

Ας μειώσουμε αυτό το κλάσμα 4) επί 5·7³- ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος αποτελείται από τους κοινούς συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή, που λαμβάνονται στην ισχύ με τον μικρότερο εκθέτη.

Ας συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος σε πρώτους παράγοντες.

Παίρνουμε: 756=2²·3³·7Και 1176=2³·3·7².

Προσδιορίστε το GCD (μέγιστο κοινό διαιρέτη) του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος 5) .

Αυτό είναι το προϊόν κοινών παραγόντων που λαμβάνονται με τους χαμηλότερους εκθέτες.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με το gcd τους, δηλαδή με το 2²·3·7παίρνουμε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .

Ή ήταν δυνατόν να γραφτεί η αποσύνθεση του αριθμητή και του παρονομαστή με τη μορφή ενός γινόμενου πρώτων παραγόντων, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η έννοια της ισχύος, και στη συνέχεια να μειωθεί το κλάσμα διαγράφοντας τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Όταν δεν υπάρχουν πανομοιότυποι παράγοντες, πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές χωριστά στον αριθμητή και χωριστά στον παρονομαστή και γράφουμε το κλάσμα που προκύπτει 9/14 .

Και τέλος, ήταν δυνατό να μειωθεί αυτό το κλάσμα 5) σταδιακά, εφαρμόζοντας σημάδια διαίρεσης αριθμών τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του κλάσματος. Σκεφτόμαστε ως εξής: αριθμοί 756 Και 1176 τελειώνουν σε ζυγό αριθμό, που σημαίνει ότι και τα δύο διαιρούνται με 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του νέου κλάσματος είναι αριθμοί 378 Και 588 επίσης χωρίζεται σε 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 294 - ακόμη, και 189 - περιττό, και η μείωση κατά 2 δεν είναι πλέον δυνατή. Ας ελέγξουμε τη διαιρετότητα των αριθμών 189 Και 294 επί 3 .

Το (1+8+9)=18 διαιρείται με το 3 και το (2+9+4)=15 διαιρείται με το 3, εξ ου και οι ίδιοι οι αριθμοί 189 Και 294 χωρίζονται σε 3 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 . Περαιτέρω, 63 διαιρείται με το 3 και 98 - Οχι. Ας δούμε άλλους πρωταρχικούς παράγοντες. Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με 7 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7 και παίρνουμε το μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .