Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών σε έναν κλειστό τομέα
Συχνά στη φυσική και στα μαθηματικά πρέπει να βρεις μικρότερη τιμήλειτουργίες. Τώρα θα σας πούμε πώς να το κάνετε αυτό.
Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης: οδηγίες
- Για να υπολογίσετε τη μικρότερη τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα, πρέπει να ακολουθήσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
- Να βρείτε σε ένα δεδομένο τμήμα τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι ίση με μηδέν, καθώς και όλα τα κρίσιμα σημεία. Στη συνέχεια, βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία, δηλαδή λύστε την εξίσωση όπου το x είναι ίσο με μηδέν. Μάθετε ποια τιμή είναι η μικρότερη.
- Προσδιορίστε τι αξία έχει μια συνάρτηση στα τελικά σημεία. Προσδιορίστε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία.
- Συγκρίνετε τα ληφθέντα δεδομένα με τη χαμηλότερη τιμή. Ο μικρότερος από τους αριθμούς που θα προκύψουν θα είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Σημειώστε ότι εάν μια συνάρτηση σε ένα τμήμα δεν έχει μικρότερα σημεία, αυτό σημαίνει ότι αυξάνεται ή μειώνεται σε αυτό το τμήμα. Επομένως, η μικρότερη τιμή θα πρέπει να υπολογιστεί στα πεπερασμένα τμήματα της συνάρτησης.
Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, η τιμή της συνάρτησης υπολογίζεται σύμφωνα με τον καθορισμένο αλγόριθμο. Σε κάθε σημείο του αλγορίθμου θα χρειαστεί να λύσετε ένα απλό γραμμική εξίσωσημε μια ρίζα. Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας μια εικόνα για να αποφύγετε λάθη.
Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα μισάνοιχτο τμήμα; Σε μια μισάνοιχτη ή ανοιχτή περίοδο της συνάρτησης, η μικρότερη τιμή πρέπει να βρεθεί ως εξής. Στα τελικά σημεία της τιμής της συνάρτησης, υπολογίστε το μονόπλευρο όριο της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, λύστε μια εξίσωση στην οποία τα σημεία τάσης δίνονται από τις τιμές a+0 και b+0, όπου a και b είναι τα ονόματα κρίσιμα σημεία.
Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης. Το κύριο πράγμα είναι να κάνετε όλους τους υπολογισμούς σωστά, με ακρίβεια και χωρίς λάθη.
Δήλωση προβλήματος 2:
Δίνεται μια συνάρτηση που είναι καθορισμένη και συνεχής σε ένα ορισμένο διάστημα. Πρέπει να βρείτε τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης σε αυτό το διάστημα.
Θεωρητική βάση.
Θεώρημα (δεύτερο θεώρημα Weierstrass):
Εάν μια συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, τότε φτάνει τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές της σε αυτό το διάστημα.
Η συνάρτηση μπορεί να φτάσει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της είτε στα εσωτερικά σημεία του διαστήματος είτε στα όριά της. Ας δείξουμε όλες τις πιθανές επιλογές. 
Εξήγηση:
1) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο αριστερό όριο του διαστήματος στο σημείο και την ελάχιστη τιμή της στο δεξιό όριο του διαστήματος στο σημείο .
2) Η συνάρτηση φτάνει στη μέγιστη τιμή της στο σημείο (αυτό είναι το μέγιστο σημείο) και στην ελάχιστη τιμή της στο δεξιό όριο του διαστήματος στο σημείο.
3) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο αριστερό όριο του διαστήματος στο σημείο , και την ελάχιστη τιμή της στο σημείο (αυτό είναι το ελάχιστο σημείο).
4) Η συνάρτηση είναι σταθερή στο διάστημα, δηλ. φτάνει τις ελάχιστες και τις μέγιστες τιμές του σε οποιοδήποτε σημείο του διαστήματος και οι ελάχιστες και μέγιστες τιμές είναι ίσες μεταξύ τους.
5) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο σημείο , και την ελάχιστη τιμή της στο σημείο (παρά το γεγονός ότι η συνάρτηση έχει και μέγιστο και ελάχιστο σε αυτό το διάστημα).
6) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της σε ένα σημείο (αυτό είναι το μέγιστο σημείο) και την ελάχιστη τιμή της σε ένα σημείο (αυτό είναι το ελάχιστο σημείο).
Σχόλιο:
Η "μέγιστη" και η "μέγιστη τιμή" είναι διαφορετικά πράγματα. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του μέγιστου και τη διαισθητική κατανόηση της φράσης «μέγιστη τιμή».
Αλγόριθμος για την επίλυση προβλήματος 2.
4) Επιλέξτε τη μεγαλύτερη (μικρότερη) από τις λαμβανόμενες τιμές και σημειώστε την απάντηση.
Παράδειγμα 4:
Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης 
στο τμήμα.
Λύση:
1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης. 
2) Βρείτε ακίνητα σημεία (και σημεία ύποπτα για ακρότατο) λύνοντας την εξίσωση. Προσοχή στα σημεία στα οποία δεν υπάρχει αμφίπλευρη πεπερασμένη παράγωγος. 
3) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε σταθερά σημεία και στα όρια του διαστήματος.
4) Επιλέξτε τη μεγαλύτερη (μικρότερη) από τις λαμβανόμενες τιμές και σημειώστε την απάντηση.
Η συνάρτηση σε αυτό το τμήμα φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο σημείο με τις συντεταγμένες .
Η συνάρτηση σε αυτό το τμήμα φτάνει την ελάχιστη τιμή της στο σημείο με συντεταγμένες .
Μπορείτε να επαληθεύσετε την ορθότητα των υπολογισμών κοιτάζοντας το γράφημα της υπό μελέτη συνάρτησης. 
Σχόλιο:Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο μέγιστο σημείο και την ελάχιστη τιμή της στο όριο του τμήματος.
Ιδιαίτερη περίπτωση.
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές κάποιας συνάρτησης σε ένα τμήμα. Μετά την ολοκλήρωση του πρώτου σημείου του αλγορίθμου, δηλ. υπολογισμός παραγώγου, γίνεται σαφές ότι, για παράδειγμα, χρειάζεται μόνο αρνητικές τιμέςσε ολόκληρο το υπό εξέταση τμήμα. Θυμηθείτε ότι εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση μειώνεται. Βρήκαμε ότι η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο το τμήμα. Αυτή η κατάσταση φαίνεται στο γράφημα Νο. 1 στην αρχή του άρθρου.
Η συνάρτηση μειώνεται στο τμήμα, δηλ. δεν έχει ακραίους βαθμούς. Από την εικόνα είναι σαφές ότι η συνάρτηση θα λάβει τη μικρότερη τιμή της στο δεξί όριο του τμήματος, και υψηλότερη τιμή- στα αριστερά. αν η παράγωγος στο τμήμα είναι θετική παντού, τότε η συνάρτηση αυξάνεται. Η μικρότερη τιμή βρίσκεται στο αριστερό περίγραμμα του τμήματος, η μεγαλύτερη βρίσκεται στα δεξιά.
, ένα άπειρο διάστημα.
αυτό για κανέναν 
η ανισότητα είναι αλήθεια.
αυτό για κανέναν 
επιτυγχάνεται στο x=1, και η μικρότερη τιμή 
– σε x=2.
. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης μοιάζει με αυτό:
στο τμήμα.
. Όταν διέρχεται από σημεία και, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.| Λειτουργία | Παράγωγο |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-six$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $αμαρτ^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Βασικοί κανόνες διαφοροποίησης
1. Η παράγωγος του αθροίσματος και της διαφοράς είναι ίση με την παράγωγο κάθε όρου
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Η παράγωγος του αθροίσματος και της διαφοράς είναι ίση με την παράγωγο κάθε όρου
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Παράγωγο του προϊόντος.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Βρείτε την παράγωγο $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Παράγωγος του πηλίκου
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Βρείτε την παράγωγο $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Παράγωγο σύνθετη λειτουργίαίσο με το γινόμενο της παραγώγου εξωτερική λειτουργίαστην παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Βρείτε το ODZ της συνάρτησης: $x+11>0; x>-11$
2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Βρείτε ακίνητα σημεία εξισώνοντας την παράγωγο με μηδέν
$(2x+21)/(x+11)=0$
Ένα κλάσμα ισούται με μηδέν αν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.
$2x+21=0; x≠-11$
4. Ας τραβήξουμε μια γραμμή συντεταγμένων, τοποθετούμε ακίνητα σημεία πάνω της και προσδιορίζουμε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα που προκύπτουν. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε οποιονδήποτε αριθμό από την πιο δεξιά περιοχή στην παράγωγο, για παράδειγμα, μηδέν.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Στο ελάχιστο σημείο, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επομένως, το σημείο $-10,5$ είναι το ελάχιστο σημείο.
Απάντηση: -10,5$
Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης $y=6x^5-90x^3-5$ στο τμήμα $[-5;1]$
1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $y′=30x^4-270x^2$
2. Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν και βρείτε ακίνητα σημεία
$30x^4-270x^2=0$
Ας πάρουμε τον συνολικό συντελεστή $30x^2$ εκτός παρενθέσεων
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Ας εξισώσουμε κάθε παράγοντα με μηδέν
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Επιλέξτε σταθερά σημεία που ανήκουν στο συγκεκριμένο τμήμα $[-5;1]$
Τα ακίνητα σημεία $x=0$ και $x=-3$ μας ταιριάζουν
4. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε σταθερά σημεία από το βήμα 3
