Γενική εξίσωση ενός επιπέδου διαμέσου 3 σημείων. Επίπεδη εξίσωση

Εξίσωση ενός αεροπλάνου. Πώς να γράψετε μια εξίσωση ενός επιπέδου;
Αμοιβαία τακτοποίησηαεροπλάνα. Καθήκοντα

Η χωρική γεωμετρία δεν είναι πολύ πιο περίπλοκη από την «επίπεδη» γεωμετρία και οι πτήσεις μας στο διάστημα ξεκινούν με αυτό το άρθρο. Για να κατακτήσετε το θέμα, πρέπει να έχετε καλή κατανόηση φορείς, επιπλέον, είναι σκόπιμο να εξοικειωθείτε με τη γεωμετρία του επιπέδου - θα υπάρχουν πολλές ομοιότητες, πολλές αναλογίες, οπότε οι πληροφορίες θα αφομοιωθούν πολύ καλύτερα. Σε μια σειρά μαθημάτων μου, ο δισδιάστατος κόσμος ανοίγει με ένα άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο. Τώρα όμως ο Μπάτμαν άφησε την επίπεδη οθόνη της τηλεόρασης και ξεκινά από το κοσμοδρόμιο του Μπαϊκονούρ.

Ας ξεκινήσουμε με σχέδια και σύμβολα. Σχηματικά, το επίπεδο μπορεί να σχεδιαστεί με τη μορφή παραλληλογράμμου, το οποίο δημιουργεί την εντύπωση του χώρου:

Το αεροπλάνο είναι άπειρο, αλλά έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα κομμάτι του. Στην πράξη, εκτός από το παραλληλόγραμμο, σχεδιάζεται και ένα οβάλ ή και ένα σύννεφο. Για τεχνικούς λόγους, είναι πιο βολικό για μένα να απεικονίσω το αεροπλάνο ακριβώς με αυτόν τον τρόπο και σε αυτήν ακριβώς τη θέση. Τα πραγματικά αεροπλάνα, τα οποία θα εξετάσουμε σε πρακτικά παραδείγματα, μπορούν να εντοπιστούν με οποιονδήποτε τρόπο - πάρτε νοερά το σχέδιο στα χέρια σας και περιστρέψτε το στο διάστημα, δίνοντας στο αεροπλάνο οποιαδήποτε κλίση, οποιαδήποτε γωνία.

Ονομασίες: τα αεροπλάνα συνήθως σημειώνονται με μικρά ελληνικά γράμματα, προφανώς για να μην τα συγχέουμε με ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδοή με ευθεία γραμμή στο χώρο. Έχω συνηθίσει να χρησιμοποιώ το γράμμα. Στο σχέδιο είναι το γράμμα «σίγμα» και καθόλου τρύπα. Αν και το αεροπλάνο είναι σίγουρα πολύ αστείο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τα ίδια ελληνικά γράμματα με χαμηλότερους δείκτες για να ορίσετε αεροπλάνα, για παράδειγμα, .

Προφανώς, το αεροπλάνο καθορίζεται μοναδικά από τρεις διάφορα σημεία, όχι ξαπλωμένος στην ίδια ευθεία. Επομένως, οι ονομασίες των αεροπλάνων με τρία γράμματα είναι αρκετά δημοφιλείς - από τα σημεία που τους ανήκουν, για παράδειγμα, κ.λπ. Συχνά τα γράμματα περικλείονται σε παρένθεση: , για να μην συγχέουμε το επίπεδο με ένα άλλο γεωμετρικό σχήμα.

Για έμπειρους αναγνώστες θα δώσω μενού γρήγορης πρόσβασης:

• Πώς να δημιουργήσετε μια εξίσωση ενός επιπέδου χρησιμοποιώντας ένα σημείο και δύο διανύσματα;
• Πώς να δημιουργήσετε μια εξίσωση ενός επιπέδου χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

και δεν θα μαραζώσουμε σε μεγάλες αναμονές:

Εξίσωση γενικού επιπέδου

Η γενική εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή , όπου οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με το μηδέν ταυτόχρονα.

Ένας αριθμός θεωρητικών υπολογισμών και πρακτικών προβλημάτων ισχύουν τόσο για τη συνήθη ορθοκανονική βάση όσο και για τη συγγενική βάση του χώρου (αν το λάδι είναι λάδι, επιστρέψτε στο μάθημα Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων). Για απλότητα, θα υποθέσουμε ότι όλα τα γεγονότα συμβαίνουν σε μια ορθοκανονική βάση και ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Τώρα ας εξασκήσουμε λίγο τη χωρική μας φαντασία. Δεν πειράζει αν το δικό σας είναι κακό, τώρα θα το αναπτύξουμε λίγο. Ακόμα και το να παίζεις με νεύρα θέλει προπόνηση.

Στην πιο γενική περίπτωση, όταν οι αριθμοί δεν είναι ίσοι με το μηδέν, το επίπεδο τέμνει και τους τρεις άξονες συντεταγμένων. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Επαναλαμβάνω για άλλη μια φορά ότι το αεροπλάνο συνεχίζει επ 'αόριστον προς όλες τις κατευθύνσεις, και έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα μέρος του.

Ας εξετάσουμε τις απλούστερες εξισώσεις των επιπέδων:

Πώς να κατανοήσετε αυτήν την εξίσωση; Σκεφτείτε το: Το "Z" είναι ΠΑΝΤΑ ίσο με μηδέν, για οποιεσδήποτε τιμές του "X" και "Y". Αυτή είναι η εξίσωση του "εγγενούς" επιπέδου συντεταγμένων. Πράγματι, τυπικά η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , από όπου μπορείτε να δείτε ξεκάθαρα ότι δεν μας ενδιαφέρει ποιες τιμές παίρνουν το "x" και το "y", είναι σημαντικό το "z" να είναι ίσο με μηδέν.

Επίσης:
– εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων.
– εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων.

Ας περιπλέκουμε λίγο το πρόβλημα, θεωρούμε ένα επίπεδο (εδώ και παραπέρα στην παράγραφο υποθέτουμε ότι οι αριθμητικοί συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν). Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή: . Πώς να το καταλάβετε; Το "X" είναι ΠΑΝΤΑ, για οποιεσδήποτε τιμές των "Y" και "Z", ίσες με έναν ορισμένο αριθμό. Αυτό το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο συντεταγμένων. Για παράδειγμα, ένα επίπεδο είναι παράλληλο σε ένα επίπεδο και διέρχεται από ένα σημείο.

Επίσης:
– εξίσωση ενός επιπέδου που είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων.
– εξίσωση επιπέδου που είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Ας προσθέσουμε μέλη: . Η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , δηλαδή, το "zet" μπορεί να είναι οτιδήποτε. Τι σημαίνει; Το "X" και το "Y" συνδέονται με τη σχέση, η οποία τραβάει μια συγκεκριμένη ευθεία γραμμή στο επίπεδο (θα μάθετε εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο?). Δεδομένου ότι το "z" μπορεί να είναι οτιδήποτε, αυτή η ευθεία γραμμή "αντιγράφεται" σε οποιοδήποτε ύψος. Έτσι, η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων

Επίσης:
– εξίσωση επιπέδου που είναι παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων.
– εξίσωση επιπέδου που είναι παράλληλο στον άξονα συντεταγμένων.

Εάν οι ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, τότε τα επίπεδα θα διέρχονται απευθείας από τους αντίστοιχους άξονες. Για παράδειγμα, η κλασική «άμεση αναλογικότητα»: . Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο και πολλαπλασιάστε την νοερά πάνω-κάτω (καθώς το "Z" είναι οποιοδήποτε). Συμπέρασμα: το επίπεδο που ορίζεται από την εξίσωση διέρχεται από τον άξονα συντεταγμένων.

Ολοκληρώνουμε την ανασκόπηση: η εξίσωση του επιπέδου διέρχεται από την καταγωγή. Λοιπόν, εδώ είναι προφανές ότι το σημείο ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση.

Και τέλος, η περίπτωση που φαίνεται στο σχέδιο: – το αεροπλάνο είναι φιλικό με όλους τους άξονες συντεταγμένων, ενώ πάντα «κόβει» ένα τρίγωνο, το οποίο μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα οκτώ οκτάντια.

Γραμμικές ανισότητες στο χώρο

Για να κατανοήσετε τις πληροφορίες πρέπει να μελετήσετε καλά γραμμικές ανισώσεις στο επίπεδο, γιατί πολλά πράγματα θα είναι παρόμοια. Η παράγραφος θα έχει σύντομη επισκόπηση με αρκετά παραδείγματα, καθώς το υλικό είναι αρκετά σπάνιο στην πράξη.

Αν η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο, τότε οι ανισώσεις
παρακαλώ ημιδιαστήματα. Αν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή (οι δύο τελευταίες της λίστας), τότε η λύση της ανισότητας, εκτός από το μισό διάστημα, περιλαμβάνει και το ίδιο το επίπεδο.

Παράδειγμα 5

Βρείτε το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα του επιπέδου .

Λύση: Μοναδικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ένα. Ας συμβολίσουμε αυτό το διάνυσμα με . Είναι απολύτως σαφές ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά:

Αρχικά, αφαιρούμε το κανονικό διάνυσμα από την εξίσωση του επιπέδου: .

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα μονάδας; Για να βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα, χρειάζεστε κάθεδιαιρέστε τη συντεταγμένη του διανύσματος με το μήκος του διανύσματος.

Ας ξαναγράψουμε το κανονικό διάνυσμα στη φόρμα και ας βρούμε το μήκος του:

Συμφωνα με τα ΠΑΡΑΠΑΝΩ:

Απάντηση:

Επαλήθευση: τι έπρεπε να επαληθευτεί.

Οι αναγνώστες που μελέτησαν προσεκτικά την τελευταία παράγραφο του μαθήματος μάλλον το παρατήρησαν αυτό οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος είναι ακριβώς τα συνημίτονα διεύθυνσης του διανύσματος:

Ας κάνουμε ένα διάλειμμα από το πρόβλημα: όταν σας δίνεται ένα αυθαίρετο μη μηδενικό διάνυσμα, και σύμφωνα με την συνθήκη απαιτείται να βρεθούν τα συνημίτονα κατεύθυνσής του (βλ. τα τελευταία προβλήματα του μαθήματος Σημείο γινόμενο διανυσμάτων), τότε στην πραγματικότητα βρίσκετε ένα μοναδιαίο διάνυσμα συγγραμμικό με αυτό. Στην πραγματικότητα δύο εργασίες σε ένα μπουκάλι.

Η ανάγκη εύρεσης του μοναδιαίου κανονικού διανύσματος προκύπτει σε ορισμένα προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης.

Καταλάβαμε πώς να ψαρέψουμε ένα κανονικό διάνυσμα, τώρα ας απαντήσουμε στην αντίθετη ερώτηση:

Πώς να δημιουργήσετε μια εξίσωση ενός επιπέδου χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Αυτή η άκαμπτη κατασκευή ενός κανονικού διανύσματος και ενός σημείου είναι πολύ γνωστή στο βελάκι. Τεντώστε το χέρι σας προς τα εμπρός και επιλέξτε νοερά ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο, για παράδειγμα, μια μικρή γάτα στον μπουφέ. Προφανώς, μέσα από αυτό το σημείο μπορείτε να σχεδιάσετε ένα μόνο επίπεδο κάθετο στο χέρι σας.

Η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στο διάνυσμα εκφράζεται με τον τύπο:

Για να τραβηχτεί ένα μόνο επίπεδο μέσα από οποιαδήποτε τρία σημεία του χώρου, είναι απαραίτητο αυτά τα σημεία να μην βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Θεωρήστε τα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) στο γενικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Για να βρίσκεται ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) στο ίδιο επίπεδο με τα σημεία M 1, M 2, M 3, είναι απαραίτητο τα διανύσματα να είναι συνεπίπεδα.

(
) = 0

Ετσι,

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία:

Εξίσωση ενός επιπέδου με δύο σημεία και ένα διάνυσμα συγγραμμικό με το επίπεδο.

Έστω τα σημεία M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) και το διάνυσμα
.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία M 1 και M 2 και ένα αυθαίρετο σημείο M (x, y, z) παράλληλο στο διάνυσμα .

Διανύσματα
και διάνυσμα
πρέπει να είναι ομοεπίπεδη, δηλ.

(
) = 0

Επίπεδη εξίσωση:

Εξίσωση επιπέδου που χρησιμοποιεί ένα σημείο και δύο διανύσματα,

ευθύγραμμο προς το επίπεδο.

Έστω δύο διανύσματα
Και
, συγγραμμικά επίπεδα. Στη συνέχεια, για ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) που ανήκει στο επίπεδο, τα διανύσματα
πρέπει να είναι ομοεπίπεδη.

Επίπεδη εξίσωση:

Εξίσωση επιπέδου προς σημείο και κανονικό διάνυσμα .

Θεώρημα. Αν στο διάστημα δίνεται σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0 ), τότε η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ 0 κάθετο στο κανονικό διάνυσμα (ΕΝΑ, σι, ντο) έχει τη μορφή:

ΕΝΑ(Χ – Χ 0 ) + σι(y – y 0 ) + ντο(z – z 0 ) = 0.

Απόδειξη. Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) που ανήκει στο επίπεδο, συνθέτουμε ένα διάνυσμα. Επειδή διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα, τότε είναι κάθετο στο επίπεδο και, επομένως, κάθετο στο διάνυσμα
. Στη συνέχεια το βαθμωτό γινόμενο

= 0

Έτσι, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση Ax + Bi + Cz + D = 0 διαιρούμε και τις δύο πλευρές με (-D)

,

αντικαθιστώντας
, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα:

Οι αριθμοί a, b, c είναι τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες x, y, z, αντίστοιχα.

Εξίσωση επιπέδου σε διανυσματική μορφή.

Οπου

- διάνυσμα ακτίνας του τρέχοντος σημείου M(x, y, z),

Ένα μοναδιαίο διάνυσμα που έχει τη διεύθυνση μιας κάθετης πέσει σε ένα επίπεδο από την αρχή.

,  και  είναι οι γωνίες που σχηματίζει αυτό το διάνυσμα με τους άξονες x, y, z.

p είναι το μήκος αυτής της καθέτου.

Σε συντεταγμένες, αυτή η εξίσωση μοιάζει με:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Απόσταση από σημείο σε επίπεδο.

Η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο M 0 (x 0, y 0, z 0) στο επίπεδο Ax+By+Cz+D=0 είναι:

Παράδειγμα.Βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο P(4; -3; 12) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από την αρχή σε αυτό το επίπεδο.

Άρα Α = 4/13; Β = -3/13; C = 12/13, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από δύο σημεία P(2; 0; -1) και

Q(1; -1; 3) κάθετο στο επίπεδο 3x + 2y – z + 5 = 0.

Κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο 3x + 2y – z + 5 = 0
παράλληλα με το επιθυμητό επίπεδο.

Παίρνουμε:

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία Α(2, -1, 4) και

B(3, 2, -1) κάθετα στο επίπεδο Χ + στο + 2z – 3 = 0.

Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή: Α Χ+Β y+C z+ D = 0, κανονικό διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο (Α, Β, Γ). Διάνυσμα
(1, 3, -5) ανήκει στο επίπεδο. Το επίπεδο που μας δίνεται, κάθετο στο επιθυμητό, ​​έχει κανονικό διάνυσμα (1, 1, 2). Επειδή Τα σημεία Α και Β ανήκουν και στα δύο επίπεδα, και τα επίπεδα είναι αμοιβαία κάθετα, λοιπόν

Άρα το κανονικό διάνυσμα (11, -7, -2). Επειδή Το σημείο Α ανήκει στο επιθυμητό επίπεδο, τότε οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση αυτού του επιπέδου, δηλ. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Συνολικά, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου: 11 Χ - 7y – 2z – 21 = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο P(4, -3, 12) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από την αρχή σε αυτό το επίπεδο.

Εύρεση των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος
= (4, -3, 12). Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή: 4 Χ – 3y + 12z+ D = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή D, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου P στην εξίσωση:

16 + 9 + 144 + D = 0

Συνολικά, παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση: 4 Χ – 3y + 12z – 169 = 0

Παράδειγμα.Δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Βρείτε το μήκος της ακμής A 1 A 2.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ακμών A 1 A 2 και A 1 A 4.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ακμής A 1 A 4 και της όψης A 1 A 2 A 3.

Πρώτα βρίσκουμε το κανονικό διάνυσμα στο πρόσωπο A 1 A 2 A 3 ως διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων
Και
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Ας βρούμε τη γωνία μεταξύ του κανονικού και του διανύσματος
.

-4 – 4 = -8.

Η επιθυμητή γωνία  μεταξύ του διανύσματος και του επιπέδου θα είναι ίση με  = 90 0 - .

Βρείτε την περιοχή του προσώπου A 1 A 2 A 3.

Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.

Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου A 1 A 2 A 3.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Όταν χρησιμοποιείτε την έκδοση υπολογιστή " Ανώτερο μάθημα μαθηματικών” μπορείτε να εκτελέσετε ένα πρόγραμμα που θα λύσει το παραπάνω παράδειγμα για τυχόν συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας.

Για να ξεκινήσετε το πρόγραμμα, κάντε διπλό κλικ στο εικονίδιο:

Στο παράθυρο του προγράμματος που ανοίγει, πληκτρολογήστε τις συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας και πατήστε Enter. Με αυτόν τον τρόπο, όλα τα σημεία απόφασης μπορούν να ληφθούν ένα προς ένα.

Σημείωση: Για να εκτελέσετε το πρόγραμμα, πρέπει να έχετε εγκατεστημένο στον υπολογιστή σας το πρόγραμμα Maple ( Waterloo Maple Inc.), οποιαδήποτε έκδοση ξεκινά με το MapleV Release 4.

Σε αυτό το μάθημα θα δούμε πώς να χρησιμοποιήσουμε την ορίζουσα για τη δημιουργία επίπεδο εξίσωση. Εάν δεν ξέρετε τι είναι ο προσδιοριστής, μεταβείτε στο πρώτο μέρος του μαθήματος - "Πίνακες και ορίζοντες". Διαφορετικά, κινδυνεύετε να μην καταλάβετε τίποτα στο σημερινό υλικό.

Εξίσωση επιπέδου που χρησιμοποιεί τρία σημεία

Γιατί χρειαζόμαστε μια εξίσωση επιπέδου; Είναι απλό: γνωρίζοντας το, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε γωνίες, αποστάσεις και άλλα χάλια στο πρόβλημα C2. Γενικά, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αυτήν την εξίσωση. Επομένως, διατυπώνουμε το πρόβλημα:

Εργο. Δίνονται τρία σημεία στο χώρο που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Οι συντεταγμένες τους:

Μ = (x1, y 1, z 1);
Ν = (x2, y2, z2);
Κ = (x 3, y 3, z 3);

Πρέπει να δημιουργήσετε μια εξίσωση για το επίπεδο που διέρχεται από αυτά τα τρία σημεία. Επιπλέον, η εξίσωση θα πρέπει να μοιάζει με:

Ax + By + Cz + D = 0

όπου οι αριθμοί A, B, C και D είναι οι συντελεστές που, στην πραγματικότητα, πρέπει να βρεθούν.

Λοιπόν, πώς να πάρετε την εξίσωση ενός επιπέδου αν είναι γνωστές μόνο οι συντεταγμένες των σημείων; Ο ευκολότερος τρόπος είναι να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες στην εξίσωση Ax + By + Cz + D = 0. Παίρνετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων που μπορούν εύκολα να λυθούν.

Πολλοί μαθητές βρίσκουν αυτή τη λύση εξαιρετικά κουραστική και αναξιόπιστη. Η περσινή Εξέταση του Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά έδειξε ότι η πιθανότητα να γίνει υπολογιστικό λάθος είναι πραγματικά υψηλή.

Ως εκ τούτου, οι πιο προχωρημένοι δάσκαλοι άρχισαν να αναζητούν απλούστερες και πιο κομψές λύσεις. Και το βρήκαν! Είναι αλήθεια ότι η τεχνική που αποκτήθηκε σχετίζεται μάλλον με ανώτερα μαθηματικά. Προσωπικά, έπρεπε να ψάξω σε ολόκληρη την Ομοσπονδιακή Λίστα σχολικών βιβλίων για να βεβαιωθώ ότι έχουμε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την τεχνική χωρίς καμία αιτιολόγηση ή αποδεικτικό στοιχείο.

Εξίσωση επιπέδου μέσω ορίζουσας

Αρκετά με τους στίχους, ας ασχοληθούμε. Αρχικά, ένα θεώρημα για το πώς σχετίζονται η ορίζουσα ενός πίνακα και η εξίσωση του επιπέδου.

Θεώρημα. Έστω οι συντεταγμένες τριών σημείων μέσω των οποίων πρέπει να συρθεί το επίπεδο: M = (x 1, y 1, z 1); Ν = (x2, y2, z2); K = (x 3, y 3, z 3). Τότε η εξίσωση αυτού του επιπέδου μπορεί να γραφτεί μέσω της ορίζουσας:

Για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε ένα ζεύγος επιπέδων που παρουσιάζονται στην πραγματικότητα στα προβλήματα C2. Δείτε πόσο γρήγορα υπολογίζονται όλα:

Α 1 = (0, 0, 1);
Β = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Συνθέτουμε μια ορίζουσα και την εξισώνουμε με το μηδέν:

Επεκτείνουμε την ορίζουσα:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τον υπολογισμό του αριθμού d, «χτένισα» λίγο την εξίσωση έτσι ώστε οι μεταβλητές x, y και z να είναι στη σωστή σειρά. Αυτό είναι όλο! Η εξίσωση του αεροπλάνου είναι έτοιμη!

Εργο. Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία:

Α = (0, 0, 0);
Β1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Αντικαθιστούμε αμέσως τις συντεταγμένες των σημείων στην ορίζουσα:

Επεκτείνουμε ξανά την ορίζουσα:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Άρα, προκύπτει πάλι η εξίσωση του αεροπλάνου! Και πάλι, στο τελευταίο βήμα έπρεπε να αλλάξουμε τα σημάδια σε αυτό για να έχουμε μια πιο «όμορφη» φόρμουλα. Δεν είναι καθόλου απαραίτητο να το κάνετε αυτό σε αυτήν τη λύση, αλλά εξακολουθεί να συνιστάται - να απλοποιηθεί η περαιτέρω λύση του προβλήματος.

Όπως μπορείτε να δείτε, η σύνθεση της εξίσωσης ενός επιπέδου είναι πλέον πολύ πιο εύκολη. Αντικαθιστούμε τα σημεία στον πίνακα, υπολογίζουμε την ορίζουσα - και αυτό είναι, η εξίσωση είναι έτοιμη.

Αυτό θα μπορούσε να τελειώσει το μάθημα. Ωστόσο, πολλοί μαθητές ξεχνούν συνεχώς τι υπάρχει μέσα στην ορίζουσα. Για παράδειγμα, ποια γραμμή περιέχει x 2 ή x 3 και ποια γραμμή περιέχει μόνο x. Για να το ξεπεράσουμε αυτό, ας δούμε από πού προέρχεται κάθε αριθμός.

Από πού προέρχεται ο τύπος με την ορίζουσα;

Λοιπόν, ας καταλάβουμε από πού προέρχεται μια τόσο σκληρή εξίσωση με μια ορίζουσα. Αυτό θα σας βοηθήσει να το θυμάστε και να το εφαρμόσετε με επιτυχία.

Όλα τα επίπεδα που εμφανίζονται στο πρόβλημα Γ2 ορίζονται από τρία σημεία. Αυτά τα σημεία σημειώνονται πάντα στο σχέδιο ή υποδεικνύονται απευθείας στο κείμενο του προβλήματος. Σε κάθε περίπτωση, για να δημιουργήσουμε μια εξίσωση θα χρειαστεί να γράψουμε τις συντεταγμένες τους:

Μ = (x1, y 1, z 1);
Ν = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Ας εξετάσουμε ένα άλλο σημείο στο αεροπλάνο μας με αυθαίρετες συντεταγμένες:

T = (x, y, z)

Πάρτε οποιοδήποτε σημείο από τα τρία πρώτα (για παράδειγμα, σημείο Μ) και σχεδιάστε διανύσματα από αυτό σε καθένα από τα τρία υπόλοιπα σημεία. Παίρνουμε τρία διανύσματα:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Τώρα ας συνθέσουμε έναν τετράγωνο πίνακα από αυτά τα διανύσματα και ας εξισώσουμε την ορίζουσα του με μηδέν. Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων θα γίνουν σειρές του πίνακα - και θα πάρουμε την ίδια την ορίζουσα που υποδεικνύεται στο θεώρημα:

Αυτός ο τύπος σημαίνει ότι ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται στα διανύσματα MN, MK και MT είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, και τα τρία διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Συγκεκριμένα, ένα αυθαίρετο σημείο T = (x, y, z) είναι ακριβώς αυτό που ψάχναμε.

Αντικατάσταση σημείων και ευθειών μιας ορίζουσας

Οι ορίζοντες έχουν πολλές εξαιρετικές ιδιότητες που το κάνουν ακόμα πιο εύκολο λύση στο πρόβλημα Γ2. Για παράδειγμα, δεν μας ενδιαφέρει από ποιο σημείο αντλούμε τα διανύσματα. Επομένως, οι ακόλουθοι ορίζοντες δίνουν την ίδια εξίσωση επιπέδου με την παραπάνω:

Μπορείτε επίσης να ανταλλάξετε τις γραμμές της ορίζουσας. Η εξίσωση θα παραμείνει αμετάβλητη. Για παράδειγμα, σε πολλούς ανθρώπους αρέσει να γράφουν μια γραμμή με τις συντεταγμένες του σημείου T = (x; y; z) στην κορυφή. Παρακαλώ, εάν σας βολεύει:

Μερικοί άνθρωποι μπερδεύονται από το γεγονός ότι μία από τις γραμμές περιέχει μεταβλητές x, y και z, οι οποίες δεν εξαφανίζονται όταν αντικαθιστούν σημεία. Αλλά δεν πρέπει να εξαφανιστούν! Αντικαθιστώντας τους αριθμούς στην ορίζουσα, θα πρέπει να πάρετε αυτήν την κατασκευή:

Στη συνέχεια, η ορίζουσα επεκτείνεται σύμφωνα με το διάγραμμα που δίνεται στην αρχή του μαθήματος και προκύπτει η τυπική εξίσωση του επιπέδου:

Ax + By + Cz + D = 0

Ρίξτε μια ματιά σε ένα παράδειγμα. Είναι το τελευταίο στο σημερινό μάθημα. Θα ανταλλάξω σκόπιμα τις γραμμές για να βεβαιωθώ ότι η απάντηση θα δώσει την ίδια εξίσωση του αεροπλάνου.

Εργο. Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία:

Β1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Λοιπόν, εξετάζουμε 4 σημεία:

Β1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Αρχικά, ας δημιουργήσουμε μια τυπική ορίζουσα και ας την εξισώσουμε με το μηδέν:

Επεκτείνουμε την ορίζουσα:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Αυτό ήταν, πήραμε την απάντηση: x + y + z − 2 = 0.

Τώρα ας αναδιατάξουμε μερικές γραμμές στην ορίζουσα και ας δούμε τι συμβαίνει. Για παράδειγμα, ας γράψουμε μια γραμμή με τις μεταβλητές x, y, z όχι στο κάτω μέρος, αλλά στην κορυφή:

Επεκτείνουμε ξανά την προκύπτουσα ορίζουσα:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Πήραμε ακριβώς την ίδια εξίσωση επιπέδου: x + y + z − 2 = 0. Αυτό σημαίνει ότι πραγματικά δεν εξαρτάται από τη σειρά των σειρών. Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε την απάντηση.

Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι η εξίσωση του επιπέδου δεν εξαρτάται από την ακολουθία των γραμμών. Μπορούμε να κάνουμε παρόμοιους υπολογισμούς και να αποδείξουμε ότι η εξίσωση του επιπέδου δεν εξαρτάται από το σημείο του οποίου τις συντεταγμένες αφαιρούμε από άλλα σημεία.

Στο πρόβλημα που εξετάστηκε παραπάνω, χρησιμοποιήσαμε το σημείο B 1 = (1, 0, 1), αλλά ήταν πολύ πιθανό να πάρουμε C = (1, 1, 0) ή D 1 = (0, 1, 1). Γενικά, οποιοδήποτε σημείο με γνωστές συντεταγμένες βρίσκεται στο επιθυμητό επίπεδο.

Μπορείτε να ορίσετε διαφορετικοί τρόποι(ένα σημείο και ένα διάνυσμα, δύο σημεία και ένα διάνυσμα, τρία σημεία κ.λπ.). Με αυτό κατά νου μπορεί να έχει η εξίσωση του επιπέδου διαφορετικά είδη. Επίσης, υπόκειται σε συγκεκριμένες συνθήκεςΤα επίπεδα μπορεί να είναι παράλληλα, κάθετα, τεμνόμενα κ.λπ. Θα μιλήσουμε για αυτό σε αυτό το άρθρο. Θα μάθουμε πώς να δημιουργήσουμε μια γενική εξίσωση ενός επιπέδου και πολλά άλλα.

Κανονική μορφή εξίσωσης

Ας πούμε ότι υπάρχει ένα διάστημα R 3 που έχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων XYZ. Ας ορίσουμε το διάνυσμα α, που θα απελευθερωθεί από το αρχικό σημείο Ο. Από το άκρο του διανύσματος α σχεδιάζουμε ένα επίπεδο P, που θα είναι κάθετο σε αυτό.

Ας υποδηλώσουμε ένα αυθαίρετο σημείο στο P ως Q = (x, y, z). Ας υπογράψουμε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Q με το γράμμα p. Στην περίπτωση αυτή, το μήκος του διανύσματος α είναι ίσο με ρ=IαI και Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Αυτό είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα που κατευθύνεται στο πλάι, όπως το διάνυσμα α. α, β και γ είναι οι γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ του διανύσματος Ʋ και των θετικών κατευθύνσεων των διαστημικών αξόνων x, y, z, αντίστοιχα. Η προβολή οποιουδήποτε σημείου QϵП στο διάνυσμα Ʋ ​​είναι μια σταθερή τιμή που ισούται με p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Η παραπάνω εξίσωση έχει νόημα όταν p=0. Το μόνο πράγμα είναι ότι το επίπεδο P σε αυτή την περίπτωση θα τέμνει το σημείο O (α=0), που είναι η αρχή των συντεταγμένων, και το μοναδιαίο διάνυσμα Ʋ ​​που απελευθερώνεται από το σημείο O θα είναι κάθετο στο P, παρά την κατεύθυνσή του, η οποία σημαίνει ότι το διάνυσμα Ʋ ​​προσδιορίζεται με ακρίβεια στο πρόσημο. Η προηγούμενη εξίσωση είναι η εξίσωση του επιπέδου μας P, εκφρασμένη σε διανυσματική μορφή. Αλλά στις συντεταγμένες θα μοιάζει με αυτό:

Το P εδώ είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0. Βρήκαμε την εξίσωση του επιπέδου στο διάστημα σε κανονική μορφή.

Γενική εξίσωση

Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση σε συντεταγμένες με οποιονδήποτε αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, λαμβάνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν, που ορίζει αυτό ακριβώς το επίπεδο. Θα μοιάζει με αυτό:

Εδώ τα Α, Β, Γ είναι αριθμοί που διαφέρουν ταυτόχρονα από το μηδέν. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση γενικού επιπέδου.

Εξισώσεις επιπέδων. Ειδικές περιπτώσεις

Εξίσωση σε γενική εικόναμπορεί να τροποποιηθεί υπό πρόσθετους όρους. Ας δούμε μερικά από αυτά.

Ας υποθέσουμε ότι ο συντελεστής Α είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το επίπεδο είναι παράλληλο με τον δεδομένο άξονα Ox. Σε αυτήν την περίπτωση, η μορφή της εξίσωσης θα αλλάξει: Ву+Cz+D=0.

Ομοίως, η μορφή της εξίσωσης θα αλλάξει υπό τις ακόλουθες συνθήκες:

• Πρώτον, εάν B = 0, τότε η εξίσωση θα αλλάξει σε Ax + Cz + D = 0, που θα υποδηλώνει παραλληλισμό με τον άξονα Oy.
• Δεύτερον, αν C=0, τότε η εξίσωση θα μετατραπεί σε Ax+By+D=0, που θα υποδηλώνει παραλληλισμό με τον δεδομένο άξονα Oz.
• Τρίτον, εάν D=0, η εξίσωση θα μοιάζει με Ax+By+Cz=0, που θα σημαίνει ότι το επίπεδο τέμνει το O (την αρχή).
• Τέταρτον, αν A=B=0, τότε η εξίσωση θα αλλάξει σε Cz+D=0, που θα αποδειχθεί παράλληλη με το Oxy.
• Πέμπτον, αν B=C=0, τότε η εξίσωση γίνεται Ax+D=0, που σημαίνει ότι το επίπεδο προς το Oyz είναι παράλληλο.
• Έκτον, αν A=C=0, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή Ву+D=0, δηλαδή θα αναφέρει παραλληλισμό στο Oxz.

Τύπος εξίσωσης σε τμήματα

Στην περίπτωση που οι αριθμοί A, B, C, D είναι διαφορετικοί από το μηδέν, η μορφή της εξίσωσης (0) μπορεί να είναι η εξής:

x/a + y/b + z/c = 1,

στο οποίο a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Λαμβάνουμε ως αποτέλεσμα Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτό το επίπεδο θα τέμνει τον άξονα Ox σε ένα σημείο με συντεταγμένες (a,0,0), Oy - (0,b,0) και Oz - (0,0,c. ).

Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση x/a + y/b + z/c = 1, δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς οπτικά την τοποθέτηση του επιπέδου σε σχέση με ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Κανονικές διανυσματικές συντεταγμένες

Το κανονικό διάνυσμα n στο επίπεδο P έχει συντεταγμένες που είναι συντελεστές γενική εξίσωσηενός δεδομένου επιπέδου, δηλαδή n (A, B, C).

Για να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του κανονικού n, αρκεί να γνωρίζουμε τη γενική εξίσωση ενός δεδομένου επιπέδου.

Όταν χρησιμοποιείτε μια εξίσωση σε τμήματα, που έχει τη μορφή x/a + y/b + z/c = 1, όπως όταν χρησιμοποιείτε μια γενική εξίσωση, μπορείτε να γράψετε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε κανονικού διανύσματος ενός δεδομένου επιπέδου: (1/a + 1/β + 1/ Με).

Αξίζει να σημειωθεί ότι το κανονικό διάνυσμα βοηθά στην επίλυση ποικίλων προβλημάτων. Τα πιο συνηθισμένα περιλαμβάνουν προβλήματα που περιλαμβάνουν την απόδειξη της καθετότητας ή παραλληλισμού των επιπέδων, προβλήματα εύρεσης γωνιών μεταξύ επιπέδων ή γωνιών μεταξύ επιπέδων και ευθειών.

Τύπος εξίσωσης επιπέδου σύμφωνα με τις συντεταγμένες του σημείου και του κανονικού διανύσματος

Ένα μη μηδενικό διάνυσμα n κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο ονομάζεται κανονικό για ένα δεδομένο επίπεδο.

Ας υποθέσουμε ότι στον χώρο συντεταγμένων (ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων) δίνονται τα Oxyz:

• σημείο Mₒ με συντεταγμένες (xₒ,yₒ,zₒ);
• μηδενικό διάνυσμα n=A*i+B*j+C*k.

Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια εξίσωση για ένα επίπεδο που θα διέρχεται από το σημείο Mₒ κάθετο στην κανονική n.

Επιλέγουμε οποιοδήποτε αυθαίρετο σημείο του χώρου και το συμβολίζουμε M (x y, z). Έστω το διάνυσμα ακτίνας οποιουδήποτε σημείου M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k και το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Το σημείο M θα ανήκει σε ένα δεδομένο επίπεδο εάν το διάνυσμα MₒM είναι κάθετο στο διάνυσμα n. Ας γράψουμε τη συνθήκη ορθογωνικότητας χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο:

[MₒM, n] = 0.

Εφόσον MₒM = r-rₒ, η διανυσματική εξίσωση του επιπέδου θα μοιάζει με αυτό:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να έχει άλλη μορφή. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος και ο μετασχηματισμός είναι αριστερή πλευράεξισώσεις = - . Αν το συμβολίσουμε ως c, προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση: - c = 0 ή = c, η οποία εκφράζει τη σταθερότητα των προβολών στο κανονικό διάνυσμα των διανυσμάτων ακτίνας δεδομένων σημείων που ανήκουν στο επίπεδο.

Τώρα μπορούμε να πάρουμε τη μορφή συντεταγμένων γράφοντας τη διανυσματική εξίσωση του επιπέδου μας = 0. Αφού r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, και n = A*i+B *j+С*k, έχουμε:

Αποδεικνύεται ότι έχουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στην κανονική n:

A*(x- x2)+B*(y- y2)C*(z-z2)=0.

Τύπος εξίσωσης επιπέδου σύμφωνα με τις συντεταγμένες δύο σημείων και ενός διανύσματος συγγραμμικού με το επίπεδο

Ας ορίσουμε δύο αυθαίρετα σημεία M′ (x′,y′,z′) και M″ (x″,y″,z″), καθώς και ένα διάνυσμα a (a′,a″,a‴).

Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε μια εξίσωση για ένα δεδομένο επίπεδο που θα διέρχεται από τα υπάρχοντα σημεία M′ και M″, καθώς και από οποιοδήποτε σημείο M με συντεταγμένες (x, y, z) παράλληλες στο δεδομένο διάνυσμα a.

Στην περίπτωση αυτή, τα διανύσματα M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) και M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) πρέπει να είναι συνεπίπεδα με το διάνυσμα a=(a′,a″,a‴), που σημαίνει ότι (M′M, M″M, a)=0.

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου μας στο διάστημα θα μοιάζει με αυτό:

Τύπος εξίσωσης επιπέδου που τέμνει τρία σημεία

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τρία σημεία: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. Είναι απαραίτητο να γραφτεί η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από δεδομένα τρία σημεία. Η θεωρία της γεωμετρίας ισχυρίζεται ότι αυτού του είδους το επίπεδο υπάρχει πραγματικά, αλλά είναι το μοναδικό και μοναδικό. Εφόσον αυτό το επίπεδο τέμνει το σημείο (x′,y′,z′), η μορφή της εξίσωσής του θα είναι η εξής:

Εδώ τα Α, Β, Γ διαφέρουν από το μηδέν ταυτόχρονα. Επίσης, το δεδομένο επίπεδο τέμνει δύο ακόμη σημεία: (x″,y″,z″) και (x‴,y‴,z‴). Ως προς αυτό, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Τώρα μπορούμε να συνθέσουμε ομοιογενές σύστημαμε άγνωστο u, v, w:

Στο δικό μας περίπτωση x,yή το z λειτουργεί ως αυθαίρετο σημείο που ικανοποιεί την εξίσωση (1). Δεδομένης της εξίσωσης (1) και του συστήματος των εξισώσεων (2) και (3), το σύστημα των εξισώσεων που υποδεικνύεται στο παραπάνω σχήμα ικανοποιείται από το διάνυσμα N (A,B,C), το οποίο είναι μη τετριμμένο. Γι' αυτό η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι ίση με μηδέν.

Η εξίσωση (1) που λάβαμε είναι η εξίσωση του επιπέδου. Περνά από 3 σημεία ακριβώς, και αυτό είναι εύκολο να ελεγχθεί. Για να γίνει αυτό, πρέπει να επεκτείνουμε την ορίζοντά μας στα στοιχεία της πρώτης σειράς. Από τις υπάρχουσες ιδιότητες της ορίζουσας προκύπτει ότι το επίπεδό μας τέμνει ταυτόχρονα τρία αρχικά δεδομένα σημεία (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Δηλαδή έχουμε λύσει την εργασία που μας έχει ανατεθεί.

Διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων

Μια διεδρική γωνία είναι ένα χωρικό γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα που προέρχονται από μια ευθεία γραμμή. Με άλλα λόγια, αυτό είναι το μέρος του χώρου που περιορίζεται από αυτά τα ημιεπίπεδα.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα με τις ακόλουθες εξισώσεις:

Γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα N=(A,B,C) και N1=(A1,B1,C1) είναι κάθετα σύμφωνα με τα δεδομένα επίπεδα. Από αυτή την άποψη, η γωνία φ μεταξύ των διανυσμάτων N και N1 είναι ίση με τη γωνία (διεδρική) που βρίσκεται μεταξύ αυτών των επιπέδων. Το προϊόν με τελείες έχει τη μορφή:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ακριβώς επειδή

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB1+CC1)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B1)²+(C1)²)).

Αρκεί να ληφθεί υπόψη ότι 0≤φ≤π.

Στην πραγματικότητα, δύο επίπεδα που τέμνονται σχηματίζουν δύο γωνίες (διεδρικές): φ 1 και φ 2. Το άθροισμά τους είναι ίσο με π (φ 1 + φ 2 = π). Όσον αφορά τα συνημίτονά τους, οι απόλυτες τιμές τους είναι ίσες, αλλά διαφέρουν ως προς το πρόσημο, δηλαδή cos φ 1 = -cos φ 2. Αν στην εξίσωση (0) αντικαταστήσουμε τα Α, Β και Γ με τους αριθμούς -Α, -Β και -Γ αντίστοιχα, τότε η εξίσωση που θα πάρουμε θα καθορίσει το ίδιο επίπεδο, το μοναδικό, τη γωνία φ στην εξίσωση συν. φ= NN 1 /|. N||N 1 | θα αντικατασταθεί από το π-φ.

Εξίσωση κάθετου επιπέδου

Τα επίπεδα μεταξύ των οποίων η γωνία είναι 90 μοίρες ονομάζονται κάθετα. Χρησιμοποιώντας το υλικό που παρουσιάστηκε παραπάνω, μπορούμε να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου κάθετου σε ένα άλλο. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα: Ax+By+Cz+D=0 και A¹x+B1y+C1z+D=0. Μπορούμε να πούμε ότι θα είναι κάθετοι αν cosφ=0. Αυτό σημαίνει ότι NN1=AA1+BB1+CC1=0.

Εξίσωση παράλληλου επιπέδου

Δύο επίπεδα που δεν περιέχουν κοινά σημεία ονομάζονται παράλληλα.

Η προϋπόθεση (οι εξισώσεις τους είναι ίδιες με την προηγούμενη παράγραφο) είναι ότι τα διανύσματα N και N1, που είναι κάθετα σε αυτά, είναι συγγραμμικά. Αυτό σημαίνει ότι πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις αναλογικότητας:

A/A1=B/B1=C/C1.

Εάν επεκταθούν οι όροι αναλογικότητας - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

αυτό δείχνει ότι αυτά τα αεροπλάνα συμπίπτουν. Αυτό σημαίνει ότι οι εξισώσεις Ax+By+Cz+D=0 και A1x+B1y+C1z+D1=0 περιγράφουν ένα επίπεδο.

Απόσταση σε αεροπλάνο από σημείο

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα επίπεδο P, το οποίο δίνεται από την εξίσωση (0). Είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση από αυτό από ένα σημείο με συντεταγμένες (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Για να γίνει αυτό, πρέπει να φέρετε την εξίσωση του επιπέδου P σε κανονική μορφή:

(ρ,v)=р (р≥0).

Στην περίπτωση αυτή, ρ (x,y,z) είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου μας Q που βρίσκεται στο P, p είναι το μήκος της κάθετης P που απελευθερώθηκε από το σημείο μηδέν, v είναι το μοναδιαίο διάνυσμα, το οποίο βρίσκεται στο η κατεύθυνση α.

Το διάνυσμα διαφοράς ρ-ρº ακτίνας κάποιου σημείου Q = (x, y, z), που ανήκει στο P, καθώς και το διάνυσμα ακτίνας ενός δεδομένου σημείου Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) είναι ένα τέτοιο διάνυσμα, το απόλυτη τιμή της προβολής της οποίας στο v ισούται με την απόσταση d που πρέπει να βρεθεί από Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) έως P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, αλλά

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

Έτσι αποδεικνύεται

d=|(ρ 0 ,v)-ρ|.

Έτσι, θα βρούμε την απόλυτη τιμή της έκφρασης που προκύπτει, δηλαδή το επιθυμητό d.

Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα παραμέτρων, έχουμε το προφανές:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Εάν ένα δεδομένο σημείο Q 0 βρίσκεται στην άλλη πλευρά του επιπέδου P, όπως η αρχή των συντεταγμένων, τότε μεταξύ του διανύσματος ρ-ρ 0 και v υπάρχει επομένως:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-ρ>0.

Στην περίπτωση που το σημείο Q 0, μαζί με την αρχή των συντεταγμένων, βρίσκεται στην ίδια πλευρά του P, τότε η γωνία που δημιουργείται είναι οξεία, δηλαδή:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι στην πρώτη περίπτωση (ρ 0 ,v)>р, στη δεύτερη (ρ 0 ,v)<р.

Εφαπτομενικό επίπεδο και η εξίσωσή του

Το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια στο σημείο επαφής Mº είναι ένα επίπεδο που περιέχει όλες τις πιθανές εφαπτόμενες στις καμπύλες που χαράσσονται μέσω αυτού του σημείου στην επιφάνεια.

Με αυτόν τον τύπο επιφανειακής εξίσωσης F(x,y,z)=0, η εξίσωση του εφαπτομενικού επιπέδου στο εφαπτομενικό σημείο Mº(xº,yº,zº) θα μοιάζει με αυτό:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Εάν καθορίσετε την επιφάνεια σε ρητή μορφή z=f (x,y), τότε το εφαπτομενικό επίπεδο θα περιγραφεί από την εξίσωση:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Τομή δύο επιπέδων

Στο σύστημα συντεταγμένων (ορθογώνιο) βρίσκεται το Oxyz, δίνονται δύο επίπεδα П′ και П″, τα οποία τέμνονται και δεν συμπίπτουν. Εφόσον οποιοδήποτε επίπεδο βρίσκεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται από μια γενική εξίσωση, θα υποθέσουμε ότι τα P′ και P″ δίνονται από τις εξισώσεις A′x+B′y+C′z+D′=0 και A″x +B″y+ С″z+D″=0. Στην περίπτωση αυτή, έχουμε το κανονικό n′ (A′,B′,C′) του επιπέδου P′ και το κανονικό n″ (A″,B″,C″) του επιπέδου P″. Δεδομένου ότι τα επίπεδά μας δεν είναι παράλληλα και δεν συμπίπτουν, αυτά τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά. Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των μαθηματικών, μπορούμε να γράψουμε αυτή τη συνθήκη ως εξής: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Έστω η ευθεία που βρίσκεται στη τομή των P′ και P″ συμβολίζεται με το γράμμα a, στην περίπτωση αυτή a = P′ ∩ P″.

Η α είναι μια ευθεία που αποτελείται από το σύνολο όλων των σημείων των (κοινών) επιπέδων P′ και P″. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στην ευθεία a πρέπει να ικανοποιούν ταυτόχρονα τις εξισώσεις A′x+B′y+C′z+D′=0 και A″x+B″y+C″z+D″=0 . Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου θα είναι μια μερική λύση του παρακάτω συστήματος εξισώσεων:

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι η (γενική) λύση αυτού του συστήματος εξισώσεων θα καθορίσει τις συντεταγμένες καθενός από τα σημεία της ευθείας, τα οποία θα λειτουργήσουν ως το σημείο τομής των P′ και P″, και θα καθορίσει την ευθεία α στο σύστημα συντεταγμένων Oxyz (ορθογώνιο) στο διάστημα.