Η περιοχή της πλευρικής πλευράς μιας κολοβωμένης πυραμίδας. Πυραμίδα

Σε αυτό το μάθημα θα δούμε μια κολοβωμένη πυραμίδα, θα εξοικειωθούμε με μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα και θα μελετήσουμε τις ιδιότητές της.

Ας θυμηθούμε την έννοια μιας n-γωνικής πυραμίδας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας τριγωνικής πυραμίδας. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Έξω από το επίπεδο του τριγώνου, λαμβάνεται ένα σημείο P, συνδεδεμένο με τις κορυφές του τριγώνου. Η πολυεδρική επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται πυραμίδα (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Τριγωνική πυραμίδα

Ας κόψουμε την πυραμίδα με ένα επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας. Το σχήμα που προκύπτει μεταξύ αυτών των επιπέδων ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Κόλουρη πυραμίδα

Βασικά στοιχεία:

Πάνω βάση?

Κάτω βάση ABC.

Προφίλ;

Εάν το PH είναι το ύψος της αρχικής πυραμίδας, τότε είναι το ύψος της κολοβωμένης πυραμίδας.

Οι ιδιότητες μιας κολοβωμένης πυραμίδας προκύπτουν από τη μέθοδο κατασκευής της, δηλαδή από τον παραλληλισμό των επιπέδων των βάσεων:

Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την άκρη. Έχει την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων (καθώς τα επίπεδα είναι παράλληλα, κόβουν την πλευρική όψη της αρχικής πυραμίδας AVR κατά μήκος παράλληλων ευθειών), αλλά ταυτόχρονα δεν είναι παράλληλα. Προφανώς, το τετράπλευρο είναι τραπεζοειδές, όπως όλες οι πλευρικές όψεις της κόλουρης πυραμίδας.

Η αναλογία των βάσεων είναι ίδια για όλα τα τραπεζοειδή:

Έχουμε πολλά ζεύγη όμοιων τριγώνων με τον ίδιο συντελεστή ομοιότητας. Για παράδειγμα, τα τρίγωνα και το RAB είναι παρόμοια λόγω του παραλληλισμού των επιπέδων και του συντελεστή ομοιότητας:

Ταυτόχρονα, τα τρίγωνα και τα RVS είναι παρόμοια με τον συντελεστή ομοιότητας:

Προφανώς, οι συντελεστές ομοιότητας και για τα τρία ζεύγη ομοειδών τριγώνων είναι ίσοι, άρα ο λόγος των βάσεων είναι ίδιος για όλα τα τραπεζοειδή.

Μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα είναι μια κολοβωμένη πυραμίδα που λαμβάνεται με την κοπή μιας κανονικής πυραμίδας με ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Κανονική κολοβωμένη πυραμίδα

Ορισμός.

Μια πυραμίδα ονομάζεται κανονική εάν η βάση της είναι ένα κανονικό n-gon και η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο αυτού του n-gon (το κέντρο του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου).

Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει ένα τετράγωνο στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή προβάλλεται στο σημείο τομής των διαγωνίων της. Η προκύπτουσα κανονική τετραγωνική κόλουρη πυραμίδα ABCD έχει μια κάτω βάση και μια άνω βάση. Το ύψος της αρχικής πυραμίδας είναι RO, η κολοβωμένη πυραμίδα είναι (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Κανονική τετράγωνη κόλουρη πυραμίδα

Ορισμός.

Το ύψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι μια κάθετη που τραβιέται από οποιοδήποτε σημείο μιας βάσης στο επίπεδο της δεύτερης βάσης.

Το απόθεμα της αρχικής πυραμίδας είναι RM (Μ είναι το μέσο του ΑΒ), το απόθεμα της κολοβωμένης πυραμίδας είναι (Εικ. 4).

Ορισμός.

Το απόθεμα μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι το ύψος οποιασδήποτε πλευρικής όψης.

Είναι σαφές ότι όλες οι πλευρικές ακμές της κόλουρης πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελή τραπεζοειδή.

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας ισούται με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των περιμέτρων των βάσεων και του αποθέματος.

Απόδειξη (για μια κανονική τετραγωνική κόλουρη πυραμίδα - Εικ. 4):

Πρέπει λοιπόν να αποδείξουμε:

Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας εδώ θα αποτελείται από το άθροισμα των περιοχών των πλευρικών όψεων - τραπεζοειδών. Δεδομένου ότι τα τραπεζοειδή είναι τα ίδια, έχουμε:

τετράγωνο ισοσκελές τραπεζοειδέςείναι το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους, το απόθεμα είναι το ύψος του τραπεζοειδούς. Εχουμε:

Q.E.D.

Για μια n-γωνική πυραμίδα:

Όπου n είναι ο αριθμός των πλευρικών όψεων της πυραμίδας, τα a και b είναι οι βάσεις του τραπεζοειδούς και είναι το απόθεμα.

Τα πλαϊνά της βάσης είναι κανονικά κολοβωμένα τετράγωνη πυραμίδα ίσο 3 cm και 9 cm, ύψος - 4 cm Βρείτε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας.

Ρύζι. 5. Απεικόνιση για το πρόβλημα 1

Λύση. Ας δείξουμε την συνθήκη:

Ερωτηθείς από: , ,

Μέσα από το σημείο Ο τραβάμε μια ευθεία γραμμή ΜΝ παράλληλη στις δύο πλευρές της κάτω βάσης, και ομοίως μέσα από το σημείο τραβάμε μια ευθεία γραμμή (Εικ. 6). Δεδομένου ότι τα τετράγωνα και οι κατασκευές στις βάσεις της κολοβωμένης πυραμίδας είναι παράλληλα, λαμβάνουμε ένα τραπεζοειδές ίσο με τις πλευρικές όψεις. Επιπλέον, η πλευρά του θα περάσει από τα μέσα των άνω και κάτω άκρων των πλευρικών όψεων και θα είναι το απόθεμα της κολοβωμένης πυραμίδας.

Ρύζι. 6. Πρόσθετες κατασκευές

Ας εξετάσουμε το τραπεζοειδές που προκύπτει (Εικ. 6). Σε αυτό το τραπεζοειδές είναι γνωστά η άνω βάση, η κάτω βάση και το ύψος. Πρέπει να βρείτε την πλευρά που είναι το απόθεμα μιας δεδομένης κολοβωμένης πυραμίδας. Ας σχεδιάσουμε κάθετα στη ΜΝ. Από το σημείο κατεβάζουμε την κάθετη NQ. Διαπιστώνουμε ότι η μεγαλύτερη βάση χωρίζεται σε τμήματα των τριών εκατοστών (). Σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα πόδια σε αυτό είναι γνωστά, αυτό Αιγυπτιακό τρίγωνο, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα προσδιορίζουμε το μήκος της υποτείνουσας: 5 cm.

Τώρα υπάρχουν όλα τα στοιχεία για τον προσδιορισμό της περιοχής της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας:

Η πυραμίδα τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση. Αποδείξτε, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας τριγωνικής πυραμίδας, ότι οι πλευρικές ακμές και το ύψος της πυραμίδας χωρίζονται από αυτό το επίπεδο σε αναλογικά μέρη.

Απόδειξη. Ας δείξουμε:

Ρύζι. 7. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 2

Δίνεται η πυραμίδα RABC. PO - ύψος της πυραμίδας. Η πυραμίδα κόβεται από ένα επίπεδο, λαμβάνεται μια κολοβωμένη πυραμίδα και. Σημείο - το σημείο τομής του ύψους του RO με το επίπεδο της βάσης της κόλουρης πυραμίδας. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί:

Το κλειδί για τη λύση είναι η ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων. Δύο παράλληλα επίπεδα τέμνουν οποιοδήποτε τρίτο επίπεδο έτσι ώστε οι ευθείες τομής να είναι παράλληλες. Από εδώ: . Ο παραλληλισμός των αντίστοιχων ευθειών συνεπάγεται την παρουσία τεσσάρων ζευγών όμοιων τριγώνων:

Από την ομοιότητα των τριγώνων προκύπτει η αναλογικότητα των αντίστοιχων πλευρών. Σημαντικό χαρακτηριστικόείναι ότι οι συντελεστές ομοιότητας αυτών των τριγώνων είναι οι ίδιοι:

Q.E.D.

Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα RABC με ύψος και πλευρά της βάσης διατέμνεται από ένα επίπεδο που διέρχεται από το μέσο του ύψους PH παράλληλα με τη βάση ABC. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια της κολοβωμένης πυραμίδας που προκύπτει.

Λύση. Ας δείξουμε:

Ρύζι. 8. Απεικόνιση για το πρόβλημα 3

Το ACB είναι ένα κανονικό τρίγωνο, το H είναι το κέντρο αυτού του τριγώνου (το κέντρο των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων). Το RM είναι το απόθεμα μιας δεδομένης πυραμίδας. - απόθεμα μιας κολοβωμένης πυραμίδας. Σύμφωνα με την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων (δύο παράλληλα επίπεδα κόβουν οποιοδήποτε τρίτο επίπεδο έτσι ώστε οι γραμμές τομής να είναι παράλληλες), έχουμε πολλά ζεύγη όμοιων τριγώνων με ίσο συντελεστή ομοιότητας. Συγκεκριμένα, μας ενδιαφέρει η σχέση:

Ας βρούμε NM. Αυτή είναι η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται στη βάση, γνωρίζουμε τον αντίστοιχο τύπο:

Τώρα από το ορθογώνιο τρίγωνο PHM, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, βρίσκουμε το RM - το απόθεμα της αρχικής πυραμίδας:

Από την αρχική αναλογία:

Τώρα γνωρίζουμε όλα τα στοιχεία για την εύρεση της περιοχής της πλευρικής επιφάνειας μιας κολοβωμένης πυραμίδας:

Έτσι, εξοικειωθήκαμε με τις έννοιες μιας κολοβωμένης πυραμίδας και μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας, δώσαμε βασικούς ορισμούς, εξετάσαμε τις ιδιότητες και αποδείξαμε το θεώρημα για την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας. Το επόμενο μάθημα θα επικεντρωθεί στην επίλυση προβλημάτων.

Βιβλιογραφία

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Γεωμετρία. Τάξεις 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές Εκπαιδευτικά ιδρύματα(βασικά και προφίλ) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ.
2. Sharygin I. F. Γεωμετρία. 10-11 τάξη: Εγχειρίδιο γενικής παιδείας Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Γεωμετρία. 10η τάξη: Σχολικό εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης με εμβάθυνση και εξειδικευμένη μελέτη των μαθηματικών /Ε. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδ., στερεότυπο. - M.: Bustard, 2008. - 233 σελ.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Εργασία για το σπίτι

• 29.05.2016

  Ταλαντωτικό κύκλωμα - ηλεκτρικό κύκλωμα, που περιέχει έναν επαγωγέα, έναν πυκνωτή και μια πηγή ηλεκτρικής ενέργειας. Όταν τα στοιχεία του κυκλώματος συνδέονται σε σειρά, το ταλαντευόμενο κύκλωμα ονομάζεται σειριακό και όταν συνδέεται παράλληλα, ονομάζεται παράλληλο. Ταλαντωτικό κύκλωμα - απλούστερο σύστημα, στο οποίο μπορούν να συμβούν ελεύθερες ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις. Η συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος καθορίζεται από τον λεγόμενο τύπο Thomson: ƒ = 1/(2π√(LC)) Για ...

• 20.09.2014

  Ο δέκτης έχει σχεδιαστεί για λήψη σημάτων στην περιοχή DV (150 kHz…300 kHz). Το κύριο χαρακτηριστικό του δέκτη είναι η κεραία, η οποία έχει μεγαλύτερη αυτεπαγωγή από μια συμβατική μαγνητική κεραία. Αυτό καθιστά δυνατή τη χρήση της χωρητικότητας του πυκνωτή συντονισμού στην περιοχή των 4...20 pF, και επίσης ένας τέτοιος δέκτης έχει αποδεκτή ευαισθησία και ένα μικρό κέρδος στη διαδρομή RF. Ο δέκτης λειτουργεί για ακουστικά (ακουστικά), τροφοδοτείται...

• 24.09.2014

  Αυτή η συσκευή έχει σχεδιαστεί για να παρακολουθεί τη στάθμη του υγρού στις δεξαμενές μόλις ανέβει το υγρό καθιερωμένο επίπεδοΗ συσκευή θα αρχίσει να ηχεί συνεχώς όταν η στάθμη του υγρού φτάσει σε ένα κρίσιμο επίπεδο Η συσκευή θα αρχίσει να εκπέμπει κατά διαστήματα. Ο δείκτης αποτελείται από 2 γεννήτριες, ελέγχονται από το στοιχείο αισθητήρα Ε. Τοποθετείται στη δεξαμενή σε επίπεδο έως ...

• 22.09.2014

  Το KR1016VI1 είναι ένας ψηφιακός χρονοδιακόπτης πολλαπλών προγραμμάτων που έχει σχεδιαστεί για να λειτουργεί με την ένδειξη ILC3-5\7. Παρέχει καταμέτρηση και εμφάνιση της τρέχουσας ώρας σε ώρες και λεπτά, ημέρα της εβδομάδας και αριθμό καναλιού ελέγχου (9 ξυπνητήρια). Το κύκλωμα του ξυπνητηριού φαίνεται στο σχήμα. Το μικροκύκλωμα είναι χρονισμένο. αντηχείο Q1 στα 32768Hz. το φαγητό είναι αρνητικό, το συνολικό συν πηγαίνει στο...

Πυραμίδα. Κόλουρη πυραμίδα

Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο, του οποίου μια όψη είναι πολύγωνο ( βάση ), και όλες οι άλλες όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή ( πλαϊνά πρόσωπα ) (Εικ. 15). Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός , αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης (Εικ. 16). Μια τριγωνική πυραμίδα με όλες τις άκρες ίσες ονομάζεται τετράεδρο .

Πλευρική πλευράμιας πυραμίδας είναι η πλευρά της πλευρικής όψης που δεν ανήκει στη βάση Υψος πυραμίδα είναι η απόσταση από την κορυφή της μέχρι το επίπεδο της βάσης. Όλες οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή ονομάζεται αποθεμα . Διαγώνιο τμήμα ονομάζεται τομή μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Πλάγια επιφάνειαπυραμίδα είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων. Συνολική επιφάνεια ονομάζεται το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών όψεων και της βάσης.

Θεωρήματα

1. Εάν σε μια πυραμίδα όλες οι πλευρικές ακμές έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.

2. Αν σε μια πυραμίδα όλες οι πλευρικές ακμές έχουν ίσα μήκη, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.

3. Εάν όλες οι όψεις μιας πυραμίδας έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση.

Για να υπολογίσετε τον όγκο μιας αυθαίρετης πυραμίδας, ο σωστός τύπος είναι:

Οπου V- Ενταση ΗΧΟΥ;

Βάση S– περιοχή βάσης·

H– ύψος της πυραμίδας.

Για μια κανονική πυραμίδα, οι ακόλουθοι τύποι είναι σωστοί:

Οπου Π– περίμετρος βάσης.

η α– αποθέμα·

H- ύψος;

S γεμάτο

S πλευρά

Βάση S– περιοχή βάσης·

V– όγκος κανονικής πυραμίδας.

Κόλουρη πυραμίδαονομάζεται το τμήμα της πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας (Εικ. 17). Κανονική κολοβωμένη πυραμίδα είναι το τμήμα μιας κανονικής πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο στη βάση της πυραμίδας.

Λόγοικολοβωμένη πυραμίδα - παρόμοια πολύγωνα. Πλαϊνά πρόσωπα – τραπεζοειδή. Υψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι η απόσταση μεταξύ των βάσεων της. Διαγώνιος μια κολοβωμένη πυραμίδα είναι ένα τμήμα που συνδέει τις κορυφές της που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη. Διαγώνιο τμήμα είναι ένα τμήμα μιας κόλουρης πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Για μια κολοβωμένη πυραμίδα ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

(4)

Οπου μικρό 1 , μικρό 2 – περιοχές των άνω και κάτω βάσεων.

S γεμάτο– συνολική επιφάνεια·

S πλευρά– πλευρική επιφάνεια·

H- ύψος;

V– όγκος κολοβωμένης πυραμίδας.

Για μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα ο τύπος είναι σωστός:

Οπου Π 1 , Π 2 – περίμετροι βάσεων.

η α– απόθεμα κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.

Παράδειγμα 1.Στα δεξιά τριγωνική πυραμίδαη διεδρική γωνία στη βάση είναι 60º. Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης πλευρική πλευράστο επίπεδο βάσης.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 18).

Η πυραμίδα είναι κανονική, που σημαίνει ότι στη βάση υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα. Η διεδρική γωνία στη βάση είναι η γωνία κλίσης της πλευρικής όψης της πυραμίδας προς το επίπεδο της βάσης. Η γραμμική γωνία είναι η γωνία έναμεταξύ δύο καθέτων: κ.λπ. Η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο του τριγώνου (το κέντρο του κυκλικού κύκλου και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου αλφάβητο). Η γωνία κλίσης του πλευρικού άκρου (για παράδειγμα S.B.) είναι η γωνία μεταξύ της ίδιας της ακμής και της προβολής της στο επίπεδο της βάσης. Για το πλευρό S.B.αυτή η γωνία θα είναι η γωνία SBD. Για να βρείτε την εφαπτομένη πρέπει να γνωρίζετε τα πόδια ΕΤΣΙΚαι Ο.Β.. Αφήστε το μήκος του τμήματος BDισούται με 3 ΕΝΑ. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕευθύγραμμο τμήμα BDχωρίζεται σε μέρη: και Από βρίσκουμε ΕΤΣΙ: Από βρίσκουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2.Βρείτε τον όγκο μιας κανονικής κόλουρης τετραγωνικής πυραμίδας αν οι διαγώνιοι των βάσεων της είναι ίσες με cm και cm και το ύψος της είναι 4 cm.

Λύση.Για να βρούμε τον όγκο μιας κολοβωμένης πυραμίδας, χρησιμοποιούμε τον τύπο (4). Για να βρείτε το εμβαδόν των βάσεων, πρέπει να βρείτε τις πλευρές των τετραγώνων της βάσης, γνωρίζοντας τις διαγώνιες τους. Οι πλευρές των βάσεων είναι ίσες με 2 cm και 8 cm, αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι οι περιοχές των βάσεων και Αντικαθιστώντας όλα τα δεδομένα στον τύπο, υπολογίζουμε τον όγκο της κολοβωμένης πυραμίδας:

Απάντηση: 112 cm 3.

Παράδειγμα 3.Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής όψης μιας κανονικής τριγωνικής κολοβωμένης πυραμίδας, οι πλευρές των βάσεων της οποίας είναι 10 cm και 4 cm και το ύψος της πυραμίδας είναι 2 cm.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 19).

Η πλευρική όψη αυτής της πυραμίδας είναι ένα ισοσκελές τραπεζοειδές. Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς, πρέπει να γνωρίζετε τη βάση και το ύψος. Οι βάσεις δίνονται ανάλογα με την συνθήκη, μόνο το ύψος παραμένει άγνωστο. Θα τη βρούμε από που ΕΝΑ 1 μικάθετη από ένα σημείο ΕΝΑ 1 στο επίπεδο της κάτω βάσης, ΕΝΑ 1 ρε– κάθετη από ΕΝΑ 1 ανά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ. ΕΝΑ 1 μι= 2 cm, αφού αυτό είναι το ύψος της πυραμίδας. Να βρω DEΑς κάνουμε ένα επιπλέον σχέδιο που δείχνει την επάνω όψη (Εικ. 20). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή των κέντρων της άνω και κάτω βάσης. αφού (βλ. Εικ. 20) και Από την άλλη Εντάξει– ακτίνα εγγεγραμμένη στον κύκλο και ΟΜ– ακτίνα εγγεγραμμένη σε κύκλο:

ΜΚ = ΔΕ.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα από

Πλαϊνή περιοχή προσώπου:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4.Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, οι βάσεις του οποίου ΕΝΑΚαι σι (ένα> σι). Κάθε πλευρική όψη σχηματίζει γωνία ίση με το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας ι. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια της πυραμίδας.

Λύση.Ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 21). Συνολική επιφάνεια της πυραμίδας SABCDίσο με το άθροισμα των εμβαδών και του εμβαδού του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη δήλωση ότι εάν όλες οι όψεις της πυραμίδας είναι εξίσου κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης, τότε η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– προβολή κορυφής μικρόστη βάση της πυραμίδας. Τρίγωνο ΧΛΟΟΤΑΠΗΤΑΣείναι η ορθογώνια προβολή του τριγώνου CSDστο επίπεδο της βάσης. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα για την περιοχή της ορθογώνιας προβολής ενός επίπεδου σχήματος, παίρνουμε:

Το ίδιο σημαίνει Έτσι, το πρόβλημα περιορίστηκε στην εύρεση της περιοχής του τραπεζοειδούς Α Β Γ Δ. Ας σχεδιάσουμε ένα τραπεζοειδές Α Β Γ Δχωριστά (Εικ. 22). Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ– το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένο σε τραπεζοειδές.

Εφόσον ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τραπέζιο, τότε ή Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε