Λύστε εξισώσεις με δυνάμεις. Εκθετικές εξισώσεις
Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε την επίλυση πιο σύνθετων εκθετικών εξισώσεων και θα υπενθυμίσουμε τις βασικές θεωρητικές αρχές σχετικά με την εκθετική συνάρτηση.
1. Ορισμός και ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης, μέθοδοι επίλυσης των απλούστερων εκθετικών εξισώσεων
Ας θυμηθούμε τον ορισμό και τις βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης. Η λύση όλων των εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων βασίζεται σε αυτές τις ιδιότητες.
Εκθετική συνάρτησηείναι συνάρτηση της μορφής , όπου η βάση είναι ο βαθμός και εδώ x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, όρισμα. y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, συνάρτηση.
Ρύζι. 1. Γράφημα εκθετικής συνάρτησης
Το γράφημα δείχνει αυξανόμενες και φθίνουσες εκθετικές τιμές, απεικονίζοντας εκθετική συνάρτησημε βάση μεγαλύτερη από μία και μικρότερη από μία, αλλά μεγαλύτερη από το μηδέν, αντίστοιχα.
Και οι δύο καμπύλες περνούν από το σημείο (0;1)
Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης:
Πεδίο εφαρμογής: ;
Εύρος τιμών: ;
Η συνάρτηση είναι μονότονη, αυξάνεται με, μειώνεται με.
Μια μονότονη συνάρτηση παίρνει καθεμία από τις τιμές της δίνοντας μια μόνο τιμή ορίσματος.
Όταν το όρισμα αυξάνεται από μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μηδέν συμπεριλαμβανομένου στο συν άπειρο. Αντίθετα, όταν το όρισμα αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση μειώνεται από το άπειρο στο μηδέν, όχι συμπεριλαμβανομένου.
2. Επίλυση τυπικών εκθετικών εξισώσεων
Ας σας υπενθυμίσουμε πώς να λύσετε τις απλούστερες εκθετικές εξισώσεις. Η επίλυσή τους βασίζεται στη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης. Σχεδόν όλες οι μιγαδικές εκθετικές εξισώσεις μπορούν να αναχθούν σε τέτοιες εξισώσεις.
Ισότητα εκθετών στο επί ίσοις όροιςλόγω της ιδιότητας της εκθετικής συνάρτησης, δηλαδή της μονοτονίας της.
Μέθοδος λύσης:
Εξισώστε τις βάσεις των μοιρών.
Εξισώστε τους εκθέτες.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση πιο σύνθετων εκθετικών εξισώσεων.
Ας απαλλαγούμε από τη ρίζα στην αριστερή πλευρά και φέρνουμε τις μοίρες στην ίδια βάση:
Προκειμένου να μειωθεί μια σύνθετη εκθετική εξίσωση στην απλούστερή της, χρησιμοποιείται συχνά η αντικατάσταση μεταβλητών.
Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα power:
Παρουσιάζουμε έναν αντικαταστάτη. Ας είναι τότε 
Ας πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση που προκύπτει επί δύο και ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά:
Η πρώτη ρίζα δεν ικανοποιεί το εύρος των τιμών y, οπότε την απορρίπτουμε. Παίρνουμε:
Ας μειώσουμε τους βαθμούς στον ίδιο δείκτη:
Ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση:
Ας είναι τότε 
. Με μια τέτοια αντικατάσταση, είναι προφανές ότι το y αποδέχεται αυστηρά θετικές αξίες. Παίρνουμε:
Ξέρουμε πώς να λύσουμε τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις, μπορούμε να γράψουμε την απάντηση:
Για να βεβαιωθείτε ότι οι ρίζες βρίσκονται σωστά, μπορείτε να ελέγξετε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, δηλαδή να βρείτε το άθροισμα των ριζών και το γινόμενο τους και να τα συγκρίνετε με τους αντίστοιχους συντελεστές της εξίσωσης.
Παίρνουμε:
3. Μεθοδολογία επίλυσης ομοιογενών εκθετικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού
Ας μελετήσουμε τον ακόλουθο σημαντικό τύπο εκθετικών εξισώσεων:
Οι εξισώσεις αυτού του τύπου ονομάζονται ομοιογενείς του δεύτερου βαθμού ως προς τις συναρτήσεις f και g. Στην αριστερή πλευρά υπάρχει τετραγωνικό τριώνυμοσε σχέση με f με παράμετρο g ή τετραγωνικό τριώνυμο σε σχέση με g με παράμετρο f.
Μέθοδος λύσης:
Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί ως δευτεροβάθμια εξίσωση, αλλά είναι πιο εύκολο να γίνει διαφορετικά. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις που πρέπει να εξεταστούν:
Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε
Στη δεύτερη περίπτωση, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε με τον υψηλότερο βαθμό και να πάρουμε:
Θα πρέπει να εισάγουμε μια αλλαγή μεταβλητών, παίρνουμε τετραγωνική εξίσωσησε σχέση με το y:
Ας σημειώσουμε ότι οι συναρτήσεις f και g μπορεί να είναι οποιεσδήποτε, αλλά μας ενδιαφέρει η περίπτωση που πρόκειται για εκθετικές συναρτήσεις.
4. Παραδείγματα επίλυσης ομοιογενών εξισώσεων
Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:
Εφόσον οι εκθετικές συναρτήσεις αποκτούν αυστηρά θετικές τιμές, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε αμέσως την εξίσωση με , χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίπτωση που:
Παίρνουμε:
Ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση: 
(σύμφωνα με τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης)
Έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση:
Καθορίζουμε τις ρίζες χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:
Η πρώτη ρίζα δεν ικανοποιεί το εύρος τιμών του y, την απορρίπτουμε, παίρνουμε:
Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των μοιρών και ας μειώσουμε όλους τους βαθμούς σε απλές βάσεις:
Είναι εύκολο να παρατηρήσετε τις συναρτήσεις f και g:
Εφόσον οι εκθετικές συναρτήσεις αποκτούν αυστηρά θετικές τιμές, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε αμέσως την εξίσωση με , χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίπτωση που .
1º. Εκθετικές εξισώσειςονομάζονται εξισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή σε έναν εκθέτη.
Η επίλυση εκθετικών εξισώσεων βασίζεται στην ιδιότητα των δυνάμεων: δύο δυνάμεις με την ίδια βάση είναι ίσες αν και μόνο αν οι εκθέτες τους είναι ίσοι.
2º. Βασικές μέθοδοι επίλυσης εκθετικών εξισώσεων:
1) η απλούστερη εξίσωση έχει λύση.
2) μια εξίσωση της μορφής λογαριθμική με τη βάση ένα μειώνω σε μορφή ;
3) μια εξίσωση της μορφής είναι ισοδύναμη με την εξίσωση.
4) εξίσωση της μορφής 
ισοδυναμεί με την εξίσωση.
5) μια εξίσωση της μορφής ανάγεται μέσω αντικατάστασης σε μια εξίσωση και στη συνέχεια λύνεται ένα σύνολο απλών εκθετικών εξισώσεων.
6) εξίσωση με αντίστροφα 
Με αντικατάσταση ανάγονται σε μια εξίσωση και στη συνέχεια λύνουν ένα σύνολο εξισώσεων.
7) εξισώσεις ομοιογενείς ως προς a g(x)Και b g(x)δοθέντος ότι 
είδος 
μέσω αντικατάστασης μειώνονται σε μια εξίσωση και στη συνέχεια λύνεται ένα σύνολο εξισώσεων.
Ταξινόμηση εκθετικών εξισώσεων.
1. Οι εξισώσεις λύνονται πηγαίνοντας σε μία βάση.
Παράδειγμα 18. Λύστε την εξίσωση 
.
Λύση: Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι όλες οι βάσεις των δυνάμεων είναι δυνάμεις του αριθμού 5: .
2. Εξισώσεις που λύνονται περνώντας σε έναν εκθέτη.
Αυτές οι εξισώσεις λύνονται μετατρέποντας την αρχική εξίσωση στη μορφή , το οποίο ανάγεται στο απλούστερό του χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αναλογίας.
Παράδειγμα 19. Λύστε την εξίσωση:
3. Εξισώσεις που λύνονται αφαιρώντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Εάν κάθε εκθέτης σε μια εξίσωση διαφέρει από τον άλλο κατά έναν ορισμένο αριθμό, τότε οι εξισώσεις λύνονται βάζοντας τον εκθέτη με τον μικρότερο εκθέτη εκτός παρενθέσεων.
Παράδειγμα 20. Λύστε την εξίσωση.
Λύση: Ας πάρουμε τη μοίρα με τον μικρότερο εκθέτη από αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:
Παράδειγμα 21. Λύστε την εξίσωση 
Λύση: Ας ομαδοποιήσουμε χωριστά στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης τους όρους που περιέχουν δυνάμεις με τη βάση 4, στη δεξιά πλευρά - με τη βάση 3 και, στη συνέχεια, βάλουμε τις δυνάμεις με τον μικρότερο εκθέτη εκτός παρενθέσεων:
4. Εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές (ή κυβικές) εξισώσεις.
Οι ακόλουθες εξισώσεις ανάγεται σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση για τη νέα μεταβλητή y:
α) το είδος της αντικατάστασης, σε αυτή την περίπτωση·
β) το είδος της αντικατάστασης και .
Παράδειγμα 22. Λύστε την εξίσωση 
.
Λύση: Ας κάνουμε μια αλλαγή της μεταβλητής και ας λύσουμε την εξίσωση του δευτεροβάθμιου:
.
Απάντηση: 0; 1.
5. Εξισώσεις που είναι ομοιογενείς ως προς τις εκθετικές συναρτήσεις.
Μια εξίσωση της μορφής είναι ομοιογενής εξίσωσηδεύτερου βαθμού σε σχέση με άγνωστα ένα xΚαι β x. Τέτοιες εξισώσεις μειώνονται διαιρώντας πρώτα και τις δύο πλευρές και στη συνέχεια αντικαθιστώντας τες σε τετραγωνικές εξισώσεις.
Παράδειγμα 23. Λύστε την εξίσωση.
Λύση: Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με:
Βάζοντας , παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση με ρίζες .
Τώρα το πρόβλημα καταλήγει στην επίλυση ενός συνόλου εξισώσεων 
. Από την πρώτη εξίσωση διαπιστώνουμε ότι . Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού για οποιαδήποτε τιμή x.
Απάντηση: -1/2.
6. Ορθολογικές εξισώσεις ως προς τις εκθετικές συναρτήσεις.
Παράδειγμα 24. Λύστε την εξίσωση.
Λύση: Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με 3 xκαι αντί για δύο παίρνουμε μια εκθετική συνάρτηση:
7. Εξισώσεις της φόρμας 
.
Τέτοιες εξισώσεις με ένα σύνολο αποδεκτών τιμών (APV), που καθορίζονται από τη συνθήκη, λαμβάνοντας τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης ανάγονται σε μια ισοδύναμη εξίσωση, η οποία με τη σειρά της είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο δύο εξισώσεων ή.
Παράδειγμα 25. Λύστε την εξίσωση: .
.
Διδακτικό υλικό.
Λύστε τις εξισώσεις:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Να βρείτε το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 
.
27. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης 
.
Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
28. , όπου x 0– ρίζα της εξίσωσης.
29. , όπου x 0– ολόκληρη η ρίζα της εξίσωσης 
.
Λύστε την εξίσωση:
31. 
; 32. .
Απαντήσεις: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 5.0; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27.3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Θέμα Νο 8.
Εκθετικές ανισότητες.
1º. Μια ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή στον εκθέτη ονομάζεται εκθετική ανισότητα.
2º. Η λύση των εκθετικών ανισώσεων της μορφής βασίζεται στις ακόλουθες προτάσεις:
αν , τότε η ανισότητα είναι ισοδύναμη με ?
αν , τότε η ανισότητα είναι ισοδύναμη με .
Όταν λύνετε εκθετικές ανισώσεις, χρησιμοποιήστε τις ίδιες τεχνικές όπως και κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.
Παράδειγμα 26. Λύστε την ανισότητα 
(μέθοδος μετάβασης σε μία βάση).
Λύση: Αφού 
, τότε η δεδομένη ανισότητα μπορεί να γραφτεί ως: 
. Αφού , τότε αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την ανισότητα 
.
Επιλύοντας την τελευταία ανισότητα, παίρνουμε .
Παράδειγμα 27. Λύστε την ανίσωση: ( βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων).
Λύση: Ας βγάλουμε αγκύλες στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης, στη δεξιά πλευρά της ανίσωσης και διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης με το (-2), αλλάζοντας το πρόσημο της ανίσωσης στο αντίθετο:
Από τότε, όταν μεταβαίνουμε στην ανισότητα των δεικτών, το πρόσημο της ανισότητας αλλάζει και πάλι στο αντίθετο. παίρνουμε. Έτσι, το σύνολο όλων των λύσεων αυτής της ανισότητας είναι το διάστημα.
Παράδειγμα 28. Επίλυση ανισότητας ( με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής).
Λύση: Αφήστε . Τότε αυτή η ανισότητα θα πάρει τη μορφή: 
ή 
, του οποίου η λύση είναι το διάστημα .
Από εδώ. Εφόσον η συνάρτηση αυξάνεται, τότε .
Διδακτικό υλικό.
Καθορίστε το σύνολο των λύσεων στην ανισότητα:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Σε ποιες αξίες xΤα σημεία στο γράφημα της συνάρτησης βρίσκονται κάτω από την ευθεία;
7. Σε ποιες αξίες xΤα σημεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκονται τουλάχιστον όσο η ευθεία;
Λύστε την ανισότητα:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Καθορίστε τη μεγαλύτερη ακέραια λύση της ανίσωσης 
.
14. Να βρείτε το γινόμενο του μεγαλύτερου ακέραιου και του μικρότερου ακέραιου αριθμού λύσεων στην ανίσωση 
.
Λύστε την ανισότητα:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης:
27. 
; 28. 
.
29. Βρείτε το σύνολο των τιμών ορισμάτων για τις οποίες οι τιμές κάθε συνάρτησης είναι μεγαλύτερες από 3:
Και 
.
Απαντήσεις: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )
