Πόσοι θετικοί αριθμοί υπάρχουν σε μια αριθμητική πρόοδο; Τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου

Πρώτο επίπεδο

Αριθμητική πρόοδος. Λεπτομερής θεωρίαμε παραδείγματα (2019)

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε λοιπόν και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:
Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε (στην περίπτωσή μας υπάρχουν). Όσους αριθμούς και να γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό της σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως και ο αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.
Ο αριθμός με αριθμό ονομάζεται ο όρος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.
Για παράδειγμα:

και τα λοιπά.
Αυτή η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Ο όρος «πρόοδος» εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο τον 6ο αιώνα και έγινε κατανοητός με μια ευρύτερη έννοια ως μια άπειρη αριθμητική ακολουθία. Η ονομασία «αριθμητική» μεταφέρθηκε από τη θεωρία των συνεχών αναλογιών, την οποία μελετούσαν οι αρχαίοι Έλληνες.

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας είναι ίσο με το προηγούμενο που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά μιας αριθμητικής προόδου και ορίζεται.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

Το έπιασα; Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:
Είναιαριθμητική πρόοδος - β, γ.
Δεν είναιαριθμητική πρόοδος - α, δ.

Ας επιστρέψουμε στη δεδομένη πρόοδο () και ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή του ου όρου της. Υπάρχει δύοτρόπο να το βρεις.

1. Μέθοδος

Μπορούμε να προσθέσουμε τον αριθμό προόδου στην προηγούμενη τιμή μέχρι να φτάσουμε στον ό ​​όρο της προόδου. Είναι καλό που δεν έχουμε πολλά να συνοψίσουμε - μόνο τρεις τιμές:

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσος με.

2. Μέθοδος

Τι θα γινόταν αν χρειαζόταν να βρούμε την τιμή του ου όρου της προόδου; Η άθροιση θα μας έπαιρνε περισσότερο από μία ώρα, και δεν είναι γεγονός ότι δεν θα κάναμε λάθη κατά την πρόσθεση αριθμών.
Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν βρει έναν τρόπο με τον οποίο δεν είναι απαραίτητο να προσθέσουμε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στη σχεδιασμένη εικόνα... Σίγουρα έχετε ήδη παρατηρήσει ένα συγκεκριμένο μοτίβο, δηλαδή:

Για παράδειγμα, ας δούμε από τι αποτελείται η τιμή του ου όρου αυτής της αριθμητικής προόδου:


Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την τιμή ενός μέλους μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου με αυτόν τον τρόπο.

Υπολόγισες; Συγκρίνετε τις σημειώσεις σας με την απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι λάβατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τους όρους της αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να «αποπροσωποποιήσουμε» αυτόν τον τύπο - ας τον βάλουμε μέσα γενική μορφήκαι παίρνουμε:

Οι αριθμητικές προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται.

Αυξάνεται- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Φθίνων- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μικρότερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους ακόλουθους αριθμούς: Ας ελέγξουμε ποιος θα είναι ο ος αριθμός αυτής της αριθμητικής προόδου αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας για να τον υπολογίσουμε:

Από τότε:

Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο τύπος λειτουργεί τόσο σε φθίνουσα όσο και σε αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο.
Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τους ου και τους όρους αυτής της αριθμητικής προόδου.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας περιπλέκουμε το πρόβλημα - θα αντλήσουμε την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται η εξής συνθήκη:
- αριθμητική πρόοδος, βρείτε την τιμή.
Εύκολο, λες και αρχίζεις να μετράς σύμφωνα με τον τύπο που ήδη ξέρεις:

Ας, α, τότε:

Απόλυτο δίκιο. Αποδεικνύεται ότι πρώτα βρίσκουμε, μετά το προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό και παίρνουμε αυτό που ψάχνουμε. Εάν η πρόοδος αντιπροσωπεύεται από μικρές τιμές, τότε δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτήν, αλλά τι γίνεται αν μας δοθούν αριθμοί στη συνθήκη; Συμφωνώ, υπάρχει πιθανότητα να γίνει λάθος στους υπολογισμούς.
Τώρα σκεφτείτε εάν είναι δυνατό να λυθεί αυτό το πρόβλημα σε ένα βήμα χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο; Φυσικά ναι, και αυτό θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε τώρα.

Ας υποδηλώσουμε τον απαιτούμενο όρο της αριθμητικής προόδου καθώς, ο τύπος για την εύρεση της είναι γνωστός σε εμάς - αυτός είναι ο ίδιος τύπος που αντλήσαμε στην αρχή:
, Επειτα:

• ο προηγούμενος όρος της εξέλιξης είναι:
• ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τους προηγούμενους και τους επόμενους όρους της εξέλιξης:

Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των προηγούμενων και των επόμενων όρων της προόδου είναι η διπλή τιμή του όρου προόδου που βρίσκεται μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, για να βρείτε την τιμή ενός όρου προόδου με γνωστές προηγούμενες και διαδοχικές τιμές, πρέπει να τις προσθέσετε και να διαιρέσετε με.

Σωστά, έχουμε τον ίδιο αριθμό. Ας εξασφαλίσουμε το υλικό. Υπολογίστε μόνοι σας την αξία για την εξέλιξη, δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Μπράβο! Ξέρεις σχεδόν τα πάντα για την εξέλιξη! Μένει να μάθουμε μόνο έναν τύπο, τον οποίο, σύμφωνα με το μύθο, συνήγαγε εύκολα ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο «βασιλιάς των μαθηματικών» - ο Καρλ Γκάους...

Όταν ο Carl Gauss ήταν 9 ετών, ένας δάσκαλος, απασχολημένος με τον έλεγχο της δουλειάς των μαθητών σε άλλες τάξεις, ρώτησε στην τάξη επόμενη εργασία: «Μετρήστε το άθροισμα όλων φυσικούς αριθμούςαπό έως (σύμφωνα με άλλες πηγές έως) συμπεριλαμβανομένων." Φανταστείτε την έκπληξη του δασκάλου όταν ένας από τους μαθητές του (αυτός ήταν ο Καρλ Γκάους) ένα λεπτό αργότερα έδωσε τη σωστή απάντηση στην εργασία, ενώ οι περισσότεροι από τους συμμαθητές του τολμηρού, μετά από μεγάλους υπολογισμούς, έλαβαν το λάθος αποτέλεσμα...

Ο νεαρός Carl Gauss παρατήρησε ένα συγκεκριμένο μοτίβο που μπορείτε εύκολα να παρατηρήσετε και εσείς.
Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική πρόοδο που αποτελείται από -ους όρους: Πρέπει να βρούμε το άθροισμα αυτών των όρων της αριθμητικής προόδου. Φυσικά, μπορούμε να αθροίσουμε χειροκίνητα όλες τις τιμές, αλλά τι γίνεται αν η εργασία απαιτεί την εύρεση του αθροίσματος των όρων της, όπως έψαχνε ο Gauss;

Ας απεικονίσουμε την εξέλιξη που μας δόθηκε. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στους επισημασμένους αριθμούς και προσπαθήστε να εκτελέσετε διάφορες μαθηματικές πράξεις με αυτούς.


Το έχεις δοκιμάσει; Τι προσέξατε; Σωστά! Τα αθροίσματά τους είναι ίσα

Πες μου τώρα, πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά στην εξέλιξη που μας δόθηκε; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ζεύγη είναι ίσα, προκύπτει ότι το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Σε ορισμένα προβλήματα δεν γνωρίζουμε τον όρο, αλλά γνωρίζουμε τη διαφορά της προόδου. Προσπαθήστε να αντικαταστήσετε τον τύπο του ου όρου με τον τύπο του αθροίσματος.
Τι πήρες;

Μπράβο! Ας επιστρέψουμε τώρα στο πρόβλημα που τέθηκε στον Carl Gauss: υπολογίστε μόνοι σας με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το ου και το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το th.

Πόσα πήρες;
Ο Gauss βρήκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Αυτό αποφάσισες;

Στην πραγματικότητα, ο τύπος για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου αποδείχθηκε από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Διόφαντο τον 3ο αιώνα και σε όλο αυτό το διάστημα, πνευματώδεις άνθρωποι έκαναν πλήρη χρήση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου.
Για παράδειγμα, φανταστείτε την Αρχαία Αίγυπτο και το μεγαλύτερο κατασκευαστικό έργο εκείνης της εποχής - την κατασκευή μιας πυραμίδας... Η εικόνα δείχνει τη μία πλευρά της.

Πού είναι η εξέλιξη εδώ, λέτε; Κοιτάξτε προσεκτικά και βρείτε ένα σχέδιο στον αριθμό των τεμαχίων άμμου σε κάθε σειρά του τοίχου της πυραμίδας.


Γιατί όχι μια αριθμητική πρόοδος; Υπολογίστε πόσα τετράγωνα χρειάζονται για να χτιστεί ένας τοίχος, αν τοποθετηθούν τούβλα στη βάση. Ελπίζω να μην μετράτε ενώ μετακινείτε το δάχτυλό σας στην οθόνη, θυμάστε τον τελευταίο τύπο και όλα όσα είπαμε για την αριθμητική πρόοδο;

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξέλιξη μοιάζει με αυτό: .
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους τελευταίους τύπους (υπολογίστε τον αριθμό των μπλοκ με 2 τρόπους).

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Και τώρα μπορείτε να υπολογίσετε στην οθόνη: συγκρίνετε τις λαμβανόμενες τιμές με τον αριθμό των μπλοκ που βρίσκονται στην πυραμίδα μας. Το έπιασα; Μπράβο, καταλάβατε το άθροισμα των ντων όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Φυσικά, δεν μπορείτε να χτίσετε μια πυραμίδα από μπλοκ στη βάση, αλλά από; Προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσα τούβλα άμμου χρειάζονται για να χτίσετε έναν τοίχο με αυτήν την κατάσταση.
Κατάφερες;
Η σωστή απάντηση είναι μπλοκ:

Εκπαίδευση

Καθήκοντα:

1. Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές θα κάνει η Μάσα squat σε μια εβδομάδα αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση;
2. Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
3. Κατά την αποθήκευση αρχείων καταγραφής, τα καταγραφικά τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε επάνω στρώμα να περιέχει ένα αρχείο καταγραφής λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν το θεμέλιο της τοιχοποιίας είναι κορμοί;

Απαντήσεις:

1. Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
   (εβδομάδες = ημέρες).

   Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει squats μία φορά την ημέρα.

2. Πρώτα περιττός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
   Αριθμητική διαφορά προόδου.
   Ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι ο μισός, ωστόσο, ας ελέγξουμε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του ου όρου μιας αριθμητικής προόδου:

   Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
   Ας αντικαταστήσουμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο.

3. Ας θυμηθούμε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, ένα , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, τότε συνολικά υπάρχουν ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
   Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Υπάρχουν κορμοί στην τοιχοποιία.

Ας το συνοψίσουμε

1. - μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται.
2. Εύρεση φόρμουλαςΟ όρος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
3. Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - πού είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.
4. Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:
   
   , όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε. Μπορούμε όμως πάντα να πούμε ποιο είναι πρώτο, ποιο δεύτερο και ούτω καθεξής, δηλαδή μπορούμε να τα αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών.

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό και έναν μοναδικό. Και δεν θα εκχωρήσουμε αυτόν τον αριθμό σε κανέναν άλλο αριθμό από αυτό το σύνολο.

Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται το οοστό μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Είναι πολύ βολικό εάν ο όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Για παράδειγμα, μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία (ο πρώτος όρος εδώ είναι ίσος και η διαφορά είναι). Ή (, διαφορά).

Φόρμουλα ντος όρος

Ονομάζουμε έναν τύπο επαναλαμβανόμενο στον οποίο, για να μάθετε τον όρο, πρέπει να γνωρίζετε τον προηγούμενο ή πολλούς προηγούμενους:

Για να βρούμε, για παράδειγμα, τον όρο της προόδου χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα πρέπει να υπολογίσουμε τους προηγούμενους εννέα. Για παράδειγμα, αφήστε το. Επειτα:

Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο τώρα ποια είναι η φόρμουλα;

Σε κάθε γραμμή που προσθέτουμε, πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο αριθμό. Ποιό απ'όλα; Πολύ απλό: αυτός είναι ο αριθμός του τρέχοντος μέλους μείον:

Πολύ πιο βολικό τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Λύση:

Ο πρώτος όρος είναι ίσος. Ποιά είναι η διαφορά; Να τι:

(Γι' αυτό λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών όρων της προόδου).

Λοιπόν, ο τύπος:

Τότε ο εκατοστός όρος ισούται με:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Σύμφωνα με το μύθο, ο μεγάλος μαθηματικός Carl Gauss, ως 9χρονο αγόρι, υπολόγισε αυτό το ποσό μέσα σε λίγα λεπτά. Παρατήρησε ότι το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου αριθμού είναι ίσο, το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου είναι το ίδιο, το άθροισμα του τρίτου και του 3ου από το τέλος είναι το ίδιο κ.ο.κ. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά; Σωστά, ακριβώς ο μισός αριθμός όλων των αριθμών, δηλαδή. Ετσι,

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων διψήφιους αριθμούς, πολλαπλάσια.

Λύση:

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι αυτός. Κάθε επόμενος αριθμός λαμβάνεται προσθέτοντας στον προηγούμενο αριθμό. Έτσι, οι αριθμοί που μας ενδιαφέρουν σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο και τη διαφορά.

Τύπος του ου όρου για αυτήν την εξέλιξη:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει όλοι να είναι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

1. Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει περισσότερα μέτρα από την προηγούμενη. Πόσα συνολικά χιλιόμετρα θα τρέξει σε μια εβδομάδα, αν την πρώτη μέρα έτρεξε km m;
2. Ένας ποδηλάτης διανύει περισσότερα χιλιόμετρα κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες χρειάζεται να διανύσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού του;
3. Η τιμή ενός ψυγείου σε ένα κατάστημα μειώνεται κατά το ίδιο ποσό κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, εάν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

1. Το πιο σημαντικό εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
   .
   Απάντηση:
2. Εδώ δίνεται: , πρέπει να βρεθεί.
   Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
   .
   Αντικαταστήστε τις τιμές:

   Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση είναι.
   Ας υπολογίσουμε τη διαδρομή που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του ου όρου:
   (χλμ).
   Απάντηση:

3. Δόθηκαν: . Εύρημα: .
   Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό:
   (τρίψιμο).
   Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος μπορεί να είναι αύξουσα () και φθίνουσα ().

Για παράδειγμα:

Τύπος για την εύρεση του nου όρου μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται από τον τύπο, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Σας επιτρέπει να βρείτε εύκολα έναν όρο μιας προόδου εάν είναι γνωστοί οι γειτονικοί όροι της - πού είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το ποσό:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι;

Για επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Σκέψου όμως και μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, λεπτομερής ανάλυση και αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Για να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως; Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - 999 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Στη δεύτερη περίπτωση θα σας δώσουμεπροσομοιωτής "6000 προβλήματα με λύσεις και απαντήσεις, για κάθε θέμα, σε όλα τα επίπεδα πολυπλοκότητας." Σίγουρα θα είναι αρκετό για να βάλετε τα χέρια σας στην επίλυση προβλημάτων για οποιοδήποτε θέμα.

Στην πραγματικότητα, αυτό είναι πολύ περισσότερο από έναν απλό προσομοιωτή - ένα ολόκληρο πρόγραμμα εκπαίδευσης. Αν χρειαστεί, μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε και ΔΩΡΕΑΝ.

Η πρόσβαση σε όλα τα κείμενα και τα προγράμματα παρέχεται για ΟΛΗ την περίοδο ύπαρξης του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!

I. V. Yakovlev | Μαθηματικά υλικά | MathUs.ru

Αριθμητική πρόοδος

Μια αριθμητική πρόοδος είναι ένας ειδικός τύπος ακολουθίας. Επομένως, πριν ορίσουμε μια αριθμητική (και στη συνέχεια γεωμετρική) πρόοδο, πρέπει να συζητήσουμε εν συντομία σημαντική έννοιασειρά αριθμών.

Ακολουθία

Φανταστείτε μια συσκευή στην οθόνη της οποίας εμφανίζονται ορισμένοι αριθμοί ο ένας μετά τον άλλο. Ας πούμε 2? 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Αυτό το σύνολο αριθμών είναι ακριβώς ένα παράδειγμα ακολουθίας.

Ορισμός. Μια αριθμητική ακολουθία είναι ένα σύνολο αριθμών στους οποίους σε κάθε αριθμό μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός (δηλαδή να συσχετιστεί με έναν μοναδικό φυσικό αριθμό)1. Ο αριθμός με νούμε καλείται η θητείαακολουθίες.

Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός είναι 2, αυτό είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας, το οποίο μπορεί να συμβολιστεί με a1. ο αριθμός πέντε έχει τον αριθμό 6 είναι ο πέμπτος όρος της ακολουθίας, ο οποίος μπορεί να συμβολιστεί με a5. Καθόλου, η θητείαΟι ακολουθίες συμβολίζονται με ένα (ή bn, cn, κ.λπ.).

Μια πολύ βολική κατάσταση είναι όταν ο ντος όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος an = 2n 3 καθορίζει την ακολουθία: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Ο τύπος an = (1)n καθορίζει την ακολουθία: 1; 1; 1; 1; : : :

Δεν είναι κάθε σύνολο αριθμών μια ακολουθία. Έτσι, ένα τμήμα δεν είναι μια ακολουθία. περιέχει "πάρα πολλούς" αριθμούς που πρέπει να επαναριθμηθούν. Το σύνολο R όλων των πραγματικών αριθμών δεν είναι επίσης ακολουθία. Αυτά τα γεγονότα αποδεικνύονται κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης.

Αριθμητική πρόοδος: βασικοί ορισμοί

Τώρα είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο.

Ορισμός. Αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε όρος (ξεκινώντας από τον δεύτερο) ισούται με το άθροισμα του προηγούμενου όρου και κάποιο σταθερό αριθμό (που ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου).

Για παράδειγμα, ακολουθία 2; 5; 8; έντεκα; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 2 και διαφορά 3. Ακολουθία 7; 2; 3; 8; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 7 και διαφορά 5. Ακολουθία 3; 3; 3; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ίση με μηδέν.

Ισοδύναμος ορισμός: η ακολουθία an ονομάζεται αριθμητική πρόοδος εάν η διαφορά an+1 an είναι σταθερή τιμή (ανεξάρτητη από n).

Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται αύξουσα εάν η διαφορά της είναι θετική και φθίνουσα εάν η διαφορά της είναι αρνητική.

1 Αλλά εδώ υπάρχει ένας πιο συνοπτικός ορισμός: μια ακολουθία είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα, μια ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια συνάρτηση f: N ! R.

Από προεπιλογή, οι ακολουθίες θεωρούνται άπειρες, δηλαδή περιέχουν άπειρο αριθμό αριθμών. Αλλά κανείς δεν μας ενοχλεί να εξετάσουμε πεπερασμένες ακολουθίες. Στην πραγματικότητα, οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο αριθμών μπορεί να ονομαστεί πεπερασμένη ακολουθία. Για παράδειγμα, η τελική ακολουθία είναι 1. 2; 3; 4; Το 5 αποτελείται από πέντε αριθμούς.

Τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου

Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι μια αριθμητική πρόοδος καθορίζεται πλήρως από δύο αριθμούς: τον πρώτο όρο και τη διαφορά. Επομένως, τίθεται το ερώτημα: πώς, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά, βρίσκουμε έναν αυθαίρετο όρο μιας αριθμητικής προόδου;

Δεν είναι δύσκολο να λάβουμε τον απαιτούμενο τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Αφήστε ένα

Πρόβλημα 1. Στην αριθμητική πρόοδο 2; 5; 8; έντεκα; : : : βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και υπολογίστε τον εκατοστό όρο.

Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (1) έχουμε:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Ιδιότητα και σημάδι αριθμητικής προόδου

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου. Στην αριθμητική πρόοδο an για οποιαδήποτε

Με άλλα λόγια, κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου (ξεκινώντας από τη δεύτερη) είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των γειτονικών μελών του.

που ήταν και το ζητούμενο.

Γενικότερα, η αριθμητική πρόοδος α ικανοποιεί την ισότητα

a n = a n k+ a n+k

για οποιοδήποτε n > 2 και οποιοδήποτε φυσικό k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Αποδεικνύεται ότι ο τύπος (2) χρησιμεύει όχι μόνο ως απαραίτητη αλλά και ως επαρκής συνθήκη ώστε η ακολουθία να είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Σημάδι αριθμητικής προόδου. Αν ισχύει η ισότητα (2) για όλα τα n > 2, τότε η ακολουθία an είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Απόδειξη. Ας ξαναγράψουμε τον τύπο (2) ως εξής:

a na n 1= a n+1a n:

Από αυτό μπορούμε να δούμε ότι η διαφορά an+1 an δεν εξαρτάται από το n, και αυτό ακριβώς σημαίνει ότι η ακολουθία an είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Η ιδιότητα και το πρόσημο μιας αριθμητικής προόδου μπορούν να διατυπωθούν με τη μορφή μιας πρότασης. Για ευκολία, θα το κάνουμε αυτό για τρεις αριθμοί(αυτή είναι η κατάσταση που εμφανίζεται συχνά σε προβλήματα).

Χαρακτηρισμός μιας αριθμητικής προόδου. Τρεις αριθμοί a, b, c σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο αν και μόνο αν 2b = a + c.

Πρόβλημα 2. (MSU, Faculty of Economics, 2007) Τρεις αριθμοί 8x, 3 x2 και 4 στην υποδεικνυόμενη σειρά σχηματίζουν μια φθίνουσα αριθμητική πρόοδο. Βρείτε το x και υποδείξτε τη διαφορά αυτής της προόδου.

Λύση. Με την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου έχουμε:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Αν x = 1, τότε παίρνουμε μια φθίνουσα πρόοδο 8, 2, 4 με διαφορά 6. Αν x = 5, τότε παίρνουμε μια αύξουσα πρόοδο 40, 22, 4. αυτή η περίπτωση δεν είναι κατάλληλη.

Απάντηση: x = 1, η διαφορά είναι 6.

Άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου

Ο θρύλος λέει ότι μια μέρα ο δάσκαλος είπε στα παιδιά να βρουν το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 100 και κάθισε ήσυχα να διαβάσει την εφημερίδα. Ωστόσο, δεν είχαν περάσει ούτε λίγα λεπτά πριν ένα αγόρι είπε ότι είχε λύσει το πρόβλημα. Αυτός ήταν ο 9χρονος Carl Friedrich Gauss, αργότερα ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία.

Η ιδέα του μικρού Γκάους ήταν η εξής. Αφήνω

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Ας γράψουμε αυτό το ποσό με αντίστροφη σειρά:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

και προσθέστε αυτούς τους δύο τύπους:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Κάθε όρος σε αγκύλες είναι ίσος με 101, και υπάρχουν 100 τέτοιοι όροι συνολικά

2S = 101 100 = 10100;

Χρησιμοποιούμε αυτήν την ιδέα για να εξαγάγουμε τον τύπο του αθροίσματος

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Μια χρήσιμη τροποποίηση του τύπου (3) προκύπτει εάν αντικαταστήσουμε τον τύπο του nου όρου an = a1 + (n 1)d σε αυτόν:

Πρόβλημα 3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών τριψήφιων αριθμών που διαιρούνται με το 13.

Λύση. Οι τριψήφιοι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του 13 σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο να είναι 104 και η διαφορά να είναι 13. Ο ντος όρος αυτής της προόδου έχει τη μορφή:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Ας μάθουμε πόσους όρους περιέχει η πρόοδός μας. Για να γίνει αυτό, λύνουμε την ανισότητα:

ένα 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Έτσι, υπάρχουν 69 μέλη στην πρόοδό μας. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (4) βρίσκουμε την απαιτούμενη ποσότητα:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Μερικοί άνθρωποι αντιμετωπίζουν τη λέξη «πρόοδος» με προσοχή, ως έναν πολύ περίπλοκο όρο από τους κλάδους των ανώτερων μαθηματικών. Εν τω μεταξύ, η απλούστερη αριθμητική πρόοδος είναι η εργασία του ταξίμετρου (όπου υπάρχουν ακόμα). Και κατανοήστε την ουσία (και στα μαθηματικά δεν υπάρχει τίποτα πιο σημαντικό από το "να αποκτήσετε την ουσία") αριθμητική ακολουθίαΔεν είναι τόσο δύσκολο όταν καταλάβετε μερικές βασικές έννοιες.

Μαθηματική ακολουθία αριθμών

Μια αριθμητική ακολουθία ονομάζεται συνήθως μια σειρά αριθμών, καθένας από τους οποίους έχει τον δικό του αριθμό.

a 1 είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας.

και 2 είναι ο δεύτερος όρος της ακολουθίας.

και το 7 είναι το έβδομο μέλος της ακολουθίας.

και το n είναι το ντο μέλος της ακολουθίας.

Ωστόσο, κανένα αυθαίρετο σύνολο αριθμών και αριθμών δεν μας ενδιαφέρει. Θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η τιμή του nου όρου σχετίζεται με τον τακτικό του αριθμό μέσω μιας σχέσης που μπορεί να διατυπωθεί ξεκάθαρα μαθηματικά. Με άλλα λόγια: αριθμητική αξίαΟ ντος αριθμός είναι κάποια συνάρτηση του n.

α είναι η τιμή ενός μέλους μιας αριθμητικής ακολουθίας.

n είναι ο αύξων αριθμός του.

Η f(n) είναι μια συνάρτηση, όπου ο τακτικός αριθμός στην αριθμητική ακολουθία n είναι το όρισμα.

Ορισμός

Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται συνήθως μια αριθμητική ακολουθία στην οποία κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος (μικρότερος) από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό. Ο τύπος για τον ν ο όρος μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι ο εξής:

a n - η τιμή του τρέχοντος μέλους της αριθμητικής προόδου.

ένα n+1 - τύπος του επόμενου αριθμού.

δ - διαφορά (ορισμένος αριθμός).

Είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι εάν η διαφορά είναι θετική (d>0), τότε κάθε επόμενο μέλος της υπό εξέταση σειράς θα είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο και μια τέτοια αριθμητική πρόοδος θα αυξάνεται.

Στο παρακάτω γράφημα είναι εύκολο να καταλάβουμε γιατί η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται "αύξηση".

Σε περιπτώσεις που η διαφορά είναι αρνητική (δ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Καθορισμένη τιμή μέλους

Μερικές φορές είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή οποιουδήποτε αυθαίρετου όρου a n μιας αριθμητικής προόδου. Αυτό μπορεί να γίνει με τον διαδοχικό υπολογισμό των τιμών όλων των μελών της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το πρώτο στο επιθυμητό. Ωστόσο, αυτή η διαδρομή δεν είναι πάντα αποδεκτή εάν, για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του πενταχιλιοστού ή του οκτώ εκατομμυρίου όρου. Οι παραδοσιακοί υπολογισμοί θα χρειαστούν πολύ χρόνο. Ωστόσο, μια συγκεκριμένη αριθμητική πρόοδος μπορεί να μελετηθεί χρησιμοποιώντας ορισμένους τύπους. Υπάρχει επίσης ένας τύπος για τον nο όρο: η τιμή οποιουδήποτε όρου μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να προσδιοριστεί ως το άθροισμα του πρώτου όρου της προόδου με τη διαφορά της προόδου, πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό του επιθυμητού όρου, μειωμένη κατά ένας.

Η φόρμουλα είναι καθολική για την αύξηση και τη μείωση της εξέλιξης.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της τιμής ενός δεδομένου όρου

Ας λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα εύρεσης της τιμής του nου όρου μιας αριθμητικής προόδου.

Συνθήκη: υπάρχει μια αριθμητική πρόοδος με παραμέτρους:

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι 3.

Η διαφορά στη σειρά αριθμών είναι 1,2.

Εργασία: πρέπει να βρείτε την τιμή 214 όρων

Λύση: για να προσδιορίσουμε την τιμή ενός δεδομένου όρου, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

a(n) = a1 + d(n-1)

Αντικαθιστώντας τα δεδομένα από τη δήλωση του προβλήματος στην έκφραση, έχουμε:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Απάντηση: Ο 214ος όρος της ακολουθίας ισούται με 258,6.

Τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου υπολογισμού είναι προφανή - ολόκληρη η λύση δεν διαρκεί περισσότερες από 2 γραμμές.

Άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού όρων

Πολύ συχνά, σε μια δεδομένη αριθμητική σειρά, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το άθροισμα των τιμών ορισμένων από τα τμήματα της. Για να γίνει αυτό, δεν χρειάζεται επίσης να υπολογίσετε τις τιμές κάθε όρου και στη συνέχεια να τις προσθέσετε. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται εάν ο αριθμός των όρων των οποίων το άθροισμα πρέπει να βρεθεί είναι μικρός. Σε άλλες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο.

Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου από το 1 στο n είναι ίσο με το άθροισμα του πρώτου και του nου όρου, πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό του όρου n και διαιρούμενο με δύο. Αν στον τύπο η τιμή του nου όρου αντικατασταθεί από την έκφραση της προηγούμενης παραγράφου του άρθρου, παίρνουμε:

Παράδειγμα υπολογισμού

Για παράδειγμα, ας λύσουμε ένα πρόβλημα με τις ακόλουθες συνθήκες:

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι μηδέν.

Η διαφορά είναι 0,5.

Το πρόβλημα απαιτεί τον προσδιορισμό του αθροίσματος των όρων της σειράς από 56 έως 101.

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον προσδιορισμό του ποσού της προόδου:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Αρχικά, προσδιορίζουμε το άθροισμα των τιμών των 101 όρων της προόδου αντικαθιστώντας τις δεδομένες συνθήκες του προβλήματός μας στον τύπο:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Προφανώς, για να βρούμε το άθροισμα των όρων της προόδου από το 56ο στο 101ο, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε το S 55 από το S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Έτσι, το άθροισμα της αριθμητικής προόδου για αυτό το παράδειγμα είναι:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Παράδειγμα πρακτικής εφαρμογής της αριθμητικής προόδου

Στο τέλος του άρθρου, ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα μιας αριθμητικής ακολουθίας που δίνεται στην πρώτη παράγραφο - ένα ταξίμετρο (μετρητής αυτοκινήτου ταξί). Ας εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η επιβίβαση σε ταξί (που περιλαμβάνει 3 χιλιόμετρα διαδρομής) κοστίζει 50 ρούβλια. Κάθε επόμενο χιλιόμετρο πληρώνεται με τιμή 22 ρούβλια/χλμ. Η απόσταση ταξιδιού είναι 30 χλμ. Υπολογίστε το κόστος του ταξιδιού.

1. Ας απορρίψουμε τα πρώτα 3 χιλιόμετρα, η τιμή των οποίων περιλαμβάνεται στο κόστος προσγείωσης.

30 - 3 = 27 χλμ.

2. Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι τίποτα άλλο από την ανάλυση μιας αριθμητικής σειράς αριθμών.

Αριθμός μέλους - ο αριθμός των χιλιομέτρων που διανύθηκαν (μείον τα τρία πρώτα).

Η αξία του μέλους είναι το άθροισμα.

Ο πρώτος όρος σε αυτό το πρόβλημα θα είναι ίσος με 1 = 50 ρούβλια.

Διαφορά προόδου d = 22 r.

ο αριθμός που μας ενδιαφέρει είναι η τιμή του (27+1)ου όρου της αριθμητικής προόδου - η ένδειξη του μέτρου στο τέλος του 27ου χιλιομέτρου είναι 27.999... = 28 χλμ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Οι υπολογισμοί δεδομένων ημερολογίου για μια αυθαίρετα μεγάλη περίοδο βασίζονται σε τύπους που περιγράφουν ορισμένες αριθμητικές ακολουθίες. Στην αστρονομία, το μήκος της τροχιάς εξαρτάται γεωμετρικά από την απόσταση του ουράνιου σώματος από το αστέρι. Επιπλέον, διάφορες σειρές αριθμών χρησιμοποιούνται με επιτυχία στη στατιστική και σε άλλους εφαρμοσμένους τομείς των μαθηματικών.

Ένας άλλος τύπος ακολουθίας αριθμών είναι η γεωμετρική

Η γεωμετρική πρόοδος χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερους ρυθμούς μεταβολής σε σύγκριση με την αριθμητική πρόοδο. Δεν είναι τυχαίο ότι στην πολιτική, την κοινωνιολογία και την ιατρική, προκειμένου να δείξουν την υψηλή ταχύτητα εξάπλωσης ενός συγκεκριμένου φαινομένου, για παράδειγμα, μιας ασθένειας κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας, λένε ότι η διαδικασία αναπτύσσεται σε γεωμετρική πρόοδος.

Ο Νος όρος της σειράς γεωμετρικών αριθμών διαφέρει από τον προηγούμενο στο ότι πολλαπλασιάζεται με κάποιο σταθερό αριθμό - ο παρονομαστής, για παράδειγμα, ο πρώτος όρος είναι 1, ο παρονομαστής είναι αντίστοιχα ίσος με 2, τότε:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - η τιμή του τρέχοντος όρου της γεωμετρικής προόδου.

b n+1 - τύπος του επόμενου όρου της γεωμετρικής προόδου.

q είναι ο παρονομαστής της γεωμετρικής προόδου (σταθερός αριθμός).

Εάν το γράφημα μιας αριθμητικής προόδου είναι μια ευθεία γραμμή, τότε μια γεωμετρική πρόοδος δίνει μια ελαφρώς διαφορετική εικόνα:

Όπως και στην περίπτωση της αριθμητικής, η γεωμετρική πρόοδος έχει έναν τύπο για την τιμή ενός αυθαίρετου όρου. Κάθε νιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με το γινόμενο του πρώτου όρου και τον παρονομαστή της προόδου στη δύναμη του n μειωμένη κατά ένα:

Παράδειγμα. Έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο ίσο με 3 και τον παρονομαστή της προόδου ίσο με 1,5. Ας βρούμε τον 5ο όρο της προόδου

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Το άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού όρων υπολογίζεται επίσης χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο. Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του γινόμενου του nου όρου της προόδου και του παρονομαστή του και του πρώτου όρου της προόδου, διαιρούμενο με τον παρονομαστή μειωμένο κατά ένα:

Εάν το b n αντικατασταθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που συζητήθηκε παραπάνω, η τιμή του αθροίσματος των πρώτων n όρων της υπό εξέταση σειράς αριθμών θα λάβει τη μορφή:

Παράδειγμα. Η γεωμετρική πρόοδος ξεκινά με τον πρώτο όρο ίσο με 1. Ο παρονομαστής ορίζεται σε 3. Ας βρούμε το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ποια είναι η κύρια ουσία της φόρμουλας;

Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιος ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε και τον πρώτο όρο Α'1και διαφορά εξέλιξης ρε, καλά, χωρίς αυτές τις παραμέτρους δεν μπορείτε να γράψετε μια συγκεκριμένη εξέλιξη.

Το να απομνημονεύσετε (ή να ξαπλώσετε) αυτή τη φόρμουλα δεν αρκεί. Πρέπει να κατανοήσετε την ουσία του και να εφαρμόσετε τον τύπο σε διάφορα προβλήματα. Και επίσης να μην ξεχνάμε την κατάλληλη στιγμή, ναι...) Πώς μην ξεχάσεις- Δεν γνωρίζω. Και εδώ πώς να θυμάστεΕάν χρειαστεί, θα σας συμβουλεύσω οπωσδήποτε. Για όσους ολοκληρώσουν το μάθημα μέχρι το τέλος.)

Λοιπόν, ας δούμε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Τι είναι ένας τύπος γενικά - φανταζόμαστε.) Τι είναι αριθμητική πρόοδος, αριθμός μέλους, διαφορά προόδου - εξηγείται ξεκάθαρα στο προηγούμενο μάθημα. Παρεμπιπτόντως, ρίξτε μια ματιά αν δεν το έχετε διαβάσει. Όλα είναι απλά εκεί. Μένει να καταλάβουμε τι είναι η θητεία.

Η πρόοδος γενικά μπορεί να γραφτεί ως μια σειρά αριθμών:

ένα 1, ένα 2, ένα 3, ένα 4, ένα 5, .....

Α'1- δηλώνει τον πρώτο όρο μιας αριθμητικής προόδου, α 3- τρίτο μέλος, α 4- το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Αν μας ενδιαφέρει η πέμπτη θητεία, ας πούμε ότι συνεργαζόμαστε α 5, αν εκατόν εικοστή - s ένα 120.

Πώς μπορούμε να το ορίσουμε με γενικούς όρους; όποιοςόρος μιας αριθμητικής προόδου, με όποιοςαριθμός; Πολύ απλό! Σαν αυτό:

a n

Αυτό είναι νος όρος μιας αριθμητικής προόδου.Το γράμμα n κρύβει όλους τους αριθμούς μελών ταυτόχρονα: 1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής.

Και τι μας δίνει ένας τέτοιος δίσκος; Σκεφτείτε, αντί για έναν αριθμό, έγραψαν ένα γράμμα...

Αυτή η σημείωση μας δίνει ένα ισχυρό εργαλείο για την εργασία με αριθμητική πρόοδο. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία a n, μπορούμε να βρούμε γρήγορα όποιοςμέλος όποιοςαριθμητική πρόοδος. Και λύστε ένα σωρό άλλα προβλήματα προόδου. Θα δείτε μόνοι σας περαιτέρω.

Στον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου:

Α'1- ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου.

n- αριθμός μέλους.

Ο τύπος συνδέει τις βασικές παραμέτρους οποιασδήποτε προόδου: a n; Α'1 ; ρεΚαι n. Όλα τα προβλήματα προόδου περιστρέφονται γύρω από αυτές τις παραμέτρους.

Ο τύπος nth όρου μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να γράψει μια συγκεκριμένη εξέλιξη. Για παράδειγμα, το πρόβλημα μπορεί να λέει ότι η πρόοδος καθορίζεται από τη συνθήκη:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να είναι αδιέξοδο... Δεν υπάρχει ούτε σειρά ούτε διαφορά... Όμως, συγκρίνοντας την κατάσταση με τον τύπο, είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι σε αυτή την εξέλιξη a 1 =5 και d=2.

Και μπορεί να είναι ακόμα χειρότερο!) Αν πάρουμε την ίδια συνθήκη: a n = 5 + (n-1) 2,Ναι, ανοίξτε τις παρενθέσεις και φέρτε παρόμοιες; Παίρνουμε μια νέα φόρμουλα:

a n = 3 + 2n.

Αυτό Απλά όχι γενικά, αλλά για μια συγκεκριμένη εξέλιξη. Εδώ κρύβεται η παγίδα. Μερικοί άνθρωποι πιστεύουν ότι ο πρώτος όρος είναι τρεις. Αν και στην πραγματικότητα ο πρώτος όρος είναι πέντε... Λίγο πιο κάτω θα δουλέψουμε με έναν τέτοιο τροποποιημένο τύπο.

Στα προβλήματα προόδου υπάρχει μια άλλη σημείωση - ένα ν+1. Αυτός είναι, όπως μαντέψατε, ο όρος "n συν πρώτος" της προόδου. Η σημασία του είναι απλή και ακίνδυνη.) Αυτό είναι ένα μέλος της προόδου του οποίου ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό n κατά ένα. Για παράδειγμα, αν σε κάποιο πρόβλημα πάρουμε a nπέμπτη θητεία τότε ένα ν+1θα είναι το έκτο μέλος. Και τα λοιπά.

Τις περισσότερες φορές ο προσδιορισμός ένα ν+1που βρέθηκαν σε τύπους υποτροπής. Μην φοβάστε αυτήν την τρομακτική λέξη!) Αυτός είναι απλώς ένας τρόπος έκφρασης ενός μέλους μιας αριθμητικής προόδου μέσω του προηγούμενου.Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιώντας έναν επαναλαμβανόμενο τύπο:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Το τέταρτο - μέχρι το τρίτο, το πέμπτο - μέχρι το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Πώς μπορούμε να μετρήσουμε αμέσως, ας πούμε, τον εικοστό όρο; ένα 20? Αλλά δεν υπάρχει περίπτωση!) Μέχρι να μάθουμε τον 19ο όρο, δεν μπορούμε να μετρήσουμε τον 20ο. Αυτή είναι η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του επαναλαμβανόμενου τύπου και του τύπου του nου όρου. Τα επαναλαμβανόμενα έργα μόνο μέσω προηγούμενοςόρος, και ο τύπος του nου όρου είναι μέσω πρώτακαι επιτρέπει αμέσωςβρείτε οποιοδήποτε μέλος με τον αριθμό του. Χωρίς να υπολογίσετε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών με τη σειρά.

Σε μια αριθμητική πρόοδο, είναι εύκολο να μετατραπεί ένας επαναλαμβανόμενος τύπος σε κανονικό. Μετρήστε ένα ζεύγος διαδοχικών όρων, υπολογίστε τη διαφορά ρε,βρείτε, εάν χρειάζεται, τον πρώτο όρο Α'1, γράψτε τον τύπο στη συνηθισμένη του μορφή και δουλέψτε μαζί του. Τέτοια καθήκοντα συναντώνται συχνά στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών.

Εφαρμογή του τύπου για τον νιο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Αρχικά, ας δούμε την άμεση εφαρμογή του τύπου. Στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος υπήρχε ένα πρόβλημα:

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς τύπους, απλά με βάση την έννοια μιας αριθμητικής προόδου. Προσθέστε και προσθέστε... Μία ή δύο ώρες.)

Και σύμφωνα με τον τύπο, η λύση θα διαρκέσει λιγότερο από ένα λεπτό. Μπορείτε να το χρονομετρήσετε.) Ας αποφασίσουμε.

Οι συνθήκες παρέχουν όλα τα δεδομένα για τη χρήση του τύπου: a 1 =3, d=1/6.Μένει να καταλάβουμε τι είναι ίσο n.Κανένα πρόβλημα! Πρέπει να βρούμε ένα 121. Γράφουμε λοιπόν:

Παρακαλώ δώσε προσοχή! Αντί για ευρετήριο nεμφανίστηκε ένας συγκεκριμένος αριθμός: 121. Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Μας ενδιαφέρει το μέλος της αριθμητικής προόδου αριθμός εκατόν είκοσι ένα.Αυτό θα είναι δικό μας n.Αυτό είναι το νόημα n= 121 θα αντικαταστήσουμε περαιτέρω στον τύπο, μέσα σε παρενθέσεις. Αντικαθιστούμε όλους τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίζουμε:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Αυτό είναι. Το ίδιο γρήγορα μπορούσε κανείς να βρει τον πεντακόσιο δέκατο όρο, και τον χίλια τρίτο, οποιοδήποτε. Βάζουμε αντί nο επιθυμητός αριθμός στο ευρετήριο του γράμματος " ένα"και σε παρενθέσεις, και μετράμε.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω το σημείο: αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιοςόρος αριθμητικής προόδου ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Ας λύσουμε το πρόβλημα με πιο πονηρό τρόπο. Ας συναντήσουμε το εξής πρόβλημα:

Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (a n), εάν a 17 =-2; d=-0,5.

Αν έχετε κάποιες δυσκολίες, θα σας πω το πρώτο βήμα. Γράψτε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Ναι ναι. Γράψε με τα χέρια σου, ακριβώς στο σημειωματάριό σου:

Και τώρα, κοιτάζοντας τα γράμματα του τύπου, καταλαβαίνουμε τι δεδομένα έχουμε και τι λείπει; Διαθέσιμος d=-0,5,υπάρχει ένα δέκατο έβδομο μέλος... Είναι αυτό; Αν νομίζετε ότι είναι αυτό, τότε δεν θα λύσετε το πρόβλημα, ναι...

Έχουμε ακόμα έναν αριθμό n! Σε κατάσταση a 17 =-2κρυμμένος δύο παραμέτρους.Αυτή είναι τόσο η τιμή του δέκατου έβδομου όρου (-2) όσο και ο αριθμός του (17). Εκείνοι. n=17.Αυτό το «μικρό» συχνά ξεφεύγει από το κεφάλι, και χωρίς αυτό, (χωρίς το «μικρό», όχι το κεφάλι!) το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Αν και... και χωρίς κεφάλι επίσης.)

Τώρα μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας με τον τύπο:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ω ναι, ένα 17ξέρουμε ότι είναι -2. Εντάξει, ας αντικαταστήσουμε:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Αυτό είναι βασικά όλο. Απομένει να εκφράσουμε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου από τον τύπο και να τον υπολογίσουμε. Η απάντηση θα είναι: α 1 = 6.

Αυτή η τεχνική - καταγραφή ενός τύπου και απλώς αντικατάσταση γνωστών δεδομένων - βοηθάει πολύ σε απλές εργασίες. Λοιπόν, φυσικά, πρέπει να μπορείτε να εκφράσετε μια μεταβλητή από έναν τύπο, αλλά τι να κάνετε!; Χωρίς αυτή την ικανότητα, μπορεί να μην σπουδάσεις καθόλου μαθηματικά...

Ένα άλλο δημοφιλές παζλ:

Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 1 =2; α 15 = 12.

Τι κάνουμε; Θα εκπλαγείτε, γράφουμε τον τύπο!)

Ας εξετάσουμε τι γνωρίζουμε: a 1 =2; a 15 =12; και (θα τονίσω ιδιαίτερα!) n=15. Μη διστάσετε να το αντικαταστήσετε στον τύπο:

12=2 + (15-1)δ

Κάνουμε την αριθμητική.)

12=2 + 14η

ρε=10/14 = 5/7

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Έτσι, τα καθήκοντα για α ν, α 1Και ρεαποφασισμένος. Το μόνο που μένει είναι να μάθετε πώς να βρείτε τον αριθμό:

Ο αριθμός 99 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 =12; d=3. Βρείτε τον αριθμό αυτού του μέλους.

Αντικαθιστούμε τις γνωστές μας ποσότητες στον τύπο του nου όρου:

a n = 12 + (n-1) 3

Με την πρώτη ματιά, υπάρχουν δύο άγνωστες ποσότητες εδώ: ένα ν και ν.Αλλά a n- αυτό είναι κάποιο μέλος της προόδου με έναν αριθμό n...Και γνωρίζουμε αυτό το μέλος του progression! Είναι 99. Δεν ξέρουμε τον αριθμό του. n,Αυτός ο αριθμός λοιπόν είναι αυτό που πρέπει να βρείτε. Αντικαθιστούμε τον όρο της προόδου 99 στον τύπο:

99 = 12 + (n-1) 3

Εκφράζουμε από τον τύπο n, νομίζουμε. Παίρνουμε την απάντηση: n=30.

Και τώρα ένα πρόβλημα στο ίδιο θέμα, αλλά πιο δημιουργικό):

Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 117 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ας ξαναγράψουμε τον τύπο. Τι, δεν υπάρχουν παράμετροι; Χμ... Γιατί μας δίνονται μάτια;) Βλέπουμε τον πρώτο όρο της εξέλιξης; Βλέπουμε. Αυτό είναι -3,6. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια: a 1 = -3,6.Διαφορά ρεμπορείς να προσδιορίσεις από μια σειρά; Είναι εύκολο αν γνωρίζετε ποια είναι η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Έτσι, κάναμε το πιο απλό πράγμα. Μένει να ασχοληθούμε με τον άγνωστο αριθμό nκαι ο ακατάληπτος αριθμός 117. Στο προηγούμενο πρόβλημα, τουλάχιστον ήταν γνωστό ότι ήταν ο όρος της προόδου που δόθηκε. Αλλά εδώ δεν ξέρουμε καν... Τι να κάνουμε!; Λοιπόν, πώς να είσαι, πώς να είσαι... Ενεργοποιήστε τις δημιουργικές σας ικανότητες!)

Εμείς υποθέτωότι το 117 είναι τελικά μέλος της προόδου μας. Με άγνωστο αριθμό n. Και, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε αυτόν τον αριθμό. Εκείνοι. γράφουμε τον τύπο (ναι, ναι!)) και αντικαθιστούμε τους αριθμούς μας:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Και πάλι εκφράζουμε από τον τύποn, μετράμε και παίρνουμε:

Ωχ! Ο αριθμός αποδείχθηκε κλασματικός!Εκατόν ενάμιση. Και κλασματικοί αριθμοί σε προόδους δεν μπορεί.Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε; Ναί! Αριθμός 117 δεν είναιμέλος της προόδου μας. Είναι κάπου ανάμεσα στους εκατό πρώτους και εκατό δεύτερους όρους. Αν ο αριθμός αποδείχθηκε φυσικός, δηλ. είναι θετικός ακέραιος, τότε ο αριθμός θα είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό που βρέθηκε. Και στην περίπτωσή μας, η απάντηση στο πρόβλημα θα είναι: Οχι.

Μια εργασία που βασίζεται σε μια πραγματική έκδοση του GIA:

Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:

a n = -4 + 6,8n

Βρείτε τον πρώτο και τον δέκατο όρο της προόδου.

Εδώ η εξέλιξη τίθεται με έναν ασυνήθιστο τρόπο. Κάποιος τύπος... Συμβαίνει.) Ωστόσο, αυτός ο τύπος (όπως έγραψα παραπάνω) - επίσης ο τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Το επιτρέπει επίσης βρείτε οποιοδήποτε μέλος της προόδου με τον αριθμό του.

Ψάχνουμε για το πρώτο μέλος. Αυτός που σκέφτεται. ότι ο πρώτος όρος είναι μείον τέσσερα είναι μοιραία λάθος!) Επειδή ο τύπος στο πρόβλημα έχει τροποποιηθεί. Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου σε αυτό κρυμμένος.Δεν πειράζει, θα το βρούμε τώρα.)

Όπως και στα προηγούμενα προβλήματα, αντικαθιστούμε n=1σε αυτόν τον τύπο:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Εδώ! Ο πρώτος όρος είναι 2,8, όχι -4!

Αναζητούμε τον δέκατο όρο με τον ίδιο τρόπο:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Αυτό είναι.

Και τώρα, για όσους έχουν διαβάσει αυτές τις γραμμές, το υποσχόμενο μπόνους.)

Ας υποθέσουμε ότι, σε μια δύσκολη κατάσταση μάχης της Κρατικής Εξέτασης ή της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, έχετε ξεχάσει τον χρήσιμο τύπο για τον ένατο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Θυμάμαι κάτι, αλλά κάπως αβέβαιο... Ή nεκεί, ή n+1, ή n-1...Πώς να είσαι!?

Ηρεμία! Αυτή η φόρμουλα είναι εύκολο να εξαχθεί. Δεν είναι πολύ αυστηρό, αλλά σίγουρα αρκεί για αυτοπεποίθηση και σωστή απόφαση!) Για να βγάλετε ένα συμπέρασμα, αρκεί να θυμηθείτε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και να έχετε μερικά λεπτά χρόνου. Απλά πρέπει να σχεδιάσετε μια εικόνα. Για λογους σαφηνειας.

Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή και σημειώστε την πρώτη πάνω της. δεύτερο, τρίτο κ.λπ. μέλη. Και σημειώνουμε τη διαφορά ρεμεταξύ των μελών. Σαν αυτό:

Κοιτάμε την εικόνα και σκεφτόμαστε: τι σημαίνει ο δεύτερος όρος; Δεύτερος ένας ρε:

ένα 2 =a 1 + 1 ρε

Ποιος είναι ο τρίτος όρος; Τρίτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν δύο ρε.

ένα 3 =a 1 + 2 ρε

Τόπιασες; Δεν είναι τυχαίο που επισημαίνω κάποιες λέξεις με έντονους χαρακτήρες. Εντάξει, ένα ακόμη βήμα).

Ποιος είναι ο τέταρτος όρος; Τέταρτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν τρία ρε.

ένα 4 =a 1 + 3 ρε

Είναι καιρός να συνειδητοποιήσουμε ότι ο αριθμός των κενών, δηλ. ρε, Πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό του μέλους που αναζητάτε n. Δηλαδή στον αριθμό n, αριθμός διαστημάτωνθα n-1.Επομένως, ο τύπος θα είναι (χωρίς παραλλαγές!):

Γενικά, οι οπτικές εικόνες βοηθούν πολύ στην επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά. Μην αμελείτε τις εικόνες. Αλλά αν είναι δύσκολο να σχεδιάσετε μια εικόνα, τότε... μόνο ένας τύπος!) Επιπλέον, ο τύπος του nου όρου σας επιτρέπει να συνδέσετε ολόκληρο το ισχυρό οπλοστάσιο των μαθηματικών στη λύση - εξισώσεις, ανισότητες, συστήματα κ.λπ. Δεν μπορείτε να εισάγετε μια εικόνα στην εξίσωση...

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση.

Για προθέρμανση:

1. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Βρείτε ένα 3.

Συμβουλή: σύμφωνα με την εικόνα, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε 20 δευτερόλεπτα... Σύμφωνα με τον τύπο, αποδεικνύεται πιο δύσκολο. Αλλά για την κυριαρχία του τύπου, είναι πιο χρήσιμο.) Στην Ενότητα 555, αυτό το πρόβλημα επιλύεται χρησιμοποιώντας τόσο την εικόνα όσο και τον τύπο. Νιώστε τη διαφορά!)

Και αυτό δεν είναι πλέον προθέρμανση.)

2. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Βρείτε ένα 3 .

Τι, δεν θέλετε να ζωγραφίσετε;) Φυσικά! Καλύτερα σύμφωνα με τον τύπο, ναι...

3. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Σε αυτήν την εργασία, η πρόοδος καθορίζεται με επαναλαμβανόμενο τρόπο. Αλλά μετρώντας μέχρι τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο... Δεν μπορούν όλοι να κάνουν ένα τέτοιο κατόρθωμα.) Αλλά η φόρμουλα για τον nο όρο είναι στη δύναμη του καθενός!

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Βρείτε τον αριθμό του μικρότερου θετικού όρου της προόδου.

5. Σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας 4, να βρείτε το άθροισμα των μικρότερων θετικών και μεγαλύτερων αρνητικών όρων της προόδου.

6. Το γινόμενο του πέμπτου και του δωδέκατου όρου μιας αύξουσας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με -2,5 και το άθροισμα του τρίτου και του ενδέκατου μέλους είναι ίσο με μηδέν. Βρείτε ένα 14.

Δεν είναι η πιο εύκολη εργασία, ναι...) Η μέθοδος "δάχτυλο" δεν θα λειτουργήσει εδώ. Θα πρέπει να γράψετε τύπους και να λύσετε εξισώσεις.

Απαντήσεις (σε αταξία):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Συνέβη; Είναι ωραία!)

Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Παρεμπιπτόντως, υπάρχει ένα λεπτό σημείο στην τελευταία εργασία. Απαιτείται προσοχή κατά την ανάγνωση του προβλήματος. Και η λογική.

Η λύση σε όλα αυτά τα προβλήματα συζητείται λεπτομερώς στην Ενότητα 555. Και το στοιχείο της φαντασίας για τον τέταρτο, και το λεπτό σημείο για τον έκτο, και γενικές προσεγγίσεις για την επίλυση τυχόν προβλημάτων που αφορούν τον τύπο του nου όρου - περιγράφονται τα πάντα. Προτείνω.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Η έννοια της ακολουθίας αριθμών υπονοεί ότι κάθε φυσικός αριθμός αντιστοιχεί σε κάποια πραγματική τιμή. Μια τέτοια σειρά αριθμών μπορεί να είναι είτε αυθαίρετη είτε να έχει ορισμένες ιδιότητες - μια εξέλιξη. Στην τελευταία περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο (μέλος) της ακολουθίας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το προηγούμενο.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμητικών τιμών στην οποία τα γειτονικά μέλη της διαφέρουν μεταξύ τους κατά τον ίδιο αριθμό (όλα τα στοιχεία της σειράς, ξεκινώντας από το 2ο, έχουν παρόμοια ιδιότητα). Αυτός ο αριθμός - η διαφορά μεταξύ των προηγούμενων και των επόμενων όρων - είναι σταθερός και ονομάζεται διαφορά προόδου.

Διαφορά προόδου: ορισμός

Θεωρήστε μια ακολουθία που αποτελείται από j τιμές A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N. Μια αριθμητική πρόοδος, σύμφωνα με τον ορισμό της, είναι μια ακολουθία , στην οποία a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Η τιμή d είναι η επιθυμητή διαφορά αυτής της προόδου.

d = a(j) – a(j-1).

Αποκορύφωμα:

• Μια αυξανόμενη πρόοδος, οπότε d > 0. Παράδειγμα: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Μειωμένη εξέλιξη, τότε d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Πρόοδος διαφοράς και τα αυθαίρετα στοιχεία της

Εάν είναι γνωστοί 2 αυθαίρετοι όροι της προόδου (i-ος, k-ος), τότε η διαφορά για μια δεδομένη ακολουθία μπορεί να προσδιοριστεί με βάση τη σχέση:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, που σημαίνει d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Διαφορά προόδου και πρώτος όρος της

Αυτή η έκφραση θα βοηθήσει στον προσδιορισμό μιας άγνωστης τιμής μόνο σε περιπτώσεις όπου ο αριθμός του στοιχείου της ακολουθίας είναι γνωστός.

Διαφορά προόδου και το άθροισμά της

Το άθροισμα μιας προόδου είναι το άθροισμα των όρων της. Για να υπολογίσετε τη συνολική τιμή των πρώτων j στοιχείων του, χρησιμοποιήστε τον κατάλληλο τύπο:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, αλλά αφού a(j) = a(1) + d(j – 1), μετά S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.