Bagilah 6 bilangan komposit menjadi faktor prima. Memfaktorkan suatu bilangan

Setiap bilangan asli, selain satu, memiliki dua atau lebih pembagi. Misalnya bilangan 7 hanya habis dibagi 1 dan 7 tanpa sisa, yaitu mempunyai dua pembagi. Dan bilangan 8 mempunyai pembagi 1, 2, 4, 8 yaitu sebanyak 4 pembagi sekaligus.

Apa perbedaan bilangan prima dan bilangan komposit?

Bilangan yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut bilangan komposit. Bilangan yang hanya mempunyai dua pembagi: satu dan bilangan itu sendiri disebut bilangan prima.

Angka 1 hanya mempunyai satu pembagian yaitu angka itu sendiri. Satu bukanlah bilangan prima atau bilangan komposit.

• Misalnya bilangan 7 bilangan prima dan bilangan 8 bilangan komposit.

10 bilangan prima pertama: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Angka 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap, sisanya bilangan prima aneh.

Bilangan 78 adalah bilangan komposit, karena selain 1 dan dirinya sendiri juga habis dibagi 2. Bila dibagi 2 didapat 39. Artinya, 78 = 2*39. Dalam kasus seperti itu, mereka mengatakan bahwa bilangan tersebut difaktorkan menjadi faktor 2 dan 39.

Bilangan komposit apa pun dapat diuraikan menjadi dua faktor, yang masing-masing lebih besar dari 1. Trik ini tidak akan berhasil pada bilangan prima. Begitu seterusnya.

Memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima

Seperti disebutkan di atas, bilangan komposit apa pun dapat difaktorkan menjadi dua faktor. Kita ambil contoh bilangan 210. Bilangan ini bisa dipecah menjadi dua faktor 21 dan 10. Tapi bilangan 21 dan 10 juga bilangan komposit, mari kita pecahkan menjadi dua faktor. Kita peroleh 10 = 2*5, 21=3*7. Hasilnya, bilangan 210 dipecah menjadi 4 faktor: 2,3,5,7. Bilangan-bilangan ini sudah prima dan tidak dapat diekspansi. Artinya, kita memfaktorkan bilangan 210 menjadi faktor prima.

Saat memfaktorkan bilangan komposit menjadi faktor prima, biasanya ditulis dalam urutan menaik.

Perlu diingat bahwa bilangan komposit apa pun dapat didekomposisi menjadi faktor prima dan dengan cara yang unik, hingga permutasi.

• Biasanya, ketika menguraikan suatu bilangan menjadi faktor prima, digunakan kriteria keterbagian.

Mari kita faktorkan bilangan 378 menjadi faktor prima

Kami akan menuliskan angka-angkanya, memisahkannya dengan garis vertikal. Bilangan 378 habis dibagi 2, karena berakhiran 8. Bila dibagi maka didapat bilangan 189. Jumlah angka-angka dari bilangan 189 habis dibagi 3, artinya bilangan 189 itu sendiri habis dibagi 3. Hasilnya adalah 63.

Angka 63 juga habis dibagi 3, sesuai dengan pembagiannya. Kita dapat 21, angka 21 bisa dibagi 3 lagi, kita dapat 7. Tujuh hanya habis dibagi dengan sendirinya, kita dapat satu. Ini melengkapi pembagiannya. Di sebelah kanan setelah garis adalah faktor prima yang menjadi penguraian bilangan 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

Semuanya dimulai dengan perkembangan geometris. Pada kuliah pertama tentang baris (lihat bagian 18.1. Definisi dasar) kita telah membuktikan bahwa fungsi ini merupakan penjumlahan dari deret tersebut , dan deret tersebut konvergen ke fungsi di
. Jadi,

.

Mari kita daftar beberapa jenis seri ini. Mengganti X pada - X , kita mendapatkan

saat mengganti X pada
kita mendapatkan

dll.; Daerah konvergensi semua deret tersebut adalah sama:
.

2.
.

Semua turunan fungsi ini pada intinya X =0 sama
, seperti inilah tampilan serialnya

.

Daerah konvergensi deret ini adalah seluruh sumbu bilangan (contoh 6 bagian 18.2.4.3. Jari-jari konvergensi, interval konvergensi, dan daerah konvergensi suatu deret pangkat), Itu sebabnya
pada
. Akibatnya, sisa suku rumus Taylor
. Oleh karena itu deret tersebut konvergen menjadi
kapan saja X .

3.
.

Deret ini benar-benar konvergen pada

, dan jumlahnya benar-benar sama
. Suku sisa rumus Taylor berbentuk
, Di mana
atau
- fungsi terbatas, A
(ini adalah istilah umum dari perluasan sebelumnya).

4.
.

Perluasan ini dapat diperoleh, seperti perluasan sebelumnya, dengan menghitung turunan secara berurutan, namun kita akan melakukannya secara berbeda. Mari kita bedakan suku deret sebelumnya dengan suku:

Konvergensi suatu fungsi pada seluruh sumbu mengikuti teorema diferensiasi suku demi suku suatu deret pangkat.

5. Buktikan secara mandiri bahwa pada seluruh sumbu bilangan, .

6.
.

Deret untuk fungsi ini disebut deret binomial. Di sini kita akan menghitung turunannya.

...Deret Maclaurin mempunyai bentuk

Kami mencari interval konvergensi: oleh karena itu, interval konvergensi adalah
. Kita tidak akan mempelajari sisa suku dan perilaku deret pada ujung interval konvergensi; ternyata kapan
Deret tersebut konvergen secara mutlak pada kedua titik
, pada
deret tersebut konvergen secara kondisional di suatu titik
dan menyimpang pada suatu titik
, pada
menyimpang di kedua titik.

7.
.

Di sini kita akan menggunakan fakta itu
. Sejak itu, setelah integrasi periode demi periode,

Daerah konvergensi deret ini adalah setengah interval
, konvergensi suatu fungsi di titik-titik interior mengikuti teorema integrasi suku demi suku suatu deret pangkat, pada titik tersebut X =1 - dari kontinuitas fungsi dan jumlah deret pangkat di semua titik, mendekati secara sembarang X =1 tersisa. Perhatikan pengambilan itu X =1, kita cari jumlah deretnya.

8. Mengintegrasikan suku demi suku deret, kita memperoleh perluasan fungsi
. Lakukan semua perhitungan sendiri, tuliskan daerah konvergensinya.

9. Mari kita tuliskan perluasan fungsinya
sesuai dengan rumus deret binomial dengan
: . Penyebut
direpresentasikan sebagai , faktorial ganda
berarti hasil kali semua bilangan asli yang paritasnya sama dengan , tidak melebihi . Ekspansi konvergen ke fungsi di
. Mengintegrasikannya istilah demi istilah dari 0 hingga X , kami akan menerima. Ternyata deret ini konvergen ke fungsi pada seluruh interval
; pada X =1 kita mendapatkan representasi indah lainnya dari nomor tersebut :
.

18.2.6.2. Memecahkan masalah yang melibatkan perluasan fungsi secara seri. Sebagian besar masalah di mana Anda perlu memperluas fungsi dasar menjadi deret pangkat
, diselesaikan dengan menggunakan ekspansi standar. Untungnya, setiap fungsi dasar dasar memiliki properti yang memungkinkan Anda melakukan hal ini. Mari kita lihat sejumlah contoh.

1. Perluas fungsinya
sedikit demi sedikit
.

Larutan. . Deret tersebut bertemu di
.

2. Perluas fungsinya
sedikit demi sedikit
.

Larutan.
. Daerah konvergensi:
.

3. Perluas fungsinya
sedikit demi sedikit
.

Larutan. . Deret tersebut bertemu di
.

4. Perluas fungsinya
sedikit demi sedikit
.

Larutan. . Deret tersebut bertemu di
.

5. Perluas fungsinya
sedikit demi sedikit
.

Larutan. . Wilayah konvergensi
.

6. Perluas fungsinya
sedikit demi sedikit
.

Larutan. Pemekaran menjadi rangkaian pecahan rasional sederhana tipe kedua diperoleh dengan diferensiasi suku demi suku dari perluasan pecahan tipe pertama yang bersesuaian. Dalam contoh ini. Selanjutnya, dengan diferensiasi suku demi suku, kita dapat memperoleh perluasan fungsi
,
dll.

7. Perluas fungsinya
sedikit demi sedikit
.

Larutan. Jika pecahan rasional bukan pecahan sederhana, maka pecahan tersebut direpresentasikan terlebih dahulu sebagai penjumlahan pecahan sederhana:
, lalu lanjutkan seperti pada contoh 5: di mana
.

Tentu saja, pendekatan ini tidak dapat diterapkan, misalnya, untuk mendekomposisi suatu fungsi sedikit demi sedikit X . Di sini, jika Anda perlu mendapatkan beberapa suku pertama deret Taylor, cara termudah adalah mencari nilai di titik tersebut X =0 jumlah turunan pertama yang diperlukan.

Apa yang dimaksud dengan anjak piutang? Bagaimana cara melakukannya? Apa yang dapat kamu pelajari dari memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima? Jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini diilustrasikan dengan contoh-contoh spesifik.

Definisi:

Bilangan yang mempunyai tepat dua pembagi yang berbeda disebut bilangan prima.

Bilangan yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut bilangan komposit.

Memfaktorkan bilangan asli berarti menyatakannya sebagai hasil kali bilangan asli.

Memfaktorkan suatu bilangan asli menjadi faktor prima berarti menyatakannya sebagai hasil kali bilangan prima.

Catatan:

• Dalam penguraian suatu bilangan prima, salah satu faktornya sama dengan satu, dan faktor lainnya sama dengan bilangan itu sendiri.
• Tidak masuk akal membicarakan kesatuan pemfaktoran.
• Suatu bilangan komposit dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor yang masing-masing faktornya berbeda dari 1.

Selama dekomposisi angka besar Untuk faktor prima, gunakan notasi kolom:

	Bilangan prima terkecil yang habis dibagi 216 adalah 2. Bagilah 216 dengan 2. Kita mendapat 108.
	Angka yang dihasilkan 108 dibagi 2. Mari kita lakukan pembagiannya. Hasilnya adalah 54.
	Berdasarkan uji habis dibagi 2, bilangan 54 habis dibagi 2. Setelah membagi, kita mendapatkan 27.
	Angka 27 diakhiri dengan angka ganjil 7. Dia Tidak habis dibagi 2. Bilangan prima berikutnya adalah 3. Bagilah 27 dengan 3. Kita mendapatkan 9. Prima terkecil Bilangan yang habis dibagi 9 adalah 3. Tiga sendiri merupakan bilangan prima; bilangan tersebut habis dibagi oleh dirinya sendiri dan satu. Mari kita bagi 3 sendiri. Pada akhirnya kami mendapat 1.

• Suatu bilangan hanya habis dibagi oleh bilangan prima yang merupakan bagian dari penguraiannya.
• Suatu bilangan hanya habis dibagi menjadi bilangan-bilangan komposit yang penguraiannya menjadi faktor-faktor prima terkandung seluruhnya di dalamnya.

Mari kita lihat contohnya:

Tentukan hasil bagi pembagian bilangan a dengan bilangan b, jika bilangan-bilangan tersebut didekomposisi menjadi faktor prima sebagai berikut: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika kelas 6. - Gimnasium. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di balik halaman buku teks matematika. - M.: Pendidikan, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tugas mata kuliah matematika untuk kelas 5-6. - M.: ZSh MEPHI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Panduan untuk siswa kelas 6 di sekolah korespondensi MEPHI. - M.: ZSh MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Buku teks-teman bicara untuk kelas 5-6 sekolah menengah atas. - M.: Pendidikan, Perpustakaan Guru Matematika, 1989.

1. Portal internet Matematika-na.ru ().
2. Portal internet Math-portal.ru ().

Pekerjaan rumah

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. No.127, No.129, No.141.
2. Tugas lainnya : No.133, No.144.

Kalkulator online ini dirancang untuk memfaktorkan suatu fungsi.

Misalnya, faktorkan: x 2 /3-3x+12. Mari kita tulis sebagai x^2/3-3*x+12. Anda juga bisa menggunakan ini melayani, tempat semua perhitungan disimpan dalam format Word.

Misalnya, dekomposisi menjadi beberapa istilah. Mari kita tulis sebagai (1-x^2)/(x^3+x) . Untuk melihat kemajuan solusi, klik Tampilkan langkah. Jika Anda ingin mendapatkan hasilnya dalam format Word, gunakan ini melayani.

Catatan: angka "pi" (π) ditulis pi; akar kuadrat sebagai sqrt , misalnya sqrt(3) , tangen tg ditulis tan . Untuk melihat jawabannya, lihat Alternatif.

1. Jika diberikan persamaan sederhana, misalnya 8*d+12*c*d, maka memfaktorkan persamaan tersebut berarti menyatakan persamaan tersebut dalam bentuk faktor. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan faktor persekutuan. Mari kita tulis ekspresi ini sebagai: 4*d*(2+3*c) .
2. Sajikan hasil kali dalam bentuk dua binomial: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Di sini Anda perlu mencari beberapa faktor persekutuan: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Kita keluarkan (x+7z) dan dapatkan: (x+7z)(x + 3y) .

Lihat juga Membagi polinomial dengan sudut(semua langkah pembagian ditampilkan dalam kolom)

Berguna ketika mempelajari aturan faktorisasi rumus perkalian yang disingkat, dengan bantuan yang akan menjadi jelas cara membuka tanda kurung dengan kotak:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Metode Faktorisasi

1. Menggunakan rumus perkalian yang disingkat.
2. Menemukan faktor persekutuan.