Berapakah sudut tertulis dan sudut pusat? N.Nikitin Geometri

Seringkali, proses persiapan Ujian Negara Bersatu dalam matematika dimulai dengan pengulangan definisi dasar, rumus dan teorema, termasuk pada topik “Sudut pusat dan sudut tertulis dalam lingkaran”. Sebagai aturan, bagian ini planimetri telah dipelajari sejak itu sekolah menengah atas. Tidak mengherankan jika banyak siswa dihadapkan pada kebutuhan untuk mengkaji ulang konsep dasar dan teorema pada topik “Sudut Pusat Lingkaran”. Setelah memahami algoritme untuk memecahkan masalah seperti itu, anak-anak sekolah dapat mengandalkan penerimaan skor kompetitif berdasarkan hasil kelulusan ujian negara terpadu.

Bagaimana cara mempersiapkan diri untuk lulus ujian sertifikasi dengan mudah dan efektif?

Saat belajar sebelum lulus ujian negara terpadu, banyak siswa sekolah menengah dihadapkan pada masalah dalam menemukan informasi yang diperlukan tentang topik “Sudut pusat dan sudut tertulis dalam lingkaran”. Tidak selalu buku pelajaran sekolah tersedia di tangan. Dan mencari rumus di Internet terkadang memakan banyak waktu.

Tim kami akan membantu Anda "meningkatkan" keterampilan Anda dan meningkatkan pengetahuan Anda di bagian geometri yang sulit seperti planimetri portal pendidikan. “Shkolkovo” menawarkan siswa sekolah menengah dan guru mereka cara baru untuk membangun proses persiapan ujian negara terpadu. Semua bahan dasar disajikan oleh spesialis kami dalam bentuk yang paling mudah diakses. Setelah membaca informasi pada bagian “Latar Belakang Teoritis”, siswa akan mempelajari apa saja sifat-sifatnya sudut tengah lingkaran, cara mencari ukurannya, dll.

Kemudian, untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dan keterampilan praktik, kami merekomendasikan untuk melakukan latihan yang sesuai. Banyak pilihan tugas untuk menemukan ukuran sudut pada lingkaran dan parameter lainnya disajikan di bagian “Katalog”. Untuk setiap latihan, pakar kami menuliskan solusi terperinci dan menunjukkan jawaban yang benar. Daftar tugas di situs ini terus ditambah dan diperbarui.

Siswa sekolah menengah dapat mempersiapkan diri untuk Ujian Negara Bersatu dengan melakukan latihan, misalnya, mencari besar sudut pusat dan panjang busur lingkaran, secara online, dari wilayah mana pun di Rusia.

Jika perlu, tugas yang telah selesai dapat disimpan di bagian "Favorit" untuk kembali lagi nanti dan sekali lagi menganalisis prinsip penyelesaiannya.

Sudut tengah adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran.
Sudut tertulis- sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotongnya.

Gambar tersebut menunjukkan sudut pusat dan sudut tertulis, serta sifat terpentingnya.

Jadi, besar sudut pusat sama dengan besar sudut busur tempat ia bertumpu. Artinya sudut pusat 90 derajat akan bertumpu pada busur yang besarnya 90°, yaitu lingkaran. Sudut pusat, sama dengan 60°, bertumpu pada busur 60 derajat, yaitu pada seperenam lingkaran.

Besarnya sudut tertulis adalah dua kali lebih kecil dari sudut pusat yang bertumpu pada busur yang sama.

Selain itu, untuk menyelesaikan masalah kita memerlukan konsep “akor”.

Sudut pusat yang sama membentuk tali busur yang sama besar.

1. Berapakah sudut tertulis yang dibatasi oleh diameter lingkaran? Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Sudut tertulis yang dibatasi oleh diameter adalah sudut siku-siku.

2. Sudut pusatnya 36° lebih besar dari sudut lancip yang dibentuk oleh busur lingkaran yang sama. Temukan sudut tertulis. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Misalkan sudut pusat sama dengan x, dan sudut bertuliskan busur yang sama sama dengan y.

Kita tahu bahwa x = 2y.
Jadi 2y = 36 + y,
kamu = 36.

3. Jari-jari lingkaran sama dengan 1. Tentukan nilai sudut tumpul yang dibentuk oleh tali busur, sama dengan . Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Misalkan tali busur AB sama dengan . Sudut tumpul yang tertulis berdasarkan tali busur ini akan dilambangkan dengan α.
Pada segitiga AOB, sisi AO dan OB sama dengan 1, sisi AB sama dengan . Kita telah menemukan segitiga seperti itu. Jelasnya, segitiga AOB adalah persegi panjang dan sama kaki, sehingga sudut AOB adalah 90°.
Maka busur ACB sama dengan 90°, dan busur AKB sama dengan 360° - 90° = 270°.
Sudut tertulis α bertumpu pada busur AKB dan sama dengan setengah nilai sudut busur tersebut, yaitu 135°.

Jawaban: 135.

4. Tali busur AB membagi lingkaran menjadi dua bagian yang nilai derajatnya mempunyai perbandingan 5:7. Pada sudut berapakah tali busur ini terlihat dari titik C yang termasuk dalam busur kecil lingkaran? Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Hal utama dalam tugas ini adalah gambar yang benar dan memahami kondisinya. Bagaimana Anda memahami pertanyaan: “Pada sudut manakah tali busur terlihat dari titik C?”
Bayangkan Anda sedang duduk di titik C dan Anda ingin melihat segala sesuatu yang terjadi pada tali busur AB. Ibarat akord AB ibarat layar di bioskop :-)
Tentunya Anda perlu mencari sudut ACB.
Jumlah dua busur yang dilalui tali busur AB membagi lingkaran adalah 360°, yaitu
5x + 7x = 360°
Jadi x = 30°, dan sudut ACB terletak pada busur sebesar 210°.
Besar sudut yang tertulis sama dengan setengah besar sudut busur tempat ia bertumpu, yang berarti sudut ACB sama dengan 105°.

Ini adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah akord, berasal dari satu titik pada lingkaran. Sudut tertulis dikatakan beristirahat pada busur yang tertutup di antara sisi-sisinya.

Sudut tertulis sama dengan setengah busur tempat ia bertumpu.

Dengan kata lain, sudut tertulis mencakup derajat sudut, menit, dan detik sebanyak-banyaknya derajat busur, menit dan detik terkandung dalam setengah busur tempatnya berada. Untuk membenarkan hal ini, mari kita menganalisis tiga kasus:

Kasus pertama:

Pusat O terletak di samping sudut tertulis ABC. Menggambar jari-jari AO, kita mendapatkan ΔABO, di dalamnya OA = OB (sebagai jari-jari) dan, karenanya, ∠ABO = ∠BAO. Sehubungan dengan ini segi tiga, sudut AOC - eksternal. Artinya sama dengan jumlah sudut ABO dan BAO, atau sama dengan dua kali lipat sudut ABO. Jadi ∠ABO sama dengan setengahnya sudut tengah AOC. Tapi sudut ini diukur dengan busur AC. Artinya, sudut tertulis ABC diukur dengan setengah busur AC.

Kasus kedua:

Pusat O terletak di antara sisi-sisinya sudut tertulis ABC. Setelah menggambar diameter BD, kita membagi sudut ABC menjadi dua sudut, yang menurut kasus pertama, salah satunya diukur setengahnya. busur AD, dan separuh lainnya dari arc CD. Dan karenanya, sudut ABC diukur (AD+DC) /2, yaitu. 1/2 AC.

Kasus ketiga:

Pusat O terletak di luar sudut tertulis ABC. Menggambar diameter BD, kita mendapatkan:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Tetapi sudut ABD dan CBD diukur berdasarkan separuh yang telah dibenarkan sebelumnya busur IKLAN dan CD. Dan karena ∠ABC diukur dengan (AD-CD)/2, yaitu setengah busur AC.

Akibat wajar 1. Semua yang berdasarkan pada busur yang sama adalah sama, yaitu setara satu sama lain. Karena masing-masing diukur dengan setengahnya busur .

Akibat wajar 2. Sudut tertulis, berdasarkan diameter - sudut kanan. Karena setiap sudut tersebut diukur dengan setengah setengah lingkaran dan, karenanya, mengandung 90°.

Konsep sudut tertulis dan pusat

Mari kita perkenalkan dulu konsep sudut pusat.

Catatan 1

Perhatikan itu besar derajat suatu sudut pusat sama dengan besar derajat busur tempatnya bertumpu.

Sekarang mari kita perkenalkan konsep sudut tertulis.

Definisi 2

Sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran yang sama disebut sudut tertulis (Gbr. 2).

Gambar 2. Sudut tertulis

Teorema sudut tertulis

Teorema 1

Besar derajat suatu sudut tertulis sama dengan setengah besar derajat busur tempat sudut itu berada.

Bukti.

Misalkan kita diberi sebuah lingkaran yang berpusat di titik $O$. Mari kita nyatakan sudut tertulis $ACB$ (Gbr. 2). Tiga kasus berikut mungkin terjadi:

Sinar $CO$ berimpit dengan sisi mana pun dari sudut tersebut. Biarkan ini menjadi sisi $CB$ (Gbr. 3).

Gambar 3.

Dalam hal ini, busur $AB$ lebih kecil dari $(180)^(()^\circ )$, oleh karena itu sudut pusat $AOB$ sama dengan busur $AB$. Karena $AO=OC=r$, maka segitiga $AOC$ adalah segitiga sama kaki. Artinya sudut alas $CAO$ dan $ACO$ sama besar. Menurut teorema tentang sudut luar segitiga, kita mempunyai:

Sinar $CO$ terbagi sudut dalam pada dua sudut. Biarkan lingkaran tersebut memotong lingkaran di titik $D$ (Gbr. 4).

Gambar 4.

Kami mengerti

Sinar $CO$ tidak membagi sudut dalam menjadi dua sudut dan tidak berimpit pada salah satu sisinya (Gbr. 5).

Gambar 5.

Mari kita perhatikan sudut $ACD$ dan $DCB$ secara terpisah. Berdasarkan apa yang dibuktikan pada poin 1, kita peroleh

Kami mengerti

Teorema tersebut telah terbukti.

Mari kita memberi konsekuensi dari teorema ini.

Akibat wajar 1: Sudut-sudut bertulisan yang bertumpu pada busur yang sama adalah sama besar.

Akibat wajar 2: Sudut tertulis yang membentuk diameter adalah sudut siku-siku.

Sudut tertulis, teori masalahnya. Teman-teman! Pada artikel ini kita akan membahas tentang tugas-tugas yang perlu Anda ketahui sifat-sifat sudut tertulisnya. Ini adalah keseluruhan kelompok tugas, mereka termasuk dalam Ujian Negara Bersatu. Kebanyakan dari masalah tersebut dapat diselesaikan dengan sangat sederhana, dalam satu tindakan.

Ada soal-soal yang lebih sulit, tetapi tidak akan menimbulkan banyak kesulitan bagi Anda; Anda perlu mengetahui sifat-sifat sudut tertulis. Secara bertahap kami akan menganalisis semua prototipe tugas, saya mengundang Anda ke blog!

Sekarang teori yang diperlukan. Mari kita ingat apa itu sudut pusat dan sudut tertulis, tali busur, busur, tempat sudut-sudut ini bertumpu:

Sudut pusat lingkaran adalah sudut bidang denganpuncak di pusatnya.
Bagian lingkaran yang terletak di dalam sudut bidangdisebut busur lingkaran.
Besaran derajat busur suatu lingkaran disebut besaran derajatsudut pusat yang sesuai.
Suatu sudut dikatakan berada dalam lingkaran jika titik sudutnya terletakpada sebuah lingkaran, dan sisi-sisi sudutnya memotong lingkaran tersebut.

Segmen yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebutakord. Tali busur terbesar melewati pusat lingkaran dan disebutdiameter.

Untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan sudut-sudut pada lingkaran,Anda perlu mengetahui properti berikut:

1. Sudut tertulis sama dengan setengah sudut pusat berdasarkan busur yang sama.

2. Semua sudut pada busur yang sama adalah sama besar.

3. Semua sudut yang terletak pada tali busur yang sama dan yang titik-titik sudutnya terletak pada sisi yang sama pada tali busur tersebut adalah sama besar.

4. Pasangan sudut apa pun yang terletak pada tali busur yang sama, yang titik-titik sudutnya terletak sejajar sisi yang berbeda akord bertambah hingga 180°.

Akibat wajar: sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat yang terdapat dalam lingkaran berjumlah 180 derajat.

5. Semua sudut bertulisan yang dibatasi oleh diameter adalah sudut siku-siku.

Secara umum sifat ini merupakan akibat dari sifat (1); ini adalah kasus khususnya. Lihat - sudut pusat sama dengan 180 derajat (dan sudut terbuka ini tidak lebih dari diameter), yang berarti, menurut sifat pertama, sudut tertulis C sama dengan setengahnya, yaitu 90 derajat.

Mengetahui properti ini membantu memecahkan banyak masalah dan sering kali memungkinkan Anda menghindari perhitungan yang tidak perlu. Setelah menguasainya dengan baik, Anda akan mampu menyelesaikan lebih dari separuh masalah jenis ini secara lisan. Dua kesimpulan yang dapat diambil:

Akibat wajar 1: jika suatu segitiga terletak pada sebuah lingkaran dan salah satu sisinya berimpit dengan diameter lingkaran tersebut, maka segitiga tersebut siku-siku (titik sudut sudut kanan terletak pada lingkaran).

Akibat wajar 2: pusat dari apa yang dijelaskan segitiga siku-siku lingkaran berimpit dengan titik tengah sisi miringnya.

Banyak prototipe masalah stereometri juga diselesaikan dengan menggunakan sifat ini dan konsekuensinya. Ingat faktanya sendiri: jika diameter lingkaran adalah salah satu sisi segitiga bertulisan, maka segitiga tersebut siku-siku (sudut yang berhadapan dengan diameternya adalah 90 derajat). Anda dapat menarik sendiri semua kesimpulan dan konsekuensi lainnya; Anda tidak perlu mengajarinya.

Biasanya, setengah dari soal pada sudut tertulis diberikan dengan sketsa, tetapi tanpa simbol. Untuk memahami proses penalaran saat memecahkan masalah (artikel di bawah), diperkenalkan notasi untuk simpul (sudut). Anda tidak perlu melakukan ini pada Ujian Negara Terpadu.Mari kita pertimbangkan tugasnya:

Berapakah nilai sudut lancip yang dibatasi oleh tali busur yang sama dengan jari-jari lingkaran? Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Mari kita buat sudut pusat untuk sudut tertulis tertentu dan tentukan titik sudutnya:

Menurut sifat-sifat sudut pada lingkaran:

Sudut AOB sama dengan 60 0, karena segitiga AOB sama sisi, dan dalam segitiga sama sisi semua sudutnya sama dengan 60 0. Sisi-sisi segitiga adalah sama besar, karena syaratnya tali busur sama dengan jari-jarinya.

Jadi, sudut tertulis ACB adalah 30 0.

Jawaban: 30

Tentukan tali busur yang ditopang oleh sudut 30 0 pada lingkaran berjari-jari 3.

Ini pada dasarnya adalah masalah kebalikan (dari masalah sebelumnya). Mari kita buat sudut tengahnya.

Besarnya dua kali lebih besar dari yang tertulis, yaitu sudut AOB sama dengan 60 0. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa segitiga AOB sama sisi. Jadi, tali busurnya sama dengan jari-jarinya, yaitu tiga.

Jawaban: 3

Jari-jari lingkaran adalah 1. Tentukan besar sudut tumpul yang dibentuk oleh tali busur yang sama dengan akar dua. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Mari kita buat sudut pusatnya:

Dengan mengetahui jari-jari dan tali busur, kita dapat mencari sudut pusat ASV. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan teorema kosinus. Mengetahui sudut pusat, kita dapat dengan mudah mencari sudut tertulis ACB.

Teorema kosinus: kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, tanpa dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut di antara keduanya.

Jadi, sudut pusat kedua adalah 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Sudut ACB, menurut sifat sudut tertulis, sama dengan setengahnya, yaitu 135 derajat.

Jawaban: 135

Tentukan tali busur yang dibentuk oleh sudut 120 derajat pada lingkaran yang mempunyai akar jari-jari tiga.

Mari kita hubungkan titik A dan B ke pusat lingkaran. Mari kita nyatakan sebagai O:

Kita mengetahui jari-jari dan sudut tertulis ASV. Kita dapat mencari sudut pusat AOB (lebih besar dari 180 derajat), kemudian mencari sudut AOB pada segitiga AOB. Kemudian, dengan menggunakan teorema kosinus, hitung AB.

Berdasarkan sifat sudut tertulis, sudut pusat AOB (yang lebih besar dari 180 derajat) akan sama dengan dua kali sudut tertulis, yaitu 240 derajat. Artinya sudut AOB pada segitiga AOB sama dengan 360 0 – 240 0 = 120 0.

Menurut teorema kosinus:

Jawaban:3

Temukan sudut tertulis yang dibentuk oleh busur yang besarnya 20% lingkaran. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Menurut sifat sudut tertulis, besarnya setengah dari sudut pusat berdasarkan busur yang sama, dalam hal ini kita berbicara tentang busur AB.

Diketahui busur AB besarnya 20 persen kelilingnya. Artinya sudut pusat AOB juga 20 persen dari 360 0.*Lingkaran mempunyai sudut 360 derajat. Cara,

Jadi, sudut ACB adalah 36 derajat.

Jawaban: 36

Busur lingkaran AC, tidak mengandung poin B, adalah 200 derajat. Dan busur lingkaran BC tidak mempunyai titik A, adalah 80 derajat. Temukan sudut tertulis ACB. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Untuk lebih jelasnya, mari kita nyatakan busur yang ukuran sudutnya diberikan. Busur yang sesuai dengan 200 derajat – biru, busur yang bersesuaian dengan 80 derajat berwarna merah, sisa lingkaran berwarna merah kuning.

Jadi, besar derajat busur AB (kuning), dan sudut pusat AOB adalah: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Sudut tertulis ACB adalah setengah besar sudut pusat AOB, yaitu sama dengan 40 derajat.

Jawaban: 40

Berapakah sudut pada diameter lingkaran? Berikan jawaban Anda dalam derajat.