Apa contoh matriks data. Matriks

Pada topik ini kita akan membahas konsep matriks, serta jenis-jenis matriks. Karena ada banyak istilah dalam topik ini, saya akan menambahkan ringkasan untuk memudahkan navigasi materi.

Pengertian matriks dan elemennya. Notasi.

Matriks adalah tabel $m$ baris dan $n$ kolom. Elemen-elemen matriks dapat berupa objek-objek yang sifatnya sangat berbeda: bilangan, variabel, atau, misalnya, matriks lainnya. Misalnya, matriks $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ berisi 3 baris dan 2 kolom; elemen-elemennya adalah bilangan bulat. Matriks $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ berisi 2 baris dan 4 kolom.

Berbagai cara menulis matriks: tampilkan\sembunyikan

Matriks dapat ditulis tidak hanya dalam bentuk bulat, tetapi juga dalam tanda kurung siku atau tanda kurung siku ganda. Artinya, entri di bawah ini berarti matriks yang sama:

$$ \kiri(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \kanan);\;\; \kiri[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \kanan]; \;\; \kiri \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \kanan \Vert $$

Produk $m\times n$ dipanggil ukuran matriks. Misalnya, jika suatu matriks berisi 5 baris dan 3 kolom, maka kita berbicara tentang matriks berukuran $5\kali 3$. Matriks $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ berukuran $3 \times 2$.

Biasanya matriks dilambangkan dalam huruf kapital Alfabet Latin: $A$, $B$, $C$ dan seterusnya. Misalnya, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Penomoran baris dimulai dari atas ke bawah; kolom - dari kiri ke kanan. Misalnya, baris pertama matriks $B$ berisi elemen 5 dan 3, dan kolom kedua berisi elemen 3, -87, 0.

Unsur matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. Misalnya, elemen matriks $A$ dilambangkan dengan $a_(ij)$. Indeks ganda $ij$ berisi informasi tentang posisi elemen dalam matriks. Angka $i$ adalah nomor baris, dan angka $j$ adalah nomor kolom, yang perpotongannya terdapat elemen $a_(ij)$. Misalnya, pada perpotongan baris kedua dan kolom kelima matriks $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \kanan)$ elemen $a_(25)= $59:

Dengan cara yang sama, pada perpotongan baris pertama dan kolom pertama kita memiliki elemen $a_(11)=51$; di perpotongan baris ketiga dan kolom kedua - elemen $a_(32)=-15$ dan seterusnya. Perhatikan bahwa entri $a_(32)$ dibaca “tiga dua”, tetapi bukan “tiga puluh dua”.

Untuk menyingkat matriks $A$ yang berukuran $m\times n$, digunakan notasi $A_(m\times n)$. Anda dapat menulisnya lebih detail:

$$ A_(m\kali n)=(a_(ij)) $$

dimana notasi $(a_(ij))$ menunjukkan elemen matriks $A$. Dalam bentuknya yang diperluas penuh, matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dapat ditulis sebagai berikut:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \kanan) $$

Mari kita perkenalkan istilah lain - matriks yang sama.

Dua matriks yang berukuran sama $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ disebut setara, jika elemen-elemen yang bersesuaian sama, mis. $a_(ij)=b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1,n)$.

Penjelasan untuk entri $i=\overline(1,m)$: tampilkan\sembunyikan

Notasi "$i=\overline(1,m)$" berarti parameter $i$ bervariasi dari 1 hingga m. Misalnya, entri $i=\overline(1,5)$ menunjukkan bahwa parameter $i$ mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5.

Jadi, agar matriks sama, dua syarat harus dipenuhi: ukuran kebetulan dan persamaan elemen-elemen yang bersesuaian. Misalnya matriks $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ tidak sama dengan matriks $B=\left(\begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ karena matriks $A$ mempunyai ukuran $3\times 2$ dan matriks $B$ memiliki ukuran $2\kali $2. Selain itu, matriks $A$ tidak sama dengan matriks $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , karena $a_( 21)\neq c_(21)$ (yaitu $0\neq 98$). Tetapi untuk matriks $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ kita dapat dengan aman menulis $A= F$ karena ukuran dan elemen matriks $A$ dan $F$ yang bersesuaian sama.

Contoh No.1

Tentukan ukuran matriks $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \kanan)$. Tunjukkan elemen $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ sama dengan apa.

Matriks ini berisi 5 baris dan 3 kolom, jadi ukurannya adalah $5\kali 3$. Anda juga dapat menggunakan notasi $A_(5\times 3)$ untuk matriks ini.

Elemen $a_(12)$ berada pada perpotongan baris pertama dan kolom kedua, jadi $a_(12)=-2$. Elemen $a_(33)$ berada pada perpotongan baris ketiga dan kolom ketiga, jadi $a_(33)=23$. Elemen $a_(43)$ berada pada perpotongan baris keempat dan kolom ketiga, jadi $a_(43)=-5$.

Menjawab: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Jenis matriks tergantung ukurannya. Diagonal utama dan sekunder. Jejak matriks.

Misalkan matriks $A_(m\times n)$ tertentu diberikan. Jika $m=1$ (matriks terdiri dari satu baris), maka matriks yang diberikan disebut baris matriks. Jika $n=1$ (matriks terdiri dari satu kolom), maka matriks tersebut disebut kolom matriks. Misalnya, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ adalah matriks baris, dan $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ adalah matriks kolom.

Jika untuk matriks $A_(m\times n)$ kondisi $m\neq n$ benar (yaitu jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom), maka sering dikatakan bahwa $A$ adalah matriks persegi panjang. Misalnya, matriks $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ berukuran $2\times 4 $, itu. berisi 2 baris dan 4 kolom. Karena jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom, maka matriks ini berbentuk persegi panjang.

Jika matriks $A_(m\times n)$ memenuhi kondisi $m=n$ (yaitu, jumlah baris sama dengan jumlah kolom), maka $A$ dikatakan matriks persegi berorde $ n$. Misalnya, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ adalah matriks persegi orde kedua; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ adalah matriks persegi orde ketiga. DI DALAM pandangan umum matriks persegi $A_(n\times n)$ dapat ditulis sebagai berikut:

$$ A_(n\kali n)=\kiri(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \kanan) $$

Elemen $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ dikatakan berada pada diagonal utama matriks $A_(n\kali n)$. Elemen-elemen ini disebut elemen diagonal utama(atau hanya elemen diagonal). Elemen $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ aktif diagonal samping (kecil).; mereka disebut elemen diagonal samping. Misalnya, untuk matriks $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \kanan)$ kita punya:

Elemen $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ adalah elemen diagonal utama; elemen $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ adalah elemen diagonal samping.

Jumlah elemen diagonal utama disebut diikuti oleh matriks dan dilambangkan dengan $\Tr A$ (atau $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ltitik+a_(nn) $$

Misalnya, untuk matriks $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ kita punya:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Konsep elemen diagonal juga digunakan untuk matriks non-persegi. Misalnya, untuk matriks $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ elemen diagonal utama adalah $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Jenis matriks tergantung pada nilai elemennya.

Jika semua elemen matriks $A_(m\times n)$ sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut batal dan biasanya dilambangkan dengan huruf $O$. Misalnya, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - matriks nol.

Misalkan matriks $A_(m\times n)$ mempunyai bentuk sebagai berikut:

Maka matriks ini disebut berbentuk trapesium. Ini mungkin tidak berisi baris nol, tetapi jika ada, baris tersebut terletak di bagian bawah matriks. Dalam bentuk yang lebih umum, matriks trapesium dapat ditulis sebagai berikut:

Sekali lagi, garis nol tambahan tidak diperlukan. Itu. Secara formal, kita dapat membedakan kondisi matriks trapesium berikut:

1. Semua elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.
2. Semua elemen dari $a_(11)$ hingga $a_(rr)$ yang terletak pada diagonal utama tidak sama dengan nol: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ltitik, a_(rr)\neq 0$.
3. Semua elemen baris $m-r$ terakhir adalah nol, atau $m=r$ (yaitu tidak ada baris nol sama sekali).

Contoh matriks trapesium:

Mari kita beralih ke definisi berikutnya. Matriks $A_(m\times n)$ dipanggil melangkah, jika memenuhi ketentuan berikut:

Misalnya, matriks langkah adalah:

Sebagai perbandingan, matriks $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ bukan eselon karena baris ketiga mempunyai bagian nol yang sama dengan baris kedua. Artinya, prinsip “semakin rendah garis, semakin besar bagian nolnya” dilanggar. Saya akan menambahkan bahwa matriks trapesium adalah kasus khusus dari matriks berundak.

Mari kita beralih ke definisi berikutnya. Jika semua elemen matriks persegi yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks segitiga atas. Misalnya, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ adalah matriks segitiga atas. Perhatikan bahwa definisi matriks segitiga atas tidak menjelaskan apa pun tentang nilai elemen yang terletak di atas diagonal utama atau di diagonal utama. Bisa nol atau tidak - tidak masalah. Misalnya, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ juga merupakan matriks segitiga atas.

Jika semua elemen matriks persegi yang terletak di atas diagonal utama sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks segitiga bawah. Misalnya, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matriks segitiga bawah. Perhatikan bahwa definisi matriks segitiga bawah tidak menjelaskan apa pun tentang nilai elemen yang terletak di bawah atau di diagonal utama. Mungkin nol atau tidak - tidak masalah. Misalnya, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ dan $\left(\ Begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ juga merupakan matriks segitiga bawah.

Matriks persegi disebut diagonal, jika semua elemen matriks yang tidak terletak pada diagonal utama sama dengan nol. Contoh: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ akhir(array)\kanan)$. Elemen pada diagonal utama bisa berupa apa saja (sama dengan nol atau tidak) - tidak masalah.

Matriks diagonal disebut lajang, jika semua elemen matriks yang terletak pada diagonal utama sama dengan 1. Misalnya, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matriks identitas orde keempat; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ adalah matriks identitas orde kedua.

Misalkan ada matriks persegi orde ke-n

Matriks A -1 disebut matriks terbalik terhadap matriks A, jika A*A -1 = E, dimana E adalah matriks identitas orde ke-n.

Matriks identitas- matriks persegi yang semua elemen sepanjang diagonal utama, dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, adalah satu, dan sisanya adalah nol, misalnya:

matriks terbalik mungkin ada hanya untuk matriks persegi itu. untuk matriks-matriks yang jumlah baris dan kolomnya berhimpitan.

Teorema kondisi keberadaan matriks invers

Agar suatu matriks memiliki matriks invers, matriks tersebut perlu dan cukup bersifat non-singular.

Matriks A = (A1, A2,...A n) disebut tidak merosot, jika vektor kolom bebas linier. Banyaknya vektor kolom bebas linier suatu matriks disebut pangkat matriks. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan demikian agar ada matriks terbalik, pangkat matriks harus dan cukup sama dengan dimensinya, yaitu. r = n.

Algoritma untuk mencari matriks invers

1. Tuliskan matriks A ke dalam tabel untuk menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gaussian dan tetapkan matriks E di sebelah kanannya (sebagai pengganti ruas kanan persamaan).
2. Dengan menggunakan transformasi Jordan, reduksi matriks A menjadi matriks yang terdiri dari kolom satuan; dalam hal ini perlu dilakukan transformasi matriks E secara simultan.
3. Jika perlu, susun ulang baris-baris (persamaan) tabel terakhir sehingga di bawah matriks A tabel asal diperoleh matriks identitas E.
4. Tuliskan invers matriks A -1 yang terletak pada tabel terakhir di bawah matriks E tabel asal.

Untuk matriks A, carilah invers matriks A -1

Solusi: Kita tuliskan matriks A dan letakkan matriks identitas E di sebelah kanan. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kita mereduksi matriks A menjadi matriks identitas E. Perhitungannya diberikan pada Tabel 31.1.

Mari kita periksa kebenaran perhitungannya dengan mengalikan matriks asli A dan matriks invers A -1.

Hasil perkalian matriks diperoleh matriks identitas. Oleh karena itu, perhitungan dilakukan dengan benar.

Menjawab:

Memecahkan persamaan matriks

Persamaan matriks dapat terlihat seperti:

KAPAK = B, HA = B, AXB = C,

dimana A, B, C adalah matriks yang ditentukan, X adalah matriks yang diinginkan.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mengalikan persamaan tersebut dengan matriks invers.

Misalnya, untuk mencari matriks dari persamaan, Anda perlu mengalikan persamaan ini dengan persamaan di sebelah kiri.

Oleh karena itu, untuk mencari solusi persamaan tersebut, Anda perlu mencari matriks invers dan mengalikannya dengan matriks di sisi kanan persamaan.

Persamaan lainnya diselesaikan dengan cara yang sama.

Selesaikan persamaan AX = B jika

Larutan: Karena invers matriksnya sama dengan (lihat contoh 1)

Metode matriks dalam analisis ekonomi

Selain yang lain, mereka juga digunakan metode matriks. Metode ini didasarkan pada aljabar linier dan matriks vektor. Metode seperti ini digunakan untuk keperluan analisis yang kompleks dan multidimensi fenomena ekonomi. Paling sering, metode ini digunakan ketika diperlukan untuk melakukan penilaian komparatif terhadap fungsi organisasi dan divisi strukturalnya.

Dalam proses penerapan metode analisis matriks, dapat dibedakan beberapa tahapan.

Pada tahap pertama sistem sedang dibentuk indikator ekonomi dan atas dasar itu, matriks data sumber dikompilasi, yang merupakan tabel di mana nomor sistem ditampilkan dalam baris individualnya (saya = 1,2,....,n), dan di kolom vertikal - jumlah indikator (j = 1,2,....,m).

Pada tahap kedua Untuk setiap kolom vertikal, nilai indikator terbesar yang tersedia diidentifikasi, yang diambil sebagai satu.

Setelah itu, semua jumlah yang tercermin dalam kolom ini dibagi nilai tertinggi dan matriks koefisien standar terbentuk.

Pada tahap ketiga semua komponen matriks dikuadratkan. Jika mempunyai signifikansi yang berbeda, maka setiap indikator matriks diberi koefisien bobot tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pendapat para ahli.

Yang terakhir, tahap keempat nilai peringkat yang ditemukan Rj dikelompokkan berdasarkan kenaikan atau penurunannya.

Metode matriks yang diuraikan harus digunakan, misalnya, dalam analisis komparatif berbagai proyek investasi, serta dalam menilai indikator ekonomi lainnya dari kegiatan organisasi.

Poin dalam ruang, produk Rv memberikan vektor lain yang menentukan posisi titik setelah rotasi. Jika ay adalah vektor baris, transformasi yang sama dapat diperoleh dengan menggunakan vR T, dimana R T - dialihkan ke R matriks.

YouTube ensiklopedis

1 / 5

C# - Konsol - Olimpiade - Spiral Persegi

Matriks: definisi dan konsep dasar

Di mana mendapatkan kekuatan dan inspirasi Mengisi ulang matriks 4 persegi

Jumlah dan selisih matriks, perkalian suatu matriks dengan suatu bilangan

Matriks yang ditransposisi / Matriks yang ditransposisikan

Subtitle

Diagonal utama

Elemen A ii (Saya = 1, ..., N) membentuk diagonal utama matriks persegi. Elemen-elemen ini terletak pada garis lurus imajiner yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks. Misalnya, diagonal utama matriks 4x4 pada gambar berisi elemen A 11 = 9, A 22 = 11, A 33 = 4, A 44 = 10.

Diagonal matriks persegi yang melalui sudut kiri bawah dan sudut kanan atas disebut samping.

Tipe khusus

Matriks diagonal dan segitiga

Jika semua elemen di luar diagonal utama bernilai nol, A disebut diagonal. Jika semua elemen di atas (bawah) diagonal utama bernilai nol, A disebut matriks segitiga bawah (atas).

Matriks identitas

hanya menerima nilai-nilai positif(masing-masing, nilai negatif atau keduanya). Jika suatu bentuk kuadrat hanya mempunyai nilai non-negatif (masing-masing hanya non-positif), matriks simetrisnya disebut semidefinite positif (masing-masing, semidefinite negatif). Suatu matriks akan menjadi tak tentu jika matriks tersebut bukan semidefinite positif atau negatif.

Suatu matriks simetris pasti positif jika dan hanya jika semua matriksnya nilai eigen positif. Tabel di sebelah kanan menunjukkan dua kasus yang mungkin terjadi untuk matriks 2x2.

Jika kita menggunakan dua vektor yang berbeda, kita memperoleh bentuk bilinear yang berhubungan dengan A:

Matriks ortogonal

Matriks ortogonal adalah matriks persegi dengan elemen nyata yang kolom dan barisnya merupakan vektor satuan ortogonal (yaitu ortonormal). Anda juga dapat mendefinisikan matriks ortogonal sebagai matriks yang inversnya sama dengan transposnya:

dari mana asalnya

Matriks ortogonal A selalu reversibel ( A −1 = A T), kesatuan ( A −1 = A*), dan biasa ( A*A = A A.*). Penentu matriks ortonormal apa pun adalah +1 atau −1. Sebagai pemetaan linier, matriks ortonormal dengan determinan +1 merupakan rotasi sederhana, sedangkan matriks ortonormal dengan determinan −1 merupakan refleksi sederhana atau komposisi refleksi dan rotasi.

Operasi

Melacak

Penentu itu( A) atau | A| matriks persegi A adalah bilangan yang menentukan beberapa sifat matriks. Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika determinannya bukan nol.

Definisi berdasarkan Matriks– disebut tabel angka yang berisi sejumlah baris dan kolom tertentu

Unsur-unsur matriksnya adalah bilangan-bilangan yang berbentuk a ij, dimana i adalah nomor baris j adalah nomor kolom

Contoh 1 saya = 2 j = 3

Penamaan: SEBUAH=

Jenis matriks:

1. Jika jumlah baris tidak sama dengan jumlah kolom, maka disebut matriks persegi panjang:

2. Jika jumlah baris sama dengan jumlah kolom, maka disebut matriks persegi:

Banyaknya baris atau kolom suatu matriks persegi disebut nya dalam urutan. Dalam contoh n = 2

Perhatikan matriks persegi berorde n:

Diagonal yang memuat unsur a 11, a 22 ......., a nn disebut utama , dan diagonal yang memuat unsur a 12, a 2 n -1, …….a n 1 – bantu.

Matriks yang hanya elemen-elemen pada diagonal utamanya saja yang bukan nol disebut matriks diagonal:

Contoh 4 n=3

3. Jika suatu matriks diagonal mempunyai elemen sama dengan 1, maka matriks tersebut disebut lajang dan dilambangkan dengan huruf E:

Contoh 6 n=3

4. Matriks yang semua elemennya sama dengan nol disebut batal matriks dan dilambangkan dengan huruf O

Contoh 7

5. Segitiga Matriks orde ke-n adalah matriks persegi yang semua elemennya terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol:

Contoh 8 n=3

Tindakan pada matriks:

Jumlah matriks A dan B adalah matriks C yang elemen-elemennya sama dengan jumlah elemen-elemen yang bersesuaian dalam matriks A dan B.

Hanya matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama yang dapat dijumlahkan.

Hasil kali matriks A dan bilangan k matriks seperti itu disebut kA, yang setiap elemennya sama dengan ka ij

Contoh10

Mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan berarti mengalikan semua elemen matriks dengan bilangan tersebut.

Produk matriks Untuk mengalikan suatu matriks dengan suatu matriks, Anda perlu memilih baris pertama dari matriks pertama dan mengalikannya dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari kolom pertama dari matriks kedua, dan menjumlahkan hasilnya. Tempatkan hasil ini pada matriks hasil pada baris ke-1 dan kolom ke-10. Kami melakukan tindakan yang sama dengan semua elemen lainnya: baris pertama ke kolom kedua, ke kolom ke-3, dst., lalu dengan baris berikutnya.

Contoh 11

Perkalian matriks A dengan matriks B hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah kolom matriks kedua.

- pekerjaan itu ada;

- pekerjaan itu tidak ada

Contoh 12 tidak ada yang bisa mengalikan baris terakhir dalam matriks II, mis. pekerjaan itu tidak ada

Transpos Matriks Operasi penggantian elemen baris dengan elemen kolom disebut :

Contoh13

Dengan meningkatkan kekuatan disebut perkalian sekuensial suatu matriks dengan matriks itu sendiri.

Matriks adalah tabel bilangan berbentuk persegi panjang yang terdiri dari M garis dengan panjang yang sama atau N kolom dengan panjang yang sama.

aij- elemen matriks yang ada di Saya -baris ke-dan J kolom ke-.

Agar singkatnya, suatu matriks dapat dilambangkan dengan satu huruf kapital, misalnya, A atau DI DALAM.

Secara umum, matriks ukuran M× N tulislah seperti ini

Contoh:

Jika suatu matriks mempunyai jumlah baris yang sama dengan jumlah kolom, maka matriks tersebut disebut persegi, dan jumlah baris atau kolomnya disebut dalam urutan matriks. Pada contoh di atas, matriks kedua berbentuk persegi dengan orde 3, dan matriks keempat berorde 1.

Matriks yang jumlah barisnya tidak sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks persegi panjang. Dalam contoh ini adalah matriks pertama dan matriks ketiga.

Diagonal utama matriks persegi kita sebut diagonal dari kiri atas ke pojok kanan bawah.

Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya sama dengan nol disebut segitiga matriks.

.

Matriks persegi yang semua elemennya, kecuali elemen pada diagonal utamanya sama dengan nol, disebut matriks persegi diagonal matriks. Misalnya, atau.

Matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama dengan satu disebut lajang matriks dan dilambangkan dengan huruf E. Misalnya matriks identitas orde 3 berbentuk .

kembali ke isinya

(36)85.Apa yang dimaksud dengan operasi linier pada matriks? Contoh.

Dalam semua kasus ketika objek matematika baru diperkenalkan, perlu disepakati aturan pengoperasiannya, dan juga untuk menentukan objek mana yang dianggap setara satu sama lain.

Sifat benda tidak menjadi masalah. Ini bisa berupa bilangan real atau kompleks, vektor, matriks, string atau yang lainnya.

Operasi standar meliputi operasi linier, yaitu: perkalian dengan suatu bilangan dan penjumlahan; dalam kasus khusus ini - mengalikan matriks dengan angka dan menjumlahkan matriks.

Saat mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan, setiap elemen matriks dikalikan dengan bilangan tersebut, dan penjumlahan matriks melibatkan penjumlahan berpasangan dari elemen-elemen yang terletak pada posisi ekuivalen.

Ekspresi terminologis "kombinasi linier"<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Matriks A = || A aku j|| Dan B = || A aku j|| dianggap sama jika keduanya mempunyai dimensi yang sama dan elemen-elemen matriks yang bersesuaian berpasangan sama besar:

Penambahan matriks Operasi penjumlahan hanya ditentukan untuk matriks yang berukuran sama. Hasil penjumlahan matriks SEBUAH = || A aku j|| Dan B = || B aku j|| adalah matriksnya C = || C aku j|| , yang elemen-elemennya sama dengan jumlah elemen-elemen matriks yang bersesuaian.