Rumus untuk mencari jumlah suatu barisan aritmatika. Perkembangan aljabar

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Tujuan pelajaran:

• memperluas dan memperdalam pemahaman siswa terhadap masalah yang diselesaikan dengan menggunakan perkembangan aritmatika; mengatur kegiatan pencarian siswa dalam menurunkan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika;
• mengembangkan kemampuan untuk secara mandiri memperoleh pengetahuan baru dan menggunakan pengetahuan yang telah diperoleh untuk mencapai tugas yang diberikan;
• mengembangkan keinginan dan kebutuhan untuk menggeneralisasi fakta yang diperoleh, mengembangkan kemandirian.

Tugas:

• menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan yang ada tentang topik “Perkembangan Aritmatika”;
• menurunkan rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika;
• mengajarkan bagaimana menerapkan rumus-rumus yang diperoleh ketika memecahkan berbagai masalah;
• menarik perhatian siswa pada tata cara mencari nilai suatu ekspresi numerik.

Peralatan:

• kartu dengan tugas untuk bekerja dalam kelompok dan berpasangan;
• makalah evaluasi;
• presentasi “Kemajuan aritmatika”.

I. Pemutakhiran pengetahuan dasar.

1. Pekerjaan mandiri berpasangan.

opsi pertama:

Definisi perkembangan aritmatika. Tuliskan rumus perulangan yang mendefinisikan barisan aritmatika. Tolong berikan contoh barisan aritmatika dan tunjukkan perbedaannya.

opsi ke-2:

Tuliskan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika. Tentukan suku ke-100 barisan aritmatika ( sebuah}: 2, 5, 8 …
Saat ini, dua siswa di belakang papan sedang mempersiapkan jawaban atas pertanyaan yang sama.
Siswa mengevaluasi pekerjaan pasangannya dengan memeriksanya di papan tulis. (Lembar jawaban diserahkan.)

2. Momen permainan.

Latihan 1.

Guru. Saya memikirkan beberapa perkembangan aritmatika. Ajukan dua pertanyaan saja kepada saya sehingga setelah jawabannya Anda dapat dengan cepat menyebutkan suku ke-7 dari perkembangan ini. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pertanyaan dari siswa.

1. Berapakah suku keenam barisan tersebut dan apa bedanya?
2. Apa suku kedelapan dari perkembangan tersebut dan apa bedanya?

Jika tidak ada pertanyaan lagi, maka guru dapat merangsangnya - “larangan” pada d (perbedaan), yaitu tidak diperbolehkan menanyakan berapa selisihnya. Anda dapat mengajukan pertanyaan: suku ke-6 dari perkembangan itu sama dengan apa dan suku ke-8 dari perkembangan itu sama dengan apa?

Tugas 2.

Ada 20 angka yang tertulis di papan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri membelakangi papan. Siswa memanggil nomor tersebut, dan guru langsung memanggil nomor itu sendiri. Jelaskan bagaimana saya bisa melakukan ini?

Guru mengingat rumus suku ke-n sebuah = 3n – 2 dan, dengan mengganti nilai yang ditentukan n, menemukan nilai yang sesuai sebuah.

II. Menetapkan tugas belajar.

Saya mengusulkan untuk memecahkan masalah kuno yang berasal dari milenium ke-2 SM, yang ditemukan dalam papirus Mesir.

Tugas:“Biarlah dikatakan kepadamu: Bagilah 10 takar jelai kepada 10 orang, selisih antara setiap orang dan tetangganya adalah 1/8 takaran.”

• Bagaimana hubungan soal ini dengan topik perkembangan aritmatika? (Setiap orang berikutnya menerima 1/8 takaran lebih banyak, artinya selisihnya d=1/8, 10 orang, artinya n=10.)
• Menurut Anda apa arti angka 10 itu? (Jumlah semua suku perkembangan.)
• Apa lagi yang perlu Anda ketahui agar mudah dan sederhana dalam membagi jelai sesuai dengan kondisi soal? (Perkembangan periode pertama.)

Tujuan Pelajaran– memperoleh ketergantungan jumlah suku-suku barisan pada bilangannya, suku pertama dan selisihnya, serta memeriksa apakah soal diselesaikan dengan benar pada zaman dahulu.

Sebelum kita menyimpulkan rumusnya, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno memecahkan masalah tersebut.

Dan mereka menyelesaikannya sebagai berikut:

1) 10 ukuran: 10 = 1 ukuran – rata-rata pembagian;
2) 1 takaran ∙ = 2 takaran – digandakan rata-rata membagikan.
Dua kali lipat rata-rata bagian adalah penjumlahan bagian orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 takaran – 1/8 takaran = 1 7/8 takaran – dua kali lipat bagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – seperlima; dan seterusnya, Anda dapat mengetahui bagian dari setiap orang sebelumnya dan berikutnya.

Kami mendapatkan urutannya:

AKU AKU AKU. Memecahkan masalah.

1. Bekerja dalam kelompok

Grup I: Temukan jumlah 20 berturut-turut bilangan asli: S 20 =(20+1)∙10 =210.

DI DALAM pandangan umum

kelompok II: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Kesimpulan:

kelompok III: Tentukan jumlah bilangan asli dari 1 sampai 21.

Penyelesaian: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

kelompok IV: Tentukan jumlah bilangan asli dari 1 sampai 101.

Kesimpulan:

Metode pemecahan masalah yang dipertimbangkan ini disebut “Metode Gauss”.

2. Setiap kelompok mempresentasikan solusi permasalahan di papan tulis.

3. Generalisasi solusi yang diusulkan untuk barisan aritmatika arbitrer:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ an-3 + an-2 + an-1 + an.

Mari kita cari jumlah ini menggunakan alasan serupa:

4. Sudahkah kita memecahkan masalah tersebut?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penerapan rumus-rumus yang diperoleh ketika menyelesaikan masalah.

1. Memeriksa penyelesaian suatu masalah kuno dengan menggunakan rumus.

2. Penerapan rumus dalam menyelesaikan berbagai masalah.

3. Latihan untuk mengembangkan kemampuan menerapkan rumus dalam memecahkan masalah.

A) Nomor 613

Diberikan: ( sebuah) - perkembangan aritmatika;

(an): 1, 2, 3,…, 1500

Menemukan: S1500

Larutan: , a 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberikan: ( sebuah) - perkembangan aritmatika;
(dan): 1, 2, 3, …
S n = 210

Menemukan: N
Larutan:

V. Kerja mandiri dengan saling verifikasi.

Denis mulai bekerja sebagai kurir. Pada bulan pertama gajinya 200 rubel, pada setiap bulan berikutnya meningkat sebesar 30 rubel. Berapa total penghasilannya dalam setahun?

Diberikan: ( sebuah) - perkembangan aritmatika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Menemukan: S 12
Larutan:

Jawaban: Denis menerima 4.380 rubel untuk tahun ini.

VI. Instruksi pekerjaan rumah.

1. Bagian 4.3 – mempelajari turunan rumus.
2. №№ 585, 623 .
3. Buatlah soal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika.

VII. Menyimpulkan pelajaran.

1. Lembar skor

2. Lanjutkan kalimatnya

• Hari ini di kelas aku belajar...
• Rumus yang dipelajari...
• Aku percaya itu …

3. Dapatkah kamu menemukan jumlah bilangan dari 1 sampai 500? Metode apa yang akan Anda gunakan untuk mengatasi masalah ini?

Bibliografi.

1. Aljabar, kelas 9. Tutorial untuk lembaga pendidikan. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Pencerahan”, 2009.

I.V.Yakovlev | Materi Matematika | MathUs.ru

Kemajuan aritmatika

Perkembangan aritmatika adalah jenis barisan khusus. Oleh karena itu, sebelum mendefinisikan barisan aritmatika (dan kemudian geometri), kita perlu membahasnya secara singkat konsep penting urutan nomor.

Selanjutnya

Bayangkan sebuah perangkat di layar yang menampilkan angka-angka tertentu satu demi satu. Katakanlah 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Kumpulan bilangan ini merupakan contoh barisan.

Definisi. Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang setiap bilangannya dapat diberi suatu bilangan unik (yaitu, diasosiasikan dengan suatu bilangan asli)1. Nomor dengan nomor n disebut istilah ke-n urutan.

Jadi, pada contoh di atas, bilangan pertama adalah 2, ini adalah anggota barisan pertama, yang dapat dilambangkan dengan a1; bilangan lima mempunyai bilangan 6 merupakan suku kelima barisan tersebut, yang dapat dilambangkan dengan a5. Sama sekali, istilah ke-n urutan dilambangkan dengan (atau bn, cn, dll.).

Situasi yang sangat mudah adalah ketika suku ke-n dari barisan tersebut dapat ditentukan dengan suatu rumus. Misalnya rumus an = 2n 3 menentukan barisan: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Rumus an = (1)n menentukan barisan: 1; 1; 1; 1; : : :

Tidak semua kumpulan angka merupakan barisan. Jadi, segmen bukanlah suatu barisan; itu berisi nomor "terlalu banyak" untuk dinomori ulang. Himpunan R dari semua bilangan real juga bukan suatu barisan. Fakta-fakta ini dibuktikan dalam analisis matematis.

Perkembangan aritmatika: definisi dasar

Sekarang kita siap untuk mendefinisikan barisan aritmatika.

Definisi. Perkembangan aritmatika adalah barisan yang setiap sukunya (dimulai dari suku kedua) sama dengan jumlah suku sebelumnya dan suatu bilangan tetap (disebut selisih barisan aritmatika).

Misalnya urutan 2; 5; 8; sebelas; : : : adalah barisan aritmatika yang suku pertamanya 2 dan selisihnya 3. Barisan 7; 2; 3; 8; : : : adalah barisan aritmatika yang suku pertamanya 7 dan selisihnya 5. Barisan 3; 3; 3; : : : adalah barisan aritmatika yang selisihnya sama dengan nol.

Definisi ekivalen: barisan an disebut barisan aritmatika jika selisih an+1 an bernilai konstan (tidak bergantung pada n).

Suatu barisan aritmatika disebut bertambah jika selisihnya positif, dan menurun jika selisihnya negatif.

1 Namun berikut definisi yang lebih ringkas: barisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli. Misalnya barisan bilangan real adalah fungsi f: N ! R.

Secara default, barisan dianggap tak terhingga, yaitu berisi bilangan tak terhingga. Tapi tidak ada yang mengganggu kita untuk mempertimbangkan barisan berhingga; sebenarnya, himpunan bilangan berhingga apa pun dapat disebut barisan berhingga. Misalnya, urutan akhir adalah 1; 2; 3; 4; 5 terdiri dari lima angka.

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika

Mudah dipahami bahwa suatu barisan aritmatika sepenuhnya ditentukan oleh dua bilangan: suku pertama dan selisihnya. Oleh karena itu, timbul pertanyaan: bagaimana, dengan mengetahui suku pertama dan selisihnya, menemukan suku sembarang suatu barisan aritmatika?

Tidak sulit untuk mendapatkan rumus yang diperlukan untuk suku ke-n suatu barisan aritmatika. Biarkan sebuah

Soal 1. Pada barisan aritmatika 2; 5; 8; sebelas; : : : cari rumus suku ke-n dan hitung suku keseratusnya.

Larutan. Menurut rumus (1) kita memiliki:

sebuah = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Sifat dan tanda barisan aritmatika

Sifat perkembangan aritmatika. Dalam perkembangan aritmatika dan untuk apa pun

Dengan kata lain, setiap anggota suatu barisan aritmatika (mulai dari yang kedua) adalah mean aritmatika dari anggota-anggota yang berdekatan.

itulah yang diperlukan.

Secara umum, perkembangan aritmatika dan memenuhi persamaan

an = ank+ an+k

untuk sembarang n > 2 dan sembarang k alami< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ternyata rumus (2) tidak hanya berfungsi sebagai syarat perlu, tetapi juga sebagai syarat cukup agar barisan tersebut menjadi barisan aritmatika.

Tanda perkembangan aritmatika. Jika persamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka barisan an merupakan barisan aritmatika.

Bukti. Mari kita tulis ulang rumus (2) sebagai berikut:

sebuah na n 1= sebuah n+1sebuah n:

Dari sini kita dapat melihat bahwa selisih an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini berarti barisan an merupakan barisan aritmatika.

Sifat dan tanda suatu barisan aritmatika dapat dirumuskan dalam bentuk satu pernyataan; Untuk kenyamanan, kami akan melakukan ini untuk tiga angka(inilah keadaan yang sering terjadi pada permasalahan).

Karakterisasi barisan aritmatika. Tiga bilangan a, b, c membentuk barisan aritmatika jika dan hanya jika 2b = a + c.

Soal 2. (MSU, Fakultas Ekonomi, 2007) Tiga bilangan 8x, 3 x2 dan 4 berurutan membentuk barisan aritmatika menurun. Temukan x dan tunjukkan perbedaan perkembangan ini.

Larutan. Berdasarkan sifat perkembangan aritmatika kita mempunyai:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Jika x = 1, maka diperoleh barisan menurun sebesar 8, 2, 4 dengan selisih 6. Jika x = 5, maka diperoleh barisan naik sebesar 40, 22, 4; kasus ini tidak cocok.

Jawaban: x = 1, selisihnya 6.

Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Legenda mengatakan bahwa suatu hari guru menyuruh anak-anaknya mencari jumlah angka dari 1 sampai 100 dan duduk dengan tenang untuk membaca koran. Namun, dalam beberapa menit, seorang anak laki-laki mengatakan bahwa dia telah menyelesaikan masalahnya. Ini adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, yang kemudian menjadi salah satu ahli matematika terhebat dalam sejarah.

Ide Little Gauss adalah sebagai berikut. Membiarkan

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Mari kita tuliskan jumlah ini dalam urutan terbalik:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dan tambahkan dua rumus ini:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Setiap suku dalam tanda kurung sama dengan 101, dan totalnya ada 100 suku

2S = 101 100 = 10100;

Kami menggunakan ide ini untuk mendapatkan rumus penjumlahan

S = a1 + a2 + : : : + an + an n: (3)

Modifikasi rumus (3) yang berguna diperoleh jika kita mengganti rumus suku ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:

Soal 3. Tentukan jumlah semua bilangan positif tiga angka yang habis dibagi 13.

Larutan. Bilangan tiga angka kelipatan 13 membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama 104 dan selisihnya 13; Suku ke-n dari perkembangan ini berbentuk:

sebuah = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Mari kita cari tahu berapa banyak istilah yang terkandung dalam perkembangan kita. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan pertidaksamaan:

sebuah 6.999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Jadi, ada 69 anggota dalam perkembangan kami. Dengan menggunakan rumus (4) kita menemukan jumlah yang dibutuhkan:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Tingkat pertama

Perkembangan aritmatika. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Urutan nomor

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa menentukan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor
Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.
Bilangan yang mempunyai bilangan disebut suku ke-th barisan tersebut.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Misalnya:

dll.
Barisan bilangan ini disebut barisan aritmatika.
Istilah "perkembangan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada abad ke-6 dan dipahami dalam arti yang lebih luas sebagai barisan numerik yang tak terhingga. Nama "aritmatika" ditransfer dari teori proporsi kontinu, yang dipelajari oleh orang Yunani kuno.

Ini adalah barisan bilangan yang masing-masing anggotanya sama dengan anggota sebelumnya ditambah dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut selisih suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.

Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:

A)
B)
C)
D)

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:
Adalah perkembangan aritmatika - b, c.
Tidak perkembangan aritmatika - a, d.

Mari kita kembali ke barisan berikut () dan mencoba mencari nilai suku ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.

1. Metode

Kita dapat menambahkan bilangan perkembangan ke nilai sebelumnya hingga kita mencapai suku ke-progresi. Ada baiknya kita tidak perlu meringkas banyak hal - hanya tiga nilai:

Jadi, suku ke-th dari barisan aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.

2. Metode

Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-1 dari perkembangan tersebut? Penjumlahannya akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menjumlahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara yang tidak perlu menjumlahkan selisih suatu barisan aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan lebih dekat gambar yang digambar... Pasti Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:

Sebagai contoh, mari kita lihat terdiri dari apa nilai suku ke-th dari barisan aritmatika ini:


Dengan kata lain:

Cobalah untuk menemukan sendiri nilai suatu suku dari perkembangan aritmatika tertentu dengan cara ini.

Apakah Anda menghitung? Bandingkan catatan Anda dengan jawabannya:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan suku-suku perkembangan aritmatika secara berurutan ke nilai sebelumnya.
Mari kita coba untuk “mendepersonalisasikan” rumus ini - mari kita letakkan dalam bentuk umum dan dapatkan:

Perkembangan aritmatika dapat meningkat atau menurun.

Meningkat- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Menurun- perkembangan di mana setiap nilai suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.
Misalnya:

Rumus turunan digunakan dalam menghitung suku-suku dalam suku naik dan turun dari suatu barisan aritmatika.
Mari kita periksa ini dalam praktiknya.
Kita diberikan barisan aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut: Mari kita periksa berapa bilangan ke-th dari barisan aritmatika ini jika kita menggunakan rumus untuk menghitungnya:

Dari dulu:

Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam perkembangan aritmatika menurun maupun meningkat.
Cobalah mencari sendiri suku ke-th dan ke-th dari perkembangan aritmatika ini.

Mari kita bandingkan hasilnya:

Properti perkembangan aritmatika

Mari kita memperumit masalahnya - kita akan memperoleh sifat perkembangan aritmatika.
Katakanlah kita diberikan kondisi berikut:
- perkembangan aritmatika, temukan nilainya.
Gampang, ucapkan dan mulailah menghitung sesuai rumus yang sudah Anda ketahui:

Biarkan, ah, kalau begitu:

Benar-benar tepat. Ternyata kita cari dulu, lalu dijumlahkan dengan angka pertama dan mendapatkan apa yang kita cari. Jika perkembangannya diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang ribet, tapi bagaimana jika kita diberi angka pada kondisi tersebut? Setuju, ada kemungkinan terjadi kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan apakah mungkin menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja ya, dan itulah yang akan kami coba tampilkan sekarang.

Mari kita nyatakan suku yang diperlukan dari barisan aritmatika sebagai, rumus untuk mencarinya kita ketahui - ini adalah rumus yang sama yang kita turunkan di awal:
, Kemudian:

• suku perkembangan sebelumnya adalah:
• suku perkembangan berikutnya adalah:

Mari kita rangkum suku-suku perkembangan sebelumnya dan selanjutnya:

Ternyata jumlah suku-suku perkembangan sebelumnya dan suku-suku selanjutnya adalah dua kali lipat nilai suku-suku perkembangan yang terletak di antara keduanya. Dengan kata lain, untuk mencari nilai suku perkembangan dengan nilai sebelumnya dan selanjutnya yang diketahui, Anda perlu menjumlahkannya dan membaginya.

Benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari amankan materinya. Hitung sendiri nilai kemajuannya, sama sekali tidak sulit.

Bagus sekali! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tinggal menemukan satu rumus saja, yang menurut legenda, dengan mudah disimpulkan oleh salah satu ahli matematika terhebat sepanjang masa, "raja ahli matematika" - Karl Gauss...

Ketika Carl Gauss berumur 9 tahun, seorang guru yang sibuk memeriksa pekerjaan siswa di kelas lain, bertanya di kelas tugas berikutnya: “Hitung jumlah semua bilangan asli dari sampai (menurut sumber lain sampai) inklusif.” Bayangkan betapa terkejutnya sang guru ketika salah satu muridnya (ini adalah Karl Gauss) semenit kemudian memberikan jawaban yang benar untuk tugas tersebut, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani, setelah perhitungan yang panjang, menerima hasil yang salah...

Carl Gauss muda memperhatikan pola tertentu yang juga dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Misalkan kita mempunyai barisan aritmatika yang terdiri dari suku -th: Kita perlu mencari jumlah suku-suku barisan aritmatika tersebut. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika tugas tersebut memerlukan pencarian jumlah suku-sukunya, seperti yang dicari Gauss?

Mari kita gambarkan kemajuan yang diberikan kepada kita. Perhatikan lebih dekat angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengannya.


Sudahkah Anda mencobanya? Apa yang kamu perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama

Sekarang beritahu saya, berapa total pasangan tersebut dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari seluruh angka.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku suatu barisan aritmatika adalah sama, dan pasangan-pasangan sebangun adalah sama, kita peroleh bahwa jumlah totalnya sama dengan:
.
Jadi, rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Dalam beberapa soal kita tidak mengetahui suku ke-nya, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Coba substitusikan rumus suku ke dalam rumus penjumlahan.
Apa yang kamu dapatkan?

Bagus sekali! Sekarang mari kita kembali ke soal yang ditanyakan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari th dan jumlah bilangan yang dimulai dari th.

Berapa banyak yang kamu dapat?
Gauss menemukan bahwa jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Itukah yang kamu putuskan?

Faktanya, rumus jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas memanfaatkan sepenuhnya sifat-sifat barisan aritmatika.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan proyek konstruksi terbesar pada masa itu - pembangunan piramida... Gambar menunjukkan salah satu sisinya.

Di mana kemajuannya, kata Anda? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding limas.


Mengapa bukan perkembangan aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang dibutuhkan untuk membangun satu dinding jika balok bata ditempatkan di alasnya. Saya harap Anda tidak menghitung sambil menggerakkan jari Anda melintasi monitor, Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang perkembangan aritmatika?

Dalam hal ini, perkembangannya terlihat seperti ini: .
Perbedaan perkembangan aritmatika.
Banyaknya suku suatu barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus terakhir (hitung jumlah blok dengan 2 cara).

Metode 1.

Metode 2.

Dan sekarang Anda dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah blok yang ada di piramida kita. Mengerti? Bagus sekali, Anda telah menguasai penjumlahan suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok-balok di dasarnya, tetapi dari? Coba hitung berapa jumlah batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi seperti ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:

Pelatihan

Tugas:

1. Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia menambah jumlah squatnya. Berapa kali Masha melakukan squat dalam seminggu jika dia melakukan squat pada sesi latihan pertama?
2. Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada.
3. Saat menyimpan log, logger menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak kayu gelondongan dalam satu pasangan bata, jika fondasi pasangan bata tersebut adalah kayu gelondongan?

Jawaban:

1. Mari kita tentukan parameter barisan aritmatika. Pada kasus ini
   (minggu = hari).

   Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus melakukan squat sekali sehari.

2. Pertama angka ganjil, nomor terakhir.
   Perbedaan perkembangan aritmatika.
   Banyaknya bilangan ganjil adalah setengahnya, namun mari kita periksa fakta ini menggunakan rumus mencari suku ke-th suatu barisan aritmatika:

   Angka memang mengandung angka ganjil.
   Mari kita substitusikan data yang tersedia ke dalam rumus:

   Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya adalah sama.

3. Mari kita ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kita, a , karena setiap lapisan atas dikurangi satu log, maka totalnya ada banyak lapisan, yaitu.
   Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

   Menjawab: Ada kayu gelondongan di pasangan bata.

Mari kita simpulkan

1. - barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama. Bisa saja bertambah atau berkurang.
2. Menemukan rumus Suku ke-th suatu barisan aritmatika ditulis dengan rumus - , dimana adalah banyaknya bilangan pada barisan tersebut.
3. Properti anggota perkembangan aritmatika- - dimana banyaknya angka yang berurutan.
4. Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
   
   , di mana jumlah nilainya.

PROGRESI ARITMATIK. LEVEL RATA-RATA

Urutan nomor

Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka. Tapi kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Dengan kata lain, setiap bilangan dapat diasosiasikan dengan bilangan asli tertentu, dan bilangan unik. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari kumpulan ini.

Bilangan yang mempunyai bilangan tersebut disebut anggota barisan ke-th.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Sangat mudah jika suku ke-th suatu barisan dapat ditentukan dengan suatu rumus. Misalnya saja rumusnya

mengatur urutannya:

Dan rumusnya adalah urutan berikut:

Misalnya, barisan aritmatika adalah suatu barisan (suku pertama di sini sama, dan selisihnya adalah). Atau (, perbedaan).

Rumus suku ke-n

Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku ke-th, Anda perlu mengetahui suku sebelumnya atau beberapa suku sebelumnya:

Misalnya, untuk mencari suku ke-th suatu barisan dengan menggunakan rumus ini, kita harus menghitung sembilan suku sebelumnya. Misalnya, biarkan saja. Kemudian:

Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?

Di setiap baris yang kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Yang mana? Sederhana sekali: ini jumlah anggota saat ini dikurangi:

Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:

Putuskan sendiri:

Dalam barisan aritmatika, carilah rumus suku ke-n dan carilah suku keseratus.

Larutan:

Suku pertama sama. Apa bedanya? Inilah yang:

(Inilah mengapa disebut selisih karena sama dengan selisih suku-suku perkembangan yang berurutan).

Jadi rumusnya:

Maka suku keseratus sama dengan:

Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?

Menurut legenda, ahli matematika hebat Carl Gauss, saat masih berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Ia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah bilangan kedua dan kedua dari belakang sama, jumlah bilangan ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Berapa total pasangan seperti itu? Itu benar, tepatnya setengah dari jumlah semua angka. Jadi,

Rumus umum jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika adalah:

Contoh:
Temukan jumlah semuanya angka dua digit, kelipatan.

Larutan:

Nomor pertama adalah ini. Setiap bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan bilangan sebelumnya. Jadi, bilangan-bilangan yang kita minati membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.

Rumus suku ke-1 perkembangan ini:

Berapa banyak suku dalam deret tersebut jika semuanya harus terdiri dari dua digit?

Sangat mudah: .

Suku terakhir perkembangannya akan sama. Maka jumlahnya:

Menjawab: .

Sekarang putuskan sendiri:

1. Setiap hari atlet berlari lebih banyak meter dibandingkan hari sebelumnya. Berapa kilometer total yang akan dia tempuh dalam seminggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
2. Seorang pengendara sepeda menempuh jarak lebih jauh setiap hari dibandingkan hari sebelumnya. Pada hari pertama dia menempuh jarak km. Berapa hari yang harus dia tempuh untuk menempuh jarak satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanannya?
3. Harga lemari es di toko turun dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga lemari es setiap tahun jika, dijual dengan harga rubel, enam tahun kemudian dijual dengan harga rubel.

Jawaban:

1. Hal terpenting di sini adalah mengenali barisan aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
   .
   Menjawab:
2. Di sini diberikan: , harus ditemukan.
   Tentunya, Anda perlu menggunakan rumus penjumlahan yang sama seperti pada soal sebelumnya:
   .
   Gantikan nilainya:

   Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
   Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama sehari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
   (km).
   Menjawab:

3. Diberikan: . Menemukan: .
   Ini sangat sederhana:
   (menggosok).
   Menjawab:

PROGRESI ARITMATIK. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Ini adalah barisan bilangan yang selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.

Perkembangan aritmatika dapat meningkat () dan menurun ().

Misalnya:

Rumus mencari suku ke-n suatu barisan aritmatika

ditulis dengan rumus dimana adalah banyaknya bilangan yang berurutan.

Properti anggota perkembangan aritmatika

Hal ini memungkinkan Anda dengan mudah menemukan suku suatu barisan jika suku-suku tetangganya diketahui - di mana jumlah bilangan dalam barisan tersebut.

Jumlah suku suatu barisan aritmatika

Ada dua cara untuk mencari jumlahnya:

Dimana jumlah nilainya.

Dimana jumlah nilainya.

Apa poin utama rumus?

Rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap DENGAN NOMORNYA" N" .

Tentunya Anda juga perlu mengetahui istilah pertamanya sebuah 1 dan perbedaan perkembangan D, tanpa parameter ini Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.

Menghafal (atau menuliskan) rumus ini saja tidak cukup. Anda perlu memahami esensinya dan menerapkan rumusnya dalam berbagai permasalahan. Dan juga jangan lupa di saat yang tepat ya...) Bagaimana caranya tidak lupa- Aku tidak tahu. Dan di sini bagaimana cara mengingatnya Jika perlu, saya pasti akan menyarankan Anda. Bagi mereka yang menyelesaikan pelajaran sampai akhir.)

Jadi, mari kita lihat rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.

Apa yang dimaksud dengan rumus secara umum? Ngomong-ngomong, lihatlah jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa itu istilah ke-n.

Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai rangkaian angka:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

sebuah 1- menunjukkan suku pertama suatu barisan aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga, sebuah 4- yang keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik dengan suku kelima, misalkan kita sedang mengerjakannya sebuah 5, jika seratus dua puluh - s sebuah 120.

Bagaimana kita bisa mendefinisikannya secara umum? setiap suku suatu barisan aritmatika, dengan setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:

sebuah

Begitulah adanya suku ke-n suatu barisan aritmatika. Huruf n menyembunyikan semua nomor anggota sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Dan apa yang dapat kita peroleh dari catatan tersebut? Bayangkan saja, alih-alih menggunakan angka, mereka menulis surat...

Notasi ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan perkembangan aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukannya setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan menyelesaikan banyak masalah perkembangan lainnya. Anda akan melihat sendiri lebih jauh.

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika:

sebuah 1- suku pertama suatu barisan aritmatika;

N- nomor anggota.

Rumusnya menghubungkan parameter utama dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; D Dan N. Semua masalah perkembangan berkisar pada parameter ini.

Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis suatu barisan tertentu. Misalnya, soal mungkin mengatakan bahwa kemajuan ditentukan oleh kondisi:

sebuah = 5 + (n-1) 2.

Masalah seperti itu bisa jadi jalan buntu... Tidak ada deret atau perbedaan... Namun, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah dipahami bahwa dalam perkembangan ini a 1 =5, dan d=2.

Dan itu bisa lebih buruk lagi!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: sebuah = 5 + (n-1) 2, Ya, buka tanda kurung dan bawa yang serupa? Kami mendapatkan rumus baru:

sebuah = 3 + 2n.

Ini Bukan secara umum, tetapi untuk perkembangan yang spesifik. Di sinilah jebakannya mengintai. Beberapa orang mengira suku pertama adalah angka tiga. Padahal kenyataannya suku pertama adalah lima... Sedikit lebih rendah kita akan bekerja dengan rumus yang dimodifikasi.

Dalam masalah perkembangan ada notasi lain - sebuah n+1. Ini, seperti yang Anda duga, adalah suku “n plus pertama” dari perkembangan tersebut. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota barisan yang jumlahnya lebih besar dari bilangan n per satu. Misalnya saja jika dalam suatu permasalahan kita ambil sebuah semester kelima kalau begitu sebuah n+1 akan menjadi anggota keenam. Dll.

Paling sering sebutannya sebuah n+1 ditemukan dalam rumus perulangan. Jangan takut dengan kata menakutkan ini!) Ini hanyalah cara untuk menyatakan anggota barisan aritmatika melalui yang sebelumnya. Katakanlah kita diberikan suatu perkembangan aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:

sebuah+1 = sebuah+3

sebuah 2 = sebuah 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Yang keempat sampai yang ketiga, yang kelima sampai yang keempat, dan seterusnya. Bagaimana kita bisa langsung menghitung, katakanlah, suku kedua puluh? sebuah 20? Tapi tidak mungkin!) Sampai kita mengetahui suku ke-19, kita tidak dapat menghitung suku ke-20. Ini dia perbedaan mendasar rumus berulang dari rumus suku ke-n. Berulang hanya berfungsi melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n adalah lewat Pertama dan memungkinkan langsung temukan anggota mana pun berdasarkan nomornya. Tanpa menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.

Dalam perkembangan aritmatika, mudah untuk mengubah rumus berulang menjadi rumus biasa. Hitunglah sepasang suku yang berurutan, hitung selisihnya D, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumusnya dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Tugas seperti itu sering dijumpai di Akademi Ilmu Pengetahuan Negeri.

Penerapan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.

Pertama, mari kita lihat penerapan langsung rumusnya. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:

Perkembangan aritmatika (an) diberikan. Tentukan a 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Soal ini dapat diselesaikan tanpa rumus apa pun, cukup berdasarkan arti barisan aritmatika. Tambahkan dan tambahkan... Satu atau dua jam.)

Dan menurut rumusnya, penyelesaiannya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Mari kita putuskan.

Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: sebuah 1 =3, d=1/6. Masih mencari tahu apa yang setara N. Tidak masalah! Kita perlu menemukannya sebuah 121. Jadi kami menulis:

Mohon perhatian! Alih-alih indeks N nomor tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota perkembangan aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita N. Inilah artinya N= 121 kita substitusikan lebih jauh ke dalam rumus, dalam tanda kurung. Kami mengganti semua angka ke dalam rumus dan menghitung:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Itu dia. Dengan cepat seseorang dapat menemukan suku kelima ratus sepuluh, dan suku seribu tiga, suku mana pun. Kami menempatkannya sebagai gantinya N nomor yang diinginkan pada indeks huruf " A" dan dalam tanda kurung, dan kami menghitungnya.

Izinkan saya mengingatkan Anda intinya: rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap istilah perkembangan aritmatika DENGAN NOMORNYA" N" .

Mari kita selesaikan masalah ini dengan cara yang lebih licik. Mari kita hadapi masalah berikut:

Tentukan suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 17 =-2; d=-0,5.

Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan memberi tahu Anda langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Ya ya. Tuliskan dengan tangan Anda, tepat di buku catatan Anda:

Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf rumusnya, kita memahami data apa yang kita miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas... Begitukah? Kalau kamu berpikir hanya itu, maka kamu tidak akan menyelesaikan masalah ya...

Kami masih memiliki nomornya N! Dalam kondisi sebuah 17 =-2 tersembunyi dua parameter. Ini adalah nilai suku ketujuh belas (-2) dan bilangannya (17). Itu. n=17.“Hal sepele” ini sering kali luput dari perhatian, dan tanpanya, (tanpa “hal sepele”, bukan kepala!) masalah tidak dapat diselesaikan. Meskipun... dan tanpa kepala juga.)

Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh ya, sebuah 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita gantikan:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Pada dasarnya itu saja. Tetap menyatakan suku pertama barisan aritmatika dari rumus dan menghitungnya. Jawabannya adalah: sebuah 1 = 6.

Teknik ini - menuliskan rumus dan mengganti data yang diketahui - sangat membantu dalam tugas-tugas sederhana. Tentu saja Anda harus bisa mengekspresikan suatu variabel dari rumus, tapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika tidak mungkin dipelajari sama sekali...

Teka-teki populer lainnya:

Tentukan selisih barisan aritmatika (an), jika a 1 =2; sebuah 15 =12.

Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami sedang menulis rumusnya!)

Mari pertimbangkan apa yang kita ketahui: sebuah 1 =2; sebuah 15 =12; dan (saya akan menyoroti secara khusus!) n=15. Jangan ragu untuk menggantinya ke dalam rumus:

12=2 + (15-1)d

Kami melakukan aritmatika.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Ini adalah jawaban yang benar.

Jadi, tugas untuk sebuah, sebuah 1 Dan D diputuskan. Yang tersisa hanyalah mempelajari cara menemukan nomor tersebut:

Bilangan 99 merupakan anggota barisan aritmatika (an), dimana a 1 =12; d=3. Temukan nomor anggota ini.

Kita substitusikan besaran-besaran yang kita ketahui ke dalam rumus suku ke-n:

dan = 12 + (n-1) 3

Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: sebuah n dan n. Tetapi sebuah- ini adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor N...Dan kita tahu anggota perkembangan ini! Angkanya 99. Kami tidak tahu nomornya. N, Jadi nomor inilah yang perlu Anda temukan. Suku deret 99 kita substitusikan ke dalam rumus:

99 = 12 + (n-1) 3

Kami mengungkapkan dari rumus N, kami pikir. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.

Dan sekarang soal dengan topik yang sama, tetapi lebih kreatif):

Tentukan apakah bilangan 117 termasuk anggota barisan aritmatika (an):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Mari kita tulis rumusnya lagi. Apa, tidak ada parameternya? Hm... Kenapa kita diberi mata?) Apakah kita melihat suku pertama dari perkembangannya? Kami melihat. Ini -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: sebuah 1 = -3,6. Perbedaan D dapatkah kamu menentukan dari suatu rangkaian? Mudahnya jika Anda mengetahui apa perbedaan barisan aritmatika:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Jadi, kami melakukan hal yang paling sederhana. Yang tersisa hanyalah menangani nomor tak dikenal N dan angka 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, setidaknya diketahui istilah perkembangan yang diberikan. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu... Apa yang harus dilakukan!? Nah, bagaimana menjadi, bagaimana menjadi... Nyalakan kemampuan kreatif Anda!)

Kami memperkirakan bahwa 117 adalah bagian dari kemajuan kita. Dengan nomor tak dikenal N. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumusnya (ya, ya!)) dan mengganti nomor kami:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Sekali lagi kita ungkapkan dari rumusN, kami menghitung dan mendapatkan:

Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam perkembangannya tidak bisa. Kesimpulan apa yang bisa kita ambil? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kita. Itu berada di antara suku keseratus pertama dan keseratus kedua. Jika bilangan tersebut ternyata natural, mis. adalah bilangan bulat positif, maka bilangan tersebut merupakan anggota barisan dengan bilangan yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban atas masalahnya adalah: TIDAK.

Berdasarkan tugas pilihan nyata GIA:

Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:

sebuah = -4 + 6,8n

Temukan suku pertama dan kesepuluh dari perkembangan tersebut.

Di sini perkembangannya diatur dengan cara yang tidak biasa. Semacam rumus... Itu terjadi.) Namun, rumus ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan mana pun berdasarkan nomornya.

Kami sedang mencari anggota pertama. Orang yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal telah diubah. Suku pertama barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak apa-apa, kita akan menemukannya sekarang.)

Sama seperti pada soal sebelumnya, kita melakukan substitusi n=1 ke dalam rumus ini:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!

Kami mencari suku kesepuluh dengan cara yang sama:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Itu dia.

Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca baris-baris ini, bonus yang dijanjikan.)

Misalkan, dalam situasi pertarungan yang sulit dalam Ujian Negara atau Ujian Negara Terpadu, Anda lupa rumus yang berguna untuk suku ke-n suatu perkembangan aritmatika. Saya ingat sesuatu, tapi entah kenapa ragu-ragu... Atau N di sana, atau n+1, atau n-1... Bagaimana menjadi!?

Tenang! Rumus ini mudah diturunkan. Tidak terlalu ketat, tapi untuk percaya diri dan keputusan yang tepat cukup pasti!) Untuk menarik kesimpulan, cukup mengingat makna dasar barisan aritmatika dan memiliki waktu beberapa menit. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.

Gambarlah garis bilangan dan tandai garis pertama di atasnya. kedua, ketiga, dan seterusnya. anggota. Dan kami mencatat perbedaannya D antar anggota. Seperti ini:

Kita melihat gambarnya dan berpikir: apa persamaan suku kedua? Kedua satu D:

A 2 =a 1 + 1 D

Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua D.

A 3 =a 1 + 2 D

Apa kau mengerti? Bukan tanpa alasan saya menyorot beberapa kata dengan huruf tebal. Oke, satu langkah lagi).

Apa suku keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga D.

A 4 =a 1 + 3 D

Saatnya untuk menyadari bahwa jumlah kesenjangan, yaitu. D, Selalu kurang satu dari jumlah anggota yang Anda cari N. Artinya, ke nomor tersebut n, jumlah spasi akan n-1. Oleh karena itu, rumusnya adalah (tanpa variasi!):

Secara umum gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak permasalahan dalam matematika. Jangan abaikan gambarnya. Tetapi jika menggambarnya sulit, maka... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda menghubungkan seluruh persenjataan matematika yang kuat ke solusinya - persamaan, pertidaksamaan, sistem, dll. Anda tidak dapat memasukkan gambar ke dalam persamaan...

Tugas untuk solusi mandiri.

Untuk pemanasan:

1. Dalam perkembangan aritmatika (an) a 2 =3; sebuah 5 =5.1. Temukan 3 .

Petunjuk: sesuai gambar, soal dapat diselesaikan dalam waktu 20 detik... Sesuai rumusnya ternyata lebih sulit. Tapi untuk menguasai rumusnya, itu lebih berguna.) Di Bagian 555, soal ini diselesaikan dengan menggunakan gambar dan rumus. Rasakan perbedaan nya!)

Dan ini bukan lagi pemanasan.)

2. Dalam barisan aritmatika (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Temukan a 3 .

Apa, kamu tidak ingin menggambar?) Tentu saja! Lebih baik sesuai rumusnya ya..

3. Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:sebuah 1 = -5,5; sebuah+1 = sebuah+0,5. Tentukan suku keseratus dua puluh lima dari perkembangan ini.

Dalam tugas ini, perkembangannya ditentukan secara berulang. Tapi menghitung sampai suku keseratus dua puluh lima... Tidak semua orang mampu melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!

4. Diketahui barisan aritmatika (an):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Tentukan bilangan suku positif terkecil dari barisan tersebut.

5. Berdasarkan ketentuan tugas 4, tentukan jumlah suku positif terkecil dan suku negatif terbesar dari barisan tersebut.

6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas suatu barisan aritmatika meningkat sama dengan -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas sama dengan nol. Temukan 14 .

Bukan tugas yang termudah, ya...) Metode “ujung jari” tidak akan berfungsi di sini. Anda harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.

Jawaban (berantakan):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Telah terjadi? Itu bagus!)

Tidak semuanya berhasil? Terjadi. Omong-omong, ada satu poin halus dalam tugas terakhir. Diperlukan kehati-hatian saat membaca soal. Dan logika.

Solusi untuk semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk yang keempat, dan poin halus untuk yang keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun yang melibatkan rumus suku ke-n - semuanya dijelaskan. Saya merekomendasi.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Konsep barisan bilangan menyiratkan bahwa setiap bilangan asli mempunyai nilai riil tertentu. Rangkaian angka seperti itu dapat bersifat sembarang atau memiliki sifat tertentu - suatu perkembangan. Dalam kasus terakhir, setiap elemen berikutnya (anggota) dari barisan tersebut dapat dihitung menggunakan elemen sebelumnya.

Perkembangan aritmatika adalah barisan nilai numerik yang anggota tetangganya berbeda satu sama lain dengan bilangan yang sama (semua elemen deret, mulai dari yang ke-2, mempunyai sifat yang serupa). Angka ini - selisih antara suku-suku sebelumnya dan suku-suku berikutnya - adalah konstan dan disebut selisih perkembangan.

Perbedaan perkembangan: definisi

Perhatikan suatu barisan yang terdiri dari j nilai A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j termasuk dalam himpunan bilangan asli N. Suatu aritmatika Perkembangan menurut definisinya adalah barisan yang a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Nilai d adalah perbedaan yang diinginkan dari perkembangan ini.

d = a(j) – a(j-1).

Menyorot:

• Perkembangan yang meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Menurunnya perkembangan, maka d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Perbedaan perkembangan dan unsur-unsurnya yang sewenang-wenang

Jika diketahui 2 suku sembarang dari barisan tersebut (ke-i, ke-k), maka selisih suatu barisan tertentu dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, artinya d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Perbedaan perkembangan dan suku pertamanya

Ekspresi ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya jika jumlah elemen barisan diketahui.

Perbedaan perkembangan dan jumlahnya

Jumlah suatu perkembangan adalah jumlah dari syarat-syaratnya. Untuk menghitung nilai total elemen j pertamanya, gunakan rumus yang sesuai:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi karena a(j) = a(1) + d(j – 1), maka S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.