Sistem solusi mendasar. Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen

Untuk memahami apa itu sistem keputusan mendasar Anda dapat menonton video tutorial untuk contoh yang sama dengan mengklik. Sekarang mari kita beralih ke deskripsi keseluruhan pekerjaan yang diperlukan. Ini akan membantu Anda memahami inti masalah ini secara lebih rinci.

Bagaimana cara mencari sistem dasar penyelesaian persamaan linear?

Mari kita ambil sistem ini sebagai contoh persamaan linier:

Mari kita cari solusi dari sistem persamaan linier ini. Untuk memulainya, kita Anda perlu menuliskan matriks koefisien sistem.

Mari kita ubah matriks ini menjadi matriks segitiga. Kami menulis ulang baris pertama tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(11)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(21)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris kedua, dan menulis selisihnya di baris kedua. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris ketiga dan menulis selisihnya di baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(41)$, Anda perlu mengurangi baris keempat yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris kelima yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris kelima.

Kami menulis ulang baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(22)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(32)$, Anda perlu mengurangi baris kedua yang dikalikan 2 dengan baris ketiga dan menuliskan selisihnya pada baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(42)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 2 dengan baris keempat dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(52)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 3 dengan baris kelima dan menuliskan selisihnya pada baris kelima.

Kami melihatnya tiga baris terakhir sama, jadi jika Anda mengurangkan angka ketiga dari angka keempat dan kelima, maka hasilnya akan menjadi nol.

Menurut matriks ini tuliskan sistem baru persamaan.

Kita melihat bahwa kita hanya mempunyai tiga persamaan bebas linier, dan lima persamaan yang tidak diketahui, sehingga sistem penyelesaian fundamental akan terdiri dari dua vektor. Jadi kita kita perlu memindahkan dua hal terakhir yang tidak diketahui ke kanan.

Sekarang, kita mulai mengungkapkan hal-hal yang tidak diketahui yang ada di sisi kiri melalui hal-hal yang tidak diketahui di sisi kanan. Kita mulai dengan persamaan terakhir, pertama kita nyatakan $x_3$, lalu kita substitusikan hasilnya ke persamaan kedua dan nyatakan $x_2$, lalu ke persamaan pertama dan di sini kita nyatakan $x_1$. Jadi, kami mengungkapkan semua hal yang tidak diketahui di sisi kiri melalui hal yang tidak diketahui di sisi kanan.

Lalu, alih-alih $x_4$ dan $x_5$, kita dapat mengganti angka apa saja dan mencari $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Masing-masing lima angka ini akan menjadi akar dari sistem persamaan awal kita. Untuk mencari vektor-vektor yang termasuk di dalamnya FSR kita perlu mengganti 1 sebagai ganti $x_4$, dan mengganti 0 sebagai ganti $x_5$, cari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, lalu sebaliknya $x_4=0$ dan $x_5=1$.

Sistem persamaan linear homogen pada suatu bidang

DEFINISI. Sistem dasar penyelesaian sistem persamaan (1) adalah sistem penyelesaiannya yang bebas linier tak kosong, yang rentang liniernya bertepatan dengan himpunan semua solusi sistem (1).

Perhatikan itu sistem homogen persamaan linier yang hanya memiliki solusi nol tidak memiliki sistem solusi fundamental.

USULAN 3.11. Dua sistem dasar penyelesaian sistem persamaan linier homogen terdiri dari jumlah penyelesaian yang sama.

Bukti. Faktanya, dua sistem dasar penyelesaian sistem persamaan homogen (1) adalah ekuivalen dan bebas linier. Oleh karena itu, berdasarkan Proposisi 1.12, peringkat mereka setara. Akibatnya, jumlah solusi yang termasuk dalam satu sistem fundamental sama dengan jumlah solusi yang termasuk dalam sistem solusi fundamental lainnya.

Jika matriks utama A dari sistem persamaan homogen (1) adalah nol, maka sembarang vektor dari merupakan solusi sistem (1); dalam hal ini, himpunan vektor bebas linier dari adalah sistem solusi fundamental. Jika pangkat kolom matriks A sama dengan , maka sistem (1) hanya mempunyai satu solusi - nol; oleh karena itu, dalam hal ini sistem persamaan (1) tidak mempunyai sistem penyelesaian fundamental.

TEOREMA 3.12. Jika pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen (1) angka yang lebih sedikit variabel , maka sistem (1) mempunyai sistem solusi fundamental yang terdiri dari solusi.

Bukti. Jika pangkat matriks utama A sistem homogen (1) sama dengan nol atau , maka di atas ditunjukkan bahwa teorema tersebut benar. Oleh karena itu, di bawah ini diasumsikan bahwa Dengan asumsi , kita asumsikan bahwa kolom pertama matriks A bebas linier. Dalam hal ini, matriks A ekuivalen secara baris dengan matriks bertahap tereduksi, dan sistem (1) ekuivalen dengan sistem persamaan bertahap tereduksi berikut:

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa sistem nilai variabel bebas sistem (2) sesuai dengan satu dan hanya satu solusi untuk sistem (2) dan, oleh karena itu, ke sistem (1). Secara khusus, hanya solusi nol dari sistem (2) dan sistem (1) yang bersesuaian dengan sistem nilai nol.

Dalam sistem (2) kami akan menetapkan salah satu yang gratis nilai variabel, sama dengan 1, dan variabel lainnya bernilai nol. Hasilnya, kita memperoleh solusi sistem persamaan (2), yang kita tulis dalam bentuk baris-baris matriks C berikut:

Sistem baris matriks ini bebas linier. Memang untuk skalar apa pun dari persamaan

kesetaraan mengikuti

dan, oleh karena itu, kesetaraan

Mari kita buktikan bahwa rentang linier sistem baris-baris matriks C berimpit dengan himpunan semua solusi sistem (1).

Solusi sewenang-wenang dari sistem (1). Kemudian vektornya

juga merupakan solusi untuk sistem (1), dan

Sistem persamaan linear yang semua suku bebasnya sama dengan nol disebut homogen :

Setiap sistem homogen selalu konsisten, karena selalu demikian nol (remeh ) solusi. Timbul pertanyaan dalam kondisi apa sistem homogen akan mempunyai solusi nontrivial.

Teorema 5.2.Sistem homogen memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika pangkat matriks yang mendasarinya lebih kecil dari jumlah matriks yang tidak diketahui.

Konsekuensi. Sistem homogen persegi mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol.

Contoh 5.6. Tentukan nilai parameter l yang sistemnya mempunyai solusi nontrivial, dan temukan solusi berikut:

Larutan. Sistem ini akan mempunyai solusi non-trivial jika determinan matriks utamanya sama dengan nol:

Jadi, sistem tersebut non-trivial jika l=3 atau l=2. Untuk l=3, rank matriks utama sistem adalah 1. Maka, hanya menyisakan satu persamaan dan asumsikan bahwa kamu=A Dan z=B, kita dapatkan x=b-a, yaitu

Untuk l=2, rank matriks utama sistem adalah 2. Kemudian, pilih minor sebagai basis:

kami mendapatkan sistem yang disederhanakan

Dari sini kita menemukan hal itu x=z/4, kamu=z/2. Percaya z=4A, kita dapatkan

Himpunan semua solusi sistem homogen mempunyai arti yang sangat penting properti linier : jika kolom X 1 dan X 2 - solusi sistem homogen AX = 0, maka setiap kombinasi linier dari keduanya A X 1 + b X 2 juga akan menjadi solusi untuk sistem ini. Memang sejak itu KAPAK 1 = 0 Dan KAPAK 2 = 0 , Itu A(A X 1 + b X 2) = sebuah KAPAK 1 + b KAPAK 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Karena sifat inilah jika suatu sistem linear mempunyai lebih dari satu solusi, maka solusi-solusi tersebut jumlahnya tak terhingga.

Kolom bebas linier E 1 , E 2 , ek, yang merupakan solusi dari sistem homogen, disebut sistem dasar solusi sistem persamaan linear homogen jika solusi umum sistem ini dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom berikut:

Jika sistem homogen memiliki N variabel, dan pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan R, Itu k = n-r.

Contoh 5.7. Temukan sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear berikut:

Larutan. Mari kita cari pangkat matriks utama sistem:

Jadi, himpunan solusi sistem persamaan ini membentuk subruang dimensi linier n-r= 5 - 2 = 3. Mari kita pilih minor sebagai basisnya

.

Kemudian, hanya menyisakan persamaan dasar (sisanya akan menjadi kombinasi linier dari persamaan ini) dan variabel dasar (kita memindahkan sisanya, yang disebut variabel bebas ke kanan), kita memperoleh sistem persamaan yang disederhanakan:

Percaya X 3 = A, X 4 = B, X 5 = C, kami menemukan

, .

Percaya A= 1, b = c= 0, kita memperoleh solusi basa pertama; percaya B= 1, a = c= 0, kita memperoleh solusi basa kedua; percaya C= 1, a = b= 0, kita memperoleh solusi basa ketiga. Akibatnya, sistem penyelesaian fundamental yang normal akan terbentuk

Dengan menggunakan sistem fundamental, solusi umum sistem homogen dapat ditulis sebagai

X = aE 1 + menjadi 2 + ce 3. A

Mari kita perhatikan beberapa sifat solusi sistem persamaan linear tak homogen KAPAK=B dan hubungannya dengan sistem persamaan homogen yang sesuai kapak = 0.

Solusi umum dari sistem heterogensama dengan jumlah solusi umum sistem homogen yang bersesuaian AX = 0 dan solusi partikular sembarang dari sistem tak homogen. Memang benar, biarlah Y 0 adalah solusi partikular sembarang dari sistem tak homogen, mis. AYO 0 = B, Dan Y- solusi umum dari sistem heterogen, mis. AYO=B. Dengan mengurangkan satu persamaan dari persamaan lainnya, kita peroleh
A(Y Y 0) = 0, yaitu Y Y 0 adalah solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian KAPAK=0. Karena itu, Y Y 0 = X, atau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Misalkan sistem tak homogen berbentuk AX = B 1 + B 2 . Maka solusi umum sistem tersebut dapat ditulis sebagai X = X 1 + X 2 , dimana AX 1 = B 1 dan kapak 2 = B 2. Properti ini mengungkapkan properti universal apa pun sistem linier(aljabar, diferensial, fungsional, dll). Dalam fisika sifat ini disebut prinsip superposisi, di bidang teknik listrik dan radio - prinsip superposisi. Misalnya saja dalam teori linear rangkaian listrik arus dalam rangkaian apa pun dapat diperoleh sebagai jumlah aljabar arus yang disebabkan oleh masing-masing sumber energi secara terpisah.

Sistem homogen selalu konsisten dan mempunyai penyelesaian yang sepele
. Agar solusi nontrivial ada, diperlukan rank matriks kurang dari jumlah yang tidak diketahui:

.

Sistem solusi mendasar sistem homogen
memanggil sistem solusi dalam bentuk vektor kolom
, yang sesuai dengan dasar kanonik, yaitu. dasar di mana konstanta sewenang-wenang
bergantian ditetapkan sama dengan satu, sedangkan sisanya ditetapkan sama dengan nol.

Maka solusi umum sistem homogen tersebut berbentuk:

Di mana
- konstanta sewenang-wenang. Dengan kata lain, solusi keseluruhan merupakan kombinasi linier dari sistem solusi fundamental.

Dengan demikian, solusi dasar dapat diperoleh dari solusi umum jika hal-hal yang tidak diketahui bebas diberi nilai satu secara bergantian, dan semua yang lain sama dengan nol.

Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistemnya

Mari kita terima, maka kita mendapatkan solusi berupa:

Sekarang mari kita membangun sistem solusi mendasar:

.

Solusi umum akan ditulis sebagai:

Penyelesaian sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

Dengan kata lain, setiap kombinasi solusi linier terhadap sistem homogen juga merupakan solusi.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Pemecahan sistem persamaan linear telah menarik perhatian para matematikawan selama beberapa abad. Hasil pertama diperoleh pada abad ke-18. Pada tahun 1750, G. Kramer (1704–1752) menerbitkan karyanya tentang determinan matriks persegi dan mengusulkan algoritma untuk mencari matriks invers. Pada tahun 1809, Gauss menguraikan metode penyelesaian baru yang dikenal sebagai metode eliminasi.

Metode Gaussian, atau metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui, terdiri dari fakta bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, suatu sistem persamaan direduksi menjadi sistem ekuivalen berbentuk langkah (atau segitiga). Sistem seperti itu memungkinkan untuk menemukan semua hal yang tidak diketahui secara berurutan dalam urutan tertentu.

Mari kita asumsikan bahwa dalam sistem (1)
(yang selalu memungkinkan).

(1)

Mengalikan persamaan pertama satu per satu dengan apa yang disebut nomor yang cocok

dan menjumlahkan hasil perkalian dengan persamaan sistem yang bersesuaian, kita memperoleh sistem ekuivalen dimana di semua persamaan kecuali persamaan pertama tidak akan ada yang tidak diketahui. X 1

(2)

Sekarang mari kita kalikan persamaan kedua sistem (2) dengan bilangan yang sesuai, dengan asumsi demikian

,

dan menambahkannya dengan yang lebih rendah, kita menghilangkan variabelnya dari semua persamaan, dimulai dari persamaan ketiga.

Melanjutkan proses ini, setelahnya
langkah yang kita dapatkan:

(3)

Jika setidaknya salah satu angkanya
tidak sama dengan nol, maka persamaan yang bersangkutan bertentangan dan sistem (1) tidak konsisten. Sebaliknya, untuk sistem bilangan gabungan apa pun
sama dengan nol. Nomor tidak lebih dari pangkat matriks sistem (1).

Peralihan dari sistem (1) ke (3) disebut lurus ke depan Metode Gauss, dan menemukan yang tidak diketahui dari (3) – sebaliknya .

Komentar : Akan lebih mudah untuk melakukan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks yang diperluas dari sistem (1).

Contoh. Mari kita cari solusi untuk sistemnya

.

Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem:

.

Mari kita tambahkan yang pertama ke baris 2,3,4, dikalikan dengan (-2), (-3), (-2):

.

Mari kita tukar baris 2 dan 3, lalu pada matriks yang dihasilkan tambahkan baris 2 ke baris 4, dikalikan dengan :

.

Tambahkan ke baris 4 baris 3 dikalikan
:

.

Jelas sekali
, oleh karena itu, sistemnya konsisten. Dari sistem persamaan yang dihasilkan

kami menemukan solusinya dengan substitusi terbalik:

,
,
,
.

Contoh 2. Temukan solusi untuk sistem:

.

Jelas bahwa sistem ini tidak kompatibel, karena
, A
.

Keuntungan dari metode Gauss :

Kurang padat karya dibandingkan metode Cramer.

Jelas menetapkan kompatibilitas sistem dan memungkinkan Anda menemukan solusi.

Memungkinkan untuk menentukan peringkat matriks apa pun.

Kami akan terus menyempurnakan teknologi kami transformasi dasar pada sistem persamaan linear yang homogen.
Berdasarkan paragraf pertama, materi mungkin terkesan membosankan dan biasa-biasa saja, namun kesan ini menipu. Selain pengembangan teknik lebih lanjut, akan banyak informasi baru, jadi mohon jangan mengabaikan contoh di artikel ini.

Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen?

Jawabannya muncul dengan sendirinya. Suatu sistem persamaan linier dikatakan homogen jika suku bebasnya setiap orang persamaan sistemnya adalah nol. Misalnya:

Hal ini sangat jelas sistem yang homogen selalu konsisten, artinya, selalu ada solusi. Dan, pertama-tama, yang menarik perhatian Anda adalah apa yang disebut remeh larutan . Sepele, bagi yang belum paham sama sekali arti kata sifat itu artinya tanpa pamer. Tentu saja tidak secara akademis, tetapi secara cerdas =) ...Mengapa bertele-tele, mari kita cari tahu apakah sistem ini memiliki solusi lain:

Contoh 1

Larutan: untuk menyelesaikan sistem homogen perlu ditulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi dasar, bawalah ke pandangan melangkah. Harap dicatat bahwa di sini tidak perlu menuliskan bilah vertikal dan kolom nol suku bebas - lagipula, apa pun yang Anda lakukan dengan nol, keduanya akan tetap nol:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –3.

(2) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1.

Membagi baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.

Sebagai hasil transformasi dasar, diperoleh sistem homogen yang setara , dan dengan menggunakan kebalikan dari metode Gaussian, mudah untuk memverifikasi bahwa solusi tersebut unik.

Menjawab:

Mari kita merumuskan kriteria yang jelas: memiliki sistem persamaan linear yang homogen hanya solusi sepele, Jika peringkat matriks sistem(dalam hal ini 3) sama dengan jumlah variabel (dalam hal ini – 3 buah).

Mari kita melakukan pemanasan dan menyetel radio kita ke gelombang transformasi dasar:

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan linear homogen

Untuk akhirnya mengkonsolidasikan algoritma, mari kita menganalisis tugas akhir:

Contoh 7

Selesaikan sistem homogen, tulis jawabannya dalam bentuk vektor.

Larutan: mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

(1) Tanda baris pertama diubah. Sekali lagi saya menarik perhatian pada teknik yang telah ditemui berkali-kali, yang memungkinkan Anda menyederhanakan tindakan selanjutnya secara signifikan.

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama, dikalikan 2, ditambahkan ke baris ke-4.

(3) Tiga garis terakhir proporsional, dua diantaranya dihilangkan.

Hasilnya, matriks langkah standar diperoleh, dan solusinya berlanjut di sepanjang jalur knurled:

– variabel dasar;
– variabel bebas.

Mari kita nyatakan variabel dasar dalam bentuk variabel bebas. Dari persamaan ke-2:

– substitusikan ke persamaan pertama:

Jadi solusi umumnya adalah:

Karena dalam contoh yang dibahas terdapat tiga variabel bebas, sistem fundamental memuat tiga vektor.

Mari kita substitusikan tiga nilai ke dalam solusi umum dan memperoleh vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahwa sangat disarankan untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - ini tidak akan memakan banyak waktu, tetapi ini akan sepenuhnya melindungi Anda dari kesalahan.

Untuk tiga kali lipat nilai temukan vektornya

Dan yang terakhir untuk ketiganya kita mendapatkan vektor ketiga:

Menjawab: , Di mana

Mereka yang ingin menghindari nilai pecahan dapat mempertimbangkan kembar tiga dan dapatkan jawaban dalam bentuk yang setara:

Berbicara tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dari soal dan mari kita bertanya pada diri sendiri: apakah mungkin untuk menyederhanakan solusi selanjutnya? Lagi pula, di sini pertama-tama kita menyatakan variabel dasar melalui pecahan, kemudian melalui pecahan sebagai variabel dasar, dan, harus saya katakan, proses ini bukanlah yang paling sederhana dan bukan yang paling menyenangkan.

Solusi kedua:

Idenya adalah untuk mencoba memilih variabel dasar lainnya. Mari kita lihat matriksnya dan perhatikan dua matriks di kolom ketiga. Jadi mengapa tidak ada angka nol di atas? Mari kita lakukan transformasi dasar lainnya: