Cara memberikan persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat

Rumus akar persamaan kuadrat. Kasus-kasus akar nyata, ganda dan kompleks dipertimbangkan. Faktorisasi trinomial kuadrat. Interpretasi geometris. Contoh penentuan akar dan pemfaktoran.

Rumus dasar

Perhatikan persamaan kuadrat:
(1) .
Akar persamaan kuadrat(1) ditentukan dengan rumus:
; .
Rumus ini dapat digabungkan seperti ini:
.
Jika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, maka polinomial derajat kedua dapat direpresentasikan sebagai hasil kali faktor-faktor (difaktorkan):
.

Selanjutnya kita asumsikan itu adalah bilangan real.
Mari kita pertimbangkan diskriminan persamaan kuadrat:
.
Jika diskriminannya positif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real yang berbeda:
; .
Maka faktorisasi trinomial kuadrat berbentuk:
.
Jika diskriminan sama dengan nol, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real kelipatan (sama):
.
Faktorisasi:
.
Jika diskriminannya negatif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar konjugasi kompleks:
;
.
Berikut adalah satuan imajinernya, ;
dan merupakan bagian real dan imajiner dari akar-akar:
; .
Kemudian

.

Interpretasi grafis

Jika Anda membangun grafik suatu fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik potong grafik tersebut dengan sumbunya adalah akar-akar persamaannya
.
Pada , grafik memotong sumbu x (sumbu) di dua titik.
Ketika , grafik menyentuh sumbu x di satu titik.
Jika , grafiknya tidak memotong sumbu x.

Di bawah ini adalah contoh grafik tersebut.

Rumus berguna terkait persamaan kuadrat

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat

Kami melakukan transformasi dan menerapkan rumus (f.1) dan (f.3):




,
Di mana
; .

Jadi, kita mendapatkan rumus polinomial derajat kedua dalam bentuk:
.
Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut

dilakukan di
Dan .
Artinya, dan merupakan akar persamaan kuadrat
.

Contoh menentukan akar-akar persamaan kuadrat

Contoh 1

(1.1) .

Larutan

.
Dibandingkan dengan persamaan kita (1.1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya positif, persamaan tersebut mempunyai dua akar real:
;
;
.

Dari sini kita memperoleh faktorisasi trinomial kuadrat:

.

Grafik fungsi y = 2x2+7x+3 memotong sumbu x di dua titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Ia melintasi sumbu absis (sumbu) di dua titik:
Dan .
Titik-titik ini adalah akar-akar persamaan awal (1.1).

Menjawab

;
;
.

Contoh 2

Temukan akar persamaan kuadrat:
(2.1) .

Larutan

Mari kita tulis persamaan kuadratnya pandangan umum:
.
Dibandingkan dengan persamaan awal (2.1), kita menemukan nilai koefisiennya:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya nol, persamaan tersebut mempunyai dua akar kelipatan (sama):
;
.

Maka faktorisasi trinomialnya berbentuk:
.

Grafik fungsi y = x 2 - 4x+4 menyentuh sumbu x di satu titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Menyentuh sumbu x (sumbu) di satu titik:
.
Titik ini merupakan akar persamaan awal (2.1). Karena akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar seperti itu biasanya disebut kelipatan. Artinya, mereka percaya bahwa ada dua akar yang sama:
.

Menjawab

;
.

Contoh 3

Temukan akar persamaan kuadrat:
(3.1) .

Larutan

Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
(1) .
Mari kita tulis ulang persamaan awal (3.1):
.
Dibandingkan dengan (1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Diskriminannya negatif, . Oleh karena itu tidak ada akar yang nyata.

Anda dapat menemukan akar kompleks:
;
;
.

Kemudian


.

Grafik fungsi tidak memotong sumbu x. Tidak ada akar yang nyata.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Tidak memotong sumbu x (sumbu). Oleh karena itu tidak ada akar yang sebenarnya.

Menjawab

Tidak ada akar yang nyata. Akar kompleks:
;
;
.

Dengan program matematika ini Anda bisa menyelesaikan persamaan kuadrat.

Program ini tidak hanya memberikan jawaban atas permasalahan, tetapi juga menampilkan proses penyelesaian dalam dua cara:
- menggunakan diskriminan
- menggunakan teorema Vieta (jika memungkinkan).

Selain itu, jawabannya ditampilkan sebagai jawaban yang tepat, bukan perkiraan.
Misalnya untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\) jawabannya ditampilkan dalam bentuk berikut:

Program ini mungkin berguna bagi siswa sekolah menengah atas di sekolah menengah sebagai persiapan tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan demikian, Anda dapat melakukan pembinaan sendiri dan/atau pembinaan adik-adik Anda, sehingga tingkat pendidikan di bidang pemecahan masalah semakin meningkat.

Jika Anda belum memahami aturan memasukkan polinomial kuadrat, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Aturan untuk memasukkan polinomial kuadrat

Huruf Latin apa pun dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dll.

Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Lebih-lebih lagi, bilangan pecahan dapat dimasukkan tidak hanya sebagai desimal, tetapi juga sebagai pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dapat dipisahkan dari bagian bilangan bulat dengan tanda titik atau koma.
Misalnya, Anda bisa masuk desimal seperti ini: 2,5x - 3,5x^2

Aturan memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat suatu pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif.

Saat masuk pecahan numerik Pembilangnya dipisahkan dari penyebutnya dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, ketika menyelesaikan persamaan kuadrat, ekspresi yang diperkenalkan disederhanakan terlebih dahulu.
Misalnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Persamaan kuadrat tidak lengkap

Masing-masing persamaan
\(-x^2+6x+1,4=0, \kuad 8x^2-7x=0, \kuad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
seperti
\(kapak^2+bx+c=0, \)
dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah bilangan.
Pada persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1,4, pada persamaan kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, pada persamaan ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat.

Definisi.
Persamaan kuadrat disebut persamaan berbentuk ax 2 +bx+c=0, dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan \(a \neq 0 \).

Angka a, b dan c merupakan koefisien persamaan kuadrat. Bilangan a disebut koefisien pertama, bilangan b disebut koefisien kedua, dan bilangan c disebut suku bebas.

Pada setiap persamaan berbentuk ax 2 +bx+c=0, dimana \(a\neq 0\), pangkat terbesar dari variabel x adalah kuadrat. Oleh karena itu namanya: persamaan kuadrat.

Perhatikan bahwa persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena ruas kirinya adalah polinomial derajat kedua.

Persamaan kuadrat yang koefisien x 2 sama dengan 1 disebut persamaan kuadrat yang diberikan. Misalnya persamaan kuadrat yang diberikan adalah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \kuad x^2-6x=0, \kuad x^2-8=0 \)

Jika dalam suatu persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 paling sedikit salah satu koefisien b atau c sama dengan nol, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Jadi, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 merupakan persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang pertama b=0, yang kedua c=0, yang ketiga b=0 dan c=0.

Ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:
1) kapak 2 +c=0, di mana \(c \neq 0 \);
2) kapak 2 +bx=0, dimana \(b \neq 0 \);
3) kapak 2 =0.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan dari masing-masing jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), pindahkan suku bebasnya ke ruas kanan dan bagi kedua ruas persamaan tersebut dengan a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Panah Kanan x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Karena \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jika \(-\frac(c)(a)>0\), maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.

Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 dengan \(b \neq 0 \) faktorkan ruas kirinya dan peroleh persamaannya
\(x(ax+b)=0 \Panah Kanan \kiri\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \kanan. \Panah Kanan \kiri\( \mulai (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan.

Artinya persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) selalu mempunyai dua akar.

Persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 =0 ekuivalen dengan persamaan x 2 =0 dan oleh karena itu mempunyai akar tunggal 0.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita bahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang koefisien variabel yang tidak diketahui dan suku bebasnya bukan nol.

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kita mendapatkan rumus akar-akarnya. Rumus ini kemudian dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

Selesaikan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0

Membagi kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi yang ekuivalen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Mari kita ubah persamaan ini dengan memilih kuadrat binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\kanan)^2- \kiri(\frac(b)(2a)\kanan)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Panah Kanan \)

Ekspresi radikal disebut diskriminan persamaan kuadrat kapak 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - diskriminator). Dilambangkan dengan huruf D, yaitu.
\(D = b^2-4ac\)

Sekarang, dengan menggunakan notasi diskriminan, kita menulis ulang rumus akar-akar persamaan kuadrat:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), dimana \(D= b^2-4ac \)

Jelas sekali bahwa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai satu akar \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Jadi, bergantung pada nilai diskriminannya, persamaan kuadrat dapat mempunyai dua akar (untuk D > 0), satu akar (untuk D = 0) atau tidak mempunyai akar (untuk D Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan ini rumusnya, disarankan untuk melakukan cara berikut:
1) menghitung diskriminan dan membandingkannya dengan nol;
2) jika diskriminan positif atau sama dengan nol, gunakan rumus akar; jika diskriminan negatif, tuliskan tidak ada akar.

teorema Vieta

Persamaan kuadrat kapak 2 -7x+10=0 mempunyai akar-akar 2 dan 5. Jumlah akar-akarnya adalah 7, dan hasil kali adalah 10. Kita melihat bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua yang diambil dari tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Setiap persamaan kuadrat tereduksi yang mempunyai akar-akar mempunyai sifat ini.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat di atas sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas.

Itu. Teorema Vieta menyatakan bahwa akar-akar x 1 dan x 2 persamaan kuadrat tereduksi x 2 +px+q=0 mempunyai sifat:
\(\kiri\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \kanan. \)

Saya berharap setelah mempelajari artikel ini Anda dapat mempelajari cara mencari akar-akar persamaan kuadrat lengkap.

Dengan menggunakan diskriminan, hanya persamaan kuadrat lengkap yang diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, metode lain digunakan, yang dapat Anda temukan di artikel “Menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap.”

Persamaan kuadrat apa yang disebut lengkap? Ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, dimana koefisien a, b dan c tidak sama dengan nol. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, kita perlu menghitung diskriminan D.

D = b 2 – 4ac.

Tergantung pada nilai diskriminannya, kami akan menuliskan jawabannya.

Jika diskriminannya adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminannya nol, maka x = (-b)/2a. Ketika diskriminan nomor positif(D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Misalnya. Selesaikan persamaannya x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawaban: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawaban: tidak ada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawaban: – 3,5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadrat lengkap menggunakan diagram pada Gambar 1.

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun. Anda hanya perlu berhati-hati persamaannya ditulis sebagai polinomial tampilan standar

A x 2 + bx + c, jika tidak, Anda mungkin membuat kesalahan. Misalnya, saat menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda mungkin salah menentukannya

a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan persamaan tersebut mempunyai dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat solusi contoh 2 di atas).

Oleh karena itu, jika persamaan tersebut tidak ditulis sebagai polinomial bentuk standar, maka persamaan kuadrat lengkap harus ditulis terlebih dahulu sebagai polinomial bentuk standar (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, yaitu A x 2 , lalu dengan lebih sedikit – bx dan kemudian menjadi anggota gratis Dengan.

Saat menyelesaikan persamaan kuadrat tereduksi dan persamaan kuadrat dengan koefisien genap pada suku kedua, Anda dapat menggunakan rumus lain. Mari berkenalan dengan rumus-rumus ini. Jika dalam persamaan kuadrat lengkap koefisien pada suku kedua genap (b = 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan rumus yang diberikan pada diagram pada Gambar 2.

Persamaan kuadrat lengkap disebut tereduksi jika koefisiennya di x 2 sama dengan satu dan persamaannya berbentuk x 2 + piksel + q = 0. Persamaan seperti itu dapat diberikan untuk diselesaikan, atau dapat diperoleh dengan membagi semua koefisien persamaan dengan koefisiennya A, berdiri di x 2 .

Gambar 3 menunjukkan diagram untuk menyelesaikan kuadrat tereduksi
persamaan. Mari kita lihat contoh penerapan rumus yang dibahas pada artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaannya

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram di Gambar 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3

Dapat diketahui bahwa koefisien x pada persamaan ini bilangan genap, yaitu b = 6 atau b = 2k, maka k = 3. Maka mari kita coba menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan rumus yang diberikan pada diagram gambar D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3. Perhatikan bahwa semua koefisien dalam persamaan kuadrat ini habis dibagi 3 dan dengan melakukan pembagian tersebut, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan rumus kuadrat tereduksi
persamaan gambar 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang Anda lihat, saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang berbeda, kami mendapatkan jawaban yang sama. Oleh karena itu, setelah menguasai rumus-rumus yang ditunjukkan pada diagram pada Gambar 1 secara menyeluruh, Anda akan selalu dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Transformasi persamaan kuadrat lengkap menjadi persamaan kuadrat tidak lengkap terlihat seperti ini (untuk kasus \(b=0\)):

Untuk kasus ketika \(c=0\) atau ketika kedua koefisien sama dengan nol, semuanya serupa.

Harap dicatat bahwa tidak ada pertanyaan tentang \(a\) yang sama dengan nol; ia tidak bisa sama dengan nol, karena dalam kasus ini ia akan berubah menjadi :

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap.

Pertama-tama, Anda perlu memahami bahwa persamaan kuadrat tidak lengkap masih berupa , dan oleh karena itu dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan kuadrat biasa (melalui ). Untuk melakukan ini, kita cukup menambahkan komponen persamaan yang hilang dengan koefisien nol.

Contoh : Cari akar-akar persamaan \(3x^2-27=0\)
Larutan :

Menjawab : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Contoh : Mencari akar-akar persamaan \(-x^2+x=0\)
Larutan :

Deskripsi bibliografi: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode penyelesaian persamaan kuadrat // Ilmuwan muda. 2016. No.6.1. Hal.17-20..02.2019).



Proyek kami adalah tentang cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Tujuan proyek: belajar menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara yang tidak termasuk dalam kurikulum sekolah. Tugas: temukan semuanya cara yang mungkin menyelesaikan persamaan kuadrat dan mempelajari cara menggunakannya sendiri serta memperkenalkan metode ini kepada teman sekelas Anda.

Apa itu “persamaan kuadrat”?

Persamaan kuadrat- persamaan bentuk kapak2 + bx + c = 0, Di mana A, B, C- beberapa nomor ( sebuah ≠ 0), X- tidak dikenal.

Bilangan a, b, c disebut koefisien persamaan kuadrat.

• a disebut koefisien pertama;
• b disebut koefisien kedua;
• c - anggota gratis.

Siapa yang pertama kali “menemukan” persamaan kuadrat?

Beberapa teknik aljabar untuk menyelesaikan persamaan linier dan kuadrat telah dikenal 4000 tahun yang lalu di Babilonia Kuno. Penemuan tablet tanah liat Babilonia kuno, yang berasal dari antara tahun 1800 dan 1600 SM, memberikan bukti paling awal tentang studi persamaan kuadrat. Tablet yang sama berisi metode untuk menyelesaikan jenis persamaan kuadrat tertentu.

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya persamaan derajat pertama, tetapi juga derajat kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas. bidang tanah dan dengan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri.

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya. Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum menyelesaikan persamaan kuadrat.

Matematikawan Babilonia sekitar abad ke-4 SM. menggunakan metode komplemen kuadrat untuk menyelesaikan persamaan dengan akar positif. Sekitar 300 SM Euclid menemukan metode solusi geometri yang lebih umum. Matematikawan pertama yang menemukan solusi persamaan dengan akar negatif dalam bentuk rumus aljabar adalah seorang ilmuwan India Brahmagupta(India, abad ke-7 M).

Brahmagupta menetapkan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

kapak2 + bx = c, a>0

Koefisien dalam persamaan ini juga bisa negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Kompetisi publik dalam memecahkan masalah-masalah sulit adalah hal biasa di India. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi tersebut: “Seperti matahari menutupi bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang terpelajar akan menutupi kejayaannya. majelis rakyat, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Dalam sebuah risalah aljabar Al-Khawarizmi klasifikasi persamaan linier dan kuadrat diberikan. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu ax2 = bx.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu ax2 = c.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu ax2 = c.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu ax2 + c = bx.

5) “Kuadrat dan akar-akar sama dengan bilangan tersebut,” yaitu ax2 + bx = c.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c == ax2.

Bagi Al-Khwarizmi yang menghindari konsumsi angka negatif, suku-suku dari masing-masing persamaan ini adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis memaparkan metode penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan teknik al-jabr dan al-mukabal. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi murni retoris, perlu dicatat, misalnya, ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama, Al-Khorezmi, seperti semua ahli matematika hingga abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena dalam praktik tertentu tidak masalah dalam tugas. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan aturan penyelesaiannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometrinya.

Bentuk-bentuk penyelesaian persamaan kuadrat mengikuti model Al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam “Kitab Sempoa” yang ditulis pada tahun 1202. matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif.

Buku ini berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari buku ini digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 14-17. Peraturan umum penyelesaian persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2 + bх = с untuk semua kemungkinan kombinasi tanda dan koefisien b, c dirumuskan di Eropa pada tahun 1544. M.Stiefel.

Derivasi rumus penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Viète, tetapi Viète hanya mengenali akar-akar positif. matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. terima kasih atas usahanya Girard, Descartes, Newton dan lain-lain cara ilmuwan penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Mari kita lihat beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat.

Metode standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dari kurikulum sekolah:

1. Memfaktorkan ruas kiri persamaan.
2. Metode untuk memilih persegi lengkap.
3. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus.
4. Solusi grafis dari persamaan kuadrat.
5. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.

Mari kita membahas lebih detail tentang penyelesaian persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi menggunakan teorema Vieta.

Ingatlah bahwa untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di atas, cukup mencari dua bilangan yang hasil kali suku bebasnya sama, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua yang bertanda berlawanan.

Contoh.X 2 -5x+6=0

Anda perlu mencari bilangan yang hasil perkaliannya 6 dan jumlahnya 5. Bilangan tersebut adalah 3 dan 2.

Jawaban: x 1 =2,x 2 =3.

Namun Anda juga dapat menggunakan metode ini untuk persamaan dengan koefisien pertama tidak sama dengan satu.

Contoh.3x 2 +2x-5=0

Ambil koefisien pertama dan kalikan dengan suku bebas: x 2 +2x-15=0

Akar-akar persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang hasil perkaliannya sama dengan - 15, dan jumlahnya sama dengan - 2. Bilangan-bilangan tersebut adalah 5 dan 3. Untuk mencari akar-akar persamaan awal, bagilah akar-akar yang dihasilkan dengan koefisien pertama.

Jawaban: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode “lempar”.

Perhatikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, di mana a≠0.

Mengalikan kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Misalkan ax = y, maka x = y/a; maka kita sampai pada persamaan y 2 + by + ac = 0, ekuivalen dengan persamaan yang diberikan. Kita mencari akarnya untuk 1 dan 2 menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita mendapatkan x 1 = y 1 /a dan x 2 = y 2 /a.

Dengan metode ini, koefisien a dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” ke sana, itulah sebabnya disebut metode “melempar”. Metode ini digunakan jika Anda dapat dengan mudah mencari akar persamaan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Mari kita “membuang” koefisien 2 ke suku bebas dan melakukan substitusi dan mendapatkan persamaan y 2 - 11y + 30 = 0.

Menurut teorema invers Vieta

kamu 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5;

Jawaban: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

Misalkan diberikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Jika a+ b + c = 0 (yaitu jumlah koefisien persamaan adalah nol), maka x 1 = 1.

2. Jika a - b + c = 0, atau b = a + c, maka x 1 = - 1.

Contoh.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Karena a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), maka x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Jawaban: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Contoh.132x 2 + 247x + 115 = 0

Karena a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), maka x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Jawaban: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Ada sifat lain dari koefisien persamaan kuadrat. namun penggunaannya lebih kompleks.

8. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.

Gambar 1. Nomogram

Ini adalah metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lama dan terlupakan, ditempatkan di halaman 83 dari koleksi: Bradis V.M. Empat digit tabel matematika. - M., Pendidikan, 1990.

Tabel XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan z 2 + pz + q = 0. Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan dari koefisiennya.

Skala lengkung nomogram dibuat sesuai dengan rumus (Gbr. 1):

Percaya OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), dari Gambar 1 persamaan segitiga SAN Dan CDF kita mendapatkan proporsinya

yang, setelah substitusi dan penyederhanaan, menghasilkan persamaan z 2 + pz + q = 0, dan surat itu z berarti tanda suatu titik pada skala melengkung.

Beras. 2 Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram

Contoh.

1) Untuk persamaan z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram memberikan akar z 1 = 8.0 dan z 2 = 1.0

Jawaban:8.0; 1.0.

2) Dengan menggunakan nomogram, kita selesaikan persamaannya

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaan z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram menghasilkan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0,5.

Jawaban: 4; 0,5.

9. Metode geometris menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh.X 2 + 10x = 39.

Dalam bahasa aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: “Kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39.”

Misalkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibuat pada sisi-sisinya sehingga sisi yang lain masing-masing adalah 2,5, sehingga luas masing-masingnya adalah 2,5x. Gambar yang dihasilkan kemudian dijumlahkan dengan persegi ABCD baru, dengan membuat empat persegi sama besar di sudut-sudutnya, masing-masing sisinya 2,5, dan luasnya 6,25

Beras. 3 Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan x 2 + 10x = 39

Luas S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas dari: persegi asli x 2, empat persegi panjang (4∙2.5x = 10x) dan empat persegi tambahan (6.25∙4 = 25), mis. S = x 2 + 10x = 25. Mengganti x 2 + 10x dengan bilangan 39, kita peroleh S = 39 + 25 = 64, artinya sisi persegi tersebut adalah ABCD, yaitu ruas AB = 8. Untuk sisi x yang diperlukan dari persegi asal kita peroleh

10. Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Bezout.

teorema Bezout. Sisa pembagian polinomial P(x) dengan binomial x - α sama dengan P(α) (yaitu, nilai P(x) pada x = α).

Jika bilangan α merupakan akar dari polinomial P(x), maka polinomial tersebut habis dibagi x -α tanpa sisa.

Contoh.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Bagilah P(x) dengan (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, atau x-3=0, x=3; Jawaban: x1 =2,x2 =3.

Kesimpulan: Kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cepat dan rasional sangat diperlukan untuk menyelesaikan lebih banyak persamaan kuadrat persamaan kompleks misalnya persamaan pecahan-rasional, persamaan derajat tinggi, persamaan bikuadrat, dan persamaan trigonometri, eksponensial, dan logaritma di SMA. Setelah mempelajari semua metode yang ditemukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kami dapat menyarankan teman sekelas kami, selain metode standar, untuk menyelesaikan dengan metode transfer (6) dan menyelesaikan persamaan menggunakan sifat koefisien (7), karena lebih mudah diakses. untuk memahami.

Literatur:

1. Bradis V.M. Tabel matematika empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
2. Aljabar kelas 8: buku teks untuk kelas 8. pendidikan umum institusi Makarychev Yu., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B.ed. S. A. Telyakovsky edisi ke-15, direvisi. - M.: Pendidikan, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. Panduan untuk guru. / Ed. V.N. Lebih muda. - M.: Pencerahan, 1964.