Cara menyederhanakan ekspresi aljabar. Cara menyederhanakan ekspresi matematika

Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan pangkat. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti tanda kurung buka dan membawa suku serupa. Dan kemudian kita akan menganalisis transformasi yang melekat secara khusus dalam ekspresi dengan derajat: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat-sifat derajat, dll.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi kekuatan?

Istilah “ekspresi kekuasaan” hampir tidak pernah digunakan buku pelajaran sekolah matematika, namun cukup sering muncul dalam kumpulan soal, terutama yang ditujukan untuk persiapan UN dan UN Unified State, misalnya. Setelah menganalisis tugas-tugas di mana perlu untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi pangkat, menjadi jelas bahwa ekspresi pangkat dipahami sebagai ekspresi yang mengandung pangkat dalam entrinya. Oleh karena itu, Anda dapat menerima sendiri definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung kekuatan.

Mari kita memberi contoh ekspresi kekuasaan. Selanjutnya akan kami sajikan menurut bagaimana perkembangan pandangan dari derajat yang berpangkat natural ke pangkat yang berpangkat riil terjadi.

Seperti diketahui, pertama-tama kita mengenal pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami; pada tahap ini, ekspresi pangkat paling sederhana pertama dari jenis 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 muncul −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan bilangan bulat kekuatan negatif, seperti berikut: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Di sekolah menengah mereka kembali ke gelar. Di sana derajat dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang memerlukan munculnya ekspresi pangkat yang sesuai: , , dan seterusnya. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus ke dalam eksponen, dan, misalnya, muncul ekspresi berikut: 2 x 2 +1 atau . Dan setelah mengenal , ekspresi dengan pangkat dan logaritma mulai muncul, misalnya x 2·lgx −5·x lgx.

Jadi, kita telah membahas pertanyaan tentang apa yang diwakili oleh ekspresi kekuasaan. Selanjutnya kita akan belajar mengubahnya.

Tipe dasar transformasi ekspresi pangkat

Dengan ekspresi pangkat, Anda dapat melakukan transformasi identitas dasar ekspresi apa pun. Misalnya, Anda dapat memperluas tanda kurung, menggantinya ekspresi numerik nilai-nilai mereka, memberikan istilah serupa, dll. Secara alami, dalam hal ini, perlu mengikuti prosedur yang diterima dalam melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 −12) .

Larutan.

Menurut urutan pelaksanaan tindakan, pertama-tama lakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kita mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (jika perlu, lihat), dan kedua, kita menghitung selisihnya 16−12=4. Kita punya 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kita mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8, setelah itu kita menghitung hasil kali 8·4=32. Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Menjawab:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi dengan pangkat 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Larutan.

Jelas sekali, ungkapan ini mengandung suku-suku serupa 3·a 4 ·b −7 dan 2·a 4 ·b −7 , dan kita dapat menyajikannya: .

Menjawab:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Contoh.

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Larutan.

Anda dapat mengatasi tugas tersebut dengan menyatakan angka 9 sebagai pangkat 3 2 dan kemudian menggunakan rumus perkalian yang disingkat - selisih kuadrat:

Menjawab:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat secara khusus pada ekspresi kekuasaan. Kami akan menganalisisnya lebih lanjut.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada derajat yang basis dan/atau eksponennya bukan sekadar angka atau variabel, melainkan beberapa ekspresi. Sebagai contoh, kami memberikan entri (2+0.3·7) 5−3.7 dan (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi seperti itu, Anda dapat mengganti ekspresi dasar derajat dan ekspresi eksponen dengan ekspresi identik yang sama dalam ODZ variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat mengubah basis derajat dan eksponen secara terpisah. Jelas bahwa sebagai hasil transformasi ini akan diperoleh ekspresi yang identik dengan ekspresi aslinya.

Transformasi seperti itu memungkinkan kita menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita perlukan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat yang disebutkan di atas (2+0.3 7) 5−3.7, Anda dapat melakukan operasi dengan bilangan dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda berpindah ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa ke dasar derajat (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) kita memperoleh ekspresi pangkat lebih banyak tipe sederhana sebuah 2·(x+1) .

Menggunakan Properti Derajat

Salah satu alat utama untuk mentransformasikan ekspresi dengan kekuatan adalah kesetaraan yang mencerminkan . Mari kita ingat yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b serta bilangan real sembarang r dan s, sifat-sifat pangkat berikut ini benar:

• a r ·as =ar+s ;
• sebuah r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:br ;
• (a r) s =a r·s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, bilangan bulat, dan positif, batasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya untuk bilangan asli m dan n persamaan am ·a n =am+n berlaku tidak hanya untuk a positif, tetapi juga untuk a negatif, dan untuk a=0.

Di sekolah, ketika mentransformasikan ekspresi pangkat, fokus utamanya adalah pada kemampuan memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan properti derajat digunakan tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis pangkat - kisaran nilai variabel yang diizinkan biasanya sedemikian rupa sehingga basisnya hanya diambil nilai-nilai positif, yang memungkinkan Anda menggunakan properti derajat secara bebas. Secara umum, Anda perlu terus-menerus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin menggunakan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan nilai pendidikan dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan properti derajat. Di sini kita akan membatasi diri untuk mempertimbangkan beberapa contoh sederhana.

Contoh.

Nyatakan persamaan a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 sebagai pangkat dengan basis a.

Larutan.

Pertama, kita transformasikan faktor kedua (a 2) −3 menggunakan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ekspresi pangkat asli akan berbentuk a 2.5 ·a −6:a −5.5. Jelasnya, tetap menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian pangkat dengan basis yang sama, yang kita miliki
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Menjawab:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Sifat-sifat pangkat saat mentransformasikan ekspresi pangkat digunakan baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi pangkat.

Larutan.

Persamaan (a·b) r =a r ·b r, diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan kita berpindah dari ekspresi asli ke hasil kali bentuk dan selanjutnya. Dan ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan: .

Ekspresi aslinya dapat diubah dengan cara lain:

Menjawab:

.

Contoh.

Diketahui persamaan pangkat a 1.5 −a 0.5 −6, masukkan variabel baru t=a 0.5.

Larutan.

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai a 0,5 3 dan kemudian, berdasarkan sifat derajat ke derajat (ar) s =ar s, diterapkan dari kanan ke kiri, ubah menjadi bentuk (a 0,5) 3. Dengan demikian, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5, kita mendapatkan t 3 −t−6.

Menjawab:

t 3 −t−6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung pangkat

Ekspresi pangkat dapat memuat atau mewakili pecahan yang mempunyai pangkat. Transformasi dasar pecahan apa pun yang melekat pada pecahan apa pun dapat diterapkan sepenuhnya pada pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung pangkat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, dikerjakan secara terpisah dengan pembilangnya dan terpisah dengan penyebutnya, dan seterusnya. Untuk mengilustrasikan kata-kata ini, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi kekuatan .

Larutan.

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilangnya kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan menggunakan sifat-sifat pangkat, dan di penyebut kami menyajikan suku-suku serupa:

Dan mari kita ubah juga tanda penyebutnya dengan memberi tanda minus di depan pecahan: .

Menjawab:

.

Pengurangan pecahan yang mengandung pangkat menjadi penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti mereduksi pecahan rasional menjadi penyebut baru. Dalam hal ini, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang serta penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan ODZ. Untuk mencegah hal ini terjadi, faktor tambahan harus tidak menjadi nol untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi aslinya.

Contoh.

Kurangi pecahan menjadi penyebut baru: a) menjadi penyebut a, b) ke penyebutnya.

Larutan.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui pengganda tambahan mana yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah pengali dari a 0,3, karena a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), pangkat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kita berhak mengalikan pembilang dan penyebut suatu bilangan tertentu. pecahan dengan faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat penyebutnya, Anda dapat menemukannya

dan mengalikan ekspresi ini dengan akan menghasilkan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang perlu kita kurangi pecahan aslinya.

Inilah cara kami menemukan faktor tambahan. Dalam rentang nilai yang diperbolehkan dari variabel x dan y, ekspresi tersebut tidak hilang, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu:

Menjawab:

A) , B) .

Juga bukan hal baru dalam mereduksi pecahan yang mengandung pangkat: pembilang dan penyebutnya direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebutnya sama.

Contoh.

Kurangi pecahan: a) , B) .

Larutan.

a) Pertama, pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yaitu sama dengan 15. Jelas juga dimungkinkan untuk melakukan pengurangan sebesar x 0,5 +1 dan sebesar . Inilah yang kami miliki:

b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebutnya tidak langsung terlihat sama. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari memfaktorkan penyebutnya menggunakan rumus selisih kuadrat:

Menjawab:

A)

B) .

Mengonversi pecahan menjadi penyebut baru dan mereduksi pecahan terutama digunakan untuk mengerjakan sesuatu dengan pecahan. Tindakan dilakukan sesuai dengan aturan yang diketahui. Saat menjumlahkan (mengurangi) pecahan, pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya dijumlahkan (dikurangi), tetapi penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya merupakan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Contoh.

Ikuti langkah-langkahnya .

Larutan.

Pertama, kita kurangi pecahan dalam tanda kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu , setelah itu kita kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahannya:

Jelasnya, kita bisa menguranginya dengan pangkat x 1/2, setelah itu kita punya .

Anda juga dapat menyederhanakan persamaan pangkat pada penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Menjawab:

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Kekuatan .

Larutan.

Jelasnya, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, sehingga menghasilkan pecahan . Jelas bahwa ada hal lain yang perlu dilakukan dengan kekuatan X. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk memanfaatkan sifat membagi kekuasaan dengan alasan yang sama: . Dan di akhir proses kita berpindah dari hasil kali terakhir ke pecahan.

Menjawab:

.

Dan mari kita tambahkan juga bahwa adalah mungkin, dan dalam banyak kasus diinginkan, untuk memindahkan faktor-faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang, dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering kali menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi pangkat dapat diganti dengan .

Mengonversi ekspresi dengan akar dan pangkat

Seringkali, dalam ekspresi yang memerlukan beberapa transformasi, akar dengan eksponen pecahan juga terdapat bersama dengan pangkat. Untuk mengubah ekspresi seperti itu menjadi tipe yang tepat, dalam banyak kasus, cukup hanya sampai ke akar atau hanya ke kekuasaan. Tapi karena lebih nyaman bekerja dengan kekuatan, mereka biasanya berpindah dari akar ke kekuatan. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti akar dengan pangkat tanpa perlu merujuk ke modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kita membahas ini secara rinci di artikel transisi dari akar ke pangkat dan kembali Setelah mengenal derajat dengan eksponen rasional, derajat dengan eksponen irasional diperkenalkan, yang memungkinkan kita berbicara tentang derajat dengan eksponen nyata yang berubah-ubah dipelajari di sekolah. Fungsi eksponensial , yang secara analitis diberikan oleh suatu pangkat, yang basisnya adalah bilangan, dan eksponennya adalah variabel. Jadi kita dihadapkan pada ekspresi pangkat yang berisi angka-angka dalam basis pangkat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja ada kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan ketika menyelesaikan persamaan eksponensial Dan ketidaksetaraan eksponensial, dan konversi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, hal ini didasarkan pada sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan ini akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pertama, pangkat, yang eksponennya merupakan jumlah dari variabel tertentu (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, diganti dengan hasil kali. Hal ini berlaku untuk suku pertama dan suku terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Selanjutnya kedua ruas persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x, yang pada ODZ variabel x untuk persamaan awal hanya mengambil nilai positif (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, kami tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang kita bisa menghilangkan pecahan dengan pangkat yang memberi .

Terakhir, rasio pangkat dengan eksponen yang sama diganti dengan pangkat hubungan, sehingga menghasilkan persamaan , yang setara . Transformasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk memperkenalkan variabel baru, yang mereduksi solusi menjadi aslinya persamaan eksponensial untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut hingga hari ini; komunitas ilmiah belum dapat mencapai konsensus tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru dilibatkan dalam studi masalah ini ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya mengerti, peralatan aplikasi matematika unit variabel pengukurannya belum dikembangkan atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penggunaan kita logika biasa membawa kita ke dalam perangkap. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.

Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ternyata tidak solusi lengkap Masalah. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan menyelesaikan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil poin yang berbeda ruang pada satu titik waktu, tetapi tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakan darinya (tentu saja, data tambahan masih diperlukan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Apa yang ingin saya tunjukkan Perhatian khusus, apakah dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang merupakan hal yang berbeda sehingga tidak boleh tertukar, karena memberikan peluang penelitian yang berbeda.

Rabu, 4 Juli 2018

Perbedaan antara himpunan dan multiset dijelaskan dengan sangat baik di Wikipedia. Mari kita lihat.

Seperti yang Anda lihat, “tidak mungkin ada dua elemen yang identik dalam satu himpunan”, tetapi jika ada elemen yang identik dalam suatu himpunan, himpunan tersebut disebut “multiset”. Makhluk berakal tidak akan pernah memahami logika absurd seperti itu. Ini adalah level burung beo yang bisa berbicara dan monyet terlatih, yang tidak memiliki kecerdasan dari kata “sepenuhnya”. Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengajarkan kepada kita ide-ide absurd mereka.

Suatu ketika, para insinyur yang membangun jembatan berada di perahu di bawah jembatan saat menguji jembatan tersebut. Jika jembatan itu runtuh, insinyur biasa-biasa saja itu mati di bawah reruntuhan ciptaannya. Jika jembatan itu mampu menahan beban, insinyur berbakat itu membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana ahli matematika bersembunyi di balik ungkapan "ingatlah, saya ada di rumah", atau lebih tepatnya, "matematika mempelajari konsep-konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan konsep-konsep tersebut dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika pada ahli matematika itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di depan kasir, membagikan gaji. Jadi seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan menaruhnya di meja kami dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami menaruh uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kita mengambil satu lembar uang dari setiap tumpukan dan memberikan “gaji matematis” kepada ahli matematika tersebut. Mari kita jelaskan kepada ahli matematika bahwa dia akan menerima sisa uang hanya jika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: “Ini bisa diterapkan pada orang lain, tapi tidak pada saya!” Kemudian mereka akan mulai meyakinkan kita bahwa ada uang kertas dengan pecahan yang sama nomor yang berbeda tagihan, yang berarti mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Oke, mari kita hitung gaji dalam koin - tidak ada angka pada koin tersebut. Di sini ahli matematika akan mulai mengingat fisika dengan panik: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom unik untuk setiap koin...

Dan sekarang saya memiliki yang paling banyak minat Tanya: di manakah garis yang diluarnya unsur-unsur suatu himpunan banyak berubah menjadi unsur-unsur suatu himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains bahkan tidak bisa berbohong di sini.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama - artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita lihat nama-nama stadion yang sama ini, kita mendapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama merupakan himpunan dan multiset. Yang mana yang benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-tajam mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang himpunan atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, menghubungkannya dengan kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: apa perbedaan unsur-unsur suatu himpunan dengan unsur-unsur himpunan lainnya? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "yang dapat dibayangkan sebagai bukan satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Penjumlahan angka-angka suatu bilangan merupakan tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan dan menggunakannya, tapi itulah mengapa mereka menjadi dukun, untuk mengajari keturunannya keterampilan dan kebijaksanaannya, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah digit suatu bilangan". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dapat digunakan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan. Bagaimanapun, bilangan adalah simbol grafik yang kita gunakan untuk menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya adalah seperti ini: “Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili bilangan apa pun.” Matematikawan tidak bisa memecahkan masalah ini, tapi dukun bisa menyelesaikannya dengan mudah.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana yang kita lakukan untuk menemukan jumlah digit suatu bilangan. Jadi, mari kita punya bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah angka-angka dari bilangan tersebut? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tuliskan nomor tersebut pada selembar kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengubah angka tersebut menjadi simbol angka grafis. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang dihasilkan menjadi beberapa gambar yang berisi nomor individual. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah simbol grafik individual menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Nah, itu matematika.

Jumlah digit angka 12345 adalah 15. Inilah “kursus memotong dan menjahit” yang diajarkan oleh dukun yang digunakan para ahli matematika. Tapi itu belum semuanya.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah dalam sistem bilangan mana kita menulis suatu bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. DENGAN jumlah yang besar 12345 Gak mau membodohi kepalaku, mari kita lihat nomor 26 dari artikel tentang . Mari kita tuliskan bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter, Anda akan mendapatkan hasil yang sangat berbeda.

Nol terlihat sama di semua sistem bilangan dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta itu. Pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana sesuatu yang bukan bilangan dinyatakan dalam matematika? Apa, bagi ahli matematika, tidak ada yang ada kecuali angka? Saya mengizinkan hal ini terjadi pada dukun, tetapi tidak pada ilmuwan. Realitas bukan hanya soal angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak bisa membandingkan angka-angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan satuan pengukuran yang berbeda dari besaran yang sama menghasilkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil operasi matematika tidak bergantung pada besar kecilnya bilangan, satuan pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan tersebut.

Oh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa-jiwa yang tidak fana selama kenaikan mereka ke surga! Halo di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Perempuan... Lingkaran cahaya di atas dan panah di bawah adalah laki-laki.

Jika karya seni desain seperti itu muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Saya pribadi berusaha melihat minus empat derajat pada orang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, sebutan derajat). Dan menurutku gadis ini bukanlah orang bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip yang kuat dalam melihat gambar grafis. Dan para ahli matematika selalu mengajari kita hal ini. Berikut ini contohnya.

1A bukan “minus empat derajat” atau “satu a”. Ini adalah "pooping man" atau angka "dua puluh enam" dalam notasi heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem bilangan ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

SAYA. Ekspresi yang menggunakan angka, simbol aritmatika, dan tanda kurung bersama dengan huruf disebut ekspresi aljabar.

Contoh ekspresi aljabar:

2m -n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); sebuah 2 – 2ab;

Karena huruf dalam ekspresi aljabar dapat diganti dengan beberapa nomor yang berbeda, maka huruf tersebut disebut variabel, dan ekspresi aljabar itu sendiri disebut ekspresi dengan variabel.

II. Jika dalam ekspresi aljabar huruf (variabel) diganti dengan nilainya dan tindakan tertentu dilakukan, maka bilangan yang dihasilkan disebut nilai ekspresi aljabar.

Contoh. Temukan arti dari ungkapan:

1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |kamu| -|z| pada x = -8; kamu = -5; z = 6.

Larutan.

1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3,5. Alih-alih variabel, mari kita substitusikan nilainya. Kita mendapatkan:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |kamu| -|z| pada x = -8; kamu = -5; z = 6. Gantikan nilai yang ditunjukkan. Ingatlah bahwa modul angka negatif sama dengan bilangan lawannya, dan modul nomor positif sama dengan angka ini sendiri. Kita mendapatkan:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

AKU AKU AKU. Nilai huruf (variabel) yang ekspresi aljabarnya masuk akal disebut nilai huruf (variabel) yang diperbolehkan.

Contoh. Untuk nilai variabel apa ekspresi tersebut tidak masuk akal?

Larutan. Kita tahu bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol, oleh karena itu, masing-masing ekspresi ini tidak masuk akal mengingat nilai huruf (variabel) yang mengubah penyebut pecahan menjadi nol!

Pada contoh 1) nilainya adalah a = 0. Memang, jika Anda mengganti 0 dengan a, maka Anda perlu membagi angka 6 dengan 0, tetapi hal ini tidak dapat dilakukan. Jawaban: ekspresi 1) tidak masuk akal jika a = 0.

Pada contoh 2) penyebut x adalah 4 = 0 pada x = 4, maka nilai x = 4 ini tidak dapat diambil. Jawaban: ekspresi 2) tidak masuk akal jika x = 4.

Pada contoh 3) penyebutnya adalah x + 2 = 0 jika x = -2. Jawaban: ekspresi 3) tidak masuk akal jika x = -2.

Pada contoh 4) penyebutnya adalah 5 -|x| = 0 untuk |x| = 5. Dan sejak |5| = 5 dan |-5| = 5, maka x = 5 dan x = -5 tidak dapat diambil. Jawaban: ekspresi 4) tidak masuk akal pada x = -5 dan pada x = 5.
IV. Dua ekspresi dikatakan sama identik jika, untuk setiap nilai variabel yang diperbolehkan, nilai yang bersesuaian dari ekspresi tersebut adalah sama.

Contoh: 5 (a – b) dan 5a – 5b juga sama, karena persamaan 5 (a – b) = 5a – 5b berlaku untuk sembarang nilai a dan b. Persamaan 5 (a – b) = 5a – 5b merupakan suatu identitas.

Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai yang diperbolehkan dari variabel-variabel yang termasuk di dalamnya. Contoh identitas yang sudah Anda ketahui misalnya sifat penjumlahan dan perkalian, serta sifat distributif.

Mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik sama disebut transformasi identitas atau sekadar transformasi ekspresi. Transformasi identik ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi bilangan.

Contoh.

A) ubah ekspresi menjadi sama identik menggunakan sifat distributif perkalian:

1) 10·(1,2x + 2,3 tahun); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Larutan. Mari kita mengingat kembali sifat distributif (hukum) perkalian:

(a+b)c=ac+bc(hukum perkalian distributif relatif terhadap penjumlahan: untuk mengalikan jumlah dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan setiap suku dengan bilangan ini dan menjumlahkan hasilnya).
(a-b) c=a c-b c(hukum perkalian distributif relatif terhadap pengurangan: untuk mengalikan selisih dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan minuend dan mengurangi dengan bilangan ini secara terpisah dan mengurangkan bilangan kedua dari hasil pertama).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 06.00 -2an +ak.

B) ubah ekspresi menjadi sama identik, menggunakan sifat komutatif dan asosiatif (hukum) penjumlahan:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a+2.1)+7.8; 6) 5,4 detik -3 -2,5 -2,3 detik.

Larutan. Mari kita terapkan hukum (sifat) penjumlahan:

a+b=b+a(komutatif: penataan ulang suku tidak mengubah jumlah).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatif: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua suku, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5,4 detik -3 -2,5 -2,3 detik = (5,4 detik -2,3 detik) + (-3 -2,5) = 3,1 detik -5,5.

V) Ubahlah persamaan tersebut menjadi persamaan identik menggunakan sifat komutatif dan asosiatif (hukum) perkalian:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2 detik.

Larutan. Mari kita terapkan hukum (sifat) perkalian:

a·b=b·a(komutatif: menata ulang faktor-faktor tidak mengubah hasil kali).
(a b) c=a (b c)(kombinatif: untuk mengalikan hasil kali dua bilangan dengan bilangan ketiga, Anda dapat mengalikan bilangan pertama dengan hasil kali bilangan kedua dan ketiga).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Jika suatu ekspresi aljabar diberikan dalam bentuk pecahan yang dapat direduksi, maka dengan menggunakan aturan pengurangan pecahan dapat disederhanakan, yaitu. gantikan dengan ekspresi sederhana yang sama.

Contoh. Sederhanakan dengan pengurangan pecahan.

Larutan. Mengurangi pecahan berarti membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan (ekspresi) yang sama, selain nol. Pecahan 10) akan dikurangi sebesar 3b; pecahan 11) akan dikurangi sebesar A dan pecahan 12) akan dikurangi sebesar 7n. Kita mendapatkan:

Ekspresi aljabar digunakan untuk membuat rumus.

Rumus adalah ekspresi aljabar yang ditulis sebagai persamaan dan menyatakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Contoh: rumus jalur lho s=vt(s - jarak tempuh, v - kecepatan, t - waktu). Ingat rumus lain yang Anda ketahui.

Halaman 1 dari 1 1

§ 1 Konsep menyederhanakan ekspresi literal

Dalam pelajaran ini, kita akan mengenal konsep “suku-suku sejenis” dan, dengan menggunakan contoh-contoh, kita akan belajar bagaimana melakukan pengurangan suku-suku serupa, sehingga menyederhanakan ekspresi literal.

Mari kita cari tahu arti dari konsep “penyederhanaan”. Kata penyederhanaan berasal dari kata penyederhanaan. Menyederhanakan berarti menyederhanakan, menyederhanakan. Oleh karena itu, menyederhanakan ekspresi literal berarti membuatnya lebih pendek, dengan jumlah minimal tindakan.

Perhatikan ekspresi 9x + 4x. Ini adalah ekspresi literal yang merupakan penjumlahan. Istilah-istilah di sini disajikan sebagai hasil kali angka dan huruf. Faktor numerik dari suku-suku tersebut disebut koefisien. Dalam persamaan ini, koefisiennya adalah angka 9 dan 4. Perlu diketahui bahwa faktor yang diwakili oleh huruf tersebut adalah sama pada kedua suku dari jumlah ini.

Mari kita mengingat kembali hukum distributif perkalian:

Untuk mengalikan suatu jumlah dengan suatu angka, Anda dapat mengalikan setiap suku dengan angka tersebut dan menjumlahkan hasil perkaliannya.

DI DALAM pandangan umum ditulis sebagai berikut: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Hukum ini berlaku pada kedua arah ac + bc = (a + b) ∙ c

Mari kita terapkan pada ekspresi literal kita: jumlah produk dari 9x dan 4x sama dengan produk yang faktor pertamanya sama dengan jumlah 9 dan 4, faktor kedua adalah x.

9 + 4 = 13, itu 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Alih-alih tiga tindakan dalam ekspresi, hanya ada satu tindakan yang tersisa - perkalian. Ini berarti bahwa kita telah membuat ekspresi literal kita menjadi lebih sederhana, yaitu. menyederhanakannya.

§ 2 Pengurangan istilah serupa

Suku 9x dan 4x hanya berbeda pada koefisiennya - suku seperti itu disebut serupa. Bagian huruf dari istilah serupa adalah sama. Istilah serupa juga mencakup angka dan istilah yang setara.

Misalnya, dalam ekspresi 9a + 12 - 15 suku yang serupa adalah bilangan 12 dan -15, dan dalam jumlah hasil kali 12 dan 6a, bilangan 14 dan hasil kali 12 dan 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) suku-suku sama yang diwakili oleh hasil kali 12 dan 6a.

Penting untuk dicatat bahwa suku-suku yang koefisiennya sama, tetapi faktor hurufnya berbeda, tidaklah serupa, meskipun terkadang berguna untuk menerapkan hukum perkalian distributif pada suku-suku tersebut, misalnya, jumlah hasil kali 5x dan 5y adalah sama dengan hasil kali bilangan 5 dan jumlah x dan y

5x + 5y = 5(x + y).

Mari kita sederhanakan persamaan -9a + 15a - 4 + 10.

Suku-suku yang serupa dalam hal ini adalah suku -9a dan 15a, karena hanya berbeda pada koefisiennya saja. Pengganda hurufnya sama, dan suku -4 dan 10 juga serupa, karena merupakan angka. Tambahkan istilah serupa:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Kami mendapatkan: 6a + 6.

Dengan menyederhanakan ekspresi, kami menemukan jumlah suku-suku serupa; dalam matematika ini disebut pengurangan suku-suku serupa.

Jika sulit untuk menambahkan istilah seperti itu, Anda dapat membuat kata untuknya dan menambahkan objek.

Misalnya, pertimbangkan ungkapan:

Untuk setiap huruf kita ambil objeknya masing-masing: b-apple, c-pear, maka kita mendapatkan: 2 apel dikurangi 5 pir ditambah 8 pir.

Bisakah kita mengurangi pir dari apel? Tentu saja tidak. Tapi kita bisa menambahkan 8 buah pir menjadi minus 5 buah pir.

Mari kita sajikan istilah serupa -5 pir + 8 pir. Suku-suku yang sejenis mempunyai bagian huruf yang sama, jadi ketika membawa suku-suku yang serupa cukup dengan menjumlahkan koefisiennya dan menambahkan bagian huruf pada hasilnya:

(-5 + 8) pir - Anda mendapat 3 buah pir.

Kembali ke ekspresi literal, kita mendapatkan -5 s + 8 s = 3 s. Jadi, setelah membawa suku-suku serupa, kita memperoleh ekspresi 2b + 3c.

Jadi, dalam pelajaran ini Anda mengenal konsep “suku-suku sejenis” dan belajar bagaimana menyederhanakan ekspresi huruf dengan mereduksi suku-suku serupa.

Daftar literatur bekas:

1. Matematika. Kelas 6: rencana pembelajaran untuk buku teks I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // penulis-kompiler L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematika. kelas 6: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan. I.I. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematika. kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan umum/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov dan lainnya/diedit oleh G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia, Akademi Pendidikan Rusia. M.: “Pencerahan”, 2010.
4. Matematika. Kelas 6: belajar untuk lembaga pendidikan umum/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. Matematika. kelas 6: buku teks/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Gambar yang digunakan:

Beberapa contoh aljabar saja dapat membuat takut anak sekolah. Ekspresi yang panjang tidak hanya mengintimidasi, tetapi juga membuat perhitungan menjadi sangat sulit. Mencoba untuk segera memahami apa yang mengikuti apa, tidak butuh waktu lama untuk menjadi bingung. Karena alasan inilah para matematikawan selalu berusaha menyederhanakan masalah yang “mengerikan” sebanyak mungkin dan baru kemudian mulai menyelesaikannya. Anehnya, trik ini mempercepat proses kerja secara signifikan.

Penyederhanaan adalah salah satu poin mendasar dalam aljabar. Jika dalam soal sederhana Anda masih dapat melakukannya tanpanya, maka contoh perhitungan yang lebih sulit mungkin akan menjadi terlalu sulit. Di sinilah keterampilan ini berguna! Selain itu, pengetahuan matematika yang rumit tidak diperlukan: cukup mengingat dan belajar menerapkan beberapa teknik dan rumus dasar dalam praktik.

Terlepas dari kerumitan perhitungannya, ini penting saat menyelesaikan ekspresi apa pun amati urutan melakukan operasi dengan angka:

1. tanda kurung;
2. eksponensial;
3. perkalian;
4. divisi;
5. tambahan;
6. pengurangan.

Dua poin terakhir dapat dengan mudah ditukar dan ini tidak akan mempengaruhi hasil sama sekali. Namun menjumlahkan dua bilangan yang berdekatan bila ada tanda perkalian di sebelah salah satunya dilarang keras! Jawabannya, jika ada, salah. Oleh karena itu, Anda perlu mengingat urutannya.

Penerapan serupa

Unsur-unsur tersebut meliputi bilangan-bilangan dengan variabel yang ordenya sama atau derajatnya sama. Ada juga yang disebut istilah bebas yang tidak memiliki sebutan huruf untuk hal yang tidak diketahui di sebelahnya.

Intinya tanpa adanya tanda kurung Anda dapat menyederhanakan ekspresi dengan menambahkan atau mengurangi yang serupa.

Beberapa contoh ilustrasi:

• 8x 2 dan 3x 2 - kedua bilangan mempunyai variabel orde kedua yang sama, sehingga sama dan jika dijumlahkan akan disederhanakan menjadi (8+3)x 2 =11x 2, sedangkan jika dikurangkan menjadi (8-3)x 2 =5x 2 ;
• 4x 3 dan 6x - dan di sini "x" memiliki derajat yang berbeda;
• 2y 7 dan 33x 7 - mengandung variabel yang berbeda, oleh karena itu, seperti pada kasus sebelumnya, keduanya tidak serupa.

Memfaktorkan suatu bilangan

Trik matematika kecil ini, jika Anda belajar menggunakannya dengan benar, akan lebih dari sekali membantu Anda mengatasi masalah rumit di masa depan. Dan tidak sulit untuk memahami cara kerja “sistem” tersebut: dekomposisi adalah produk dari beberapa elemen, yang perhitungannya menghasilkan nilai asli . Jadi 20 dapat direpresentasikan sebagai 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, atau cara lainnya.

Pada sebuah catatan: Faktor selalu sama dengan pembagi. Jadi, Anda perlu mencari “pasangan” yang berfungsi untuk penguraian di antara bilangan-bilangan yang bilangan aslinya habis dibagi tanpa sisa.

Operasi ini dapat dilakukan dengan suku bebas dan bilangan dalam variabel. Hal utama adalah jangan sampai kehilangan yang terakhir selama perhitungan - genap setelah dekomposisi, hal yang tidak diketahui tidak bisa “tidak kemana-mana”. Itu tetap di salah satu pengganda:

• 15x=3(5x);
• 60 tahun 2 =(15 tahun 2)4.

Bilangan prima yang hanya dapat dibagi sendiri atau 1 tidak pernah diperluas - tidak masuk akal.

Metode dasar penyederhanaan

Hal pertama yang menarik perhatian Anda:

• kehadiran tanda kurung;
• pecahan;
• akar.

Contoh aljabar di kurikulum sekolah sering kali ditulis dengan gagasan bahwa hal tersebut dapat disederhanakan dengan indah.

Perhitungan dalam tanda kurung

Perhatikan baik-baik tanda di depan tanda kurung! Perkalian atau pembagian diterapkan pada setiap elemen di dalamnya, dan tanda minus membalikkan tanda “+” atau “-” yang ada.

Tanda kurung dihitung menurut aturan atau menggunakan rumus perkalian yang disingkat, setelah itu diberikan rumus serupa.

Mengurangi Pecahan

Kurangi pecahan Ini juga mudah. Mereka sendiri “rela kabur” sesekali, begitu dilakukan operasi untuk mendatangkan anggota tersebut. Namun Anda dapat menyederhanakan contohnya bahkan sebelum itu: perhatikan pembilang dan penyebutnya. Mereka sering kali mengandung unsur-unsur eksplisit atau tersembunyi yang dapat direduksi bersama. Benar, jika dalam kasus pertama Anda hanya perlu mencoret yang tidak perlu, dalam kasus kedua Anda harus berpikir, membawa bagian dari ekspresi ke bentuk yang disederhanakan. Metode yang digunakan:

• mencari dan memberi tanda kurung pada yang terbesar pembagi persekutuan pada pembilang dan penyebutnya;
• membagi setiap elemen teratas dengan penyebutnya.

Ketika suatu ekspresi atau bagiannya berada di bawah root, tugas utama penyederhanaan hampir mirip dengan kasus pecahan. Penting untuk mencari cara untuk menghilangkannya sepenuhnya atau, jika tidak memungkinkan, meminimalkan tanda yang mengganggu perhitungan. Misalnya, hingga √(3) atau √(7) yang tidak mengganggu.

Jalan yang benar sederhanakan ekspresi radikal - coba faktorkan, beberapa di antaranya melampaui tanda tersebut. Sebuah contoh yang baik: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Trik dan nuansa kecil lainnya:

• operasi penyederhanaan ini dapat dilakukan dengan pecahan, menghilangkan tandanya baik secara keseluruhan maupun tersendiri sebagai pembilang atau penyebutnya;
• Sebagian dari jumlah atau selisih tersebut tidak dapat diperluas dan diambil melampaui akarnya;
• Saat bekerja dengan variabel, pastikan untuk memperhitungkan derajatnya, harus sama dengan atau kelipatan dari akarnya untuk kemungkinan penghapusan: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)=√(x 2 ×x)=x√(x);
• terkadang variabel radikal dapat dihilangkan dengan menaikkannya ke pangkat pecahan: √(y 3)=y 3/2.

Menyederhanakan Ekspresi Kekuatan

Jika dalam hal perhitungan sederhana dikurangi atau ditambah contohnya disederhanakan dengan mengutip persamaan, lalu apa yang harus dilakukan saat mengalikan atau membagi variabel dengan derajat yang berbeda? Mereka dapat dengan mudah disederhanakan dengan mengingat dua poin utama:

1. Jika ada tanda perkalian di antara variabel-variabel tersebut, maka pangkatnya akan dijumlahkan.
2. Jika keduanya dibagi satu sama lain, pangkat penyebut yang sama dikurangkan dari pangkat pembilangnya.

Satu-satunya syarat untuk penyederhanaan tersebut adalah bahwa kedua istilah tersebut mempunyai dasar yang sama. Contoh untuk kejelasan:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Kami mencatat bahwa operasi dengan nilai numerik di depan variabel terjadi sesuai dengan aturan matematika biasa. Dan jika Anda perhatikan lebih dekat, menjadi jelas bahwa elemen kekuatan dari ekspresi “bekerja” dengan cara yang sama:

• menaikkan suatu suku ke pangkat berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri beberapa kali, yaitu x 2 =x×x;
• pembagiannya serupa: jika Anda memperluas pangkat pembilang dan penyebut, maka beberapa variabel akan dibatalkan, sedangkan sisanya “dikumpulkan”, yang setara dengan pengurangan.

Seperti apa pun, menyederhanakan ekspresi aljabar tidak hanya memerlukan pengetahuan dasar, tetapi juga latihan. Setelah beberapa pelajaran saja, contoh-contoh yang tadinya tampak rumit akan dikurangi tanpa banyak kesulitan, berubah menjadi contoh-contoh yang singkat dan mudah dipecahkan.

Video

Video ini akan membantu Anda memahami dan mengingat bagaimana ekspresi disederhanakan.

Tidak mendapatkan jawaban atas pertanyaan Anda? Sarankan topik kepada penulis.