Kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Menemukan kelipatan persekutuan terkecil, metode, contoh mencari KPK

Mari pertimbangkan solusinya tugas berikutnya. Langkah anak laki-laki adalah 75 cm, dan langkah anak perempuan adalah 60 cm. Perlu dicari jarak terkecil dimana mereka berdua mengambil sejumlah langkah bilangan bulat.

Larutan. Seluruh jalur yang akan dilalui orang-orang tersebut harus habis dibagi 60 dan 70, karena mereka masing-masing harus menempuh jumlah langkah bilangan bulat. Dengan kata lain, jawabannya harus kelipatan 75 dan 60.

Pertama, kita tuliskan semua kelipatan bilangan 75. Kita peroleh:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Sekarang mari kita tuliskan bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan 60. Kita peroleh:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sekarang kita cari angka-angka yang ada di kedua baris.

Kelipatan bilangan yang umum adalah 300, 600, dst.

Yang terkecil adalah bilangan 300. Dalam hal ini disebut kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 75 dan 60.

Kembali ke kondisi soal, jarak terkecil yang ditempuh laki-laki dalam bilangan bulat langkah adalah 300 cm. Laki-laki akan menempuh jalan ini dalam 4 langkah, dan perempuan harus menempuh 5 langkah.

Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan asli a dan b adalah yang terkecil bilangan asli, yang merupakan kelipatan a dan b.

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan, tidak perlu menuliskan semua kelipatan bilangan tersebut secara berurutan.

Anda dapat menggunakan cara berikut ini.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil

Pertama, Anda perlu memfaktorkan angka-angka ini menjadi faktor prima.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Sekarang mari kita tuliskan semua faktor yang ada pada perluasan bilangan pertama (2,2,3,5) dan tambahkan semua faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua (5).

Hasilnya, kita mendapatkan rangkaian bilangan prima: 2,2,3,5,5. Hasil kali bilangan-bilangan ini adalah faktor persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut. 2*2*3*5*5 = 300.

Skema umum untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil

1. Bagilah bilangan menjadi faktor prima.
2. Tuliskan faktor prima yang merupakan salah satu faktornya.
3. Tambahkan ke faktor-faktor ini semua faktor yang merupakan perluasan dari faktor lain, tetapi tidak pada faktor yang dipilih.
4. Temukan produk dari semua faktor tertulis.

Metode ini bersifat universal. Ini dapat digunakan untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari sejumlah bilangan asli.

Ekspresi dan soal matematika membutuhkan banyak pengetahuan tambahan. NOC adalah salah satu yang utama, terutama sering digunakan dalam Topik yang dipelajari di sekolah menengah, dan tidak terlalu sulit untuk memahami materi; tidak akan sulit bagi orang yang akrab dengan pangkat dan tabel perkalian untuk mengidentifikasinya nomor yang diperlukan dan temukan hasilnya.

Definisi

Kelipatan persekutuan adalah suatu bilangan yang dapat habis dibagi dua bilangan sekaligus (a dan b). Paling sering, angka ini diperoleh dengan mengalikan angka asli a dan b. Bilangan tersebut harus habis dibagi kedua bilangan sekaligus, tanpa penyimpangan.

NOC adalah nama pendek yang diadopsi untuk sebutan tersebut, dikumpulkan dari huruf pertama.

Cara mendapatkan nomor

Metode perkalian bilangan tidak selalu cocok untuk mencari KPK; metode ini lebih cocok untuk bilangan sederhana satu digit atau dua digit. Merupakan kebiasaan untuk membagi menjadi beberapa faktor; semakin besar angkanya, semakin banyak pula faktornya.

Contoh No.1

Sebagai contoh paling sederhana, sekolah biasanya menggunakan bilangan prima, satu digit, atau dua digit. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan tugas berikut, mencari kelipatan persekutuan terkecil dari angka 7 dan 3, penyelesaiannya cukup sederhana, cukup kalikan saja. Hasilnya adalah angka 21, tidak ada angka yang lebih kecil.

Contoh No.2

Versi kedua dari tugas ini jauh lebih sulit. Diberikan angka 300 dan 1260, wajib mencari LOC. Untuk mengatasi masalah ini, tindakan berikut diharapkan:

Penguraian bilangan pertama dan kedua menjadi faktor prima. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Tahap pertama selesai.

Tahap kedua melibatkan pengerjaan dengan data yang sudah diperoleh. Setiap angka yang diterima harus ikut serta dalam menghitung hasil akhir. Untuk setiap pengganda, yang paling banyak jumlah besar kejadian. NOC adalah jumlah total Oleh karena itu, faktor-faktor dari bilangan tersebut harus diulangi di dalamnya, setiap faktor, bahkan yang ada dalam satu salinan. Kedua bilangan awal tersebut memuat bilangan 2, 3 dan 5, in derajat yang berbeda, 7 hadir hanya dalam satu kasus.

Untuk menghitung hasil akhir, Anda perlu memasukkan setiap angka dengan pangkat terbesar ke dalam persamaan. Yang tersisa hanyalah mengalikan dan mendapatkan jawabannya; jika diisi dengan benar, tugas akan dimasukkan ke dalam dua langkah tanpa penjelasan:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Itulah keseluruhan masalahnya, jika Anda mencoba menghitungnya nomor yang tepat melalui perkalian maka jawabannya pasti salah, karena 300 * 1260 = 378.000.

Penyelidikan:

6300/300 = 21 - benar;

6300/1260 = 5 - benar.

Kebenaran hasil yang diperoleh ditentukan dengan memeriksa - membagi KPK dengan kedua bilangan asli; jika bilangan tersebut bilangan bulat pada kedua kasus, maka jawabannya benar.

Apa yang dimaksud dengan NOC dalam matematika?

Seperti yang Anda ketahui, tidak ada satu pun fungsi yang tidak berguna dalam matematika, tidak terkecuali fungsi ini. Tujuan paling umum dari bilangan ini adalah untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama. Apa yang biasanya dipelajari di kelas 5-6 sekolah menengah atas. Ini juga merupakan pembagi umum untuk semua kelipatan, jika kondisi seperti itu ada dalam soal. Ekspresi seperti itu dapat menemukan kelipatan tidak hanya dari dua angka, tetapi juga dari angka yang jauh lebih besar - tiga, lima, dan seterusnya. Bagaimana lebih banyak angka- semakin banyak tindakan yang ada dalam tugas, tetapi kompleksitasnya tidak bertambah.

Misalnya, jika diberi angka 250, 600, dan 1500, Anda perlu mencari KPK persekutuannya:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - contoh ini menjelaskan faktorisasi secara detail, tanpa pengurangan.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Untuk menyusun ekspresi, perlu disebutkan semua faktor, dalam hal ini diberikan 2, 5, 3 - untuk semua angka ini perlu ditentukan derajat maksimum.

Perhatian: semua faktor harus disederhanakan sepenuhnya, jika mungkin, didekomposisi ke tingkat satu digit.

Penyelidikan:

1) 3000/250 = 12 - benar;

2) 3000/600 = 5 - benar;

3) 3000/1500 = 2 - benar.

Cara ini tidak memerlukan trik atau kemampuan tingkat jenius apa pun, semuanya sederhana dan jelas.

Cara lain

Dalam matematika, banyak hal yang saling berhubungan, banyak hal yang dapat diselesaikan dengan dua cara atau lebih, begitu pula dengan mencari kelipatan persekutuan terkecil, KPK. Metode berikut dapat digunakan dalam kasus dua digit sederhana dan angka satu digit. Sebuah tabel dikompilasi di mana pengali dimasukkan secara vertikal, pengali secara horizontal, dan produk ditunjukkan dalam sel-sel kolom yang berpotongan. Anda dapat merefleksikan tabel dengan menggunakan garis, mengambil suatu bilangan dan menuliskan hasil perkalian bilangan tersebut dengan bilangan bulat, dari 1 sampai tak terhingga, terkadang 3-5 poin saja sudah cukup, bilangan kedua dan selanjutnya menjalani proses komputasi yang sama. Semuanya terjadi sampai kelipatan persekutuan ditemukan.

Diberikan angka 30, 35, 42, Anda perlu mencari KPK yang menghubungkan semua angka tersebut:

1) Kelipatan 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, dst.

2) Kelipatan 35 : 70, 105, 140, 175, 210, 245, dst.

3) Kelipatan 42: 84, 126, 168, 210, 252, dst.

Terlihat bahwa semua angkanya sangat berbeda, satu-satunya angka yang umum di antara angka-angka tersebut adalah 210, jadi itu adalah NOC. Di antara proses yang terkait dengan perhitungan ini, ada juga yang terbesar pembagi persekutuan, yang dihitung berdasarkan prinsip serupa dan sering ditemukan pada soal-soal tetangga. Perbedaannya kecil, namun cukup signifikan, KPK melibatkan penghitungan suatu bilangan yang dibagi dengan semua nilai awal yang diberikan, dan GCD melibatkan penghitungan nilai tertinggi dimana bilangan asli dibagi.

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan berhubungan langsung dengan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut. Ini hubungan antara GCD dan NOC ditentukan oleh teorema berikut.

Dalil.

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif a dan b sama dengan hasil kali a dan b dibagi pembagi persekutuan terbesar a dan b, yaitu: KPK(a, b)=a b:PBB(a, b).

Bukti.

Membiarkan M adalah kelipatan bilangan a dan b. Artinya, M habis dibagi a, dan menurut definisi habis dibagi, terdapat bilangan bulat k sehingga persamaan M=a·k benar. Namun M juga habis dibagi b, maka a·k habis dibagi b.

Mari kita nyatakan gcd(a, b) sebagai d. Kemudian kita dapat menulis persamaan a=a 1 ·d dan b=b 1 ·d, dan a 1 =a:d dan b 1 =b:d akan relatif merupakan bilangan prima. Oleh karena itu, syarat yang diperoleh pada paragraf sebelumnya bahwa a · k habis dibagi b dapat dirumuskan ulang sebagai berikut: a 1 · d · k habis dibagi b 1 · d , dan ini, karena sifat dapat dibagi, ekuivalen dengan syarat bahwa a 1 · k habis dibagi b 1.

Anda juga perlu menuliskan dua akibat penting dari teorema yang dipertimbangkan.

Kelipatan persekutuan dua bilangan sama dengan kelipatan persekutuan terkecilnya.

Hal ini memang benar terjadi, karena kelipatan persekutuan M dari bilangan a dan b ditentukan oleh persamaan M=LMK(a, b)·t untuk beberapa nilai bilangan bulat t.

Kelipatan persekutuan terkecil dari koprima angka positif a dan b sama dengan hasil kali keduanya.

Alasan atas fakta ini cukup jelas. Karena a dan b relatif prima, maka gcd(a, b)=1, maka, KPK(a, b)=a b: KPK(a, b)=a b:1=a b.

Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih

Mencari kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat direduksi menjadi mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Cara melakukannya ditunjukkan dalam teorema berikut. a 1 , a 2 , …, a k bertepatan dengan kelipatan persekutuan dari bilangan m k-1 dan a k , oleh karena itu, bertepatan dengan kelipatan persekutuan dari bilangan tersebut m k . Dan karena kelipatan positif terkecil dari bilangan m k adalah bilangan m k itu sendiri, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a 1, a 2, ..., a k adalah m k.

Referensi.

Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan umum.
Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan soal aljabar dan teori bilangan : tutorial untuk siswa fisika dan matematika. spesialisasi lembaga pedagogis.

Materi yang disajikan di bawah ini merupakan kelanjutan logika teori dari artikel berjudul KPK - Kelipatan Persekutuan Terkecil, Pengertian, Contoh, Hubungan KPK dan KPK. Di sini kita akan membicarakannya mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK), Dan perhatian khusus Mari fokus pada penyelesaian contoh. Pertama, kami akan menunjukkan bagaimana KPK dari dua bilangan dihitung menggunakan KPK dari bilangan-bilangan tersebut. Selanjutnya, kita akan mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Setelah ini, kita akan fokus mencari KPK dari tiga dan lagi angka, dan juga memperhatikan perhitungan KPKnya angka negatif.

Navigasi halaman.

Menghitung Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) melalui GCD

Salah satu cara mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah berdasarkan hubungan antara KPK dan KPK. Hubungan yang ada antara KPK dan GCD memungkinkan kita menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif melalui pembagi persekutuan terbesar yang diketahui. Rumus yang sesuai adalah KPK(a, b)=a b:PBB(a, b) . Mari kita lihat contoh mencari KPK menggunakan rumus yang diberikan.

Contoh.

Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan 126 dan 70.

Larutan.

Dalam contoh ini a=126 , b=70 . Mari kita gunakan hubungan antara KPK dan KPK, yang dinyatakan dengan rumus KPK(a, b)=a b:PBB(a, b). Artinya, pertama-tama kita harus mencari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 70 dan 126, setelah itu kita bisa menghitung KPK dari bilangan-bilangan tersebut menggunakan rumus tertulis.

Mari kita cari GCD(126, 70) menggunakan algoritma Euclidean: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, jadi, GCD(126, 70)=14.

Sekarang kita menemukan kelipatan persekutuan terkecil yang diperlukan: KPK(126, 70)=126·70:PBB(126, 70)= 126·70:14=630.

Menjawab:

KPK(126, 70)=630 .

Contoh.

KPK(68, 34) sama dengan apa?

Larutan.

Karena 68 habis dibagi 34, maka FPB(68, 34)=34. Sekarang kita menghitung kelipatan persekutuan terkecil: KPK(68, 34)=68·34:PBB(68, 34)= 68·34:34=68.

Menjawab:

KPK(68, 34)=68 .

Perhatikan bahwa contoh sebelumnya sesuai dengan aturan berikut untuk mencari KPK dari bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan a habis dibagi b, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut adalah a.

Mencari KPK dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima

Cara lain untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Jika Anda membuat produk dari semua faktor prima bilangan-bilangan tertentu, setelah itu dari perkalian ini kita kecualikan semua faktor prima persekutuan yang ada pada perluasan bilangan-bilangan tersebut, maka hasil perkaliannya akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut.

Aturan yang dinyatakan untuk mencari KPK mengikuti persamaan KPK(a, b)=a b:PBB(a, b). Memang benar, hasil kali bilangan a dan b sama dengan hasil kali semua faktor yang terlibat dalam perluasan bilangan a dan b. Pada gilirannya, PBT(a, b) sama dengan hasil kali semua faktor prima yang hadir secara bersamaan dalam perluasan bilangan a dan b (seperti dijelaskan pada bagian mencari PBT menggunakan perluasan bilangan menjadi faktor prima).

Mari kita beri contoh. Mari kita ketahui bahwa 75=3·5·5 dan 210=2·3·5·7. Mari kita buat hasil kali dari semua faktor pemuaian ini: 2·3·3·5·5·5·7 . Sekarang dari perkalian ini kita keluarkan semua faktor yang ada baik pada pemuaian bilangan 75 maupun pemuaian bilangan 210 (faktor tersebut adalah 3 dan 5), maka hasil perkaliannya akan berbentuk 2·3·5·5·7 . Nilai hasil kali ini sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari 75 dan 210, yaitu, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Contoh.

Faktorkan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima dan temukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut.

Larutan.

Mari kita faktorkan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima:

Kita mendapatkan 441=3·3·7·7 dan 700=2·2·5·5·7.

Sekarang mari kita buat hasil kali semua faktor yang terlibat dalam perluasan bilangan berikut: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Mari kita kecualikan dari perkalian ini semua faktor yang secara bersamaan hadir dalam kedua perluasan (hanya ada satu faktor tersebut - ini adalah angka 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Dengan demikian, KPK(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Menjawab:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Aturan mencari KPK dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima dapat dirumuskan sedikit berbeda. Jika faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan b dijumlahkan dengan faktor-faktor dari perluasan bilangan a, maka nilai hasil kali yang dihasilkan akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a dan b..

Sebagai contoh, mari kita ambil bilangan yang sama 75 dan 210, penguraiannya menjadi faktor prima adalah sebagai berikut: 75=3·5·5 dan 210=2·3·5·7. Terhadap faktor 3, 5 dan 5 hasil perkalian bilangan 75 kita tambahkan faktor 2 dan 7 yang hilang dari perkalian bilangan 210, kita peroleh hasil kali 2·3·5·5·7 yang nilainya adalah sama dengan KPK(75, 210).

Contoh.

Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.

Larutan.

Pertama-tama kita peroleh penguraian bilangan 84 dan 648 menjadi faktor prima. Bentuknya seperti 84=2·2·3·7 dan 648=2·2·2·3·3·3·3. Pada faktor 2, 2, 3 dan 7 dari perluasan bilangan 84 kita tambahkan faktor yang hilang 2, 3, 3 dan 3 dari perluasan bilangan 648, kita peroleh hasil kali 2 2 2 3 3 3 3 7, yang sama dengan 4 536 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan dari 84 dan 648 adalah 4,536.

Menjawab:

KPK(84, 648)=4,536 .

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat dicari dengan mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Mari kita mengingat kembali teorema terkait, yang memberikan cara mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih.

Dalil.

Misalkan bilangan bulat positif a 1 , a 2 , …, a k diberikan, kelipatan persekutuan terkecil m k dari bilangan-bilangan tersebut dicari dengan menghitung secara berurutan m 2 = KPK(a 1 , a 2) , m 3 = KPK(m 2 , a 3) , … , m k = KPK(m k−1 , ak) .

Mari kita perhatikan penerapan teorema ini dengan menggunakan contoh mencari kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan.

Contoh.

Tentukan KPK dari empat bilangan 140, 9, 54 dan 250.

Larutan.

Dalam contoh ini, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Pertama kita temukan m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Untuk melakukan ini, dengan menggunakan algoritma Euclidean, kita menentukan GCD(140, 9), kita memiliki 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, oleh karena itu, GCD(140, 9)=1 , dari mana KPK(140, 9)=140 9:PBB(140, 9)= 140·9:1=1.260. Artinya, m 2 =1 260.

Sekarang kita temukan m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Mari kita hitung melalui GCD(1 260, 54), yang juga kita tentukan menggunakan algoritma Euclidean: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Maka gcd(1,260, 54)=18, sehingga gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Artinya, m 3 =3 780.

Yang tersisa hanyalah menemukan m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Untuk melakukan ini, kita mencari GCD(3,780, 250) menggunakan algoritma Euclidean: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Oleh karena itu, GCM(3,780, 250)=10, sehingga GCM(3,780, 250)= 3 780 250: KPK(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Artinya, m 4 =94.500.

Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan asli adalah 94.500.

Menjawab:

KPK(140, 9, 54, 250)=94.500.

Dalam banyak kasus, mencari kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat dilakukan dengan mudah menggunakan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut. Dalam hal ini, Anda harus mematuhinya aturan berikutnya. Kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan sama dengan hasil kali, yang susunannya sebagai berikut: faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua dijumlahkan dengan semua faktor dari perluasan bilangan pertama, faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua angka ketiga ditambahkan ke faktor hasil, dan seterusnya.

Mari kita lihat contoh mencari kelipatan persekutuan terkecil menggunakan faktorisasi prima.

Contoh.

Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan 84, 6, 48, 7, 143.

Larutan.

Pertama, kita peroleh penguraian bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 adalah bilangan prima, bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor prima) dan 143=11·13.

Untuk mencari KPK dari bilangan-bilangan ini, pada faktor bilangan pertama 84 (yaitu 2, 2, 3 dan 7), Anda perlu menjumlahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua 6. Penguraian bilangan 6 tidak mengandung faktor yang hilang, karena 2 dan 3 sudah ada pada penguraian bilangan pertama 84. Selanjutnya pada faktor 2, 2, 3 dan 7 kita tambahkan faktor 2 dan 2 yang hilang dari perluasan bilangan ketiga 48, kita peroleh himpunan faktor 2, 2, 2, 2, 3 dan 7. Tidak perlu menambahkan pengali ke himpunan ini pada langkah berikutnya, karena 7 sudah terdapat di dalamnya. Terakhir, pada faktor 2, 2, 2, 2, 3 dan 7 kita tambahkan faktor 11 dan 13 yang hilang dari perluasan bilangan 143. Kita mendapatkan hasil kali 2·2·2·2·3·7·11·13, yang setara dengan 48.048.

Mari kita lanjutkan pembicaraan tentang kelipatan persekutuan terkecil, yang kita mulai di bagian “KPK - kelipatan persekutuan terkecil, definisi, contoh.” Pada topik ini, kita akan melihat cara mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, dan kita akan membahas pertanyaan bagaimana mencari KPK dari suatu bilangan negatif.

Yandex.RTB RA-339285-1

Menghitung Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) melalui GCD

Kita telah menetapkan hubungan antara kelipatan persekutuan terkecil dan pembagi persekutuan terbesar. Sekarang mari kita pelajari cara menentukan KPK melalui GCD. Pertama, mari kita cari tahu cara melakukan ini untuk bilangan positif.

Definisi 1

Anda dapat mencari kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar dengan menggunakan rumus KPK (a, b) = a · b: KPK (a, b).

Contoh 1

Anda perlu mencari KPK dari angka 126 dan 70.

Larutan

Misalkan a = 126, b = 70. Mari kita substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus menghitung kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar KPK (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Menemukan KPK dari bilangan 70 dan 126. Untuk ini kita memerlukan algoritma Euclidean: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, maka GCD (126 , 70) = 14 .

Mari kita hitung KPKnya: LCD (126, 70) = 126 70 : KPK (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

Menjawab: KPK(126, 70) = 630.

Contoh 2

Temukan angka 68 dan 34.

Larutan

GCD dalam hal ini tidak sulit ditemukan, karena 68 habis dibagi 34. Mari kita hitung kelipatan persekutuan terkecil dengan rumus: KPK (68, 34) = 68 34: KPK (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Menjawab: KPK(68, 34) = 68.

Dalam contoh ini, kita menggunakan aturan untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan pertama habis dibagi bilangan kedua, KPK dari bilangan tersebut akan sama dengan bilangan pertama.

Mencari KPK dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima

Sekarang mari kita lihat metode mencari KPK, yang didasarkan pada memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 2

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah sederhana:

kita menyusun produk dari semua faktor prima dari bilangan-bilangan yang kita perlukan untuk mencari KPKnya;
kami mengecualikan semua faktor prima dari produk yang dihasilkannya;
hasil kali yang diperoleh setelah menghilangkan faktor prima persekutuan akan sama dengan KPK dari bilangan-bilangan yang diberikan.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil ini didasarkan pada persamaan KPK (a, b) = a · b: KPK (a, b). Jika dilihat dari rumusnya, menjadi jelas: hasil kali bilangan a dan b sama dengan hasil kali semua faktor yang ikut serta dalam penguraian kedua bilangan tersebut. Dalam hal ini, gcd dua bilangan sama dengan hasil kali semua faktor prima yang ada sekaligus dalam faktorisasi kedua bilangan tersebut.

Contoh 3

Kami memiliki dua angka 75 dan 210. Kita dapat memfaktorkannya sebagai berikut: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Jika Anda menyusun hasil kali semua faktor dari dua bilangan asli, Anda mendapatkan: 2 3 3 5 5 5 7.

Jika kita mengecualikan faktor persekutuan pada bilangan 3 dan 5, kita memperoleh hasil kali dengan bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Hasil kali ini akan menjadi KPK kita untuk angka 75 dan 210.

Contoh 4

Temukan KPK dari angka-angka tersebut 441 Dan 700 , memfaktorkan kedua bilangan menjadi faktor prima.

Larutan

Mari kita cari semua faktor prima dari bilangan-bilangan yang diberikan dalam kondisi:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Kita mendapatkan dua rangkaian angka: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7.

Hasil kali semua faktor yang ikut serta dalam penguraian bilangan-bilangan ini akan berbentuk: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari kita cari faktor persekutuannya. Ini adalah angka 7. Mari kita kecualikan dari total produk: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Menjawab: LOC(441, 700) = 44,100.

Mari kita berikan rumusan lain tentang cara mencari KPK dengan menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 3

Sebelumnya, kami mengecualikan dari jumlah total faktor persekutuan kedua bilangan tersebut. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeda:

Mari kita faktorkan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima:
tambahkan ke hasil kali faktor prima bilangan pertama dengan faktor bilangan kedua yang hilang;
kita memperoleh hasil kali, yang akan menjadi KPK yang diinginkan dari dua bilangan.

Contoh 5

Mari kita kembali ke angka 75 dan 210, yang sudah kita cari KPKnya pada salah satu contoh sebelumnya. Mari kita bagi menjadi faktor-faktor sederhana: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Untuk produk faktor 3, 5 dan 5 angka 75 tambahkan faktor yang hilang 2 Dan 7 nomor 210. Kami mendapatkan: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Ini adalah KPK dari angka 75 dan 210.

Contoh 6

Perlu menghitung KPK dari angka 84 dan 648.

Larutan

Mari kita faktorkan angka-angka dari kondisi tersebut menjadi faktor sederhana: 84 = 2 2 3 7 Dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Mari kita tambahkan ke hasil kali faktor 2, 2, 3 dan 7 angka 84 hilang faktor 2, 3, 3 dan
3 nomor 648. Kami mendapatkan produknya 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.

Menjawab: KPK(84, 648) = 4,536.

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Terlepas dari berapa banyak angka yang kita hadapi, algoritme tindakan kita akan selalu sama: kita akan mencari KPK dari dua angka secara berurutan. Ada teorema untuk kasus ini.

Teorema 1

Anggaplah kita mempunyai bilangan bulat a 1 , a 2 , … , ak. NOC mk bilangan tersebut dicari dengan menghitung secara berurutan m 2 = KPK (a 1, a 2), m 3 = KPK (m 2, a 3), ..., m k = KPK (m k − 1, a k).

Sekarang mari kita lihat bagaimana teorema tersebut dapat diterapkan untuk memecahkan masalah tertentu.

Contoh 7

Anda perlu menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari empat angka 140, 9, 54 dan 250 .

Larutan

Mari kita perkenalkan notasinya: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Mari kita mulai dengan menghitung m 2 = KPK (a 1 , a 2) = KPK (140, 9). Mari kita terapkan algoritma Euclidean untuk menghitung KPK dari bilangan 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Didapatkan: KPK (140, 9) = 1, KPK (140, 9) = 140 · 9: KPK (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1,260. Jadi, m 2 = 1,260.

Sekarang mari kita hitung menggunakan algoritma yang sama m 3 = KPK (m 2 , a 3) = KPK (1 260, 54). Selama perhitungan kita memperoleh m 3 = 3 780.

Kita tinggal menghitung m 4 = KPK (m 3 , a 4) = KPK (3 780, 250). Kami mengikuti algoritma yang sama. Kita peroleh m 4 = 94.500.

KPK keempat bilangan pada kondisi contoh adalah 94500.

Menjawab: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Seperti yang Anda lihat, perhitungannya sederhana, tetapi cukup memakan waktu. Untuk menghemat waktu, Anda bisa menggunakan cara lain.

Definisi 4

Kami menawarkan kepada Anda algoritme tindakan berikut:

kami menguraikan semua bilangan menjadi faktor prima;
pada hasil kali faktor-faktor bilangan pertama kita tambahkan faktor-faktor yang hilang dari hasil kali bilangan kedua;
ke hasil kali yang diperoleh pada tahap sebelumnya kita tambahkan faktor-faktor yang hilang dari bilangan ketiga, dst.;
hasil kali yang dihasilkan akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil dari semua bilangan dari kondisi tersebut.

Contoh 8

Anda perlu mencari KPK dari lima bilangan 84, 6, 48, 7, 143.

Larutan

Mari kita faktorkan kelima bilangan tersebut menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Bilangan prima, yaitu bilangan 7, tidak dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Angka-angka tersebut bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor prima.

Sekarang mari kita ambil hasil kali faktor prima 2, 2, 3 dan 7 dari bilangan 84 dan tambahkan ke dalamnya faktor-faktor yang hilang dari bilangan kedua. Kami menguraikan angka 6 menjadi 2 dan 3. Faktor-faktor ini sudah ada pada hasil kali bilangan pertama. Oleh karena itu, kami menghilangkannya.

Kami terus menambahkan pengganda yang hilang. Mari kita beralih ke bilangan 48, dari hasil kali faktor primanya kita ambil 2 dan 2. Kemudian kita jumlahkan faktor prima 7 dari bilangan keempat dan faktor 11 dan 13 dari bilangan kelima. Kita peroleh: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan asli.

Menjawab: KPK(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif, bilangan tersebut harus diganti terlebih dahulu dengan bilangan dengan tanda yang berlawanan, lalu lakukan perhitungan menggunakan algoritma di atas.

Contoh 9

KPK (54, − 34) = KPK (54, 34) dan KPK (− 622, − 46, − 54, − 888) = KPK (622, 46, 54, 888).

Perbuatan tersebut diperbolehkan karena jika kita menerimanya A Dan − sebuah– bilangan berlawanan,
maka himpunan kelipatan suatu bilangan A cocok dengan himpunan kelipatan suatu bilangan − sebuah.

Contoh 10

Penting untuk menghitung KPK dari bilangan negatif − 145 Dan − 45 .

Larutan

Mari kita ganti angkanya − 145 Dan − 45 ke nomor berlawanan mereka 145 Dan 45 . Sekarang dengan menggunakan algoritma tersebut kita menghitung KPK (145, 45) = 145 · 45: KPK (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, setelah sebelumnya ditentukan KPK menggunakan algoritma Euclidean.

Kita mendapatkan KPK dari bilangan-bilangan tersebut adalah − 145 dan − 45 sama 1 305 .

Menjawab: KPK (− 145, − 45) = 1,305.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter