Tentukan apakah itu pecahan wajar atau pecahan biasa tanpa menghitungnya. Fraksi yang tidak tepat

Pecahan biasa dibagi menjadi pecahan \textit (pantas) dan \textit (tidak wajar). Pembagian ini didasarkan pada perbandingan pembilang dan penyebutnya.

Pecahan yang tepat

Pecahan yang tepat Disebut pecahan biasa $\frac(m)(n)$ yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, yaitu $m

Contoh 1

Misalnya, pecahan $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ benar , jadi bagaimana masing-masing pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, sehingga memenuhi definisi pecahan yang tepat.

Ada definisi pecahan biasa, yang didasarkan pada perbandingan pecahan dengan satu.

benar, jika kurang dari satu:

Contoh 2

Misalnya, pecahan biasa $\frac(6)(13)$ adalah pecahan wajar karena kondisi $\frac(6)(13) terpenuhi

Pecahan yang tidak wajar

Fraksi yang tidak tepat Disebut pecahan biasa $\frac(m)(n)$ yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya, yaitu. $m\ge n$.

Contoh 3

Misalnya, pecahan $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ adalah pecahan tak beraturan , jadi bagaimana masing-masing pecahan tersebut pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya, sehingga memenuhi definisi pecahan biasa.

Mari kita berikan definisi pecahan biasa, yang didasarkan pada perbandingannya dengan pecahan biasa.

Pecahan persekutuan $\frac(m)(n)$ adalah salah, jika sama dengan atau lebih besar dari satu:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Contoh 4

Misalnya, pecahan biasa $\frac(21)(4)$ tidak tepat karena kondisi $\frac(21)(4) >1$ terpenuhi;

pecahan biasa $\frac(8)(8)$ tidak tepat karena kondisi $\frac(8)(8)=1$ terpenuhi.

Mari kita lihat lebih dekat konsep pecahan biasa.

Mari kita ambil pecahan biasa $\frac(7)(7)$ sebagai contoh. Arti dari pecahan ini adalah mengambil tujuh bagian suatu benda, yang dibagi menjadi tujuh bagian yang sama besar. Dengan demikian, dari tujuh bagian yang tersedia, seluruh objek bisa tersusun. Itu. pecahan biasa $\frac(7)(7)$ menggambarkan keseluruhan objek dan $\frac(7)(7)=1$. Jadi, pecahan biasa, yang pembilangnya sama dengan penyebutnya, menggambarkan satu benda utuh dan pecahan tersebut dapat diganti dengan bilangan asli $1$.

$\frac(5)(2)$ -- cukup jelas bahwa dari lima bagian kedua ini Anda dapat membuat $2$ objek utuh (satu objek utuh akan terdiri dari $2$ bagian, dan untuk membuat dua objek utuh Anda memerlukan $2+2=4$ lembar saham) dan tersisa satu lembar saham kedua. Artinya, pecahan biasa $\frac(5)(2)$ menggambarkan $2$ suatu objek dan $\frac(1)(2)$ bagian dari objek ini.

$\frac(21)(7)$ -- dari dua puluh satu per tujuh bagian Anda dapat membuat $3$ objek utuh ($3$ objek dengan masing-masing $7$ bagian). Itu. pecahan $\frac(21)(7)$ mendeskripsikan $3$ keseluruhan objek.

Dari contoh yang diberikan, kita dapat menarik kesimpulan berikut: pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli jika pembilangnya habis dibagi penyebutnya (misalnya, $\frac(7)(7)=1$ dan $\frac (21)(7)=3$) , atau jumlah bilangan asli dan pecahan biasa, jika pembilangnya tidak habis dibagi penyebutnya (misalnya, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Itu sebabnya pecahan seperti itu disebut salah.

Definisi 1

Proses menyatakan pecahan biasa sebagai jumlah dari bilangan asli dan pecahan biasa (misalnya, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) disebut memisahkan seluruh bagian dari pecahan biasa.

Saat mengerjakan pecahan biasa, ada hubungan erat antara pecahan tersebut dan nomor campuran.

Pecahan biasa sering kali ditulis sebagai bilangan campuran - bilangan yang terdiri dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan.

Untuk menuliskan pecahan biasa sebagai bilangan campuran, Anda harus membagi pembilangnya dengan penyebutnya dan sisanya. Hasil bagi adalah bagian bilangan bulat dari bilangan campuran, sisanya adalah pembilang bagian pecahan, dan pembagi adalah penyebut bagian pecahan.

Contoh 5

Tulis pecahan biasa $\frac(37)(12)$ sebagai bilangan campuran.

Larutan.

Bagilah pembilangnya dengan penyebutnya dan sisanya:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (sisa\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Menjawab.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Untuk menuliskan bilangan campuran sebagai pecahan biasa, Anda perlu mengalikan penyebutnya dengan seluruh bagian bilangan tersebut, menambahkan pembilang bagian pecahan tersebut ke hasil perkaliannya, dan menuliskan jumlah yang dihasilkan ke dalam pembilang pecahan tersebut. Penyebut pecahan biasa akan sama dengan penyebut bagian pecahan bilangan campuran.

Contoh 6

Tuliskan bilangan campuran $5\frac(3)(7)$ sebagai pecahan biasa.

Larutan.

Menjawab.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Penjumlahan bilangan campuran dan pecahan biasa

Penambahan Nomor Campuran$a\frac(b)(c)$ dan pecahan yang tepat$\frac(d)(e)$ dilakukan dengan menambahkan bagian pecahan dari bilangan campuran tertentu ke pecahan tertentu:

Contoh 7

Tambahkan pecahan biasa $\frac(4)(15)$ dan bilangan campuran $3\frac(2)(5)$.

Larutan.

Mari kita gunakan rumus untuk menjumlahkan bilangan campuran dan pecahan biasa:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\kiri(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\kanan)=3+\ kiri(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\kanan)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Dengan membaginya dengan bilangan \textit(5) kita dapat menentukan bahwa pecahan $\frac(10)(15)$ dapat direduksi. Mari kita lakukan pengurangan dan temukan hasil penjumlahannya:

Jadi, hasil penjumlahan pecahan biasa $\frac(4)(15)$ dan bilangan campuran $3\frac(2)(5)$ adalah $3\frac(2)(3)$.

Menjawab:$3\frac(2)(3)$

Penjumlahan bilangan campuran dan pecahan biasa

Penjumlahan pecahan biasa dan bilangan campuran direduksi menjadi penjumlahan dua bilangan campuran, yang cukup untuk mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa.

Contoh 8

Hitung jumlah bilangan campuran $6\frac(2)(15)$ dan pecahan biasa $\frac(13)(5)$.

Larutan.

Pertama, mari kita ekstrak seluruh bagian dari pecahan biasa $\frac(13)(5)$:

Menjawab:$8\frac(11)(15)$.

Kata “pecahan” membuat banyak orang merinding. Karena saya ingat sekolah dan tugas-tugas yang diselesaikan dalam matematika. Ini adalah tugas yang harus dipenuhi. Bagaimana jika Anda memperlakukan soal yang melibatkan pecahan biasa dan pecahan biasa seperti teka-teki? Lagi pula, banyak orang dewasa yang memutuskan digital dan Teka-teki silang Jepang. Kami menemukan aturannya, dan hanya itu. Di sini sama saja. Kita hanya perlu mempelajari teorinya - dan semuanya akan terjadi pada tempatnya. Dan contoh-contoh tersebut akan menjadi cara untuk melatih otak Anda.

Apa saja jenis pecahan yang ada?

Mari kita mulai dengan apa itu. Pecahan adalah suatu bilangan yang mempunyai suatu bagian dari satu. Itu dapat ditulis dalam dua bentuk. Yang pertama disebut biasa. Artinya, yang memiliki garis mendatar atau miring. Ini setara dengan tanda pembagian.

Dalam notasi ini, bilangan di atas garis disebut pembilang, dan bilangan di bawahnya disebut penyebut.

Di antara pecahan biasa, dibedakan pecahan biasa dan pecahan biasa. Untuk yang pertama, nilai mutlak pembilangnya selalu lebih kecil dari penyebutnya. Yang salah disebut demikian karena yang terjadi justru sebaliknya. Nilai pecahan biasa selalu kurang dari satu. Sedangkan yang salah selalu lebih besar dari angka tersebut.

Ada juga bilangan campuran, yaitu bilangan yang mempunyai bagian bilangan bulat dan bagian pecahan.

Jenis notasi kedua adalah pecahan desimal. Ada percakapan terpisah tentang dia.

Apa perbedaan pecahan biasa dengan bilangan campuran?

Intinya, tidak ada apa-apa. Ini hanyalah rekaman berbeda dengan nomor yang sama. Pecahan tak wajar dengan mudah menjadi bilangan campuran hanya dengan melakukan langkah sederhana. Dan sebaliknya.

Itu semua tergantung pada situasi spesifik. Terkadang lebih mudah menggunakan pecahan biasa dalam tugas. Dan terkadang perlu untuk mengubahnya menjadi bilangan campuran dan contohnya akan diselesaikan dengan sangat mudah. Oleh karena itu, apa yang digunakan: pecahan biasa, bilangan campuran, bergantung pada keterampilan observasi orang yang memecahkan masalah.

Bilangan campuran juga dibandingkan dengan jumlah bagian bilangan bulat dan bagian pecahan. Apalagi yang kedua selalu kurang dari satu.

Bagaimana cara menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa?

Jika Anda perlu melakukan tindakan apa pun dengan beberapa angka yang tertulis jenis yang berbeda, maka Anda harus membuatnya sama. Salah satu caranya adalah dengan menyatakan bilangan sebagai pecahan biasa.

Untuk tujuan ini, Anda perlu melakukan algoritma berikut:

kalikan penyebutnya dengan seluruh bagian;
tambahkan nilai pembilang pada hasilnya;
tulis jawabannya di atas garis;
biarkan penyebutnya tetap sama.

Berikut contoh cara menulis pecahan biasa dari bilangan campuran:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Bagaimana cara menulis pecahan biasa sebagai bilangan campuran?

Teknik selanjutnya adalah kebalikan dari yang dibahas di atas. Artinya, semua bilangan campuran diganti dengan pecahan biasa. Algoritme tindakannya adalah sebagai berikut:

bagilah pembilangnya dengan penyebutnya untuk mendapatkan sisanya;
tuliskan hasil bagi sebagai ganti seluruh bagian campuran;
sisanya harus ditempatkan di atas garis;
pembaginya akan menjadi penyebutnya.

Contoh transformasi tersebut:

76/14; 76:14 = 5 dengan sisa 6; jawabannya adalah 5 utuh dan 14/6; bagian pecahan dalam contoh ini perlu dikurangi 2, sehingga menghasilkan 3/7; jawaban akhirnya adalah 5 poin 3/7.

108/54; setelah pembagian, diperoleh hasil bagi 2 tanpa sisa; ini berarti tidak semua pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran; jawabannya adalah bilangan bulat - 2.

Bagaimana cara mengubah bilangan bulat menjadi pecahan biasa?

Ada situasi dimana tindakan seperti itu diperlukan. Untuk mendapatkan pecahan biasa dengan penyebut yang diketahui, Anda perlu melakukan algoritma berikut:

mengalikan bilangan bulat dengan penyebut yang diinginkan;
tulis nilai ini di atas garis;
letakkan penyebutnya di bawahnya.

Pilihan paling sederhana adalah ketika penyebutnya sama dengan satu. Maka Anda tidak perlu mengalikan apa pun. Cukup dengan menulis bilangan bulat yang diberikan dalam contoh, dan menempatkan satu di bawah garis.

Contoh: 5 dijadikan pecahan biasa yang penyebutnya 3. Setelah dikalikan 5 dengan 3, hasilnya adalah 15. Angka inilah yang menjadi penyebutnya. Jawaban tugas tersebut adalah pecahan: 15/3.

Dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah dengan bilangan berbeda

Contoh ini memerlukan perhitungan jumlah dan selisih, serta hasil kali dan hasil bagi dua bilangan: 2 bilangan bulat 3/5 dan 14/11.

Pada pendekatan pertama bilangan campuran akan direpresentasikan sebagai pecahan biasa.

Setelah melakukan langkah-langkah di atas, Anda akan mendapatkan nilai berikut: 13/5.

Untuk mengetahui jumlahnya, Anda perlu mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama. 13/5 setelah dikalikan 11 menjadi 143/55. Dan 14/11 setelah dikalikan 5 akan terlihat seperti: 70/55. Untuk menghitung jumlahnya, Anda hanya perlu menjumlahkan pembilangnya: 143 dan 70, lalu menuliskan jawabannya dengan satu penyebut. 213/55 - pecahan biasa ini adalah jawaban dari soal.

Saat mencari selisihnya, bilangan yang sama dikurangi: 143 - 70 = 73. Jawabannya berupa pecahan: 73/55.

Saat mengalikan 13/5 dan 14/11, Anda tidak perlu menyederhanakannya menjadi penyebut yang sama. Cukup dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya secara berpasangan. Jawabannya adalah: 182/55.

Hal yang sama berlaku untuk pembagian. Untuk keputusan yang tepat Anda perlu mengganti pembagian dengan perkalian dan membalikkan pembaginya: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Pada pendekatan kedua pecahan biasa menjadi bilangan campuran.

Setelah melakukan tindakan algoritma, 14/11 akan berubah menjadi bilangan campuran dengan bagian bilangan bulat 1 dan bagian pecahan 3/11.

Saat menghitung jumlahnya, Anda perlu menjumlahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara terpisah. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Jawaban akhirnya adalah 3 poin 48/55. Pada pendekatan pertama, pecahannya adalah 213/55. Anda dapat memeriksa kebenarannya dengan mengubahnya menjadi bilangan campuran. Setelah membagi 213 dengan 55, hasil bagi adalah 3 dan sisanya adalah 48. Mudah untuk melihat bahwa jawabannya benar.

Saat melakukan pengurangan, tanda “+” diganti dengan “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Untuk mengeceknya, jawaban dari pendekatan sebelumnya perlu diubah menjadi bilangan campuran: 73 dibagi 55 dan hasil bagi adalah 1 dan sisanya 18.

Untuk mencari hasil kali dan hasil bagi, tidak mudah menggunakan bilangan campuran. Di sini selalu disarankan untuk beralih ke pecahan biasa.

Pecahan yang tepat

Perempat

Ketertiban. A Dan B ada aturan yang memungkinkan Anda mengidentifikasi secara unik satu dan hanya satu dari tiga hubungan di antara keduanya: “< », « >" atau " = ". Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan bukan negatif dan dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bulat dan ; dua bilangan non-positif A Dan B dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bukan negatif dan ; jika tiba-tiba A bukan negatif, tapi B- negatif, kalau begitu A > B. src="/gambar/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Menjumlahkan Pecahan
Operasi penambahan. Untuk bilangan rasional apa pun A Dan B ada yang disebut aturan penjumlahan C. Pada saat yang sama, nomor itu sendiri C ditelepon jumlah angka A Dan B dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki bentuk sebagai berikut: .
Operasi perkalian. Untuk bilangan rasional apa pun A Dan B ada yang disebut aturan perkalian, yang memberi mereka bilangan rasional C. Pada saat yang sama, nomor itu sendiri C ditelepon bekerja angka A Dan B dan dilambangkan dengan , dan proses menemukan bilangan tersebut disebut juga perkalian. Aturan perkaliannya terlihat seperti ini: .
Transitivitas hubungan keteraturan. Untuk tiga bilangan rasional apa pun A , B Dan C Jika A lebih sedikit B Dan B lebih sedikit C, Itu A lebih sedikit C, dan jika A sama B Dan B sama C, Itu A sama C. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah.
Asosiatif penjumlahan. Urutan penjumlahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, yang bila dijumlahkan menghasilkan 0.
Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.
Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Ketersediaan satuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
Kehadiran nomor timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang bila dikalikan dengan menghasilkan 1.
Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian dikoordinasikan dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
Koneksi hubungan urutan dengan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama dapat dijumlahkan pada ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional. /gambar/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Aksioma Archimedes. Apapun bilangan rasionalnya A, Anda dapat mengambil begitu banyak unit hingga jumlahnya melebihi A. src="/gambar/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Properti tambahan

Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dapat dibedakan sebagai sifat-sifat dasar, karena pada umumnya sifat-sifat tersebut tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau secara langsung dengan definisi suatu objek matematika. . Ada banyak properti tambahan seperti itu. Masuk akal untuk mencantumkan hanya beberapa di antaranya di sini.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Keterhitungan suatu himpunan

Penomoran bilangan rasional

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu mencari kardinalitas himpunannya. Mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup dengan memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli.

Algoritma yang paling sederhana terlihat seperti ini. Tabel tanpa akhir tercipta pecahan biasa, pada setiap Saya-baris ke-th di masing-masing J kolom ke-th tempat pecahan berada. Untuk lebih jelasnya, diasumsikan baris dan kolom tabel ini diberi nomor mulai dari satu. Sel tabel dilambangkan dengan , dimana Saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan J- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dilintasi menggunakan “ular” sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi selanjutnya dipilih berdasarkan pertandingan pertama.

Dalam proses penjelajahan seperti itu, setiap bilangan rasional baru dikaitkan dengan bilangan rasional lainnya bilangan asli. Artinya, pecahan 1/1 diberi nomor 1, pecahan 2/1 diberi nomor 2, dan seterusnya. Perlu dicatat bahwa hanya pecahan tak tereduksi yang diberi nomor. Tanda formal dari sifat tak tersederhanakan adalah pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan sama dengan satu.

Dengan mengikuti algoritma ini, kita dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Artinya himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk membuat bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif hanya dengan menetapkan kebalikannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung berdasarkan sifat himpunan yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan suatu himpunan terhitung dengan himpunan berhingga.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional mungkin menimbulkan kebingungan, karena sekilas tampak himpunan bilangan rasional jauh lebih luas daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, hal ini tidak terjadi dan terdapat cukup bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Kurangnya bilangan rasional

Sisi miring segitiga tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan rasional apa pun

Bilangan rasional berbentuk 1 / N pada umumnya N jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menimbulkan kesan menyesatkan bahwa bilangan rasional dapat digunakan untuk mengukur jarak geometri apa pun. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Dari teorema Pythagoras kita mengetahui bahwa sisi miring suatu segitiga siku-siku dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Itu. panjang sisi miring sama kaki segitiga siku-siku dengan satuan kaki sama dengan, yaitu bilangan yang kuadratnya 2.

Jika kita berasumsi bahwa suatu bilangan dapat diwakili oleh suatu bilangan rasional, maka bilangan tersebut adalah bilangan bulat M dan bilangan asli N, itu , dan pecahan tidak dapat direduksi, yaitu bilangan M Dan N- saling sederhana.

Jika kemudian , yaitu. M 2 = 2N 2. Oleh karena itu, nomornya M 2 genap, tetapi hasil kali dua angka ganjil ganjil yang artinya bilangan itu sendiri M juga genap. Jadi ada bilangan asli k, sedemikian rupa sehingga jumlahnya M dapat direpresentasikan dalam bentuk M = 2k. Nomor persegi M Dalam arti ini M 2 = 4k 2, tapi di sisi lain M 2 = 2N 2 berarti 4 k 2 = 2N 2, atau N 2 = 2k 2. Seperti yang ditunjukkan sebelumnya untuk nomor tersebut M, ini berarti nomor tersebut N- bahkan sebagai M. Namun keduanya tidak relatif prima, karena keduanya terbagi dua. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan bahwa ini bukanlah bilangan rasional.

Saat mempelajari ratu segala ilmu - matematika, pada titik tertentu setiap orang menemukan pecahan. Meskipun konsep ini (seperti jenis pecahan itu sendiri atau operasi matematika dengannya) sama sekali tidak rumit, namun harus ditangani dengan hati-hati, karena dalam kehidupan nyata Ini akan sangat berguna di luar sekolah. Jadi, mari kita segarkan kembali pengetahuan kita tentang pecahan: apa itu pecahan, kegunaannya, apa jenisnya, dan cara melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya.

Fraksi Yang Mulia: apa itu

Dalam matematika, pecahan adalah bilangan yang masing-masing terdiri atas satu atau lebih bagian suatu satuan. Pecahan seperti ini disebut juga pecahan biasa atau sederhana. Biasanya ditulis dalam bentuk dua angka yang dipisahkan oleh garis mendatar atau garis miring, disebut garis “pecahan”. Misalnya: ½, ¾.

Angka atas, atau pertama, adalah pembilangnya (menunjukkan berapa banyak bagian yang diambil dari angka tersebut), dan angka bawah, atau kedua, adalah penyebut (menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi menjadi satuan).

Bilah pecahan sebenarnya berfungsi sebagai tanda pembagian. Misalnya, 7:9=7/9

Secara tradisional, pecahan biasa kurang dari satu. Sedangkan desimalnya bisa lebih besar dari itu.

Untuk apa pecahan? Ya, untuk semuanya, karena di dunia nyata tidak semua bilangan adalah bilangan bulat. Misalnya, dua siswi di kantin membeli sebatang coklat yang enak bersama-sama. Ketika mereka hendak berbagi makanan penutup, mereka bertemu dengan seorang teman dan memutuskan untuk mentraktirnya juga. Namun, kini coklat batangan tersebut perlu dibagi dengan benar, mengingat terdiri dari 12 kotak.

Awalnya, gadis-gadis itu ingin membagi semuanya secara merata, lalu masing-masing mendapat empat bagian. Tapi, setelah dipikir-pikir, mereka memutuskan untuk mentraktir temannya, bukan 1/3, tapi 1/4 coklatnya. Dan karena para siswi tidak mempelajari pecahan dengan baik, mereka tidak memperhitungkan bahwa dalam situasi seperti itu mereka akan mendapatkan 9 buah, yang sangat sulit untuk dibagi menjadi dua. Contoh yang cukup sederhana ini menunjukkan betapa pentingnya menemukan bagian suatu bilangan dengan benar. Namun dalam kehidupan nyata, masih banyak lagi kasus seperti itu.

Jenis pecahan: biasa dan desimal

Semua pecahan matematika dibagi menjadi dua kategori besar: biasa dan desimal. Fitur-fitur yang pertama telah dijelaskan di paragraf sebelumnya, jadi sekarang ada baiknya memperhatikan yang kedua.

Desimal adalah notasi kedudukan suatu pecahan suatu bilangan, yang ditulis secara tertulis dengan dipisahkan tanda koma, tanpa tanda hubung atau garis miring. Misalnya: 0,75, 0,5.

Faktanya, pecahan desimal identik dengan pecahan biasa, namun penyebutnya selalu satu diikuti nol - itulah namanya.

Angka sebelum koma adalah bilangan bulat, dan angka setelahnya adalah pecahan. aku menyukainya pecahan sederhana dapat dikonversi ke desimal. Jadi, pecahan desimal yang ditunjukkan pada contoh sebelumnya dapat ditulis seperti biasa: ¾ dan ½.

Perlu dicatat bahwa pecahan desimal dan pecahan biasa dapat bernilai positif atau negatif. Jika didahului dengan tanda “-”, maka pecahan tersebut negatif, jika “+” adalah pecahan positif.

Subtipe pecahan biasa

Ada beberapa jenis pecahan sederhana.

Subtipe pecahan desimal

Berbeda dengan pecahan sederhana, pecahan desimal hanya terbagi menjadi 2 jenis.

Final - mendapat nama ini karena fakta bahwa setelah koma ia memiliki jumlah digit yang terbatas (terbatas): 19,25.
Pecahan tak terhingga adalah bilangan yang jumlah digitnya tak terhingga setelah koma. Misalnya, jika membagi 10 dengan 3, hasilnya adalah pecahan tak hingga 3,333...

Menjumlahkan Pecahan

Melakukan berbagai manipulasi aritmatika dengan pecahan sedikit lebih sulit dibandingkan dengan bilangan biasa. Namun, jika Anda memahami aturan dasarnya, menyelesaikan contoh apa pun dengan aturan tersebut tidak akan sulit.

Misalnya: 2/3+3/4. Kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 12, oleh karena itu, angka tersebut harus ada di setiap penyebutnya. Caranya kita kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 4, ternyata 8/12, kita lakukan hal yang sama dengan suku kedua, tetapi kalikan saja dengan 3 - 9/12. Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh: 8/12+9/12= 17/12. Pecahan yang dihasilkan merupakan satuan yang salah karena pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Dapat dan harus diubah menjadi campuran yang benar dengan membagi 17:12 = 1 dan 5/12.

Ketika pecahan campuran dijumlahkan, operasi dilakukan terlebih dahulu dengan bilangan bulat, dan kemudian dengan pecahan.

Jika contoh berisi pecahan desimal dan pecahan biasa, keduanya perlu disederhanakan, kemudian disamakan dengan penyebut yang sama dan dijumlahkan. Misalnya 3.1+1/2. Angka 3.1 dapat ditulis sebagai pecahan campuran 3 dan 1/10 atau jika salah - 31/10. Penyebut suku-suku tersebut adalah 10, jadi Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut 1/2 dengan 5 secara bergantian, Anda mendapatkan 5/10. Kemudian Anda dapat dengan mudah menghitung semuanya: 31/10+5/10=35/10. Hasil yang diperoleh adalah pecahan biasa, kita bawa ke bentuk normalnya dengan menguranginya 5: 7/2 = 3 dan 1/2, atau desimal - 3,5.

Saat menjumlahkan 2 pecahan desimal, penting agar jumlah digit setelah koma desimal sama. Jika tidak demikian, Anda hanya perlu menambahkan jumlah nol yang diperlukan, karena di desimal ini bisa dilakukan tanpa rasa sakit. Misalnya, 3,5+3,005. Untuk menyelesaikan soal ini, Anda perlu menambahkan 2 angka nol pada angka pertama lalu menjumlahkannya satu per satu: 3.500+3.005=3.505.

Pengurangan Pecahan

Saat mengurangkan pecahan, Anda harus melakukan hal yang sama seperti saat menjumlahkan: kurangi menjadi penyebut yang sama, kurangi satu pembilang dari pembilang lainnya, dan, jika perlu, ubah hasilnya menjadi pecahan campuran.

Misalnya: 16/20-5/10. Penyebutnya adalah 20. Anda perlu membawa pecahan kedua ke penyebut ini dengan mengalikan kedua bagiannya dengan 2, Anda mendapatkan 10/20. Sekarang Anda dapat menyelesaikan contoh: 16/20-10/20= 6/20. Namun, hasil ini berlaku untuk pecahan tereduksi, jadi sebaiknya kedua ruasnya dibagi 2 dan hasilnya adalah 3/10.

Mengalikan pecahan

Membagi dan mengalikan pecahan - lebih banyak lagi langkah sederhana daripada penjumlahan dan pengurangan. Faktanya adalah ketika melakukan tugas-tugas ini, tidak perlu mencari penyebut yang sama.

Untuk mengalikan pecahan, Anda hanya perlu mengalikan kedua pembilangnya satu per satu, lalu kedua penyebutnya. Kurangi hasil yang dihasilkan jika pecahan tersebut merupakan besaran yang dapat direduksi.

Misalnya: 4/9x5/8. Setelah dikalikan bergantian, hasilnya adalah 4x5/9x8=20/72. Pecahan ini bisa dikurangi 4, jadi jawaban akhir pada contohnya adalah 18/5.

Cara membagi pecahan

Membagi pecahan juga merupakan operasi sederhana; sebenarnya, tetap saja harus mengalikannya. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, Anda perlu membalik pecahan kedua dan mengalikannya dengan pecahan pertama.

Misalnya membagi pecahan 5/19 dan 5/7. Untuk menyelesaikan contoh ini, Anda perlu menukar penyebut dan pembilang pecahan kedua dan mengalikannya: 5/19x7/5=35/95. Hasilnya bisa dikurangi 5 - ternyata 19/7.

Jika Anda perlu membagi pecahan dengan bilangan prima, tekniknya sedikit berbeda. Awalnya, Anda harus menulis bilangan ini sebagai pecahan biasa, lalu membaginya dengan skema yang sama. Misalnya, 13/2:5 harus ditulis sebagai 13/2:1/5. Sekarang Anda perlu membalik 5/1 dan mengalikan pecahan yang dihasilkan: 2/13x1/5= 2/65.

Terkadang Anda harus membagi pecahan campuran. Anda perlu memperlakukannya seperti Anda memperlakukan bilangan bulat: mengubahnya menjadi pecahan biasa, membalik pembaginya, dan mengalikan semuanya. Misalnya 8 ½: 3. Ubahlah semuanya menjadi pecahan biasa: 17/2: 3/1. Diikuti dengan pembalikan 3/1 dan perkalian: 17/2x1/3= 17/6. Sekarang Anda perlu mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa - 2 utuh dan 5/6.

Jadi, setelah mengetahui apa itu pecahan dan bagaimana Anda dapat melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya, Anda perlu berusaha untuk tidak melupakannya. Lagi pula, orang selalu lebih cenderung membagi sesuatu menjadi beberapa bagian daripada menjumlahkan, jadi Anda harus bisa melakukannya dengan benar.

Fraksi yang tidak tepat

Perempat

Ketertiban. A Dan B ada aturan yang memungkinkan Anda mengidentifikasi secara unik satu dan hanya satu dari tiga hubungan di antara keduanya: “< », « >" atau " = ". Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan bukan negatif dan dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bulat dan ; dua bilangan non-positif A Dan B dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bukan negatif dan ; jika tiba-tiba A bukan negatif, tapi B- negatif, kalau begitu A > B. src="/gambar/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Menjumlahkan Pecahan
Operasi penambahan. Untuk bilangan rasional apa pun A Dan B ada yang disebut aturan penjumlahan C. Pada saat yang sama, nomor itu sendiri C ditelepon jumlah angka A Dan B dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki bentuk sebagai berikut: .
Operasi perkalian. Untuk bilangan rasional apa pun A Dan B ada yang disebut aturan perkalian, yang memberi mereka bilangan rasional C. Pada saat yang sama, nomor itu sendiri C ditelepon bekerja angka A Dan B dan dilambangkan dengan , dan proses menemukan bilangan tersebut disebut juga perkalian. Aturan perkaliannya terlihat seperti ini: .
Transitivitas hubungan keteraturan. Untuk tiga bilangan rasional apa pun A , B Dan C Jika A lebih sedikit B Dan B lebih sedikit C, Itu A lebih sedikit C, dan jika A sama B Dan B sama C, Itu A sama C. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah.
Asosiatif penjumlahan. Urutan penjumlahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, yang bila dijumlahkan menghasilkan 0.
Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.
Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Ketersediaan satuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
Kehadiran nomor timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang bila dikalikan dengan menghasilkan 1.
Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian dikoordinasikan dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
Koneksi hubungan urutan dengan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama dapat dijumlahkan pada ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional. /gambar/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Aksioma Archimedes. Apapun bilangan rasionalnya A, Anda dapat mengambil begitu banyak unit hingga jumlahnya melebihi A. src="/gambar/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Properti tambahan

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Keterhitungan suatu himpunan

Penomoran bilangan rasional

Algoritma yang paling sederhana terlihat seperti ini. Tabel pecahan biasa yang tak ada habisnya telah dikompilasi, untuk masing-masingnya Saya-baris ke-th di masing-masing J kolom ke-th tempat pecahan berada. Untuk lebih jelasnya, diasumsikan baris dan kolom tabel ini diberi nomor mulai dari satu. Sel tabel dilambangkan dengan , dimana Saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan J- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dilintasi menggunakan “ular” sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi selanjutnya dipilih berdasarkan pertandingan pertama.

Dalam proses penjelajahan tersebut, setiap bilangan rasional baru dikaitkan dengan bilangan asli lainnya. Artinya, pecahan 1/1 diberi nomor 1, pecahan 2/1 diberi nomor 2, dan seterusnya. Perlu dicatat bahwa hanya pecahan tak tereduksi yang diberi nomor. Tanda formal dari sifat tak tersederhanakan adalah pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan sama dengan satu.

Kurangnya bilangan rasional

Sisi miring segitiga tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan rasional apa pun

Dari teorema Pythagoras kita mengetahui bahwa sisi miring suatu segitiga siku-siku dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Itu. panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku sama kaki dengan satuan kaki sama dengan , yaitu bilangan yang kuadratnya 2.