Nod dan nok suatu bilangan adalah pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) – Pengertian, Contoh dan Sifat

Namun banyak pula bilangan asli yang habis dibagi bilangan asli lainnya.

Misalnya:

Bilangan 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Bilangan 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Bilangan-bilangan yang habis dibagi seluruhnya (untuk 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi angka. Pembagi bilangan asli A- ini dia bilangan asli, yang membagi bilangan tertentu A tanpa jejak. Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut gabungan .

Perlu diketahui bahwa angka 12 dan 36 mempunyai faktor persekutuan. Bilangan-bilangan tersebut adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar bilangan-bilangan tersebut adalah 12. Pembagi persekutuan kedua bilangan tersebut A Dan B- ini adalah bilangan yang membagi kedua bilangan tersebut tanpa sisa A Dan B.

Kelipatan persekutuan beberapa bilangan adalah bilangan yang habis dibagi masing-masing bilangan tersebut. Misalnya, bilangan 9, 18, dan 45 mempunyai kelipatan persekutuan 180. Namun 90 dan 360 juga merupakan kelipatan persekutuannya. Di antara semua kelipatan persekutuan selalu ada yang terkecil, dalam hal ini adalah 90. Bilangan ini disebut Terkecilkelipatan persekutuan (CMM).

KPK selalu merupakan bilangan asli yang harus lebih besar dari bilangan terbesar yang ditentukan.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Properti.

Komutatifitas:

Asosiatif:

Khususnya, jika dan merupakan bilangan koprima, maka:

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat M Dan N adalah pembagi semua kelipatan persekutuan lainnya M Dan N. Apalagi himpunan kelipatan persekutuan M N bertepatan dengan himpunan kelipatan KPK ( M N).

Asimtotik untuk dapat dinyatakan dalam beberapa fungsi teori bilangan.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan:

Berikut definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Berikut ini dari hukum distribusi bilangan prima.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

NOC( a, b) dapat dihitung dengan beberapa cara:

1. Jika pembagi persekutuan terbesar diketahui, Anda dapat menggunakan hubungannya dengan KPK:

2. Biarkan perluasan kanonik kedua bilangan menjadi faktor utama:

Di mana hal 1 ,...,halk- berbagai bilangan prima, dan d 1 ,...,dk Dan e 1 ,...,ek— bilangan bulat non-negatif (dapat bernilai nol jika bilangan prima yang bersesuaian tidak ada dalam pemuaian).

Kemudian NOC ( A,B) dihitung dengan rumus:

Dengan kata lain, penguraian KPK memuat semua faktor prima yang termasuk dalam setidaknya salah satu penguraian bilangan a, b, dan diambil eksponen terbesar dari dua eksponen pengali ini.

Contoh:

Menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan dapat direduksi menjadi beberapa perhitungan KPK dua bilangan secara berurutan:

Aturan. Untuk mencari KPK dari serangkaian angka, Anda memerlukan:

- menguraikan bilangan menjadi faktor prima;

- mentransfer ekspansi terbesar (produk dari faktor-faktor produk yang diinginkan) ke dalam faktor-faktor produk yang diinginkan jumlah besar dari bilangan yang diberikan), kemudian dijumlahkan dengan faktor dari perluasan bilangan lain yang tidak muncul pada bilangan pertama atau muncul di dalamnya lebih sedikit;

— hasil kali faktor prima adalah KPK dari bilangan-bilangan tersebut.

Dua atau lebih bilangan asli mempunyai KPKnya masing-masing. Jika bilangan-bilangan tersebut bukan kelipatan satu sama lain atau tidak mempunyai faktor pemuaian yang sama, maka KPKnya sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut.

Faktor prima dari bilangan 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (angka 21), maka hasil perkaliannya (84) adalah angka terkecil, yang habis dibagi 21 dan 28.

Faktor prima dari bilangan terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 dari bilangan 25, hasil kali 150 lebih besar dari bilangan terbesar 30 dan habis dibagi semua bilangan tertentu tanpa sisa. Ini adalah hasil kali terkecil (150, 250, 300...) yang merupakan kelipatan dari semua bilangan yang diberikan.

Bilangan 2,3,11,37 adalah bilangan prima, jadi KPKnya sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut.

Aturan. Untuk menghitung KPK bilangan prima, Anda perlu mengalikan semua bilangan tersebut.

Pilihan lain:

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa bilangan, Anda memerlukan:

1) nyatakan setiap bilangan sebagai hasil kali faktor primanya, misalnya:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan pangkat semua faktor prima:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembagi prima (pengganda) dari masing-masing bilangan tersebut;

4) pilih derajat terbesar dari masing-masing bilangan, yang terdapat pada semua perluasan bilangan-bilangan tersebut;

5) kalikan kekuatan ini.

Contoh. Tentukan KPK dari bilangan tersebut: 168, 180 dan 3024.

Larutan. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kita tuliskan pangkat terbesar dari semua pembagi prima dan kalikan:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Bagaimana cara mencari kelipatan persekutuan terkecil?

Kita perlu mencari setiap faktor dari masing-masing dua bilangan yang kelipatan persekutuan terkecilnya kita cari, lalu mengalikan faktor-faktor yang sama pada bilangan pertama dan kedua. Hasil perkaliannya akan menjadi kelipatan yang dibutuhkan.

Misalnya, kita memiliki angka 3 dan 5 dan kita perlu mencari KPK (kelipatan persekutuan terkecil). Kita perlu berkembang biak dan tiga dan lima untuk semua bilangan mulai dari 1 2 3 ... dan seterusnya sampai kita melihat angka yang sama di kedua tempat.

Kalikan tiga dan dapatkan: 3, 6, 9, 12, 15

Kalikan dengan lima dan dapatkan: 5, 10, 15

Metode faktorisasi prima merupakan metode paling klasik untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa bilangan. Metode ini ditunjukkan dengan jelas dan sederhana dalam video berikut:

Menjumlahkan, mengalikan, membagi, mengurangi ke penyebut yang sama dan operasi aritmatika lainnya sangat banyak aktivitas yang menarik, Saya sangat mengagumi contoh-contoh yang memenuhi satu halaman penuh.

Jadi, carilah kelipatan persekutuan dari dua bilangan, yang merupakan bilangan terkecil yang membagi kedua bilangan tersebut. Saya ingin mencatat bahwa tidak perlu menggunakan rumus di masa depan untuk menemukan apa yang Anda cari, jika Anda dapat menghitung di kepala Anda (dan ini dapat dilatih), maka angka-angka itu sendiri akan muncul di kepala Anda dan kemudian pecahannya pecah seperti kacang.

Untuk memulainya, mari kita pelajari bahwa Anda dapat mengalikan dua bilangan satu sama lain, lalu mengurangi angka tersebut dan membaginya secara bergantian dengan kedua bilangan tersebut, sehingga kita akan menemukan kelipatan terkecil.

Misalnya dua angka 15 dan 6. Kalikan dan dapatkan 90. Ini jelas jumlah yang lebih besar. Selain itu, 15 habis dibagi 3 dan 6 habis dibagi 3, artinya kita juga membagi 90 dengan 3. Kita mendapat 30. Kita coba 30 membagi 15 sama dengan 2. Dan 30 membagi 6 sama dengan 5. Karena 2 adalah limitnya, ternyata kelipatan terkecil suatu bilangan adalah 15 dan 6 adalah 30.

Dengan jumlah yang lebih besar maka akan sedikit lebih sulit. tetapi jika Anda mengetahui bilangan mana yang memberikan sisa nol saat membagi atau mengalikannya, maka pada prinsipnya tidak ada kesulitan besar.

Bagaimana menemukan NOC

Berikut adalah video yang akan memberi Anda dua cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Setelah berlatih menggunakan metode pertama yang disarankan, Anda dapat lebih memahami apa itu kelipatan persekutuan terkecil.

Saya menyajikan cara lain untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil. Mari kita lihat dengan contoh yang jelas.

Anda perlu mencari KPK dari tiga bilangan sekaligus: 16, 20 dan 28.

Kami menyatakan setiap angka sebagai produk dari faktor primanya:

Kami menuliskan kekuatan semua faktor prima:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

Kami memilih semua pembagi prima (pengganda) dengan pangkat terbesar, mengalikannya dan mencari KPKnya:

KPK = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

KPK(16, 20, 28) = 560.

Jadi, hasil perhitungannya adalah angka 560. Merupakan kelipatan persekutuan terkecil, yaitu habis dibagi ketiga bilangan tersebut tanpa sisa.

Kelipatan persekutuan terkecil adalah suatu bilangan yang dapat dibagi menjadi beberapa bilangan tertentu tanpa meninggalkan sisa. Untuk menghitung angka seperti itu, Anda perlu mengambil setiap angka dan menguraikannya menjadi faktor sederhana. Angka-angka yang cocok akan dihapus. Tinggalkan semua orang satu per satu, kalikan mereka satu sama lain secara bergantian dan dapatkan yang diinginkan - kelipatan persekutuan terkecil.

NOC, atau kelipatan persekutuan terkecil, adalah bilangan asli terkecil dari dua bilangan atau lebih yang habis dibagi masing-masing bilangan tersebut tanpa sisa.

Berikut adalah contoh cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dari 30 dan 42.

Langkah pertama adalah memfaktorkan bilangan-bilangan tersebut menjadi faktor prima.

Untuk 30 itu adalah 2 x 3 x 5.

Untuk 42 adalah 2 x 3 x 7. Karena 2 dan 3 merupakan perluasan dari bilangan 30, kita coret.

Kita tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan 30. Yaitu 2 x 3 x 5.
Sekarang kita perlu mengalikannya dengan faktor hilang yang kita miliki saat memperluas 42, yaitu 7. Kita mendapatkan 2 x 3 x 5 x 7.
Kita cari 2 x 3 x 5 x 7 dan dapatkan 210.

Hasilnya, KPK dari bilangan 30 dan 42 adalah 210.

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil, Anda perlu melakukan beberapa secara berurutan tindakan sederhana. Mari kita lihat menggunakan dua angka sebagai contoh: 8 dan 12

Kita memfaktorkan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima: 8=2*2*2 dan 12=3*2*2
Kami mengurangi faktor yang sama dari salah satu angka. Dalam kasus kita, 2 * 2 bertepatan, mari kita kurangi menjadi 12, maka 12 akan memiliki satu faktor yang tersisa: 3.
Temukan produk dari semua faktor yang tersisa: 2*2*2*3=24

Dengan memeriksa, kita pastikan bahwa 24 habis dibagi 8 dan 12, dan ini adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi masing-masing bilangan tersebut. Ini dia menemukan kelipatan persekutuan terkecil.

Saya akan mencoba menjelaskannya dengan menggunakan contoh angka 6 dan 8. Kelipatan persekutuan terkecil adalah bilangan yang dapat dibagi dengan angka-angka tersebut (dalam kasus kita, 6 dan 8) dan tidak akan ada sisanya.

Jadi, pertama-tama kita mulai mengalikan 6 dengan 1, 2, 3, dst. dan 8 dengan 1, 2, 3, dst.

Nomor kedua: b=

Pemisah seribu Tanpa pemisah spasi "´

Hasil:

Terbesar pembagi persekutuan KPK( A,B)=6

Kelipatan persekutuan terkecil dari KPK( A,B)=468

Bilangan asli terbesar yang membagi bilangan a dan b tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar(GCD) dari angka-angka ini. Dilambangkan dengan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).

Kelipatan persekutuan terkecil KPK dari dua bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi a dan b tanpa sisa. Dilambangkan KPK(a,b), atau lcm(a,b).

Bilangan bulat a dan b disebut saling prima, jika keduanya tidak mempunyai pembagi persekutuan selain +1 dan −1.

Pembagi persekutuan terbesar

Biarkan dua diberikan angka positif A 1 dan A 2 1). Diperlukan untuk mencari pembagi persekutuan dari bilangan-bilangan ini, mis. temukan nomor seperti itu λ , yang membagi angka A 1 dan A 2 pada waktu yang sama. Mari kita jelaskan algoritmanya.

1) Dalam artikel ini, kata bilangan akan dipahami sebagai bilangan bulat.

Membiarkan A 1 ≥ A 2 dan biarkan

Di mana M 1 , A 3 adalah beberapa bilangan bulat, A 3 <A 2 (sisa pembagian A 1 per A 2 harus lebih sedikit A 2).

Mari kita berpura-pura seperti itu λ membagi A 1 dan A 2 lalu λ membagi M 1 A 2 dan λ membagi A 1 −M 1 A 2 =A 3 (Pernyataan 2 artikel “Keterbagian bilangan. Uji keterbagian”). Oleh karena itu, setiap pembagi persekutuan A 1 dan A 2 adalah pembagi persekutuan A 2 dan A 3. Hal sebaliknya juga berlaku jika λ pembagi persekutuan A 2 dan A 3 lalu M 1 A 2 dan A 1 =M 1 A 2 +A 3 juga habis dibagi λ . Oleh karena itu pembagi persekutuan A 2 dan A 3 juga merupakan pembagi persekutuan A 1 dan A 2. Karena A 3 <A 2 ≤A 1, maka kita dapat mengatakan bahwa penyelesaian masalah mencari pembagi bilangan yang sama A 1 dan A 2 direduksi menjadi masalah yang lebih sederhana yaitu mencari pembagi bilangan yang sama A 2 dan A 3 .

Jika A 3 ≠0, maka kita dapat membaginya A 2 per A 3. Kemudian

Di mana M 1 dan A 4 adalah beberapa bilangan bulat, ( A 4 sisa dari divisi A 2 per A 3 (A 4 <A 3)). Dengan alasan serupa kita sampai pada kesimpulan bahwa pembagi bilangan sama A 3 dan A 4 bertepatan dengan pembagi bilangan yang sama A 2 dan A 3, dan juga dengan pembagi persekutuan A 1 dan A 2. Karena A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... adalah bilangan yang terus menurun, dan karena ada bilangan bulat yang berhingga di antaranya A 2 dan 0, lalu pada langkah tertentu N, sisa divisi A dan aktif A n+1 akan sama dengan nol ( A n+2 =0).

Setiap pembagi persekutuan λ angka A 1 dan A 2 juga merupakan pembagi bilangan A 2 dan A 3 , A 3 dan A 4 , .... A n dan A n+1 . Kebalikannya juga benar, yaitu pembagi bilangan yang umum A n dan A n+1 juga merupakan pembagi bilangan A n−1 dan A N , .... , A 2 dan A 3 , A 1 dan A 2. Tapi pembagi bilangan yang sama A n dan A n+1 adalah angka A n+1 , karena A n dan A n+1 habis dibagi A n+1 (ingat itu A n+2 =0). Karena itu A n+1 juga merupakan pembagi bilangan A 1 dan A 2 .

Perhatikan nomor itu A n+1 adalah pembagi bilangan terbesar A n dan A n+1 , karena pembagi terbesar A n+1 adalah dirinya sendiri A n+1 . Jika A n+1 dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bilangan bulat, maka bilangan-bilangan tersebut juga merupakan pembagi bilangan yang sama A 1 dan A 2. Nomor A n+1 dipanggil pembagi persekutuan terbesar angka A 1 dan A 2 .

Angka A 1 dan A 2 dapat berupa bilangan positif atau negatif. Jika salah satu bilangan sama dengan nol, maka pembagi persekutuan terbesar bilangan-bilangan tersebut akan sama dengan nilai absolut bilangan lainnya. Pembagi persekutuan terbesar dari bilangan nol tidak terdefinisi.

Algoritma di atas disebut Algoritma Euclidean untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat.

Contoh mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan

Temukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan 630 dan 434.

Langkah 1. Bagilah angka 630 dengan 434. Sisanya adalah 196.
Langkah 2. Bagilah angka 434 dengan 196. Sisanya adalah 42.
Langkah 3. Bagilah angka 196 dengan 42. Sisanya adalah 28.
Langkah 4. Bagilah angka 42 dengan 28. Sisanya adalah 14.
Langkah 5. Bagilah angka 28 dengan 14. Sisanya adalah 0.

Pada langkah 5, sisa pembagiannya adalah 0. Jadi, pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 630 dan 434 adalah 14. Perhatikan bahwa bilangan 2 dan 7 juga merupakan pembagi dari bilangan 630 dan 434.

bilangan koprima

Definisi 1. Biarkan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut A 1 dan A 2 sama dengan satu. Kemudian nomor-nomor ini dipanggil bilangan koprima, tidak memiliki pembagi persekutuan.

Dalil 1. Jika A 1 dan A 2 bilangan koprima, dan λ suatu bilangan, lalu pembagi bilangan apa pun ya 1 dan A 2 juga merupakan pembagi bilangan yang umum λ Dan A 2 .

Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclidean untuk mencari pembagi persekutuan terbesar suatu bilangan A 1 dan A 2 (lihat di atas).

Dari ketentuan teorema berikut bahwa pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut A 1 dan A 2 dan karena itu A n dan A n+1 adalah 1. Yaitu A n+1 =1.

Mari kalikan semua persamaan ini dengan λ , Kemudian

Biarkan pembagi persekutuan A 1 λ Dan A 2 ya δ . Kemudian δ disertakan sebagai pengali dalam A 1 λ , M 1 A 2 λ dan masuk A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (lihat "Pembagian bilangan", Pernyataan 2). Lebih jauh δ disertakan sebagai pengali dalam A 2 λ Dan M 2 A 3 λ , dan, oleh karena itu, merupakan faktor dalam A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Dengan alasan seperti ini, kami yakin akan hal itu δ disertakan sebagai pengali dalam A n−1 λ Dan M n−1 A N λ , dan karena itu masuk A n−1 λ −M n−1 A N λ =A n+1 λ . Karena A n+1 =1, maka δ disertakan sebagai pengali dalam λ . Oleh karena itu nomornya δ adalah pembagi bilangan yang umum λ Dan A 2 .

Mari kita perhatikan kasus khusus Teorema 1.

Konsekuensi 1. Membiarkan A Dan C Bilangan prima bersifat relatif B. Lalu produk mereka ac adalah bilangan prima terhadap B.

Benar-benar. Dari Teorema 1 ac Dan B mempunyai pembagi persekutuan yang sama dengan C Dan B. Tapi angkanya C Dan B relatif sederhana, yaitu memiliki satu pembagi persekutuan 1. Kemudian ac Dan B juga mempunyai satu pembagi persekutuan 1. Oleh karena itu ac Dan B saling sederhana.

Konsekuensi 2. Membiarkan A Dan B bilangan koprima dan biarkan B membagi aku. Kemudian B membagi dan k.

Benar-benar. Dari kondisi persetujuan aku Dan B mempunyai pembagi yang sama B. Berdasarkan Teorema 1, B harus merupakan pembagi persekutuan B Dan k. Karena itu B membagi k.

Akibat wajar 1 dapat digeneralisasikan.

Konsekuensi 3. 1. Biarkan angkanya A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m adalah bilangan prima relatif terhadap bilangan tersebut B. Kemudian A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, hasil kali bilangan-bilangan ini adalah bilangan prima terhadap bilangan tersebut B.

2. Misalkan kita mempunyai dua baris bilangan

sedemikian rupa sehingga setiap bilangan pada deret pertama adalah bilangan prima dengan perbandingan setiap bilangan pada deret kedua. Lalu produknya

Anda perlu mencari bilangan yang habis dibagi masing-masing bilangan tersebut.

Jika suatu bilangan habis dibagi A 1 , maka ia memiliki bentuk sa 1 dimana S beberapa nomor. Jika Q adalah pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilangan A 1 dan A 2, lalu

Di mana S 1 adalah bilangan bulat. Kemudian

adalah kelipatan persekutuan terkecil suatu bilangan A 1 dan A 2 .

A 1 dan A 2 relatif prima, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut A 1 dan A 2:

Kita perlu mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan ini.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa setiap kelipatan bilangan A 1 , A 2 , A 3 harus merupakan kelipatan angka ε Dan A 3 dan kembali. Misalkan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut ε Dan A 3 ya ε 1 . Selanjutnya, kelipatan angka A 1 , A 2 , A 3 , A 4 harus merupakan kelipatan angka ε 1 dan A 4. Misalkan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut ε 1 dan A 4 ya ε 2. Jadi, kami menemukan bahwa semua kelipatan angka A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m bertepatan dengan kelipatan suatu bilangan tertentu ε n, yang disebut kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tertentu.

Dalam kasus khusus bila angkanya A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m relatif prima, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut A 1 , A 2, seperti gambar di atas, berbentuk (3). Selanjutnya, sejak itu A 3 bilangan prima dalam kaitannya dengan bilangan A 1 , A 2 lalu A 3 bilangan prima A 1 · A 2 (akibat wajar 1). Berarti kelipatan persekutuan terkecil dari suatu bilangan A 1 ,A 2 ,A 3 adalah angka A 1 · A 2 · A 3. Dengan alasan yang sama, kita sampai pada pernyataan berikut.

Penyataan 1. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan koprima A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m sama dengan produk mereka A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

Penyataan 2. Bilangan apa pun yang habis dibagi masing-masing bilangan koprima A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m juga habis dibagi produknya A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

Namun banyak pula bilangan asli yang habis dibagi bilangan asli lainnya.

Misalnya:

Bilangan 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Bilangan 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Bilangan-bilangan yang habis dibagi seluruhnya (untuk 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi angka. Pembagi bilangan asli A- adalah bilangan asli yang membagi bilangan tertentu A tanpa jejak. Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut gabungan .

KPK selalu merupakan bilangan asli yang harus lebih besar dari bilangan terbesar yang ditentukan.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Properti.

Komutatifitas:

Asosiatif:

Khususnya, jika dan merupakan bilangan koprima, maka:

Asimtotik untuk dapat dinyatakan dalam beberapa fungsi teori bilangan.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan:

Berikut definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Berikut ini hukum distribusi bilangan prima.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

NOC( a, b) dapat dihitung dengan beberapa cara:

1. Jika pembagi persekutuan terbesar diketahui, Anda dapat menggunakan hubungannya dengan KPK:

2. Diketahui penguraian kanonik kedua bilangan menjadi faktor prima:

Kemudian NOC ( A,B) dihitung dengan rumus:

Dengan kata lain, penguraian KPK memuat semua faktor prima yang termasuk dalam setidaknya salah satu penguraian bilangan a, b, dan diambil eksponen terbesar dari dua eksponen pengali ini.

Contoh:

Menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan dapat direduksi menjadi beberapa perhitungan KPK dua bilangan secara berurutan:

Aturan. Untuk mencari KPK dari serangkaian angka, Anda memerlukan:

- menguraikan bilangan menjadi faktor prima;

- pindahkan penguraian terbesar (perkalian faktor-faktor dari bilangan terbesar yang diberikan) ke faktor-faktor hasil kali yang diinginkan, lalu tambahkan faktor-faktor hasil penguraian bilangan-bilangan lain yang tidak muncul pada bilangan pertama atau muncul di dalamnya kali lebih sedikit;

— hasil kali faktor prima adalah KPK dari bilangan-bilangan tersebut.

Faktor prima bilangan 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (bilangan 21), maka hasil perkaliannya (84) adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 21 dan 28.

Bilangan 2,3,11,37 adalah bilangan prima, jadi KPKnya sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut.

Aturan. Untuk menghitung KPK bilangan prima, Anda perlu mengalikan semua bilangan tersebut.

Pilihan lain:

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa bilangan, Anda memerlukan:

1) nyatakan setiap bilangan sebagai hasil kali faktor primanya, misalnya:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan pangkat semua faktor prima:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembagi prima (pengganda) dari masing-masing bilangan tersebut;

4) pilih derajat terbesar dari masing-masing bilangan, yang terdapat pada semua perluasan bilangan-bilangan tersebut;

5) kalikan kekuatan ini.

Contoh. Tentukan KPK dari bilangan tersebut: 168, 180 dan 3024.

Larutan. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kita tuliskan pangkat terbesar dari semua pembagi prima dan kalikan:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Ekspresi dan soal matematika membutuhkan banyak pengetahuan tambahan. NOC adalah salah satu yang utama, terutama sering digunakan dalam Topik yang dipelajari di sekolah menengah, dan tidak terlalu sulit untuk memahami materi; seseorang yang akrab dengan pangkat dan tabel perkalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengidentifikasi angka-angka yang diperlukan dan menemukan hasil.

Definisi

Kelipatan persekutuan adalah suatu bilangan yang dapat habis dibagi dua bilangan sekaligus (a dan b). Paling sering, angka ini diperoleh dengan mengalikan angka asli a dan b. Bilangan tersebut harus habis dibagi kedua bilangan sekaligus, tanpa penyimpangan.

NOC adalah nama pendek yang diadopsi untuk sebutan tersebut, dikumpulkan dari huruf pertama.

Cara mendapatkan nomor

Metode mengalikan bilangan tidak selalu cocok untuk mencari KPK; metode ini lebih cocok untuk bilangan sederhana satu digit atau dua digit. Merupakan kebiasaan untuk membagi menjadi beberapa faktor; semakin besar angkanya, semakin banyak pula faktornya.

Contoh No.1

Sebagai contoh paling sederhana, sekolah biasanya menggunakan bilangan prima, satu digit, atau dua digit. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan tugas berikut, mencari kelipatan persekutuan terkecil dari angka 7 dan 3, penyelesaiannya cukup sederhana, cukup kalikan saja. Hasilnya adalah angka 21, tidak ada angka yang lebih kecil.

Contoh No.2

Versi kedua dari tugas ini jauh lebih sulit. Diberikan angka 300 dan 1260, wajib mencari LOC. Untuk mengatasi masalah ini, tindakan berikut diharapkan:

Penguraian bilangan pertama dan kedua menjadi faktor prima. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Tahap pertama selesai.

Tahap kedua melibatkan pengerjaan dengan data yang sudah diperoleh. Setiap angka yang diterima harus ikut serta dalam menghitung hasil akhir. Untuk setiap faktor, jumlah kemunculan terbesar diambil dari bilangan aslinya. KPK adalah suatu bilangan umum, sehingga faktor-faktor dari bilangan tersebut harus terulang di dalamnya, setiap bilangan, bahkan yang ada dalam satu rangkap. Kedua angka awal berisi angka 2, 3 dan 5, dalam pangkat yang berbeda; 7 hanya hadir dalam satu kasus.

Untuk menghitung hasil akhir, Anda perlu memasukkan setiap angka dengan pangkat terbesar ke dalam persamaan. Yang tersisa hanyalah mengalikan dan mendapatkan jawabannya; jika diisi dengan benar, tugas akan dimasukkan ke dalam dua langkah tanpa penjelasan:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Itu masalahnya, jika Anda mencoba menghitung angka yang diperlukan dengan perkalian, maka jawabannya pasti salah, karena 300 * 1260 = 378.000.

Penyelidikan:

6300/300 = 21 - benar;

6300/1260 = 5 - benar.

Kebenaran hasil yang diperoleh ditentukan dengan memeriksa - membagi KPK dengan kedua bilangan asli; jika bilangan tersebut bilangan bulat pada kedua kasus, maka jawabannya benar.

Apa yang dimaksud dengan NOC dalam matematika?

Seperti yang Anda ketahui, tidak ada satu pun fungsi yang tidak berguna dalam matematika, tidak terkecuali fungsi ini. Tujuan paling umum dari bilangan ini adalah untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama. Apa yang biasanya dipelajari di kelas 5-6 sekolah menengah. Ini juga merupakan pembagi umum untuk semua kelipatan, jika kondisi seperti itu ada dalam soal. Ekspresi seperti itu dapat menemukan kelipatan tidak hanya dari dua angka, tetapi juga dari angka yang jauh lebih besar - tiga, lima, dan seterusnya. Semakin banyak angkanya, semakin banyak tindakan dalam tugas tersebut, tetapi kompleksitasnya tidak bertambah.

Misalnya, jika diberi angka 250, 600, dan 1500, Anda perlu mencari KPK persekutuannya:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - contoh ini menjelaskan faktorisasi secara detail, tanpa pengurangan.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Untuk menyusun ekspresi, perlu disebutkan semua faktor, dalam hal ini diberikan 2, 5, 3 - untuk semua angka ini perlu ditentukan derajat maksimum.

Perhatian: semua faktor harus disederhanakan sepenuhnya, jika mungkin, didekomposisi ke tingkat satu digit.

Penyelidikan:

1) 3000/250 = 12 - benar;

2) 3000/600 = 5 - benar;

3) 3000/1500 = 2 - benar.

Cara ini tidak memerlukan trik atau kemampuan tingkat jenius apa pun, semuanya sederhana dan jelas.

Cara lain

Dalam matematika, banyak hal yang saling berhubungan, banyak hal yang dapat diselesaikan dengan dua cara atau lebih, begitu pula dengan mencari kelipatan persekutuan terkecil, KPK. Metode berikut dapat digunakan untuk bilangan sederhana dua digit dan satu digit. Sebuah tabel dikompilasi di mana pengali dimasukkan secara vertikal, pengali secara horizontal, dan produk ditunjukkan dalam sel-sel kolom yang berpotongan. Anda dapat merefleksikan tabel dengan menggunakan garis, mengambil suatu bilangan dan menuliskan hasil perkalian bilangan tersebut dengan bilangan bulat, dari 1 sampai tak terhingga, terkadang 3-5 poin saja sudah cukup, bilangan kedua dan selanjutnya menjalani proses komputasi yang sama. Semuanya terjadi sampai kelipatan persekutuan ditemukan.

Diberikan angka 30, 35, 42, Anda perlu mencari KPK yang menghubungkan semua angka tersebut:

1) Kelipatan 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, dst.

2) Kelipatan 35 : 70, 105, 140, 175, 210, 245, dst.

3) Kelipatan 42: 84, 126, 168, 210, 252, dst.

Terlihat bahwa semua angkanya sangat berbeda, satu-satunya angka yang umum di antara angka-angka tersebut adalah 210, jadi itu adalah NOC. Di antara proses-proses yang terlibat dalam perhitungan ini juga terdapat pembagi persekutuan terbesar, yang dihitung berdasarkan prinsip serupa dan sering dijumpai pada soal-soal yang berdekatan. Perbedaannya kecil, tetapi cukup signifikan, KPK melibatkan penghitungan bilangan yang dibagi dengan semua nilai awal yang diberikan, dan GCD melibatkan penghitungan nilai terbesar yang digunakan untuk membagi bilangan asli.

Nod dan nok suatu bilangan adalah pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) – Pengertian, Contoh dan Sifat

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Properti.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Bagaimana menemukan NOC

Pembagi persekutuan terbesar

Contoh mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan

bilangan koprima

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Properti.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Definisi

Cara mendapatkan nomor

Contoh No.1

Contoh No.2

Apa yang dimaksud dengan NOC dalam matematika?

Cara lain