Persamaan umum suatu bidang yang melalui 3 titik. Persamaan bidang

Persamaan pesawat. Bagaimana cara menulis persamaan bidang?
Posisi bersama pesawat. Tugas

Geometri spasial tidak lebih rumit daripada geometri “datar”, dan penerbangan kita di luar angkasa dimulai dengan artikel ini. Untuk menguasai suatu topik, Anda perlu memiliki pemahaman yang baik vektor, selain itu, disarankan untuk memahami geometri bidang - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, sehingga informasi akan dicerna lebih baik. Dalam rangkaian pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan sebuah artikel Persamaan garis lurus pada bidang datar. Namun kini Batman telah meninggalkan TV layar datar dan diluncurkan dari Baikonur Cosmodrome.

Mari kita mulai dengan gambar dan simbol. Secara skematis, bidang tersebut dapat digambar dalam bentuk jajar genjang, sehingga menimbulkan kesan ruang:

Bidangnya tidak terbatas, namun kita mempunyai kesempatan untuk menggambarkannya hanya sebagian saja. Dalam praktiknya, selain jajar genjang, juga digambar oval atau bahkan awan. Untuk alasan teknis, akan lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara dan posisi yang persis seperti ini. Bidang nyata, yang akan kita pertimbangkan dalam contoh praktis, dapat ditempatkan dengan cara apa pun - secara mental ambil gambar di tangan Anda dan putar di ruang angkasa, berikan bidang kemiringan apa pun, sudut apa pun.

Sebutan: pesawat biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani kecil, rupanya agar tidak membingungkan mereka garis lurus pada suatu bidang atau dengan garis lurus dalam ruang. Saya sudah terbiasa menggunakan surat itu. Pada gambarnya ada huruf “sigma”, dan bukan lubang sama sekali. Meski begitu, pesawat berlubang tersebut tentu cukup lucu.

Dalam beberapa kasus, lebih mudah menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip yang lebih rendah untuk menunjuk bidang, misalnya, .

Jelas sekali, pesawat itu secara unik ditentukan oleh tiga berbagai titik, tidak terletak pada satu garis lurus yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk bidang cukup populer - berdasarkan titik miliknya, misalnya, dll. Seringkali surat diapit tanda kurung: , agar tidak membingungkan bidang dengan bangun datar lainnya.

Untuk pembaca berpengalaman saya akan memberikan menu akses cepat:

Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor?
Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana dalam penantian yang lama:

Persamaan bidang umum

Persamaan umum bidang berbentuk , dimana koefisien-koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Sejumlah perhitungan teoretis dan masalah praktis berlaku baik untuk basis ortonormal biasa maupun untuk basis ruang affine (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor). Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa semua peristiwa terjadi dalam basis ortonormal dan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Sekarang mari kita latih sedikit imajinasi spasial kita. Tidak apa-apa kalau punyamu jelek, sekarang kita akan mengembangkannya sedikit. Bahkan bermain dengan gugup membutuhkan pelatihan.

Dalam kasus yang paling umum, ketika angka-angkanya tidak sama dengan nol, bidang tersebut memotong ketiga sumbu koordinat. Misalnya seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahwa bidang itu terus bergerak ke segala arah tanpa batas waktu, dan kita hanya mempunyai kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja.

Mari kita perhatikan persamaan bidang yang paling sederhana:

Bagaimana memahami persamaan ini? Coba pikirkan: “Z” SELALU sama dengan nol, untuk setiap nilai “X” dan “Y”. Ini adalah persamaan bidang koordinat "asli". Memang secara formal persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut: , dari sini Anda dapat melihat dengan jelas bahwa kita tidak peduli berapa nilai “x” dan “y”, yang penting “z” sama dengan nol.

Juga:
– persamaan bidang koordinat;
– persamaan bidang koordinat.

Mari kita sedikit memperumit masalahnya, pertimbangkan sebuah bidang (di sini dan selanjutnya di paragraf kita berasumsi bahwa koefisien numerik tidak sama dengan nol). Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: . Bagaimana cara memahaminya? “X” adalah SELALU, untuk setiap nilai “Y” dan “Z”, sama dengan angka tertentu. Bidang ini sejajar dengan bidang koordinat. Misalnya, sebuah bidang sejajar dengan bidang dan melalui suatu titik.

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Mari tambahkan anggota: . Persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut: , yaitu “zet” bisa apa saja. Apa maksudnya? “X” dan “Y” dihubungkan oleh relasi, yang menggambar garis lurus tertentu pada bidang (Anda akan mengetahuinya persamaan garis pada bidang?). Karena “z” bisa berupa apa saja, garis lurus ini “direplikasi” pada ketinggian berapa pun. Jadi, persamaan tersebut mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat.

Jika suku bebasnya nol, maka bidang-bidang tersebut akan langsung melalui sumbu-sumbu yang bersesuaian. Misalnya, “proporsionalitas langsung” klasik: . Gambarlah garis lurus pada bidang dan kalikan secara mental ke atas dan ke bawah (karena “Z” adalah apa saja). Kesimpulan: bidang yang ditentukan oleh persamaan melewati sumbu koordinat.

Kami menyelesaikan ulasannya: persamaan bidang melewati titik asal. Nah, di sini cukup jelas bahwa poin tersebut memenuhi persamaan ini.

Dan terakhir, kasus yang ditunjukkan pada gambar: – bidang bersahabat dengan semua sumbu koordinat, sedangkan bidang tersebut selalu “memotong” sebuah segitiga, yang dapat ditempatkan di salah satu dari delapan oktan.

Ketimpangan linier dalam ruang

Untuk memahami informasi Anda perlu belajar dengan baik pertidaksamaan linear pada bidang tersebut, karena banyak hal akan serupa. Paragraf tersebut akan bersifat gambaran singkat dengan beberapa contoh, karena materi tersebut cukup jarang dalam praktek.

Jika persamaan mendefinisikan bidang, maka pertidaksamaannya
bertanya setengah spasi. Jika pertidaksamaannya tidak tegas (dua pertidaksamaan terakhir dalam daftar), maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut, selain setengah ruang, juga mencakup bidang itu sendiri.

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan bidang tersebut .

Larutan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Jelas sekali bahwa vektor-vektornya segaris:

Pertama, kita hilangkan vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana cara mencari vektor satuan? Untuk mencari vektor satuan, Anda memerlukan setiap membagi koordinat vektor dengan panjang vektor.

Mari kita tulis ulang vektor normal ke dalam bentuk dan temukan panjangnya:

Menurut hal di atas:

Menjawab:

Verifikasi: apa yang diperlukan untuk diverifikasi.

Pembaca yang mempelajari paragraf terakhir pelajaran dengan cermat mungkin memperhatikan hal itu koordinat vektor satuan sama persis dengan cosinus arah vektor tersebut:

Mari kita istirahat sejenak dari permasalahan yang ada: ketika Anda diberi vektor bukan nol yang berubah-ubah, dan sesuai dengan kondisi tersebut diperlukan untuk mencari cosinus arahnya (lihat soal terakhir pelajaran Produk titik dari vektor), maka Anda sebenarnya menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor ini. Sebenarnya dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk mencari vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kita telah menemukan cara untuk mendapatkan vektor normal, sekarang mari kita jawab pertanyaan sebaliknya:

Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

Konstruksi kaku dari vektor normal dan suatu titik ini diketahui dengan baik oleh papan dart. Silakan rentangkan tangan Anda ke depan dan secara mental pilih titik sembarang di ruang angkasa, misalnya, kucing kecil di bufet. Jelasnya, melalui titik ini Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus dengan tangan Anda.

Persamaan bidang yang melalui suatu titik yang tegak lurus terhadap vektor dinyatakan dengan rumus:

Agar sebuah bidang dapat ditarik melalui tiga titik mana pun dalam ruang, titik-titik tersebut harus tidak terletak pada garis lurus yang sama.

Perhatikan titik M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) pada sistem koordinat Kartesius umum.

Agar suatu titik sembarang M(x, y, z) terletak pada bidang yang sama dengan titik M 1, M 2, M 3, vektor-vektornya harus koplanar.

(
) = 0

Dengan demikian,

Persamaan bidang yang melalui tiga titik:

Persamaan bidang yang diberikan dua titik dan sebuah vektor yang segaris terhadap bidang tersebut.

Misalkan titik M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) dan vektornya diberikan
.

Mari kita buat persamaan untuk sebuah bidang yang melalui titik tertentu M 1 dan M 2 dan titik sembarang M (x, y, z) yang sejajar dengan vektor .

vektor
dan vektor
harus koplanar, mis.

(
) = 0

Persamaan bidang:

Persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor,

sejajar dengan bidang.

Misalkan dua vektor diberikan
Dan
, bidang collinear. Kemudian untuk titik sembarang M(x, y, z) yang termasuk dalam bidang, vektor-vektornya
harus koplanar.

Persamaan bidang:

Persamaan bidang dengan titik dan vektor normal .

Dalil. Jika sebuah titik M diberikan pada ruang 0 (X 0 , kamu 0 , z 0 ), maka persamaan bidang yang melalui titik M 0 tegak lurus terhadap vektor normal (A, B, C) memiliki bentuk:

A(X – X 0 ) + B(kamu – kamu 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bukti. Untuk titik sembarang M(x, y, z) yang termasuk dalam bidang, kita buat sebuah vektor. Karena vektor adalah vektor normal, maka tegak lurus bidang, dan karenanya tegak lurus terhadap vektor
. Kemudian produk skalar

= 0

Jadi, kita memperoleh persamaan bidang

Teorema tersebut telah terbukti.

Persamaan bidang dalam segmen.

Jika pada persamaan umum Ax + By + Cz + D = 0 kita bagi kedua ruasnya dengan (-D)

menggantikan
, kita memperoleh persamaan bidang dalam segmen:

Bilangan a, b, c masing-masing merupakan titik potong bidang dengan sumbu x, y, z.

Persamaan bidang dalam bentuk vektor.

Di mana

- vektor radius titik saat ini M(x, y, z),

Vektor satuan yang arahnya tegak lurus jatuh pada bidang dari titik asal.

,  dan  adalah sudut yang dibentuk oleh vektor ini dengan sumbu x, y, z.

p adalah panjang tegak lurus ini.

Secara koordinat, persamaan ini terlihat seperti:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Jarak dari suatu titik ke bidang.

Jarak dari titik sembarang M 0 (x 0, y 0, z 0) ke bidang Ax+By+Cz+D=0 adalah:

Contoh. Carilah persamaan bidang tersebut, dengan mengetahui bahwa titik P(4; -3; 12) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang tersebut.

Jadi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, kita menggunakan rumus:

SEBUAH(x – x 0 ) + B(kamu – kamu 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Contoh. Tentukan persamaan bidang yang melalui dua titik P(2; 0; -1) dan

Q(1; -1; 3) tegak lurus bidang 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vektor normal bidang 3x + 2y – z + 5 = 0
sejajar dengan bidang yang diinginkan.

Kami mendapatkan:

Contoh. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(2, -1, 4) dan

B(3, 2, -1) tegak lurus bidang X + pada + 2z – 3 = 0.

Persamaan bidang yang diperlukan berbentuk: A X+B kamu+C z+ D = 0, vektor normal pada bidang ini (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) milik pesawat. Bidang yang diberikan kepada kita, tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan, mempunyai vektor normal (1, 1, 2). Karena titik A dan B berada pada kedua bidang, dan kedua bidang tersebut saling tegak lurus

Jadi vektor normalnya (11, -7, -2). Karena titik A termasuk dalam bidang yang diinginkan, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan bidang tersebut, yaitu. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Totalnya, kita mendapatkan persamaan bidang: 11 X - 7kamu – 2z – 21 = 0.

Contoh. Carilah persamaan bidang tersebut, dengan mengetahui bahwa titik P(4, -3, 12) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke bidang tersebut.

Menemukan koordinat vektor normal
= (4, -3, 12). Persamaan bidang yang diperlukan berbentuk: 4 X – 3kamu + 12z+ D = 0. Untuk mencari koefisien D, kita substitusikan koordinat titik P ke dalam persamaan:

16 + 9 + 144 + D = 0

Secara total, kita mendapatkan persamaan yang diperlukan: 4 X – 3kamu + 12z – 169 = 0

Contoh. Diberikan koordinat titik-titik piramida A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Tentukan panjang rusuk A 1 A 2.

Tentukan sudut antara rusuk A 1 A 2 dan A 1 A 4.

Tentukan sudut antara sisi A 1 A 4 dan sisi A 1 A 2 A 3.

Pertama kita cari vektor normal pada muka A 1 A 2 A 3 sebagai perkalian silang vektor
Dan
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Mari kita cari sudut antara vektor normal dan vektor
.

-4 – 4 = -8.

Sudut yang diinginkan  antara vektor dan bidang akan sama dengan  = 90 0 - .

Hitunglah luas muka A 1 A 2 A 3.

Temukan volume piramida.

Temukan persamaan bidang A 1 A 2 A 3.

Mari kita gunakan rumus persamaan bidang yang melalui tiga titik.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + kamu + z – 4 = 0;

Saat menggunakan versi komputer “ Kursus matematika yang lebih tinggi” Anda dapat menjalankan program yang akan menyelesaikan contoh di atas untuk setiap koordinat simpul piramida.

Untuk memulai program, klik dua kali pada ikon:

Di jendela program yang terbuka, masukkan koordinat simpul piramida dan tekan Enter. Dengan cara ini, semua poin keputusan bisa diperoleh satu per satu.

Catatan: Untuk menjalankan program, program Maple ( Waterloo Maple Inc.) versi apa pun, dimulai dengan MapleV Rilis 4, harus diinstal di komputer Anda.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat bagaimana menggunakan determinan untuk mencipta persamaan bidang. Jika Anda tidak tahu apa itu determinan, lanjutkan ke bagian pertama pelajaran - “Matriks dan determinan”. Jika tidak, Anda berisiko tidak memahami apa pun dalam materi hari ini.

Persamaan bidang menggunakan tiga titik

Mengapa kita membutuhkan persamaan bidang? Sederhana saja: dengan mengetahuinya, kita dapat dengan mudah menghitung sudut, jarak, dan omong kosong lainnya di soal C2. Secara umum, persamaan ini sangat diperlukan. Oleh karena itu, kami merumuskan masalahnya:

Tugas. Tiga titik diberikan pada ruang yang tidak terletak pada garis yang sama. Koordinat mereka:

M = (x 1, kamu 1, z 1);
N = (x 2, kamu 2, z 2);
K = (x 3, kamu 3, z 3);

Anda perlu membuat persamaan untuk bidang yang melewati ketiga titik tersebut. Selain itu, persamaannya akan terlihat seperti:

Kapak + Oleh + Cz + D = 0

dimana bilangan A, B, C dan D adalah koefisien yang sebenarnya perlu dicari.

Nah, bagaimana cara mendapatkan persamaan bidang jika hanya diketahui koordinat titiknya? Cara termudah adalah dengan mensubstitusikan koordinat tersebut ke dalam persamaan Ax + By + Cz + D = 0. Anda mendapatkan sistem tiga persamaan yang dapat diselesaikan dengan mudah.

Banyak siswa menganggap solusi ini sangat membosankan dan tidak dapat diandalkan. Ujian Negara Bersatu di bidang matematika tahun lalu menunjukkan bahwa kemungkinan terjadinya kesalahan komputasi sangat tinggi.

Oleh karena itu, guru yang paling mahir mulai mencari solusi yang lebih sederhana dan elegan. Dan mereka menemukannya! Benar, teknik yang diperoleh lebih berkaitan dengan matematika yang lebih tinggi. Secara pribadi, saya harus mengobrak-abrik seluruh Daftar Buku Teks Federal untuk memastikan bahwa kami memiliki hak untuk menggunakan teknik ini tanpa pembenaran atau bukti apa pun.

Persamaan bidang melalui determinan

Cukup liriknya, mari kita mulai bisnisnya. Pertama, teorema tentang hubungan determinan matriks dan persamaan bidang.

Dalil. Misalkan diberikan koordinat tiga titik yang melaluinya bidang tersebut harus ditarik: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, kamu 2, z 2); K = (x 3, kamu 3, z 3). Maka persamaan bidang ini dapat dituliskan melalui determinan:

Sebagai contoh, mari kita coba mencari sepasang bidang yang benar-benar muncul pada soal C2. Lihat betapa cepatnya semuanya dihitung:

SEBUAH 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Kami membuat determinan dan menyamakannya dengan nol:

Kami memperluas determinannya:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Seperti yang Anda lihat, saat menghitung bilangan d, saya “menyisir” persamaannya sedikit sehingga variabel x, y dan z berada pada urutan yang benar. Itu saja! Persamaan bidang sudah siap!

Tugas. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut:

SEBUAH = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Kita segera substitusikan koordinat titik-titik tersebut ke dalam determinan:

Kami memperluas determinannya lagi:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Jadi, persamaan bidangnya diperoleh kembali! Sekali lagi, pada langkah terakhir kami harus mengubah tanda-tanda di dalamnya untuk mendapatkan formula yang lebih “indah”. Sama sekali tidak perlu melakukan hal ini dalam solusi ini, namun tetap disarankan - untuk menyederhanakan solusi masalah lebih lanjut.

Seperti yang Anda lihat, menyusun persamaan bidang kini jauh lebih mudah. Kami mengganti titik-titik ke dalam matriks, menghitung determinannya - dan selesai, persamaannya sudah siap.

Ini bisa mengakhiri pelajaran. Namun, banyak siswa yang terus-menerus melupakan apa yang ada di dalam determinan. Misalnya baris mana yang berisi x 2 atau x 3, dan baris mana yang hanya berisi x. Untuk mengatasi hal ini, mari kita lihat dari mana setiap angka berasal.

Rumus dengan determinannya dari mana?

Jadi, mari kita cari tahu dari mana persamaan kasar dengan determinan itu berasal. Ini akan membantu Anda mengingatnya dan menerapkannya dengan sukses.

Semua bidang yang muncul pada Soal C2 ditentukan oleh tiga titik. Poin-poin ini selalu ditandai pada gambar, atau bahkan ditunjukkan langsung dalam teks soal. Bagaimanapun, untuk membuat persamaan kita perlu menuliskan koordinatnya:

M = (x 1, kamu 1, z 1);
N = (x 2, kamu 2, z 2);
K = (x 3, kamu 3, z 3).

Mari kita pertimbangkan titik lain di bidang kita dengan koordinat sembarang:

T = (x, y, z)

Ambil titik mana saja dari tiga titik pertama (misalnya, titik M) dan gambarkan vektor dari titik tersebut ke masing-masing dari tiga titik tersisa. Kami mendapatkan tiga vektor:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Sekarang mari kita buat matriks persegi dari vektor-vektor ini dan samakan determinannya dengan nol. Koordinat vektor akan menjadi baris matriks - dan kita akan mendapatkan determinan yang ditunjukkan dalam teorema:

Rumus ini berarti volume suatu parallelepiped yang dibangun pada vektor MN, MK dan MT sama dengan nol. Oleh karena itu, ketiga vektor terletak pada bidang yang sama. Secara khusus, titik sembarang T = (x, y, z) persis seperti yang kita cari.

Mengganti titik dan garis determinan

Penentu memiliki beberapa sifat hebat yang membuatnya lebih mudah penyelesaian masalah C2. Misalnya, tidak masalah bagi kita dari titik mana kita menggambar vektor. Oleh karena itu, determinan berikut memberikan persamaan bidang yang sama seperti di atas:

Anda juga dapat menukar garis determinannya. Persamaannya akan tetap tidak berubah. Misalnya banyak orang yang suka menulis garis dengan koordinat titik T = (x; y; z) di bagian paling atas. Silakan, jika Anda merasa nyaman:

Beberapa orang bingung karena salah satu garis berisi variabel x, y, dan z yang tidak hilang saat titik disubstitusi. Tapi mereka tidak seharusnya menghilang! Mengganti angka-angka tersebut ke dalam determinan, Anda akan mendapatkan konstruksi ini:

Kemudian determinannya diperluas sesuai diagram yang diberikan di awal pelajaran, dan diperoleh persamaan standar bidang:

Kapak + Oleh + Cz + D = 0

Lihatlah sebuah contoh. Ini yang terakhir dalam pelajaran hari ini. Saya sengaja menukar garisnya untuk memastikan jawabannya memberikan persamaan bidang yang sama.

Tugas. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Jadi, kami mempertimbangkan 4 poin:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pertama, mari kita buat determinan standar dan samakan dengan nol:

Kami memperluas determinannya:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Selesai, kita mendapat jawabannya: x + y + z − 2 = 0.

Sekarang mari kita atur ulang beberapa baris pada determinan dan lihat apa yang terjadi. Sebagai contoh, mari kita tuliskan sebuah baris dengan variabel x, y, z bukan di bawah, melainkan di atas:

Kami kembali memperluas determinan yang dihasilkan:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Kita mendapatkan persamaan bidang yang persis sama: x + y + z − 2 = 0. Artinya persamaan tersebut tidak bergantung pada urutan barisnya. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya.

Jadi, kita yakin bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada barisan garis. Kita dapat melakukan perhitungan serupa dan membuktikan bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada titik yang koordinatnya kita kurangi dari titik lainnya.

Pada soal di atas, kita menggunakan titik B 1 = (1, 0, 1), tetapi sangat mungkin untuk mengambil C = (1, 1, 0) atau D 1 = (0, 1, 1). Secara umum, setiap titik dengan koordinat yang diketahui terletak pada bidang yang diinginkan.

Anda dapat mengatur dengan cara yang berbeda(satu titik dan satu vektor, dua titik dan satu vektor, tiga titik, dst.). Dengan pemikiran inilah persamaan bidang dapat dimiliki berbagai jenis. Juga, tunduk pada kondisi tertentu bidang bisa sejajar, tegak lurus, berpotongan, dll. Kami akan membicarakan hal ini di artikel ini. Kita akan belajar cara membuat persamaan umum bidang dan banyak lagi.

Bentuk persamaan normal

Katakanlah ada ruang R 3 yang mempunyai sistem koordinat XYZ persegi panjang. Mari kita definisikan vektor α yang akan dilepaskan dari titik awal O. Melalui ujung vektor α kita menggambar sebuah bidang P yang tegak lurus terhadapnya.

Mari kita nyatakan titik sembarang di P sebagai Q = (x, y, z). Mari kita tandatangani vektor jari-jari titik Q dengan huruf p. Dalam hal ini, panjang vektor α sama dengan р=IαI dan Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ini adalah vektor satuan yang arahnya ke samping, seperti vektor α. α, β dan γ adalah sudut yang terbentuk antara vektor Ʋ dan arah positif sumbu ruang x, y, z. Proyeksi titik mana pun QϵП ke vektor Ʋ adalah nilai konstanta yang sama dengan p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Persamaan di atas masuk akal ketika p=0. Satu-satunya hal adalah bidang P dalam hal ini akan memotong titik O (α = 0), yang merupakan titik asal koordinat, dan vektor satuan Ʋ yang dilepaskan dari titik O akan tegak lurus terhadap P, meskipun arahnya, yaitu berarti vektor Ʋ ditentukan dengan tanda yang tepat. Persamaan sebelumnya adalah persamaan bidang P kita, dinyatakan dalam bentuk vektor. Namun secara koordinat akan terlihat seperti ini:

P di sini lebih besar dari atau sama dengan 0. Kita telah menemukan persamaan bidang di ruang angkasa dalam bentuk normal.

Persamaan umum

Jika kita mengalikan persamaan dalam koordinat dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol, kita memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan ini, yang mendefinisikan bidang tersebut. Ini akan terlihat seperti ini:

Di sini A, B, C adalah bilangan-bilangan yang sekaligus berbeda dari nol. Persamaan ini disebut persamaan bidang umum.

Persamaan pesawat. Kasus khusus

Persamaan di pandangan umum dapat diubah sesuai dengan ketentuan tambahan. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

Misalkan koefisien A adalah 0. Artinya bidang ini sejajar dengan sumbu Ox tertentu. Dalam hal ini, bentuk persamaannya akan berubah: Ву+Cz+D=0.

Demikian pula, bentuk persamaannya akan berubah pada kondisi berikut:

Pertama, jika B = 0, maka persamaannya akan berubah menjadi Ax + Cz + D = 0 yang menunjukkan paralelisme terhadap sumbu Oy.
Kedua, jika C=0, maka persamaan tersebut akan diubah menjadi Ax+By+D=0, yang menunjukkan paralelisme dengan sumbu Oz yang diberikan.
Ketiga, jika D=0, persamaannya akan terlihat seperti Ax+By+Cz=0, artinya bidang tersebut memotong O (titik asal).
Keempat, jika A=B=0, maka persamaannya akan berubah menjadi Cz+D=0, yang terbukti sejajar dengan Oxy.
Kelima, jika B=C=0, maka persamaannya menjadi Ax+D=0, artinya bidang yang menghadap Oyz sejajar.
Keenam, jika A=C=0, maka persamaannya akan berbentuk Ву+D=0, yaitu akan melaporkan paralelisme ke Oxz.

Jenis persamaan dalam segmen

Dalam hal bilangan A, B, C, D berbeda dengan nol, maka bentuk persamaan (0) dapat berupa sebagai berikut:

x/a + y/b + z/c = 1,

dimana a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Sebagai hasilnya, perlu diperhatikan bahwa bidang ini akan memotong sumbu Ox di suatu titik dengan koordinat (a,0,0), Oy - (0,b,0), dan Oz - (0,0,c ).

Dengan mempertimbangkan persamaan x/a + y/b + z/c = 1, tidak sulit untuk membayangkan secara visual penempatan bidang relatif terhadap sistem koordinat tertentu.

Koordinat vektor normal

Vektor normal n terhadap bidang P mempunyai koordinat yang berupa koefisien persamaan umum dari suatu bidang tertentu, yaitu n (A, B, C).

Untuk menentukan koordinat n normal, cukup mengetahui persamaan umum suatu bidang tertentu.

Saat menggunakan persamaan dalam segmen yang berbentuk x/a + y/b + z/c = 1, seperti saat menggunakan persamaan umum, Anda dapat menuliskan koordinat vektor normal apa pun pada bidang tertentu: (1/a + 1/b + 1/ Dengan).

Perlu dicatat bahwa vektor normal membantu memecahkan berbagai masalah. Masalah yang paling umum mencakup masalah yang melibatkan pembuktian tegak lurus atau paralelisme bidang, masalah mencari sudut antar bidang atau sudut antara bidang dan garis lurus.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat titik dan vektor normal

Vektor bukan nol n yang tegak lurus terhadap bidang tertentu disebut normal untuk bidang tertentu.

Mari kita asumsikan bahwa dalam ruang koordinat (sistem koordinat persegi panjang) Oxyz diberikan:

titik Mₒ dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ);
vektor nol n=A*i+B*j+C*k.

Perlu dibuat persamaan bidang yang melalui titik Mₒ tegak lurus garis normal n.

Kami memilih titik sembarang dalam ruang dan menyatakannya M (x y, z). Misalkan vektor jari-jari sembarang titik M (x,y,z) adalah r=x*i+y*j+z*k, dan vektor jari-jari titik Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Titik M akan termasuk dalam suatu bidang tertentu jika vektor MₒM tegak lurus terhadap vektor n. Mari kita tuliskan kondisi ortogonalitas menggunakan hasil kali skalar:

[MₒM, n] = 0.

Karena MₒM = r-rₒ, persamaan vektor bidang tersebut akan terlihat seperti ini:

Persamaan ini dapat memiliki bentuk lain. Untuk melakukan ini, properti produk skalar digunakan, dan transformasinya adalah sisi kiri persamaan

= - . Jika kita menyatakannya sebagai c, kita mendapatkan persamaan berikut: - c = 0 atau = c, yang menyatakan keteguhan proyeksi ke vektor normal dari vektor jari-jari titik-titik tertentu yang termasuk dalam bidang.

Sekarang kita dapat memperoleh bentuk koordinat penulisan persamaan vektor bidang kita = 0. Karena r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dan n = A*i+B *j+С*k, kita punya:

Ternyata kita mempunyai persamaan bidang yang melewati suatu titik yang tegak lurus garis normal n:

A(x- xₒ)+B(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat dua titik dan vektor yang segaris terhadap bidang

Mari kita definisikan dua titik sembarang M′ (x′,y′,z′) dan M″ (x″,y″,z″), serta sebuah vektor a (a′,a″,a‴).

Sekarang kita dapat membuat persamaan untuk suatu bidang tertentu yang akan melewati titik M′ dan M″ yang ada, serta setiap titik M dengan koordinat (x, y, z) sejajar dengan vektor a yang diberikan.

Dalam hal ini, vektor M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dan M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) harus koplanar dengan vektor a=(a′,a″,a‴), artinya (M′M, M″M, a)=0.

Jadi persamaan bidang kita di luar angkasa akan terlihat seperti ini:

Katakanlah kita mempunyai tiga titik: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), yang tidak termasuk dalam garis yang sama. Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu perlu ditulis. Teori geometri menyatakan bahwa bidang semacam ini benar-benar ada, namun merupakan satu-satunya dan unik. Karena bidang ini memotong titik (x′,y′,z′), maka bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:

Di sini A, B, C berbeda dari nol pada waktu yang sama. Selain itu, bidang tertentu memotong dua titik lagi: (x″,y″,z″) dan (x‴,y‴,z‴). Dalam hal ini, syarat-syarat berikut harus dipenuhi:

Sekarang kita bisa menulis sistem homogen dengan tidak diketahui kamu, v, w:

Di kami kasus x,y atau z bertindak sebagai titik sembarang yang memenuhi persamaan (1). Diberikan persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3), sistem persamaan pada gambar di atas dipenuhi oleh vektor N (A,B,C) yang non-trivial. Oleh karena itu determinan sistem ini sama dengan nol.

Persamaan (1) yang kita peroleh adalah persamaan bidang. Ia melewati 3 titik dengan tepat, dan ini mudah untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, kita perlu memperluas determinan kita ke dalam elemen-elemen di baris pertama. Dari sifat-sifat determinan yang ada dapat disimpulkan bahwa bidang kita secara bersamaan memotong tiga titik yang awalnya diberikan (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Artinya, kami telah menyelesaikan tugas yang diberikan kepada kami.

Sudut dihedral antar bidang

Sudut dihedral adalah bangun ruang yang dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus. Dengan kata lain, ini adalah bagian ruang yang dibatasi oleh setengah bidang tersebut.

Katakanlah kita mempunyai dua bidang dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahwa vektor N=(A,B,C) dan N¹=(A¹,B¹,C¹) tegak lurus terhadap bidang tertentu. Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ sama dengan sudut (dihedral) yang terletak di antara bidang-bidang tersebut. Produk skalar mempunyai bentuk:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

justru karena

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Cukup dengan memperhitungkan bahwa 0≤φ≤π.

Faktanya, dua bidang yang berpotongan membentuk dua sudut (dihedral): φ 1 dan φ 2. Jumlahnya sama dengan π (φ 1 + φ 2 = π). Adapun cosinusnya nilai absolutnya sama, tetapi berbeda tandanya, yaitu cos φ 1 = -cos φ 2. Jika pada persamaan (0) kita ganti A, B dan C berturut-turut dengan bilangan -A, -B dan -C, maka persamaan yang kita peroleh akan menentukan bidang yang sama, satu-satunya, sudut φ pada persamaan cos φ= NN 1 /|.N||N 1 | akan digantikan oleh π-φ.

Persamaan bidang tegak lurus

Bidang yang sudutnya 90 derajat disebut tegak lurus. Dengan menggunakan materi di atas, kita dapat mencari persamaan suatu bidang yang tegak lurus terhadap bidang lainnya. Misalkan kita mempunyai dua bidang: Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Dapat dikatakan keduanya tegak lurus jika cosφ=0. Artinya NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Persamaan bidang paralel

Dua bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan disebut sejajar.

Syaratnya (persamaannya sama seperti pada paragraf sebelumnya) adalah vektor N dan N¹ yang tegak lurus terhadap vektor tersebut adalah segaris. Artinya syarat proporsionalitas berikut terpenuhi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jika kondisi proporsionalitas diperluas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ini menunjukkan bahwa bidang-bidang ini bertepatan. Artinya persamaan Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 menggambarkan satu bidang.

Jarak ke pesawat dari titik

Katakanlah kita mempunyai bidang P, yang diberikan oleh persamaan (0). Kita perlu mencari jarak dari suatu titik dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Untuk melakukan ini, Anda perlu membawa persamaan bidang P ke bentuk normal:

(ρ,v)=р (р≥0).

Dalam hal ini, ρ (x,y,z) adalah vektor jari-jari titik Q kita yang terletak di P, p adalah panjang tegak lurus P yang dilepaskan dari titik nol, v adalah vektor satuan yang terletak di arah a.

Selisih vektor jari-jari ρ-ρº suatu titik Q = (x, y, z), milik P, serta vektor jari-jari suatu titik tertentu Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) adalah suatu vektor, maka nilai mutlak proyeksi yang ke v sama dengan jarak d yang perlu dicari dari Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) ke P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, tetapi

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Jadi ternyata

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Jadi, kita akan menemukan nilai absolut dari ekspresi yang dihasilkan, yaitu d yang diinginkan.

Dengan menggunakan bahasa parameter, kita mendapatkan yang jelas:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jika suatu titik Q 0 berada pada sisi lain bidang P, seperti titik asal koordinat, maka antara vektor ρ-ρ 0 dan v maka terdapat:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Dalam hal titik Q 0 bersama dengan titik asal koordinat terletak pada sisi yang sama dengan P, maka sudut yang tercipta adalah lancip, yaitu:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Hasilnya, ternyata pada kasus pertama (ρ 0 ,v)>р, pada kasus kedua (ρ 0 ,v)<р.

Bidang singgung dan persamaannya

Bidang singgung permukaan pada titik kontak Mº adalah bidang yang memuat semua kemungkinan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut di permukaan.

Dengan persamaan permukaan seperti ini F(x,y,z)=0, persamaan bidang singgung di titik singgung Mº(xº,yº,zº) akan terlihat seperti ini:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jika Anda menentukan permukaan dalam bentuk eksplisit z=f (x,y), maka bidang singgung akan dijelaskan dengan persamaan:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Persimpangan dua bidang

Pada sistem koordinat (persegi panjang) Oxyz terletak, diberikan dua bidang П′ dan П″, yang berpotongan dan tidak berimpit. Karena setiap bidang yang terletak pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum, kita asumsikan bahwa P′ dan P″ diberikan oleh persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x +B″y+ ″z+D″=0. Dalam hal ini, kita mempunyai n′ (A′,B′,C′) normal pada bidang P′ dan n″ normal (A″,B″,C″) pada bidang P″. Karena bidang kita tidak sejajar dan tidak berimpit, maka vektor-vektor ini tidak segaris. Dengan menggunakan bahasa matematika, kita dapat menuliskan kondisi ini sebagai berikut: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Misalkan garis lurus yang terletak pada perpotongan P′ dan P″ dilambangkan dengan huruf a, dalam hal ini a = P′ ∩ P″.

a adalah garis lurus yang terdiri dari himpunan semua titik pada bidang (bersama) P′ dan P″. Artinya, koordinat titik mana pun yang termasuk dalam garis a harus memenuhi persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x+B″y+C″z+D″=0 secara bersamaan. . Artinya koordinat titik tersebut merupakan solusi parsial dari sistem persamaan berikut:

Hasilnya, penyelesaian (umum) sistem persamaan ini akan menentukan koordinat masing-masing titik garis yang menjadi titik potong P′ dan P″, serta menentukan garis lurus. a dalam sistem koordinat Oxyz (persegi panjang) di ruang angkasa.