Luas sisi lateral limas terpotong. Piramida

Dalam pelajaran ini kita akan melihat piramida terpotong, mengenal piramida terpotong biasa, dan mempelajari sifat-sifatnya.

Mari kita mengingat kembali konsep piramida n-gonal dengan menggunakan contoh piramida segitiga. Segitiga ABC diberikan. Di luar bidang segitiga, diambil titik P yang terhubung dengan titik-titik sudut segitiga. Permukaan polihedral yang dihasilkan disebut piramida (Gbr. 1).

Beras. 1. Piramida segitiga

Mari kita potong piramida dengan bidang yang sejajar dengan bidang alas piramida. Bentuk yang diperoleh di antara bidang-bidang ini disebut piramida terpotong (Gbr. 2).

Beras. 2. Piramida terpotong

Elemen penting:

Basis atas;

Basis bawah ABC;

Sisi wajah;

Jika PH adalah tinggi limas asal, maka PH adalah tinggi limas terpotong.

Sifat-sifat piramida terpotong muncul dari cara pembuatannya, yaitu dari kesejajaran bidang-bidang alasnya:

Semua sisi sisi piramida terpotong adalah trapesium. Misalnya saja pada bagian tepinya. Ia memiliki sifat bidang sejajar (karena bidang tersebut sejajar, bidang tersebut memotong sisi sisi piramida AVR asli sepanjang garis lurus sejajar), tetapi pada saat yang sama bidang tersebut tidak sejajar. Jelasnya, segi empat adalah trapesium, seperti semua sisi samping piramida terpotong.

Perbandingan alasnya sama untuk semua trapesium:

Kita mempunyai beberapa pasang segitiga sebangun dengan koefisien kemiripan yang sama. Misalnya segitiga dan RAB sebangun karena kesejajaran bidang-bidangnya dan , koefisien kemiripan:

Pada saat yang sama, segitiga dan RVS sebangun dengan koefisien kemiripan:

Jelasnya, koefisien kesebangunan ketiga pasang segitiga sebangun adalah sama, sehingga perbandingan alasnya sama untuk semua trapesium.

Piramida terpotong beraturan adalah limas terpotong yang diperoleh dengan memotong limas beraturan dengan bidang yang sejajar dengan alasnya (Gbr. 3).

Beras. 3. Piramida terpotong beraturan

Definisi.

Piramida disebut beraturan jika alasnya adalah n-gon beraturan, dan puncaknya diproyeksikan ke pusat n-gon ini (pusat lingkaran bertulis dan dibatasi).

Dalam hal ini, ada persegi di dasar piramida, dan puncaknya diproyeksikan pada titik perpotongan diagonalnya. Piramida ABCD terpotong segi empat beraturan yang dihasilkan memiliki alas bawah dan alas atas. Ketinggian piramida asli adalah RO, piramida terpotong adalah (Gbr. 4).

Beras. 4. Piramida terpotong segi empat beraturan

Definisi.

Tinggi limas terpotong adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik mana pun pada alas yang satu ke bidang alas yang kedua.

Apotema piramida asal adalah RM (M adalah titik tengah AB), apotema piramida terpotong adalah (Gbr. 4).

Definisi.

Apotema piramida terpotong adalah tinggi sisi mana pun.

Jelas bahwa semua sisi sisi piramida terpotong sama besar satu sama lain, yaitu sisi-sisinya adalah trapesium sama kaki.

Luas permukaan lateral limas terpotong beraturan sama dengan hasil kali setengah jumlah keliling alas dan apotema.

Bukti (untuk piramida terpotong segi empat biasa - Gambar 4):

Jadi, kita perlu membuktikan:

Luas permukaan samping di sini akan terdiri dari jumlah luas permukaan samping - trapesium. Karena trapesiumnya sama, kita mempunyai:

Persegi trapesium sama kaki adalah hasil kali setengah jumlah alas dan tinggi, apotema adalah tinggi trapesium. Kita punya:

Q.E.D.

Untuk piramida n-gonal:

Dimana n adalah jumlah sisi sisi piramida, a dan b adalah alas trapesium, dan merupakan apotema.

Sisi alasnya terpotong teratur piramida segi empat sama dengan 3 cm dan 9 cm, tinggi - 4 cm. Tentukan luas permukaan lateral.

Beras. 5. Ilustrasi soal 1

Larutan. Mari kita ilustrasikan kondisinya:

Ditanyakan oleh: , ,

Melalui titik O kita tarik garis lurus MN yang sejajar dengan kedua sisi alas bawah, demikian pula melalui titik tersebut kita tarik garis lurus (Gbr. 6). Karena bujur sangkar dan konstruksi pada alas limas terpotong sejajar, kita memperoleh trapesium yang sama dengan sisi-sisinya. Selain itu, sisinya akan melewati bagian tengah tepi atas dan bawah sisi samping dan akan menjadi apotema dari piramida terpotong.

Beras. 6. Konstruksi tambahan

Mari kita perhatikan trapesium yang dihasilkan (Gbr. 6). Pada trapesium ini diketahui alas atas, alas bawah, dan tingginya. Anda perlu menemukan sisi yang merupakan apotema dari piramida terpotong tertentu. Mari kita menggambar tegak lurus terhadap MN. Dari titik tersebut kita turunkan tegak lurus NQ. Kami menemukan bahwa alas yang lebih besar dibagi menjadi segmen-segmen berukuran tiga sentimeter (). Perhatikan sebuah segitiga siku-siku, kaki-kakinya diketahui, ini segitiga Mesir, dengan menggunakan teorema Pythagoras kita menentukan panjang sisi miring: 5 cm.

Sekarang ada semua elemen untuk menentukan luas permukaan lateral limas:

Piramida tersebut berpotongan dengan bidang yang sejajar dengan alasnya. Dengan menggunakan contoh limas segitiga, buktikan bahwa sisi-sisi lateral dan tinggi limas dibagi oleh bidang ini menjadi bagian-bagian yang proporsional.

Bukti. Mari kita ilustrasikan:

Beras. 7. Ilustrasi soal 2

Piramida RABC diberikan. PO - tinggi piramida. Piramida dipotong oleh bidang, diperoleh piramida terpotong, dan. Titik – titik potong tinggi RO dengan bidang alas limas terpotong. Hal ini perlu dibuktikan:

Kunci penyelesaiannya adalah sifat bidang sejajar. Dua bidang sejajar memotong bidang ketiga mana pun sehingga garis potongnya sejajar. Dari sini: . Paralelisme garis-garis yang bersesuaian menyiratkan adanya empat pasang segitiga sebangun:

Kesamaan segitiga mengikuti proporsionalitas sisi-sisi yang bersesuaian. Fitur Penting adalah koefisien kemiripan segitiga-segitiga ini adalah sama:

Q.E.D.

Piramida segitiga beraturan RABC yang tinggi dan sisi alasnya dipotong oleh sebuah bidang yang melalui titik tengah tinggi PH sejajar alas ABC. Temukan luas permukaan lateral piramida terpotong yang dihasilkan.

Larutan. Mari kita ilustrasikan:

Beras. 8. Ilustrasi soal 3

ACB adalah segitiga beraturan, H adalah pusat segitiga tersebut (pusat lingkaran bertulisan dan dibatasi). RM adalah apotema dari piramida tertentu. - apotema piramida terpotong. Berdasarkan sifat bidang sejajar (dua bidang sejajar memotong bidang ketiga mana pun sehingga garis perpotongannya sejajar), kita mempunyai beberapa pasang segitiga sebangun dengan koefisien kemiripan yang sama. Secara khusus, kami tertarik pada hubungan:

Ayo temukan NM. Ini adalah jari-jari lingkaran yang tertulis di alasnya, kita mengetahui rumus yang sesuai:

Sekarang dari segitiga siku-siku PHM, dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita menemukan RM - apotema dari piramida asli:

Dari rasio awal:

Sekarang kita mengetahui semua elemen untuk mencari luas permukaan lateral limas terpotong:

Jadi, kita mengenal konsep piramida terpotong dan piramida terpotong beraturan, memberikan definisi dasar, mengkaji sifat-sifat, dan membuktikan teorema luas permukaan lateral. Pelajaran berikutnya akan fokus pada pemecahan masalah.

Bibliografi

I.M.Smirnova, V.A.Smirnov. Geometri. Kelas 10-11: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan(tingkat dasar dan profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Edisi ke-5, putaran. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit.
Sharygin I.F. Kelas 10-11: Buku teks untuk pendidikan umum lembaga pendidikan/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 hal.: sakit.
E.V.Potoskuev, L.I.Zvalich. Geometri. Kelas 10: Buku teks untuk lembaga pendidikan umum dengan kajian matematika yang mendalam dan khusus /E. V.Potoskuev, L.I.Zvalich. - Edisi ke-6, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 hal.: sakit.

Uztest.ru().
Fmclass.ru().
Webmath.exponenta.ru().

Pekerjaan rumah

29.05.2016
Sirkuit osilasi - rangkaian listrik, berisi induktor, kapasitor dan sumber energi listrik. Bila elemen-elemen rangkaian dirangkai seri, rangkaian osilasinya disebut serial, dan bila dihubungkan secara paralel disebut paralel. Sirkuit osilasi - sistem yang paling sederhana, di mana osilasi elektromagnetik bebas dapat terjadi. Frekuensi resonansi rangkaian ditentukan dengan rumus Thomson: ƒ = 1/(2π√(LC)) Untuk ...
20.09.2014
Penerima dirancang untuk menerima sinyal dalam rentang DV (150 kHz…300 kHz). Fitur utama penerima adalah antenanya, yang memiliki induktansi lebih tinggi dibandingkan antena magnet konvensional. Hal ini memungkinkan untuk menggunakan kapasitansi kapasitor tuning dalam kisaran 4...20 pF, dan juga penerima tersebut memiliki sensitivitas yang dapat diterima dan sedikit penguatan pada jalur RF. Penerima berfungsi untuk headphone (headphone), didukung...
24.09.2014
Perangkat ini dirancang untuk memantau level cairan dalam tangki segera setelah cairan naik tingkat yang ditetapkan Perangkat akan mulai berbunyi bip terus-menerus ketika level cairan mencapai level kritis. Perangkat akan mulai berbunyi bip sebentar-sebentar. Indikatornya terdiri dari 2 buah generator yang dikendalikan oleh elemen sensor E. Ditempatkan di dalam tangki pada ketinggian hingga ...
22.09.2014
KR1016VI1 adalah pengatur waktu multi-program digital yang dirancang untuk bekerja dengan indikator ILC3-5\7. Ini menyediakan penghitungan dan tampilan waktu saat ini dalam jam dan menit, hari dalam seminggu dan nomor saluran kontrol (9 alarm). Rangkaian jam alarm ditunjukkan pada gambar. Sirkuit mikro memiliki jam. resonator Q1 pada 32768Hz. makanannya negatif, total plusnya menjadi...

Piramida. Piramida terpotong

Piramida adalah polihedron yang salah satu wajahnya berbentuk poligon ( basis ), dan semua sisi lainnya adalah segitiga dengan titik sudut yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida itu disebut benar , jika alasnya berbentuk poligon beraturan dan bagian atas limas diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida berbentuk segitiga yang semua rusuknya sama panjang disebut segi empat .

Tulang rusuk samping piramida adalah sisi sisi muka yang tidak termasuk alasnya Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi lateral limas beraturan adalah sama besar, semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama besar. Tinggi sisi sisi limas beraturan yang ditarik dari puncaknya disebut apotema . Bagian diagonal disebut bagian piramida oleh sebuah bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.

Luas permukaan lateral piramida adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan total disebut jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.

Teorema

1. Jika dalam sebuah limas semua sisi lateralnya mempunyai kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi di dekat alasnya.

2. Jika dalam sebuah limas semua rusuk lateralnya mempunyai panjang yang sama, kemudian bagian atas limas diproyeksikan ke tengah lingkaran yang dibatasi dekat alasnya.

3. Jika semua muka dalam sebuah limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat pada alasnya.

Untuk menghitung volume limas sembarang, rumus yang benar adalah:

Di mana V- volume;

basis S– daerah pangkalan;

H– tinggi piramida.

Untuk piramida beraturan, rumus berikut ini benar:

Di mana P– keliling dasar;

ha– apotema;

H- tinggi;

S penuh

sisi S

basis S– daerah pangkalan;

V– volume piramida biasa.

Piramida terpotong disebut bagian piramida yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas (Gbr. 17). Piramida terpotong biasa disebut bagian dari limas beraturan yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas.

Alasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping – trapesium. Tinggi piramida terpotong adalah jarak antara alasnya. Diagonal piramida terpotong adalah ruas yang menghubungkan simpul-simpulnya yang tidak terletak pada satu sisi. Bagian diagonal adalah bagian dari piramida yang terpotong oleh sebuah bidang yang melalui dua rusuk lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.

Untuk piramida terpotong rumus berikut ini valid:

(4)

Di mana S 1 , S 2 – area pangkalan atas dan bawah;

S penuh– total luas permukaan;

sisi S– luas permukaan lateral;

H- tinggi;

V– volume piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong beraturan, rumusnya benar:

Di mana P 1 , P 2 – keliling alas;

ha– apotema dari piramida terpotong beraturan.

Contoh 1. Di kanan piramida segitiga sudut dihedral pada alasnya adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tulang rusuk lateral ke bidang dasar.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).

Piramida beraturan, artinya pada alasnya terdapat segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya merupakan segitiga sama kaki yang sama besar. Sudut dihedral pada alasnya adalah sudut kemiringan sisi sisi limas terhadap bidang alasnya. Sudut linier adalah sudut A antara dua garis tegak lurus: dll. Bagian atas piramida diproyeksikan di tengah-tengah segitiga (pusat lingkaran luar dan lingkaran tertulis segitiga ABC). Sudut kemiringan tepi samping (misalnya S.B.) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya pada bidang alasnya. Untuk tulang rusuk S.B. sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk mencari garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI Dan O.B.. Biarkan panjang segmennya BD sama dengan 3 A. Dot TENTANG segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kita temukan JADI: Dari kami menemukan:

Menjawab:

Contoh 2. Hitunglah volume limas segi empat beraturan terpotong jika diagonal-diagonal alasnya sama dengan cm dan cm, dan tingginya 4 cm.

Larutan. Untuk mencari volume limas terpotong, kita menggunakan rumus (4). Untuk mencari luas alasnya, Anda perlu mencari sisi-sisi persegi alasnya, dengan mengetahui diagonalnya. Panjang sisi alasnya masing-masing sama dengan 2 cm dan 8 cm. Artinya luas alasnya dan dengan memasukkan semua data ke dalam rumus, kita menghitung volume limas yang terpotong:

Menjawab: 112cm3.

Contoh 3. Hitunglah luas sisi sisi piramida terpotong berbentuk segitiga beraturan yang panjang sisi alasnya 10 cm dan 4 cm, dan tinggi limasnya 2 cm.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).

Sisi samping piramida ini berbentuk trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Alasnya diberikan sesuai syarat, hanya tingginya yang belum diketahui. Kami akan menemukannya dari mana A 1 E tegak lurus dari suatu titik A 1 pada bidang alas bawah, A 1 D– tegak lurus dari A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, karena ini adalah tinggi limas. Mencari DE Mari kita buat gambar tambahan yang menunjukkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot TENTANG– proyeksi pusat alas atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain OKE– jari-jari tertulis dalam lingkaran dan OM– jari-jari tertulis dalam lingkaran:

MK = DE.

Menurut teorema Pythagoras dari

Area wajah samping:

Menjawab:

Contoh 4. Di dasar piramida terdapat trapesium sama kaki, yang alasnya A Dan B (A> B). Setiap sisi sisinya membentuk sudut yang sama dengan bidang alas limas J. Temukan total luas permukaan piramida.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Total luas permukaan piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.

Mari kita gunakan pernyataan bahwa jika semua permukaan limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka titik sudutnya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat di alasnya. Dot TENTANG– proyeksi titik S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang pangkalan. Dengan menggunakan teorema luas proyeksi ortogonal bangun datar, kita memperoleh:

Demikian juga maksudnya Jadi, masalahnya direduksi menjadi mencari luas trapesium ABCD. Mari menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot TENTANG– pusat lingkaran pada trapesium.

Karena sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam trapesium, maka atau Dari teorema Pythagoras kita punya