Luas suatu bangun merupakan integral tertentu. Mencari luas bangun yang dibatasi oleh garis y=f(x), x=g(y)
DI DALAM bagian sebelumnya didedikasikan untuk analisis makna geometris integral tertentu, kami menerima sejumlah rumus untuk menghitung luas trapesium lengkung:
Yandex.RTB RA-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-negatif y = f (x) pada interval [ a ; B ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-positif y = f (x) pada interval [ a ; B ] .
Rumus ini dapat diterapkan untuk memecahkan masalah yang relatif sederhana. Pada kenyataannya, kita sering kali harus bekerja dengan figur yang lebih kompleks. Dalam hal ini, bagian ini akan kami persembahkan untuk analisis algoritma untuk menghitung luas bangun yang dibatasi oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, yaitu. seperti y = f(x) atau x = g(y).
DalilMisalkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) terdefinisi dan kontinu pada interval [ a ; b ] , dan f 1 (x) ≤ f 2 (x) untuk nilai apa pun x dari [ a ; B ] . Maka rumus menghitung luas bangun G yang dibatasi oleh garis x = a, x = b, y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) akan menjadi S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Rumus serupa juga berlaku untuk luas bangun yang dibatasi oleh garis y = c, y = d, x = g 1 (y) dan x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (kamu) - g 1 (kamu) d kamu .
Bukti
Mari kita lihat tiga kasus yang rumusnya valid.
Dalam kasus pertama, dengan mempertimbangkan sifat penjumlahan luas, jumlah luas gambar asli G dan trapesium lengkung G 1 sama dengan luas gambar G 2. Artinya
Jadi, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Kita dapat melakukan transisi terakhir dengan menggunakan sifat ketiga dari integral tertentu.
Dalam kasus kedua, persamaannya benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx
Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:
Jika kedua fungsi tersebut non-positif, diperoleh: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:
Mari kita beralih ke kasus umum ketika y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) berpotongan dengan sumbu O x.
Titik potongnya kita nyatakan sebagai x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Titik-titik ini membagi segmen [a; b ] menjadi n bagian x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . , n, dimana α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Karena itu,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Kita dapat melakukan transisi terakhir menggunakan sifat kelima dari integral tertentu.
Mari kita ilustrasikan kasus umum pada grafik.
Rumus S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x dianggap terbukti.
Sekarang mari kita beralih ke menganalisis contoh menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = f (x) dan x = g (y).
Kami akan memulai pertimbangan kami terhadap salah satu contoh dengan membuat grafik. Gambar ini akan memungkinkan kita untuk merepresentasikan bentuk kompleks sebagai gabungan dari bentuk yang lebih sederhana. Jika membuat grafik dan gambar di atasnya sulit bagi Anda, Anda dapat mempelajari bagian fungsi dasar dasar, transformasi geometri grafik fungsi, serta membuat grafik sambil mempelajari suatu fungsi.
Contoh 1
Perlu ditentukan luas bangun yang dibatasi oleh parabola y = - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Larutan
Mari kita menggambar garis pada grafik dalam sistem koordinat kartesius.
Di segmen [ 1 ; 4 ] grafik parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2. Sehubungan dengan itu, untuk memperoleh jawabannya kita menggunakan rumus yang telah diperoleh sebelumnya, serta cara menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Jawaban: S(G) = 13
Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.
Contoh 2
Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x + 2, y = x, x = 7.
Larutan
Dalam hal ini, kita hanya mempunyai satu garis lurus yang terletak sejajar dengan sumbu x. Ini adalah x = 7. Hal ini mengharuskan kita untuk menemukan sendiri batas integrasi kedua.
Mari kita membuat grafik dan memplot garis-garis yang diberikan dalam rumusan masalah di atasnya.
Dengan adanya grafik di depan mata kita, kita dapat dengan mudah menentukan bahwa batas bawah integrasi adalah absis titik potong grafik garis lurus y = x dan setengah parabola y = x + 2. Untuk mencari absis kita menggunakan persamaan:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ternyata absis titik potongnya adalah x = 2.
Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa di contoh umum pada gambar garis y = x + 2, y = x berpotongan di titik (2; 2), maka seperti perhitungan rinci mungkin tampak tidak diperlukan. Kami membawa ini ke sini solusi terperinci hanya karena masih banyak lagi kasus-kasus sulit solusinya mungkin tidak begitu jelas. Artinya, sebaiknya selalu menghitung koordinat perpotongan garis secara analitis.
Pada interval [ 2 ; 7] grafik fungsi y = x terletak di atas grafik fungsi y = x + 2. Mari kita terapkan rumus untuk menghitung luas:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Jawaban: S (G) = 59 6
Contoh 3
Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi y = 1 x dan y = - x 2 + 4 x - 2.
Larutan
Mari kita gambarkan garis pada grafik.
Mari kita tentukan batasan integrasi. Caranya, kita menentukan koordinat titik potong garis dengan menyamakan ekspresi 1 x dan - x 2 + 4 x - 2. Asalkan x bukan nol, maka persamaan 1 x = - x 2 + 4 x - 2 menjadi ekuivalen dengan persamaan derajat ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 dengan koefisien bilangan bulat. Untuk menyegarkan ingatan Anda tentang algoritme penyelesaian persamaan tersebut, kita dapat merujuk ke bagian “Menyelesaikan persamaan kubik”.
Akar persamaan ini adalah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Membagi ekspresi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita mendapatkan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Kita dapat mencari akar-akar yang tersisa dari persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Kami menemukan intervalnya x ∈ 1; 3 + 13 2, dimana gambar G terdapat di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kita menentukan luas gambar:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Jawaban: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Contoh 4
Perlu dilakukan perhitungan luas bangun yang dibatasi oleh kurva y = x 3, y = - log 2 x + 1 dan sumbu absis.
Larutan
Mari kita gambarkan semua garis pada grafik. Grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dapat kita peroleh dari grafik y = log 2 x jika kita menempatkannya secara simetris terhadap sumbu x dan memindahkannya ke atas satu satuan. Persamaan sumbu x adalah y = 0.
Mari kita tandai titik potong garis tersebut.
Terlihat dari gambar, grafik fungsi y = x 3 dan y = 0 berpotongan di titik (0; 0). Hal ini terjadi karena x = 0 merupakan satu-satunya akar real dari persamaan x 3 = 0.
x = 2 merupakan akar tunggal persamaan - log 2 x + 1 = 0, jadi grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 berpotongan di titik (2; 0).
x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Sehubungan dengan itu, grafik fungsi y = x 3 dan y = - log 2 x + 1 berpotongan di titik (1; 1). Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 = - log 2 x + 1 tidak boleh memiliki lebih dari satu akar, karena fungsi y = x 3 meningkat tajam, dan fungsi y = - log 2 x + 1 adalah sangat menurun.
Solusi selanjutnya melibatkan beberapa pilihan.
Pilihan 1
Kita dapat membayangkan bangun G sebagai hasil penjumlahan dua buah trapesium lengkung yang terletak di atas sumbu x, yang pertama terletak di bawah garis tengah ruas x ∈ 0; 1, dan garis kedua di bawah garis merah pada ruas x ∈ 1; 2. Artinya luasnya akan sama dengan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opsi No.2
Gambar G dapat direpresentasikan sebagai selisih dua angka, yang pertama terletak di atas sumbu x dan di bawah garis biru pada ruas x ∈ 0; 2, dan garis kedua di antara garis merah dan biru pada ruas x ∈ 1; 2. Hal ini memungkinkan kita untuk mencari luas sebagai berikut:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 dx - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Dalam hal ini, untuk mencari luasnya, Anda harus menggunakan rumus berbentuk S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktanya, garis yang membatasi gambar tersebut dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari argumen y.
Mari kita selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 terhadap x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Kami mendapatkan area yang dibutuhkan:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Jawaban: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Contoh 5
Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Larutan
Dengan garis merah kita memplot garis yang didefinisikan oleh fungsi y = x. Kita menggambar garis y = - 1 2 x + 4 dengan warna biru, dan garis y = 2 3 x - 3 dengan warna hitam.
Mari kita tandai titik persimpangannya.
Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Periksa: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 tidak Apakah penyelesaian persamaan x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (4; 2) titik potong i y = x dan y = - 1 2 x + 4
Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Periksa: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (9 ; 3) titik a s y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian
Cari titik potong garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) titik potong y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3
Metode No.1
Mari kita bayangkan luas bangun yang diinginkan sebagai jumlah luas masing-masing bangun.
Maka luas gambar tersebut adalah:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metode nomor 2
Luas bangun asli dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dari dua bangun lainnya.
Kemudian kita selesaikan persamaan garis relatif terhadap x, dan baru setelah itu kita terapkan rumus menghitung luas bangun tersebut.
y = x ⇒ x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Jadi luasnya adalah:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Seperti yang Anda lihat, nilainya sama.
Jawaban: S (G) = 11 3
HasilUntuk mencari luas suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tertentu, kita perlu membuat garis-garis pada suatu bidang, mencari titik potongnya, dan menerapkan rumus untuk mencari luasnya. DI DALAM bagian ini Kami telah mempertimbangkan varian masalah yang paling umum.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Misalkan fungsi tersebut non-negatif dan kontinu pada interval tersebut. Kemudian menurut pengertian geometri integral tertentu, luas trapesium lengkung yang dibatasi di atas oleh grafik fungsi tersebut, di bawah oleh sumbu, di kiri dan kanan oleh garis lurus dan (lihat Gambar 2) adalah dihitung dengan rumus
Contoh 9. Carilah luas suatu bangun datar yang dibatasi oleh sebuah garis 
dan sumbu.
Larutan. Grafik fungsi 
adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah. Mari kita membangunnya (Gbr. 3). Untuk menentukan batas integrasi, kita mencari titik potong garis (parabola) dengan sumbu (garis lurus). Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan sistem persamaan
Kita mendapatkan: 
, Di mana , ; karena itu, , .
Beras. 3
Kita mencari luas bangun tersebut menggunakan rumus (5):
Jika fungsi tersebut non-positif dan kontinu pada segmen tersebut , maka luas trapesium lengkung yang dibatasi di bawah oleh grafik fungsi tersebut, di atas oleh sumbu, di kiri dan kanan oleh garis lurus dan , dihitung dengan rumus
. (6)
Jika fungsi tersebut kontinu pada suatu ruas dan berubah tanda pada sejumlah titik berhingga, maka luas bangun yang diarsir (Gbr. 4) sama dengan jumlah aljabar integral tertentu yang bersesuaian:
Beras. 4
Contoh 10. Hitung luas bangun yang dibatasi sumbu dan grafik fungsi di .
Beras. 5
Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 5). Luas yang diperlukan adalah jumlah luas dan . Mari kita temukan masing-masing area ini. Pertama, kita menentukan batas integrasi dengan menyelesaikan sistem 
Kita mendapatkan , . Karena itu:
;
.
Jadi, luas bangun yang diarsir adalah
(satuan persegi).
Beras. 6
Terakhir, trapesium lengkung dibatasi di atas dan di bawah oleh grafik fungsi kontinu pada segmen tersebut dan ,
dan di kiri dan kanan - garis lurus dan (Gbr. 6). Kemudian luasnya dihitung dengan rumus
. (8)
Contoh 11. Tentukan luas bangun yang dibatasi oleh garis dan.
Larutan. Angka ini ditunjukkan pada Gambar. 7. Mari kita hitung luasnya menggunakan rumus (8). Memecahkan sistem persamaan yang kita temukan, ; karena itu, , . Di segmen yang kami miliki: . Artinya pada rumus (8) kita ambil sebagai X, dan dalam kualitas – . Kita mendapatkan:
(satuan persegi).
Masalah penghitungan luas yang lebih kompleks diselesaikan dengan membagi gambar menjadi bagian-bagian yang tidak tumpang tindih dan menghitung luas seluruh gambar sebagai jumlah luas bagian-bagian tersebut.
Beras. 7
Contoh 12. Tentukan luas bangun yang dibatasi oleh garis , , .
Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 8). Gambar ini dapat dianggap sebagai trapesium lengkung, dibatasi dari bawah oleh sumbu, ke kiri dan kanan - oleh garis lurus, dan dari atas - oleh grafik fungsi dan. Karena gambar tersebut dibatasi dari atas oleh grafik dua fungsi, maka untuk menghitung luasnya, kita membagi gambar garis lurus ini menjadi dua bagian (1 adalah absis titik potong garis dan ). Luas masing-masing bagian tersebut dicari dengan menggunakan rumus (4):
(unit persegi); 
(satuan persegi). Karena itu:
(satuan persegi).
Beras. 8
|
Beras. 9
Sebagai kesimpulan, kita perhatikan bahwa jika trapesium lengkung dibatasi oleh garis lurus dan , sumbu dan kontinu pada kurva (Gbr. 9), maka luasnya dicari dengan rumus
Volume suatu benda rotasi
Misalkan trapesium lengkung, dibatasi oleh grafik fungsi kontinu pada suatu segmen, oleh suatu sumbu, oleh garis lurus dan , berputar mengelilingi sumbunya (Gbr. 10). Kemudian volume benda rotasi yang dihasilkan dihitung dengan rumus
. (9)
Contoh 13. Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar sumbu trapesium lengkung yang dibatasi oleh hiperbola, garis lurus, dan sumbu.
Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 11).
Dari kondisi permasalahan maka , . Dari rumus (9) kita peroleh
.
Beras. 10
Beras. sebelas
Volume suatu benda diperoleh dengan memutar pada suatu sumbu kamu trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis lurus kamu = c Dan kamu = d, sumbu kamu dan grafik fungsi kontinu pada suatu segmen (Gbr. 12), ditentukan oleh rumus
. (10)
|
Beras. 12
Contoh 14. Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar pada suatu sumbu kamu trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis X 2 = 4pada, kamu = 4, x = 0 (Gbr. 13).
Larutan. Sesuai dengan kondisi soal, kita mencari limit integrasi : , . Dengan menggunakan rumus (10) kita memperoleh:
Beras. 13
Panjang busur suatu kurva bidang
Biarkan kurva yang diberikan oleh persamaan , dimana , terletak pada bidang (Gbr. 14).
Beras. 14
Definisi. Panjang busur dipahami sebagai batas kecenderungan panjang garis putus-putus pada busur tersebut, bila jumlah mata rantai garis putus-putus tersebut cenderung tak terhingga, dan panjang mata rantai terbesar cenderung nol.
Jika suatu fungsi dan turunannya kontinu pada segmen tersebut, maka panjang busur kurva dihitung dengan rumus
. (11)
Contoh 15. Hitung panjang busur kurva yang terletak di antara titik-titik tersebut 
.
Larutan. Dari kondisi masalah yang kita miliki 
. Dengan menggunakan rumus (11) kita memperoleh:
.
4. Integral tak wajar
dengan batas integrasi yang tak terbatas
Ketika memperkenalkan konsep integral tertentu, dua kondisi berikut diasumsikan terpenuhi:
a) batas integrasi A dan terbatas;
b) integran dibatasi pada interval.
Jika setidaknya salah satu dari kondisi ini tidak terpenuhi, maka integral disebut bukan milikmu sendiri.
Mari kita bahas dulu integral tak wajar dengan limit integrasi tak terhingga.
Definisi. Biarkan fungsinya terdefinisi dan kontinu pada intervalnya dan tidak terbatas di sebelah kanan (Gbr. 15).
Jika integral tak wajar konvergen, maka luas tersebut berhingga; jika integral tak wajarnya divergen, maka luasnya tak terhingga.
Beras. 15
Integral tak wajar dengan batas bawah integrasi tak terhingga didefinisikan dengan cara yang sama:
. (13)
Integral ini konvergen jika limit pada ruas kanan persamaan (13) ada dan berhingga; jika tidak maka integralnya dikatakan divergen.
Integral tak wajar dengan dua limit integrasi tak hingga didefinisikan sebagai berikut:
, (14)
di mana с adalah titik mana pun dalam interval. Integral tersebut konvergen hanya jika kedua integral di ruas kanan persamaan (14) konvergen.
;G) 
= [pilih kuadrat lengkap pada penyebutnya: ] = 
[penggantian:
] = 
Artinya integral tak wajar itu konvergen dan nilainya sama dengan .
Cara memasukkan rumus matematika ke situs web?
Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika dengan mudah dimasukkan ke situs dalam bentuk gambar yang dibuat secara otomatis oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaannya, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah berfungsi sejak lama (dan, menurut saya, akan berfungsi selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.
Jika Anda terus-menerus menggunakan rumus matematika di situs Anda, saya sarankan Anda menggunakan MathJax - perpustakaan JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX atau ASCIIMathML.
Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs web Anda, yang akan secara otomatis dimuat dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unduh skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan sambungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua - lebih rumit dan memakan waktu - akan mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama karena lebih sederhana, lebih cepat dan tidak memerlukan keahlian teknis. Ikuti contoh saya, dan hanya dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.
Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web utama MathJax atau di halaman dokumentasi:
Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis melacak dan memuat versi terbaru MatematikaJax. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.
Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal template (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML, dan Anda siap memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.
Setiap fraktal dibangun menurut aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.
Algoritme berulang untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan permukaannya menjadi 27 kubus yang sama besar. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan di sepanjang sisinya dikeluarkan darinya. Hasilnya adalah satu set yang terdiri dari sisa 20 kubus kecil. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kita mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa henti, kita mendapatkan spons Menger.
Pada artikel ini Anda akan mempelajari cara mencari luas bangun yang dibatasi garis dengan menggunakan perhitungan integral. Rumusan masalah seperti itu pertama kali kita jumpai di sekolah menengah, ketika kita baru saja menyelesaikan pembelajaran integral tertentu dan sekarang saatnya untuk memulai interpretasi geometri dari pengetahuan yang diperoleh dalam praktik.
Jadi, apa yang diperlukan agar berhasil menyelesaikan masalah mencari luas suatu bangun menggunakan integral:
- Kemampuan membuat gambar yang kompeten;
- Kemampuan menyelesaikan integral tertentu dengan menggunakan rumus terkenal Newton-Leibniz;
- Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. memahami bagaimana dalam satu atau lain kasus akan lebih mudah untuk melakukan integrasi? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
- Nah, bagaimana jadinya kita tanpa perhitungan yang benar?) Hal ini termasuk memahami cara menyelesaikan jenis integral lainnya dan perhitungan numerik yang benar.
Algoritma penyelesaian masalah menghitung luas bangun yang dibatasi garis:
1. Kami membuat gambar. Dianjurkan untuk melakukan ini pada selembar kertas kotak-kotak, dalam skala besar. Kami menandatangani nama fungsi ini dengan pensil di atas setiap grafik. Penandatanganan grafik dilakukan semata-mata untuk memudahkan perhitungan selanjutnya. Setelah menerima grafik dari angka yang diinginkan, dalam banyak kasus akan segera jelas batas integrasi mana yang akan digunakan. Jadi, kami memecahkan masalah secara grafis. Namun, nilai batasnya bersifat pecahan atau irasional. Oleh karena itu, Anda bisa melakukannya perhitungan tambahan, mari kita lanjutkan ke langkah kedua.
2. Jika limit integrasi tidak ditentukan secara eksplisit, maka kita cari titik potong grafik satu sama lain dan lihat apakah solusi grafis kita cocok dengan solusi analitis.
3. Selanjutnya, Anda perlu menganalisis gambarnya. Bergantung pada bagaimana grafik fungsi disusun, ada beberapa pendekatan berbeda untuk mencari luas suatu bangun. Mari kita pertimbangkan contoh yang berbeda tentang mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral.
3.1. Versi soal yang paling klasik dan paling sederhana adalah ketika Anda perlu mencari luas trapesium lengkung. Apa itu trapesium lengkung? Ini adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu x (y = 0), garis lurus x = a, x = b, dan setiap kurva yang kontinu pada interval dari a ke b. Apalagi angka ini non-negatif dan terletak tidak di bawah sumbu x. Dalam hal ini, luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu, dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz:
Contoh 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Garis manakah yang dibatasi oleh bangun tersebut? Kita mempunyai parabola y = x2 - 3x + 3 yang terletak di atas sumbu OX, tidak negatif karena semua titik yang dimiliki parabola ini nilai-nilai positif. Selanjutnya diberikan garis lurus x = 1 dan x = 3 yang sejajar dengan sumbu op-amp dan merupakan garis batas gambar di kiri dan kanan. Ya, y = 0, yang juga merupakan sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Gambar yang dihasilkan diarsir, seperti terlihat pada gambar di sebelah kiri. Dalam hal ini, Anda dapat segera mulai menyelesaikan masalah. Di hadapan kita adalah contoh sederhana trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.
3.2. Pada paragraf 3.1 sebelumnya, kita memeriksa kasus ketika trapesium lengkung terletak di atas sumbu x. Sekarang perhatikan kasus ketika kondisi masalahnya sama, kecuali fungsinya terletak di bawah sumbu x. Sebuah minus ditambahkan ke rumus standar Newton-Leibniz. Kami akan mempertimbangkan cara mengatasi masalah seperti itu di bawah.
Contoh 2. Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
DI DALAM dalam contoh ini kita mempunyai parabola y = x2 + 6x + 2 yang berasal dari bawah sumbu OX, garis lurus x = -4, x = -1, y = 0. Di sini y = 0 membatasi angka yang diinginkan dari atas. Garis lurus x = -4 dan x = -1 merupakan batas di mana integral tentu akan dihitung. Prinsip penyelesaian masalah mencari luas suatu bangun hampir seluruhnya bertepatan dengan contoh nomor 1. Perbedaannya hanya pada fungsi yang diberikan tidak positif, dan masih kontinu pada interval [-4; -1] . Apa maksudnya tidak positif? Seperti dapat dilihat dari gambar, angka yang terletak di dalam x tertentu hanya memiliki koordinat “negatif”, yang perlu kita lihat dan ingat saat menyelesaikan soal. Kita mencari luas bangun menggunakan rumus Newton-Leibniz, hanya dengan tanda minus di awal.
Artikel ini belum selesai.
Mari kita beralih ke penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan melihat masalah yang umum dan paling umum dalam menghitung luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu. Akhirnya, biarkan semua orang yang mencari makna dalam matematika tingkat tinggi menemukannya. Kau tak pernah tahu. Kita harus mendekatkannya dalam hidup area pondok pedesaan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.
Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:
1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Oleh karena itu, orang bodoh harus terlebih dahulu membiasakan diri dengan pelajaran dari Dia.
2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Siapkan hangat hubungan persahabatan dengan integral pasti dapat dilihat pada halaman Integral Pasti. Contoh solusi. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, sehingga pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda juga akan menjadi masalah penting. Minimal Anda harus bisa membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola.
Mari kita mulai dengan trapesium melengkung. Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi kamu = F(X), sumbu SAPI dan garis X = A; X = B.
Luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu
Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik. Dalam pelajaran Integral Pasti. Contoh penyelesaiannya kita katakan bahwa integral tertentu adalah suatu bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan satu hal lagi fakta yang berguna. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA. Artinya, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas bangun tertentu. Pertimbangkan integral tertentu
Integrasi
mendefinisikan kurva pada bidang (dapat digambar jika diinginkan), dan integral tentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.
Contoh 1
, , , .
Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin terpenting solusi - menggambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat dengan BENAR.
Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama, lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan baru kemudian – parabola, hiperbola, dan grafik fungsi lainnya. Teknik konstruksi pointwise dapat ditemukan pada bahan referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.
Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambar (perhatikan persamaannya kamu= 0 menentukan sumbu SAPI):
Kami tidak akan membuat bayangan trapesium melengkung; di sini jelas luasnya yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:
Di segmen [-2; 1] grafik fungsi kamu = X 2+2 terletak di atas sumbu SAPI, Itu sebabnya:
Menjawab: .
Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz
,
Lihat kuliah Integral Pasti. Contoh solusi. Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kami menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, tampaknya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Contoh 2
Hitung luas bangun yang dibatasi garis xy = 4, X = 2, X= 4 dan sumbu SAPI.
Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu SAPI?
Contoh 3
Hitung luas bangun yang dibatasi garis kamu = mantan, X= 1 dan sumbu koordinat.
Solusi: Mari kita membuat gambar:
Jika trapesium lengkung seluruhnya terletak di bawah sumbu SAPI, maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini:
.
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis kamu = 2X – X 2 , kamu = -X.
Solusi: Pertama, Anda perlu membuat gambar. Saat membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola kamu = 2X – X 2 dan lurus kamu = -X. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:
Cara, batasan yang lebih rendah integrasi A= 0, batas atas integrasi B= 3. Seringkali lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Meskipun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:
Mari kita ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditentukan “secara otomatis”.
Dan sekarang rumus kerja:
Jika pada segmen [ A; B] beberapa fungsi berkelanjutan F(X) lebih besar atau sama dengan suatu fungsi kontinu G(X), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus:
Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar tersebut - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain) dan mana yang DI BAWAH.
Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu dari 2 X – X 2 harus dikurangi – X.
Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:
Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola kamu = 2X – X 2 di atas dan lurus kamu = -X dari bawah.
Di segmen 2 X – X 2 ≥ -X. Menurut rumus yang sesuai:
Menjawab: .
Faktanya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung pada setengah bidang bawah (lihat contoh No. 3) merupakan kasus khusus dari rumus tersebut.
.
Karena porosnya SAPI diberikan oleh persamaan kamu= 0, dan grafik fungsinya G(X) terletak di bawah sumbu SAPI, Itu
.
Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri
Contoh 5
Contoh 6
Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis
Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambar telah diselesaikan dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... ditemukan luas gambar yang salah.
Contoh 7
Pertama mari kita buat gambarnya:
Gambar yang luasnya perlu kita cari diarsir dengan warna biru (perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya gambar tersebut!). Namun dalam prakteknya, karena kurangnya perhatian, mereka sering memutuskan bahwa mereka perlu mencari luas bangun yang diarsir. hijau!
Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:
1) Pada segmen [-1; 1] di atas sumbu SAPI grafiknya terletak lurus kamu = X+1;
2) Pada ruas di atas sumbu SAPI grafik hiperbola berada kamu = (2/X).
Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:
Menjawab:
Contoh 8
Hitung luas bangun yang dibatasi garis
Mari kita sajikan persamaannya dalam bentuk “sekolah”.
dan buatlah gambar poin demi poin:
Jelas dari gambar bahwa batas atas kita “baik”: B = 1.
Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu?
Mungkin, A=(-1/3)? Tapi di mana jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi sempurna, mungkin saja demikian A=(-1/4). Bagaimana jika kita salah membuat grafik?
Dalam kasus seperti itu, Anda harus meluangkan waktu tambahan dan memperjelas batasan integrasi secara analitis.
Mari kita cari titik potong grafiknya
Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan:
.
Karena itu, A=(-1/3).
Solusi selanjutnya adalah hal yang sepele. Hal utama adalah jangan bingung dalam substitusi dan tanda. Perhitungan di sini bukanlah yang paling sederhana. Di segmen tersebut
, 
,
sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab: 
Sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.
Contoh 9
Hitung luas bangun yang dibatasi garis
Solusi: Mari kita gambarkan sosok ini dalam gambar.
Untuk menggambar gambar titik demi titik, Anda perlu mengetahuinya penampilan sinusoidal. Secara umum, mengetahui grafik semua fungsi dasar, serta beberapa nilai sinus, akan berguna. Mereka dapat ditemukan di tabel nilai fungsi trigonometri. Dalam beberapa kasus (misalnya, dalam kasus ini), dimungkinkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada dasarnya harus ditampilkan dengan benar.
Tidak ada masalah dengan batasan integrasi di sini;
– “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Mari kita buat keputusan lebih lanjut:
Pada suatu segmen, grafik suatu fungsi kamu= dosa 3 X terletak di atas sumbu SAPI, Itu sebabnya:
(1) Anda dapat melihat bagaimana sinus dan cosinus dipangkatkan ganjil dalam pelajaran Integral fungsi trigonometri. Kami mencubit satu sinus.
(2) Kita menggunakan identitas trigonometri utama dalam bentuk
(3) Mari kita ubah variabelnya T= karena X, maka: terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
.
.
Catatan: perhatikan bagaimana integral garis singgung dalam kubus diambil; akibat wajar dari integral utama digunakan di sini identitas trigonometri
.
