Prisma heksagonal. Prisma heksagonal beraturan

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporianya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia “Achilles dan Kura-kura”. Berikut bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut hingga hari ini; komunitas ilmiah belum dapat mencapai konsensus tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru dilibatkan dalam studi masalah ini ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya mengerti, peralatan aplikasi matematika unit variabel pengukurannya belum dikembangkan atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penggunaan kita logika biasa membawa kita ke dalam perangkap. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.

Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ternyata tidak solusi lengkap Masalah. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan menyelesaikan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil poin yang berbeda ruang pada satu titik waktu, tetapi tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakan darinya (tentu saja, data tambahan masih diperlukan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Apa yang ingin saya tunjukkan Perhatian khusus, apakah dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang merupakan hal yang berbeda sehingga tidak boleh tertukar, karena memberikan peluang penelitian yang berbeda.

Rabu, 4 Juli 2018

Perbedaan antara himpunan dan multiset dijelaskan dengan sangat baik di Wikipedia. Mari kita lihat.

Seperti yang Anda lihat, “tidak mungkin ada dua elemen yang identik dalam satu himpunan”, tetapi jika ada elemen yang identik dalam suatu himpunan, himpunan tersebut disebut “multiset”. Makhluk berakal tidak akan pernah memahami logika absurd seperti itu. Ini adalah level burung beo yang bisa berbicara dan monyet terlatih, yang tidak memiliki kecerdasan dari kata “sepenuhnya”. Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengajarkan kepada kita ide-ide absurd mereka.

Suatu ketika, para insinyur yang membangun jembatan berada di perahu di bawah jembatan saat menguji jembatan tersebut. Jika jembatan itu runtuh, insinyur biasa-biasa saja itu mati di bawah reruntuhan ciptaannya. Jika jembatan itu mampu menahan beban, insinyur berbakat itu membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana ahli matematika bersembunyi di balik ungkapan "ingatlah, saya ada di rumah", atau lebih tepatnya, "matematika mempelajari konsep-konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan konsep-konsep tersebut dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika pada matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di depan kasir, membagikan gaji. Jadi seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan menaruhnya di meja kami dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami menaruh uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kita mengambil satu lembar uang dari setiap tumpukan dan memberikan “gaji matematis” kepada ahli matematika tersebut. Mari kita jelaskan kepada ahli matematika bahwa dia akan menerima sisa uang hanya jika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: “Ini bisa diterapkan pada orang lain, tapi tidak pada saya!” Kemudian mereka akan mulai meyakinkan kita bahwa ada uang kertas dengan pecahan yang sama nomor yang berbeda tagihan, yang berarti mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Oke, mari kita hitung gaji dalam koin - tidak ada angka pada koin tersebut. Di sini ahli matematika akan mulai mengingat fisika dengan panik: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom unik untuk setiap koin...

Dan sekarang saya memiliki yang paling banyak minat Tanya: di manakah garis yang diluarnya unsur-unsur suatu himpunan banyak berubah menjadi unsur-unsur suatu himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains bahkan tidak bisa berbohong di sini.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama - artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita lihat nama-nama stadion yang sama ini, kita mendapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama merupakan himpunan dan multiset. Yang mana yang benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-tajam mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang himpunan atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, menghubungkannya dengan kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: apa perbedaan unsur-unsur suatu himpunan dengan unsur-unsur himpunan lainnya? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "yang dapat dibayangkan sebagai bukan satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Penjumlahan angka-angka suatu bilangan merupakan tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan dan menggunakannya, tapi itulah mengapa mereka menjadi dukun, untuk mengajari keturunannya keterampilan dan kebijaksanaannya, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah digit suatu bilangan". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dapat digunakan untuk mencari jumlah digit suatu bilangan. Bagaimanapun juga, bilangan adalah simbol grafik yang kita gunakan untuk menulis angka, dan dalam bahasa matematika tugasnya adalah seperti ini: “Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili suatu bilangan.” Matematikawan tidak bisa memecahkan masalah ini, tapi dukun bisa menyelesaikannya dengan mudah.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana yang kita lakukan untuk menemukan jumlah digit suatu bilangan. Jadi, mari kita punya bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk mencari jumlah angka-angka dari bilangan tersebut? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tuliskan nomor tersebut pada selembar kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengubah angka tersebut menjadi simbol angka grafis. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang dihasilkan menjadi beberapa gambar yang berisi nomor individual. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah simbol grafik individual menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang ini adalah matematika.

Jumlah digit angka 12345 adalah 15. Inilah “kursus memotong dan menjahit” yang diajarkan oleh dukun yang digunakan para ahli matematika. Tapi itu belum semuanya.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah dalam sistem bilangan mana kita menulis suatu bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. DENGAN jumlah yang besar 12345 Gak mau membodohi kepalaku, mari kita lihat nomor 26 dari artikel tentang . Mari kita tuliskan bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan melihat setiap langkah di bawah mikroskop; kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter, Anda akan mendapatkan hasil yang sangat berbeda.

Nol terlihat sama di semua sistem bilangan dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta itu. Pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana sesuatu yang bukan bilangan dinyatakan dalam matematika? Apa, bagi ahli matematika, tidak ada yang ada kecuali angka? Saya mengizinkan hal ini terjadi pada dukun, tetapi tidak pada ilmuwan. Realitas bukan hanya soal angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak bisa membandingkan angka-angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan satuan pengukuran yang berbeda dari besaran yang sama menghasilkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil operasi matematika tidak bergantung pada besar kecilnya bilangan, satuan pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan tersebut.

Tanda tangan di pintu Dia membuka pintu dan berkata:

Oh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa-jiwa selama kenaikan mereka ke surga! Halo di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Perempuan... Lingkaran cahaya di atas dan panah di bawah adalah laki-laki.

Jika karya seni desain seperti itu muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Saya pribadi berusaha melihat minus empat derajat pada orang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, sebutan derajat). Dan menurutku gadis ini bukanlah orang bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip yang kuat dalam melihat gambar grafis. Dan para ahli matematika selalu mengajari kita hal ini. Berikut ini contohnya.

1A bukan “minus empat derajat” atau “satu a”. Ini adalah "pooping man" atau angka "dua puluh enam" dalam notasi heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem bilangan ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

Prisma heksagonal beraturan- sebuah prisma, yang alasnya terdapat dua segi enam beraturan, dan semua sisi sisinya tegak lurus terhadap alas tersebut.

A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 - prisma heksagonal beraturan
A- panjang sisi alas prisma
H- panjang tulang rusuk lateral prisma
Sutama- luas alas prisma
Ssamping .- luas sisi sisi prisma
Spenuh- luas permukaan total prisma
Vprisma- volume prisma

Daerah dasar prisma

Pada alas prisma terdapat segi enam beraturan dengan sisi-sisinya A. Menurut sifat-sifat segi enam beraturan, luas alas prisma adalah sama dengan

Cara ini

Sutama= 3 3 √ 2 ⋅ A2

Jadi ternyata SA B C D E F= SA1 B1 C1 D1 E1 F1 = 3 3 √ 2 ⋅ A2

Luas permukaan prisma total

Luas permukaan total suatu prisma adalah jumlah luas sisi-sisi prisma dan luas alasnya. Masing-masing sisi sisi prisma berbentuk persegi panjang dengan sisi-sisinya A Dan H. Oleh karena itu, sesuai dengan sifat-sifat persegi panjang

Ssamping .= a ⋅ jam

Sebuah prisma mempunyai enam sisi sisi dan dua alas, sehingga luas permukaan totalnya sama dengan

Spenuh= 6 ⋅ Ssamping .+ 2 ⋅ Sutama= 6 ⋅ a ⋅ jam + 2 ⋅ 3 3 √ 2 ⋅ A2

Volume prisma

Volume prisma dihitung sebagai hasil kali luas alas dan tingginya. Ketinggian prisma beraturan adalah salah satu rusuk lateralnya, misalnya rusuk A A1 . Pada alas prisma segi enam beraturan terdapat segi enam beraturan yang luasnya kita ketahui. Kita mendapatkan

Vprisma= Sutama⋅A A1 = 3 3 √ 2 ⋅ A2 ⋅h

Segi enam beraturan pada alas prisma

Kami menganggap segi enam beraturan ABCDEF terletak di dasar prisma.

Kami menggambar segmen AD, BE dan CF. Misalkan perpotongan ruas-ruas tersebut menjadi titik O.

Menurut sifat-sifat segi enam beraturan, segitiga AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA adalah segitiga beraturan. Oleh karena itu

A O = O D = E O = O B = C O = O F = a

Kita menggambar ruas AE yang berpotongan dengan ruas CF di titik M. Segitiga AEO sama kaki, di dalamnya A O = O E = sebuah , ∠ E O A = 120 ∘ . Berdasarkan properti segitiga sama kaki.

A E = a ⋅ 2 (1 − karena E O A )− − − − − − − − − − − − √ = 3 √ ⋅ sebuah

Demikian pula, kami sampai pada kesimpulan bahwa AC = CE = 3 √ ⋅ sebuah, F M = M O = 1 2 ⋅ sebuah.

Kami menemukan E A1

Dalam sebuah segitigaA E A1 :

A A1 = h
SEBUAHE = 3 √ ⋅ sebuah- seperti yang baru saja kita ketahui
∠ EA A1 = 90 ∘

A E A1

E A1 = A A2 1 +SEBUAH E2 − − − − − − − − − − √ = H2 + 3 ⋅ A2 − − − − − − − − √

Jika jam = sebuah, sehingga kemudian E A1 = 2 ⋅ a

F B1 =SEBUAH C1 = B D1 = C E1 = D F1 = H2 + 3 ⋅ A2 − − − − − − − − √ .

Kami menemukanEB 1

Dalam sebuah segitiga MENJADI B1 :

B B1 = h
BE = 2 ⋅ a- Karena EO = OB = a
∠EB B1 = 90 ∘ - sesuai dengan sifat kelurusan yang benar

Jadi, ternyata segitiga itu MENJADI B1 persegi panjang. Berdasarkan sifat-sifat segitiga siku-siku

E B1 = B B2 1 +B E2 − − − − − − − − − − √ = H2 + 4 ⋅ A2 − − − − − − − − √

Jika jam = sebuah, sehingga kemudian

E B1 = 5 √ ⋅ sebuah

Setelah alasan serupa kita memperolehnya F C1 =SEBUAH D1 = B E1 = C F1 = D A1 = H2 + 4 ⋅ A2 − − − − − − − − √ .

Kami menemukan HAI F1

Dalam sebuah segitiga FO F1 :

F F1 = h
F HAI = sebuah
∠ HAI F F1 = 90 ∘ - menurut sifat prisma beraturan

Jadi, ternyata segitiga itu FO F1 persegi panjang. Berdasarkan sifat-sifat segitiga siku-siku

HAI F1 = F F2 1 + HAI F2 − − − − − − − − − − √ = H2 + A2 − − − − − − √

Jika jam = sebuah, sehingga kemudian

Dari setiap titik sudut suatu prisma, misalnya dari titik sudut A 1 (Gbr.), dapat ditarik tiga diagonal (A 1 E, A 1 D, A 1 C).

Mereka diproyeksikan ke bidang ABCDEF oleh diagonal alasnya (AE, AD, AC). Dari bidang miring A 1 E, A 1 D, A 1 C, yang terbesar adalah yang proyeksinya terbesar. Jadi, diagonal terbesar dari ketiga diagonal yang diambil adalah A 1 D (pada prisma juga terdapat diagonal-diagonal yang sama dengan A 1 D, tetapi tidak ada yang lebih besar).

Dari segitiga A 1 AD, dimana ∠DA 1 A = α dan A 1 D = D , kita temukan H=AA 1 = D karena α ,
IKLAN= D dosa α .

Luas segitiga sama sisi AOB sama dengan 1/4 AO 2 √3. Karena itu,

S sekali. = 6 1/4 AO 2 √3 = 6 1/4 (AD/2) 2 √3.

Volume V = S H = 3√ 3 / 8 IKLAN 2 AA 1

Jawaban: 3√ 3/8 D 3 dosa 2 α karena α .

Komentar . Untuk menggambarkan segi enam beraturan (alas prisma), Anda dapat membuat jajar genjang BCDO sembarang. Meletakkan ruas OA = OD, OF= OC dan OE = OB pada kelanjutan garis DO, CO, BO, diperoleh segi enam ABCDEF. Titik O melambangkan pusat.

Prisma yang berbeda berbeda satu sama lain. Di saat yang sama, mereka memiliki banyak kesamaan. Untuk mencari luas alas prisma, Anda perlu memahami jenisnya.

Teori umum

Prisma adalah polihedron apa pun sisi yang berbentuk jajar genjang. Selain itu, alasnya dapat berupa polihedron apa saja - dari segitiga hingga n-gon. Selain itu, alas prisma selalu sama besar satu sama lain. Apa yang tidak berlaku pada permukaan samping adalah ukurannya dapat sangat bervariasi.

Saat menyelesaikan soal, tidak hanya luas alas prisma saja yang ditemui. Ini mungkin memerlukan pengetahuan tentang permukaan lateral, yaitu semua permukaan yang bukan alas. Permukaan lengkapnya akan menjadi gabungan semua permukaan yang membentuk prisma.

Terkadang masalah melibatkan ketinggian. Itu tegak lurus dengan alasnya. Diagonal polihedron adalah segmen yang menghubungkan secara berpasangan dua simpul yang tidak memiliki sisi yang sama.

Perlu dicatat bahwa luas alas prisma lurus atau miring tidak bergantung pada sudut antara prisma dan sisi-sisinya. Jika kedua bangun tersebut sama pada sisi atas dan bawahnya, maka luas keduanya sama.

Prisma segitiga

Pada dasarnya terdapat bangun datar dengan tiga titik sudut, yaitu segitiga. Seperti yang Anda tahu, ini bisa berbeda. Jika demikian, cukup diingat bahwa luasnya ditentukan oleh setengah hasil kali kaki-kakinya.

Notasi matematikanya terlihat seperti ini: S = ½ av.

Untuk mengetahui luas alas di pandangan umum, rumusnya akan berguna: Bangau dan rumus yang separuh sisinya diambil ke ketinggian yang ditarik ke sana.

Rumus pertama harus ditulis sebagai berikut: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Notasi ini mengandung setengah keliling (p), yaitu jumlah tiga sisi dibagi dua.

Kedua: S = ½ n a * a.

Jika perlu mengetahui luas alasnya prisma segitiga, yang beraturan, maka segitiga tersebut menjadi sama sisi. Ada rumusnya: S = ¼ a 2 * √3.

Prisma segi empat

Basisnya adalah salah satu segi empat yang diketahui. Itu bisa berupa persegi panjang atau persegi, paralelepiped atau belah ketupat. Dalam setiap kasus, untuk menghitung luas alas prisma, Anda memerlukan rumus Anda sendiri.

Jika alasnya berbentuk persegi panjang, maka luasnya ditentukan sebagai berikut: S = ab, dimana a, b adalah sisi-sisi persegi panjang tersebut.

Kapan yang sedang kita bicarakan tentang prisma segi empat, maka luas alas prisma beraturan dihitung dengan menggunakan rumus persegi. Karena dialah yang mendasarinya. S = sebuah 2.

Jika alasnya adalah paralelepiped, diperlukan persamaan berikut: S = a * n a. Kebetulan sisi paralelepiped dan salah satu sudut diberikan. Kemudian, untuk menghitung tinggi, Anda perlu menggunakan rumus tambahan: n a = b * sin A. Selain itu, sudut A berbatasan dengan sisi “b”, dan tinggi n berhadapan dengan sudut tersebut.

Jika terdapat belah ketupat pada alas prisma, maka untuk menentukan luasnya diperlukan rumus yang sama seperti jajar genjang (karena merupakan kasus khusus). Tapi Anda juga bisa menggunakan ini: S = ½ d 1 d 2. Di sini d 1 dan d 2 adalah dua diagonal belah ketupat.

Prisma segi lima beraturan

Kasus ini melibatkan pembagian poligon menjadi segitiga, yang luasnya lebih mudah diketahui. Meskipun demikian, angka-angka tersebut dapat memiliki jumlah simpul yang berbeda.

Karena alas prisma berbentuk segi lima beraturan, maka prisma dapat dibagi menjadi lima segitiga sama sisi. Maka luas alas prisma sama dengan luas salah satu segitiga tersebut (rumusnya dapat dilihat di atas), dikalikan lima.

Prisma heksagonal beraturan

Dengan menggunakan prinsip yang dijelaskan untuk prisma segi lima, segi enam alasnya dapat dibagi menjadi 6 segitiga sama sisi. Rumus luas alas prisma tersebut mirip dengan rumus sebelumnya. Hanya saja harus dikalikan enam.

Rumusnya akan terlihat seperti ini: S = 3/2 a 2 * √3.

Tugas

No 1. Diketahui sebuah garis lurus beraturan, diagonalnya 22 cm, tinggi polihedron 14 cm. Hitunglah luas alas prisma dan seluruh permukaannya.

Larutan. Alas prisma berbentuk persegi, namun sisinya tidak diketahui. Anda dapat mencari nilainya dari diagonal persegi (x), yang berhubungan dengan diagonal prisma (d) dan tingginya (h). x 2 = d 2 - n 2. Sebaliknya, ruas “x” ini adalah sisi miring pada segitiga yang kaki-kakinya sama dengan sisi persegi. Artinya, x 2 = a 2 + a 2. Jadi ternyata a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Gantikan angka 22 dengan d, dan ganti “n” dengan nilainya - 14, ternyata panjang sisi persegi adalah 12 cm. Sekarang cari saja luas alasnya: 12 * 12 = 144 cm 2.

Untuk mengetahui luas seluruh permukaan, Anda perlu menjumlahkan dua kali luas alas dan empat kali lipat luas sisinya. Yang terakhir ini dapat dengan mudah ditemukan menggunakan rumus persegi panjang: kalikan tinggi polihedron dan sisi alasnya. Artinya, 14 dan 12, angkanya sama dengan 168 cm 2. luas keseluruhan Luas permukaan prisma adalah 960 cm2.

Menjawab. Luas alas prisma adalah 144 cm2. Luas seluruh permukaannya adalah 960 cm2.

Nomor 2. Diketahui alasnya terdapat sebuah segitiga yang panjang sisinya 6 cm. Dalam hal ini, diagonal sisi sisinya adalah 10 cm. Hitung luas alas dan permukaan sisinya.

Larutan. Karena prisma beraturan, alasnya berbentuk segitiga sama sisi. Oleh karena itu, luasnya menjadi 6 kuadrat, dikalikan dengan ¼ dan akar kuadrat dari 3. Perhitungan sederhana menghasilkan hasil: 9√3 cm 2. Ini adalah luas salah satu alas prisma.

Semua sisi sisinya sama dan berbentuk persegi panjang dengan panjang sisi 6 dan 10 cm. Untuk menghitung luasnya, kalikan saja angka-angka ini. Kemudian kalikan dengan tiga, karena prisma mempunyai sisi-sisi yang persis sama. Maka luas permukaan lateral luka adalah 180 cm2.

Menjawab. Luas: alas - 9√3 cm 2, permukaan lateral prisma - 180 cm 2.

Situs tersebut telah membahas beberapa jenis soal stereometri, yang termasuk dalam satu kumpulan tugas untuk ujian matematika.Misalnya tugas tentang .

Suatu prisma disebut beraturan jika sisi-sisinya tegak lurus terhadap alasnya dan terdapat poligon beraturan pada alasnya. Itu adalah prisma yang benar adalah prisma lurus dengan poligon beraturan di alasnya.
Prisma segi enam beraturan memiliki segi enam beraturan di alasnya, sisi-sisinya berbentuk persegi panjang.

Pada artikel ini Anda akan menemukan soal-soal penyelesaian prisma yang alasnya berbentuk segi enam beraturan. Tidak ada fitur atau kesulitan khusus dalam solusinya. Apa gunanya? Diberikan prisma heksagonal beraturan, Anda perlu menghitung jarak antara dua simpul atau mencari sudut tertentu. Soalnya sebenarnya sederhana; pada akhirnya, solusinya adalah mencari elemen dalam segitiga siku-siku.

Teorema Pythagoras digunakan dan. Pengetahuan tentang definisi diperlukan fungsi trigonometri dalam segitiga siku-siku.

Pastikan untuk melihat informasi tentang segi enam biasa di.Anda juga memerlukan keterampilan mengekstraksinya. jumlah besar. Anda dapat memecahkan polihedra, mereka juga menghitung jarak antara simpul dan sudut.

Secara singkat: apa itu segi enam beraturan?

Diketahui bahwa pada segi enam beraturan, sisi-sisinya sama besar. Selain itu, sudut antar sisinya juga sama besar.

*Sisi-sisi yang berhadapan sejajar.

informasi tambahan

Jari-jari lingkaran yang dibatasi pada segi enam beraturan sama dengan sisinya. *Hal ini dibuktikan dengan sangat sederhana: jika kita menghubungkan simpul-simpul yang berlawanan dari sebuah segi enam, kita mendapatkan enam segitiga sama sisi yang sama besar. Mengapa sama sisi?

Setiap segitiga mempunyai sudut yang titik sudutnya di tengahnya sama dengan 60 0 (360:6=60). Karena kedua sisi suatu segitiga yang mempunyai titik sudut yang sama di tengahnya adalah sama (ini adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi), maka setiap sudut pada alas segitiga sama kaki tersebut juga sama dengan 60 derajat.

Artinya, segi enam beraturan, secara kiasan, terdiri dari enam segitiga sama sisi yang sama besar.

Fakta lain apa yang perlu diperhatikan yang berguna untuk memecahkan masalah? Sudut titik puncak segi enam (sudut antara sisi-sisi yang berdekatan) adalah 120 derajat.

*Kami sengaja tidak membahas rumus N-gon biasa. Kami akan mempertimbangkan rumus-rumus ini secara rinci di masa mendatang; rumus-rumus tersebut tidak diperlukan di sini.

Mari kita pertimbangkan tugasnya:

272533. Pada prisma segi enam beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 semua rusuknya sama besar 48. Tentukan jarak antara titik A dan E 1 .

Perhatikan segitiga siku-siku AA 1E 1 . Menurut teorema Pythagoras:

*Sudut antara sisi-sisi segi enam beraturan adalah 120 derajat.

Bagian AE 1 adalah sisi miring, AA 1 dan SEBUAH 1 E 1 kaki. Tulang rusuk AA 1 kita tahu. Catet A 1E 1 kita dapat menemukannya menggunakan menggunakan .

Dalil: Kuadrat setiap sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya tanpa dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut di antara kedua sisi tersebut.

Karena itu

Menurut teorema Pythagoras:

Jawaban: 96

*Harap dicatat bahwa mengkuadratkan 48 tidak diperlukan.

Pada prisma segi enam beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 semua rusuknya adalah 35. Tentukan jarak antara titik B dan E.

Dikatakan bahwa semua sisinya sama dengan 35, yaitu sisi segi enam yang terletak di alasnya sama dengan 35. Dan juga, seperti telah dikatakan, jari-jari lingkaran yang mengelilinginya sama dengan angka yang sama.

Dengan demikian,

Jawaban: 70

273353. Pada prisma segi enam beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 semua rusuknya sama dengan empat puluh akar lima. Temukan jarak antar titik B dan E 1.

Perhatikan segitiga siku-siku BB 1E 1 . Menurut teorema Pythagoras:

Segmen B 1 E 1 sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi pada segi enam beraturan, dan jari-jarinya sama dengan sisi segi enam, yaitu

Dengan demikian,

Jawaban: 200

273683. Pada prisma segi enam beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 semua rusuknya sama dengan 45. Tentukan garis singgung sudut AD 1 D.

Perhatikan segitiga siku-siku TAMBAHKAN 1 yang didalamnya IKLAN sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi keliling alasnya. Diketahui jari-jari lingkaran yang dibatasi pada segi enam beraturan sama dengan sisinya.

Dengan demikian,

Jawaban: 2

Pada prisma segi enam beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 semua rusuknya sama besar 23. Tentukan sudutnya COLEK. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Pertimbangkan segi enam biasa:

Di dalamnya, sudut antara sisi-sisinya adalah 120°. Cara,

Panjang tepinya sendiri tidak menjadi masalah; itu tidak mempengaruhi sudutnya.

Jawaban: 60

Pada prisma segi enam beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 semua rusuknya sama dengan 10. Tentukan sudut AC 1 C. Berikan jawabannya dalam derajat.

Perhatikan segitiga siku-siku AC 1 C:

Ayo temukan AC. Pada segi enam beraturan, sudut antara sisi-sisinya sama dengan 120 derajat, maka menurut teorema kosinus segitigaABC:

Dengan demikian,

Jadi sudut AC 1 C sama dengan 60 derajat.

Jawaban: 60

274453. Pada prisma segi enam beraturan ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 semua rusuknya sama dengan 10. Tentukan sudut AC 1 C. Berikan jawabannya dalam derajat.