Kokie yra įbrėžtieji ir centriniai kampai? N. Nikitinas Geometrija
Dažniausiai pasirengimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui procesas prasideda pagrindinių apibrėžimų, formulių ir teoremų pakartojimu, įskaitant temą „Centriniai ir įrašyti kampai apskritime“. Paprastai, šį skyrių planimetrija buvo tiriama nuo vidurinė mokykla. Nenuostabu, kad daugelis studentų susiduria su būtinybe peržiūrėti pagrindines sąvokas ir teoremas tema „Centrinis apskritimo kampas“. Supratę tokių problemų sprendimo algoritmą, moksleiviai gali tikėtis, kad gaus konkursinius balus pagal vieningo valstybinio egzamino išlaikymo rezultatus.
Kaip lengvai ir efektyviai pasiruošti išlaikyti sertifikavimo testą?
Mokydamiesi prieš išlaikydami vieningą valstybinį egzaminą, daugelis aukštųjų mokyklų studentų susiduria su problema, kaip rasti reikiamą informaciją tema „Centriniai ir užrašyti kampai apskritime“. Ne visada mokyklinis vadovėlis prieinama po ranka. O formulių paieška internete kartais atima nemažai laiko.
Mūsų komanda padės jums „patobulinti“ įgūdžius ir patobulinti žinias tokioje sudėtingoje geometrijos dalyje kaip planimetrija. edukacinis portalas. „Shkolkovo“ siūlo aukštųjų mokyklų studentams ir jų mokytojams naują būdą sukurti pasirengimo vieningam valstybiniam egzaminui procesą. Visi bazinė medžiaga mūsų specialistai pateikia labiausiai prieinama forma. Perskaitę informaciją skyriuje „Teorinis pagrindas“ mokiniai sužinos, kokios savybės centrinis kampas apskritimas, kaip rasti jo dydį ir kt.
Tuomet, norint įtvirtinti įgytas žinias ir praktikos įgūdžius, rekomenduojame atlikti atitinkamus pratimus. Didelis užduočių pasirinkimas apskritime įrašyto kampo dydžiui ir kitiems parametrams rasti pateikiamas skiltyje „Katalogas“. Kiekvienam pratimui mūsų ekspertai surašė išsamų sprendimą ir nurodė teisingą atsakymą. Užduočių sąrašas svetainėje nuolat pildomas ir atnaujinamas.
Gimnazistai gali pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui atlikdami pratimus, pavyzdžiui, norėdami rasti centrinio kampo dydį ir apskritimo lanko ilgį internetu iš bet kurio Rusijos regiono.
Esant poreikiui, atliktą užduotį galima išsaugoti skiltyje „Mėgstamiausi“, kad vėliau prie jos sugrįžtume ir dar kartą išanalizuoti jos sprendimo principą.
Centrinis kampas yra kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre.
Įrašytas kampas- kampas, kurio viršūnė yra ant apskritimo ir kurio kraštinės jį kerta.
Paveiksle pavaizduoti centriniai ir įrašyti kampai bei svarbiausios jų savybės.
Taigi, centrinio kampo dydis yra lygus lanko, ant kurio jis remiasi, kampiniam dydžiui. Tai reiškia, kad centrinis 90 laipsnių kampas remsis į lanką, lygų 90°, tai yra, apskritimą. Centrinis kampas, lygus 60°, remiasi į 60 laipsnių lanką, tai yra į šeštąją apskritimo dalį.
Įbrėžto kampo dydis yra du kartus mažesnis nei centrinis kampas, pagrįstas tuo pačiu lanku.
Be to, norint išspręsti problemas, mums reikės „akordo“ sąvokos.
Lygi centriniai kampai sujungia lygias stygas.
1. Koks yra įbrėžtasis kampas, kurį sudaro apskritimo skersmuo? Atsakymą pateikite laipsniais.
Įbrėžtas kampas, kurį sudaro skersmuo, yra stačiakampis.
2. Centrinis kampas yra 36° didesnis nei smailusis įbrėžtas kampas, sudarytas iš to paties apskritimo lanko. Raskite įbrėžtą kampą. Atsakymą pateikite laipsniais.
Tegul centrinis kampas lygus x, o įbrėžtasis to paties lanko kampas lygus y.
Žinome, kad x = 2y.
Taigi 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Apskritimo spindulys lygus 1. Raskite stygos įbrėžto bukojo kampo dydį, lygų . Atsakymą pateikite laipsniais.
Tegul styga AB lygi . Šios stygos įbrėžtas bukas kampas bus pažymėtas α.
Trikampyje AOB kraštinės AO ir OB lygios 1, kraštinės AB lygios . Su tokiais trikampiais jau susidūrėme. Akivaizdu, kad trikampis AOB yra stačiakampis ir lygiašonis, tai yra, kampas AOB yra 90°.
Tada lankas ACB lygus 90°, o lankas AKB lygus 360° – 90° = 270°.
Įbrėžtas kampas α remiasi lanku AKB ir yra lygus pusei šio lanko kampo vertės, tai yra 135°.
Atsakymas: 135.
4. Styga AB padalija apskritimą į dvi dalis, kurių laipsnių reikšmės yra santykiu 5:7. Kokiu kampu ši styga matoma iš taško C, kuris priklauso mažesniajam apskritimo lankui? Atsakymą pateikite laipsniais.
Svarbiausia šioje užduotyje teisingas piešinys ir suprasti būklę. Kaip suprantate klausimą: „Kokiu kampu styga matoma iš taško C?
Įsivaizduokite, kad sėdite taške C ir jums reikia matyti viską, kas vyksta styga AB. Lyg akordas AB būtų ekranas kino teatre :-)
Akivaizdu, kad reikia rasti kampą ACB.
Dviejų lankų, į kuriuos styga AB dalija apskritimą, suma yra lygi 360°, tai yra
5x + 7x = 360°
Taigi x = 30°, o įbrėžtasis kampas ACB remiasi į lanką, lygų 210°.
Įbrėžto kampo dydis yra lygus pusei lanko, ant kurio jis remiasi, kampinio dydžio, o tai reiškia, kad kampas ACB yra lygus 105°.
Tai kampas, sudarytas iš dviejų akordai, kilęs viename apskritimo taške. Sakoma, kad įbrėžtas kampas ilsisi tarp jo šonų uždarytame lanke.
Įrašytas kampas lygi pusei lanko, ant kurio jis remiasi.
Kitaip tariant, įrašytas kampas apima tiek kampinių laipsnių, minučių ir sekundžių, kiek lanko laipsnių, minutės ir sekundės yra pusėje lanko, ant kurio jis remiasi. Norėdami tai pagrįsti, panagrinėkime tris atvejus:
Pirmas atvejis:
Centras O yra šone įrašytas kampas ABC. Nubrėžę spindulį AO, gauname ΔABO, jame OA = OB (kaip spindulius) ir atitinkamai ∠ABO = ∠BAO. Kalbant apie tai trikampis, kampas AOC - išorinis. Ir tai reiškia, kad jis yra lygus kampų ABO ir BAO sumai arba lygus dvigubam kampui ABO. Taigi ∠ABO yra lygus pusei centrinis kampas AOC. Bet šis kampas matuojamas lanku AC. Tai yra, įbrėžtasis kampas ABC matuojamas puse lanko AC.
Antras atvejis:
Centras O yra tarp šonų įrašytas kampas ABC, nubrėžę skersmenį BD, padalijame kampą ABC į du kampus, iš kurių pagal pirmąjį atvejį vienas matuojamas per pusę. lankai AD, o kita lankinio kompaktinio disko pusė. Ir atitinkamai matuojamas kampas ABC (AD+DC) /2, t.y. 1/2 kintamosios srovės.
Trečias atvejis:
Centras O yra lauke įrašytas kampas ABC. Nubrėžę skersmenį BD, turėsime:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Tačiau kampai ABD ir CBD matuojami remiantis anksčiau pagrįsta puse lankas AD ir CD. Ir kadangi ∠ABC matuojamas (AD-CD)/2, tai yra pusė lanko AC.
1 išvada. Bet kurie, pagrįsti tuo pačiu lanku, yra vienodi, tai yra, lygūs vienas kitam. Kadangi kiekvienas iš jų matuojamas puse to paties lankai .
2 išvada. Įrašytas kampas, pagal skersmenį - stačiu kampu. Kadangi kiekvienas toks kampas matuojamas puse puslankiu ir atitinkamai yra 90°.
Įbrėžto ir centrinio kampo samprata
Pirmiausia pristatykime centrinio kampo sąvoką.
1 pastaba
Prisimink tai centrinio kampo laipsnio matas yra lygus lanko, ant kurio jis remiasi, laipsnio mastui.
Dabar pristatykime įbrėžto kampo sąvoką.
2 apibrėžimas
Kampas, kurio viršūnė yra ant apskritimo ir kurio kraštinės kerta tą patį apskritimą, vadinamas įbrėžtuoju kampu (2 pav.).
2 pav. Įbrėžtas kampas
Įbrėžto kampo teorema
1 teorema
Įbrėžto kampo laipsnio matas yra lygus pusei lanko, ant kurio jis remiasi, laipsnio matas.
Įrodymas.
Pateikiame apskritimą, kurio centras yra taške $O$. Pažymėkime įbrėžtinį kampą $ACB$ (2 pav.). Galimi šie trys atvejai:
- Spindulys $CO$ sutampa su bet kuria kampo puse. Tegul tai yra $CB$ pusė (3 pav.).
3 pav.
Šiuo atveju lankas $AB$ yra mažesnis už $(180)^(()^\circ )$, todėl centrinis kampas $AOB$ lygus lankui $AB$. Kadangi $AO=OC=r$, tai trikampis $AOC$ yra lygiašonis. Tai reiškia, kad baziniai kampai $CAO$ ir $ACO$ yra lygūs vienas kitam. Pagal teoremą apie išorinis kampas trikampis, mes turime:
- Sija $CO$ dalijasi vidinis kampas dviem kampais. Tegul jis kerta apskritimą taške $D$ (4 pav.).
4 pav.
Mes gauname
- Spindulys $CO$ neskaido vidinio kampo į du kampus ir nesutampa su jokia jo puse (5 pav.).
5 pav.
Apsvarstykime kampus $ACD$ ir $DCB$ atskirai. Pagal tai, kas buvo įrodyta 1 punkte, gauname
Mes gauname
Teorema įrodyta.
Duokim pasekmes iš šios teoremos.
1 išvada:Įrašyti kampai, esantys ant to paties lanko, yra lygūs vienas kitam.
2 išvada:Įbrėžtasis kampas, kuris apriboja skersmenį, yra stačiakampis.
Įbrėžtas kampas, problemos teorija. Draugai! Šiame straipsnyje kalbėsime apie užduotis, kurioms reikia žinoti įbrėžto kampo savybes. Tai yra visa užduočių grupė, jos įtrauktos į vieningą valstybinį egzaminą. Daugumą jų galima išspręsti labai paprastai, vienu veiksmu.
Yra sunkesnių problemų, tačiau jos jums nesukels didelių sunkumų, turite žinoti įbrėžto kampo savybes. Pamažu analizuosime visus užduočių prototipus, kviečiu į tinklaraštį!
Dabar būtina teorija. Prisiminkime, kas yra centrinis ir įbrėžtas kampas, styga, lankas, ant kurio remiasi šie kampai:
Centrinis apskritimo kampas yra plokštumos kampas suviršūnė jos centre.
Apskritimo dalis, esanti plokštumos kampo vidujevadinamas apskritimo lanku.
Apskritimo lanko laipsnio matas vadinamas laipsniuatitinkamas centrinis kampas.
Sakoma, kad kampas įrašytas į apskritimą, jei kampo viršūnė yraant apskritimo, o kampo kraštinės kerta šį apskritimą.
Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinamaakordas. Didžiausia styga eina per apskritimo centrą ir vadinamaskersmens.
Norėdami išspręsti uždavinius, susijusius su į apskritimą įrašytais kampais,turite žinoti šias savybes:
1. Įbrėžtasis kampas yra lygus pusei centrinio kampo, remiantis tuo pačiu lanku.
2. Visi įbrėžti kampai, esantys toje pačioje lankoje, yra lygūs.
3. Visi įbrėžti kampai, pagrįsti ta pačia styga ir kurių viršūnės yra toje pačioje šios stygos pusėje, yra lygūs.
4. Bet kuri kampų pora, pagrįsta ta pačia styga, kurios viršūnės yra išilgai skirtingos pusės akordai pridedami iki 180°.
Išvada: į apskritimą įbrėžto keturkampio priešingi kampai sumuojasi iki 180 laipsnių.
5. Visi įbrėžtieji kampai, surišti su skersmeniu, yra stačiakampiai.
Apskritai ši savybė yra nuosavybės pasekmė (1); Pažiūrėkite – centrinis kampas lygus 180 laipsnių (o šis neišskleistas kampas yra ne kas kita, kaip skersmuo), vadinasi, pagal pirmąją savybę įbrėžtasis kampas C yra lygus pusei jo, tai yra 90 laipsnių.
Šios savybės žinojimas padeda išspręsti daugelį problemų ir dažnai leidžia išvengti nereikalingų skaičiavimų. Gerai įvaldę daugiau nei pusę tokio pobūdžio problemų galėsite išspręsti žodžiu. Galima padaryti dvi išvadas:
1 išvada: jei į apskritimą įrašytas trikampis ir viena jo kraštinė sutampa su šio apskritimo skersmeniu, tai trikampis yra stačiakampis (viršūnė stačiu kampu guli ant apskritimo).
2 išvada: aprašyto apie centrą taisyklingas trikampis apskritimas sutampa su jo hipotenuzės viduriu.
Daugelis stereometrinių problemų prototipų taip pat išsprendžiami naudojant šią savybę ir šias pasekmes. Prisiminkite patį faktą: jei apskritimo skersmuo yra įbrėžto trikampio kraštinė, tai šis trikampis yra stačiakampis (kampas priešais skersmenį yra 90 laipsnių). Visas kitas išvadas ir pasekmes galite padaryti patys; jums nereikia jų mokyti.
Paprastai pusė užrašyto kampo uždavinių pateikiami su eskizu, bet be simbolių. Norint suprasti samprotavimo procesą sprendžiant uždavinius (straipsnyje žemiau), įvedami viršūnių (kampų) žymėjimai. Vieningo valstybinio egzamino metu to daryti nereikia.Apsvarstykime užduotis:
Kokia yra smailaus įbrėžto kampo, kurį sudaro styga, lygi apskritimo spinduliui, reikšmė? Atsakymą pateikite laipsniais.
Sukurkime centrinį kampą tam tikram įrašytam kampui ir nurodykime viršūnes:
Pagal apskritime įbrėžto kampo savybę:
Kampas AOB lygus 60 0, nes trikampis AOB yra lygiakraštis, o lygiakraščio trikampio visi kampai lygūs 60 0. Trikampio kraštinės yra lygios, nes sąlyga sako, kad styga yra lygi spinduliui.
Taigi įbrėžiamasis kampas ACB lygus 30 0.
Atsakymas: 30
Raskite stygą, paremtą 30 0 kampu, įbrėžtu į 3 spindulio apskritimą.
Tai iš esmės yra atvirkštinė (ankstesnės problemos). Sukonstruokime centrinį kampą.
Jis yra dvigubai didesnis už įrašytąjį, tai yra, kampas AOB lygus 60 0. Iš to galime daryti išvadą, kad trikampis AOB yra lygiakraštis. Taigi, styga yra lygi spinduliui, tai yra, trims.
Atsakymas: 3
Apskritimo spindulys lygus 1. Raskite bukojo įbrėžtinio kampo, kurį sudaro styga, lygų dviejų šaknims, dydį. Atsakymą pateikite laipsniais.
Sukurkime centrinį kampą:
Žinodami spindulį ir stygą, galime rasti centrinį kampą ASV. Tai galima padaryti naudojant kosinuso teoremą. Žinodami centrinį kampą, galime nesunkiai rasti įrašytąjį kampą ACB.
Kosinuso teorema: bet kurios trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, be šių kraštinių dvigubos sandaugos iš kampo tarp jų kosinuso.
Todėl antrasis centrinis kampas yra 360 0 – 90 0 = 270 0 .
Kampas ACB pagal įbrėžto kampo savybę yra lygus jo pusei, tai yra 135 laipsniai.
Atsakymas: 135
Raskite stygą, įtrauktą į 120 laipsnių kampą, įbrėžtą apskritime, kurio spindulys yra trijų.
Sujunkite taškus A ir B su apskritimo centru. Pažymime jį kaip O:
Mes žinome spindulį ir įbrėžtinį kampą ASV. Mes galime rasti centrinį kampą AOB (didesnį nei 180 laipsnių), tada rasti kampą AOB trikampyje AOB. Ir tada, naudodamiesi kosinuso teorema, apskaičiuokite AB.
Pagal įbrėžto kampo savybę centrinis kampas AOB (kuris yra didesnis nei 180 laipsnių) bus lygus dvigubam įbrėžtam kampui, tai yra 240 laipsnių. Tai reiškia, kad kampas AOB trikampyje AOB yra lygus 360 0 – 240 0 = 120 0.
Pagal kosinuso teoremą:
Atsakymas: 3
Raskite įbrėžtą kampą, kurį sudaro lankas, kuris yra 20% apskritimo. Atsakymą pateikite laipsniais.
Pagal įbrėžto kampo savybę jis yra perpus mažesnis už centrinį kampą, pagrįstą tuo pačiu lanku, šiuo atveju kalbame apie lanką AB.
Sakoma, kad lankas AB yra 20 procentų apskritimo. Tai reiškia, kad centrinis kampas AOB taip pat yra 20 procentų 360 0.*Apskritimas yra 360 laipsnių kampas. Reiškia,
Taigi įbrėžiamasis kampas ACB yra 36 laipsniai.
Atsakymas: 36
Apskritimo lankas A.C., kuriame nėra taško B, yra 200 laipsnių. Ir apskritimo BC lankas, kuriame nėra taško A, yra 80 laipsnių. Raskite įbrėžtinį kampą ACB. Atsakymą pateikite laipsniais.
Aiškumo dėlei pažymime lankus, kurių kampiniai matai yra pateikti. 200 laipsnių atitinkantis lankas – Mėlyna spalva, 80 laipsnių atitinkantis lankas yra raudonas, likusi apskritimo dalis yra geltona.
Taigi, lanko AB laipsnio matas (geltonas), taigi ir centrinis kampas AOB yra: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Įbrėžtasis kampas ACB yra perpus mažesnis už centrinį kampą AOB, tai yra lygus 40 laipsnių.
Atsakymas: 40
Koks yra įbrėžtasis kampas, kurį sudaro apskritimo skersmuo? Atsakymą pateikite laipsniais.
