Geometrinės sumos formulė. Geometrinės progresijos vardiklis: formulės ir savybės

Jau Senovės Egipte jie žinojo ne tik aritmetinę, bet ir geometrinę progresiją. Štai, pavyzdžiui, problema iš Rhindo papiruso: „Septyni veidai turi septynias kates; Kiekviena katė suėda septynias peles, kiekviena pelė suėda septynias kukurūzų varpas, o kiekviena miežių varpa gali užauginti septynis miežių matus. Kokie yra šios serijos skaičiai ir jų suma?

Ryžiai. 1. Senovės Egipto geometrinės progresijos problema

Ši užduotis buvo kartojama daug kartų su skirtingais variantais tarp kitų tautų kitu metu. Pavyzdžiui, rašytuose XIII a. Leonardo iš Pizos (Fibonačio) „Abako knyga“ turi problemą, kai pakeliui į Romą pasirodo 7 senos moterys (akivaizdu, kad piligrimai), kurių kiekviena turi po 7 mulus, kurių kiekvienas turi po 7 krepšius. yra 7 kepalai, kurių kiekviename yra 7 peiliai, kurių kiekvienas turi 7 apvalkalus. Problema klausia, kiek yra objektų.

Geometrinės progresijos S n = b 1 pirmųjų n narių suma (q n – 1) / (q – 1) . Šią formulę galima įrodyti, pavyzdžiui, taip: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Pridėkite skaičių b 1 q n prie S n ir gaukite:

Iš čia S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), ir gauname reikiamą formulę.

Jau ant vienos iš Senovės Babilono molinių lentelių, datuojamų VI a. pr. Kr e., yra suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Tiesa, kaip ir daugeliu kitų atvejų, mes nežinome, kaip šis faktas buvo žinomas babiloniečiams .

Spartus geometrinės progresijos augimas daugelyje kultūrų, ypač Indijos, ne kartą naudojamas kaip vizualus visatos platybės simbolis. Garsioje legendoje apie šachmatų atsiradimą valdovas suteikia galimybę jų išradėjui pačiam pasirinkti atlygį ir klausia, kiek kviečių grūdų bus įdėta į pirmąjį langelį. šachmatų lenta, du – antram, keturi – trečiam, aštuoni – ketvirtam ir kt., kiekvieną kartą skaičius padvigubėja. Vladyka manė, kad daugiausia kalbame apie kelis maišus, bet jis apsiskaičiavo. Nesunku pastebėti, kad už visus 64 šachmatų lentos langelius išradėjas turėtų gauti (2 64 - 1) grūdelius, kurie išreiškiami 20 skaitmenų skaičiumi; net jei būtų apsėtas visas Žemės paviršius, surinkti reikiamą grūdų kiekį prireiktų mažiausiai 8 metų. Ši legenda kartais interpretuojama kaip nurodanti praktiškai neribotas šachmatų žaidime slypinčias galimybes.

Nesunku suprasti, kad šis skaičius iš tikrųjų yra 20 skaitmenų:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (tiksliau apskaičiavus gaunama 1,84∙10 19). Bet įdomu, ar galite sužinoti, kokiu skaitmeniu baigiasi šis skaičius?

Geometrinė progresija gali didėti, jei vardiklis yra didesnis nei 1, arba mažėti, jei jis yra mažesnis už vieną. Pastaruoju atveju skaičius q n, esant pakankamai dideliam n, gali tapti savavališkai mažas. Didėjanti geometrinė progresija netikėtai greitai didėja, mažėjanti geometrinė progresija taip pat greitai mažėja.

Kuo didesnis n, tuo skaičius q n skiriasi nuo nulio ir tuo geometrinės progresijos S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) n narių suma artimesnė skaičiui S = b 1 / ( 1 – q). (Pavyzdžiui, F. Vietas taip samprotavo). Skaičius S vadinamas be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma. Tačiau daugelį amžių matematikams nebuvo pakankamai aiškus klausimas, ką reiškia sumuoti VISĄ geometrinę progresiją su begaliniu terminų skaičiumi.

Mažėjanti geometrinė progresija matoma, pavyzdžiui, Zenono aporijose „Pusė padalijimas“ ir „Achilas ir vėžlys“. Pirmuoju atveju aiškiai parodyta, kad visas kelias (darant prielaidą, kad ilgis yra 1) yra begalinio skaičiaus atkarpų 1/2, 1/4, 1/8 ir tt suma. Taip, žinoma, yra idėjų apie baigtinę sumą begalinės geometrinės progresijos požiūriu. Ir vis dėlto – kaip tai gali būti?

Aporijoje apie Achilą situacija kiek sudėtingesnė, nes čia progresijos vardiklis yra ne 1/2, o koks nors kitas skaičius. Tegu, pavyzdžiui, Achilas bėga greičiu v, vėžlys juda greičiu u, o pradinis atstumas tarp jų yra l. Achilas įveiks šį atstumą per laiką l/v, o per tą laiką vėžlys judės atstumą lu/v. Kai Achilas nubėgs šią atkarpą, atstumas tarp jo ir vėžlio taps lygus l (u /v) 2 ir tt Pasirodo, kad pasivyti vėžlį reiškia rasti be galo mažėjančios geometrinės progresijos su pirmuoju nariu sumą. l ir vardiklis u /v. Ši suma – atkarpa, kurią Achilas galiausiai nubėgs į susitikimo vietą su vėžliuku – yra lygi l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Bet vėlgi, kaip reikėtų interpretuoti šį rezultatą ir kodėl jis apskritai turi prasmę? ilgam laikui nebuvo labai aišku.

Archimedas naudojo geometrinės progresijos sumą, kad nustatytų parabolės segmento plotą. Tegul šią parabolės atkarpą riboja styga AB, o parabolės taško D liestinė yra lygiagreti AB. Tegu C yra AB vidurio taškas, E - AC, F - CB vidurio taškas. Per taškus A, E, F, B nubrėžkime tieses, lygiagrečias DC; Tegul taške D nubrėžta liestinė kerta šias tieses taškuose K, L, M, N. Taip pat nubrėžkime segmentus AD ir DB. Tegul tiesė EL kerta tiesę AD taške G, o parabolė – taške H; tiesė FM kerta tiesę DB taške Q, o parabolę taške R. Pagal bendroji teorija kūginės pjūviai, DC – parabolės skersmuo (tai yra atkarpa, lygiagreti jos ašiai); ji ir liestinė taške D gali tarnauti kaip koordinačių ašys x ir y, kuriose parabolės lygtis parašyta kaip y 2 = 2px (x yra atstumas nuo D iki bet kurio tam tikro skersmens taško, y yra atkarpa, lygiagreti duotajai liestine nuo šio skersmens taško iki tam tikro taško pačioje parabolėje).

Pagal parabolės lygtį DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, o kadangi DK = 2DL, tai KA = 4LH. Kadangi KA = 2LG, LH = HG. Parabolės segmento ADB plotas lygus trikampio ΔADB plotui ir AHD bei DRB atkarpų plotams kartu. Savo ruožtu segmento AHD plotas yra panašiai lygus trikampio AHD ir likusių segmentų AH ir HD plotui, su kiekvienu iš jų galite atlikti tą pačią operaciją - padalinti į trikampį (Δ) ir du likę segmentai () ir tt:

Trikampio ΔAHD plotas yra lygus pusei trikampio ΔALD ploto (jie turi bendras pagrindas AD, o aukščiai skiriasi koeficientu 2), kuris, savo ruožtu, yra lygus pusei trikampio ΔAKD ploto, taigi ir pusei trikampio ΔACD ploto. Taigi, trikampio ΔAHD plotas yra lygus ketvirtadaliui trikampio ΔACD ploto. Taip pat trikampio ΔDRB plotas yra lygus ketvirtadaliui trikampio ΔDFB ploto. Taigi, trikampių ΔAHD ir ΔDRB plotai, paimti kartu, yra lygūs ketvirtadaliui trikampio ΔADB ploto. Pakartojus šią operaciją, kai ji taikoma atkarpoms AH, HD, DR ir RB, iš jų bus pasirinkti trikampiai, kurių plotas kartu bus 4 kartus mažesnis už trikampių ΔAHD ir ΔDRB plotą kartu paėmus ir todėl 16 kartų mažiau nei trikampio ΔADB plotas. Ir taip toliau:

Taigi Archimedas įrodė, kad „kiekvienas segmentas, esantis tarp tiesės ir parabolės, sudaro keturis trečdalius trikampio, turinčio tą patį pagrindą ir vienodą aukštį“.

>>Matematika: geometrinė progresija

Skaitytojo patogumui ši pastraipa sudaryta tiksliai pagal tą patį planą, kurio laikėmės ankstesnėje pastraipoje.

1. Pagrindinės sąvokos.

Apibrėžimas. Skaitmeninė seka, kurios visi nariai skiriasi nuo 0 ir kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus jį iš to paties skaičiaus, vadinama geometrine progresija. Šiuo atveju skaičius 5 vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

Taigi, geometrinė progresija yra skaitinė seka (b n), nuolat apibrėžiama ryšiais

Ar galima pažvelgti į skaičių seką ir nustatyti, ar tai geometrinė progresija? Gali. Jei esate įsitikinę, kad bet kurio sekos nario ir ankstesnio nario santykis yra pastovus, tada turite geometrinę progresiją.
1 pavyzdys.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

2 pavyzdys.

Tai geometrinė progresija, kuri turi
3 pavyzdys.

Tai geometrinė progresija, kuri turi
4 pavyzdys.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 - 8, q = 1.

Atkreipkite dėmesį, kad ši seka taip pat yra aritmetinė progresija (žr. 3 pavyzdį iš § 15).

5 pavyzdys.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 = 2, q = -1.

Akivaizdu, kad geometrinė progresija yra didėjanti seka, jei b 1 > 0, q > 1 (žr. 1 pavyzdį), ir mažėjanti seka, jei b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Norint nurodyti, kad seka (b n) yra geometrinė progresija, kartais patogu naudoti šį žymėjimą:

Piktograma pakeičia frazę „geometrinė progresija“.
Atkreipkime dėmesį į vieną keistą ir kartu gana akivaizdžią geometrinės progresijos savybę:
Jei seka yra geometrinė progresija, tada kvadratų seka, t.y. yra geometrinė progresija.
Antroje geometrinėje progresijoje pirmasis narys yra lygus q 2 ir jam lygus.
Jei geometrinėje progresijoje atmesime visus terminus po b n , gausime baigtinę geometrinę progresiją
Tolesnėse šio skyriaus pastraipose apžvelgsime svarbiausias geometrinės progresijos savybes.

2. Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė.

Apsvarstykite geometrinę progresiją vardiklis q. Mes turime:

Nesunku atspėti, kad bet kurio skaičiaus n lygybė yra teisinga

Tai yra geometrinės progresijos n-ojo nario formulė.

komentuoti.

Jei perskaitėte svarbią ankstesnės pastraipos pastabą ir ją supratote, pabandykite įrodyti (1) formulę matematinės indukcijos metodu, kaip tai buvo daroma su aritmetinės progresijos n-ojo nario formule.

Perrašykime geometrinės progresijos n-ojo nario formulę

ir įveskite žymėjimą: gauname y = mq 2 arba, tiksliau,
Argumentas x yra eksponente, todėl ši funkcija vadinama eksponentine funkcija. Tai reiškia, kad geometrinė progresija gali būti laikoma eksponentine funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje N. Pav. 96a parodytas funkcijos grafikas Fig. 966 - funkcijų grafikas Abiem atvejais turime atskirus taškus (su abscisėmis x = 1, x = 2, x = 3 ir t. t.), esančius tam tikroje kreivėje (abiejose figūrose pavaizduota ta pati kreivė, tik skirtingai išsidėsčiusi ir pavaizduota skirtingomis mastelėmis). Ši kreivė vadinama eksponentine kreive. Daugiau informacijos apie eksponentinę funkciją ir jos grafiką bus aptarta 11 klasės algebros kurse.

Grįžkime prie ankstesnės pastraipos 1–5 pavyzdžių.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Tai geometrinė progresija, kurios b 1 = 1, q = 3. Sukurkime n-ojo nario formulę
2) Tai geometrinė progresija, kuriai sukurkime n-ojo nario formulę

Tai geometrinė progresija, kuri turi Sukurkime n-ojo nario formulę
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Tai geometrinė progresija, kuriai b 1 = 8, q = 1. Sukurkime n-ojo nario formulę
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 = 2, q = -1. Sukurkime n-ojo nario formulę

6 pavyzdys.

Pateikta geometrinė progresija

Visais atvejais sprendimas grindžiamas geometrinės progresijos n-ojo nario formule

a) Įdėję n = 6 į geometrinės progresijos n-ojo nario formulę, gauname

b) Mes turime

Kadangi 512 = 2 9, gauname n - 1 = 9, n = 10.

d) Mes turime

7 pavyzdys.

Skirtumas tarp septintojo ir penktojo geometrinės progresijos narių yra 48, penktojo ir šeštojo progresijos narių suma taip pat yra 48. Raskite šios progresijos dvyliktą narį.

Pirmas lygmuo. Matematinio modelio sudarymas.

Problemos sąlygas galima trumpai parašyti taip:

Naudodami geometrinės progresijos n-ojo nario formulę, gauname:
Tada antrąją uždavinio sąlygą (b 7 - b 5 = 48) galima parašyti kaip

Trečiąją uždavinio sąlygą (b 5 + b 6 = 48) galima parašyti kaip

Dėl to gauname dviejų lygčių sistemą su dviem kintamaisiais b 1 ir q:

kuri kartu su 1) sąlyga, parašyta aukščiau, parodo matematinį problemos modelį.

Antrasis etapas.

Darbas su sudarytu modeliu. Sulyginę abiejų sistemos lygčių kairiąsias puses, gauname:

(abi lygties puses padalijome iš nulinės išraiškos b 1 q 4).

Iš lygties q 2 - q - 2 = 0 randame q 1 = 2, q 2 = -1. Pakeitę reikšmę q = 2 į antrąją sistemos lygtį, gauname
Pakeitę reikšmę q = -1 į antrąją sistemos lygtį, gauname b 1 1 0 = 48; ši lygtis neturi sprendinių.

Taigi, b 1 =1, q = 2 – ši pora yra sudarytos lygčių sistemos sprendimas.

Dabar galime užrašyti geometrinę progresiją, apie kurią mes kalbame apie uždavinyje: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Trečias etapas.

Atsakymas į problemos klausimą. Reikia apskaičiuoti b 12. Mes turime

Atsakymas: b 12 = 2048.

3. Baigtinės geometrinės progresijos narių sumos formulė.

Tegu pateikta baigtinė geometrinė progresija

S n pažymėkime jo narių sumą, t.y.

Išveskime formulę, kaip rasti šią sumą.

Pradėkime nuo pat pradžių paprastas atvejis, kai q = 1. Tada geometrinė progresija b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn susideda iš n skaičių, lygių b 1 , t.y. progresija atrodo taip: b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Šių skaičių suma yra nb 1.

Tegu dabar q = 1 Norėdami rasti S n, taikome dirbtinę techniką: atliekame kai kurias išraiškos S n q transformacijas. Mes turime:

Atlikdami transformacijas, pirmiausia naudojome geometrinės progresijos apibrėžimą, pagal kurį (žr. trečią samprotavimo eilutę); antra, jie pridėjo ir atėmė, todėl posakio reikšmė, žinoma, nepasikeitė (žr. ketvirtą samprotavimo eilutę); trečia, mes panaudojome geometrinės progresijos n-ojo nario formulę:

Iš (1) formulės randame:

Tai yra geometrinės progresijos n narių sumos formulė (tuo atveju, kai q = 1).

8 pavyzdys.

Duota baigtinė geometrinė progresija

a) progresijos sąlygų suma; b) jos narių kvadratų suma.

b) Aukščiau (žr. p. 132) jau pažymėjome, kad jei visi geometrinės progresijos nariai yra kvadratiniai, tai gauname geometrinę progresiją su pirmuoju nariu b 2 ir vardikliu q 2. Tada šešių naujos progresijos narių suma bus apskaičiuojama pagal

9 pavyzdys.

Raskite 8-ąjį geometrinės progresijos narį, kuriam

Tiesą sakant, mes įrodėme šią teoremą.

Skaičių seka yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvieno jos nario kvadratas, išskyrus pirmąją teoremą (ir baigtinės sekos atveju paskutinę), yra lygus ankstesnių ir vėlesnių narių sandaugai (a būdinga geometrinės progresijos savybė).

Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė labai paprasta. Tiek prasme, tiek bendra išvaizda. Tačiau n-ojo termino formulėje yra visokių problemų – nuo ​​labai primityvių iki gana rimtų. O pažinties procese tikrai apsvarstysime abu. Na, susipažinkime?)

Taigi, tiesą sakant, pradžiai formulęn

Štai ji:

b n = b 1 · qn -1

Formulė yra tik formulė, nieko antgamtiško. Jis atrodo dar paprastesnis ir kompaktiškesnis nei panaši formulė. Formulės prasmė taip pat paprasta kaip veltiniai batai.

Ši formulė leidžia rasti bet kurį geometrinės progresijos narį PAGAL SKAIČIŲ " n".

Kaip matote, prasmė yra visiška analogija su aritmetine progresija. Žinome skaičių n – po šiuo skaičiumi galime skaičiuoti ir terminą. Kurią tik norime. Daug kartų nedauginant iš „q“ daug kartų. Tai yra visa esmė.)

Suprantu, kad tokiame darbo su progresijomis lygmenyje jums jau turėtų būti aiškūs visi į formulę įtraukti kiekiai, bet vis tiek laikau savo pareiga kiekvieną iššifruoti. Dėl viso pikto.

Taigi, mes einame:

b 1 – Pirmas geometrinės progresijos terminas;

q – ;

n– nario numeris;

b n – nth (nth) geometrinės progresijos terminas.

Ši formulė sujungia keturis pagrindinius bet kurios geometrinės progresijos parametrus - bn, b 1 , q Ir n. Ir visos progresavimo problemos sukasi apie šiuos keturis pagrindinius skaičius.

"Kaip jis pašalinamas?"– Išgirstu smalsų klausimą... Elementaru! Žiūrėk!

Kas yra lygus antra progresijos narys? Jokiu problemu! Mes rašome tiesiogiai:

b 2 = b 1 ·q

O kaip trečias narys? Taip pat ne problema! Antrąjį terminą padauginame dar kartąq.

Kaip šitas:

B 3 = b 2 q

Dabar prisiminkime, kad antrasis narys, savo ruožtu, yra lygus b 1 ·q ir pakeiskime šią išraišką į mūsų lygybę:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Mes gauname:

B 3 = b 1 ·q 2

Dabar paskaitykime mūsų įrašą rusų kalba: trečias terminas yra lygus pirmajam nariui, padaugintam iš q in antra laipsnių. Ar supranti? Dar ne? Gerai, dar vienas žingsnis.

Kas yra ketvirtas terminas? Visi vienodi! Padauginti ankstesnis(t. y. trečiasis terminas) ant q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Iš viso:

B 4 = b 1 ·q 3

Ir vėl verčiame į rusų kalbą: ketvirta terminas yra lygus pirmajam nariui, padaugintam iš q in trečias laipsnių.

Ir taip toliau. Taigi kaip yra? Ar pagavote modelį? Taip! Bet kuriam terminui su bet kokiu skaičiumi identiškų veiksnių q skaičius (t. y. vardiklio laipsnis) visada bus vienu mažiau nei pageidaujamo nario skaičiusn.

Todėl mūsų formulė be parinkčių bus tokia:

b n =b 1 · qn -1

Tai viskas.)

Na, išspręskime problemas, manau?)

Formulės uždavinių sprendimasngeometrinės progresijos narys.

Pradėkime, kaip įprasta, nuo tiesioginio formulės taikymo. Čia yra tipiška problema:

Geometrinėje progresijoje žinoma, kad b 1 = 512 ir q = -1/2. Raskite dešimtąjį progresijos narį.

Žinoma, šią problemą galima išspręsti ir be jokių formulių. Tiesiogiai geometrinės progresijos prasme. Bet mums reikia apšilti su n-to termino formule, tiesa? Čia mes apšildome.

Mūsų formulės taikymo duomenys yra tokie.

Pirmasis narys žinomas. Tai yra 512.

b 1 = 512.

Taip pat žinomas progreso vardiklis: q = -1/2.

Belieka tik išsiaiškinti, koks yra nario n skaičius. Jokiu problemu! Ar mus domina dešimtoji kadencija? Taigi vietoj n į bendrąją formulę pakeičiame dešimt.

Ir atidžiai apskaičiuokite aritmetiką:

Atsakymas: -1

Kaip matote, dešimtasis progresijos terminas buvo minusas. Nieko stebėtino: mūsų progresijos vardiklis yra -1/2, t.y. neigiamas numerį. Ir tai mums sako, kad mūsų progresavimo požymiai keičiasi, taip.)

Čia viskas paprasta. Čia yra panaši problema, tik šiek tiek sudėtingesnė skaičiavimų požiūriu.

Geometrinėje progresijoje žinoma, kad:

b 1 = 3

Raskite tryliktąjį progresijos narį.

Viskas tas pats, tik šį kartą progresijos vardiklis neracionalus. Dviejų šaknis. Na, viskas gerai. Formulė yra universalus dalykas, ji gali valdyti bet kokius skaičius.

Dirbame tiesiogiai pagal formulę:

Formulė, aišku, veikė kaip priklauso, bet... čia kai kuriems užstringa. Ką toliau daryti su šaknimi? Kaip pakelti šaknį iki dvyliktos galios?

Kaip-kaip... Turite suprasti, kad bet kokia formulė, žinoma, yra geras dalykas, bet visos ankstesnės matematikos žinios neatšaukiamos! Kaip statyti? Taip, atsiminkite laipsnių savybes! Paverskime šaknį į trupmeninis laipsnis ir – pagal laipsnio pakėlimo į laipsnį formulę.

Kaip šitas:

Atsakymas: 192

Ir viskas.)

Koks yra pagrindinis sunkumas tiesiogiai taikant n-ojo termino formulę? Taip! Pagrindinis sunkumas yra dirba su diplomais! Būtent, eksponencija neigiamus skaičius, frakcijos, šaknys ir panašios struktūros. Taigi tie, kurie turi problemų dėl to, pakartokite laipsnius ir jų savybes! Priešingu atveju pristabdysite ir šią temą, taip...)

Dabar išspręskime įprastas paieškos problemas vienas iš formulės elementų, jei visi kiti yra duoti. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, receptas yra vienodas ir siaubingai paprastas - parašyti formulęnnarys bendras vaizdas! Tiesiai sąsiuvinyje prie būklės. Ir tada iš būklės mes suprantame, kas mums duota, o ko trūksta. O norimą reikšmę išreiškiame iš formulės. Viskas!

Pavyzdžiui, tokia nekenksminga problema.

Geometrinės progresijos, kurios vardiklis 3, penktasis narys yra 567. Raskite pirmąjį šios progresijos narį.

Nieko sudėtingo. Dirbame tiesiogiai pagal burtažodį.

Parašykime n-ojo nario formulę!

b n = b 1 · qn -1

Kas mums duota? Pirma, pateikiamas progreso vardiklis: q = 3.

Be to, mums duota penktas narys: b 5 = 567 .

Visi? Ne! Mums taip pat buvo suteiktas numeris n! Tai yra penki: n = 5.

Tikiuosi, jau supratote, kas yra įraše b 5 = 567 du parametrai yra paslėpti vienu metu - tai pats penktasis terminas (567) ir jo skaičius (5). Jau kalbėjau apie tai panašioje pamokoje, bet manau, kad verta paminėti ir čia.)

Dabar mes pakeisime savo duomenis į formulę:

567 = b 1 ·3 5-1

Mes atliekame aritmetiką, supaprastiname ir gauname ką nors paprasto tiesinė lygtis:

81 b 1 = 567

Mes išsprendžiame ir gauname:

b 1 = 7

Kaip matote, ieškant pirmojo termino problemų nėra. Tačiau ieškant vardiklio q ir skaičiai n Gali būti ir netikėtumų. Ir jūs taip pat turite būti pasirengę jiems (staigmenoms), taip.)

Pavyzdžiui, ši problema:

Geometrinės progresijos su teigiamu vardikliu penktasis narys yra 162, o pirmasis šios progresijos narys yra 2. Raskite progresijos vardiklį.

Šį kartą mums suteikiama pirmoji ir penkta sąlygos ir prašoma rasti progresijos vardiklį. Štai mes einame.

Rašome formulęnnarys!

b n = b 1 · qn -1

Mūsų pradiniai duomenys bus tokie:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Trūksta vertės q. Jokiu problemu! Suraskime dabar.) Viską, ką žinome, pakeičiame į formulę.

Mes gauname:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Paprasta ketvirto laipsnio lygtis. Ir dabar - atsargiai!Šiame sprendimo etape daugelis studentų iš karto džiaugsmingai ištraukia šaknį (ketvirtojo laipsnio) ir gauna atsakymą q=3 .

Kaip šitas:

4 k. = 81

q = 3

Bet iš tikrųjų tai yra nebaigtas atsakymas. Tiksliau, nepilna. Kodėl? Esmė tame, kad atsakymas q = -3 taip pat tinka: (-3) 4 taip pat bus 81!

Taip yra dėl galios lygties x n = a visada turi dvi priešingos šaknys adresu netn . Su pliusais ir minusais:

Tinka abu.

Pavyzdžiui, sprendžiant (t.y. antra laipsniai)

x 2 = 9

Kažkodėl jūsų nesistebi išvaizda dušaknys x=±3? Čia tas pats. Ir su bet kuriuo kitu net laipsnis (ketvirtas, šeštas, dešimtas ir kt.) bus toks pat. Išsami informacija yra temoje apie

Štai kodėl teisingas sprendimas bus taip:

q 4 = 81

q= ±3

Gerai, mes sutvarkėme ženklus. Kuris teisingas – pliusas ar minusas? Na, dar kartą perskaitykime problemos teiginį ieškodami Papildoma informacija. Žinoma, jos gali ir nebūti, bet šioje problemoje tokia informacija prieinama. Mūsų sąlyga paprastu tekstu nurodo, kad progresija pateikiama su teigiamas vardiklis.

Todėl atsakymas akivaizdus:

q = 3

Čia viskas paprasta. Kaip manote, kas nutiktų, jei problemos teiginys būtų toks:

Penktasis geometrinės progresijos narys yra 162, o pirmasis šios progresijos narys yra 2. Raskite progresijos vardiklį.

Koks skirtumas? Taip! Būklė Nieko apie vardiklio ženklą neužsimenama. Nei tiesiogiai, nei netiesiogiai. Ir čia jau būtų problema du sprendimai!

q = 3 Ir q = -3

Taip taip! Ir su pliusu, ir su minusu.) Matematiškai šis faktas reikštų, kad yra dvi progresijos, kurie atitinka problemos sąlygas. Ir kiekvienas turi savo vardiklį. Kad būtų smagu, praktikuokite ir užrašykite pirmuosius penkis kiekvieno termino terminus.)

Dabar pabandykime surasti nario numerį. Ši problema yra pati sunkiausia, taip. Bet ir kūrybiškesnis.)

Pateikta geometrinė progresija:

3; 6; 12; 24; …

Koks skaičius šioje progresijoje yra skaičius 768?

Pirmas žingsnis vis dar tas pats: parašyti formulęnnarys!

b n = b 1 · qn -1

Ir dabar, kaip įprasta, į jį pakeičiame mums žinomus duomenis. Hm... tai neveikia! Kur pirmas terminas, kur vardiklis, kur visa kita?!

Kur, kur... Kam reikalingos akys? Plakti blakstienomis? Šį kartą progresas mums pateikiamas tiesiogiai formoje sekos. Ar galime pamatyti pirmąjį narį? Mes matome! Tai trigubas (b 1 = 3). O vardiklis? Mes to dar nematome, bet labai lengva suskaičiuoti. Jei, žinoma, supranti...

Taigi mes skaičiuojame. Tiesiogiai pagal geometrinės progresijos reikšmę: imame bet kurį jos terminą (išskyrus pirmąjį) ir dalijame iš ankstesnio.

Bent jau taip:

q = 24/12 = 2

Ką dar žinome? Taip pat žinome kai kuriuos šios progresijos terminus, lygius 768. Pagal tam tikrą skaičių n:

b n = 768

Mes nežinome jo numerio, bet mūsų užduotis yra būtent jį surasti.) Taigi mes ieškome. Mes jau atsisiuntėme visus pakeitimui reikalingus duomenis į formulę. Pats to nežinant.)

Čia mes pakeičiame:

768 = 3 2n -1

Padarykime elementarius – abi puses padalinkime iš trijų ir perrašykime lygtį įprasta forma: kairėje nežinomas, dešinėje žinomas.

Mes gauname:

2 n -1 = 256

Tai įdomi lygtis. Turime rasti „n“. Ką, neįprastą? Taip, aš nesiginčiju. Tiesą sakant, tai yra paprasčiausias dalykas. Jis taip vadinamas, nes nežinomas (šiuo atveju tai yra skaičius n) išlaidos indikatorius laipsnių.

Susipažinimo su geometrine progresija etape (tai devinta klasė) eksponentinės lygtys Jie nemoko tavęs, kaip apsispręsti, taip... Tai aukštosios mokyklos tema. Bet nieko baisaus. Net jei nežinote, kaip tokios lygtys išsprendžiamos, pabandykime surasti mūsų n, vadovaujantis paprasta logika ir sveiku protu.

Pradėkime kalbėti. Kairėje pusėje turime deuce iki tam tikro laipsnio. Mes dar nežinome, kas tiksliai yra šis laipsnis, bet tai nėra baisu. Bet mes tikrai žinome, kad šis laipsnis yra lygus 256! Taigi mes prisimename, kiek du duoda mums 256. Ar prisimeni? Taip! IN aštunta laipsnių!

256 = 2 8

Jei neprisimenate arba turite problemų atpažindami laipsnius, tai taip pat gerai: tiesiog iš eilės kvadratas du, kubas, ketvirtas, penktas ir pan. Tiesą sakant, pasirinkimas, bet šiame lygyje veiks gana gerai.

Vienaip ar kitaip gauname:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Taigi 768 yra devintas mūsų progreso narys. Štai viskas, problema išspręsta.)

Atsakymas: 9

Ką? Nuobodu? Pavargote nuo elementarių dalykų? Sutinku. Ir aš taip pat. Pereikime į kitą lygį.)

Sudėtingesnės užduotys.

Dabar išspręskime sudėtingesnes problemas. Ne visai super, bet tie, į kuriuos reikia šiek tiek padirbėti, kad gautumėte atsakymą.

Pavyzdžiui, šis.

Raskite antrąjį geometrinės progresijos narį, jei jos ketvirtasis narys yra -24, o septintasis narys yra 192.

Tai žanro klasika. Yra žinomi du skirtingi progresavimo terminai, tačiau reikia rasti kitą terminą. Be to, visi nariai NĖRA kaimyniniai. Kas iš pradžių glumina, taip...

Kaip ir, norėdami išspręsti tokias problemas, apsvarstysime du būdus. Pirmasis metodas yra universalus. Algebrinė. Nepriekaištingai veikia su bet kokiais šaltinio duomenimis. Štai kodėl mes nuo to ir pradėsime.)

Kiekvieną terminą aprašome pagal formulę nnarys!

Viskas lygiai taip pat, kaip ir su aritmetine progresija. Tik šį kartą dirbame su kitas bendroji formulė. Tai viskas.) Bet esmė ta pati: imame ir vienas po kito Pradinius duomenis pakeičiame n-ojo termino formule. Kiekvienam nariui – savo.

Ketvirtajam terminui rašome:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Valgyk. Viena lygtis yra paruošta.

Septintam terminui rašome:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Iš viso gavome dvi lygtis ta pati progresija .

Iš jų surenkame sistemą:

Nepaisant grėsmingos išvaizdos, sistema yra gana paprasta. Akivaizdžiausias sprendimas yra paprastas pakeitimas. Mes išreiškiame b 1 iš viršutinės lygties ir pakeiskite ją į apačią:

Šiek tiek pasmukę su apatine lygtimi (sumažinus galias ir padalinus iš -24), gauname:

q 3 = -8

Beje, tą pačią lygtį galima pasiekti paprastesniu būdu! Kuris? Dabar parodysiu dar vieną paslaptį, bet labai gražią, galingą ir naudingas būdas sprendimų tokioms sistemoms. Tokios sistemos, kurių lygtys apima tik veikia. Bent jau viename. Skambino padalijimo metodas viena lygtis su kita.

Taigi, prieš mus yra sistema:

Abiejose lygtyse kairėje - dirbti, o dešinėje yra tik skaičius. Tai labai geras ženklas.) Paimkime ir... padalinkime, tarkime, apatinę lygtį iš viršutinės! Ką reiškia, padalinkime vieną lygtį iš kitos? Labai paprasta. Paimkim kairė pusė viena lygtis (žemesnė) ir padalinti ji ant kairė pusė kita lygtis (viršutinė). Dešinė pusė panaši: dešinioji pusė viena lygtis padalintiįjungta dešinioji pusė kitas.

Visas padalijimo procesas atrodo taip:

Dabar, sumažinę viską, ką galima sumažinti, gauname:

q 3 = -8

Kuo šis metodas yra geras? Taip, nes tokio padalijimo procese viską, kas bloga ir nepatogu, galima saugiai sumažinti ir lieka visiškai nekenksminga lygtis! Štai kodėl taip svarbu turėti tik dauginimas bent vienoje iš sistemos lygčių. Nėra daugybos – nėra ką mažinti, taip...

Apskritai šis metodas (kaip ir daugelis kitų nebanalių sistemų sprendimo būdų) nusipelno net atskiros pamokos. Tikrai panagrinėsiu išsamiau. Kažkurią dieną…

Tačiau nesvarbu, kaip tiksliai išspręsite sistemą, bet kuriuo atveju dabar turime išspręsti gautą lygtį:

q 3 = -8

Jokių problemų: ištraukite kubo šaknį ir viskas!

Atkreipkite dėmesį, kad išimant čia nereikia dėti pliuso/minuso. Mes turime nelyginio (trečiojo) laipsnio šaknį. Ir atsakymas taip pat yra tas pats, taip.)

Taigi progreso vardiklis buvo rastas. Minus du. Puiku! Procesas vyksta.)

Pirmajam nariui (tarkime, iš viršutinės lygties) gauname:

Puiku! Mes žinome pirmąjį terminą, žinome vardiklį. Ir dabar turime galimybę rasti bet kurį progreso narį. Įskaitant antrąjį.)

Antram terminui viskas gana paprasta:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Atsakymas: -6

Taigi, mes išskaidėme algebrinį problemos sprendimo metodą. Sunku? Tikrai ne, sutinku. Ilgai ir nuobodžiai? Taip, būtinai. Tačiau kartais galite žymiai sumažinti darbo kiekį. Tam yra grafinis metodas. Senas geras ir mums pažįstamas.)

Nupieškime problemą!

Taip! Būtent. Vėlgi, mes pavaizduojame savo progresą skaičių ašyje. Nebūtina vadovautis liniuote, nebūtina išlaikyti vienodų intervalų tarp terminų (kurie, beje, nebus vienodi, nes progresija yra geometrinė!), o tiesiog schematiškai Nubraižykime savo seką.

Gavau taip:

Dabar pažiūrėkite į paveikslėlį ir išsiaiškinkite. Kiek identiškų „q“ veiksnių išsiskiria ketvirta Ir septintoji nariai? Teisingai, trys!

Todėl mes turime visas teises rašyti:

-24·q 3 = 192

Iš čia dabar lengva rasti q:

q 3 = -8

q = -2

Puiku, vardiklį jau turime kišenėje. Dabar dar kartą pažvelkime į paveikslėlį: kiek tokių vardklių yra tarp antra Ir ketvirta nariai? Du! Todėl norėdami užfiksuoti ryšį tarp šių terminų, sudarysime vardiklį kvadratu.

Taigi rašome:

b 2 · q 2 = -24 , kur b 2 = -24/ q 2

Mes pakeisime savo rastą vardiklį į b 2 išraišką, suskaičiuojame ir gauname:

Atsakymas: -6

Kaip matote, viskas yra daug paprasčiau ir greičiau nei per sistemą. Be to, čia mums net nereikėjo skaičiuoti pirmojo termino! Iš viso.)

Štai toks paprastas ir vizualus būdas-šviesa. Tačiau jis taip pat turi rimtą trūkumą. Ar atspėjote? Taip! Tai tinka tik labai trumpiems progreso gabalams. Tokių, kur atstumai tarp mus dominančių narių nėra labai dideli. Bet visais kitais atvejais jau sunku nupiešti paveikslą, taip... Tada problemą sprendžiame analitiškai, per sistemą.) O sistemos yra universalūs dalykai. Jie gali valdyti bet kokius skaičius.

Kitas epinis iššūkis:

Antrasis geometrinės progresijos narys yra 10 daugiau nei pirmasis, o trečiasis narys yra 30 daugiau daugiau nei antrasis. Raskite progresijos vardiklį.

Ką, šaunu? Visai ne! Visi vienodi. Vėlgi problemos teiginį paverčiame grynąja algebra.

1) Kiekvieną terminą aprašome pagal formulę nnarys!

Antrasis narys: b 2 = b 1 q

Trečias narys: b 3 = b 1 q 2

2) Iš problemos teiginio užrašome ryšį tarp narių.

Skaitome sąlygą: "Antrasis geometrinės progresijos narys yra 10 didesnis nei pirmasis." Sustok, tai vertinga!

Taigi rašome:

b 2 = b 1 +10

Ir mes verčiame šią frazę į gryną matematiką:

b 3 = b 2 +30

Gavome dvi lygtis. Sujungkime juos į sistemą:

Sistema atrodo paprasta. Tačiau raidėms yra per daug skirtingų indeksų. Vietoj antrojo ir trečiojo terminų jų išraiškas pakeiskime pirmuoju nariu ir vardikliu! Ar veltui juos piešėme?

Mes gauname:

Bet tokia sistema jau ne dovana, taip... Kaip tai išspręsti? Deja, nėra universalaus slapto burtažodžio sudėtingam sprendimui netiesinis Matematikoje sistemų nėra ir negali būti. Tai fantastiška! Tačiau pirmas dalykas, kuris turėtų ateiti į galvą bandant sulaužyti tokį kietą riešutą, yra išsiaiškinti Bet ar viena iš sistemos lygčių negali būti redukuojama gražus vaizdas, leidžianti, pavyzdžiui, lengvai išreikšti vieną iš kintamųjų kitu?

Išsiaiškinkime. Pirmoji sistemos lygtis yra aiškiai paprastesnė už antrąją. Mes jį kankinsime.) Ar neturėtume bandyti iš pirmos lygties kažkas išreikšti per kažkas? Kadangi norime rasti vardiklį q, tada mums būtų naudingiausia išreikšti b 1 per q.

Taigi pabandykime atlikti šią procedūrą su pirmąja lygtimi, naudodami senas geras:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Viskas! Taigi mes išreiškėme nereikalingas pateikite mums kintamąjį (b 1) per būtina(q). Taip, tai nėra pati paprasčiausia išraiška. Kažkokia trupmena... Bet mūsų sistema yra padoraus lygio, taip.)

Tipiškas. Mes žinome, ką daryti.

Rašome ODZ (Būtinai!) :

q ≠ 1

Viską padauginame iš vardiklio (q-1) ir atšaukiame visas trupmenas:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Viską padaliname iš dešimties, atidarome skliaustus ir surenkame viską iš kairės:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Išsprendžiame rezultatą ir gauname dvi šaknis:

q 1 = 1

q 2 = 3

Yra tik vienas galutinis atsakymas: q = 3 .

Atsakymas: 3

Kaip matote, kelias į daugumą problemų, susijusių su geometrinės progresijos n-ojo nario formule, sprendimas visada yra tas pats: skaitykite dėmesingai problemos sąlygą ir naudodami n-ojo termino formulę verčiame visą Naudinga informacijaį grynąją algebrą.

Būtent:

1) Kiekvieną užduotyje pateiktą terminą aprašome atskirai pagal formulęnnarys.

2) Iš uždavinio sąlygų ryšį tarp narių verčiame į matematinę formą. Sudarome lygtį arba lygčių sistemą.

3) Išsprendžiame gautą lygtį arba lygčių sistemą, randame nežinomus progresijos parametrus.

4) Jei atsakymas yra dviprasmiškas, atidžiai perskaitykite užduoties sąlygas, ieškodami papildomos informacijos (jei yra). Taip pat patikriname gautą atsakymą su DL sąlygomis (jei yra).

Dabar išvardinkime pagrindines problemas, kurios dažniausiai sukelia klaidas sprendžiant geometrinės progresijos uždavinius.

1. Elementarioji aritmetika. Veiksmai su trupmenomis ir neigiamais skaičiais.

2. Jei kyla problemų dėl bent vieno iš šių trijų punktų, tuomet šioje temoje neišvengiamai padarysite klaidų. Deja... Tad nepatingėkite ir pakartokite tai, kas buvo minėta aukščiau. Ir sekite nuorodas – pirmyn. Kartais tai padeda.)

Modifikuotos ir pasikartojančios formulės.

Dabar pažvelkime į keletą tipiškų egzamino problemų su mažiau pažįstamu būsenos pristatymu. Taip, taip, jūs atspėjote! Tai modifikuotas Ir pasikartojantis n-ojo termino formulės. Mes jau susidūrėme su tokiomis formulėmis ir dirbome su aritmetine progresija. Čia viskas panašiai. Esmė ta pati.

Pavyzdžiui, ši problema iš OGE:

Geometrinė progresija pateikiama pagal formulę b n = 32 n . Raskite jo pirmojo ir ketvirtojo narių sumą.

Šį kartą progresas nėra toks, kaip mums įprasta. Kažkokios formulės pavidalu. Tai kas? Ši formulė yra taip pat formulėnnarys! Jūs ir aš žinome, kad n-ojo termino formulę galima parašyti ir bendra forma, naudojant raides, ir už specifinė progresija. SU specifinis pirmasis terminas ir vardiklis.

Mūsų atveju mums iš tikrųjų yra suteikta bendroji geometrinės progresijos termino formulė su šiais parametrais:

b 1 = 6

q = 2

Patikrinkime?) Užrašykime n-ojo nario formulę bendra forma ir pakeiskime ją b 1 Ir q. Mes gauname:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Mes supaprastiname naudodamiesi faktoriais ir galių savybėmis, ir gauname:

b n= 6 2n -1 = 3,2,2n -1 = 32n -1+1 = 32n

Kaip matote, viskas yra sąžininga. Tačiau mūsų tikslas nėra parodyti konkrečios formulės išvedimą. Taip yra, lyrinis nukrypimas. Grynai dėl supratimo.) Mūsų tikslas yra išspręsti problemą pagal formulę, pateiktą mums sąlygoje. Ar suprantate?) Taigi mes dirbame su modifikuota formule tiesiogiai.

Skaičiuojame pirmą terminą. Pakeiskime n=1 į bendrą formulę:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Kaip šitas. Beje, nepatingėsiu ir dar kartą atkreipsiu jūsų dėmesį į tipišką klaidą skaičiuojant pirmąjį terminą. NEDARYK, ​​žiūrėdamas į formulę b n= 32n, iš karto suskubkite rašyti, kad pirmasis terminas yra trejetas! Tai grubi klaida, taip...)

Tęskime. Pakeiskime n=4 ir suskaičiuokite ketvirtą terminą:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Ir galiausiai apskaičiuojame reikiamą sumą:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Atsakymas: 54

Kita problema.

Geometrinė progresija nustatoma pagal sąlygas:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Raskite ketvirtąjį progresijos narį.

Čia progresija pateikiama pasikartojančia formule. Na, gerai.) Kaip dirbti su šia formule – žinome ir mes.

Taigi elgiamės. Žingsnis po žingsnio.

1) Suskaičiuok du iš eilės progresijos narys.

Pirmoji kadencija mums jau suteikta. Minus septyni. Tačiau kitą, antrąjį terminą galima nesunkiai apskaičiuoti naudojant pasikartojimo formulę. Žinoma, jei suprantate jo veikimo principą.)

Taigi skaičiuojame antrąjį terminą Autorius žinomas pirmasis:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Apskaičiuokite progresijos vardiklį

Taip pat jokių problemų. Tiesiai, dalinkimės antra varpos Pirmas.

Mes gauname:

q = -21/(-7) = 3

3) Parašykite formulęnth narį įprasta forma ir apskaičiuokite reikiamą narį.

Taigi, mes žinome pirmąjį terminą, taip pat ir vardiklį. Taigi rašome:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7 · 27 = -189

Atsakymas: -189

Kaip matote, darbas su tokiomis geometrinės progresijos formulėmis iš esmės nesiskiria nuo aritmetinės progresijos. Tik svarbu suprasti bendrą šių formulių esmę ir prasmę. Na, reikia suprasti ir geometrinės progresijos reikšmę, taip.) Ir tada nebus kvailų klaidų.

Na, spręskime patys?)

Labai pagrindinės apšilimo užduotys:

1. Duota geometrinė progresija, kurioje b 1 = 243, a q = -2/3. Raskite šeštąjį progresijos narį.

2. Bendrasis geometrinės progresijos terminas pateikiamas formule b n = 5∙2 n +1 . Raskite šios progresijos paskutinio trijų skaitmenų nario skaičių.

3. Geometrinė progresija nustatoma pagal sąlygas:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Raskite penktąjį progresijos narį.

Šiek tiek sudėtingiau:

4. Pateikta geometrinė progresija:

b 1 =2048; q =-0,5

Kam lygus šeštasis neigiamas narys?

Kas atrodo labai sunku? Visai ne. Jus išgelbės logika ir geometrinės progresijos reikšmės supratimas. Na, žinoma, n-to termino formulė.

5. Trečiasis geometrinės progresijos narys yra -14, o aštuntasis narys yra 112. Raskite progresijos vardiklį.

6. Geometrinės progresijos pirmojo ir antrojo narių suma lygi 75, o antrojo ir trečiojo narių suma lygi 150. Raskite šeštąjį progresijos narį.

Atsakymai (netvarkingai): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Tai beveik viskas. Viskas, ką turime padaryti, tai išmokti skaičiuoti geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma taip atrasti be galo mažėjanti geometrinė progresija ir jo suma. Beje, labai įdomus ir neįprastas dalykas! Daugiau apie tai kitose pamokose.)

Instrukcijos

10, 30, 90, 270...

Turite rasti geometrinės progresijos vardiklį.
Sprendimas:

1 variantas. Paimkime savavališką progresijos narį (pavyzdžiui, 90) ir padalinkime jį iš ankstesnio (30): 90/30=3.

Jei žinoma kelių geometrinės progresijos narių suma arba visų mažėjančios geometrinės progresijos narių suma, tada progresijos vardikliui rasti naudokite atitinkamas formules:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kur Sn yra pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma ir
S = b1/(1-q), kur S yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma (visų progresijos narių, kurių vardiklis mažesnis už vieną, suma).
Pavyzdys.

Mažėjančios geometrinės progresijos pirmasis narys lygus vienetui, o visų jos narių suma lygi dviem.

Būtina nustatyti šios progresijos vardiklį.
Sprendimas:

Pakeiskite duomenis iš uždavinio į formulę. Tai paaiškės:
2=1/(1-q), iš kur – q=1/2.

Progresija yra skaičių seka. Geometrinėje progresijoje kiekvienas paskesnis narys gaunamas padauginus ankstesnįjį iš tam tikro skaičiaus q, vadinamo progresijos vardikliu.

Instrukcijos

Jei žinomi du gretimi geometriniai terminai b(n+1) ir b(n), norint gauti vardiklį, skaičių su didesniu reikia padalyti iš prieš jį esančio: q=b(n+1)/b (n). Tai išplaukia iš progresijos apibrėžimo ir jo vardiklio. Svarbi sąlyga yra pirmojo nario nelygybė ir progresijos iki nulio vardiklio, kitu atveju ji laikoma neapibrėžta.

Taigi tarp progresijos narių nustatomi tokie ryšiai: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Naudojant formulę b(n)=b1 q^(n-1), galima apskaičiuoti bet kurį geometrinės progresijos narį, kuriame žinomas vardiklis q ir terminas b1. Be to, kiekviena progresija pagal modulį yra lygi gretimų narių vidurkiui: |b(n)|=√, kur progresija gavo savo .

Geometrinės progresijos analogas yra paprasčiausias eksponentinė funkcija y=a^x, kur x yra eksponentas, a yra tam tikras skaičius. Šiuo atveju progresijos vardiklis sutampa su pirmuoju nariu ir yra lygus skaičiui a. Funkcijos y reikšmę galima suprasti kaip n-asis terminas progresija, jei argumentas x laikomas natūraliuoju skaičiumi n (skaitiklis).

Kitas svarbus turtas geometrinė progresija, kuri davė geometrinę progresiją

Jei kiekvienam natūraliajam skaičiui n atitinka tikrąjį skaičių a n , tada jie sako, kad duota skaičių seka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Taigi skaičių seka yra natūralaus argumento funkcija.

Skaičius a 1 paskambino pirmasis sekos narys , numeris a 2 — antrasis sekos terminas , numeris a 3 — trečias ir taip toliau. Skaičius a n paskambino n-asis terminas sekos , ir natūralusis skaičius n — jo numeris .

Iš dviejų gretimų narių a n Ir a n +1 sekos narys a n +1 paskambino vėliau (link a n ), A a n — ankstesnis (link a n +1 ).

Norėdami apibrėžti seką, turite nurodyti metodą, leidžiantį rasti sekos narį su bet kokiu skaičiumi.

Dažnai seka nurodoma naudojant n-ojo termino formulės , tai yra formulė, leidžianti nustatyti sekos narį pagal jo skaičių.

Pavyzdžiui,

teigiama seka nelyginiai skaičiai galima pateikti pagal formulę

a n= 2n- 1,

ir kaitaliojimosi seka 1 Ir -1 - formulė

b n = (-1)n +1 . ◄

Seka gali būti nustatyta pasikartojanti formulė, tai yra formulė, išreiškianti bet kurį sekos narį, pradedant kai kuriais, per ankstesnius (vieną ar kelis) narius.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeigu a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada pirmieji septyni nariai skaičių sekaįdiegti taip:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekos gali būti galutinis Ir begalinis .

Seka vadinama galutinis , jei jis turi ribotą narių skaičių. Seka vadinama begalinis , jei ji turi be galo daug narių.

Pavyzdžiui,

dviženklių natūraliųjų skaičių seka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galutinis.

Pirminių skaičių seka:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

begalinis. ◄

Seka vadinama didėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

Seka vadinama mažėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra mažesnis už ankstesnįjį.

Pavyzdžiui,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — didėjanti seka;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - mažėjimo seka. ◄

Vadinama seka, kurios elementai skaičiui didėjant nemažėja arba, atvirkščiai, nedidėja monotoniška seka .

Visų pirma monotoninės sekos yra didėjančios ir mažėjančios sekos.

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, prie kurio pridedamas tas pats skaičius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

yra aritmetinė progresija, jei tokia yra natūralusis skaičius n sąlyga įvykdyta:

a n +1 = a n + d,

Kur d - tam tikras skaičius.

Taigi skirtumas tarp paskesnių ir ankstesnių tam tikros aritmetinės progresijos narių visada yra pastovus:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Skaičius d paskambino aritmetinės progresijos skirtumas.

Norint apibrėžti aritmetinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir skirtumą.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 3, d = 4 , tada pirmuosius penkis sekos narius randame taip:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmetinei progresijai su pirmuoju nariu a 1 ir skirtumas d ją n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Pavyzdžiui,

raskite trisdešimtąjį aritmetinės progresijos narį

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tada aišku

Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros aritmetinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus kitų dviejų aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdžiui,

a n = 2n- 7 , yra aritmetinė progresija.

Panaudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Vadinasi,

◄

Prisimink tai n Trečiasis aritmetinės progresijos narys gali būti rastas ne tik per a 1 , bet ir visus ankstesnius a k

a n = a k + (n- k)d.

Pavyzdžiui,

Dėl a 5 galima užsirašyti

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tada aišku

bet kuris aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus pusei vienodai išdėstytų šios aritmetinės progresijos narių sumos.

Be to, bet kuriai aritmetinei progresijai galioja ši lygybė:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nes

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

Pirmas n aritmetinės progresijos nariai yra lygūs pusės kraštutinių narių sumos ir terminų skaičiaus sandaugai:

Iš čia visų pirma išplaukia, kad jei reikia susumuoti terminus

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada ankstesnė formulė išlaiko savo struktūrą:

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jei duota aritmetinė progresija, tada kiekiai a 1 , a n, d, n IrS n sujungtos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungtos į dviejų lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais.

Aritmetinė progresija yra monotoniška seka. Kur:

• Jeigu d > 0 , tada jis didėja;
• Jeigu d < 0 , tada jis mažėja;
• Jeigu d = 0 , tada seka bus stacionari.

Geometrinė progresija

Geometrinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus geometrinė progresija n sąlyga įvykdyta:

b n +1 = b n · q,

Kur q ≠ 0 - tam tikras skaičius.

Taigi tam tikros geometrinės progresijos tolesnio nario santykis su ankstesniu yra pastovus skaičius:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Skaičius q paskambino geometrinės progresijos vardiklis.

Norint apibrėžti geometrinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir vardiklį.

Pavyzdžiui,

Jeigu b 1 = 1, q = -3 , tada pirmuosius penkis sekos narius randame taip:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ir vardiklis q ją n Terminą galima rasti naudojant formulę:

b n = b 1 · qn -1 .

Pavyzdžiui,

raskite septintą geometrinės progresijos narį 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tada aišku

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių elementų geometriniam vidurkiui (proporciniam).

Kadangi ir atvirkščiai, galioja toks teiginys:

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros geometrinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vieno iš jų kvadratas yra lygus kitų dviejų sandaugai, tai yra, vienas iš skaičių yra kitų dviejų geometrinis vidurkis.

Pavyzdžiui,

Įrodykime, kad formulės pateikta seka b n= -3 2 n , yra geometrinė progresija. Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Vadinasi,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kuris įrodo norimą teiginį. ◄

Prisimink tai n Geometrinės progresijos d-ąjį narį galima rasti ne tik per b 1 , bet ir bet kuris ankstesnis narys b k , kuriam pakanka naudoti formulę

b n = b k · qn - k.

Pavyzdžiui,

Dėl b 5 galima užsirašyti

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tada aišku

b n 2 = b n - k· b n + k

bet kurio geometrinės progresijos nario kvadratas, pradedant nuo antrosios, yra lygus šios progresijos narių sandaugai vienodais atstumais nuo jos.

Be to, bet kuriai geometrinei progresijai galioja lygybė:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Pavyzdžiui,

geometrine progresija

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nes

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Pirmas n geometrinės progresijos nariai su vardikliu q ≠ 0 apskaičiuojamas pagal formulę:

Ir kada q = 1 - pagal formulę

S n= nb 1

Atkreipkite dėmesį, kad jei reikia susumuoti terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada naudojama formulė:

Pavyzdžiui,

geometrine progresija 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jei pateikiama geometrinė progresija, tada dydžiai b 1 , b n, q, n Ir S n sujungtos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos bet kurių trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungiamos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Geometrinei progresijai su pirmuoju nariu b 1 ir vardiklis q vyksta šie dalykai monotoniškumo savybės :

• progresavimas didėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir q> 1;

b 1 < 0 Ir 0 < q< 1;

• Progresas mažėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ir q> 1.

Jeigu q< 0 , tada geometrinė progresija yra kintamoji: jos terminai su nelyginiais skaičiais turi tą patį ženklą kaip ir pirmasis narys, o terminai su lyginiais skaičiais turi priešingą ženklą. Akivaizdu, kad kintamoji geometrinė progresija nėra monotoniška.

Pirmojo gaminys n Geometrinės progresijos terminai gali būti apskaičiuojami naudojant formulę:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Pavyzdžiui,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Be galo mažėjanti geometrinė progresija

Be galo mažėjanti geometrinė progresija vadinama begaline geometrine progresija, kurios vardiklio modulis yra mažesnis 1 , tai yra

|q| < 1 .

Atminkite, kad be galo mažėjanti geometrinė progresija gali būti ne mažėjanti seka. Tai tinka progai

1 < q< 0 .

Su tokiu vardikliu seka yra kintamoji. Pavyzdžiui,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma įvardykite skaičių, prie kurio be apribojimų artėja pirmųjų suma n progresijos nariai su neribotu skaičiaus padidėjimu n . Šis skaičius visada yra baigtinis ir išreiškiamas formule

Pavyzdžiui,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetinės ir geometrinės progresijos ryšys

Aritmetinė ir geometrinė progresijos yra glaudžiai susijusios. Pažvelkime tik į du pavyzdžius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tai

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Pavyzdžiui,

1, 3, 5, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu 2 Ir

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrinė progresija su vardikliu 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrinė progresija su vardikliu q , Tai

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu žurnalas aq .

Pavyzdžiui,

2, 12, 72, . . . - geometrinė progresija su vardikliu 6 Ir

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu lg 6 . ◄