Fundamentali sprendimų sistema (konkretus pavyzdys). Pagrindinis vienarūšės tiesinių lygčių sistemos sprendinių rinkinys

Norėdami suprasti, kas tai yra pagrindinė sistema sprendimus spustelėję galite žiūrėti to paties pavyzdžio vaizdo pamoką. Dabar pereikime prie visumos aprašymo būtinus darbus. Tai padės išsamiau suprasti šio klausimo esmę.

Kaip rasti pagrindinę tiesinės lygties sprendinių sistemą?

Paimkime šią sistemą kaip pavyzdį tiesines lygtis:

Raskime šios tiesinės lygčių sistemos sprendimą. Norėdami pradėti, mes reikia išrašyti sistemos koeficientų matricą.

Paverskime šią matricą į trikampę. Pirmą eilutę perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, esantys žemiau $a_(11)$, turi būti padaryti nuliais. Norėdami vietoj elemento $a_(21)$ padaryti nulį, iš antrosios eilutės turite atimti pirmąjį, o skirtumą įrašyti antroje eilutėje. Norėdami vietoje elemento $a_(31)$ padaryti nulį, iš trečios eilutės reikia atimti pirmąją, o skirtumą įrašyti trečioje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(41)$ padaryti nulį, iš ketvirtos eilutės reikia atimti pirmąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(31)$ padaryti nulį, iš penktos eilutės reikia atimti pirmąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą penktoje eilutėje.

Pirmą ir antrą eilutes perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, esantys žemiau $a_(22)$, turi būti padaryti nuliais. Norėdami vietoj elemento $a_(32)$ padaryti nulį, iš trečios eilutės reikia atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą trečioje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(42)$ padaryti nulį, turite iš ketvirtos eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(52)$ padaryti nulį, turite iš penktos eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 3, ir įrašyti skirtumą penktoje eilutėje.

Mes tai matome paskutinės trys eilutės yra vienodos, taigi, jei iš ketvirtos ir penktos atimsite trečiąjį, jie taps nuliu.

Pagal šią matricą užsirašyti nauja sistema lygtys.

Matome, kad turime tik tris tiesiškai nepriklausomas lygtis ir penkis nežinomuosius, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš dviejų vektorių. Taigi mes turime perkelti paskutinius du nežinomuosius į dešinę.

Dabar mes pradedame išreikšti tuos nežinomus dalykus, kurie yra kairėje pusėje, per tuos, kurie yra dešinėje. Pradedame nuo paskutinės lygties, pirmiausia išreiškiame $x_3$, tada gautą rezultatą pakeičiame antrąja lygtimi ir išreiškiame $x_2$, o tada pirmąja lygtimi ir čia išreiškiame $x_1$. Taigi mes išreiškėme visus nežinomus, kurie yra kairėje pusėje, per nežinomus, kurie yra dešinėje.

Tada vietoj $x_4$ ir $x_5$ galime pakeisti bet kokius skaičius ir rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$. Kiekvienas penkis iš šių skaičių bus mūsų pradinės lygčių sistemos šaknys. Norėdami rasti vektorius, kurie yra įtraukti į FSR turime pakeisti 1 vietoj $x_4$, o vietoj $x_5$ pakeisti 0, rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$, o tada atvirkščiai $x_4=0$ ir $x_5=1$.

Vadinama tiesinių lygčių sistema, kurioje visi laisvieji nariai lygūs nuliui vienalytis :

Bet kuri vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes ji visada buvo nulis (trivialus ) sprendimas. Kyla klausimas, kokiomis sąlygomis vienalytė sistema turės netrivialų sprendimą.

5.2 teorema.Vienalytė sistema turi netrivialų sprendimą tada ir tik tada, kai yra pagrindinės matricos rangas mažesnis skaičius jos nežinomieji.

Pasekmė. Kvadratinė vienalytė sistema turi netrivialų sprendimą tada ir tik tada, kai pagrindinės sistemos matricos determinantas nėra lygus nuliui.

5.6 pavyzdys. Nustatykite parametro l reikšmes, kurioms esant sistema turi netrivialius sprendimus, ir raskite šiuos sprendimus:

Sprendimas. Ši sistema turės ne trivialų sprendimą, kai pagrindinės matricos determinantas yra lygus nuliui:

Taigi sistema yra netriviali, kai l=3 arba l=2. Jei l=3, pagrindinės sistemos matricos rangas yra 1. Tada paliekant tik vieną lygtį ir darant prielaidą, kad y=a Ir z=b, mes gauname x=b-a, t.y.

Jei l=2, sistemos pagrindinės matricos rangas yra 2. Tada pasirenkant mažąją kaip pagrindą:

gauname supaprastintą sistemą

Iš čia mes tai randame x=z/4, y=z/2. Tikėdamas z=4a, mes gauname

Visų vienalytės sistemos sprendinių rinkinys turi labai svarbų linijinė savybė : jei X stulpeliai 1 ir X 2 - vienalytės sistemos sprendiniai AX = 0, tada bet koks tiesinis jų derinys a X 1 + b X 2 taip pat bus šios sistemos sprendimas. Tiesa, nuo AX 1 = 0 Ir AX 2 = 0 , Tai A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Būtent dėl ​​šios savybės, jei tiesinė sistema turi daugiau nei vieną sprendinį, tai šių sprendinių bus be galo daug.

Tiesiškai nepriklausomi stulpeliai E 1 , E 2 , Ek, kurie yra vienalytės sistemos sprendiniai, vadinami pamatinė sprendimų sistema vienalytė tiesinių lygčių sistema, jei bendras sprendimasšią sistemą galima parašyti kaip tiesinį šių stulpelių derinį:

Jei vienalytė sistema turi n kintamieji, o sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus r, Tai k = n-r.

5.7 pavyzdys. Raskite pagrindinę šios tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemą:

Sprendimas. Raskime pagrindinės sistemos matricos rangą:

Taigi šios lygčių sistemos sprendinių rinkinys sudaro tiesinę matmenų poerdvę n-r= 5 - 2 = 3. Pagrindu parinksime minorą

.

Tada paliekant tik pagrindines lygtis (likusioji bus tiesinė šių lygčių kombinacija) ir pagrindinius kintamuosius (likusius, vadinamuosius laisvuosius kintamuosius, perkeliame į dešinę), gauname supaprastintą lygčių sistemą:

Tikėdamas x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mes randame

, .

Tikėdamas a= 1, b = c= 0, gauname pirmąjį pagrindinį sprendinį; tikėdamas b= 1, a = c= 0, gauname antrąjį pagrindinį sprendinį; tikėdamas c= 1, a = b= 0, gauname trečiąjį pagrindinį sprendinį. Dėl to įgis įprastinė pamatinė sprendimų sistema

Naudojant pagrindinę sistemą, bendras homogeninės sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Atkreipkime dėmesį į kai kurias nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinių savybes AX = B ir jų ryšį su atitinkama vienarūše lygčių sistema AX = 0.

Bendras nehomogeninės sistemos sprendimasyra lygi atitinkamos vienalytės sistemos bendrojo sprendinio AX = 0 ir savavališko nehomogeninės sistemos konkretaus sprendinio sumai. Tikrai, tegul Y 0 yra savavališkas konkretus nehomogeninės sistemos sprendimas, t.y. AY 0 = B, Ir Y- heterogeninės sistemos bendras sprendimas, t.y. AY=B. Vieną lygybę atėmę iš kitos gauname
A(Y-Y 0) = 0, t.y. Y-Y 0 yra atitinkamos vienalytės sistemos bendras sprendinys AX=0. Vadinasi, Y-Y 0 = X, arba Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Tegul nehomogeninė sistema turi formą AX = B 1 + B 2 . Tada bendras tokios sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip X = X 1 + X 2 , kur AX 1 = B 1 ir AX 2 = B 2. Ši savybė išreiškia universalią bet kurio savybę tiesinės sistemos(algebrinė, diferencinė, funkcinė ir kt.). Fizikoje ši savybė vadinama superpozicijos principas, elektros ir radijo inžinerijos srityje - superpozicijos principas. Pavyzdžiui, tiesinės teorijos elektros grandinės srovę bet kurioje grandinėje galima gauti kaip algebrinė suma srovės, kurias sukelia kiekvienas energijos šaltinis atskirai.

Paslaugos paskirtis. Internetinis skaičiuotuvas skirtas rasti nebanalų ir esminį SLAE sprendimą. Gautas sprendimas išsaugomas Word faile (žr. sprendimo pavyzdį).

Instrukcijos. Pasirinkite matricos matmenis:

Tiesinių vienarūšių lygčių sistemų savybės

Teorema. Sistema tuo atveju, kai m=n turi netrivialų sprendimą tada ir tik tada, kai šios sistemos determinantas yra lygus nuliui.

Teorema. Bet koks tiesinis sistemos sprendimų derinys yra ir tos sistemos sprendimas.
Apibrėžimas. Tiesinių vienarūšių lygčių sistemos sprendinių aibė vadinama pamatinė sprendimų sistema, jei ši aibė susideda iš tiesiškai nepriklausomų sprendinių ir bet kuris sistemos sprendimas yra tiesinis šių sprendinių derinys.

Teorema. Jei sistemos matricos rangas r yra mažesnis už nežinomųjų skaičių n, tada egzistuoja pagrindinė sprendinių sistema, susidedanti iš (n-r) sprendinių.

Tiesinių vienarūšių lygčių sistemų sprendimo algoritmas

1. Matricos rango radimas.
2. Mes pasirenkame pagrindinį minorą. Skiriame priklausomus (pagrindinius) ir laisvuosius nežinomuosius.
3. Išbraukiame tas sistemos lygtis, kurių koeficientai neįtraukti į bazinį minorą, nes yra kitų pasekmės (pagal teoremą ant pagrindo minor).
4. Lygčių, kuriose yra laisvųjų nežinomųjų, narius perkeliame į dešinę pusę. Dėl to gauname lygčių sistemą su r nežinomųjų, lygiavertę duotajam, kurios determinantas yra nulis.
5. Išsprendžiame gautą sistemą pašalindami nežinomus dalykus. Mes randame ryšius, išreiškiančius priklausomus kintamuosius per laisvuosius.
6. Jei matricos rangas nėra lygus kintamųjų skaičiui, tada randame pagrindinį sistemos sprendimą.
7. Tuo atveju, kai skambėjo = n, turime trivialų sprendimą.

Pavyzdys. Raskite vektorių sistemos pagrindą (a 1, a 2,...,a m), reitinguokite ir išreikškite vektorius pagal bazę. Jei 1 =(0,0,1,-1) ir 2 =(1,1,2,0) ir 3 =(1,1,1,1) ir 4 =(3,2,1 ,4) ir 5 =(2,1,0,3).
Užrašykime pagrindinę sistemos matricą:

Leisti M 0 – vienalytės tiesinių lygčių sistemos (4) sprendinių rinkinys.

Apibrėžimas 6.12. Vektoriai Su 1 ,Su 2 , …, su p, kurios yra vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendiniai, vadinami esminis sprendimų rinkinys(sutrumpintai FNR), jei

1) vektoriai Su 1 ,Su 2 , …, su p tiesiškai nepriklausomas (tai yra, nė vienas iš jų negali būti išreikštas kitais);

2) bet kuris kitas vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinys gali būti išreikštas sprendiniais Su 1 ,Su 2 , …, su p.

Atkreipkite dėmesį, kad jei Su 1 ,Su 2 , …, su p– bet koks f.n.r., tada išraiška k 1× Su 1 + k 2× Su 2 + … + k p× su p galite apibūdinti visą rinkinį M 0 sistemos (4) sprendinių, todėl ji vadinama bendras sistemos sprendimo vaizdas (4).

6.6 teorema. Bet kuri neapibrėžta vienalytė tiesinių lygčių sistema turi esminį sprendinių rinkinį.

Būdas rasti pagrindinį sprendimų rinkinį yra toks:

Rasti bendrą homogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendimą;

Sukurti ( n – r) šios sistemos daliniai sprendiniai, o laisvųjų nežinomųjų reikšmės turi sudaryti tapatybės matricą;

Užsirašykite bendrą įtraukto sprendimo formą M 0 .

6.5 pavyzdys. Raskite pagrindinį šios sistemos sprendimų rinkinį:

Sprendimas. Raskime bendrą šios sistemos sprendimą.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Šioje sistemoje yra penki nežinomieji ( n= 5), iš kurių yra du pagrindiniai nežinomieji ( r= 2), yra trys laisvi nežinomieji ( n – r), tai yra, pagrindinėje sprendinių aibėje yra trys sprendinių vektoriai. Pastatykime juos. Mes turime x 1 ir x 3 – pagrindiniai nežinomieji, x 2 , x 4 , x 5 – laisvi nežinomieji

Laisvų nežinomųjų vertybės x 2 , x 4 , x 5 sudaro tapatybės matricą E trečioji tvarka. Turite tuos vektorius Su 1 ,Su 2 , Su 3 forma f.n.r. šios sistemos. Tada šios vienalytės sistemos sprendinių rinkinys bus M 0 = {k 1× Su 1 + k 2× Su 2 + k 3× Su 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Dabar išsiaiškinkime homogeninės tiesinių lygčių sistemos nulinių sprendinių egzistavimo sąlygas, kitaip tariant, pamatinės sprendinių aibės egzistavimo sąlygas.

Vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinius sprendinius, tai yra neaišku, ar

1) pagrindinės sistemos matricos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių;

2) vienalytėje tiesinių lygčių sistemoje lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių;

3) jei vienalytėje tiesinių lygčių sistemoje lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinės matricos determinantas lygus nuliui (t. y. | A| = 0).

6.6 pavyzdys. Esant kokiai parametro vertei a vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinius sprendimus?

Sprendimas. Sudarykime pagrindinę šios sistemos matricą ir raskime jos determinantą: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Šios matricos determinantas yra lygus nuliui ties a = –4.

Atsakymas: –4.

7. Aritmetika n-dimensinė vektorinė erdvė

Pagrindinės sąvokos

IN ankstesnes dalis Mes jau susidūrėme su tam tikra tvarka išdėstytų realiųjų skaičių aibės samprata. Tai eilučių matrica (arba stulpelių matrica) ir tiesinių lygčių sistemos sprendimas su n nežinomas. Šią informaciją galima apibendrinti.

Apibrėžimas 7.1. n-matmenų aritmetinis vektorius vadinamas užsakytu rinkiniu n realūs skaičiai.

Reiškia A= (a 1 , a 2 , …, a n), kur iО R, i = 1, 2, …, n– bendras vektoriaus vaizdas. Skaičius n paskambino matmuo vektoriai ir skaičiai a i yra vadinami jo koordinates.

Pavyzdžiui: A= (1, –8, 7, 4, ) – penkiamatis vektorius.

Viskas paruošta n-dimensiniai vektoriai dažniausiai žymimi kaip Rn.

Apibrėžimas 7.2. Du vektoriai A= (a 1 , a 2 , …, a n) Ir b= (b 1 , b 2 , …, b n) tokio paties dydžio lygus tada ir tik tada, kai atitinkamos jų koordinatės yra lygios, t. y. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Apibrėžimas 7.3.Suma du n- matmenų vektoriai A= (a 1 , a 2 , …, a n) Ir b= (b 1 , b 2 , …, b n) vadinamas vektoriumi a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Apibrėžimas 7.4. Darbas tikras numeris kį vektorių A= (a 1 , a 2 , …, a n) vadinamas vektoriumi k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Apibrėžimas 7.5. Vektorius O= (0, 0, …, 0) vadinamas nulis(arba nulinis vektorius).

Nesunku patikrinti, ar vektorių pridėjimo ir jų dauginimo iš tikrojo skaičiaus veiksmai (operacijos) turi šias savybes: a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Apibrėžimas 7.6. Krūva Rn su vektorių sudėjimo ir jų dauginimo iš jame pateikto realaus skaičiaus operacijomis vadinama aritmetinė n matmenų vektorinė erdvė.

Dar mokykloje kiekvienas iš mūsų studijavo lygtis ir, greičiausiai, lygčių sistemas. Tačiau nedaugelis žino, kad yra keletas būdų jas išspręsti. Šiandien mes išsamiai išanalizuosime visus linijinių algebrinių lygčių sistemos, susidedančios iš daugiau nei dviejų lygybių, sprendimo būdus.

Istorija

Šiandien žinoma, kad lygčių ir jų sistemų sprendimo menas atsirado Senovės Babilone ir Egipte. Tačiau lygybės pažįstama forma atsirado po to, kai pasirodė lygybės ženklas „=“, kurį 1556 m. įvedė anglų matematikas Record. Beje, šis ženklas pasirinktas ne be priežasties: jis reiškia du lygiagrečius lygius segmentus. Ir tai tiesa geriausias pavyzdys lygybės negalima sugalvoti.

Šiuolaikinių nežinomųjų ir laipsnių ženklų raidžių įkūrėjas yra prancūzų matematikas. Tačiau jo žymėjimai labai skyrėsi nuo šiandieninių. Pavyzdžiui, nežinomo skaičiaus kvadratą jis pažymėjo raide Q (lot. „quadratus“), o kubą – raide C (lot. „cubus“). Šis žymėjimas dabar atrodo nepatogus, tačiau tuo metu tai buvo pats suprantamiausias būdas rašyti tiesinių algebrinių lygčių sistemas.

Tačiau to meto sprendimo metodų trūkumas buvo tas, kad matematikai laikė tik teigiamas šaknis. Galbūt taip yra dėl to, kad neigiamos reikšmės jokių neturėjo praktinis pritaikymas. Vienaip ar kitaip, būtent italų matematikai Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ir Raphaelis Bombelli XVI amžiuje pirmieji suskaičiavo neigiamas šaknis. A moderni išvaizda, pagrindinis sprendimo metodas (per diskriminantą) buvo sukurtas tik XVII amžiuje Dekarto ir Niutono darbų dėka.

XVIII amžiaus viduryje šveicarų matematikas Gabrielis Krameris rado naujas būdas kad būtų lengviau spręsti tiesinių lygčių sistemas. Šis metodas vėliau buvo pavadintas jo vardu ir jį naudojame iki šiol. Tačiau apie Cramerio metodą pakalbėsime šiek tiek vėliau, bet dabar aptarkime tiesines lygtis ir jų sprendimo būdus atskirai nuo sistemos.

Tiesinės lygtys

Tiesinės lygtys yra paprasčiausios lygtys su kintamuoju (kintamaisiais). Jie klasifikuojami kaip algebriniai. parašyti bendras vaizdas taigi: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Vėliau, kurdami sistemas ir matricas, turėsime jas pavaizduoti šia forma.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemos

Šio termino apibrėžimas yra toks: tai lygčių rinkinys, turintis bendrus nežinomus dydžius ir bendrą sprendimą. Paprastai mokykloje visi sprendė sistemas su dviem ar net trimis lygtimis. Tačiau yra sistemų su keturiais ar daugiau komponentų. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip juos užrašyti, kad ateityje būtų patogu spręsti. Pirma, linijinių algebrinių lygčių sistemos atrodys geriau, jei visi kintamieji bus parašyti kaip x su atitinkamu indeksu: 1, 2, 3 ir pan. Antra, visos lygtys turi būti perkeltos į kanoninę formą: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Po visų šių žingsnių galime pradėti kalbėti apie tai, kaip rasti tiesinių lygčių sistemų sprendimus. Tam labai pravers matricos.

Matricos

Matrica yra lentelė, susidedanti iš eilučių ir stulpelių, o jų sankirtoje yra jos elementai. Tai gali būti konkrečios reikšmės arba kintamieji. Dažniausiai, norint nurodyti elementus, po jais dedami apatiniai indeksai (pavyzdžiui, 11 arba 23). Pirmasis indeksas reiškia eilutės numerį, o antrasis - stulpelio numerį. Su matricomis, kaip ir su bet kuriuo kitu matematiniu elementu, galima atlikti įvairias operacijas. Taigi galite:

2) Padauginkite matricą iš bet kurio skaičiaus arba vektoriaus.

3) Transponuoti: matricos eilutes paverskite stulpeliais, o stulpelius – eilėmis.

4) Padauginkite matricas, jei vienos iš jų eilučių skaičius lygus kitos stulpelių skaičiui.

Aptarkime visas šias technikas plačiau, nes jos mums pravers ateityje. Atimti ir sudėti matricas yra labai paprasta. Kadangi imame tokio paties dydžio matricas, kiekvienas vienos lentelės elementas koreliuoja su kiekvienu kitos elementu. Taigi šiuos du elementus pridedame (atimame) (svarbu, kad jie savo matricose stovėtų tose pačiose vietose). Dauginant matricą iš skaičiaus arba vektoriaus, jūs tiesiog padauginate kiekvieną matricos elementą iš to skaičiaus (arba vektoriaus). Perkėlimas yra labai įdomus procesas. Labai įdomu kartais jį pamatyti Tikras gyvenimas, pavyzdžiui, keičiant planšetinio kompiuterio ar telefono orientaciją. Piktogramos darbalaukyje vaizduoja matricą, o pasikeitus vietai ji persikelia ir tampa platesnė, bet mažėja.

Pažvelkime į kitą procesą, pavyzdžiui: nors mums to nereikės, vis tiek bus naudinga tai žinoti. Dvi matricas galite padauginti tik tuo atveju, jei stulpelių skaičius vienoje lentelėje yra lygus eilučių skaičiui kitoje. Dabar paimkime vienos matricos eilutės elementus, o kitos – atitinkamo stulpelio elementus. Padauginkime juos vieną iš kito ir tada sudėkime (ty, pavyzdžiui, elementų a 11 ir a 12 sandauga iš b 12 ir b 22 bus lygi: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Taip gaunamas vienas lentelės elementas, kuris toliau pildomas panašiu būdu.

Dabar galime pradėti svarstyti, kaip sprendžiama tiesinių lygčių sistema.

Gauso metodas

Ši tema pradedama gvildenti mokykloje. Mes gerai žinome sąvoką „dviejų tiesinių lygčių sistema“ ir žinome, kaip jas išspręsti. Bet ką daryti, jei lygčių skaičius yra didesnis nei dvi? Tai mums padės

Žinoma, šį metodą patogu naudoti, jei iš sistemos sudarote matricą. Bet jūs neturite jo transformuoti ir išspręsti gryna forma.

Taigi, kaip šis metodas išsprendžia tiesinių Gauso lygčių sistemą? Beje, nors šis metodas pavadintas jo vardu, jis buvo atrastas senovėje. Gaussas siūlo taip: atlikti operacijas su lygtimis, kad galiausiai visa rinkinys būtų pasiektas laiptuotas vaizdas. Tai yra, būtina, kad iš viršaus į apačią (jei išdėstyta teisingai) nuo pirmosios lygties iki paskutinės nežinomasis mažėtų. Kitaip tariant, reikia pasirūpinti, kad gautume, tarkime, tris lygtis: pirmoje – trys nežinomieji, antroje – du, trečioje – vienas. Tada iš paskutinės lygties randame pirmąjį nežinomąjį, jo reikšmę pakeičiame antrąja arba pirmąja lygtimi ir randame likusius du kintamuosius.

Cramerio metodas

Norint įvaldyti šį metodą, labai svarbu turėti matricų pridėjimo ir atėmimo įgūdžių, taip pat reikia mokėti rasti determinantus. Todėl, jei visa tai darysite prastai arba visai nežinote, kaip, teks mokytis ir praktikuotis.

Kokia šio metodo esmė ir kaip jį padaryti taip, kad būtų gauta tiesinių Cramerio lygčių sistema? Viskas labai paprasta. Turime sudaryti tiesinių algebrinių lygčių sistemos skaitinių (beveik visada) koeficientų matricą. Norėdami tai padaryti, tiesiog paimame skaičius priešais nežinomuosius ir išdėstome juos lentelėje tokia tvarka, kokia jie yra įrašyti sistemoje. Jei prieš skaičių yra ženklas „-“, tada užrašome neigiamą koeficientą. Taigi, mes sudarėme pirmąją nežinomųjų koeficientų matricą, neįskaitant skaičių po lygybės ženklų (natūralu, lygtis turėtų būti sumažinta iki kanoninės formos, kai tik skaičius yra dešinėje, o visi nežinomieji su koeficientais yra įjungti kairė). Tada reikia sukurti dar kelias matricas – po vieną kiekvienam kintamajam. Norėdami tai padaryti, kiekvieną stulpelį pakeičiame koeficientais pirmoje matricoje, paeiliui skaičių stulpeliu po lygybės ženklo. Taigi gauname keletą matricų ir randame jų determinantus.

Po to, kai radome lemiamus veiksnius, tai yra mažas dalykas. Turime pradinę matricą ir yra keletas gautų matricų, atitinkančių skirtingus kintamuosius. Norėdami gauti sistemos sprendimus, gautos lentelės determinantą padalijame iš pradinės lentelės determinanto. Gautas skaičius yra vieno iš kintamųjų reikšmė. Panašiai randame visus nežinomuosius.

Kiti metodai

Yra dar keletas būdų, kaip gauti tiesinių lygčių sistemų sprendimus. Pavyzdžiui, vadinamasis Gauss-Jordan metodas, kuris naudojamas ieškant sistemos sprendimų kvadratines lygtis taip pat yra susijęs su matricų naudojimu. Taip pat yra Jacobi metodas, skirtas tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti. Tai lengviausiai pritaikoma prie kompiuterio ir naudojama kompiuterijoje.

Sudėtingi atvejai

Sudėtingumas paprastai atsiranda, kai lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių. Tada galime tvirtai pasakyti, kad arba sistema yra nenuosekli (ty neturi šaknų), arba jos sprendimų skaičius linkęs į begalybę. Jei turime antrąjį atvejį, tai turime užrašyti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendinį. Jame bus bent vienas kintamasis.

Išvada

Čia mes priėjome prie pabaigos. Apibendrinkime: išsiaiškinome, kas yra sistema ir matrica, ir sužinojome, kaip rasti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Be to, svarstėme ir kitus variantus. Sužinojome, kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą: Gauso metodą ir kalbėjome apie tai sunkių atvejų ir kitais būdais rasti sprendimus.

Tiesą sakant, ši tema yra daug platesnė, ir jei norite ją geriau suprasti, rekomenduojame perskaityti daugiau specializuotos literatūros.