Kaip išspręsti trupmenas. Spręsti trupmenas

Patogu ir paprasta internetinis skaičiuotuvas trupmenos su detaliais sprendimais Gal būt:

• Sudėkite, atimkite, padauginkite ir padalykite trupmenos internete,
• Gauti paruoštas sprendimas trupmenos su paveiksliuku ir patogu jį perkelti.

Trupmenų sprendimo rezultatas bus čia...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Trupmenos ženklas "/" + - * :
_erase Išvalyti
Mūsų internetinis trupmenų skaičiuotuvas turi greitą įvestį. Pavyzdžiui, norėdami išspręsti trupmenas, tiesiog parašykite 1/2+2/7 į skaičiuotuvą ir paspauskite " Išspręskite trupmenas“. Skaičiuoklė jums parašys detalus sprendimas trupmenomis ir išduos lengvai nukopijuojamas vaizdas.

Ženklai, naudojami rašymui skaičiuotuvu

Internetinio trupmenų skaičiuoklės ypatybės

Jei reikia išspręsti neigiamas trupmenas, tiesiog naudokite minuso savybes. Dauginant ir dalijant neigiamas trupmenas, minusas iš minuso suteikia pliusą. Tai yra, neigiamų trupmenų sandauga ir padalijimas yra lygus tų pačių teigiamų dalių sandaugai ir padalijimui. Jei dauginant ar dalinant viena trupmena yra neigiama, tiesiog pašalinkite minusą ir pridėkite jį prie atsakymo. Pridedant neigiamas trupmenas, rezultatas bus toks pat, kaip pridėjus tas pačias teigiamas trupmenas. Jei pridėsite vieną neigiamą trupmeną, tai yra tas pats, kas atimti tą pačią teigiamą trupmeną.
Atimant neigiamas trupmenas, rezultatas bus toks pat, lyg jas sukeistų ir padarytų teigiamą. Tai yra, minusas prie minuso šiuo atveju duoda pliusą, bet terminų pertvarkymas sumos nekeičia. Atimdami trupmenas, kurių viena yra neigiama, naudojame tas pačias taisykles.

Norėdami išspręsti mišrias trupmenas (frakcijas, kuriose visa dalis yra izoliuota), tiesiog įdėkite visą dalį į trupmeną. Norėdami tai padaryti, padauginkite visą dalį iš vardiklio ir pridėkite prie skaitiklio.

Jei jums reikia išspręsti 3 ar daugiau trupmenų internete, turėtumėte jas išspręsti po vieną. Pirma, suskaičiuokite pirmąsias 2 trupmenas, tada išspręskite kitą trupmeną su gautu atsakymu ir pan. Atlikite veiksmus po vieną, po 2 trupmenas ir galiausiai gausite teisingą atsakymą.

Vienas iš svarbiausių mokslų, kurio taikymas matomas tokiose disciplinose kaip chemija, fizika ir net biologija, yra matematika. Šio mokslo studijos leidžia išsiugdyti kai kurias psichines savybes ir pagerinti gebėjimą susikaupti. Viena iš matematikos kurso temų, kuriai nusipelno ypatingo dėmesio, yra trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Daugeliui studentų sunku mokytis. Galbūt mūsų straipsnis padės geriau suprasti šią temą.

Kaip atimti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi

Trupmenos yra tie patys skaičiai, su kuriais galite atlikti įvairias operacijas. Jų skirtumas nuo sveikųjų skaičių yra vardiklio buvimas. Štai kodėl, atliekant operacijas su trupmenomis, reikia išstudijuoti kai kurias jų savybes ir taisykles. Dauguma paprastas atvejis yra paprastųjų trupmenų, kurių vardikliai pavaizduoti kaip tas pats skaičius, atėmimas. Atlikti šį veiksmą nebus sunku, jei žinosite paprastą taisyklę:

• Norint iš vienos trupmenos atimti sekundę, reikia iš redukuojamos trupmenos skaitiklio atimti atimtos trupmenos skaitiklį. Šį skaičių įrašome į skirtumo skaitiklį, o vardiklį paliekame tą patį: k/m - b/m = (k-b)/m.

Trupmenų, kurių vardikliai yra vienodi, atėmimo pavyzdžiai

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Iš trupmenos „7“ skaitiklio atimame atimamos trupmenos „3“ skaitiklį, gauname „4“. Šį skaičių rašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje įdedame tą patį skaičių, kuris buvo pirmosios ir antrosios trupmenų vardikliuose - „19“.

Žemiau esančioje nuotraukoje pateikti dar keli panašūs pavyzdžiai.

Panagrinėkime sudėtingesnį pavyzdį, kai atimamos trupmenos su panašiais vardikliais:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Iš trupmenos skaitiklio „29“ sumažinamas paeiliui atimant visų vėlesnių trupmenų skaitiklius - „3“, „8“, „2“, „7“. Dėl to gauname rezultatą „9“, kurį užrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje užrašome skaičių, kuris yra visų šių trupmenų vardikliuose - „47“.

Sudėjus trupmenas, turinčias tą patį vardiklį

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas atliekamas tuo pačiu principu.

• Norėdami pridėti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi, turite pridėti skaitiklius. Gautas skaičius yra sumos skaitiklis, o vardiklis išliks toks pat: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pažiūrėkime, kaip tai atrodo, naudodami pavyzdį:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Prie pirmojo trupmenos nario skaitiklio - „1“ - pridėkite antrojo trupmenos nario skaitiklį - „2“. Rezultatas - "3" - įrašomas į sumos skaitiklį, o vardiklis paliekamas toks pat kaip ir trupmenose - "4".

Skirtingus vardiklius turinčios trupmenos ir jų atėmimas

Mes jau svarstėme operaciją su trupmenomis, kurios turi tą patį vardiklį. Kaip matome, žinodami paprastos taisyklės, tokius pavyzdžius išspręsti gana paprasta. Bet ką daryti, jei reikia atlikti operaciją su trupmenomis, kurios turi skirtingus vardiklius? Daugelis vidurinių mokyklų moksleivių glumina tokie pavyzdžiai. Bet ir čia, žinant sprendimo principą, pavyzdžiai tau nebebus sunkūs. Čia taip pat yra taisyklė, be kurios išspręsti tokias trupmenas tiesiog neįmanoma.

Norint atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, jas reikia sumažinti iki to paties mažiausio vardiklio.



Mes kalbėsime išsamiau apie tai, kaip tai padaryti.

Trupmenos savybė

Norint suvesti kelias trupmenas į tą patį vardiklį, sprendime reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę: skaitiklį ir vardiklį padalijus arba padauginus iš to paties skaičiaus, gaunama trupmena, lygi duotajai.

Taigi, pavyzdžiui, trupmena 2/3 gali turėti vardiklius, tokius kaip „6“, „9“, „12“ ir tt, tai yra, ji gali turėti bet kokio skaičiaus, kuris yra „3“ kartotinis, formą. Padauginus skaitiklį ir vardiklį iš „2“, gauname trupmeną 4/6. Pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus iš „3“, gauname 6/9, o atlikę panašią operaciją su skaičiumi „4“, gauname 8/12. Vieną lygybę galima parašyti taip:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kaip paversti kelias trupmenas į tą patį vardiklį

Pažiūrėkime, kaip sumažinti kelias trupmenas iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui, paimkime toliau esančiame paveikslėlyje parodytas trupmenas. Pirmiausia turite nustatyti, kuris skaičius gali tapti jų visų vardikliu. Kad viskas būtų lengviau, suskirstykime esamus vardiklius.

Trupmenos 1/2 ir trupmenos 2/3 vardiklis negali būti koeficientas. Vardiklis 7/9 turi du koeficientus 7/9 = 7/(3 x 3), trupmenos vardiklis 5/6 = 5/(2 x 3). Dabar turime nustatyti, kurie veiksniai bus mažiausi visoms šioms keturioms trupmenoms. Kadangi pirmosios trupmenos vardiklyje yra skaičius „2“, tai reiškia, kad ji turi būti visuose vardikliuose 7/9 yra du trejetai, o tai reiškia, kad jie abu turi būti ir vardiklyje. Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, nustatome, kad vardiklis susideda iš trijų veiksnių: 3, 2, 3 ir yra lygus 3 x 2 x 3 = 18.



Panagrinėkime pirmąją trupmeną – 1/2. Jo vardiklyje yra „2“, tačiau nėra vieno „3“, bet turėtų būti du. Norėdami tai padaryti, vardiklį padauginame iš dviejų trigubų, tačiau, atsižvelgiant į trupmenos savybę, skaitiklį turime padauginti iš dviejų trigubų:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Su likusiomis trupmenomis atliekame tas pačias operacijas.

• 2/3 – vardiklyje trūksta vieno trijų ir vieno dviejų:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 arba 7/(3 x 3) – vardiklyje trūksta dviejų:
  7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18.
• 5/6 arba 5/(2 x 3) – vardiklyje trūksta trijų:
  5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Viskas kartu atrodo taip:



Kaip atimti ir pridėti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius

Kaip minėta aukščiau, norint pridėti ar atimti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio, o tada naudoti jau aptartas trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, atėmimo taisykles.

Pažvelkime į tai kaip pavyzdį: 4/18 – 3/15.

Skaičių 18 ir 15 kartotinių radimas:

• Skaičius 18 sudarytas iš 3 x 2 x 3.
• Skaičius 15 sudarytas iš 5 x 3.
• Bendrasis kartotinis bus šie veiksniai: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Suradus vardiklį, reikia apskaičiuoti koeficientą, kuris skirsis kiekvienai trupmenai, tai yra skaičių, iš kurio reikės padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį. Norėdami tai padaryti, rastą skaičių (bendrąjį kartotinį) padaliname iš trupmenos, kuriai reikia nustatyti papildomus veiksnius, vardiklio.

• 90 padalytas iš 15. Gautas skaičius „6“ bus daugiklis 3/15.
• 90 padalytas iš 18. Gautas skaičius „5“ bus daugiklis 4/18.

Kitas mūsų sprendimo etapas yra sumažinti kiekvieną trupmeną iki vardiklio „90“.

Mes jau kalbėjome apie tai, kaip tai daroma. Pažiūrėkime, kaip tai parašyta pavyzdyje:

(4 x 5)/(18 x 5) – (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 – 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jei trupmenos turi mažus skaičius, galite nustatyti bendrą vardiklį, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.



Tas pats pasakytina ir apie tuos, kurie turi skirtingus vardiklius.

Atimtis ir sveikųjų dalių turėjimas

Mes jau išsamiai aptarėme trupmenų atėmimą ir jų pridėjimą. Bet kaip atimti, jei trupmena turi sveikąją dalį? Vėlgi, pasinaudokime keliomis taisyklėmis:

• Konvertuoti visas trupmenas, turinčias sveikąją dalį, į netinkamas. Kalbėdamas paprastais žodžiais, nuimkite visą dalį. Norėdami tai padaryti, sveikosios dalies skaičių padauginkite iš trupmenos vardiklio ir gautą sandaugą pridėkite prie skaitiklio. Skaičius, kuris pasirodo po šių veiksmų, yra skaitiklis netinkama trupmena. Vardiklis lieka nepakitęs.
• Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio.
• Sudėti arba atimti su tais pačiais vardikliais.
• Gavę netinkamą trupmeną, pasirinkite visą dalį.



Yra ir kitas būdas, kuriuo galite sudėti ir atimti trupmenas su sveikomis dalimis. Tam veiksmai atliekami atskirai su ištisomis dalimis, o veiksmai su trupmenomis atskirai, o rezultatai registruojami kartu.



Pateiktą pavyzdį sudaro trupmenos, turinčios tą patį vardiklį. Tuo atveju, kai vardikliai skiriasi, jie turi būti suvienodinti, o tada atlikti veiksmus, kaip parodyta pavyzdyje.

Trupmenų atėmimas iš sveikųjų skaičių

Kitas operacijos su trupmenomis tipas yra atvejis, kai reikia atimti trupmeną Iš pirmo žvilgsnio toks pavyzdys atrodo sunkiai išsprendžiamas. Tačiau čia viskas gana paprasta. Norėdami tai išspręsti, turite paversti sveikąjį skaičių į trupmeną ir su tuo pačiu vardikliu, kuris yra atimtoje trupmenoje. Toliau atliekame atimtį, panašų į atimtį su vienodais vardikliais. Pavyzdyje tai atrodo taip:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Šiame straipsnyje pateikta trupmenų atėmimas (6 klasė) yra pagrindas spręsti daugiau sudėtingų pavyzdžių, kurie bus aptariami tolesniuose užsiėmimuose. Šios temos žinios vėliau naudojamos sprendžiant funkcijas, išvestines ir pan. Todėl labai svarbu suprasti ir suprasti aukščiau aptartas operacijas su trupmenomis.

Internetinis skaičiuotuvas.
Išraiškos įvertinimas su skaitinės trupmenos.
Trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas, atėmimas, padalijimas, pridėjimas ir mažinimas.

Su šiuo internetiniu skaičiuotuvu galite dauginti, atimti, padalyti, pridėti ir sumažinti trupmenas su skirtingais vardikliais.

Programa veikia su įprastomis, netinkamomis ir mišriomis skaičių trupmenomis.

Ši programa (internetinis skaičiuotuvas) gali:
- atlikti mišrių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimą
- atlikti mišrių trupmenų su skirtingais vardikliais atimtį
- padalinti mišrias trupmenas su skirtingais vardikliais
- padauginkite mišrias trupmenas su skirtingais vardikliais
- sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio
- mišrias trupmenas paversti netinkamomis trupmenomis
- sumažinti frakcijas

Taip pat galite įvesti ne išraišką su trupmenomis, o vieną trupmeną.
Tokiu atveju dalis bus sumažinta, o visa dalis bus atskirta nuo rezultato.

Internetinė skaičiuoklė, skirta skaičiuoti išraiškas su skaitinėmis trupmenomis, ne tik duoda atsakymą į problemą, o pateikia išsamų sprendimą su paaiškinimais, t.y. rodo sprendimo paieškos procesą.

Ši programa gali būti naudinga besiruošiantiems vidurinių mokyklų mokiniams bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakyla.

Jei nesate susipažinę su reiškinių su skaitinėmis trupmenomis įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Posakių su skaitinėmis trupmenomis įvedimo taisyklės

Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Įvestis: -2/3 + 7/5
Rezultatas: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu: &
Įvestis: -1 ir 2/3 * 5 ir 8/3
Rezultatas: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

Trupmenų padalijimas įvedamas dvitaškio ženklu: :
Įvestis: -9&37/12: -3&5/14
Rezultatas: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Atminkite, kad negalite dalyti iš nulio!

Įvesdami išraiškas su skaitinėmis trupmenomis, galite naudoti skliaustus.
Įvestis: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Rezultatas: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Paprastosios trupmenos. Padalijimas su likusia dalimi

Jeigu 497 reikia dalinti iš 4, tai dalindami pamatysime, kad 497 iš 4 nesidalija tolygiai, t.y. lieka likusi padalijimo dalis. Tokiais atvejais sakoma, kad baigta padalijimas su likusia dalimi, o sprendimas parašytas taip:
497: 4 = 124 (1 likutis).

Kairėje lygybės pusėje esantys padalijimo komponentai vadinami taip pat, kaip ir dalijant be liekanos: 497 - dividendas, 4 - skirstytuvas. Vadinamas padalijimo rezultatas, kai padalintas su liekana nepilnas privatus. Mūsų atveju tai yra skaičius 124. Ir galiausiai paskutinis komponentas, kuris nėra įprastame padalinyje, yra priminimas. Tais atvejais, kai likučio nėra, vienas skaičius yra padalintas iš kito be pėdsakų arba visiškai. Manoma, kad su tokiu padalijimu likusi dalis yra lygi nuliui. Mūsų atveju likusi dalis yra 1.

Likusi dalis yra visada mažiau nei daliklis.

Dalybą galima patikrinti dauginant. Jei, pavyzdžiui, yra lygybė 64: 32 = 2, tada patikrinimą galima atlikti taip: 64 = 32 * 2.

Dažnai tais atvejais, kai dalijama su likusia dalimi, patogu naudoti lygybę
a = b * n + r,
kur a yra dividendas, b yra daliklis, n yra dalinis koeficientas, r yra liekana.

Natūraliųjų skaičių dalinys gali būti parašytas trupmena.

Trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis.

Kadangi trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis, mano, kad trupmenos eilutė reiškia padalijimo veiksmą. Kartais dalybas patogu rašyti kaip trupmeną nenaudojant „:“ ženklo.

Natūralių skaičių m ir n dalybos koeficientas gali būti parašytas trupmena \(\frac(m)(n)\), kur skaitiklis m yra dividendas, o vardiklis n yra daliklis:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Šios taisyklės yra teisingos:

Norint gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), reikia padalinti vienetą į n lygių dalių (akcijų) ir paimti m tokių dalių.

Norint gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), reikia skaičių m padalyti iš skaičiaus n.

Norint rasti visumos dalį, reikia skaičių, atitinkantį visumą, padalyti iš vardiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, skaitiklio.

Norėdami rasti visumą iš jos dalies, turite padalyti šią dalį atitinkantį skaičių iš skaitiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, vardiklio.

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ši savybė vadinama pagrindinė trupmenos savybė.

Paskutinės dvi transformacijos vadinamos sumažinant dalį.

Jei trupmenas reikia pavaizduoti kaip trupmenas su tuo pačiu vardikliu, tada šis veiksmas vadinamas suvedus trupmenas į bendrą vardiklį.

Tinkamos ir netinkamos trupmenos. Mišrūs skaičiai

Jau žinote, kad trupmeną galima gauti padalijus visumą į lygias dalis ir paėmus kelias tokias dalis. Pavyzdžiui, trupmena \(\frac(3)(4)\) reiškia tris ketvirtadalius vieneto. Daugelyje ankstesnės pastraipos uždavinių trupmenos buvo naudojamos visumos dalims pavaizduoti. Sveikas protas reikalauja, kad dalis visada būtų mažesnė už visumą, bet kaip su trupmenomis, pvz., \(\frac(5)(5)\) arba \(\frac(8)(5)\)? Akivaizdu, kad tai nebėra įrenginio dalis. Tikriausiai todėl vadinamos trupmenos, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus netinkamos trupmenos. Likusios trupmenos, ty trupmenos, kurių skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinamos teisingos trupmenos.

Kaip žinote, bet kokia bendroji trupmena, tiek tinkama, tiek netinkama, gali būti laikoma skaitiklio padalijimu iš vardiklio. Todėl matematikoje, skirtingai nei įprastoje kalboje, terminas „ne tinkama trupmena“ nereiškia, kad padarėme kažką ne taip, o tik tai, kad šios trupmenos skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.

Jei skaičių sudaro sveikoji dalis ir trupmena, tada trupmenos vadinamos mišriomis.

Pavyzdžiui:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 yra sveikoji dalis, o \(\frac(2)(3) \) yra trupmeninė dalis.

Jei trupmenos skaitiklis \(\frac(a)(b)\) dalijasi iš natūralusis skaičius n, tada norėdami padalyti šią trupmeną iš n, jos skaitiklį turite padalyti iš šio skaičiaus:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jei trupmenos \(\frac(a)(b)\) skaitiklis nesidalija iš natūraliojo skaičiaus n, tada norint padalinti šią trupmeną iš n, jos vardiklį reikia padauginti iš šio skaičiaus:
\(\didelis \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Atkreipkite dėmesį, kad antroji taisyklė taip pat galioja, kai skaitiklis dalijasi iš n. Todėl jį galime naudoti, kai iš pirmo žvilgsnio sunku nustatyti, ar trupmenos skaitiklis dalijasi iš n, ar ne.

Veiksmai su trupmenomis. Sudėjus trupmenas.

Su trupmeniniais skaičiais galite atlikti aritmetinius veiksmus, kaip ir su natūraliaisiais skaičiais. Pirmiausia pažiūrėkime, kaip pridėti trupmenas. Lengva pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Raskime, pavyzdžiui, \(\frac(2)(7)\) ir \(\frac(3)(7)\) sumą. Nesunku suprasti, kad \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.

Naudojant raides, trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jei reikia pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia jas reikia sumažinti iki bendro vardiklio. Pavyzdžiui:
\(\didelis \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, galioja komutacinės ir asociatyvinės sudėties savybės.

Sumaišytų frakcijų pridėjimas

Iškviečiami tokie žymėjimai kaip \(2\frac(2)(3)\). mišrios frakcijos. Šiuo atveju vadinamas skaičius 2 visa dalis mišri trupmena, o skaičius \(\frac(2)(3)\) yra jos trupmeninė dalis. Įrašas \(2\frac(2)(3)\) skaitomas taip: „du ir du trečdaliai“.

Padalinę skaičių 8 iš skaičiaus 3, galite gauti du atsakymus: \(\frac(8)(3)\) ir \(2\frac(2)(3)\). Jie išreiškia tą patį trupmeninį skaičių, ty \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Taigi netinkama trupmena \(\frac(8)(3)\) vaizduojama kaip mišri trupmena \(2\frac(2)(3)\). Tokiais atvejais sakoma, kad iš netinkamos trupmenos pabrėžė visą dalį.

Trupmenų atėmimas (trupmeniniai skaičiai)

Atimtis trupmeniniai skaičiai, kaip ir natūralūs skaičiai, nustatomas pagal sudėjimo veiksmą: iš vieno skaičiaus atėmus kitą reiškia surasti skaičių, kurį pridėjus prie antrojo gaunamas pirmasis. Pavyzdžiui:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) nuo \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimo taisyklė yra panaši į tokių trupmenų pridėjimo taisyklę:
Norėdami rasti skirtumą tarp trupmenų su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį.

Naudojant raides, ši taisyklė parašyta taip:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Trupmenų dauginimas

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius ir įrašyti pirmąjį sandaugą kaip skaitiklį, o antrąjį - kaip vardiklį.

Naudojant raides, trupmenų dauginimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Naudodami suformuluotą taisyklę, trupmeną galite padauginti iš natūraliojo skaičiaus iš mišri frakcija, taip pat padauginkite mišrias frakcijas. Norėdami tai padaryti, turite parašyti natūralųjį skaičių kaip trupmeną, kurios vardiklis yra 1, o mišrią trupmeną - kaip netinkamą trupmeną.

Daugybos rezultatas turėtų būti supaprastintas (jei įmanoma), sumažinant trupmeną ir išskiriant visą netinkamos trupmenos dalį.

Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, galioja komutacinės ir kombinacinės daugybos savybės, taip pat daugybos skirstomoji savybė sudėjimo atžvilgiu.

Trupmenų padalijimas

Paimkime trupmeną \(\frac(2)(3)\) ir „apverskime“ sukeisdami skaitiklį ir vardiklį. Gauname trupmeną \(\frac(3)(2)\). Ši trupmena vadinama atvirkščiai trupmenos \(\frac(2)(3)\).

Jei dabar „atsuksime“ trupmeną \(\frac(3)(2)\), gausime pradinę trupmeną \(\frac(2)(3)\). Todėl tokios trupmenos kaip \(\frac(2)(3)\) ir \(\frac(3)(2)\) vadinamos abipusiai atvirkštinis.

Pavyzdžiui, trupmenos \(\frac(6)(5) \) ir \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ir \(\frac (18) )(7)\).

Naudojant raides, grįžtamąsias trupmenas galima parašyti taip: \(\frac(a)(b) \) ir \(\frac(b)(a) \)

Aišku, kad atvirkštinių trupmenų sandauga lygi 1. Pavyzdžiui: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Naudodami abipuses trupmenas, galite sumažinti trupmenų padalijimą iki daugybos.

Trupmenos padalijimo iš trupmenos taisyklė yra tokia:
Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės.

Frakcija- skaičių vaizdavimo matematikoje forma. Trupmenų juosta žymi padalijimo operaciją. Skaitiklis trupmena vadinama dividendu ir vardiklis- skirstytuvas. Pavyzdžiui, trupmenoje skaitiklis yra 5, o vardiklis yra 7.

Teisingai Vadinama trupmena, kurios skaitiklio modulis yra didesnis už vardiklio modulį. Jei trupmena yra tinkama, tai jos vertės modulis visada yra mažesnis už 1. Visos kitos trupmenos yra negerai.

Trupmena vadinama sumaišytas, jei jis parašytas kaip sveikasis skaičius ir trupmena. Tai yra ta pati šio skaičiaus ir trupmenos suma:

Pagrindinė trupmenos savybė

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus, tada trupmenos reikšmė nepasikeis, tai yra, pvz.

Trupmenų mažinimas iki bendro vardiklio

Norėdami sujungti dvi trupmenas į bendrą vardiklį, jums reikia:

1. Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio
2. Padauginkite antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios vardiklio
3. Abiejų trupmenų vardiklius pakeiskite jų sandauga

Veiksmai su trupmenomis

Papildymas. Norėdami pridėti dvi frakcijas, jums reikia

1. Pridėkite naujus abiejų trupmenų skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą

Pavyzdys:

Atimtis. Norėdami atimti vieną trupmeną iš kitos, jums reikia

1. Sumažinkite trupmenas iki bendro vardiklio
2. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios dalies skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą

Pavyzdys:

Daugyba. Norėdami padauginti vieną trupmeną iš kitos, padauginkite jų skaitiklius ir vardiklius:

Padalinys. Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį padauginkite iš antrosios:

Frakcija- skaičius, kurį sudaro sveikasis vieneto trupmenų skaičius ir pateikiamas tokia forma: a/b

Trupmenos skaitiklis (a)- skaičius, esantis virš trupmenos linijos ir rodantis akcijų, į kurias buvo padalintas vienetas, skaičių.

Trupmenos vardiklis (b)- skaičius, esantis po trupmenos eilute ir rodantis, į kiek dalių padalintas vienetas.

2. Trupmenų mažinimas iki bendro vardiklio

3. Aritmetiniai veiksmai su paprastosiomis trupmenomis

3.1. Paprastųjų frakcijų pridėjimas

3.2. Trupmenų atėmimas

3.3. Paprastųjų trupmenų dauginimas

3.4. Dalijimosi trupmenos

4. Abipusiai skaičiai

5. Dešimtainės

6. Aritmetinės operacijos dešimtainiais skaičiais

6.1. Dešimtainių skaičių pridėjimas

6.2. Dešimtainių skaičių atėmimas

6.3. Dešimtainių skaičių dauginimas

6.4. Dešimtainis padalijimas

#1. Pagrindinė trupmenos savybė

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba padalyti iš to paties skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausite trupmeną, lygią duotajam.

3/7=3*3/7*3=9/21, tai yra, 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m – taip atrodo pagrindinė trupmenos savybė.

Kitaip tariant, gauname trupmeną, lygią duotajai, pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginę arba padalinę iš to paties natūraliojo skaičiaus.

Jeigu ad=bc, tada dvi trupmenos a/b =c /d laikomi lygiais.

Pavyzdžiui, trupmenos 3/5 ir 9/15 bus lygios, nes 3*15=5*9, tai yra 45=45

Dalies sumažinimas yra trupmenos pakeitimo procesas, kai nauja trupmena yra lygi pradinei, bet su mažesniu skaitikliu ir vardikliu.

Įprasta trupmenas mažinti pagal pagrindinę trupmenos savybę.

Pavyzdžiui, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (skaitiklis ir vardiklis dalijami iš skaičiaus 3, iš 5 ir iš 15).

Neredukuojama trupmena yra formos dalis 3/4 ​ ​ , kur skaitiklis ir vardiklis yra abipusiai pirminiai skaičiai. Pagrindinis trupmenos mažinimo tikslas yra padaryti frakciją neredukuojamą.

2. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Norėdami sujungti dvi trupmenas į bendrą vardiklį, turite:

1) išplėskite kiekvienos trupmenos vardiklį į pagrindiniai veiksniai;

2) padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš trūkstamų

veiksniai iš antrojo vardiklio išplėtimo;

3) antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš trūkstamų pirmojo išplėtimo koeficientų.

Pavyzdžiai: Sumažinkite trupmenas iki bendro vardiklio.

Padalinkime vardiklius į paprastus veiksnius: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Padauginkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš trūkstamo koeficiento 5 iš antrojo išplėtimo.

trupmenos skaitiklis ir vardiklis į trūkstamus faktorius 3 ir 2 iš pirmojo išplėtimo.

= , 90 – bendrasis trupmenų vardiklis.

3. Paprastųjų trupmenų aritmetiniai veiksmai

3.1. Paprastųjų frakcijų pridėjimas

a) Kada tie patys vardikliai Pirmosios trupmenos skaitiklis pridedamas prie antrosios trupmenos skaitiklio, vardiklis paliekamas toks pat. Kaip matote pavyzdyje:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Skirtingiems vardikliams trupmenos pirmiausia sumažinamos iki bendro vardiklio, o tada skaitikliai pridedami pagal a taisyklę:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Trupmenų atėmimas

a) Jei vardikliai yra vienodi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį, vardiklį palikdami tą patį:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Jei trupmenų vardikliai yra skirtingi, tai pirmiausia trupmenos sujungiamos į bendrą vardiklį, o po to kartojami veiksmai, kaip nurodyta a punkte.

3.3. Paprastųjų trupmenų dauginimas

Dauginant trupmenas laikomasi šios taisyklės:

a/b*c/d=a*c/b*d,

tai yra, jie daugina skaitiklius ir vardiklius atskirai.

Pavyzdžiui:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Dalijimosi trupmenos

Frakcijos skirstomos taip:

a/b:c/d=a*d/b*c,

tai yra, trupmena a/b dauginama iš atvirkštinės duotosios trupmenos, tai yra, dauginama iš d/c.

Pavyzdys: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Abipusiai skaičiai

Jeigu a*b=1, tada skaičius b yra abipusis skaičius už skaičių a.

Pavyzdys: skaičiaus 9 atvirkštinė vertė yra 1/9 ​ ​ , nuo 9*1/9 = 1 , skaičiui 5 – atvirkštinis skaičius 1/5 ​ ​ , nes 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Dešimtainės

Dešimtainė yra tinkama trupmena, kurios vardiklis lygus 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Pavyzdžiui: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Taip pat rašomi neteisingi su vardikliu 10^n arba mišrūs skaičiai.

Pavyzdžiui: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Bet kuris skaičius gali būti pateikiamas kaip dešimtainė trupmena bendroji trupmena su vardikliu, kuris yra tam tikros laipsnio 10 daliklis.

keitiklis, kuris yra tam tikros skaičiaus 10 laipsnio daliklis.

Pavyzdys: 5 yra 100 daliklis, taigi tai trupmena 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmetinės operacijos su dešimtainėmis dalimis

6.1. Dešimtainių skaičių pridėjimas

Norėdami pridėti dvi dešimtaines trupmenas, turite jas išdėstyti taip, kad vienas po kito būtų vienodi skaitmenys, o po kableliu – kablelis, o tada trupmenas sudėti kaip paprastus skaičius.

6.2. Dešimtainių skaičių atėmimas

Tai atliekama taip pat, kaip ir pridėjimas.

6.3. Dešimtainių skaičių dauginimas

Dauginant dešimtainiai skaičiai Užtenka duotus skaičius padauginti, nekreipiant dėmesio į kablelius (kaip natūraliuosius skaičius), o gautame atsakyme kableliu dešinėje atskiriama tiek skaitmenų, kiek iš viso yra po kablelio abiejuose veiksniuose.

2,7 padauginkime iš 1,3. Mes turime 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Du skaitmenis dešinėje atskiriame kableliu (pirmasis ir antrasis skaitmenys turi vieną skaitmenį po kablelio; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Kaip rezultatas, mes gauname 2,7\cdot 1,3 = 3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Jei gautame rezultate yra mažiau skaitmenų, nei reikia atskirti kableliu, trūkstami nuliai rašomi priešais, pavyzdžiui:

Norėdami padauginti iš 10, 100, 1000, turite perkelti dešimtainį tašką 1, 2, 3 skaitmenimis į dešinę (jei reikia, jis priskiriamas į dešinę tam tikras skaičius nuliai).

Pavyzdžiui: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Dešimtainis padalijimas

Dešimtainės trupmenos dalijimas iš natūraliojo skaičiaus atliekamas taip pat, kaip natūralusis skaičius dalijamas iš natūraliojo skaičiaus. Kablelis dalinyje dedamas užbaigus visos dalies padalijimą.

Jei sveikoji dividendo dalis yra mažesnė už daliklį, tada atsakymas yra nulis sveikųjų skaičių, pavyzdžiui:

Pažiūrėkime, kaip padalinti dešimtainį skaičių iš kablelio. Tarkime, kad reikia padalyti 2,576 iš 1,12. Pirmiausia padauginkime trupmenos dividendą ir daliklį iš 100, tai yra, perkelkime dešimtainį tašką į dešinę dividende ir padalinkime tiek skaitmenų, kiek yra daliklyje po kablelio (in šiame pavyzdyje po du). Tada reikia padalyti trupmeną 257,6 iš natūraliojo skaičiaus 112, tai yra, problema sumažinama iki jau nagrinėjamo atvejo:

Pasitaiko, kad galutinis rezultatas ne visada pasiekiamas dešimtainis dalijant vieną skaičių iš kito. Rezultatas yra begalinė dešimtainė trupmena. Tokiais atvejais pereiname prie paprastųjų trupmenų.

Pavyzdžiui, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .