Kaip išspręsti kvadratinę lygtį be b. Neišsamių kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Yra žinoma, kad tai yra tam tikra lygybės ax 2 + bx + c = o versija, kur a, b ir c yra tikrieji nežinomo x koeficientai, o kur a ≠ o, o b ir c bus nuliai - vienu metu arba atskirai. Pavyzdžiui, c = o, b ≠ o arba atvirkščiai. Beveik prisiminėme kvadratinės lygties apibrėžimą.

Antrojo laipsnio trinaris lygus nuliui. Jo pirmasis koeficientas a ≠ o, b ir c gali turėti bet kokias reikšmes. Tada kintamojo x reikšmė bus tada, kai pakeitimas pavers jį teisinga skaitine lygybe. Sutelkime dėmesį į realias šaknis, nors lygtys gali būti ir sprendiniai. Įprasta lygtį vadinti užbaigta, kurioje nė vienas iš koeficientų nėra lygus o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Išspręskime pavyzdį. 2x 2 -9x-5 = oi, mes randame
D = 81 + 40 = 121,
D yra teigiamas, o tai reiškia, kad yra šaknų, x 1 = (9+√121):4 = 5, o antrasis x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Patikrinimas padės įsitikinti, kad jie teisingi.

Čia yra žingsnis po žingsnio kvadratinės lygties sprendimas

Naudodami diskriminantą, galite išspręsti bet kurią lygtį, kurios kairėje pusėje yra žinomas kvadratinis trinaris ≠ o. Mūsų pavyzdyje. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Panagrinėkime, kas yra nepilnos antrojo laipsnio lygtys

1. ax 2 +in = o. Laisvasis narys, koeficientas c ties x 0, čia yra lygus nuliui, ≠ o.
   Kaip išspręsti nepilną tokio tipo kvadratinę lygtį? Išimkime x iš skliaustų. Prisiminkime, kai dviejų veiksnių sandauga lygi nuliui.
   x(ax+b) = o, tai gali būti, kai x = o arba kai ax+b = o.
   Išsprendę 2-ąjį, turime x = -в/а.
   Dėl to turime šaknis x 1 = 0, pagal skaičiavimus x 2 = -b/a.
2. Dabar x koeficientas lygus o, o c nelygus (≠) o.
   x 2 +c = o. Perkelkime c į dešinę lygybės pusę, gausime x 2 = -с. Ši lygtis turi realias šaknis tik tada, kai -c teigiamas skaičius(su ‹ o),
   Tada x 1 yra lygus atitinkamai √(-c), x 2 yra -√(-c). Priešingu atveju lygtis iš viso neturi šaknų.
3. Paskutinis variantas: b = c = o, tai yra, ax 2 = o. Natūralu, kad tokia paprasta lygtis turi vieną šaknį, x = o.

Ypatingi atvejai

Pažiūrėjome, kaip išspręsti neišsamią kvadratinę lygtį, o dabar paimkime bet kokius tipus.

• Visoje kvadratinėje lygtyje antrasis x koeficientas yra lyginis skaičius.
  Tegu k = o.5b. Turime diskriminanto ir šaknų skaičiavimo formules.
  D/4 = k 2 - ac, šaknys apskaičiuojamos kaip x 1,2 = (-k±√(D/4))/a D › o.
  x = -k/a, kai D = o.
  D ‹ o šaknų nėra.
• Pateikiamos kvadratinės lygtys, kai x kvadrato koeficientas lygus 1, jos dažniausiai rašomos x 2 + рх + q = o. Jiems taikomos visos aukščiau pateiktos formulės, tačiau skaičiavimai yra šiek tiek paprastesni.
  Pavyzdys, x 2 -4x-9 = 0. Apskaičiuokite D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Be to, tai lengva pritaikyti duotiesiems. Sakoma, kad lygties šaknų suma lygi -p, antrasis koeficientas su minusu (tai reiškia priešingą ženklą), o tų pačių šaknų sandauga bus. būti lygus q, laisvasis narys. Pažiūrėkite, kaip lengva būtų žodžiu nustatyti šios lygties šaknis. Neredukuotiems koeficientams (visiems nuliui nelygiems koeficientams) ši teorema taikytina taip: suma x 1 + x 2 lygi -b/a, sandauga x 1 · x 2 lygi c/a.

Laisvosios dalies c ir pirmojo koeficiento a suma lygi koeficientui b. Šioje situacijoje lygtis turi bent vieną šaknį (lengva įrodyti), pirmoji būtinai lygi -1, o antroji -c/a, jei tokia yra. Galite patys patikrinti, kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį. Lengva kaip pyragas. Koeficientai gali būti tam tikruose tarpusavyje susiję

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Visų koeficientų suma lygi o.
  Tokios lygties šaknys yra 1 ir c/a. Pavyzdys, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Yra daugybė kitų būdų, kaip išspręsti įvairias antrojo laipsnio lygtis. Pavyzdžiui, čia yra metodas, leidžiantis išgauti visą kvadratą iš pateikto daugianario. Yra keletas grafinių metodų. Kai dažnai susiduriate su tokiais pavyzdžiais, išmoksite juos „spausti“ kaip sėklas, nes visi metodai ateina į galvą automatiškai.

Su šia matematikos programa galite išspręsti kvadratinę lygtį.

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą dviem būdais:
- naudojant diskriminantą
- naudojant Vietos teoremą (jei įmanoma).

Be to, atsakymas rodomas kaip tikslus, o ne apytikslis.
Pavyzdžiui, lygties \(81x^2-16x-1=0\) atsakymas rodomas tokia forma:

Ši programa gali būti naudinga vidurinių mokyklų mokiniams, besiruošiantiems bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakyla.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio daugianario įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.

Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai.
Be to, trupmeniniai skaičiai galima įvesti ne tik kaip dešimtainę, bet ir kaip paprastąją trupmeną.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis gali būti atskirta nuo visos dalies tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio kaip šis: 2,5x - 3,5x^2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įeinant skaitinė trupmena Skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas padalijimo ženklu: /
Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5z +1/7z^2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant kvadratinę lygtį, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Kvadratinė lygtis ir jos šaknys. Nebaigtos kvadratinės lygtys

Kiekviena iš lygčių
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
atrodo kaip
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x yra kintamasis, a, b ir c yra skaičiai.
Pirmoje lygtyje a = -1, b = 6 ir c = 1,4, antrojoje a = 8, b = -7 ir c = 0, trečiojoje a = 1, b = 0 ir c = 4/9. Tokios lygtys vadinamos kvadratines lygtis.

Apibrėžimas.
Kvadratinė lygtis vadinama ax 2 +bx+c=0 formos lygtimi, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \).

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, skaičius b yra antrasis koeficientas, o skaičius c yra laisvasis terminas.

Kiekvienoje iš ax 2 +bx+c=0 formos lygčių, kur \(a\neq 0\), didžiausia kintamojo x laipsnis yra kvadratas. Iš čia ir kilo pavadinimas: kvadratinė lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis taip pat vadinama antrojo laipsnio lygtimi, nes jos kairioji pusė yra antrojo laipsnio daugianario.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas x 2 lygus 1 duota kvadratinė lygtis. Pavyzdžiui, pateiktos kvadratinės lygtys yra lygtys
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeigu kvadratinėje lygtyje ax 2 +bx+c=0 bent vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai tokia lygtis vadinama nepilna kvadratinė lygtis. Taigi lygtys -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 yra nepilnos kvadratinės lygtys. Pirmajame iš jų b=0, antrajame c=0, trečiame b=0 ir c=0.

Yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) kirvis 2 =0.

Panagrinėkime kiekvieno iš šių tipų lygčių sprendimą.

Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +c=0 \(c \neq 0 \), perkelkite jos laisvąjį narį į dešinę ir padalykite abi lygties puses iš a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kadangi \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jei \(-\frac(c)(a)>0\), tada lygtis turi dvi šaknis.

Jei \(-\frac(c)(a) Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +bx=0 su \(b \neq 0 \) koeficientu, padėkite jos kairę pusę ir gaukite lygtį
\(x(ax+b)=0 \RightArrow \left\( \begin(masyvas)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masyvas) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masyvas)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masyvas) \dešinė.

Tai reiškia, kad nepilna kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \), visada turi dvi šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios forma yra ax 2 =0, yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, todėl turi vieną šaknį 0.

Kvadratinės lygties šaknų formulė

Dabar panagrinėkime, kaip išspręsti kvadratines lygtis, kuriose tiek nežinomųjų, tiek laisvojo nario koeficientai yra nuliniai.

Išspręskime kvadratinę lygtį bendras vaizdas ir dėl to gauname šaknų formulę. Tada ši formulė gali būti naudojama bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Išspręskime kvadratinę lygtį ax 2 +bx+c=0

Abi puses padalijus iš a, gauname ekvivalentinę sumažintą kvadratinę lygtį
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformuokime šią lygtį pasirinkdami dvinario kvadratą:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \rodyklė dešinėn \)

Radikali išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ax 2 +bx+c=0 („diskriminantas“ lotyniškai – diskriminatorius). Jis žymimas raide D, t.y.
\(D = b^2-4ac\)

Dabar, naudodami diskriminacinį žymėjimą, perrašome kvadratinės lygties šaknų formulę:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)

Akivaizdu, kad:
1) Jei D>0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.
2) Jei D=0, tai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jei D Taigi, priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis (kai D > 0), vieną šaknį (kai D = 0) arba neturėti šaknų (D Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant š. formulę, patartina daryti taip:
1) apskaičiuokite diskriminantą ir palyginkite jį su nuliu;
2) jei diskriminantas yra teigiamas arba lygus nuliui, tada naudokite šaknies formulę, jei diskriminantas yra neigiamas, tada užrašykite, kad nėra šaknų;

Vietos teorema

Duota kvadratinė lygtis ax 2 -7x+10=0 turi šaknis 2 ir 5. Šaknų suma lygi 7, sandauga 10. Matome, kad šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam iš priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Bet kuri sumažinta kvadratinė lygtis, turinti šaknis, turi šią savybę.

Aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Tie. Vietos teorema teigia, kad redukuotos kvadratinės lygties x 2 +px+q=0 šaknys x 1 ir x 2 turi savybę:
\(\left\( \begin(masyvas)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masyvas) \right. \)

Kvadratinės lygties šaknų formulės. Nagrinėjami realių, daugialypių ir sudėtingų šaknų atvejai. Kvadratinio trinalio koeficientas. Geometrinė interpretacija. Šaknų nustatymo ir faktoringo pavyzdžiai.

Pagrindinės formulės

Apsvarstykite kvadratinę lygtį:
(1) .
Kvadratinės lygties šaknys(1) nustatomi pagal formules:
; .
Šias formules galima derinti taip:
.
Kai žinomos kvadratinės lygties šaknys, antrojo laipsnio polinomas gali būti pavaizduotas kaip faktorių sandauga (faktorizuota):
.

Toliau darome prielaidą, kad tai yra tikrieji skaičiai.
Pasvarstykime kvadratinės lygties diskriminantas:
.
Jei diskriminantas yra teigiamas, tada kvadratinė lygtis (1) turi dvi skirtingas realias šaknis:
; .
Tada kvadratinio trinalio faktorizacija turi tokią formą:
.
Jei diskriminantas yra lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis (1) turi dvi daugkartines (lygias) realiąsias šaknis:
.
faktorizavimas:
.
Jei diskriminantas yra neigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:
;
.
Čia yra įsivaizduojamas vienetas ;
ir yra tikrosios ir įsivaizduojamos šaknų dalys:
; .
Tada

.

Grafinis interpretavimas

Jei statysi funkcijos grafikas
,
kuri yra parabolė, tada grafiko susikirtimo su ašimi taškai bus lygties šaknys
.
Ties , grafikas kerta x ašį (ašį) dviejuose taškuose.
Kai , grafikas paliečia x ašį viename taške.
Kai , grafikas nekerta x ašies.

Žemiau pateikiami tokių grafikų pavyzdžiai.

Naudingos formulės, susijusios su kvadratinėmis lygtimis

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Atliekame transformacijas ir taikome formules (f.1) ir (f.3):




,
Kur
; .

Taigi, mes gavome antrojo laipsnio daugianario formulę tokia forma:
.
Tai rodo, kad lygtis

atliktas
Ir .
Tai yra ir yra kvadratinės lygties šaknys
.

Kvadratinės lygties šaknų nustatymo pavyzdžiai

1 pavyzdys

(1.1) .

Sprendimas

.
Palyginus su mūsų lygtimi (1.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Mes randame diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra teigiamas, lygtis turi dvi realias šaknis:
;
;
.

Iš čia gauname kvadratinio trinalio faktorius:

.

Funkcijos y = grafikas 2 x 2 + 7 x + 3 kerta x ašį dviejuose taškuose.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis kerta abscisių ašį (ašį) dviejuose taškuose:
Ir .
Šie taškai yra pradinės lygties (1.1) šaknys.

Atsakymas

;
;
.

2 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(2.1) .

Sprendimas

Parašykime kvadratinę lygtį bendra forma:
.
Palyginus su pradine lygtimi (2.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Mes randame diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra nulis, lygtis turi dvi daugybines (lygias) šaknis:
;
.

Tada trinario faktorizacija turi tokią formą:
.

Funkcijos y = x grafikas 2–4 x + 4 paliečia x ašį viename taške.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis paliečia x ašį (ašį) viename taške:
.
Šis taškas yra pradinės lygties (2.1) šaknis. Kadangi ši šaknis koeficientas du kartus:
,
tada tokia šaknis paprastai vadinama kartotiniu. Tai yra, jie tiki, kad yra dvi vienodos šaknys:
.

Atsakymas

;
.

3 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(3.1) .

Sprendimas

Parašykime kvadratinę lygtį bendra forma:
(1) .
Perrašykime pradinę lygtį (3.1):
.
Palyginus su (1), randame koeficientų reikšmes:
.
Mes randame diskriminantą:
.
Diskriminantas yra neigiamas, . Todėl nėra tikrų šaknų.

Galite rasti sudėtingų šaknų:
;
;
.

Tada


.

Funkcijos grafikas nekerta x ašies. Tikrų šaknų nėra.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis nesikerta su x ašimi (ašiu). Todėl nėra tikrų šaknų.

Atsakymas

Tikrų šaknų nėra. Sudėtingos šaknys:
;
;
.

Kopevsko kaimo vidurinė mokykla

10 sprendimų kvadratines lygtis

Vadovas: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikos mokytojas

kaimas Kopevo, 2007 m

1. Kvadratinių lygčių raidos istorija

1.1 Kvadratinės lygtys senovės Babilone

1.2 Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis

1.3 Kvadratinės lygtys Indijoje

1.4 Khorezmio kvadratinės lygtys

1.5 Kvadratinės lygtys Europoje XIII – XVII a

1.6 Apie Vietos teoremą

2. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai

Išvada

Literatūra

1. Kvadratinių lygčių raidos istorija

1.1 Kvadratinės lygtys senovės Babilone

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su vietovių paieška. žemės sklypai ir su karinio pobūdžio žemės darbais, taip pat su pačios astronomijos ir matematikos raida. Kvadratinės lygtys galėjo būti išspręstos maždaug 2000 m. e. babiloniečiai.

Naudodamiesi šiuolaikine algebrine žyma, galime pasakyti, kad jų dantiraščio tekstuose, be neišsamių, yra, pavyzdžiui, pilnos kvadratinės lygtys:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma išdėstytų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti.

Nepaisant aukštas lygis Algebros raida Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrieji metodai sprendžiant kvadratines lygtis.

1.2 Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros pateikimo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, kuriuos lydi paaiškinimai ir išspręstos sudarant įvairaus laipsnio lygtis.

Kurdamas lygtis, Diofantas sumaniai parenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

11 problema.„Rasti du skaičius, žinant, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“

Diofantas motyvuoja taip: iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad reikalingi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tai jų sandauga būtų lygi ne 96, o 100. Taigi vienas iš jų bus didesnis nei pusė jų sumos, t.y. 10 + x, kitas yra mažesnis, t.y. 10-ųjų. Skirtumas tarp jų 2x .

Taigi lygtis:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Iš čia x = 2. Vienas iš reikiamų skaičių yra lygus 12 , kita 8 . Sprendimas x = -2 nes Diofanto nėra, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsime pasirinkdami vieną iš reikalingų skaičių kaip nežinomą, tada prieisime prie lygties sprendimo

y(20 – y) = 96,

y 2 – 20m + 96 = 0. (2)

Aišku, kad nežinomuoju pasirinkęs reikiamų skaičių pusę skirtumo, Diofantas supaprastina sprendimą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties (1) sprendimo.

1.3 Kvadratinės lygtys Indijoje

Kvadratinių lygčių problemos randamos jau astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) apibūdino Pagrindinė taisyklė kvadratinių lygčių sprendiniai, redukuoti į vieną kanoninę formą:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

(1) lygtyje koeficientai, išskyrus A, taip pat gali būti neigiamas. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

IN Senovės IndijaĮprasti buvo vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senovės indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu apšviečia žvaigždes, taip išmokęs žmogus pranoksta kito šlovę. žmonių susirinkimai, siūlydamas ir sprendžiant algebrines problemas. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Tai viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskarai.

13 problema.

„Pulkas niūrių beždžionių ir dvylika palei vynmedžius...

Valdžia pavalgę linksminosi. Jie pradėjo šokinėti, kabėti...

Jų yra aikštėje, aštunta dalis. Kiek beždžionių buvo?

Smagiai praleidau proskynoje. Pasakyk man, šioje pakuotėje?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo, jog kvadratinių lygčių šaknys yra dvireikšmės (3 pav.).

13 uždavinį atitinkanti lygtis yra tokia:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara prisidengdamas rašo:

x 2 - 64x = -768

ir, kad kairioji šios lygties pusė būtų užpildyta kvadratu, prideda prie abiejų pusių 32 2 , tada gauni:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x – 32) 2 = 256,

x – 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratinės lygtys al - Khorezmi

Al-Khorezmi algebriniame traktate pateikta tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius suskaičiuoja 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, t.y. ax 2 + c = b X.

2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, t.y. kirvis 2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, t.y. ah = s.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, t.y. ax 2 + c = b X.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiams“, t.y. ah 2+ bx = s.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, t.y. bx + c = ax 2 .

Al-Khorezmi, kuris vengė vartojimo neigiami skaičiai, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos sudedamos, o ne atimamos. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-muqabala metodus. Jo sprendimai, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, sprendžiant nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį

al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulinį sprendimą, tikriausiai todėl, kad konkrečiose praktinėse problemose tai nesvarbu. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, al-Khorezmi nustato jų sprendimo taisykles, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius, o tada geometrinius įrodymus.

14 problema.„Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Rasti šaknį" (tai reiškia lygties x 2 + 21 = 10x šaknį).

Autoriaus sprendimas skamba maždaug taip: šaknų skaičių padalinkite per pusę, gausite 5, 5 padauginkite iš savęs, iš sandaugos atimkite 21, lieka 4. Paimkite šaknį iš 4, gausite 2. Iš 5 atimkite 2 , gausite 3, tai bus norima šaknis. Arba pridėkite 2 prie 5, o tai duoda 7, tai taip pat yra šaknis.

Al-Khorezmi traktatas yra pirmoji mums pasiekusi knyga, kurioje sistemingai išdėstoma kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateikiamos jų sprendimo formulės.

1.5 Kvadratinės lygtys Europoje XIII - XVII bb

Kvadratinių lygčių sprendimo pagal al-Khwarizmi linijas Europoje formulės pirmą kartą buvo pateiktos Abako knygoje, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci. Šis didelės apimties kūrinys, atspindintis matematikos įtaką tiek islamo šalyse, tiek Senovės Graikija, išsiskiria tiek pateikimo išsamumu, tiek aiškumu. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių uždavinių sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius. Jo knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis Abakų knygos problemų buvo panaudotos beveik visuose XVI–XVII amžiaus Europos vadovėliuose. ir iš dalies XVIII.

Bendra kvadratinių lygčių sprendimo taisyklė, sumažinta iki vienos kanoninės formos:

x 2+ bx = c,

visoms galimoms koeficiento ženklų kombinacijoms b , Su Europoje suformulavo tik 1544 m. M. Stiefel.

Kvadratinės lygties bendros formos sprendimo formulės išvedimą galima gauti iš Vieth, tačiau Vieth atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Be teigiamų, atsižvelgiama ir į neigiamas šaknis. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų darbų dėka mokslininkų būdu kvadratinių lygčių sprendimas įgauna šiuolaikinę formą.

1.6 Apie Vietos teoremą

Vietos vardu pavadintos kvadratinės lygties koeficientų ir jos šaknų ryšį išreiškiančią teoremą jis pirmą kartą suformulavo 1591 m. taip: „Jeigu B + D, padaugintas iš A - A 2 , lygus BD, Tai A lygus IN ir lygus D ».

Norėdami suprasti Vietą, turėtume tai atsiminti A, kaip ir bet kuri balsė, reiškė nežinomybę (mūsų X), balsės IN, D- nežinomybės koeficientai. Šiuolaikinės algebros kalba aukščiau pateikta Vieta formuluotė reiškia: jei yra

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Išreikšdamas ryšį tarp lygčių šaknų ir koeficientų bendromis formulėmis, parašytomis simboliais, Viète nustatė lygčių sprendimo metodų vienodumą. Tačiau Vieto simbolika dar toli moderni išvaizda. Jis nepripažino neigiamų skaičių, todėl spręsdamas lygtis nagrinėjo tik tuos atvejus, kai visos šaknys buvo teigiamos.

2. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai

Kvadratinės lygtys yra pagrindas, ant kurio remiasi didingas algebros statinys. Kvadratinės lygtys plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines, eksponentines, logaritmines, iracionaliąsias ir transcendentines lygtis bei nelygybes. Visi žinome, kaip spręsti kvadratines lygtis nuo mokyklos (8 klasės) iki baigimo.

IN šiuolaikinė visuomenė galimybė atlikti operacijas su lygtimis, turinčiomis kvadratinį kintamąjį, gali būti naudinga daugelyje veiklos sričių ir yra plačiai naudojama praktikoje mokslo ir technikos raidoje. To įrodymų galima rasti jūrų ir upių laivų, orlaivių ir raketų konstrukcijose. Taikant tokius skaičiavimus, nustatomos įvairiausių kūnų, įskaitant ir kosminius objektus, judėjimo trajektorijos. Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai naudojami ne tik ekonominiam prognozavimui, pastatų projektavimui ir statybai, bet ir įprastomis kasdienėmis aplinkybėmis. Jų gali prireikti žygiuose pėsčiomis, sporto renginiuose, parduotuvėse perkant ir kitose labai įprastose situacijose.

Išskaidykime išraišką į komponentinius veiksnius

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią kintamojo laipsnio reikšmę, kurią sudaro išraiška. Jei jis lygus 2, tada tokia lygtis vadinama kvadratine.

Jei kalbėtume formulių kalba, tai nurodytos išraiškos, kad ir kaip jos atrodytų, visada gali būti perkeltos į formą, kai kairėje išraiškos pusėje yra trys terminai. Tarp jų: ​​ax 2 (ty kintamasis kvadratas su jo koeficientu), bx (nežinomasis be kvadrato su jo koeficientu) ir c (laisvasis komponentas, tai yra įprastas skaičius). Visa tai dešinėje yra lygi 0. Tuo atveju, kai tokiame daugianario nėra vieno iš jo sudedamųjų dalių, išskyrus ax 2, jis vadinamas nepilna kvadratine lygtimi. Pirmiausia reikėtų atsižvelgti į tokių problemų sprendimo pavyzdžius, kurių kintamųjų reikšmes lengva rasti.

Jei išraiška atrodo taip, kad dešinėje pusėje yra du terminai, tiksliau ax 2 ir bx, lengviausia x rasti kintamąjį iš skliaustų. Dabar mūsų lygtis atrodys taip: x(ax+b). Tada tampa akivaizdu, kad arba x=0, arba problema kyla ieškant kintamojo iš šios išraiškos: ax+b=0. Tai lemia viena iš daugybos savybių. Taisyklė teigia, kad dviejų veiksnių sandauga yra 0 tik tada, kai vienas iš jų yra lygus nuliui.

Pavyzdys

x = 0 arba 8x - 3 = 0

Dėl to gauname dvi lygties šaknis: 0 ir 0,375.

Tokios lygtys gali apibūdinti kūnų judėjimą veikiant gravitacijai, kurie pradėjo judėti iš tam tikro taško, laikomo koordinačių pradžia. Čia matematinis žymėjimas įgauna tokią formą: y = v 0 t + gt 2 /2. Pakeitę reikiamas reikšmes, prilygindami dešinę pusę su 0 ir suradę galimus nežinomuosius, galite sužinoti laiką, kuris praeina nuo kūno pakilimo iki kritimo, taip pat daugybę kitų dydžių. Bet apie tai pakalbėsime vėliau.

Išraiškos faktorius

Aukščiau aprašyta taisyklė leidžia išspręsti šias problemas daugiau sunkių atvejų. Pažvelkime į tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

X 2 – 33x + 200 = 0

Tai kvadratinis trinaris yra baigtas. Pirma, transformuokime išraišką ir ją koeficientu. Jų yra dvi: (x-8) ir (x-25) = 0. Dėl to turime dvi šaknis 8 ir 25.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai 9 klasėje leidžia šiuo metodu rasti kintamąjį ne tik antros, bet net ir trečios bei ketvirtos eilės išraiškose.

Pavyzdžiui: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Skaičiuojant dešinę pusę į veiksnius su kintamuoju, yra trys iš jų, tai yra (x+1), (x-3) ir (x+) 3).

Dėl to tampa akivaizdu, kad ši lygtis turi tris šaknis: -3; -1; 3.

Kvadratinė šaknis

Kitas atvejis nepilna lygtis antroji tvarka yra išraiška, pavaizduota raidžių kalba taip, kad dešinė pusė sudaryta iš komponentų ax 2 ir c. Čia, norint gauti kintamojo reikšmę, laisvasis terminas perkeliamas į dešinioji pusė, o po to iš abiejų lygybės pusių ištraukiame Kvadratinė šaknis. Reikia pažymėti, kad šiuo atveju dažniausiai yra dvi lygties šaknys. Vienintelės išimtys gali būti lygybės, kuriose iš viso nėra termino su, kai kintamasis lygus nuliui, taip pat reiškinių variantai, kai dešinioji pusė yra neigiama. Pastaruoju atveju iš viso nėra sprendimų, nes pirmiau minėtų veiksmų negalima atlikti su šaknimis. Reikėtų apsvarstyti tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžius.

Šiuo atveju lygties šaknys bus skaičiai -4 ir 4.

Žemės ploto apskaičiavimas

Tokio pobūdžio skaičiavimų poreikis atsirado senovėje, nes matematikos raidą tais tolimais laikais daugiausia lėmė poreikis kuo tiksliau nustatyti žemės sklypų plotus ir perimetrus.

Taip pat turėtume apsvarstyti kvadratinių lygčių, pagrįstų tokio pobūdžio problemomis, sprendimo pavyzdžius.

Taigi, tarkime, yra stačiakampis žemės sklypas, kurio ilgis yra 16 metrų didesnis už plotį. Turėtumėte sužinoti sklypo ilgį, plotį ir perimetrą, jei žinote, kad jos plotas yra 612 m2.

Norėdami pradėti, pirmiausia sukurkime reikiamą lygtį. Pažymėkime x ploto plotį, tada jo ilgis bus (x+16). Iš to, kas parašyta, seka, kad plotas nustatomas pagal išraišką x(x+16), kuri pagal mūsų uždavinio sąlygas yra 612. Tai reiškia, kad x(x+16) = 612.

Išspręsti pilnas kvadratines lygtis, o ši išraiška yra būtent tokia, negalima padaryti taip pat. Kodėl? Nors kairėje pusėje vis dar yra du faktoriai, jų sandauga visai nelygu 0, todėl čia naudojami skirtingi metodai.

Diskriminuojantis

Visų pirma, tada atlikime reikiamas transformacijas išvaizdašios išraiškos atrodys taip: x 2 + 16x - 612 = 0. Tai reiškia, kad gavome išraišką, atitinkančią anksčiau nurodytą standartą, kur a=1, b=16, c=-612.

Tai galėtų būti kvadratinių lygčių, naudojant diskriminantą, sprendimo pavyzdys. Čia atliekami būtini skaičiavimai pagal schemą: D = b 2 - 4ac. Šis pagalbinis dydis ne tik leidžia rasti reikiamus kiekius antros eilės lygtyje, bet ir nustato kiekį galimi variantai. Jei D>0, jų yra du; D=0 yra viena šaknis. Tuo atveju, kai D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Apie šaknis ir jų formulę

Mūsų atveju diskriminantas yra lygus: 256 - 4(-612) = 2704. Tai rodo, kad mūsų problema turi atsakymą. Jei žinote k, kvadratinių lygčių sprendimas turi būti tęsiamas naudojant toliau pateiktą formulę. Tai leidžia apskaičiuoti šaknis.

Tai reiškia, kad pateiktu atveju: x 1 =18, x 2 =-34. Antrasis variantas šioje dilemoje negali būti sprendimas, nes žemės sklypo matmenys negali būti matuojami neigiamais dydžiais, o tai reiškia, kad x (tai yra sklypo plotis) yra 18 m. Iš čia skaičiuojame ilgį: 18 +16=34, o perimetras 2(34+ 18)=104(m2).

Pavyzdžiai ir užduotys

Tęsiame kvadratinių lygčių tyrimą. Toliau bus pateikti kelių iš jų pavyzdžiai ir išsamūs sprendimai.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Viską perkelkime į kairę lygybės pusę, atliksime transformaciją, tai yra, gausime lygties tipą, kuris paprastai vadinamas standartiniu, ir prilyginsime jį nuliui.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sudėję panašius, nustatome diskriminantą: D = 49 - 48 = 1. Tai reiškia, kad mūsų lygtis turės dvi šaknis. Apskaičiuokime juos pagal aukščiau pateiktą formulę, o tai reiškia, kad pirmasis iš jų bus lygus 4/3, o antrasis - 1.

2) Dabar išspręskime kitokio pobūdžio paslaptis.

Išsiaiškinkime, ar čia yra šaknų x 2 - 4x + 5 = 1? Norėdami gauti išsamų atsakymą, sumažinkime daugianarį iki atitinkamos įprastos formos ir apskaičiuokime diskriminantą. Aukščiau pateiktame pavyzdyje kvadratinės lygties spręsti nebūtina, nes tai visai ne problemos esmė. Šiuo atveju D = 16 - 20 = -4, o tai reiškia, kad šaknų tikrai nėra.

Vietos teorema

Kvadratines lygtis patogu spręsti naudojant aukščiau pateiktas formules ir diskriminantą, kai iš pastarojo reikšmės imama kvadratinė šaknis. Tačiau taip nutinka ne visada. Tačiau šiuo atveju yra daug būdų, kaip gauti kintamųjų reikšmes. Pavyzdys: kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Ji pavadinta XVI amžiuje gyvenusio Prancūzijoje ir dėl savo matematinio talento bei ryšių rūmuose padariusio puikią karjerą. Jo portretą galima pamatyti straipsnyje.

Modelis, kurį pastebėjo garsus prancūzas, buvo toks. Jis įrodė, kad lygties šaknys skaičiais sumuojasi į -p=b/a, o jų sandauga atitinka q=c/a.

Dabar pažvelkime į konkrečias užduotis.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Kad būtų paprasčiau, pakeiskime išraišką:

x 2 + 7x - 18 = 0

Pasinaudokime Vietos teorema, tai duos mums taip: šaknų suma yra -7, o jų sandauga -18. Iš čia gauname, kad lygties šaknys yra skaičiai -9 ir 2. Patikrinę įsitikinsime, kad šios kintamųjų reikšmės tikrai tinka išraiškai.

Parabolės grafikas ir lygtis

Kvadratinės funkcijos ir kvadratinių lygčių sąvokos yra glaudžiai susijusios. To pavyzdžiai jau buvo pateikti anksčiau. Dabar pažvelkime į kai kurias matematines mįsles šiek tiek išsamiau. Bet kuri aprašyto tipo lygtis gali būti pavaizduota vizualiai. Toks santykis, nubraižytas kaip grafikas, vadinamas parabole. Įvairūs jo tipai pateikti paveikslėlyje žemiau.

Bet kuri parabolė turi viršūnę, tai yra tašką, iš kurio atsiranda jos šakos. Jei a>0, jie kyla aukštai iki begalybės, o kai a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualus funkcijų atvaizdavimas padeda išspręsti visas lygtis, įskaitant kvadratines. Šis metodas vadinamas grafiniu. O kintamojo x reikšmė yra abscisių koordinatė taškuose, kur grafiko linija susikerta su 0x. Viršūnės koordinates galima rasti naudojant ką tik pateiktą formulę x 0 = -b/2a. Ir pakeisdami gautą reikšmę į pradinę funkcijos lygtį, galite sužinoti y 0, tai yra, antrąją parabolės viršūnės koordinatę, kuri priklauso ordinačių ašiai.

Parabolės šakų susikirtimas su abscisių ašimi

Yra daug kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžių, tačiau yra ir bendrųjų modelių. Pažiūrėkime į juos. Akivaizdu, kad grafiko susikirtimas su 0x ašimi, kai a>0 yra įmanomas tik tuo atveju, jei y 0 neigiamos reikšmės. Ir už a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Priešingu atveju D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iš parabolės grafiko taip pat galite nustatyti šaknis. Taip pat yra priešingai. Tai yra, jei nėra lengva gauti vaizdinį kvadratinės funkcijos vaizdą, dešinę išraiškos pusę galite prilyginti 0 ir išspręsti gautą lygtį. O žinant susikirtimo taškus su 0x ašimi, grafiką sudaryti lengviau.

Iš istorijos

Naudojant lygtis, turinčias kvadratinį kintamąjį, senais laikais jie ne tik atlikdavo matematinius skaičiavimus ir nustatydavo geometrinių figūrų plotus. Tokių skaičiavimų senovės žmonėms prireikė dideliems atradimams fizikos ir astronomijos srityse, taip pat astrologinėms prognozėms daryti.

Kaip teigia šiuolaikiniai mokslininkai, Babilono gyventojai vieni pirmųjų išsprendė kvadratines lygtis. Tai įvyko keturis šimtmečius prieš mūsų erą. Žinoma, jų skaičiavimai kardinaliai skyrėsi nuo šiuo metu priimtų ir pasirodė esą daug primityvesni. Pavyzdžiui, Mesopotamijos matematikai neturėjo supratimo apie neigiamų skaičių egzistavimą. Jiems nebuvo pažįstamos ir kitos subtilybės, kurias žino bet kuris šiuolaikinis moksleivis.

Galbūt net anksčiau nei Babilono mokslininkai išminčius iš Indijos Baudhayama pradėjo spręsti kvadratines lygtis. Tai įvyko maždaug aštuonis šimtmečius prieš Kristaus erą. Tiesa, antros eilės lygtys, jų sprendimo būdai, kuriuos jis pateikė, buvo patys paprasčiausi. Be jo, senais laikais panašiais klausimais domėjosi ir kinų matematikai. Europoje kvadratinės lygtys pradėtos spręsti tik XIII amžiaus pradžioje, tačiau vėliau jas savo darbuose panaudojo tokie didieji mokslininkai kaip Niutonas, Dekartas ir daugelis kitų.