Minusas po minuso duoda ženklą. Kodėl minusas kartus minusas duoda pliusą?

"Mano priešo priešas yra mano draugas"

Kodėl minus vienas kartas minus vienas yra lygus plius vienas? Kodėl minus vienas kartas plius vienas lygus minus vienas? Lengviausias būdas atsakyti yra: „Nes tai yra veiksmų taisyklės neigiamus skaičius“ Taisyklės, kurių mokomės mokykloje ir taikome visą gyvenimą. Tačiau vadovėliuose nepaaiškinama, kodėl taisyklės yra tokios, kokios yra. Pirmiausia pabandysime tai suprasti remdamiesi aritmetikos raidos istorija, o tada atsakysime į šį klausimą šiuolaikinės matematikos požiūriu.

Seniai žmonės žinojo tik natūraliuosius skaičius: jie buvo naudojami indams, grobiui, priešams skaičiuoti ir pan. Tačiau patys skaičiai yra gana nenaudingi – reikia mokėti juos valdyti. Sudėjimas yra aiškus ir suprantamas, be to, dviejų natūraliųjų skaičių suma taip pat yra natūralusis skaičius (matematikas pasakytų, kad natūraliųjų skaičių aibė yra uždara atliekant sudėjimo operaciją). Daugyba iš esmės yra tokia pati, kaip sudėtis, jei kalbame apie natūraliuosius skaičius. Gyvenime dažnai atliekame veiksmus, susijusius su šiomis dviem operacijomis (pavyzdžiui, apsipirkdami pridedame ir dauginame), ir keista pagalvoti, kad mūsų protėviai su jomis susidūrė rečiau – sudėtį ir daugybą žmonija įvaldė labai ilgai. prieš. Dažnai tenka dalinti vienus kiekius iš kitų, tačiau čia rezultatas ne visada išreiškiamas natūraliuoju skaičiumi – štai kaip trupmeniniai skaičiai.

Žinoma, neapsieisite ir be atimties. Tačiau praktikoje mes dažniausiai atimame mažesnį skaičių iš didesnio skaičiaus ir nereikia naudoti neigiamų skaičių. (Jei aš turiu saldainių ir duosiu sesei, tada man liks saldainių, bet negaliu jai duoti saldainių net ir norėdama.) Tai gali paaiškinti, kodėl žmonės ilgą laiką nevartoja neigiamų skaičių.

Neigiami skaičiai Indijos dokumentuose atsirado nuo VII amžiaus mūsų eros; Kinai, matyt, pradėjo juos naudoti kiek anksčiau. Jie buvo naudojami skoloms apskaityti arba tarpiniams skaičiavimams supaprastinti lygčių sprendimą – tai tebuvo įrankis teigiamam atsakymui gauti. Tai, kad neigiami skaičiai, skirtingai nei teigiami skaičiai, neišreiškia jokio subjekto buvimo, sukėlė didelį nepasitikėjimą. Žmonės tiesiogine prasme vengė neigiamų skaičių: jei problema turėjo neigiamą atsakymą, jie tikėjo, kad atsakymo iš viso nėra. Šis nepasitikėjimas išliko labai ilgai, ir net Dekartas, vienas iš šiuolaikinės matematikos „įkūrėjų“, pavadino juos „klaidingais“ (XVII a.!).

Panagrinėkime lygtį kaip pavyzdį. Tai galima išspręsti taip: terminus su nežinomuoju perkelkite į kairę pusę, o likusius į dešinę, pasirodo , , . Su šiuo sprendimu mes net nesusidūrėme su neigiamais skaičiais.

Tačiau netyčia buvo galima padaryti kitaip: perkelkite terminus su nežinomuoju į dešinę ir gaukite , . Norėdami rasti nežinomąjį, turite padalyti vieną neigiamą skaičių iš kito: . Tačiau teisingas atsakymas žinomas ir belieka daryti tokią išvadą.

Ką parodo šis paprastas pavyzdys? Pirma, aiškėja logika, nulėmusi veiksmų su neigiamais skaičiais taisykles: šių veiksmų rezultatai turi sutapti su atsakymais, kurie gaunami kitaip, be neigiamų skaičių. Antra, leisdami naudoti neigiamus skaičius, atsikratome varginančio (jei lygtis pasirodo sudėtingesnė, su didelis skaičius terminai) ieškant sprendimo kelio, kuriame visi veiksmai atliekami tik natūraliuosius skaičius. Be to, mes galime nebegalvoti kiekvieną kartą apie transformuotų dydžių prasmingumą – ir tai jau žingsnis link matematikos pavertimo abstrakčiu mokslu.

Veikimo su neigiamais skaičiais taisyklės susiformavo ne iš karto, o tapo daugelio pavyzdžių, iškilusių sprendžiant taikomąsias problemas, apibendrinimu. Apskritai matematikos raidą galima suskirstyti į etapus: kiekvienas kitas etapas nuo ankstesnio skiriasi nauju abstrakcijos lygiu tiriant objektus. Taigi XIX amžiuje matematikai suprato, kad sveikieji skaičiai ir daugianariai, nepaisant visų išorinių skirtumų, turi daug bendro: abu galima sudėti, atimti ir dauginti. Šioms operacijoms galioja tie patys dėsniai – tiek skaičių, tiek daugianario atveju. Tačiau padalyti sveikuosius skaičius vieną iš kito taip, kad rezultatas vėl būtų sveikieji skaičiai, ne visada įmanoma. Tas pats ir su daugianariais.

Tada buvo atrasti kiti matematinių objektų rinkiniai, su kuriais galima atlikti tokias operacijas: formalios laipsnio eilutės, tolydžios funkcijos... Galiausiai atėjo supratimas, kad jei išstudijuoti pačių operacijų savybes, tada rezultatus galima pritaikyti visiems. šių objektų rinkinių (toks požiūris būdingas visai šiuolaikinei matematikai).

Dėl to atsirado nauja koncepcija – žiedas. Tai tik elementų rinkinys ir veiksmai, kuriuos galima atlikti su jais. Pagrindinės taisyklės čia yra būtent taisyklės (jos vadinamos aksiomomis), kurioms taikomi veiksmai, o ne aibės elementų prigimtis (čia ji yra, naujas lygis abstrakcijos!). Norėdami pabrėžti, kad svarbi yra struktūra, kuri atsiranda įvedus aksiomas, matematikai sako: sveikųjų skaičių žiedas, daugianarių žiedas ir tt Pradedant aksiomomis, galima išvesti ir kitas žiedų savybes.

Suformuluosime žiedo aksiomas (kurios, žinoma, panašios į veikimo su sveikais skaičiais taisykles), o tada įrodysime, kad bet kuriame žiede padauginus minusą iš minuso gaunamas pliusas.

Žiedas yra rinkinys su dviem dvejetainėmis operacijomis (ty kiekviena operacija apima du žiedo elementus), kurios tradiciškai vadinamos sudėjimu ir daugyba, ir šiomis aksiomomis:

Atkreipkite dėmesį, kad žiedams, esant bendriausiajai konstrukcijai, nereikia nei daugybos pakeičiamumo, nei jo nekeičiamumo (tai yra, ne visada galima atlikti padalijimą), nei vieneto - neutralaus daugybos elemento - egzistavimo. Jei įvesime šias aksiomas, gautume skirtingas algebrines struktūras, tačiau jose visos žiedams įrodytos teoremos bus teisingos.

Dabar įrodykime, kad bet kokiems elementams ir savavališkam žiedui tai yra teisinga, pirma, , ir, antra, . Teiginiai apie vienetus lengvai išplaukia iš to: ir .

Norėdami tai padaryti, turėsime nustatyti kai kuriuos faktus. Pirmiausia įrodome, kad kiekvienas elementas gali turėti tik vieną priešingybę. Tiesą sakant, tegul elementas turi dvi priešingybes: ir . Tai yra . Apsvarstykime sumą. Naudodami asociatyvinius ir komutacinius dėsnius bei nulio savybę, nustatome, kad, viena vertus, suma lygi , o kita vertus, lygi . Reiškia,.

Atkreipkite dėmesį, kad abu ir yra to paties elemento priešingybės, todėl jie turi būti lygūs.

Pirmasis faktas pasirodo taip: tai yra, jis yra priešingas, o tai reiškia, kad jis yra lygus.

Kad būtų matematiškai tikslūs, taip pat paaiškinkime, kodėl bet kuriam elementui . Iš tikrųjų, . Tai yra, pridėjus suma nesikeičia. Tai reiškia, kad šis produktas yra lygus nuliui.

O tai, kad žiede yra lygiai vienas nulis (juk aksiomos sako, kad toks elementas egzistuoja, bet apie jo išskirtinumą nieko nesakoma!), paliksime skaitytojui kaip paprastą pratimą.

Jevgenijus Epifanovas
"Elementai"

Komentarai: 0

Žakas Sesiano

Per du tūkstantmečius įvyko trys svarbūs skaitmeninės srities išplėtimai. Pirma, apie 450 m.pr.Kr. Pitagoro mokyklos mokslininkai įrodė neracionalių skaičių egzistavimą. Jų pradinis tikslas buvo skaitinė išraiška vienetinio kvadrato įstrižainės. Antra, XIII-XV amžiuje Europos mokslininkai sprendė sistemas tiesines lygtis, leido priimti vieną neigiamą sprendimą. Ir trečia, 1572 m. italų algebristas Raphaelis Bombelli naudojo kompleksinius skaičius, kad gautų realų tam tikros kubinės lygties sprendimą.

Proskuryakovas I. V.

Šios knygos tikslas – griežtai apibrėžti skaičius, daugianarius ir algebrines trupmenas bei pagrįsti jau iš mokyklos žinomas jų savybes, o ne supažindinti skaitytoją su naujomis savybėmis. Todėl skaitytojas čia neras jam naujų faktų (galbūt išskyrus kai kurias savybes, tikrus ir kompleksinius skaičius), o sužinos, kaip įrodomi jam gerai žinomi dalykai, pradedant nuo „du du yra keturi“ ir baigiant operacijų daugianariais taisyklėmis Ir algebrinės trupmenos. Tačiau skaitytojas susipažins su daugeliu bendrosios sąvokos, vaidina svarbų vaidmenį algebroje.

Ilja Ščurovas

Matematikas Ilja Ščurovas o po kablelio, skaičiaus Pi transcendencija ir neracionalumas.

Leonas Takhtajyanas

Tai bus keturios novelės. Pradėsime nuo skaičių, tada kalbėsime apie judėjimą, apie pokyčius, tada aptarsime formas ir dydžius, o tada pradžią ir pabaigą. Šiuo kiek užšifruotu stiliumi pabandysime pažvelgti į matematiką iš vidaus ir išorės, ir būtent kaip į dalyką. Apie ką mąsto ir kuo gyvena matematikai – apie tai galėsime pakalbėti vėliau.

Vladlenas Timorinas

Matematikas Vladlenas Timorinas apie kompleksinių skaičių pranašumus, Hamiltono ketvirčius, aštuoniamatius Cayley skaičius ir skaičių įvairovę geometrijoje.

Žakas Sesiano

Mes mažai žinome apie Diofantą. Manau, kad jis gyveno Aleksandrijoje. Nė vienas graikų matematikas jo nemini iki IV amžiaus, todėl greičiausiai jis gyveno III amžiaus viduryje. Labiausiai pagrindinis darbas Diophanta, „Aritmetika“ (Ἀριθμητικά), vyko 13 „knygų“ (βιβλία) pradžioje, t.y. Šiandien turime 10 iš jų, būtent: 6 graikiškame tekste ir 4 kiti viduramžių arabų kalbos vertimai, kurių vieta yra graikų knygų viduryje: I-III knygos graikų kalba, IV-VII arabų kalba, VIII-X graikų kalba. Diofanto „Aritmetika“ visų pirma yra uždavinių rinkinys, iš viso apie 260, tiesą pasakius, teorijos nėra. yra tik bendrosios instrukcijos knygos įžangoje ir prireikus privačius komentarus kai kuriose problemose. „Aritmetika“ jau turi algebrinio traktato bruožus. Pirmasis Diofanto panaudojimas skirtingi ženklai išreikšti nežinomybę ir jo galias, taip pat kai kuriuos skaičiavimus; kaip ir visa viduramžių algebrinė simbolika, jos simbolika kilusi iš matematinių žodžių. Tada Diofantas paaiškina, kaip išspręsti problemą algebriškai. Tačiau Diofanto problemos nėra algebrinės įprasta prasme, nes beveik visos jos susiveda į neapibrėžtos lygties ar tokių lygčių sistemų sprendimą.

Matematikos pasaulis neįsivaizduojamas be jų – be pirminių skaičių. Kas nutiko pirminiai skaičiai kuo jie ypatingi ir kokia jų reikšmė Kasdienybė? Šiame filme britų matematikos profesorius Marcusas du Sautoy atskleis pirminių skaičių paslaptį.

Georgijus Šabatas

Mokykloje mums visiems įskiepijama klaidinga mintis, kad racionaliųjų skaičių Q aibėje yra unikalus natūralusis atstumas (skirtumo modulis), kurio atžvilgiu visos aritmetinės operacijos yra tolydžios. Tačiau taip pat yra begalinis atstumų skaičius, vadinamasis p-adic, po vieną kiekvienam skaičiui p. Pagal Ostrovskio teoremą „įprastas“ atstumas kartu su visais p-adiniais jau tikrai išsemia visus protingus atstumus Q. Terminą adelic demokratija įvedė Yu I. Manin. Pagal adelic demokratijos principą, visi protingi atstumai ant Q yra lygūs prieš matematikos dėsnius (gal tik tradicinis "šiek tiek lygus..." Kursas supažindins su adelic žiedu, kuris leidžia dirbti). su visais šiais atstumais vienu metu.

Vladimiras Arnoldas

J. L. Lagrange'as įrodė, kad nepilnų koeficientų seka (pradedant nuo tam tikros vietos) yra periodinė tada ir tik tada, kai skaičius x yra kvadratinis iracionalumas. R. O. Kuzminas įrodė, kad beveik bet kurio realiojo skaičiaus nepilnųjų koeficientų sekoje trupmena d_m, lygi m nepilnųjų dalinių, yra vienoda (tipiniams realiiesiems skaičiams). Trupmena d_m mažėja kaip m→∞ kaip 1/m^2, o jos vertę numatė Gaussas (nieko neįrodęs). V.I. Arnol'as išreiškė (maždaug prieš 20 metų) hipotezę, kad Gauss-Kuzmin statistika d_m taip pat galioja tęstinių šaknų dalių laikotarpiams. kvadratines lygtis x^2+px+q=0 (su sveikuoju skaičiumi p ir q): jei kartu užrašysime nepilnus koeficientus, sudarančius tokių lygčių šaknų visų tęstinių trupmenų periodus su p^2+q^2≤R ^2, tada nepilno dalinio m dalis tarp jų bus linkusi į skaičių d_m kaip R→∞. V. A. Bykovskis ir jo chabarovsko studentai neseniai įrodė šią ilgametę hipotezę. Nepaisant to, ne raidžių, o iš jų sudarytų žodžių, kurie yra lygčių x^2+px+q=0 bet kokių šaknų x tęstinių trupmenų periodai, statistikos klausimas toli gražu nėra išspręstas.

Reed Miles

Pavadinimą ir abstrakciją palieku kiek įmanoma neaiškesnį, kad galėčiau kalbėti apie tai, ką tą dieną jaučiu. Daugelis veislių, kurios domina veislių klasifikaciją, gaunamos kaip Gorenšteino žiedo Spec arba Proj. Kodimenijoje 3 gerai žinoma struktūros teorija pateikia aiškius skaičiavimo su Gorenšteino žiedais metodus. Priešingai, nėra tinkamos struktūros teorijos žiedams, kurių matmenys 4. Nepaisant to, daugeliu atvejų Gorenšteino projekcija (ir jos atvirkštinė Kustino – Millerio neprojekcija) suteikia būdų, kaip atakuoti šiuos žiedus. Šie metodai taikomi sporadinėms taisyklingų algebrinių paviršių kanoninių žiedų klasėms ir sistemingesnėms Q-Fano 3 kartų konstrukcijoms, Sarkisovo sąsajoms tarp jų ir 3 kartų A tipo Mori teorijos poslinkiams.

Minusas ir pliusas yra neigiamų ir teigiamų skaičių ženklai matematikoje. Jie skirtingai sąveikauja su savimi, todėl atliekant bet kokias operacijas su skaičiais, pavyzdžiui, dalyba, daugyba, atėmimas, sudėtis ir pan., būtina atsižvelgti į pasirašyti taisykles. Be šių taisyklių niekada nepavyks išspręsti net paprasčiausio algebrinio ar geometrinio uždavinio. Nežinodami šių taisyklių negalėsite mokytis ne tik matematikos, bet ir fizikos, chemijos, biologijos ir net geografijos.

Pažvelkime atidžiau į pagrindines ženklų taisykles.

Padalinys.

Jei „pliusą“ padaliname iš „minuso“, visada gauname „minusą“. Jei „minusą“ padaliname iš „pliuso“, visada gauname ir „minusą“. Jei „pliusą“ padalinsime iš „pliuso“, gausime „pliusą“. Jei „minusą“ padalinsime iš „minuso“, kaip bebūtų keista, gauname ir „pliusą“.

Daugyba.

Jei „minusą“ padauginame iš „pliuso“, visada gauname „minusą“. Jei „pliusą“ padauginame iš „minuso“, visada gauname ir „minusą“. Jei „pliusą“ padauginsime iš „pliuso“, gausime teigiamą skaičių, tai yra „pliusą“. Tas pats pasakytina apie du neigiamus skaičius. Jei „minusą“ padauginsime iš „minuso“, gausime „pliusą“.

Atimtis ir pridėjimas.

Jie pagrįsti skirtingais principais. Jei neigiamas skaičius absoliučia verte yra didesnis nei mūsų teigiamas, tada rezultatas, žinoma, bus neigiamas. Žinoma, jums įdomu, kas yra modulis ir kodėl jis čia yra. Viskas labai paprasta. Modulis yra skaičiaus reikšmė, bet be ženklo. Pavyzdžiui -7 ir 3. Modulo -7 tiesiog bus 7, o 3 liks 3. Dėl to matome, kad 7 yra didesnis, tai yra, pasirodo, kad mūsų neigiamas skaičius yra didesnis. Taigi išeina -7+3 = -4. Jį galima padaryti dar paprasčiau. Tiesiog įdėkite teigiamą skaičių į pirmąją vietą ir jis išeis 3-7 = -4, galbūt kažkam tai yra aiškiau. Atimtis veikia lygiai tuo pačiu principu.

Du neigiami dalykai daro teigiamą– Tai taisyklė, kurios išmokome mokykloje ir taikome visą gyvenimą. O kam iš mūsų buvo įdomu kodėl? Žinoma, lengviau atsiminti šį teiginį neuždarant nereikalingų klausimų ir nesigilinti į problemos esmę. Dabar jau yra pakankamai informacijos, kurią reikia „suvirškinti“. Tačiau tiems, kurie vis dar domisi šiuo klausimu, pabandysime paaiškinti šį matematinį reiškinį.

Nuo seniausių laikų žmonės naudojo teigiamus natūraliuosius skaičius: 1, 2, 3, 4, 5,... Skaičiais buvo skaičiuojami gyvuliai, derliai, priešai ir kt. Sudėjus ir padauginus du teigiamus skaičius, jie visada gaudavo teigiamą skaičių dalijant vieną dydį iš kito, ne visada gaudavo natūraliuosius skaičius – taip atsirado trupmeniniai skaičiai. O atimti? Nuo vaikystės žinome, kad prie daugiau geriau pridėti mažiau, o iš daugiau atimti mažiau, ir vėlgi nenaudojame neigiamų skaičių. Pasirodo, jei turiu 10 obuolių, galiu kažkam duoti tik mažiau nei 10 ar 10. Jokiu būdu negaliu duoti 13 obuolių, nes aš jų neturiu. Neigiamų skaičių ilgai nereikėjo.

Tik nuo VII a. Neigiami skaičiai kai kuriose skaičiavimo sistemose buvo naudojami kaip pagalbiniai dydžiai, kurie leido gauti teigiamą skaičių atsakyme.

Pažiūrėkime į pavyzdį, 6x – 30 = 3x – 9. Norint rasti atsakymą, reikia kairėje pusėje palikti terminus su nežinomais, o likusius – dešinėje: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 Sprendžiant šią lygtį, mes net Nebuvo neigiamų skaičių. Terminus su nežinomaisiais galėtume perkelti į dešinę, o be nežinomųjų į kairę: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Neigiamą skaičių dalijant iš neigiamo, gauname teigiamą atsakymą: x = 7.

Ką mes matome?

Dirbdami su neigiamais skaičiais turėtume gauti tą patį atsakymą, kaip ir dirbant tik su skaičiais teigiami skaičiai. Nebereikia galvoti apie praktinį veiksmų neįmanomumą ir prasmingumą – jie padeda daug greičiau išspręsti problemą, nesumažinant lygties iki formos, kurioje yra tik teigiami skaičiai. Mūsų pavyzdyje mes nenaudojome sudėtingų skaičiavimų, tačiau jei yra daug terminų, skaičiavimai su neigiamais skaičiais gali palengvinti mūsų darbą.

Laikui bėgant, po ilgų eksperimentų ir skaičiavimų, buvo galima nustatyti taisykles, kurios reglamentuoja visus skaičius ir su jais susijusias operacijas (matematikoje jos vadinamos aksiomomis). Štai iš kur jis atsirado aksioma, teigianti, kad padauginus du neigiamus skaičius, gauname teigiamą skaičių.

www.svetainė, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Klausydamiesi matematikos mokytojo, dauguma mokinių medžiagą suvokia kaip aksiomą. Tuo pačiu metu nedaugelis bando įsijausti į esmę ir išsiaiškinti, kodėl „minusas“ iš „pliuso“ suteikia „minuso“ ženklą, o padauginus du neigiamus skaičius gaunamas teigiamas rezultatas.

Matematikos dėsniai

Dauguma suaugusiųjų negali paaiškinti nei sau, nei savo vaikams, kodėl taip nutinka. Jie tvirtai įsisavino šią medžiagą mokykloje, bet net nebandė išsiaiškinti, iš kur atsirado tokios taisyklės. Bet veltui. Dažnai šiuolaikiniai vaikai nėra tokie patiklūs, kad jiems reikia įsigilinti į esmę ir suprasti, tarkime, kodėl „pliusas“ ir „minusas“ suteikia „minusą“. Ir kartais berniukai sąmoningai užduoda keblius klausimus, kad galėtų mėgautis akimirka, kai suaugusieji negali duoti suprantamo atsakymo. Ir tai tikrai nelaimė, jei jaunas mokytojas patenka į bėdą...

Beje, reikia pastebėti, kad aukščiau minėta taisyklė galioja tiek dauginant, tiek dalinant. Neigiamo ir teigiamo skaičiaus sandauga duos tik „minusą“. Jeigu mes kalbame apie apie du skaitmenis su „-“ ženklu, rezultatas bus teigiamas skaičius. Tas pats pasakytina ir apie padalijimą. Jei vienas iš skaičių yra neigiamas, koeficientas taip pat turės ženklą „-“.

Norint paaiškinti šio matematikos dėsnio teisingumą, būtina suformuluoti žiedo aksiomas. Bet pirmiausia turite suprasti, kas tai yra. Matematikoje žiedu paprastai vadinama aibė, kurioje dalyvauja dvi operacijos su dviem elementais. Bet geriau tai suprasti pavyzdžiu.

Žiedo aksioma

Yra keli matematiniai dėsniai.

Pirmasis iš jų yra komutacinis, pagal jį C + V = V + C.
Antrasis vadinamas asociatyviniu (V + C) + D = V + (C + D).

Jiems paklūsta ir daugyba (V x C) x D = V x (C x D).

Niekas nepanaikino taisyklių, pagal kurias atidaromi skliaustai (V + C) x D = V x D + C x D, tiesa, kad C x (V + D) = C x V + C x D.

Be to, nustatyta, kad į žiedą galima įvesti specialų, papildomo neutralumo elementą, kurį naudojant bus teisinga: C + 0 = C. Be to, kiekvienam C yra priešingas elementas, kuris gali žymimas kaip (-C). Šiuo atveju C + (-C) = 0.

Neigiamų skaičių aksiomų išvedimas

Priėmę aukščiau pateiktus teiginius, galime atsakyti į klausimą: „Kokį ženklą duoda pliusas ir minusas? Žinant aksiomą apie neigiamų skaičių dauginimą, būtina patvirtinti, kad iš tiesų (-C) x V = -(C x V). Ir taip pat, kad ši lygybė yra teisinga: (-(-C)) = C.

Norėdami tai padaryti, pirmiausia turėsite įrodyti, kad kiekvienas elementas turi tik vieną priešingą „brolį“. Apsvarstykite toliau pateiktą įrodymo pavyzdį. Pabandykime įsivaizduoti, kad C du skaičiai yra priešingi - V ir D. Iš to išplaukia, kad C + V = 0 ir C + D = 0, tai yra, C + V = 0 = C + D. Prisimenant dėsnius komutaciją ir apie skaičiaus 0 savybes, galime svarstyti visų trijų skaičių sumą: C, V ir D. Pabandykime išsiaiškinti V reikšmę. Logiška, kad V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, nes C + D reikšmė, kaip buvo manoma aukščiau, lygi 0. Tai reiškia, kad V = V + C + D.

D reikšmė išvedama taip pat: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Remiantis tuo, paaiškėja, kad V = D.

Kad suprastumėte, kodėl „pliusas“ prie „minuso“ vis tiek suteikia „minusą“, turite suprasti šiuos dalykus. Taigi elementui (-C) C ir (-(-C)) yra priešingi, tai yra, jie yra lygūs vienas kitam.

Tada akivaizdu, kad 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Iš to išplaukia, kad C x V yra (-)C x V priešingybė, o tai reiškia (- C) x V = -(C x V).

Siekiant visiško matematinio griežtumo, taip pat būtina patvirtinti, kad 0 x V = 0 bet kuriam elementui. Jei vadovausitės logika, tai 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Tai reiškia, kad sudėjus sandaugą 0 x V, nustatyta suma niekaip nekeičiama. Juk šis produktas lygus nuliui.

Žinodami visas šias aksiomas, galite išvesti ne tik tai, kiek duoda „pliusas“ ir „minusas“, bet ir tai, kas nutinka padauginus neigiamus skaičius.

Dviejų skaičių padauginimas ir padalijimas su „-“ ženklu

Jei nesigilinate į matematinius niuansus, galite pabandyti paprasčiau paaiškinti veikimo su neigiamais skaičiais taisykles.

Tarkime, kad C - (-V) = D, remiantis tuo, C = D + (-V), tai yra, C = D - V. Perkeliame V ir gauname, kad C + V = D. Tai yra, C + V = C - (-V). Šis pavyzdys paaiškina, kodėl reiškinyje, kuriame yra du „minusai“ iš eilės, minėti ženklai turėtų būti pakeisti į „pliusą“. Dabar pažiūrėkime į daugybą.

(-C) x (-V) = D, prie išraiškos galite pridėti ir atimti du vienodus sandaugus, kurie nepakeis jo reikšmės: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Prisimindami darbo su skliausteliais taisykles, gauname:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Iš to išplaukia, kad C x V = (-C) x (-V).

Panašiai galima įrodyti, kad padalijus du neigiamus skaičius gaunamas teigiamas skaičius.

Bendrosios matematikos taisyklės

Žinoma, šis paaiškinimas netinka pradinių klasių mokiniams, kurie tik pradeda mokytis abstrakčių neigiamų skaičių. Jiems geriau paaiškinti ant matomų objektų, manipuliuodami terminu, esančiu už stiklo, su kuriuo jie žino. Pavyzdžiui, ten stovi sugalvoti, bet neegzistuojantys žaislai. Jie gali būti rodomi su „-“ ženklu. Padauginus du veidrodinius objektus, jie perkeliami į kitą pasaulį, kuris prilyginamas tikrajam, tai yra, dėl to gauname teigiamus skaičius. Tačiau padauginus abstraktų neigiamą skaičių iš teigiamo, gaunamas tik visiems žinomas rezultatas. Juk „pliusas“ padaugintas iš „minuso“ duoda „minusą“. Tiesa, vaikai tikrai nesistengia perprasti visų matematinių niuansų.

Nors, pripažinkime, daugeliui žmonių net ir su Aukštasis išsilavinimas Daugelis taisyklių lieka paslaptimi. Kiekvienas laiko savaime suprantamu dalyku tai, ko mokytojai juos moko, nesunkiai įsigilina į visus matematikos slypinčius sudėtingumus. „Minusas“ reiškia „minusą“ suteikia „pliusą“ - tai žino visi be išimties. Tai galioja tiek sveikiesiems, tiek trupmeniniams skaičiams.

Tik nuo VII a. Neigiami skaičiai kai kuriose skaičiavimo sistemose buvo naudojami kaip pagalbiniai dydžiai, kurie leido gauti teigiamą skaičių atsakyme.

Ką mes matome?

Dirbdami su neigiamais skaičiais turėtume gauti tą patį atsakymą, kaip ir dirbant tik su teigiamais skaičiais. Nebereikia galvoti apie praktinį veiksmų neįmanomumą ir prasmingumą – jie padeda daug greičiau išspręsti problemą, nesumažinant lygties iki formos, kurioje yra tik teigiami skaičiai. Mūsų pavyzdyje mes nenaudojome sudėtingų skaičiavimų, tačiau jei yra daug terminų, skaičiavimai su neigiamais skaičiais gali palengvinti mūsų darbą.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

1) Kodėl minus vienas kartas minus vienas yra plius vienas?

2) Kodėl minus vienas karto plius vienas yra minus vienas?

Mano priešo priešas yra mano draugas

Lengviausias atsakymas yra: „Kadangi tai yra taisyklės dirbant su neigiamais skaičiais“. Taisyklės, kurių mokomės mokykloje ir taikome visą gyvenimą. Tačiau vadovėliuose nepaaiškinama, kodėl taisyklės yra tokios, kokios yra. Pirmiausia pabandysime tai suprasti remdamiesi aritmetikos raidos istorija, o tada atsakysime į šį klausimą šiuolaikinės matematikos požiūriu.

Seniai žmonės žinojo tik natūraliuosius skaičius: 1, 2, 3,... Jais buvo skaičiuojami reikmenys, grobis, priešai ir t.t.. Tačiau patys skaičiai visai nenaudingi – reikia mokėti su jais elgtis. Sudėjimas yra aiškus ir suprantamas, be to, dviejų natūraliųjų skaičių suma taip pat yra natūralusis skaičius (matematikas pasakytų, kad natūraliųjų skaičių aibė yra uždara atliekant sudėjimo operaciją). Daugyba iš esmės yra tokia pati, kaip sudėtis, jei kalbame apie natūraliuosius skaičius. Gyvenime dažnai atliekame veiksmus, susijusius su šiomis dviem operacijomis (pavyzdžiui, apsipirkdami pridedame ir dauginame), ir keista pagalvoti, kad mūsų protėviai su jomis susidūrė rečiau – sudėtį ir daugybą žmonija įvaldė labai ilgai. prieš. Dažnai tenka vienus dydžius dalinti iš kitų, tačiau čia rezultatas ne visada išreiškiamas natūraliuoju skaičiumi – taip atsirado trupmeniniai skaičiai.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygtį 7x – 17 = 2x – 2. Tai galima išspręsti taip: terminus su nežinomuoju perkelkite į kairę pusę, o likusius į dešinę, paaiškės 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Su šiuo sprendimu mes net nesusidūrėme su neigiamais skaičiais.

Bet buvo galima netyčia padaryti kitaip: perkelti terminus su nežinomybe į dešinę pusę ir gauti 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Norėdami rasti nežinomąjį, turite padalyti vieną neigiamą skaičių iš kito: x = (–15) / (–5). Tačiau teisingas atsakymas žinomas ir belieka daryti tokią išvadą (–15)/(–5) = 3 .

Ką parodo šis paprastas pavyzdys? Pirma, aiškėja logika, nulėmusi veikimo su neigiamais skaičiais taisykles: šių veiksmų rezultatai turi sutapti su kitu būdu gautais atsakymais, be neigiamų skaičių. Antra, leisdami naudoti neigiamus skaičius, atsikratome nuobodžios (jei lygtis pasirodo sudėtingesnė, su daugybe terminų) sprendimo, kuriame visi veiksmai būtų atliekami tik su natūraliaisiais skaičiais, paieškos. Be to, mes galime nebegalvoti kiekvieną kartą apie transformuotų dydžių prasmingumą – ir tai jau žingsnis link matematikos pavertimo abstrakčiu mokslu.

Dėl to atsirado nauja koncepcija: žiedas. Tai tik elementų rinkinys ir veiksmai, kuriuos galima atlikti su jais. Pagrindinės taisyklės čia yra taisyklės (jos vadinamos aksiomos), kuriems taikomi veiksmai, o ne aibės elementų pobūdis (čia tai naujas abstrakcijos lygis!). Norėdami pabrėžti, kad svarbi yra struktūra, kuri atsiranda įvedus aksiomas, matematikai sako: sveikųjų skaičių žiedas, daugianarių žiedas ir tt Pradedant aksiomomis, galima išvesti ir kitas žiedų savybes.

Suformuluosime žiedo aksiomas (kurios, žinoma, panašios į veikimo su sveikais skaičiais taisykles), o tada įrodysime, kad bet kuriame žiede padauginus minusą iš minuso gaunamas pliusas.

Žiedas yra aibė su dviem dvejetainėmis operacijomis (ty kiekviena operacija apima du žiedo elementus), kurios tradiciškai vadinamos sudėjimu ir daugyba, ir šiomis aksiomomis:

žiedo elementų pridėjimas priklauso nuo komutacinio ( A + B = B + A bet kokiems elementams A Ir B) ir asociatyvus ( A + (B + C) = (A + B) + C) įstatymai; žiede yra specialus elementas 0 (neutralus elementas pagal papildymą) toks, kad A+0=A, ir bet kuriam elementui A yra priešingas elementas (žymimas (–A)), Ką A + (–A) = 0;
daugyba paklūsta kombinaciniam dėsniui: A·(B·C) = (A·B)·C;
Sudėjimas ir daugyba yra susiję su šiomis skliaustų atidarymo taisyklėmis: (A + B) C = A C + B C Ir A (B + C) = A B + A C.

Dabar mes tai įrodome bet kokiems elementams A Ir B savavališkas žiedas yra tiesa, pirma, (–A) B = – (A B), ir antra (–(–A)) = A. Teiginiai apie vienetus lengvai išplaukia iš to: (–1) 1 = – (1 1) = –1 Ir (–1) · (–1) = – ((–1) · 1) = – (–1) = 1.

Norėdami tai padaryti, turėsime nustatyti kai kuriuos faktus. Pirmiausia įrodome, kad kiekvienas elementas gali turėti tik vieną priešingybę. Tiesą sakant, tegul elementas A yra dvi priešingybės: B Ir SU. Tai yra A + B = 0 = A + C. Apsvarstykime sumą A+B+C. Naudodami asociatyvinius ir komutacinius dėsnius bei nulio savybę, gauname, kad, viena vertus, suma lygi B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ir, kita vertus, jis yra lygus C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Reiškia, B=C.

Dabar atkreipkime dėmesį į tai A, Ir (–(–A)) yra to paties elemento priešingybės (–A), todėl jie turi būti vienodi.

Pirmas faktas skamba taip: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, tai yra (–A)·B priešingas A·B, tai reiškia, kad jis yra lygus – (A B).

Kad būtų matematiškai griežti, taip pat paaiškinkime, kodėl 0 · B = 0 bet kuriam elementui B. Iš tikrųjų, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. Tai yra papildymas 0·B sumos nekeičia. Tai reiškia, kad šis produktas yra lygus nuliui.

O tai, kad žiede yra lygiai vienas nulis (juk aksiomos sako, kad toks elementas egzistuoja, bet apie jo išskirtinumą nieko nesakoma!), paliksime skaitytojui kaip paprastą pratimą.

Tikrai, kodėl? Lengviausias atsakymas yra: „Kadangi tai yra taisyklės dirbant su neigiamais skaičiais“. Taisyklės, kurių mokomės mokykloje ir taikome visą gyvenimą. Tačiau vadovėliuose nepaaiškinama, kodėl taisyklės yra tokios, kokios yra. Prisimename, kad būtent taip ir yra, ir nebekeliame klausimo.

Paklauskime savęs...

Žinoma, neapsieisite ir be atimties. Tačiau praktikoje mes dažniausiai atimame mažesnį skaičių iš didesnio skaičiaus ir nereikia naudoti neigiamų skaičių. (Jei aš turiu 5 saldainius, o sesei duosiu 3, tada man liks 5–3 = 2 saldainiai, bet aš negaliu jai duoti 7 saldainių, net jei norėčiau.) Tai gali paaiškinti, kodėl žmonės nenaudoja neigiamų skaičių ilgas laikas.

Neigiami skaičiai Indijos dokumentuose atsirado nuo VII amžiaus mūsų eros; Kinai, matyt, pradėjo juos naudoti kiek anksčiau. Jie buvo naudojami skoloms apskaityti arba tarpiniams skaičiavimams supaprastinti lygčių sprendimą – tebuvo įrankis teigiamam atsakymui gauti. Tai, kad neigiami skaičiai, skirtingai nei teigiami skaičiai, neišreiškia jokio subjekto buvimo, sukėlė didelį nepasitikėjimą. Žmonės tiesiogine prasme vengė neigiamų skaičių: jei problema turėjo neigiamą atsakymą, jie tikėjo, kad atsakymo iš viso nėra. Šis nepasitikėjimas išliko labai ilgai, ir net Dekartas, vienas iš šiuolaikinės matematikos „įkūrėjų“, pavadino juos „klaidingais“ (XVII a.!).

Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygtį 7x - 17 = 2x - 2. Galima išspręsti taip: terminus su nežinomuoju perkelkite į kairę pusę, o likusius į dešinę, gausite 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Su šiuo Mūsų sprendime net nesusidūrėme su neigiamais skaičiais.

Bet netyčia buvo galima padaryti kitaip: perkelkite terminus su nežinomuoju į dešinę ir gaukite 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Norint rasti nežinomąjį, reikia padalyti vieną neigiamą skaičių iš kito: x = (-15)/(-5). Tačiau teisingas atsakymas žinomas ir belieka daryti išvadą, kad (-15)/(-5) = 3.

Ką parodo šis paprastas pavyzdys? Pirma, aiškėja logika, nulėmusi veiksmų su neigiamais skaičiais taisykles: šių veiksmų rezultatai turi sutapti su atsakymais, kurie gaunami kitaip, be neigiamų skaičių. Antra, leisdami naudoti neigiamus skaičius, atsikratome nuobodžios (jei lygtis pasirodo sudėtingesnė, su daugybe terminų) sprendimo, kuriame visi veiksmai būtų atliekami tik su natūraliaisiais skaičiais, paieškos. Be to, galime nebegalvoti kiekvieną kartą apie transformuojamų dydžių prasmingumą – ir tai jau žingsnis link matematikos pavertimo abstrakčiu mokslu.

Veikimo su neigiamais skaičiais taisyklės susiformavo ne iš karto, o tapo daugelio pavyzdžių, iškilusių sprendžiant taikomąsias problemas, apibendrinimu. Apskritai matematikos raidą galima suskirstyti į etapus: kiekvienas kitas etapas nuo ankstesnio skiriasi nauju abstrakcijos lygiu tiriant objektus. Taigi XIX amžiuje matematikai suprato, kad sveikieji skaičiai ir daugianariai, nepaisant visų išorinių skirtumų, turi daug bendro: abu galima sudėti, atimti ir dauginti. Šios operacijos paklūsta tiems patiems dėsniams – tiek skaičių, tiek daugianario atveju. Tačiau padalyti sveikuosius skaičius vieną iš kito taip, kad rezultatas vėl būtų sveikieji skaičiai, ne visada įmanoma. Tas pats ir su daugianariais.

Dėl to atsirado nauja koncepcija – žiedas. Tai tik elementų rinkinys ir veiksmai, kuriuos galima atlikti su jais. Pagrindinės čia yra būtent taisyklės (jos vadinamos aksiomomis), kurioms pavaldūs veiksmai, o ne aibės elementų prigimtis (čia tai naujas abstrakcijos lygis!). Norėdami pabrėžti, kad svarbi yra struktūra, kuri atsiranda įvedus aksiomas, matematikai sako: sveikųjų skaičių žiedas, daugianarių žiedas ir tt Pradedant aksiomomis, galima išvesti ir kitas žiedų savybes.

Suformuluosime žiedo aksiomas (kurios, žinoma, panašios į veikimo su sveikais skaičiais taisykles), o tada įrodysime, kad bet kuriame žiede padauginus minusą iš minuso gaunamas pliusas.

Žiedas yra rinkinys su dviem dvejetainėmis operacijomis (ty kiekviena operacija apima du žiedo elementus), kurios tradiciškai vadinamos sudėjimu ir daugyba, ir šiomis aksiomomis:

Žiedo elementų pridėjimas paklūsta komutaciniams (A + B = B + A bet kokiems elementams A ir B) ir kombinaciniams (A + (B + C) = (A + B) + C) dėsniams; žiede yra specialus elementas 0 (neutralus elementas pagal pridėjimą), kad A + 0 = A, o bet kuriam elementui A yra priešingas elementas (žymimas (-A)), kad A + (-A) = 0 ;
-daugyba paklūsta kombinacijos dėsniui: A·(B·C) = (A·B)·C;
Sudėjimas ir daugyba yra susieti pagal šias skliaustų atidarymo taisykles: (A + B) C = A C + B C ir A (B + C) = A B + A C.

Dabar įrodykime, kad bet kokiems savavališko žiedo elementams A ir B yra tiesa, pirma, (-A) B = -(A B), ir, antra, (-(-A)) = A. Tai lengvai seka teiginius apie vienetus. : (-1) 1 = -(1 1) = -1 ir (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Norėdami tai padaryti, turėsime nustatyti kai kuriuos faktus. Pirmiausia įrodome, kad kiekvienas elementas gali turėti tik vieną priešingybę. Tiesą sakant, tegul elementas A turi dvi priešingybes: B ir C. Tai yra, A + B = 0 = A + C. Apsvarstykite sumą A + B + C. Naudodami asociatyvinius ir komutacinius dėsnius bei nulio savybę, mes gaukite, kad, viena vertus, suma lygi B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, kita vertus, ji lygi C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Taigi B = C.

Atkreipkite dėmesį, kad A ir (-(-A)) yra to paties elemento (-A) priešingybės, todėl jie turi būti lygūs.

Pirmasis faktas pasirodo taip: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, tai yra, (-A) B yra priešingas A B, o tai reiškia, kad jis yra lygus - (A·B).

Kad būtų matematiškai tikslūs, taip pat paaiškinkime, kodėl 0·B = 0 bet kuriam elementui B. Iš tiesų, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Tai yra, pridėjus 0·B, suma nesikeičia. Tai reiškia, kad šis produktas yra lygus nuliui.

O tai, kad žiede yra lygiai vienas nulis (juk aksiomos sako, kad toks elementas egzistuoja, bet apie jo išskirtinumą nieko nesakoma!), paliksime skaitytojui kaip paprastą pratimą.

Jevgenijus Epifanovas