Bendras antrosios eilės diferencialinės lygties sprendimas internete. Diferencialinių lygčių sprendimas internete
I. Paprastosios diferencialinės lygtys
1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai
Diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį x, reikalinga funkcija y ir jo dariniai arba diferencialai.
Simboliškai diferencialinė lygtis parašyta taip:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
Diferencialinė lygtis vadinama įprasta, jei reikiama funkcija priklauso nuo vieno nepriklausomo kintamojo.
Diferencialinės lygties sprendimas vadinama funkcija, kuri šią lygtį paverčia tapatybe.
Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios išvestinės, įtrauktos į šią lygtį, eilė
Pavyzdžiai.
1. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį
Šios lygties sprendimas yra funkcija y = 5 ln x. Tikrai, pakeičiant y"į lygtį, gauname tapatybę.
O tai reiškia, kad funkcija y = 5 ln x– yra šios diferencialinės lygties sprendimas.
2. Apsvarstykite antros eilės diferencialinę lygtį y" – 5y" +6y = 0. Funkcija yra šios lygties sprendimas.
Tikrai,.
Pakeitę šias išraiškas į lygtį, gauname: , – tapatybę.
Ir tai reiškia, kad funkcija yra šios diferencialinės lygties sprendimas.
Diferencialinių lygčių integravimas vadinamas sprendimų paieškos procesu diferencialines lygtis.
Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas vadinama formos funkcija 
, kuri apima tiek nepriklausomų savavališkų konstantų, kiek yra lygties tvarka.
Dalinis diferencialinės lygties sprendimas yra sprendimas, gautas iš bendro sprendimo įvairioms savavališkų konstantų skaitinėms reikšmėms. Savavališkų konstantų reikšmės randamos esant tam tikroms pradinėms argumento ir funkcijos reikšmėms.
Tam tikro diferencialinės lygties sprendinio grafikas vadinamas integralinė kreivė.
Pavyzdžiai
1. Raskite konkretų pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimą
xdx + ydy = 0, Jei y= 4 val x = 3.
Sprendimas. Integruodami abi lygties puses, gauname
komentuoti. Savavališka konstanta C, gauta integruojant, gali būti pavaizduota bet kokia forma, patogia tolimesnėms transformacijoms. Šiuo atveju, atsižvelgiant į kanoninę apskritimo lygtį, savavališką konstantą C patogu pavaizduoti formoje .
- bendras sprendimas diferencialinė lygtis.
Ypatingas lygties sprendimas, tenkinantis pradines sąlygas y = 4 val x = 3 randamas iš bendrosios, pradines sąlygas pakeitus bendruoju sprendiniu: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Į bendrąjį sprendinį pakeitę C=5, gauname x 2 + y 2 = 5 2 .
Tai yra specialus diferencialinės lygties sprendimas, gautas iš bendro sprendimo tam tikromis pradinėmis sąlygomis.
2. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendinį
Šios lygties sprendimas yra bet kuri formos funkcija, kur C yra savavališka konstanta. Iš tiesų, pakeitę , į lygtis, gauname: , .
Vadinasi, ši diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių, nes skirtingoms konstantos C reikšmėms lygybė nustato skirtingus lygties sprendinius.
Pavyzdžiui, tiesioginiu pakeitimu galite patikrinti, ar veikia 
yra lygties sprendiniai.
Problema, kurioje reikia rasti konkretų lygties sprendimą y" = f(x,y) tenkinantis pradinę sąlygą y(x 0) = y 0, vadinama Koši problema.
Lygties sprendimas y" = f(x,y), atitinkantys pradinę sąlygą, y(x 0) = y 0, vadinamas Koši problemos sprendimu.
Koši problemos sprendimas turi paprastą geometrinę reikšmę. Iš tikrųjų pagal šiuos apibrėžimus išspręskite Koši problemą y" = f(x,y) turint omenyje y(x 0) = y 0, reiškia lygties integralinės kreivės radimą y" = f(x,y) kuri eina per tam tikrą tašką M 0 (x 0,y 0).
II. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys
2.1. Pagrindinės sąvokos
Pirmosios eilės diferencialinė lygtis yra formos lygtis F(x,y,y") = 0.
Pirmosios eilės diferencialinė lygtis apima pirmąją išvestinę ir neapima aukštesnės eilės išvestinių.
Lygtis y" = f(x,y) vadinama pirmosios eilės lygtimi, išspręsta išvestinės atžvilgiu.
Bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurioje yra viena savavališka konstanta.
Pavyzdys. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį.
Šios lygties sprendimas yra funkcija.
Iš tiesų, pakeitę šią lygtį jos verte, gauname
tai yra 3x = 3x
Todėl funkcija yra bendras bet kurios konstantos C lygties sprendimas.
Raskite konkretų šios lygties sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą y(1)=1 Pradinių sąlygų pakeitimas x = 1, y = 1į bendrąjį lygties sprendinį, gauname iš kur C=0.
Taigi, mes gauname konkretų sprendimą iš bendrojo, pakeisdami į šią lygtį gautą reikšmę C=0– privatus sprendimas.
2.2. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais
Diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais yra tokios formos lygtis: y"=f(x)g(y) arba per diferencialus, kur f(x) Ir g(y)– nurodytos funkcijos.
Tiems y, kuriam , lygtis y"=f(x)g(y) yra lygiavertis lygčiai, 
kuriame kintamasis y yra tik kairėje pusėje, o kintamasis x yra tik dešinėje. Jie sako: „Eq. y"=f(x)g(y Atskirkime kintamuosius“.
Formos lygtis vadinama atskirtųjų kintamųjų lygtimi.
Abiejų lygties pusių integravimas Autorius x, mes gauname G(y) = F(x) + C yra lygties bendrasis sprendinys, kur G(y) Ir F(x)– kai kurie antidariniai, atitinkamai, funkcijų ir f(x), C savavališka konstanta.
Pirmos eilės diferencialinės lygties su atskiriamais kintamaisiais sprendimo algoritmas
1 pavyzdys
Išspręskite lygtį y" = xy
Sprendimas. Funkcijos išvestinė y" pakeiskite jį
atskirkime kintamuosius
Integruokime abi lygybės puses:
2 pavyzdys
2yy" = 1-3x 2, Jei y 0 = 3 adresu x 0 = 1
Tai atskirta kintamųjų lygtis. Įsivaizduokime tai diferencialuose. Norėdami tai padaryti, perrašome šią lygtį į formą 
Iš čia 
Integruodami abi paskutinės lygybės puses, randame
Pradinių reikšmių pakeitimas x 0 = 1, y 0 = 3 rasime SU 9=1-1+C, t.y. C = 9.
Todėl reikalingas dalinis integralas bus 
arba 
3 pavyzdys
Parašykite kreivės, einančios per tašką, lygtį M(2;-3) ir turintys liestinę su kampiniu koeficientu
Sprendimas. Pagal būklę
Tai lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Padalinę kintamuosius, gauname: 
Integravę abi lygties puses, gauname: 
Naudojant pradines sąlygas, x = 2 Ir y = – 3 rasime C:
Todėl reikiama lygtis turi formą 
2.3. Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys
Pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra formos lygtis y" = f(x)y + g(x)
Kur f(x) Ir g(x)- kai kurios nurodytos funkcijos.
Jeigu g(x)=0 tada tiesinė diferencialinė lygtis vadinama vienalyte ir turi tokią formą: y" = f(x)y
Jei tada lygtis y" = f(x)y + g(x) vadinamas heterogenišku.
Bendrasis tiesinės vienalytės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y pateikiama pagal formulę: kur SU– savavališka konstanta.
Visų pirma, jei C = 0, tada sprendimas yra y = 0 Jei tiesinė vienalytė lygtis turi formą y" = ky Kur k yra kokia nors konstanta, tada jos bendrasis sprendinys turi formą: .
Bendrasis tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y + g(x) pateikiama pagal formulę 
,
tie. yra lygi atitinkamos tiesinės vienarūšės lygties bendrojo sprendinio ir šios lygties konkretaus sprendinio sumai.
Tiesinei nehomogeninei formos lygčiai y" = kx + b,
Kur k Ir b- kai kurie skaičiai ir konkretus sprendimas bus pastovi funkcija. Todėl bendras sprendimas turi formą .
Pavyzdys. Išspręskite lygtį y" + 2y +3 = 0
Sprendimas. Pavaizduokime lygtį formoje y" = -2y - 3 Kur k = -2, b = -3 Bendras sprendimas pateikiamas formule.
Todėl kur C yra savavališka konstanta.
2.4. Pirmosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas Bernulio metodu
Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties bendro sprendimo radimas y" = f(x)y + g(x) redukuoja iki dviejų diferencialinių lygčių su atskirtais kintamaisiais išsprendimo naudojant pakaitalą y=uv, Kur u Ir v- nežinomos funkcijos iš x. Šis sprendimo metodas vadinamas Bernulio metodu.
Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimo algoritmas
y" = f(x)y + g(x)
1. Įveskite pakaitalą y=uv.
2. Išskirkite šią lygybę y" = u"v + uv"
3. Pakaitalas y Ir y"į šią lygtį: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) arba u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Sugrupuokite lygties narius taip u išimkite jį iš skliaustų:
5. Iš skliausto, prilygindami jį nuliui, raskite funkciją
Tai yra atskiriama lygtis: 
Padalinkime kintamuosius ir gausime: 
Kur 
.
.
6. Pakeiskite gautą reikšmę vį lygtį (nuo 4 žingsnio):
ir raskite funkciją Tai lygtis su atskiriamais kintamaisiais:
7. Bendrąjį sprendimą parašykite tokia forma: 
, t.y. .
1 pavyzdys
Raskite konkretų lygties sprendimą y" = -2y +3 = 0 Jeigu y = 1 adresu x = 0
Sprendimas. Išspręskime tai naudodami pakaitalą y=uv,.y" = u"v + uv"
Pakeičiant y Ir y"į šią lygtį gauname
Sugrupuodami antrąjį ir trečiąjį dėmenis kairėje lygties pusėje, išimame bendrą koeficientą u iš skliaustų
Išraišką skliausteliuose prilyginame nuliui ir išsprendę gautą lygtį randame funkciją v = v(x)
Gauname lygtį su atskirtais kintamaisiais. Integruokime abi šios lygties puses: Raskite funkciją v:
Pakeiskime gautą reikšmę vį lygtį gauname:
Tai atskirta kintamųjų lygtis. Integruokime abi lygties puses: 
Raskime funkciją u = u(x,c) 
Raskime bendrą sprendimą: 
Raskime konkretų lygties sprendimą, kuris tenkintų pradines sąlygas y = 1 adresu x = 0:
III. Aukštesnės eilės diferencialinės lygtys
3.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai
Antros eilės diferencialinė lygtis yra lygtis, turinti ne aukštesnes nei antros eilės išvestines. Bendruoju atveju antros eilės diferencialinė lygtis rašoma taip: F(x,y,y,y") = 0
Bendras antros eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurią sudaro dvi savavališkos konstantos C 1 Ir C 2.
Konkretus antros eilės diferencialinės lygties sprendimas yra sprendimas, gautas iš bendro sprendinio tam tikroms savavališkų konstantų reikšmėms C 1 Ir C 2.
3.2. Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastovūs koeficientai.
Antros eilės tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais vadinama formos lygtimi y" + py" +qy = 0, Kur p Ir q- pastovios vertės.
Homogeninių antros eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo algoritmas
1. Parašykite diferencialinę lygtį tokia forma: y" + py" +qy = 0.
2. Sudarykite jai būdingą lygtį, pažymėdami y" per r 2, y" per r, y 1: r 2 + pr + q = 0
Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimų pavyzdžiai.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais
Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai kelia siaubą paprastam žmogui. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo pernelyg sudėtingos ir sunkiai įvaldomos. Uuuuuu... diferencialinės lygtys, kaip man visa tai išgyventi?!
Tokia nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės klaidingi, nes iš tikrųjų DIFERENCINĖS LYGTYBĖS – PAPRASTAS IR NET LINKSMAS. Ką reikia žinoti ir mokėti, kad išmoktum spręsti diferencialines lygtis? Norėdami sėkmingai studijuoti difuziją, turite mokėti integruotis ir diferencijuoti. Kuo geriau nagrinėjamos temos Vieno kintamojo funkcijos išvestinė Ir Neapibrėžtas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau padorų integracijos įgūdžių, tada tema jau beveik įvaldyta! Kuo daugiau integralų įvairių tipųžinai, kaip nuspręsti – tuo geriau. Kodėl? Turėsite daug integruotis. Ir atskirti. Taip pat labai rekomenduojama išmokti rasti.
95% atvejų į bandymai Yra 3 pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipai: atskiriamas lygtis kurią apžvelgsime šioje pamokoje; vienarūšės lygtys Ir tiesinės nehomogeninės lygtys. Tiems, kurie pradeda studijuoti difuzorius, patariu perskaityti pamokas būtent tokia tvarka, o išstudijavus pirmuosius du straipsnius, nepakenks sustiprinti savo įgūdžius papildomame seminare - lygtys redukuojamos į vienarūšes.
Yra dar retesnių diferencialinių lygčių tipų: visuminės diferencialinės lygtys, Bernulio lygtys ir kai kurios kitos. Svarbiausios iš paskutinių dviejų tipų yra lygtys suminiuose diferencialuose, nes be šios diferencialinės lygties manau nauja medžiaga – dalinė integracija.
Jei liko tik diena ar dvi, Tai itin greitam paruošimui Yra žaibo kursas pdf formatu.
Taigi, orientyrai nustatyti – eime:
Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys: . Ką reiškia išspręsti įprastą lygtį? Tai reiškia rasti skaičių rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį: . Kad būtų smagu, patikrinkime ir pakeiskime rastą šaknį į mūsų lygtį:
– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas buvo rastas teisingai.
Difuzoriai sukurti panašiai!
Diferencialinė lygtis Pirmas užsakymas apskritai yra:
1) nepriklausomas kintamasis;
2) priklausomasis kintamasis (funkcija);
3) pirmoji funkcijos išvestinė: .
Kai kuriose pirmosios eilės lygtyse gali nebūti „x“ ir (arba) „y“, tačiau tai nėra reikšminga - svarbu eiti į valdymo kambarį buvo pirmasis vedinys ir neturėjo aukštesnių eilių išvestiniai – , ir kt.
Ką reiškia ? Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visų funkcijų rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą (– savavališką konstantą), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.
1 pavyzdys
Išspręskite diferencialinę lygtį
Pilna amunicija. Kur pradėti sprendimas?
Visų pirma, reikia perrašyti išvestinę šiek tiek kitokia forma. Primename sudėtingą pavadinimą, kuris tikriausiai daugeliui iš jūsų atrodė juokingas ir nereikalingas. Štai kas galioja difuzoriuose!
Antrame žingsnyje pažiūrėkime, ar tai įmanoma atskiri kintamieji? Ką reiškia atskirti kintamuosius? Apytiksliai kalbant, kairėje pusėje mums reikia išvykti tik "graikai", A dešinėje pusėje organizuoti tik "X". Kintamųjų skirstymas atliekamas naudojant „mokyklines“ manipuliacijas: iškeliant juos iš skliaustų, perkeliant terminus iš dalies į dalį keičiant ženklą, perkeliant veiksnius iš dalies į dalį pagal proporcingumo taisyklę ir kt.
Diferencialai ir yra visiški karo veiksmų skleidėjai ir aktyvūs dalyviai. Nagrinėjamame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami sumetant veiksnius pagal proporcingumo taisyklę:
Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje yra tik „Y“, dešinėje – tik „X“.
Kitas etapas - diferencialinės lygties integravimas. Tai paprasta, mes dedame integralus iš abiejų pusių:
Žinoma, reikia imti integralus. Šiuo atveju jie yra lentelėse:
Kaip prisimename, konstanta priskiriama bet kokiam antidariniui. Čia yra du integralai, bet konstantą užtenka parašyti vieną kartą (kadangi konstanta + konstanta vis tiek yra lygi kitai konstantai). Daugeliu atvejų jis dedamas dešinėje pusėje.
Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas yra tai, kad mūsų „y“ neišreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas numanomame forma. Diferencialinės lygties sprendimas implicitine forma vadinamas bendrasis diferencialinės lygties integralas. Tai yra, tai yra bendras integralas.
Atsakymas šia forma yra gana priimtinas, bet ar yra geresnis pasirinkimas? Pabandykime gauti bendras sprendimas.
Prašau, prisiminkite pirmąją techniką, tai labai dažna ir dažnai naudojama atliekant praktines užduotis: jei po integravimo dešinėje pusėje atsiranda logaritmas, tai daugeliu atvejų (bet ne visada!) konstantą taip pat patartina rašyti po logaritmu.
Tai yra, VIETOJ dažniausiai rašomi įrašai 
.
Kodėl tai būtina? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „žaidimą“. Naudojant logaritmų savybę 
. Tokiu atveju:
Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:
Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.
Atsakymas: bendras sprendimas: 
.
Atsakymus į daugelį diferencialinių lygčių gana lengva patikrinti. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai, imame rastą sprendimą ir jį išskiriame:
Tada išvestinę pakeičiame į pradinę lygtį:
– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas tenkina lygtį, kurią ir reikėjo patikrinti.
Suteikti konstantą skirtingos reikšmės, galite gauti be galo daug privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Akivaizdu, kad bet kuri iš funkcijų , ir kt. tenkina diferencialinę lygtį.
Kartais vadinamas bendrasis sprendimas funkcijų šeima. IN šiame pavyzdyje bendras sprendimas 
- tai šeima tiesinės funkcijos, tiksliau, tiesioginio proporcingumo šeima.
Nuodugniai peržiūrėjus pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į keletą naivų klausimų apie diferencialines lygtis:
1)Šiame pavyzdyje mes galėjome atskirti kintamuosius. Ar tai visada galima padaryti? Ne ne visada. Ir dar dažniau kintamųjų negalima atskirti. Pavyzdžiui, in vienarūšės pirmos eilės lygtys, pirmiausia turite jį pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, pirmos eilės tiesinėje nehomogeninėje lygtyje, norint rasti bendrą sprendimą, reikia naudoti įvairius metodus ir metodus. Lygtys su atskiriamais kintamaisiais, kurias svarstome pirmoje pamokoje, yra paprasčiausias diferencialinių lygčių tipas.
2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne ne visada. Labai lengva sugalvoti „įmantrią“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra integralų, kurių negalima imti. Tačiau tokius DE galima apytiksliai išspręsti naudojant specialius metodus. D'Alembertas ir Košis garantuoja... ...ugh, slepiasi daugiau.Kad tik dabar daug skaityčiau, aš beveik pridėjau „iš kito pasaulio“.
3) Šiame pavyzdyje mes gavome sprendimą bendro integralo pavidalu 
. Ar visada galima rasti bendrą sprendimą iš bendro integralo, tai yra, aiškiai išreikšti „y“? Ne ne visada. Pavyzdžiui: . Na, kaip čia galima išreikšti „graikiškai“? Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti rašomas kaip bendrasis integralas. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip gremėzdiškai ir nerangiai, kad geriau palikti atsakymą bendro integralo forma
4) ...galbūt kol kas užteks. Pirmajame pavyzdyje, su kuriuo susidūrėme Kitas svarbus punktas , bet kad „manekenų“ neapimčiau naujos informacijos lavina, paliksiu tai kitai pamokai.
Mes neskubėsime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir kitas tipiškas sprendimas:
2 pavyzdys
Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą
Sprendimas: pagal būklę reikia susirasti privatus sprendimas DE, kuris tenkina nurodytą pradinę sąlygą. Ši klausimo formuluotė taip pat vadinama Cauchy problema.
Pirmiausia randame bendrą sprendimą. Lygtyje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų klaidinti, svarbiausia, kad ji turėtų pirmąją išvestinę.
Išvestinę perrašome į tinkama forma:
Akivaizdu, kad kintamuosius galima atskirti, berniukus į kairę, mergaites į dešinę:
Integruokime lygtį: 
Gaunamas bendrasis integralas. Čia aš nupiešiau konstantą su žvaigždute, tiesa, kad labai greitai ji pavirs kita konstanta.
Dabar bandome paversti bendrąjį integralą bendruoju sprendimu (aiškiai išreikškite „y“). Prisiminkime senus gerus dalykus iš mokyklos: 
. Tokiu atveju:
Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip nekošeriškai, todėl dažniausiai nuleidžiama ant žemės. Išsamiai, taip atsitinka. Naudodamiesi laipsnių savybe, funkciją perrašome taip:
Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, perskirkime ją raide:
Atminkite, kad konstanta yra „nugriauti“. antroji technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.
Taigi bendras sprendimas yra toks: . Tai puiki eksponentinių funkcijų šeima.
Paskutiniame etape turite rasti konkretų sprendimą, kuris tenkintų nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat paprasta.
Kokia užduotis? Reikia pasiimti toks konstantos reikšmę, kad sąlyga būtų įvykdyta.
Jis gali būti suformatuotas įvairiais būdais, bet tai tikriausiai bus aiškiausias būdas. Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviem:
Tai yra,
Standartinė dizaino versija:
Dabar rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendimu:
– tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.
Atsakymas: privatus sprendimas:
Patikrinkime. Privataus sprendimo tikrinimas susideda iš dviejų etapų:
Pirmiausia reikia patikrinti, ar konkretus rastas sprendimas tikrai atitinka pradinę sąlygą? Vietoj „X“ pakeičiame nulį ir pamatome, kas atsitiks:
– Taip, jūs tikrai gavote du, vadinasi, pradinė sąlyga yra įvykdyta.
Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestinę:
Į pradinę lygtį pakeičiame:
– gaunama teisinga lygybė.
Išvada: konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.
Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.
3 pavyzdys
Išspręskite diferencialinę lygtį
Sprendimas: Išvestinę perrašome mums reikalinga forma: 
Vertiname, ar galima atskirti kintamuosius? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę, pakeisdami ženklą: 
Ir mes perkeliame daugiklius pagal proporcingumo taisyklę: 
Kintamieji yra atskirti, integruokime abi dalis: 
Turiu jus perspėti, kad teismo diena artėja. Jei gerai nesimokote neapibrėžtieji integralai, išsprendėte keletą pavyzdžių, tada nebėra kur dėtis – dabar turėsite juos įvaldyti.
Kairiosios pusės integralą lengva rasti su kotangento integralu naudodamiesi standartine technika, kurią apžvelgėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas praeitais metais: 
Dešinėje pusėje turime logaritmą, ir pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją konstanta taip pat turėtų būti parašyta po logaritmu.
Dabar bandome supaprastinti bendrąjį integralą. Kadangi turime tik logaritmus, tai visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Naudojant žinomos savybės Kiek įmanoma „pakuojame“ logaritmus. Aš parašysiu labai išsamiai: 
Pakuotė baigta, kad būtų barbariškai suplyšusi: 
Ar įmanoma išreikšti „žaidimą“? Gali. Būtina išlyginti abi dalis kvadratu.
Bet jums to daryti nereikia.
Trečias techninis patarimas: jei norint gauti bendrą sprendimą reikia pakelti į galią arba įsišaknyti, tada Daugeliu atvejų turėtumėte susilaikyti nuo šių veiksmų ir palikti atsakymą bendro integralo forma. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog baisus - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.
Todėl atsakymą rašome bendro integralo forma. Laikoma gera praktika pateikti jį forma , tai yra, dešinėje pusėje, jei įmanoma, palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet įtikti profesoriui visada naudinga ;-)
Atsakymas: bendras integralas:
! Pastaba: Bendrasis bet kurios lygties integralas gali būti parašytas daugiau nei vienu būdu. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutampa su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad lygtį išsprendėte neteisingai.
Bendrąjį integralą taip pat gana lengva patikrinti, svarbiausia, kad būtų galima rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė. Išskirkime atsakymą: 
Abu terminus padauginame iš: 
Ir padalinti iš: 
Pradinė diferencialinė lygtis buvo gauta tiksliai, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.
4 pavyzdys
Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.
Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas.
Leiskite jums priminti, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) bendro sprendimo radimas;
2) rasti reikiamą konkretų sprendimą.
Patikra taip pat atliekama dviem etapais (žr. pavyzdį 2 pavyzdyje), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad konkretus rastas sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas paprastai atitinka diferencialinę lygtį.
Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
5 pavyzdys
Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą 
, tenkinantis pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.
Sprendimas: Pirma, suraskime bendrą sprendimą. Šioje lygtyje jau yra paruošti diferencialai, todėl sprendimas yra supaprastintas. Mes atskiriame kintamuosius: 
Integruokime lygtį: 
Kairėje esantis integralas yra lentelės formos, o dešinėje esantis integralas imamas funkcijos įtraukimo po diferencialiniu ženklu metodas:
Gautas bendrasis integralas, ar galima sėkmingai išreikšti bendrąjį sprendimą? Gali. Iš abiejų pusių pakabiname logaritmus. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai nereikalingi: 
(Tikiuosi, kad visi supranta transformaciją, tokius dalykus jau reikėtų žinoti)
Taigi bendras sprendimas yra toks:
Raskime tam tikrą sprendimą, atitinkantį pateiktą pradinę sąlygą.
Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviejų logaritmą: 
Labiau pažįstamas dizainas:
Rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendiniu.
Atsakymas: privatus sprendimas:
Patikrinkite: Pirmiausia patikrinkime, ar įvykdyta pradinė sąlyga:
- viskas yra gerai.
Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas iš viso atitinka diferencialinę lygtį. Išvestinio radimas:
Pažvelkime į pradinę lygtį: 
– jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rastos išvestinės:
Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeisime pradine lygtimi 
: 
Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę: 
Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.
Antrasis tikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties 
Išreikškime išvestinę, kad tai padarytume, visas dalis padaliname iš: 
O į transformuotą DE pakeičiame gautą dalinį sprendinį ir rastą išvestinę. Dėl supaprastinimų taip pat turėtų būti pasiekta teisinga lygybė.
6 pavyzdys
Išspręskite diferencialinę lygtį. Pateikite atsakymą bendro integralo forma.
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, užbaigti sprendimą ir atsakyti pamokos pabaigoje.
Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais?
1) Ne visada akivaizdu (ypač „arbatinukui“), kad kintamuosius galima atskirti. Panagrinėkime sąlyginį pavyzdį: . Čia reikia išimti veiksnius iš skliaustų: ir atskirti šaknis: . Aišku ką daryti toliau.
2) Sunkumai su pačia integracija. Integralai dažnai nėra patys paprasčiausi, o jei yra trūkumų rasti įgūdžių neapibrėžtas integralas, tada su daugybe difuzorių bus sunku. Be to, logika „kadangi diferencialinė lygtis paprasta, tegul integralai būna sudėtingesni“ yra populiari tarp rinkinių ir mokymo vadovų sudarytojų.
3) Transformacijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, konstanta diferencialinėse lygtyse gali būti tvarkoma gana laisvai, o kai kurios transformacijos ne visada yra aiškios pradedantiesiems. Pažvelkime į kitą sąlyginį pavyzdį: 
. Patartina visus terminus padauginti iš 2: 
. Gauta konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti taip: 
. Taip, ir kadangi dešinėje pusėje yra logaritmas, patartina konstantą perrašyti kitos konstantos forma: 
.
Bėda ta, kad jie dažnai nesivargina su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas yra tokios formos: 
Kokia erezija? Čia yra klaidų! Griežtai kalbant, taip. Tačiau, žiūrint iš esmės, klaidų nėra, nes transformuojant kintamąją konstantą vis tiek gaunama kintamoji konstanta.
Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendrasis integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: 
. Formaliai čia yra dar viena klaida – reikia rašyti dešinėje. Tačiau neoficialiai numanoma, kad „minus ce“ vis dar yra pastovus ( kuris taip pat lengvai gali turėti bet kokią reikšmę!), todėl dėti „minusą“ nėra prasmės ir galite naudoti tą pačią raidę.
Stengsiuosi vengti neatsargaus požiūrio, o konvertuojant konstantoms vis tiek priskirti skirtingus indeksus.
7 pavyzdys
Išspręskite diferencialinę lygtį. Atlikite patikrinimą.
Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Mes atskiriame kintamuosius: 
Integruokime: 
Nebūtina konstantos čia apibrėžti kaip logaritmą, nes iš to nieko naudingo nebus.
Atsakymas: bendras integralas:
Patikrinkite: atskirkite atsakymą ( numanoma funkcija):
Atsikratome trupmenų, padaugindami abu terminus iš: 
Gauta pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.
8 pavyzdys
Raskite konkretų DE sprendimą.
,
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Vienintelė užuomina yra ta, kad čia gausite bendrąjį integralą, o teisingiau tariant, turite sugalvoti, kad rastumėte ne konkretų sprendimą, o dalinis integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Arba jau buvo išspręstos dėl išvestinės išvestinės priemonės, arba jos gali būti išspręstos atsižvelgiant į išvestinę priemonę 
.
Bendras sprendimas diferencialines lygtisįveskite intervalą X, kuris pateiktas, galima rasti imant abiejų šios lygybės pusių integralą.
Mes gauname 
.
Jei pažvelgsime į neapibrėžto integralo savybes, rasime norimą bendrą sprendimą:
y = F(x) + C,
Kur F(x)- viena iš primityvių funkcijų f(x) tarp X, A SU- savavališka konstanta.
Atkreipkite dėmesį, kad daugumoje problemų intervalas X nenurodyti. Tai reiškia, kad sprendimas turi būti rastas kiekvienam. x, kuriai ir norima funkcija y, o pradinė lygtis turi prasmę.
Jei reikia apskaičiuoti konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą y(x 0) = y 0, tada apskaičiavus bendrąjį integralą y = F(x) + C, vis tiek reikia nustatyti konstantos reikšmę C = C 0, naudojant pradinę sąlygą. Tai yra, konstanta C = C 0 nustatoma iš lygties F(x 0) + C = y 0, o norimas dalinis diferencialinės lygties sprendimas bus toks:
y = F(x) + C 0.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Raskime bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir patikrinkime rezultato teisingumą. Raskime konkretų šios lygties sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą.
Sprendimas:
Integravę pateiktą diferencialinę lygtį, gauname:
.
Paimkime šį integralą naudodami integravimo dalimis metodą:
Tai., 
yra bendras diferencialinės lygties sprendimas.
Norėdami įsitikinti, kad rezultatas yra teisingas, patikrinkite. Norėdami tai padaryti, rastą sprendimą pakeičiame į pateiktą lygtį:
.
Tai yra, kada 
pradinė lygtis virsta tapatybe:
todėl bendras diferencialinės lygties sprendinys buvo nustatytas teisingai.
Mūsų rastas sprendimas yra bendras kiekvienos diferencialinės lygties sprendimas galioja argumentų vertės x.
Belieka apskaičiuoti konkretų ODE sprendimą, kuris atitiktų pradinę sąlygą. Kitaip tariant, reikia apskaičiuoti konstantos reikšmę SU, kurioje lygybė bus teisinga:
.
.
Tada, pakeičiant C = 2Į bendrą ODE sprendimą gauname konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkina pradinę sąlygą:
.
Paprastoji diferencialinė lygtis 
išvestinę galima išspręsti 2 lygties puses padalijus iš f(x). Ši transformacija bus lygiavertė, jei f(x) jokiomis aplinkybėmis nevirsta į nulį x nuo diferencialinės lygties integravimo intervalo X.
Tikėtinos situacijos, kai dėl kai kurių argumento vertybių x ∈ X funkcijas f(x) Ir g(x) vienu metu tapti nuliu. Dėl panašių vertybių x bendrasis diferencialinės lygties sprendimas yra bet kuri funkcija y, kuris juose apibrėžtas, nes .
Jei kai kurioms argumentų reikšmėms x ∈ X sąlyga yra įvykdyta, o tai reiškia, kad šiuo atveju ODE neturi sprendimų.
Visiems kitiems x nuo intervalo X iš transformuotos lygties nustatomas bendrasis diferencialinės lygties sprendinys.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
1 pavyzdys.
Raskime bendrą ODE sprendimą: 
.
Sprendimas.
Iš pagrindinių elementariųjų funkcijų savybių aišku, kad funkcija natūralusis logaritmas yra apibrėžtas neneigiamoms argumentų reikšmėms, todėl išraiškos apimtis yra ln(x+3) yra intervalas x > -3 . Tai reiškia, kad pateikta diferencialinė lygtis yra prasminga x > -3 . Šioms argumentų reikšmėms išraiška x+3 neišnyksta, todėl išvestinės ODE galite išspręsti padalydami 2 dalis iš x + 3.
Mes gauname 
.
Toliau integruojame gautą diferencialinę lygtį, išspręstą atsižvelgiant į išvestinę: 
. Norėdami paimti šį integralą, naudojame diferencialo ženklo sumavimo metodą.
Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).
Diferencialinės lygties tvarka vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.
Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.
Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės.
Diferencialinė lygtis n eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki n-oji eilė ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškiai tam tikros eilės išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.
Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.
Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x), pakeitus į lygtį, ji virsta tapatybe.
Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.
1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.
Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą . Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antiderivatinė, t.y.
Štai kas yra šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje C, gausime skirtingus sprendimus. Išsiaiškinome, kad pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinių yra be galo daug.
Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.
1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.
Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.
2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą 
.
Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.
,
.
Dėl to gavome bendrą sprendimą -
pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.
Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite
.
Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tai tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrą lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.
3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto .
Sprendimas. Pradinės sąlygos reikšmes pakeisime bendruoju sprendimu y = 3, x= 1. Gauname
Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:
Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia gerų integravimo ir išvestinių įgūdžių, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.
4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.
Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.
.
Taikome integravimo keičiant kintamąjį metodą (pakeitimą). Tegul tada būna.
Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija(„obuolys“ - ekstrahavimas kvadratinė šaknis arba, kas yra tas pats - pakėlimas į galią „pusė“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):
Mes randame integralą:
Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:
.
Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.
Ne tik įgūdžiai iš ankstesnes dalis sprendžiant diferencialines lygtis prireiks aukštosios matematikos, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės, matematikos įgūdžių. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.
