Origami 4 dimensijų hiperkubas. Keturių dimensijų hiperkubas

Daugiamatių erdvių doktrina pradėjo atsirasti XIX amžiaus viduryje. Keturių dimensijų erdvės idėją iš mokslininkų pasiskolino mokslinės fantastikos rašytojai. Savo darbuose jie pasauliui papasakojo apie nuostabius ketvirtosios dimensijos stebuklus.

Savo kūrinių herojai, pasinaudodami keturmatės erdvės savybėmis, nepažeisdami lukšto galėjo suvalgyti kiaušinio turinį, o atsigerti – neatplėšę butelio kamštelio. Vagys iš seifo išnešė lobį per ketvirtą dimensiją. Chirurgai atliko vidaus organų operacijas, nepjaustydami paciento kūno audinių.

Tesseraktas

Geometrijoje hiperkubas yra kvadrato (n = 2) ir kubo (n = 3) n matmenų analogija. Keturių matmenų mūsų įprasto 3 dimensijos kubo analogas yra žinomas kaip tesseraktas. Tesraktas yra prie kubo, kaip kubas yra prie kvadrato. Formaliau tesseraktą galima apibūdinti kaip taisyklingą išgaubtą keturių dimensijų daugiakampį, kurio ribą sudaro aštuonios kubinės ląstelės.

Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, nepaliekant trimatės erdvės.
Vienmatėje „erdvėje“ - tiesėje - pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Rezultatas yra kvadratinis CDBA. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą CDBAGHFE. O kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) perkėlus atstumu L, gauname hiperkubą CDBAGHFEKLJIOPNM.

Panašiai galime tęsti hiperkubų samprotavimus daugiau matmenų, bet daug įdomiau pamatyti, kaip mums, trimatės erdvės gyventojams, atrodys keturmatis hiperkubas.

Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš krašto. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubraižyti du kvadratus (jos artimą ir tolimąją briauną), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniais kraštais. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus projektuojamos pačios „dėžės“ - trimačiai veidai, o juos jungiančios linijos tęsis ketvirtosios ašies kryptimi. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.

Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs jo veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie perspektyvoje atrodys kaip gana sudėtinga figūra. Pats keturmatis hiperkubas gali būti suskirstytas į begalinį skaičių kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.

Iškirpę šešis trimačio kubo veidus, galite jį suskaidyti į plokščią figūrą – vystymąsi. Jis turės kvadratą kiekvienoje pradinio veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. O trimatį keturmačio hiperkubo plėtojimą sudarys originalus kubas, šeši iš jo „išaugantys“ kubeliai ir dar vienas - galutinis „hiperveidas“.

Tesseract yra tokia įdomi figūra, kad ji ne kartą patraukė rašytojų ir filmų kūrėjų dėmesį.
Robertas E. Heinleinas kelis kartus paminėjo hiperkubus. Knygoje The House That Teal Built (1940 m.) jis apibūdino namą, pastatytą kaip nesupakuotą tesraktą, o vėliau dėl žemės drebėjimo „sulankstytas“ į ketvirtą dimensiją, kad taptų „tikra“ tesraktu. Heinleino romane „Šlovės kelias“ aprašoma itin didelė dėžutė, kurios vidus buvo didesnis nei išorė.

Henrio Kuttnerio apsakyme „Visi Tenali Borogov“ aprašomas lavinantis žaislas vaikams iš tolimos ateities, savo struktūra panašus į tesaraktą.

„Cube 2“ siužetas: „Hypercube“ centre yra aštuoni nepažįstamieji, įstrigę „hiperkube“ arba sujungtų kubų tinkle.

Paralelinis pasaulis

Matematinės abstrakcijos sukėlė idėją apie paralelinių pasaulių egzistavimą. Tai suprantama kaip realybės, egzistuojančios kartu su mūsų, bet nepriklausomai nuo jos. Gali būti paralelinis pasaulis įvairių dydžių: nuo nedidelės geografinės zonos iki visos visatos. Paraleliniame pasaulyje įvykiai vyksta savaip, jis gali skirtis nuo mūsų pasaulio tiek atskiromis detalėmis, tiek beveik viskuo. Be to, paralelinio pasaulio fiziniai dėsniai nebūtinai yra panašūs į mūsų Visatos dėsnius.

Ši tema yra palanki dirva mokslinės fantastikos rašytojams.

Salvadoro Dali paveikslas „Nukryžiavimas“ vaizduoja tesseraktą. „Nukryžiavimas arba hiperkubinis kūnas“ – ispanų menininko Salvadoro Dali paveikslas, nutapytas 1954 m. Vaizduojamas nukryžiuotasis Jėzus Kristus ant tesserakto nuskaitymo. Paveikslas saugomas Metropoliteno meno muziejuje Niujorke

Viskas prasidėjo 1895 m., kai H.G. Wellsas su savo istorija „Durys sienoje“ atvėrė mokslinei fantastikai paralelinių pasaulių egzistavimą. 1923 m. Wellsas grįžo prie lygiagrečių pasaulių idėjos ir viename iš jų pastatė utopinę šalį, į kurią keliauja romano „Vyrai kaip dievai“ veikėjai.

Romanas neliko nepastebėtas. 1926 metais pasirodė G. Dento pasakojimas „Šalio imperatorius „Jeigu““ Dento pasakojime pirmą kartą kilo mintis, kad gali būti šalių (pasaulių), kurių istorija gali vykti kitaip nei tikrų šalių istorija. mūsų pasaulyje ir jie yra ne mažiau tikri nei mūsų.

1944 m. Jorge Luisas Borgesas savo knygoje „Išgalvotos istorijos“ paskelbė apsakymą „Išsišakojančių takų sodas“. Čia išsišakojusio laiko idėja pagaliau buvo išreikšta itin aiškiai.
Nepaisant aukščiau išvardytų kūrinių pasirodymo, daugelio pasaulių idėja mokslinėje fantastikoje pradėjo rimtai vystytis tik XX amžiaus ketvirtojo dešimtmečio pabaigoje, maždaug tuo pačiu metu, kai panaši idėja kilo fizikoje.

Vienas iš naujos mokslinės fantastikos krypties pradininkų buvo Johnas Bixby, pasakojime „One Way Street“ (1954 m.), siūlęs, kad tarp pasaulių galima judėti tik viena kryptimi – iš savo pasaulio pereidamas į paralelinį, jūs negrįšite atgal, bet pereisite iš vieno pasaulio į kitą. Tačiau grįžimas į savo pasaulį taip pat neatmestas - tam būtina, kad pasaulių sistema būtų uždaryta.

Cliffordo Simako romane „Žiedas aplink saulę“ (1982) aprašoma daugybė planetų Žemė, kurių kiekviena egzistuoja savo pasaulyje, bet yra toje pačioje orbitoje, ir šie pasauliai bei šios planetos skiriasi tik nežymiu (mikrosekundės) laiko poslinkiu. Daugybė žemių, kurias aplankė romano formos herojus vieninga sistema pasauliai.

Alfredas Besteris apsakyme „Žmogus, kuris nužudė Mahometą“ (1958) išsakė įdomų požiūrį į pasaulių išsišakojimą. „Keisdamas praeitį, – tvirtino istorijos herojus, – tu ją pakeisi tik dėl savęs. Kitaip tariant, po pasikeitimo praeityje atsiranda istorijos atšaka, kurioje šis pasikeitimas egzistuoja tik veikėjui, kuris padarė pasikeitimą.

Brolių Strugackių apsakyme „Pirmadienis prasideda šeštadienį“ (1962) aprašomos veikėjų kelionės į skirtingi variantai aprašė ateities mokslinės fantastikos rašytojai – priešingai nei mokslinėje fantastikoje jau egzistavusios kelionės į pasaulį įvairių variantų praeities.

Tačiau net paprastas visų kūrinių, paliečiančių paralelinių pasaulių temą, išvardijimas užtruktų per daug laiko. Ir nors mokslinės fantastikos rašytojai, kaip taisyklė, moksliškai nepagrindžia daugiamatiškumo postulato, jie yra teisūs dėl vieno dalyko – tai hipotezė, kuri turi teisę egzistuoti.
Ketvirtoji tesserakto dimensija vis dar laukia mūsų apsilankymo.

Viktoras Savinovas

Dar būdamas pirmo kurso studentas karštai susiginčijau su vienu savo klasės draugu. Jis sakė, kad keturmatis kubas negali būti pavaizduotas jokia forma, bet aš patikinau, kad jis gali būti pavaizduotas gana aiškiai. Tada net iš sąvaržėlių padariau hiperkubo projekciją ant mūsų trimatės erdvės... Bet pakalbėkime apie viską iš eilės.
Kas yra hiperkubas (tesseraktas) ir keturių matmenų erdvė
Mūsų įprasta erdvė turi tris matmenis. Geometriniu požiūriu tai reiškia, kad jame gali būti nurodytos trys viena kitai statmenos linijos. Tai yra, bet kuriai linijai galite rasti antrą eilutę, statmeną pirmajai, o porai galite rasti trečią eilutę, statmeną pirmiesiems dviem. Nebebus galima rasti ketvirtos tiesės, statmenos esamoms trims.

Keturmatė erdvė nuo mūsų skiriasi tik tuo, kad turi dar vieną papildomą kryptį. Jei jau turite tris viena kitai statmenas linijas, galite rasti ketvirtą, tokią, kad ji būtų statmena visoms trims.
Hiperkubas yra tiesiog kubas keturmatėje erdvėje.
Ar įmanoma įsivaizduoti keturmatę erdvę ir hiperkubą?
Šis klausimas yra panašus į klausimą: „ar įmanoma įsivaizduoti Paskutinę vakarienę žiūrint į Leonardo da Vinci (1452–1519) to paties pavadinimo (1495–1498) paveikslą?
Viena vertus, jūs, žinoma, neįsivaizduosite, ką matė Jėzus (jis sėdi veidu į žiūrovą), juolab kad už lango neužuosite sodo kvapo ir neparaguosite maisto ant stalo, negirdėsite paukščių. dainavimas... Viso to, kas vyko tą vakarą, vaizdo negausi, bet negalima sakyti, kad nieko naujo nesužinosi ir kad vaizdas neįdomus.
Panaši situacija ir su hiperkubo klausimu. Neįmanoma iki galo to įsivaizduoti, bet galima priartėti prie supratimo, kas tai yra.

Erdvė-laikas ir Euklido keturmatė erdvė
Tikiuosi, kad jums pavyko įsivaizduoti hiperkubą. Bet ar jums pavyko priartėti prie supratimo, kaip veikia keturių dimensijų erdvėlaikis, kuriame gyvename? Deja, ne visai.
Čia mes kalbėjome apie Euklido keturių dimensijų erdvę, tačiau erdvės laikas turi visiškai kitokias savybes. Visų pirma, bet kokio sukimosi metu segmentai visada lieka pasvirę į laiko ašį arba mažesniu nei 45 laipsnių kampu, arba didesniu nei 45 laipsniais.

Keturmatės erdvės gyventojo projekcijos ir vizija
Keletas žodžių apie regėjimą
Mes gyvename trimačiame pasaulyje, bet matome jį kaip dvimatį. Taip yra dėl to, kad mūsų akių tinklainė yra plokštumoje, kuri turi tik du matmenis. Štai kodėl mes galime suvokti dvimačius paveikslus ir rasti juos panašius į tikrovę. (Žinoma, akomodacijos dėka akis gali įvertinti atstumą iki objekto, tačiau tai yra šalutinis poveikis, susijęs su mūsų akyse įmontuota optika.)
Keturmatės erdvės gyventojo akys turi turėti trimatę tinklainę. Toks padaras gali iš karto pamatyti visą trimatę figūrą: visus jos veidus ir interjerus. (Taip pat galime pamatyti dvimatę figūrą, visus jos veidus ir interjerus.)
Taigi, pasitelkę regėjimo organus, keturmačio kubo nesugebame suvokti taip, kaip jį suvoktų keturmatės erdvės gyventojas. Deja. Belieka pasikliauti savo proto akimis ir vaizduote, kuri, laimei, neturi fizinių apribojimų.
Tačiau vaizduodamas hiperkubą plokštumoje, esu tiesiog priverstas atlikti jo projekciją į dvimatę erdvę. Atsižvelkite į šį faktą studijuodami brėžinius.
Kraštinės sankryžos
Natūralu, kad hiperkubo kraštai nesikerta. Sankryžos rodomos tik brėžiniuose. Tačiau tai neturėtų stebinti, nes paveiksluose įprasto kubo kraštai taip pat susikerta.
Šonkaulių ilgiai
Verta paminėti, kad visi veidai ir kraštai keturmatis kubas yra lygūs. Paveiksle jie nėra lygūs tik todėl, kad yra išdėstyti skirtingais kampais žiūrėjimo kryptimi. Tačiau hiperkubą galima pasukti taip, kad visos projekcijos būtų vienodo ilgio.

Viduryje G. Grassmanno, A. Cayley, B. Riemanno, W. Cliffordo, L. Schläfli ir kitų matematikų darbuose pradėjo atsirasti daugiamačių erdvių doktrina. pradžioje, atsiradus A. Einšteino reliatyvumo teorijai ir G. Minkovskio idėjoms, fizikoje pradėta naudoti keturmatė erdvės ir laiko koordinačių sistema.

Tada keturmatės erdvės idėją iš mokslininkų pasiskolino mokslinės fantastikos rašytojai. Savo darbuose jie pasauliui papasakojo apie nuostabius ketvirtosios dimensijos stebuklus. Savo kūrinių herojai, pasinaudodami keturmatės erdvės savybėmis, nepažeisdami lukšto galėjo suvalgyti kiaušinio turinį, o atsigerti – neatplėšę butelio kamštelio. Vagys iš seifo išnešė lobį per ketvirtą dimensiją. Grandinės jungtis galima nesunkiai atjungti, o virvės mazgą atsukti neliečiant jos galų. Chirurgai atliko vidaus organų operacijas, nepjaustydami paciento kūno audinių. Mistikai įkėlė išėjusiųjų sielas į ketvirtą dimensiją. Dėl paprastas žmogus keturmatės erdvės idėja išliko nesuprantama ir paslaptinga, o daugelis paprastai keturmatę erdvę laiko mokslininkų ir mokslinės fantastikos rašytojų vaizduotės vaisiumi, neturinčiu nieko bendra su realybe.

Suvokimo problema

Tradiciškai manoma, kad žmogus negali suvokti ir įsivaizduoti keturmačių figūrų, nes jis yra trimatė būtybė. Tiriamasis suvokia trimates figūras naudodamas tinklainę, kuri yra dvimatė. Norint suvokti keturmates figūras, reikalinga trimatė tinklainė, tačiau žmonės tokio gebėjimo neturi.

Kad susidarytume aiškų supratimą apie keturmates figūras, naudosime analogijas iš žemesnių matmenų erdvių, kad ekstrapoliuotume į aukštesnių matmenų figūras, naudosime modeliavimo metodą, taikysime metodus sistemos analizė ieškoti raštų tarp keturmačių figūrų elementų. Siūlomi modeliai turi adekvačiai apibūdinti keturmačių figūrų savybes, neprieštarauti vienas kitam ir suteikti pakankamai supratimo apie keturmatę figūrą ir pirmiausia jos geometrine forma. Kadangi literatūroje nėra sisteminio ir vaizdinio keturmačių figūrų aprašymo, o tik kai kurias savybes nurodantys jų pavadinimai, siūlome keturmačių figūrų tyrimą pradėti nuo paprasčiausio – keturmačio kubo, kuris vadinamas hiperkubas.

Hiperkubo apibrėžimas

Hiperkubasyra taisyklingas politopas, kurio ląstelė yra kubas.

Politopas yra keturmatė figūra, kurios riba susideda iš daugiakampių. Politopinės ląstelės analogas yra daugiakampio veidas. Hiperkubas yra trimačio kubo analogas.

Turėsime idėją apie hiperkubą, jei žinosime jo savybes. Subjektas suvokia tam tikrą objektą, reprezentuodamas jį tam tikro modelio pavidalu. Naudokime šį metodą ir pristatykime hiperkubo idėją įvairių modelių pavidalu.

Analitinis modelis

Vienmatę erdvę (tiesiąją liniją) laikysime tvarkinga taškų rinkiniuM(x), kur x– savavališko tiesės taško koordinatė. Tada vieneto segmentas nurodomas nurodant du taškus:A(0) ir B(1).

Plokštuma (dvimatė erdvė) gali būti laikoma tvarkinga taškų rinkiniu M(x; y). Vieneto kvadratas bus visiškai apibrėžtas keturiomis jo viršūnėmis: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Kvadrato viršūnių koordinatės gaunamos prie atkarpos koordinačių pridedant nulį, o po to – vieną.

Trimatė erdvė – sutvarkytas taškų rinkinys M(x; y; z). Norint apibrėžti trimatį kubą, reikia aštuonių taškų:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Kubo koordinatės gaunamos iš kvadrato koordinačių pridedant nulį, o po to vienetą.

Keturmatė erdvė yra sutvarkytas taškų rinkinys M(x; y; z; t). Norėdami apibrėžti hiperkubą, turite nustatyti šešiolikos jo viršūnių koordinates:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Hiperkubo koordinatės gaunamos iš trimačio kubo koordinačių, pridedant ketvirtą koordinatę, lygią nuliui, o paskui vieną.

Naudojant keturių dimensijų euklido erdvės analitinės geometrijos formules, galima gauti hiperkubo savybes.
Pavyzdžiui, apskaičiuokite pagrindinės hiperkubo įstrižainės ilgį. Tarkime, kad turime rasti atstumą tarp taškų A(0, 0, 0, 0) ir R(1, 1, 1, 1). Norėdami tai padaryti, naudosime atstumo formulę keturmatėje Euklido erdvėje.

Dvimatėje erdvėje (plokštumoje) atstumas tarp taškų A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2) apskaičiuojamas pagal formulę

Ši formulė išplaukia iš Pitagoro teoremos.

Atitinkama atstumo tarp taškų formulė A(x 1 , y 1 , z 1) ir B(x 2 , y 2 , z 2) trimatėje erdvėje turi formą

Ir vienmatėje erdvėje (tiesioje linijoje) tarp taškų A( x 1) ir B( x 2) galite parašyti atitinkamą atstumo formulę:

Panašiai ir atstumas tarp taškų A(x 1 , y 1 , z 1 , t 1) ir B(x 2 , y 2 , z 2 , t 2) keturmatėje erdvėje bus apskaičiuojamas pagal formulę:

Siūlomu pavyzdžiu randame

Taigi, hiperkubas egzistuoja analitiškai, o jo savybes galima apibūdinti ne blogiau nei trimačio kubo savybes.

Dinaminis modelis

Analitinis hiperkubo modelis yra labai abstraktus, todėl panagrinėkime kitą modelį – dinaminį.

Taškas (nulinė figūra), judantis viena kryptimi, sukuria atkarpą (vienmatę figūrą). Atkarpa, judanti sau statmena kryptimi, sukuria kvadratą (dvimatę figūrą). Kvadratas, judėdamas kvadrato plokštumai statmena kryptimi, sukuria kubą (trimatę figūrą).

Kubas, judantis statmenai trimatei erdvei, kurioje jis iš pradžių buvo, sukuria hiperkubą (keturmatę figūrą).

Hiperkubo riba yra trimatė, baigtinė ir uždara. Jį sudaro trimatis kubas pradinė padėtis, trimatis kubas galutinėje padėtyje ir šeši kubai, suformuoti perkeliant pradinio kubo kvadratus ketvirtojo matmens kryptimi. Visa hiperkubo riba susideda iš 8 trimačių kubelių (ląstelių).

Judant pradinėje padėtyje, kubas turėjo 8 viršūnes, o galutinėje padėtyje taip pat buvo 8 viršūnės. Todėl hiperkubas iš viso turi 16 viršūnių.

Iš kiekvienos viršūnės išeina keturios viena kitai statmenos briaunos. Hiperkubas iš viso turi 32 briaunas Pradinėje padėtyje jis turėjo 12 briaunų, galutinėje padėtyje taip pat buvo 12 briaunų, o judant ketvirtuoju matmeniu, 8 briaunos sudarė kubo viršūnes.

Taigi, hiperkubo kraštinė susideda iš 8 kubelių, kurie susideda iš 24 kvadratų. Būtent 6 kvadratai pradinėje padėtyje, 6 galutinėje padėtyje ir 12 kvadratų, suformuotų judant 12 briaunų ketvirtojo matmens kryptimi.

Geometrinis modelis

Dinaminis hiperkubo modelis gali atrodyti nepakankamai aiškus. Todėl panagrinėkime geometrinį hiperkubo modelį. Kaip gauti geometrinį 3D kubo modelį? Padarome jo vystymą, o iš vystymo „sulipdome“ kubo modelį. Erdvinio kubo kūrimas susideda iš kvadrato su kvadratu, pritvirtintu prie jo šonų, ir dar vieno kvadrato. Sukame gretimus kvadratus aplink kvadrato kraštines, o gretimas kvadratų puses sujungiame viena su kita. O likusias keturias puses uždarome paskutiniu kvadratu (1 pav.).

Panašiai panagrinėkime ir hiperkubo kūrimą. Jo plėtra bus trimatė figūra, sudaryta iš originalaus trimačio kubo, šešių kubelių, esančių šalia kiekvieno originalaus kubo paviršiaus, ir dar vieno kubo. Iš viso yra aštuoni trimačiai kubai (2 pav.). Norėdami gauti keturmatį kubą (hiperkubą) iš šio kūrimo, turite pasukti kiekvieną gretimą kubą 90 laipsnių kampu. Šie gretimi kubai bus kitoje trimatėje erdvėje. Sujunkite gretimus kubelių paviršius (kvadratus) vienas su kitu. Į likusią tuščią vietą įdėkite aštuntąjį kubą su jo veidais. Gauname keturmatę figūrą – hiperkubą, kurio ribą sudaro aštuoni trimačiai kubai.

Hiperkubo vaizdas

Viršuje buvo parodyta, kaip „suklijuoti“ hiperkubo modelį iš trimačio skenavimo. Vaizdus gauname naudodami projekciją. Centrinė trimačio kubo projekcija (jo vaizdas plokštumoje) atrodo taip (3 pav.). Kvadrato viduje yra kita aikštė. Atitinkamos kvadrato viršūnės yra sujungtos atkarpomis. Gretimi kvadratai vaizduojami kaip trapecijos, nors trimatėje erdvėje jie yra kvadratai. Vidiniai ir išoriniai kvadratai yra skirtingo dydžio, tačiau tikroje trimatėje erdvėje jie yra vienodi kvadratai.

Panašiai centrinė keturmačio kubo projekcija į trimatę erdvę atrodys taip: vieno kubo viduje yra kitas kubas. Atitinkamos kubelių viršūnės yra sujungtos segmentais. Vidinis ir išorinis kubeliai turi skirtingų dydžių trimatėje erdvėje, bet keturmatėje erdvėje jie yra lygūs kubeliai (4 pav.).

Šešios nupjautos piramidės yra lygių šešių keturių dimensijų kubo langelių (kubelių) atvaizdai.

Šią trimatę projekciją galima nubrėžti plokštumoje ir patikrinti, ar naudojant dinaminį modelį gautos hiperkubo savybės yra teisingos.

Hiperkubas turi 16 viršūnių, 32 briaunas, 24 paviršius (kvadratus), 8 langelius (kubus). Iš kiekvienos viršūnės išeina keturios viena kitai statmenos briaunos. Hiperkubo riba yra trimatė uždara išgaubta figūra, kurios tūris (šoninis hiperkubo tūris) lygus aštuoniems vienetiniams trimačiams kubeliams. Šios figūros viduje yra vienetinis hiperkubas, kurio hipertūris yra lygus vieneto hiperkubo hipertūriui.

Išvada

Šio darbo tikslas buvo pateikti pradinį įvadą į keturmatę erdvę. Tai buvo padaryta naudojant paprasčiausios figūros pavyzdį – hiperkubą.

Keturių dimensijų pasaulis yra nuostabus! Jame, kartu su panašiomis figūromis trimatėje erdvėje, yra ir analogų trimatėje erdvėje neturinčios figūros.

Daugelis materialaus pasaulio, makropasaulio ir megapasaulio, reiškinių, nepaisant milžiniškų fizikos, chemijos ir astronomijos laimėjimų, liko nepaaiškinti.

Nr vieninga teorija, paaiškinantis visas gamtos jėgas. Nėra patenkinamo Visatos modelio, kuris paaiškintų jos struktūrą ir pašalintų paradoksus.

Išmokus keturmatės erdvės ypatybes ir pasiskolavus idėjų iš keturmatės geometrijos, bus galima ne tik kurti griežtesnes materialaus pasaulio teorijas ir modelius, bet ir sukurti pagal dėsnius veikiančius įrankius bei sistemas. keturmačio pasaulio, tada žmogaus galimybės bus dar įspūdingesnės.

Bakalyar Marija

Nagrinėjami keturmačio kubo (tesserakto) sampratos supažindinimo būdai, jo struktūra ir kai kurios savybės. Klausimas, kokie trimačiai objektai gaunami, kai keturmatis kubas susikerta su jo trimačiais paviršiais lygiagrečiomis hiperplokštumomis. , taip pat hiperplokštumos, statmenos jo pagrindinei įstrižai. Nagrinėjamas tyrimams naudojamas daugiamatės analitinės geometrijos aparatas.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Įvadas………………………………………………………………………………….2

Pagrindinė dalis………………………………………………………………..4

Išvados………………………………………………………………..12

Literatūros sąrašas………………………………………………………..13

Įvadas

Keturmatė erdvė jau seniai patraukė tiek profesionalių matematikų, tiek toli nuo šio mokslo studijuojančių žmonių dėmesį. Susidomėjimą ketvirtąja dimensija gali lemti prielaida, kad mūsų trimatis pasaulis yra „panardintas“ į keturmatę erdvę, lygiai kaip plokštuma yra „panardinta“ į trimatę erdvę, tiesi linija yra „panardinta“ į keturmatę erdvę. plokštuma, o taškas yra tiesioje linijoje. Be to, keturmatė erdvė vaidina svarbų vaidmenį šiuolaikinė teorija reliatyvumo teorija (vadinamoji erdvė-laikas arba Minkovskio erdvė), taip pat gali būti laikomas ypatingu atvejumatmenų Euklido erdvė (su).

Keturmatis kubas (tesseraktas) yra objektas keturmatėje erdvėje, turintis didžiausią galimą matmenį (kaip ir paprastas kubas yra objektas trimatėje erdvėje). Atkreipkite dėmesį, kad jis taip pat yra tiesioginis susidomėjimas, būtent jis gali pasirodyti tiesinio programavimo optimizavimo problemose (kaip sritis, kurioje ieškoma minimumo arba maksimumo tiesinė funkcija keturi kintamieji), taip pat naudojamas skaitmeninėje mikroelektronikoje (programuojant ekraną). elektroninis laikrodis). Be to, pats keturmačio kubo tyrimo procesas prisideda prie erdvinio mąstymo ir vaizduotės ugdymo.

Vadinasi, keturmačio kubo struktūros ir specifinių savybių tyrimas yra gana aktualus. Verta paminėti, kad struktūros požiūriu keturmatis kubas buvo gana gerai ištirtas. Daug įdomesnis yra jo atkarpų pobūdis įvairiais hiperplokštumais. Taigi pagrindinis šio darbo tikslas yra ištirti tesserakto struktūrą, taip pat išsiaiškinti klausimą, kokie trimačiai objektai bus gauti, jei keturmatis kubas bus išskaidytas hiperplokštumomis, lygiagrečiomis vienai iš jo trijų. matmenų paviršius arba hiperplokštumas, statmenas jos pagrindinei įstrižai. Hiperplokštuma keturmatėje erdvėje bus vadinama trimate poerdve. Galima sakyti, kad tiesė plokštumoje yra vienmatė hiperplokštuma, plokštuma trimatėje erdvėje – dvimatė hiperplokštuma.

Tikslas nulėmė tyrimo tikslus:

1) Išstudijuoti pagrindinius daugiamatės analitinės geometrijos faktus;

2) Išstudijuoti kubelių, kurių matmenys nuo 0 iki 3, konstravimo ypatumus;

3) Ištirti keturmačio kubo sandarą;

4) Analitiškai ir geometriškai apibūdinti keturmatį kubą;

5) Padaryti trimačių ir keturmačių kubų raidų ir centrinių projekcijų modelius.

6) Naudodami daugiamatės analitinės geometrijos aparatą, apibūdinkite trimačius objektus, atsirandančius susikirtus keturmačiui kubui su hiperplokštumomis, lygiagrečiomis vienam iš jo trimačių paviršių, arba hiperplokštumomis, statmenomis jo pagrindinei įstrižai.

Tokiu būdu gauta informacija leis geriau suprasti tesserakto struktūrą, taip pat nustatyti gilias analogijas skirtingų matmenų kubų struktūroje ir savybėse.

Pagrindinė dalis

Pirmiausia aprašome matematinį aparatą, kurį naudosime šio tyrimo metu.

1) Vektorių koordinatės: jei, Tai

2) Hiperplokštumos su normaliuoju vektoriumi lygtis atrodo čia

3) Lėktuvai ir yra lygiagrečios tada ir tik tada

4) Atstumas tarp dviejų taškų nustatomas taip: jeigu, Tai

5) Vektorių ortogonalumo sąlyga:

Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip apibūdinti keturmatį kubą. Tai galima padaryti dviem būdais – geometriniu ir analitiniu.

Jei kalbėti apie geometrinis būdas užduotį, tuomet patartina atsekti kubelių konstravimo procesą, pradedant nuo nulinės dimensijos. Nulinio matmens kubas yra taškas (beje, atkreipkite dėmesį, kad taškas taip pat gali atlikti nulinio matmens rutulio vaidmenį). Toliau pristatome pirmąjį matmenį (x ašį) ir atitinkamoje ašyje pažymime du taškus (du nulinio matmens kubus), esančius 1 atstumu vienas nuo kito. Rezultatas yra segmentas – vienmatis kubas. Iš karto atkreipkime dėmesį būdingas bruožas: Vienmačio kubo (segmento) riba (galai) yra du nuliniai kubai (du taškai). Toliau pristatome antrąjį matmenį (ordinačių ašį) ir plokštumojeSukonstruokime du vienmačius kubus (du atkarpas), kurių galai vienas nuo kito nutolę 1 atstumu (iš tikrųjų viena iš atkarpų yra stačiakampė kito projekcija). Sujungę atitinkamus segmentų galus, gauname kvadratą – dvimatį kubą. Vėlgi, atkreipkite dėmesį, kad dvimačio kubo (kvadrato) riba yra keturi vienmačiai kubai (keturi segmentai). Galiausiai pristatome trečiąjį matmenį (taikymo ašį) ir statome erdvėjedu kvadratus taip, kad vienas iš jų būtų stačiakampė kito projekcija (atitinkamos kvadratų viršūnės yra viena nuo kitos 1 atstumu). Atitinkamas viršūnes sujungsime atkarpomis – gauname trimatį kubą. Matome, kad trimačio kubo riba yra šeši dvimačiai kubai (šeši kvadratai). Aprašytos konstrukcijos leidžia nustatyti tokį modelį: kiekviename žingsnyjematmenų kubas „juda, palikdamas pėdsaką“.e matavimas 1 atstumu, o judėjimo kryptis yra statmena kubui. Formalus šio proceso tęsinys leidžia mums pasiekti keturmačio kubo koncepciją. Būtent trimatį kubą priversime judėti ketvirtojo matmens kryptimi (statmenai kubui) atstumu 1. Veikdami panašiai kaip ir ankstesniame, tai yra sujungdami atitinkamas kubelių viršūnes, gausime keturmatį kubą. Pažymėtina, kad geometriškai tokia konstrukcija mūsų erdvėje yra neįmanoma (nes ji yra trimatė), tačiau čia mes nesusiduriame su prieštaravimais loginiu požiūriu. Dabar pereikime prie analitinio keturmačio kubo aprašymo. Jis taip pat gaunamas formaliai, naudojant analogiją. Taigi, nulinio matmens vieneto kubo analitinė specifikacija yra tokia:

Vienmačio vienetinio kubo analitinė užduotis yra tokia:

Dvimačio vieneto kubo analitinė užduotis yra tokia:

Analitinė trimačio vienetinio kubo užduotis yra tokia:

Dabar labai lengva pateikti analitinį keturmačio kubo vaizdą, būtent:

Kaip matome, tiek geometriniame, tiek analitiniame keturmačio kubo apibrėžimo metodais buvo naudojamas analogijų metodas.

Dabar, naudodamiesi analitinės geometrijos aparatu, išsiaiškinsime, kokia yra keturmačio kubo struktūra. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokius elementus jis apima. Čia vėlgi galime panaudoti analogiją (iškelti hipotezę). Vienmačio kubo ribos yra taškai (nuliniai kubai), dvimačio kubo - atkarpos (vienmačio kubo), trimačio kubo - kvadratai (dvimačiai veidai). Galima daryti prielaidą, kad tesserakto ribos yra trimačiai kubai. Norėdami tai įrodyti, išsiaiškinkime, ką reiškia viršūnės, briaunos ir veidai. Kubo viršūnės yra jo kampiniai taškai. Tai yra, viršūnių koordinatės gali būti nuliai arba vienetai. Taigi atskleidžiamas ryšys tarp kubo matmens ir jo viršūnių skaičiaus. Taikykime kombinatorinės sandaugos taisyklę – nuo ​​viršūnėsišmatuotas kubas turi tiksliaikoordinates, kurių kiekviena yra lygi nuliui arba vienai (nepriklausomai nuo visų kitų), tada iš viso yraviršūnės Taigi bet kurios viršūnės visos koordinatės yra fiksuotos ir gali būti lygios arba . Jei nustatysime visas koordinates (kiekvieną jų lygiu arba , nepriklausomai nuo kitų), išskyrus vieną, gauname tiesias linijas, kuriose yra kubo briaunos. Panašiai kaip ir ankstesniame, galite suskaičiuoti, kad jų yra tiksliaidalykų. Ir jei dabar pataisysime visas koordinates (kiekvieną iš jų vienodai arba , nepriklausomai nuo kitų), išskyrus kai kurias dvi, gauname plokštumas, kuriose yra dvimačiai kubo paviršiai. Naudodami kombinatorikos taisyklę, nustatome, kad jų yra tiksliaidalykų. Kitas, panašiai - visų koordinačių fiksavimas (kiekvienas iš jų lygus arba , nepriklausomai nuo kitų), išskyrus kai kurias tris, gauname hiperplokštumas, kuriose yra trimačių kubo paviršių. Pagal tą pačią taisyklę apskaičiuojame jų skaičių – tiksliaiir tt To pakaks mūsų tyrimams. Gautus rezultatus pritaikykime keturmačio kubo struktūrai, būtent visose išvestinėse formulėse. Todėl keturmatis kubas turi: 16 viršūnių, 32 briaunas, 24 dvimačius paviršius ir 8 trimačius paviršius. Siekiant aiškumo, analitiškai apibrėžkime visus jo elementus.

Keturmačio kubo viršūnės:

Keturmačio kubo kraštai ():

Dvimačiai keturmačio kubo paviršiai (panašūs apribojimai):

Keturmačio kubo trimačiai paviršiai (panašūs apribojimai):

Dabar, kai pakankamai išsamiai aprašyta keturmačio kubo struktūra ir jos apibrėžimo metodai, pereikime prie įgyvendinimo. Pagrindinis tikslas– išaiškinti įvairių kubo dalių pobūdį. Pradėkime nuo elementaraus atvejo, kai kubo sekcijos yra lygiagrečios vienam iš jo trimačių paviršių. Pavyzdžiui, apsvarstykite jo dalis su hiperplokštumomis, lygiagrečiomis veiduiIš analitinės geometrijos žinoma, kad bet kuri tokia atkarpa bus pateikta lygtimiAnalitiškai apibrėžkime atitinkamas dalis:

Kaip matome, gavome analitinę specifikaciją trimačiam vienetiniam kubui, gulinčiam hiperplokštumoje

Norėdami nustatyti analogiją, trimačio kubo atkarpą parašykime plokštuma Mes gauname:

Tai kvadratas, esantis plokštumoje. Analogija akivaizdi.

Keturmačio kubo pjūviai pagal hiperplokštumusduoti visiškai panašius rezultatus. Tai taip pat bus pavieniai trimačiai kubai, gulintys hiperplokštumose atitinkamai.

Dabar panagrinėkime keturių dimensijų kubo dalis su hiperplokštumais, statmenomis jo pagrindinei įstrižai. Pirmiausia išspręskime šią trimačio kubo problemą. Naudodamas aukščiau aprašytą vienetinio trimačio kubo apibrėžimo metodą, jis daro išvadą, kad pagrindine įstriža gali būti, pavyzdžiui, atkarpa su galais. Ir . Tai reiškia, kad pagrindinės įstrižainės vektorius turės koordinates. Todėl bet kurios plokštumos, statmenos pagrindinei įstrižai, lygtis bus tokia:

Nustatykime parametrų kitimo ribas. Nes , tada, sudėjus šias nelygybes po termino, gauname:

Arba .

Jei tada (dėl apribojimų). Taip pat – jei, Tai. Taigi, kada ir kada pjovimo plokštuma ir kubas turi tiksliai vieną bendrą tašką ( Ir atitinkamai). Dabar atkreipkime dėmesį į tai. Jeigu(vėlgi dėl kintamų apribojimų). Atitinkamos plokštumos kerta tris veidus iš karto, nes priešingu atveju pjovimo plokštuma būtų lygiagreti vienai iš jų, o tai nevyksta pagal sąlygą. Jeigu, tada plokštuma kerta visus kubo paviršius. Jeigu, tada plokštuma kerta veidus. Pateiksime atitinkamus skaičiavimus.

Leisti Tada lėktuvaskerta liniją tiesia linija ir . Be to, kraštas. Kraštas plokštuma susikerta tiesia linija, ir

Leisti Tada lėktuvaskerta liniją:

kraštas tiesia linija ir .

kraštas tiesia linija ir .

kraštas tiesia linija ir .

kraštas tiesia linija ir .

kraštas tiesia linija ir .

kraštas tiesia linija ir .

Šį kartą gauname šešis segmentus, kurie turi bendrus galus:

Leisti Tada lėktuvaskerta liniją tiesia linija ir . Kraštas plokštuma susikerta tiesia linija ir . Kraštas plokštuma susikerta tiesia linija, ir . Tai reiškia, kad gauname tris segmentus, turinčius porų bendrus galus:Taigi nurodytoms parametrų reikšmėmsplokštuma kirs kubą išilgai taisyklingo trikampio su viršūnėmis

Taigi, čia pateikiamas išsamus plokštumos figūrų, gautų, kai kubas susikerta su plokštuma, statmena jo pagrindinei įstrižai, aprašymas. Pagrindinė mintis buvo tokia. Būtina suprasti, kuriuos veidus plokštuma kerta, išilgai kurių aibių jas kerta ir kaip šios aibės yra susijusios viena su kita. Pavyzdžiui, jei paaiškėjo, kad plokštuma kerta tiksliai tris veidus išilgai atkarpų, turinčių porų bendrus galus, tada atkarpa yra lygiakraštis trikampis (tai įrodoma tiesiogiai apskaičiuojant atkarpų ilgius), kurio viršūnės yra šie galai. segmentų.

Naudojant tą patį aparatą ir tą pačią sekcijų studijavimo idėją, visiškai analogišku būdu galima išvesti šiuos faktus:

1) Vienos iš pagrindinių keturmačio vienetinio kubo įstrižainių vektorius turi koordinates

2) Bet kuri hiperplokštuma, statmena pagrindinei keturmačio kubo įstrižainei, gali būti parašyta forma.

3) Sekantinės hiperplokštumos lygtyje parametrasgali svyruoti nuo 0 iki 4;

4) Kada ir sekanti hiperplokštuma ir keturmatis kubas turi vieną bendrą tašką ( Ir atitinkamai);

5) Kada skerspjūvis sudarys taisyklingą tetraedrą;

6) Kada skerspjūvyje rezultatas bus oktaedras;

7) Kada skerspjūvis sudarys taisyklingą tetraedrą.

Atitinkamai, čia hiperplokštuma kerta tesraktą išilgai plokštumos, kurioje dėl kintamųjų apribojimų priskiriama trikampė sritis (analogija - plokštuma kerta kubą išilgai tiesės, kurioje dėl kintamųjų apribojimų kintamieji, buvo priskirtas segmentas). 5 atveju hiperplokštuma kerta lygiai keturis trimačius tesserakto paviršius, tai yra, gaunami keturi trikampiai, kurie turi poromis bendras kraštines, kitaip tariant, sudaro tetraedrą (kaip tai galima apskaičiuoti, yra teisinga). 6 atveju) hiperplokštuma kerta tiksliai aštuonis trimačius tesserakto paviršius, tai yra, gaunami aštuoni trikampiai, kurie turi nuosekliai bendras kraštines, kitaip tariant, sudaro oktaedrą. 7 atvejis) yra visiškai panašus į 5 atvejį).

Iliustruojame tai, kas buvo pasakyta konkretus pavyzdys. Būtent, mes tiriame keturmačio kubo pjūvį hiperplokštumaDėl kintamų apribojimų ši hiperplokštuma kerta šiuos trimačius veidus: Kraštas susikerta išilgai plokštumosDėl kintamųjų apribojimų turime:Gauname trikampį plotą su viršūnėmisToliau,gauname trikampįKai hiperplokštuma kerta veidągauname trikampįKai hiperplokštuma kerta veidągauname trikampįTaigi tetraedro viršūnės turi šias koordinates. Kaip nesunku apskaičiuoti, šis tetraedras iš tiesų yra taisyklingas.

išvadas

Taigi šio tyrimo metu buvo išnagrinėti pagrindiniai daugiamatės analitinės geometrijos faktai, išnagrinėti kubelių, kurių matmenys nuo 0 iki 3, konstravimo ypatumai, ištirta keturmačio kubo struktūra, keturmačio kubo struktūra. analitiškai ir geometriškai aprašyti, sukurti trimačių ir keturmačių kubų raidų modeliai ir centrinės projekcijos, trimačiai kubai – analitiškai aprašyti objektai, susidarantys susikirtus keturmačiui kubui su hiperplokštumomis, lygiagrečiomis vienai iš jo trimačių. matmenų paviršius arba su hiperplokštumais, statmenomis jo pagrindinei įstrižai.

Atlikti tyrimai leido nustatyti gilias analogijas skirtingų matmenų kubų struktūroje ir savybėse. Naudojama analogijos technika gali būti taikoma atliekant tyrimus, pvz.matmenų sfera arbamatmenų simpleksas. Būtent,matmenų sfera gali būti apibrėžta kaip taškų rinkinysmatmenų erdvė vienodu atstumu nuo nurodyto taško, kuris vadinamas sferos centru. Toliau,matmenų simpleksas gali būti apibrėžtas kaip dalismatmenų erdvė apribota minimaliu skaičiumimatmenų hiperplokštumos. Pavyzdžiui, vienmatis simpleksas yra atkarpa (vienmatės erdvės dalis, apribota dviem taškais), dvimatė simpleksas – trikampis (dvimatės erdvės dalis, apribota trimis linijomis), trimatis simpleksas yra tetraedras (trimatės erdvės dalis, apribota keturiomis plokštumomis). Pagaliau,matmenų simpleksą apibrėžiame kaip dalįmatmenų erdvė, ribotamatmenų hiperplokštuma.

Atkreipkite dėmesį, kad nepaisant daugybės tesserakto pritaikymų kai kuriose mokslo srityse, šis tyrimas vis dar yra matematinis tyrimas.

Bibliografija

1) Bugrovas Ya.S., Nikolsky S.M.Aukštoji matematika, t. 1 – M.: Bustard, 2005 – 284 p.

2) Kvantinė. Keturmatis kubas / Dužinas S., Rubcovas V., Nr.6, 1986 m.

3) Kvantinė. Kaip piešti matmenų kubas / Demidovičius N.B., Nr. 8, 1974 m.

Kas yra hiperkubas ir keturmatė erdvė

Mūsų įprasta erdvė turi tris matmenis. Geometriniu požiūriu tai reiškia, kad jame gali būti nurodytos trys viena kitai statmenos linijos. Tai yra, bet kuriai linijai galite rasti antrą eilutę, statmeną pirmajai, o porai galite rasti trečią eilutę, statmeną pirmiesiems dviem. Nebebus galima rasti ketvirtos tiesės, statmenos esamoms trims.

Keturmatė erdvė nuo mūsų skiriasi tik tuo, kad turi dar vieną papildomą kryptį. Jei jau turite tris viena kitai statmenas linijas, galite rasti ketvirtą, tokią, kad ji būtų statmena visoms trims.

Hiperkubas yra tiesiog kubas keturmatėje erdvėje.
Ar įmanoma įsivaizduoti keturmatę erdvę ir hiperkubą?

Šis klausimas susijęs su klausimu: „ar įmanoma įsivaizduoti Paskutinę vakarienę žiūrint į Leonardo da Vinci (1452–1519) to paties pavadinimo (1495–1498) paveikslą?

Viena vertus, jūs, žinoma, neįsivaizduosite, ką matė Jėzus (jis sėdi veidu į žiūrovą), juolab kad už lango neužuosite sodo kvapo ir neparaguosite maisto ant stalo, negirdėsite paukščių. dainavimas... Viso to, kas vyko tą vakarą, vaizdo negausi, bet negalima sakyti, kad nieko naujo nesužinosi ir kad vaizdas neįdomus.

Panaši situacija ir su hiperkubo klausimu. Neįmanoma iki galo to įsivaizduoti, bet galima priartėti prie supratimo, kas tai yra.
Hiperkubo statyba
0 matmenų kubas

Pradėkime nuo pradžių – nuo ​​0 matmenų kubo. Šiame kube yra 0 viena kitai statmenų veidų, tai yra, tai tik taškas.

1 dimensijos kubas

Vienmatėje erdvėje turime tik vieną kryptį. Perkeliame tašką šia kryptimi ir gauname atkarpą.

Tai vienmatis kubas.
2 matmenų kubas

Turime antrą matmenį, savo vienmatį kubą (segmentą) perkeliame antrojo matmens kryptimi ir gauname kvadratą.

Tai kubas dvimatėje erdvėje.
3 matmenų kubas

Atsiradus trečiajai dimensijai darome tą patį: perkeliame kvadratą ir gauname įprastą trimatį kubą.

4 matmenų kubas (hiperkubas)

Dabar turime ketvirtą dimensiją. Tai yra, mes turime kryptį, statmeną visoms trims ankstesnėms. Naudokime lygiai taip pat. Keturmatis kubas atrodys taip.

Natūralu, kad trimačiai ir keturmačiai kubeliai negali būti vaizduojami dvimačio ekrano plokštumoje. Tai, ką nupiešiau, yra projekcijos. Apie prognozes pakalbėsime šiek tiek vėliau, bet kol kas keli faktai ir skaičiai.
Viršūnių, briaunų, paviršių skaičius
Įvairių dydžių kubelių charakteristikos
1 erdvės matmuo
2-viršūnių skaičius
3 briaunų skaičius
4 veidų skaičius

0 (taškas) 1 0 0
1 (segmentas) 2 1 2 (taškai)
2 (kvadratas) 4 4 4 (segmentai)
3 (kubas) 8 12 6 (kvadratai)
4 (hiperkubas) 16 32 8 (kubeliai)
N (bendra formulė) 2N N 2N-1 2 N

Atkreipkite dėmesį, kad hiperkubo veidas yra mūsų įprastas trimatis kubas. Jei atidžiai pažvelgsite į hiperkubo piešinį, iš tikrųjų galite rasti aštuonis kubus.
Keturmatės erdvės gyventojo projekcijos ir vizija
Keletas žodžių apie regėjimą

Mes gyvename trimačiame pasaulyje, bet matome jį kaip dvimatį. Taip yra dėl to, kad mūsų akių tinklainė yra plokštumoje, kuri turi tik du matmenis. Štai kodėl mes galime suvokti dvimačius paveikslus ir rasti juos panašius į tikrovę. (Žinoma, akomodacijos dėka akis gali įvertinti atstumą iki objekto, tačiau tai yra šalutinis poveikis, susijęs su mūsų akyse įmontuota optika.)

Keturmatės erdvės gyventojo akys turi turėti trimatę tinklainę. Toks padaras gali iš karto pamatyti visą trimatę figūrą: visus jos veidus ir interjerus. (Taip pat galime pamatyti dvimatę figūrą, visus jos veidus ir interjerus.)

Taigi, pasitelkę regėjimo organus, keturmačio kubo nesugebame suvokti taip, kaip jį suvoktų keturmatės erdvės gyventojas. Deja. Belieka pasikliauti savo proto akimis ir vaizduote, kuri, laimei, neturi fizinių apribojimų.

Tačiau vaizduodamas hiperkubą plokštumoje, esu tiesiog priverstas atlikti jo projekciją į dvimatę erdvę. Atsižvelkite į šį faktą studijuodami brėžinius.
Kraštinės sankryžos

Natūralu, kad hiperkubo kraštai nesikerta. Sankryžos rodomos tik brėžiniuose. Tačiau tai neturėtų stebinti, nes paveiksluose įprasto kubo kraštai taip pat susikerta.
Šonkaulių ilgiai

Verta paminėti, kad visi keturmačio kubo veidai ir kraštai yra lygūs. Paveiksle jie nėra lygūs tik todėl, kad yra išdėstyti skirtingais kampais žiūrėjimo kryptimi. Tačiau hiperkubą galima pasukti taip, kad visos projekcijos būtų vienodo ilgio.

Beje, šioje figūroje aiškiai matomi aštuoni kubeliai, kurie yra hiperkubo veidai.
Hiperkubo viduje tuščias

Sunku patikėti, bet tarp kubų, kurie ribojo hiperkubą, yra tam tikra erdvė (keturmatės erdvės fragmentas).

Norėdami tai geriau suprasti, pažvelkime į paprasto trimačio kubo dvimatę projekciją (aš sąmoningai padariau ją šiek tiek schematiškai).

Ar iš to galite atspėti, kad kubo viduje yra vietos? Taip, bet tik pasitelkus savo vaizduotę. Akis šios erdvės nemato. Taip atsitinka todėl, kad kraštai, esantys trečiajame matmenyje (kurio negalima pavaizduoti plokščiame brėžinyje), dabar virto segmentais, esančiais brėžinio plokštumoje. Jie nebeteikia apimties.

Kvadratai, juosiantys kubo erdvę, persidengė vienas kitą. Tačiau galima įsivaizduoti, kad pirminėje figūroje (trimatis kubas) šie kvadratai buvo išdėstyti skirtingose ​​plokštumose, o ne vienas ant kito toje pačioje plokštumoje, kaip atsitiko paveiksle.

Lygiai tokia pati situacija ir su hiperkubu. Hiperkubo kubai-veideliai iš tikrųjų nesutampa, kaip mums atrodo projekcijoje, o yra keturmatėje erdvėje.
Šluoja

Taigi, keturmatės erdvės gyventojas gali matyti trimatį objektą iš visų pusių vienu metu. Ar galime matyti trimatį kubą iš visų pusių vienu metu? Su akimi – ne. Tačiau žmonės sugalvojo, kaip ant plokščio piešinio vienu metu pavaizduoti visus trimačio kubo veidus. Toks vaizdas vadinamas nuskaitymu.
Trimačio kubo kūrimas

Turbūt visi žino, kaip formuojasi trimačio kubo raida. Šis procesas parodytas animacijoje.

Aiškumo dėlei kubo paviršių kraštai yra permatomi.

Reikia pažymėti, kad šį dvimatį paveikslą galime suvokti tik savo vaizduotės dėka. Jei atsiskleidžiančias fazes nagrinėsime vien dvimačiu požiūriu, procesas atrodys keistas ir visai neaiškus.

Panašu, kad iš pradžių laipsniškai atsiranda iškreiptų kvadratų kontūrai, o paskui jie įsislenka į vietą, kartu įgaunant reikiamą formą.

Jei žiūrite į išsiskleidžiantį kubą vieno iš jo veidų kryptimi (šiuo požiūriu kubas atrodo kaip kvadratas), tada išsiskleidimo formavimosi procesas yra dar mažiau aiškus. Viskas atrodo kaip kvadratai, išslenkantys iš pradinio kvadrato (ne išskleisto kubo).

Tačiau nuskaitymas nėra vizualinis tik akims. Savo vaizduotės dėka galite iš jo surinkti daug informacijos.
Keturmačio kubo kūrimas

Animacinio hiperkubo išskleidimo proceso tiesiog neįmanoma paversti bent kiek vizualiu. Tačiau šį procesą galima įsivaizduoti. (Norėdami tai padaryti, turite pažvelgti į tai keturių matmenų būtybės akimis.)

Nuskaitymas atrodo taip.

Čia matomi visi aštuoni kubai, ribojantys hiperkubą.

Tomis pačiomis spalvomis nudažyti kraštai, kurie turėtų susilyginti sulenkus. Veidai, kurių poros nematomos, paliekami pilki. Sulenkus viršutinio kubo viršutinis kraštas turi sutapti su apatinio kubo kraštu. (Trimatis kubas išskleidžiamas panašiai.)

Atkreipkite dėmesį, kad po konvoliucijos visi aštuonių kubų paviršiai susilies ir uždarys hiperkubą. Ir galiausiai, įsivaizduodami lankstymo procesą, nepamirškite, kad lankstymo metu atsiranda ne kubelių sutapimas, o jų apvyniojimas aplink tam tikrą (hiperkubinį) keturių matmenų plotą.

Salvadoras Dali (1904-1989) daug kartų vaizdavo nukryžiavimą, daugelyje jo paveikslų figūruoja kryžiai. Paveiksle „Nukryžiavimas“ (1954) naudojamas hiperkubo skenavimas.
Erdvė-laikas ir Euklido keturmatė erdvė

Tikiuosi, kad jums pavyko įsivaizduoti hiperkubą. Bet ar jums pavyko priartėti prie supratimo, kaip veikia keturių dimensijų erdvėlaikis, kuriame gyvename? Deja, ne visai.

Čia mes kalbėjome apie Euklido keturių dimensijų erdvę, tačiau erdvės laikas turi visiškai kitokias savybes. Visų pirma, bet kokio sukimosi metu segmentai visada lieka pasvirę į laiko ašį arba mažesniu nei 45 laipsnių kampu, arba didesniu nei 45 laipsniais.

2 ŠALTINIS

Tesseract yra keturmatis hiperkubas, kubo analogas keturmatėje erdvėje. Remiantis Oksfordo žodynu, žodį „tesseraktas“ 1888 m. sugalvojo ir pavartojo Charlesas Howardas Hintonas (1853–1907) knygoje „A New Age of Thought“. Vėliau kai kurie žmonės tą pačią figūrą pavadino „tetrakubu“.

Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, nepaliekant trimatės erdvės.
Vienmatėje „erdvėje“ - tiesėje - pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Rezultatas yra kvadratas ABCD. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą ABCDHEFG. O kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) perkėlus atstumu L, gauname hiperkubą ABCDEFGHIJKLMNOP.

Vienmatis segmentas AB tarnauja kaip dvimačio kvadrato ABCD kraštinė, kvadratas – kaip kubo ABCDHEFG kraštinė, kuri, savo ruožtu, bus keturmačio hiperkubo pusė. Tiesios linijos atkarpa turi du ribinius taškus, kvadratas – keturias viršūnes, kubas – aštuonias. IN keturmatis hiperkubas, taigi bus 16 viršūnių: 8 pradinio kubo viršūnės ir 8 pasislinkusios ketvirtajame matmenyje. Jis turi 32 briaunas – po 12 nurodo pradinę ir galutinę pradinio kubo padėtį, o dar 8 briaunos „nubrėžia“ aštuonias jo viršūnes, kurios perėjo į ketvirtą dimensiją. Tą patį galima pasakyti ir apie hiperkubo veidus. Dvimatėje erdvėje yra tik vienas (pats kvadratas), kubas turi 6 iš jų (du veideliai nuo perkelto kvadrato ir dar keturi, apibūdinantys jo puses). Keturmatis hiperkubas turi 24 kvadratinius paviršius – 12 pradinio kubo kvadratų dviejose padėtyse ir 12 kvadratų nuo dvylikos kraštų.

Panašiai galime tęsti samprotavimus dėl didesnio matmenų skaičiaus hiperkubų, tačiau daug įdomiau pamatyti, kaip keturmatis hiperkubas atrodys mums, trimatės erdvės gyventojams. Tam naudosime jau žinomą analogijų metodą.
Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš krašto. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubraižyti du kvadratus (jos artimą ir tolimąją briauną), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniais kraštais. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus suprojektuotos pačios „dėžės“ - trimačiai veidai, o juos jungiančios linijos tęsis ketvirtoje dimensijoje. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.

Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs jo veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie perspektyvoje atrodys kaip gana sudėtinga figūra. Dalis, kuri liko „mūsų“ erdvėje, brėžiama ištisinėmis linijomis, o dalis, patekusi į hipererdvę – punktyrinėmis linijomis. Pats keturmatis hiperkubas susideda iš begalinio skaičiaus kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.

Iškirpę šešis trimačio kubo veidus, galite jį suskaidyti į plokščią figūrą – vystymąsi. Jis turės kvadratą kiekvienoje pradinio veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. O trimatį keturmačio hiperkubo plėtojimą sudarys originalus kubas, šeši iš jo „išaugantys“ kubeliai ir dar vienas - galutinis „hiperveidas“. Tesrakto savybės yra mažesnio matmens geometrinių figūrų savybių tęsinys į keturių matmenų erdvę.

Kiti vardai
Heksadekachoronas
Oktachoronas
Tetrakubas
4-kubas
Hiperkubas (jei matmenų skaičius nenurodytas)

10 matmenų erdvė
Tai anglų kalba Tiems, kurie nežino, tai gana aišku nuotraukose

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338