Dešimtainės trupmenos keitimas į paprastąją trupmeną ir atvirkščiai: taisyklės, pavyzdžiai. Bendrosios ir dešimtainės trupmenos bei operacijos su jais

Jau įtraukta pradinė mokykla mokiniai susiduria su trupmenomis. Ir tada jie pasirodo kiekvienoje temoje. Negalite pamiršti veiksmų su šiais skaičiais. Todėl jūs turite žinoti visą informaciją apie paprastas ir dešimtaines trupmenas. Šios sąvokos nėra sudėtingos, svarbiausia viską suprasti iš eilės.

Kodėl reikalingos trupmenos?

Mus supantis pasaulis susideda iš ištisų objektų. Todėl akcijų nereikia. Bet kasdieniame gyvenime nuolat verčia žmones dirbti su daiktų dalimis ir daiktais.

Pavyzdžiui, šokoladas susideda iš kelių gabalėlių. Apsvarstykite situaciją, kai jo plytelę sudaro dvylika stačiakampių. Jei padalinsite į dvi dalis, gausite 6 dalis. Jį galima nesunkiai suskirstyti į tris. Tačiau penkiems žmonėms viso šokolado riekelių skaičiaus duoti nepavyks.

Beje, šie griežinėliai jau yra trupmenos. Ir tolesnis jų padalijimas lemia sudėtingesnių skaičių atsiradimą.

Kas yra "frakcija"?

Tai skaičius, sudarytas iš vieneto dalių. Išoriškai tai atrodo kaip du skaičiai, atskirti horizontaliu arba pasviruoju brūkšniu. Ši savybė vadinama trupmeniniu. Skaičius, parašytas viršuje (kairėje), vadinamas skaitikliu. Tai, kas yra apačioje (dešinėje), yra vardiklis.

Iš esmės pasvirasis brūkšnys yra padalijimo ženklas. Tai yra, skaitiklis gali būti vadinamas dividendu, o vardiklis gali būti vadinamas dalikliu.

Kokios ten trupmenos?

Matematikoje yra tik dviejų tipų: paprastosios ir dešimtainės trupmenos. Pirmiausia susitinka moksleiviai pradinė mokykla, vadindami juos tiesiog „trupmenomis“. Pastarųjų bus mokomasi 5 klasėje. Tada ir pasirodo šie vardai.

Paprastosios trupmenos yra visos tos, kurios parašytos kaip du skaičiai, atskirti linija. Pavyzdžiui, 4/7. Dešimtainė dalis yra skaičius, kurio trupmeninė dalis turi padėties žymėjimą ir yra atskirta nuo sveikojo skaičiaus kableliu. Pavyzdžiui, 4.7. Mokiniai turi aiškiai suprasti, kad pateikti du pavyzdžiai yra visiškai skirtingi skaičiai.

kas paprastoji trupmena galima rašyti dešimtaine forma. Šis teiginys beveik visada teisingas atvirkščiai. Yra taisyklių, leidžiančių parašyti dešimtainę trupmeną kaip paprastąją trupmeną.

Kokius potipius turi šių tipų trupmenos?

Geriau pradėti chronologine tvarka, nes jie yra tiriami. Paprastosios trupmenos yra pirmiausia. Tarp jų galima išskirti 5 porūšius.

Teisingai. Jo skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį.

Neteisingai. Jo skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.

Sumažinamas / nesumažinamas. Gali pasirodyti, kad tai teisinga arba neteisinga. Kitas svarbus dalykas – ar skaitiklis ir vardiklis turi bendrų veiksnių. Jei yra, tuomet reikia iš jų padalyti abi trupmenos dalis, tai yra sumažinti.

Mišrus. Sveikasis skaičius priskiriamas įprastai taisyklingai (netaisyklingai) trupmeninei daliai. Be to, jis visada yra kairėje.

Sudėtinis. Jis sudarytas iš dviejų frakcijų, padalintų viena iš kitos. Tai reiškia, kad jame vienu metu yra trys trupmeninės eilutės.

Dešimtainės trupmenos turi tik du potipius:

baigtinis, tai yra toks, kurio trupmeninė dalis yra ribota (turi pabaigą);

begalinis – skaičius, kurio skaitmenys po kablelio nesibaigia (juos galima rašyti be galo).

Kaip paversti dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną?

Jei tai baigtinis skaičius, tai asociacija taikoma remiantis taisykle – kaip girdžiu, taip ir rašau. Tai reiškia, kad reikia teisingai perskaityti ir užsirašyti, bet be kablelio, bet su trupmenine juostele.

Kaip užuominą apie reikalingą vardiklį, turite atsiminti, kad tai visada yra vienas ir keli nuliai. Pastarųjų reikia parašyti tiek, kiek skaitmenų yra aptariamo skaičiaus trupmeninėje dalyje.

Kaip dešimtaines trupmenas paversti paprastosiomis trupmenomis, jei trūksta jų sveikosios dalies, tai yra lygi nuliui? Pavyzdžiui, 0,9 arba 0,05. Pritaikius nurodytą taisyklę, paaiškėja, kad reikia parašyti nulį sveikųjų skaičių. Bet tai nenurodyta. Belieka užsirašyti trupmenines dalis. Pirmojo skaičiaus vardiklis bus 10, antrojo – 100. Tai yra, pateiktuose pavyzdžiuose kaip atsakymai bus tokie skaičiai: 9/10, 5/100. Be to, paaiškėja, kad pastarąjį galima sumažinti 5. Todėl jo rezultatą reikia parašyti kaip 1/20.

Kaip nuo dešimtainis padaryti jį įprastu, jei jo sveikoji dalis skiriasi nuo nulio? Pavyzdžiui, 5.23 arba 13.00108. Abiejuose pavyzdžiuose skaitoma visa dalis ir užrašoma jos reikšmė. Pirmuoju atveju jis yra 5, antruoju - 13. Tada reikia pereiti prie trupmeninės dalies. Su jais turėtų būti atliekama ta pati operacija. Pirmasis skaičius rodomas 23/100, antrasis - 108/100 000. Antrąją vertę vėl reikia sumažinti. Atsakymas atrodo taip mišrios frakcijos: 5 23/100 ir 13 27/25000.

Kaip paversti begalinę dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną?

Jei ji neperiodinė, tai tokia operacija nebus įmanoma. Taip yra dėl to, kad kiekviena dešimtainė trupmena visada konvertuojama į baigtinę arba periodinę trupmeną.

Vienintelis dalykas, kurį galite padaryti su tokia frakcija, yra apvalinti. Bet tada dešimtainis skaičius bus maždaug lygus tai begalinei. Jį jau galima paversti įprastu. Tačiau atvirkštinis procesas: konvertuojant į dešimtainę, pradinės vertės niekada nebus. Tai yra, begalinės neperiodinės trupmenos nėra paverčiamos paprastosiomis trupmenomis. Tai reikia atsiminti.

Kaip parašyti begalinę periodinę trupmeną kaip paprastąją trupmeną?

Šiuose skaičiuose po kablelio visada yra vienas ar keli skaitmenys, kurie kartojasi. Jie vadinami periodu. Pavyzdžiui, 0,3 (3). Čia "3" yra laikotarpis. Jos priskiriamos racionaliosioms, nes jas galima paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tie, kurie susidūrė su periodinėmis trupmenomis, žino, kad jos gali būti grynos arba mišrios. Pirmuoju atveju taškas prasideda iš karto nuo kablelio. Antroje trupmeninė dalis prasideda kai kuriais skaičiais, o tada prasideda kartojimas.

Taisyklė, pagal kurią reikia rašyti begalinį dešimtainį skaičių kaip bendrąją trupmeną, skirsis dviejų nurodytų tipų skaičiams. Gana lengva grynąsias periodines trupmenas užrašyti kaip paprastąsias trupmenas. Kaip ir baigtinius, juos reikia konvertuoti: skaitiklyje užrašyti tašką, o vardiklis bus skaičius 9, kartojamas tiek kartų, kiek taške yra skaitmenų.

Pavyzdžiui, 0, (5). Skaičius neturi sveikosios dalies, todėl reikia nedelsiant pradėti nuo trupmeninės dalies. Parašykite 5 kaip skaitiklį ir 9 kaip vardiklį. Tai yra, atsakymas bus trupmena 5/9.

Taisyklė, kaip rašyti įprastą periodinę dešimtainę trupmeną, kuri sumaišoma.

Pažiūrėkite į laikotarpio trukmę. Tiek 9s turės vardiklis.

Užrašykite vardiklį: iš pradžių devyni, paskui nuliai.

Norėdami nustatyti skaitiklį, turite užrašyti dviejų skaičių skirtumą. Visi skaičiai po kablelio bus sumažinti kartu su tašku. Išskaita – tai be laikotarpio.

Pavyzdžiui, 0,5(8) – periodinę dešimtainę trupmeną parašykite kaip bendrąją trupmeną. Trupmeninėje dalyje prieš tašką yra vienas skaitmuo. Taigi bus vienas nulis. Laikotarpyje taip pat yra tik vienas skaičius – 8. Tai yra tik vienas devynetas. Tai yra, vardiklyje reikia įrašyti 90.

Norint nustatyti skaitiklį, iš 58 reikia atimti 5. Pasirodo, 53. Pavyzdžiui, atsakymas turėtų būti parašytas kaip 53/90.

Kaip trupmenos konvertuojamos į dešimtaines?

Labiausiai paprastas variantas pasirodo skaičius, kurio vardiklyje yra skaičius 10, 100 ir kt. Tada vardiklis tiesiog atmetamas, o tarp trupmenos ir sveikųjų skaičių dedamas kablelis.

Būna situacijų, kai vardiklis lengvai virsta 10, 100 ir tt Pavyzdžiui, skaičiai 5, 20, 25. Pakanka juos padauginti atitinkamai iš 2, 5 ir 4. Tereikia iš to paties skaičiaus padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį.

Visais kitais atvejais naudinga paprasta taisyklė: skaitiklį padalinkite iš vardiklio. Tokiu atveju galite gauti du galimus atsakymus: baigtinę arba periodinę dešimtainę trupmeną.

Operacijos su paprastosiomis trupmenomis

Sudėjimas ir atėmimas

Mokiniai su jais susipažįsta anksčiau nei kiti. Ir pirmiausia trupmenoms tie patys vardikliai, o paskui kitaip. Bendrosios taisyklės gali būti sumažintas iki tokio plano.

Raskite mažiausią bendrą vardiklių kartotinį.

Parašykite papildomų koeficientų visoms paprastosioms trupmenoms.

Padauginkite skaitiklius ir vardiklius iš jiems nurodytų koeficientų.

Sudėkite (atimkite) trupmenų skaitiklius ir palikite bendrą vardiklį nepakeistą.

Jei minuendo skaitiklis yra mažesnis už potraukį, turime išsiaiškinti, ar turime mišrų skaičių, ar tinkamą trupmeną.

Pirmuoju atveju reikia pasiskolinti vieną iš visos dalies. Pridėkite vardiklį prie trupmenos skaitiklio. Ir tada atlikite atimtį.

Antruoju atveju reikia taikyti taisyklę iš mažesnio skaičiaus atimti didesnį skaičių. Tai yra, iš subtrahend modulio atimkite minuend modulį ir atsakydami įdėkite ženklą „-“.

Atidžiai pažiūrėkite į sudėjimo (atimties) rezultatą. Jei gausite netinkamą trupmeną, turite pasirinkti visą dalį. Tai yra, padalinkite skaitiklį iš vardiklio.

Daugyba ir dalyba

Norint juos atlikti, trupmenų nereikia redukuoti iki bendro vardiklio. Taip lengviau atlikti veiksmus. Tačiau jie vis tiek reikalauja laikytis taisyklių.

Dauginant trupmenas reikia žiūrėti į skaičius skaitikliuose ir vardikliuose. Jei kuris nors skaitiklis ir vardiklis turi bendrą koeficientą, tada juos galima sumažinti.

Padauginkite skaitiklius.

Padauginkite vardiklius.

Jei rezultatas yra sumažinama trupmena, tada ją reikia dar kartą supaprastinti.

Dalindami pirmiausia turite pakeisti dalybą daugyba, o daliklį (antrąją trupmeną) - atsakomąją trupmeną (sukeisti skaitiklį ir vardiklį).

Tada atlikite daugybos veiksmus (pradedant nuo 1 punkto).

Užduotyse, kuriose reikia padauginti (padalyti) iš sveikojo skaičiaus, pastarasis turi būti parašytas formoje netinkama trupmena. Tai yra, kai vardiklis yra 1. Tada elkitės taip, kaip aprašyta aukščiau.

Veiksmai su dešimtainėmis dalimis

Sudėjimas ir atėmimas

Žinoma, jūs visada galite konvertuoti dešimtainį skaičių į trupmeną. Ir elkitės pagal jau aprašytą planą. Tačiau kartais patogiau veikti be šio vertimo. Tada jų pridėjimo ir atėmimo taisyklės bus lygiai tokios pačios.

Išlyginkite skaitmenų skaičių trupmeninėje skaičiaus dalyje, ty po kablelio. Pridėkite trūkstamą nulių skaičių.

Parašykite trupmenas taip, kad kablelis būtų žemiau kablelio.

Sudėkite (atimkite) kaip natūraliuosius skaičius.

Pašalinkite kablelį.

Daugyba ir dalyba

Svarbu, kad čia nereikėtų pridėti nulių. Trupmenos turėtų būti paliktos tokios, kokios pateiktos pavyzdyje. Ir tada eik pagal planą.

Norėdami padauginti, turite rašyti trupmenas vieną po kitos, nekreipdami dėmesio į kablelius.

Padauginkite kaip natūraliuosius skaičius.

Atsakyme padėkite kablelį, nuo dešiniojo atsakymo galo skaičiuodami tiek skaitmenų, kiek jų yra abiejų faktorių trupmeninėse dalyse.

Norėdami padalyti, pirmiausia turite transformuoti daliklį: padaryti jį natūraliu skaičiumi. Tai yra, padauginkite jį iš 10, 100 ir tt, priklausomai nuo to, kiek skaitmenų yra daliklio trupmeninėje dalyje.

Padauginkite dividendą iš to paties skaičiaus.

Padalinkite dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Kai baigiasi visos dalies padalijimas, atsakyme dėkite kablelį.

Ką daryti, jei viename pavyzdyje yra abiejų tipų trupmenos?

Taip, matematikoje dažnai yra pavyzdžių, kai reikia atlikti operacijas su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis. Tokiose užduotyse galimi du sprendimai. Reikia objektyviai pasverti skaičius ir pasirinkti optimaliausią.

Pirmasis būdas: pavaizduokite įprastus dešimtainius

Jis tinkamas, jei padalijus arba išvertus gaunamos baigtinės trupmenos. Jei bent vienas skaičius suteikia periodinę dalį, tada ši technika yra draudžiama. Todėl, net jei jums nepatinka dirbti su paprastosiomis trupmenomis, turėsite jas skaičiuoti.

Antrasis būdas: dešimtaines trupmenas rašykite kaip įprastą

Ši technika yra patogi, jei dalyje po kablelio yra 1–2 skaitmenys. Jei jų yra daugiau, galite gauti labai didelę bendrąją trupmeną, o dešimtainis žymėjimas padės greičiau ir lengviau apskaičiuoti užduotį. Todėl visada reikia blaiviai įvertinti užduotį ir pasirinkti paprasčiausią sprendimo būdą.

Norint parašyti racionalųjį skaičių m/n kaip dešimtainę trupmeną, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio. Šiuo atveju koeficientas rašomas kaip baigtinė arba begalinė dešimtainė trupmena.

Parašykite šį skaičių kaip dešimtainę trupmeną.

Sprendimas. Padalinkite kiekvienos trupmenos skaitiklį į stulpelį pagal vardiklį: A) padalinti 6 iš 25; b) padalinti 2 iš 3; V) padalinkite 1 iš 2, o gautą trupmeną pridėkite prie vienos - sveikosios duotosios dalies mišrus skaičius.

Neredukuojamos paprastosios trupmenos, kurių vardikliuose nėra kitų pirminių faktorių, išskyrus 2 Ir 5 , rašomi kaip paskutinė dešimtainė trupmena.

IN 1 pavyzdys tuo atveju A) vardiklis 25=5·5; tuo atveju V) vardiklis yra 2, taigi gauname paskutinius dešimtainius 0,24 ir 1,5. Tuo atveju b) vardiklis yra 3, todėl rezultatas negali būti parašytas kaip baigtinis dešimtainis.

Ar galima šiuos duomenis paversti į dešimtainę trupmeną be ilgo padalijimo? bendroji trupmena, kurio vardiklyje nėra kitų daliklių, išskyrus 2 ir 5? Išsiaiškinkime! Kokia trupmena vadinama dešimtaine ir rašoma be trupmenos juostos? Atsakymas: trupmena su vardikliu 10; 100; 1000 ir kt. Ir kiekvienas iš šių skaičių yra produktas lygus dvejetų ir penketukų skaičius. Iš tikrųjų: 10=2 ·5 ; 100 = 2 · 5 · 2 · 5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 ir tt

Todėl neredukuojamos paprastosios trupmenos vardiklis turės būti pavaizduotas kaip „dviejų“ ir „penkių“ sandauga, o po to padaugintas iš 2 ir (arba) 5, kad „du“ ir „penki“ būtų lygūs. Tada trupmenos vardiklis bus lygus 10 arba 100 arba 1000 ir pan. Kad trupmenos reikšmė nesikeistų, trupmenos skaitiklį padauginame iš to paties skaičiaus, iš kurio padauginome vardiklį.

Išreikškite šias bendrąsias trupmenas po kablelio:

Sprendimas. Kiekviena iš šių frakcijų yra neredukuojama. Išplėskime kiekvienos trupmenos vardiklį į pagrindiniai veiksniai.

20=2·2·5. Išvada: trūksta vieno „A“.

8=2·2·2. Išvada: trūksta trijų „A“.

25=5·5. Išvada: trūksta dviejų „dviejų“.

komentuoti. Praktikoje jie dažnai nenaudoja vardiklio faktorizavimo, o tiesiog užduoda klausimą: iš kiek reikia padauginti vardiklį, kad rezultatas būtų vienas su nuliais (10 arba 100, 1000 ir pan.). Ir tada skaitiklis padauginamas iš to paties skaičiaus.

Taigi, tuo atveju A)(2 pavyzdys) iš skaičiaus 20 galite gauti 100 padauginę iš 5, todėl skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš 5.

Tuo atveju b)(2 pavyzdys) iš skaičiaus 8 nebus gautas skaičius 100, o skaičius 1000 bus gautas padauginus iš 125. Tiek trupmenos skaitiklis (3), tiek vardiklis (8) dauginami iš 125.

Tuo atveju V)(2 pavyzdys) iš 25 gausite 100, jei padauginsite iš 4. Tai reiškia, kad skaitiklis 8 turi būti padaugintas iš 4.

Vadinama begalinė dešimtainė trupmena, kurioje vienas ar daugiau skaitmenų nuolat kartojasi ta pačia seka periodiškai kaip dešimtainis. Pasikartojančių skaitmenų rinkinys vadinamas šios trupmenos periodu. Trumpumo dėlei trupmenos taškas rašomas vieną kartą, skliausteliuose.

Tuo atveju b)(1 pavyzdys) yra tik vienas pasikartojantis skaitmuo ir yra lygus 6. Todėl mūsų rezultatas 0,66... bus parašytas taip: 0,(6) . Jie skaito: nulis taško, šeši per laikotarpį.

Jeigu tarp kablelio ir pirmojo taško yra vienas ar daugiau nesikartojančių skaitmenų, tai tokia periodinė trupmena vadinama mišria periodine trupmena.

Neredukuojama bendroji trupmena, kurios vardiklis yra kartu su kitais daugiklis apima daugiklį 2 arba 5 , atsisuka į sumaišytas periodinė trupmena.

Užrašykite skaičius kaip dešimtainę trupmeną:

Bet kurį racionalųjį skaičių galima parašyti kaip begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Užrašykite skaičius kaip begalinę periodinę trupmeną.

Prisiminkite, kaip pačioje pirmoje pamokoje apie dešimtainius aš sakiau, kad yra skaitinių trupmenų, kurių negalima pavaizduoti kaip po kablelio (žr. pamoką „ Dešimtainės dalys“)? Taip pat išmokome apskaičiuoti trupmenų vardiklius, kad pamatytume, ar yra kitų skaičių, išskyrus 2 ir 5.

Taigi: melavau. Ir šiandien mes išmoksime išversti absoliučiai bet ką skaitinė trupmena po kablelio. Tuo pačiu susipažinsime su visa trupmenų klase, turinčia begalinę reikšmingą dalį.

Periodinis dešimtainis skaičius yra bet koks dešimtainis skaičius, kuris:

Reikšmingąją dalį sudaro begalinis skaičius skaitmenų;

Tam tikrais intervalais skaičiai reikšmingojoje dalyje kartojami.

Pasikartojančių skaitmenų rinkinys, sudarantis reikšmingąją dalį, vadinamas periodine trupmenos dalimi, o skaitmenų skaičius šioje aibėje vadinamas trupmenos periodu. Likęs reikšmingosios dalies segmentas, kuris nesikartoja, vadinamas neperiodine dalimi.

Kadangi yra daug apibrėžimų, verta išsamiai apsvarstyti keletą šių trupmenų:

Ši dalis dažniausiai atsiranda problemų atveju. Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: 1.

Neperiodinė dalis: 0,58; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: vėl 1.

Neperiodinė dalis: 1; periodinė dalis: 54; laikotarpio trukmė: 2.

Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 641025; periodo ilgis: 6. Patogumui pasikartojančios dalys viena nuo kitos atskiriamos tarpu – tai šiame sprendime nėra būtina.

Neperiodinė dalis: 3066; periodinė dalis: 6; laikotarpio trukmė: 1.

Kaip matote, periodinės trupmenos apibrėžimas grindžiamas sąvoka reikšminga skaičiaus dalis. Todėl, jei pamiršote, kas tai yra, rekomenduoju tai pakartoti - žiūrėkite pamoką „“.

Perėjimas prie periodinės dešimtainės trupmenos

Apsvarstykite paprastąją formos a /b trupmeną. Išskaidykime jo vardiklį į pirminius veiksnius. Yra dvi parinktys:

Išplėtimas apima tik koeficientus 2 ir 5. Šios trupmenos lengvai konvertuojamos į dešimtainę dalį – žr. pamoką „Dešimtainės trupmenos“. Mums tokie žmonės neįdomūs;
Išplėtime yra dar kažkas, išskyrus 2 ir 5. Šiuo atveju trupmena negali būti pavaizduota kaip dešimtainė dalis, tačiau ją galima paversti periodine dešimtaine dalimi.

Norėdami apibrėžti periodinę dešimtainę trupmeną, turite rasti jos periodines ir neperiodines dalis. Kaip? Konvertuokite trupmeną į netinkamą trupmeną, tada kampu padalykite skaitiklį iš vardiklio.

Tai atsitiks:

Išsiskirs pirmas visa dalis, jei jis yra;
Po kablelio gali būti keli skaičiai;
Po kurio laiko prasidės skaičiai kartoti.

tai viskas! Pasikartojantys skaičiai po kablelio žymimi periodine dalimi, o esantys priekyje – neperiodine.

Užduotis. Paprastąsias trupmenas konvertuoti į periodines dešimtaines:

Visos trupmenos be sveikosios dalies, todėl skaitiklį tiesiog padalijame iš vardiklio su „kampu“:

Kaip matote, likučiai kartojasi. Parašykime trupmeną „teisinga“ forma: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultatas yra trupmena: 0,5833 ... = 0,58(3).

Rašome normalia forma: 4.0909 ... = 4,(09).

Gauname trupmeną: 0,4141 ... = 0,(41).

Perėjimas iš periodinės dešimtainės trupmenos į paprastąją trupmeną

Apsvarstykite periodinę dešimtainę trupmeną X = abc (a 1 b 1 c 1). Jį reikia paversti klasikiniu „dviejų aukštų“. Norėdami tai padaryti, atlikite keturis paprastus veiksmus:

Raskite trupmenos periodą, t.y. suskaičiuokite, kiek skaitmenų yra periodinėje dalyje. Tegul tai yra skaičius k;
Raskite išraiškos X · 10 k reikšmę. Tai prilygsta kablelio perkėlimui visas laikotarpisį dešinę - žiūrėkite pamoką „Dešimtainių skaičių dauginimas ir dalijimas“;
Pradinė išraiška turi būti atimta iš gauto skaičiaus. Tokiu atveju periodinė dalis „sudeginama“ ir lieka bendroji trupmena;
Gautoje lygtyje raskite X. Visas dešimtaines trupmenas paverčiame paprastosiomis trupmenomis.

Užduotis. Paverskite skaičių į įprastą neteisingą trupmeną:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

Dirbame su pirmąja trupmena: X = 9, (6) = 9,666 ...

Skliausteliuose yra tik vienas skaitmuo, taigi taškas yra k = 1. Toliau šią trupmeną padauginame iš 10 k = 10 1 = 10. Turime:

10X = 10 9,6666... = 96,666...

Atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Dabar pažvelkime į antrąją trupmeną. Taigi X = 32, (39) = 32,393939...

Laikotarpis k = 2, todėl viską padauginkite iš 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Dar kartą atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Pereikime prie trečiosios trupmenos: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Diagrama ta pati, todėl pateiksiu tik skaičiavimus:

Laikotarpis k = 1 ⇒ viską padauginti iš 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Galiausiai paskutinė trupmena: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Vėlgi, patogumo dėlei periodinės dalys viena nuo kitos atskirtos tarpais. Turime:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000 X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Šis straipsnis yra apie po kablelio. Čia mes nagrinėsime dešimtainį žymėjimą trupmeniniai skaičiai, pristatome dešimtainės trupmenos sąvoką ir pateikiame dešimtainių trupmenų pavyzdžių. Toliau kalbėsime apie dešimtainių trupmenų skaitmenis ir pateiksime skaitmenų pavadinimus. Po to mes sutelksime dėmesį į begalines dešimtaines trupmenas, pakalbėkime apie periodines ir neperiodines trupmenas. Toliau išvardijame pagrindines operacijas su dešimtainėmis trupmenomis. Pabaigoje nustatykime dešimtainių trupmenų vietą koordinačių pluošte.

Puslapio naršymas.

Trupmeninio skaičiaus dešimtainis žymėjimas

Skaitymas dešimtainiais

Pakalbėkime keletą žodžių apie dešimtainių trupmenų skaitymo taisykles.

Dešimtainės trupmenos, atitinkančios tinkamas paprastąsias trupmenas, skaitomos taip pat, kaip ir šios paprastosios trupmenos, tik iš pradžių pridedamas „nulis sveikasis skaičius“. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 0,12 atitinka bendrąją trupmeną 12/100 (skaitykite „dvylika šimtųjų dalių“), todėl 0,12 skaitoma kaip „nulis taško dvylika šimtųjų dalių“.

Dešimtainės trupmenos, atitinkančios mišrius skaičius, skaitomos lygiai taip pat, kaip ir šie mišrūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 56.002 atitinka mišrų skaičių, todėl dešimtainė trupmena 56.002 skaitoma kaip „penkiasdešimt šeši taškai dvi tūkstantosios dalys“.

Vietos po kablelio

Rašant dešimtaines trupmenas, taip pat rašant natūraliuosius skaičius, kiekvieno skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties. Iš tiesų, skaičius 3 dešimtainėje trupmenoje 0,3 reiškia tris dešimtąsias dalis, dešimtainėje trupmenoje 0,0003 - tris dešimtines dalis, o dešimtainėje trupmenoje 30 000,152 - tris dešimtis tūkstančių. Taigi galime kalbėti apie po kablelio, taip pat apie natūraliųjų skaičių skaitmenis.

Skaičių pavadinimai dešimtainėje trupmenoje iki kablelio visiškai sutampa su natūraliųjų skaičių skaitmenų pavadinimais. O dešimtainių ženklų pavadinimus po kablelio galima pamatyti iš šios lentelės.

Pavyzdžiui, dešimtainėje trupmenoje 37,051 skaitmuo 3 yra dešimtųjų, 7 - vienetų, 0 - dešimtosios, 5 - šimtosios, o 1 - tūkstantosios.

Vietos po kablelio trupmenomis taip pat skiriasi pirmenybe. Jei rašydami dešimtainę trupmeną pereiname nuo skaitmens prie skaitmens iš kairės į dešinę, tada judėsime nuo senjoraiĮ jaunesniųjų rangų. Pavyzdžiui, šimtų vieta yra senesnė nei dešimtoji, o milijoninė žemesnė už šimtąją. Tam tikroje paskutinėje dešimtainėje trupmenoje galime kalbėti apie didžiuosius ir mažuosius skaitmenis. Pavyzdžiui, dešimtaine trupmena 604,9387 vyresnysis (aukščiausias) vieta yra šimtai vieta ir jaunesnysis (žemiausias)- dešimties tūkstančių dalių skaitmuo.

Dešimtainės trupmenos išplečiamos į skaitmenis. Tai panašu į išplėtimą į natūraliųjų skaičių skaitmenis. Pavyzdžiui, 45,6072 išplėtimas į kablelius yra toks: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. O sudėjimo savybės iš dešimtainės trupmenos skaidymo į skaitmenis leidžia pereiti prie kitų šios dešimtainės trupmenos atvaizdų, pavyzdžiui, 45.6072=45+0.6072 arba 45.6072=40.6+5.007+0.0002 arba 45.6072=74+5.072 0.6.

Pabaigos po kablelio

Iki šiol kalbėjome tik apie dešimtaines trupmenas, kurių žymėjime yra baigtinis skaičius skaitmenų po kablelio. Tokios trupmenos vadinamos baigtinėmis dešimtainėmis dalimis.

Apibrėžimas.

Pabaigos po kablelio- Tai yra dešimtainės trupmenos, kurių įrašuose yra baigtinis simbolių (skaitmenų) skaičius.

Štai keletas galutinių dešimtainių trupmenų pavyzdžių: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Tačiau ne kiekviena trupmena gali būti pateikiama kaip paskutinis dešimtainis skaičius. Pavyzdžiui, trupmena 5/13 negali būti pakeista lygia trupmena, kurios vardiklis yra 10, 100, ..., todėl negali būti konvertuojamas į galutinę dešimtainę trupmeną. Plačiau apie tai kalbėsime teorijos skyriuje, paprastąsias trupmenas konvertuodami į dešimtaines.

Begalinis dešimtainis skaičius: periodinės ir neperiodinės trupmenos

Rašant dešimtainę trupmeną po kablelio, galima leisti begalinį skaitmenų skaičių. Šiuo atveju mes apsvarstysime vadinamąsias begalines dešimtaines trupmenas.

Apibrėžimas.

Begalinis dešimtainis skaičius- Tai yra dešimtainės trupmenos, kuriose yra begalinis skaičius skaitmenų.

Aišku, kad begalinių dešimtainių trupmenų pilna forma užrašyti negalime, todėl jas įrašydami apsiribojame tik tam tikru baigtiniu skaitmenų skaičiumi po kablelio ir dedame elipsę, rodančią be galo besitęsiančią skaitmenų seką. Štai keletas begalinių dešimtainių trupmenų pavyzdžių: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Jei atidžiai pažvelgsite į paskutines dvi begalines dešimtaines trupmenas, tai trupmenoje 2.111111111... aiškiai matomas be galo besikartojantis skaičius 1, o trupmenoje 69.74152152152..., pradedant nuo trečio po kablelio, pasikartojanti skaičių grupė 1, 5 ir 2 yra aiškiai matomi. Tokios begalinės dešimtainės trupmenos vadinamos periodinėmis.

Apibrėžimas.

Periodiniai dešimtainiai(arba tiesiog periodinės trupmenos) yra nesibaigiančios dešimtainės trupmenos, kurias įrašant, pradedant nuo tam tikro kablelio, be galo kartojamas koks nors skaičius ar skaičių grupė, kuri vadinama trupmenos laikotarpis.

Pavyzdžiui, periodinės trupmenos 2,111111111... laikotarpis yra skaitmuo 1, o trupmenos 69,74152152152... laikotarpis yra 152 formos skaitmenų grupė.

Begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms taikoma speciali žymėjimo forma. Trumpumo dėlei susitarėme vieną kartą užrašyti tašką, įdėdami jį skliausteliuose. Pavyzdžiui, periodinė trupmena 2.111111111... rašoma kaip 2,(1) , o periodinė trupmena 69.74152152152... rašoma kaip 69.74(152) .

Verta paminėti, kad tai pačiai periodinei dešimtainei trupmenai gali būti nurodyti skirtingi laikotarpiai. Pavyzdžiui, periodinė dešimtainė trupmena 0,73333... gali būti laikoma trupmena 0,7(3), kurios taškas yra 3, taip pat trupmena 0,7(33), kai taškas yra 33, ir tt 0,7(333), 0,7 (3333), ... Taip pat galite pažvelgti į periodinę trupmeną 0,73333 ... taip: 0,733 (3), arba taip 0,73 (333) ir pan. Čia, siekiant išvengti dviprasmybių ir neatitikimų, sutinkame dešimtainės trupmenos periodu laikyti trumpiausią iš visų galimų pasikartojančių skaitmenų sekų, pradedant nuo artimiausios padėties iki kablelio. Tai yra, dešimtainės trupmenos 0,73333... periodas bus laikomas vieno skaitmens 3 seka, o periodiškumas prasideda nuo antros padėties po kablelio, tai yra 0,73333...=0,7(3). Kitas pavyzdys: periodinės trupmenos 4.7412121212... periodas yra 12, periodiškumas prasideda nuo trečiojo skaitmens po kablelio, tai yra 4.7412121212...=4.74(12).

Begalinės dešimtainės periodinės trupmenos gaunamos paverčiant dešimtaines trupmenas paprastąsias trupmenas, kurių vardikliuose yra pirminiai koeficientai, išskyrus 2 ir 5.

Čia verta paminėti periodines trupmenas, kurių taškas yra 9. Pateiksime tokių trupmenų pavyzdžių: 6.43(9) , 27,(9) . Šios trupmenos yra dar vienas žymėjimas periodinėms trupmenoms, kurių periodas 0, ir paprastai pakeičiamos periodinėmis trupmenomis su 0 periodu. Norėdami tai padaryti, 9 laikotarpis pakeičiamas 0 periodu, o kito didžiausio skaitmens reikšmė padidinama vienu. Pavyzdžiui, 7.24(9) formos trupmena su 9 tašku pakeičiama periodine trupmena su 7.25(0) formos periodine trupmena arba lygia galutine dešimtaine trupmena 7.25. Kitas pavyzdys: 4,(9)=5,(0)=5. Trupmenos su periodu 9 ir ją atitinkančios trupmenos lygybė su periodu 0 lengvai nustatoma pakeitus šias dešimtaines trupmenas lygiomis paprastosiomis trupmenomis.

Galiausiai, atidžiau pažvelkime į begalines dešimtaines trupmenas, kuriose nėra be galo pasikartojančios skaitmenų sekos. Jie vadinami neperiodiniais.

Apibrėžimas.

Nesikartojantis dešimtainis skaičius(arba tiesiog neperiodinės trupmenos) yra begalinės dešimtainės trupmenos, neturinčios taško.

Kartais neperiodinių trupmenų forma yra panaši į periodinių trupmenų formą, pavyzdžiui, 8.02002000200002... yra neperiodinė trupmena. Tokiais atvejais turėtumėte būti ypač atsargūs, kad pastebėtumėte skirtumą.

Atkreipkite dėmesį, kad neperiodinės trupmenos nekonvertuojamos į įprastas trupmenas, neperiodines dešimtaines trupmenas reiškia neracionalius skaičius.

Veiksmai su dešimtainėmis dalimis

Viena iš operacijų su dešimtainėmis trupmenomis yra palyginimas, taip pat apibrėžiamos keturios pagrindinės aritmetinės funkcijos operacijos su dešimtainėmis dalimis: sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba. Panagrinėkime atskirai kiekvieną veiksmą su dešimtainėmis trupmenomis.

Dešimtainių skaičių palyginimas iš esmės pagrįstas paprastųjų trupmenų, atitinkančių lyginamąsias dešimtaines trupmenas, palyginimu. Tačiau dešimtainių trupmenų pavertimas paprastosiomis trupmenomis yra gana daug darbo reikalaujantis procesas, o begalinės neperiodinės trupmenos negali būti vaizduojamos kaip paprastoji trupmena, todėl patogu naudoti dešimtainių trupmenų palyginimą vieta po skaitmens. Dešimtainių trupmenų palyginimas pagal vietą yra panašus į natūraliųjų skaičių palyginimą. Norėdami gauti daugiau išsamią informaciją Rekomenduojame išstudijuoti straipsnyje pateiktą medžiagą: dešimtainių trupmenų palyginimas, taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.

Pereikime prie kito žingsnio - dauginant po kablelio. Baigtinių dešimtainių trupmenų daugyba atliekama panašiai kaip dešimtainių trupmenų atėmimas, taisyklės, pavyzdžiai, daugybos iš natūraliųjų skaičių stulpelio sprendiniai. Periodinių trupmenų atveju daugyba gali būti sumažinta iki paprastųjų trupmenų dauginimo. Savo ruožtu begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų daugyba po jų apvalinimo sumažinama iki baigtinių dešimtainių trupmenų daugybos. Rekomenduojame toliau studijuoti straipsnyje pateiktą medžiagą: dešimtainių trupmenų daugyba, taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.

Koordinačių spindulio dešimtainės dalys

Tarp taškų ir kablelio yra vienas su vienu atitikimas.

Išsiaiškinkime, kaip sudaromi koordinačių spindulio taškai, atitinkantys tam tikrą dešimtainę trupmeną.

Galime pakeisti baigtines dešimtaines trupmenas ir begalines periodines dešimtaines trupmenas lygiomis paprastosiomis trupmenomis ir tada sudaryti atitinkamas įprastas trupmenas koordinačių spindulyje. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 1,4 atitinka bendrąją trupmeną 14/10, todėl taškas, kurio koordinatė 1,4, teigiama kryptimi pašalinamas iš pradžios 14 atkarpų, lygių vienetinės atkarpos dešimtajai daliai.

Dešimtainės trupmenos gali būti pažymėtos koordinačių spindulyje, pradedant nuo tam tikros dešimtainės trupmenos skaidymo į skaitmenis. Pavyzdžiui, reikia sukurti tašką, kurio koordinatė yra 16.3007, nes 16.3007=16+0.3+0.0007, tada į šį tašką galime patekti nuosekliai nutiesdami 16 vienetinių atkarpų nuo pradžios, 3 atkarpas, kurių ilgis lygus dešimtajai vienetas, ir 7 atkarpos, kurių ilgis lygus vieneto atkarpos dešimčiai tūkstantajai daliai.

Šis statybos būdas dešimtainiai skaičiai koordinačių spindulys leidžia kiek norite priartėti prie taško, atitinkančio begalinę dešimtainę trupmeną.

Kartais galima tiksliai nubraižyti tašką, atitinkantį begalinę dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui, , tada ši begalinė dešimtainė trupmena 1,41421... atitinka koordinačių spindulio tašką, nutolusį nuo koordinačių pradžios kvadrato, kurio kraštinė yra 1 vieneto atkarpos, įstrižainės ilgiu.

Atvirkštinis dešimtainės trupmenos gavimo procesas, atitinkantis duotą koordinačių spindulio tašką, yra vadinamasis. atkarpos dešimtainis matavimas. Išsiaiškinkime, kaip tai daroma.

Tegul mūsų užduotis yra patekti iš pradžios į nurodytą tašką koordinačių tiesėje (arba be galo priartėti prie jo, jei negalime jo pasiekti). Naudodami dešimtainį segmento matavimą, galime nuosekliai atskirti nuo pradžios bet kokį vienetų segmentų skaičių, tada segmentus, kurių ilgis lygus vieneto dešimtajai daliai, tada segmentus, kurių ilgis lygus šimtajai vieneto daliai ir pan. Užregistravę kiekvieno ilgio atkarpų skaičių, gauname dešimtainę trupmeną, atitinkančią tam tikrą koordinačių spindulio tašką.

Pavyzdžiui, norėdami patekti į tašką M aukščiau esančiame paveikslėlyje, turite atidėti 1 vieneto segmentą ir 4 segmentus, kurių ilgis yra lygus dešimtajai vieneto daliai. Taigi taškas M atitinka dešimtainę trupmeną 1.4.

Akivaizdu, kad koordinačių spindulio taškai, kurių negalima pasiekti atliekant dešimtainį matavimą, atitinka begalines dešimtaines trupmenas.

Nuorodos.

Matematika: vadovėlis 5 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – 21 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: iliustr. ISBN 5-346-00699-0.
Matematika. 6 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [N. Ya. Vilenkin ir kiti]. - 22 leidimas, red. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip trupmenas paverčiant po kablelio, taip pat apsvarstykite atvirkštinį procesą - dešimtainių trupmenų pavertimą įprastomis trupmenomis. Čia apibūdinsime trupmenų konvertavimo taisykles ir pateiksime detalūs sprendimai tipiniai pavyzdžiai.

Puslapio naršymas.

Trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Pažymėkime seką, kuria nagrinėsime trupmenas paverčiant dešimtainiais.

Pirmiausia pažiūrėsime, kaip pateikti trupmenas su vardikliais 10, 100, 1000, ... kaip po kablelio. Tai paaiškinama tuo, kad dešimtainės trupmenos iš esmės yra kompaktiška paprastųjų trupmenų rašymo forma su vardikliais 10, 100, ....

Po to eisime toliau ir parodysime, kaip parašyti bet kurią paprastąją trupmeną (ne tik tas, kurių vardikliai yra 10, 100, ...) kaip dešimtainę trupmeną. Taip traktuojant paprastąsias trupmenas, gaunamos ir baigtinės, ir begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.

Dabar pakalbėkime apie viską iš eilės.

Paprastųjų trupmenų, kurių vardikliai 10, 100, ..., konvertavimas į dešimtaines

Kai kurias tinkamas trupmenas reikia „iš anksto paruošti“, kad jas būtų galima konvertuoti į dešimtaines. Tai taikoma paprastosioms trupmenoms, kurių skaitmenų skaičius yra mažesnis už nulių skaičių vardiklyje. Pavyzdžiui, paprastąją trupmeną 2/100 pirmiausia reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną, tačiau trupmenai 9/10 paruošti nereikia.

„Preliminarus paruošimas“ tinkamų paprastųjų trupmenų konvertavimui į dešimtaines trupmenas susideda iš skaitiklio kairėje pridėjus tiek nulių, kad bendras ten esančių skaitmenų skaičius taptų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Pavyzdžiui, trupmena pridėjus nulius atrodys taip.

Paruošę tinkamą trupmeną, galite pradėti ją konvertuoti į dešimtainį skaičių.

Duokim taisyklė, kaip paversti tinkamą bendrąją trupmeną, kurios vardiklis yra 10, 100 arba 1 000 ... į dešimtainę trupmeną. Jį sudaro trys žingsniai:

parašyti 0;
po jo dedame dešimtainį tašką;
Užrašome skaičių iš skaitiklio (kartu su pridėtais nuliais, jei juos sudėjome).

Apsvarstykime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Konvertuokite tinkamą trupmeną 37/100 į dešimtainę.

Sprendimas.

Vardiklyje yra skaičius 100, kuris turi du nulius. Skaitiklyje yra skaičius 37, jo žymėjimas yra dviejų skaitmenų, todėl šios trupmenos nereikia ruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną.

Dabar rašome 0, dedame kablelį ir iš skaitiklio užrašome skaičių 37 ir gauname dešimtainę trupmeną 0,37.

Atsakymas:

0,37 .

Norėdami sustiprinti taisyklingų paprastųjų trupmenų su skaitikliais 10, 100, ... konvertavimo į dešimtaines trupmenas įgūdžius, išanalizuosime kito pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Užsirašyk teisinga trupmena 107/10 000 000 dešimtainiu tikslumu.

Sprendimas.

Skaitytuvo skaitmenų skaičius yra 3, o vardiklyje nulių skaičius yra 7, todėl šią bendrąją trupmeną reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę. Turime pridėti 7-3=4 nulius į kairę skaitiklyje, kad bendras ten esančių skaitmenų skaičius būtų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Mes gauname.

Belieka tik sukurti reikiamą dešimtainę trupmeną. Norėdami tai padaryti, pirmiausia rašome 0, antra, dedame kablelį, trečia, rašome skaičių iš skaitiklio kartu su nuliais 0000107, todėl gauname dešimtainę trupmeną 0,0000107.

Atsakymas:

0,0000107 .

Netinkamos trupmenos nereikalauja jokio pasiruošimo konvertuojant į dešimtaines dalis. Reikėtų laikytis toliau pateiktų nurodymų taisyklės, kaip netinkamas trupmenas su vardikliais 10, 100, ... konvertuoti į dešimtaines:

užsirašykite skaičių iš skaitiklio;
Mes naudojame dešimtainį tašką, kad atskirtume tiek skaitmenų dešinėje, kiek pradinės trupmenos vardiklyje yra nulių.

Panagrinėkime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdį.

Pavyzdys.

Konvertuokite netinkamą trupmeną 56 888 038 009/100 000 į dešimtainę.

Sprendimas.

Pirma, užrašome skaičių iš skaitiklio 56888038009, antra, 5 skaitmenis dešinėje atskiriame kableliu, nes pradinės trupmenos vardiklyje yra 5 nuliai. Dėl to turime dešimtainę trupmeną 568880.38009.

Atsakymas:

568 880,38009 .

Norėdami konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną, kurios trupmeninės dalies vardiklis yra skaičius 10, 100, arba 1000, ..., galite konvertuoti mišrų skaičių į netinkamą paprastąją trupmeną, o tada konvertuoti gautą skaičių. trupmeną į dešimtainę trupmeną. Bet taip pat galite naudoti toliau nurodytus dalykus taisyklė, kaip mišrius skaičius, kurių trupmeninis vardiklis yra 10, 100 arba 1000 ..., konvertuoti į dešimtaines trupmenas:

jei reikia, atlikite " preliminarus pasiruošimas» pradinio mišraus skaičiaus trupmeninė dalis, skaitiklyje kairėje pridedant reikiamą nulių skaičių;
užrašykite sveikąją pradinio mišraus skaičiaus dalį;
įdėti dešimtainį tašką;
Užrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtais nuliais.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kuriame atliekame visus būtinus veiksmus, kad mišrus skaičius būtų pateiktas kaip dešimtainė trupmena.

Pavyzdys.

Konvertuokite mišrų skaičių į dešimtainę.

Sprendimas.

Trupmeninės dalies vardiklyje yra 4 nuliai, o skaitiklyje yra skaičius 17, susidedantis iš 2 skaitmenų, todėl skaitiklio kairėje turime pridėti du nulius, kad skaitmenų skaičius būtų lygus nuliai vardiklyje. Tai padarius, skaitiklis bus 0017.

Dabar užrašome sveikąją pradinio skaičiaus dalį, tai yra skaičių 23, dedame dešimtainį tašką, po kurio įrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtais nuliais, tai yra, 0017, ir gauname norimą dešimtainį skaičių. trupmena 23,0017.

Trumpai užrašykite visą sprendimą: .

Žinoma, buvo galima iš pradžių pavaizduoti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną ir tada konvertuoti jį į dešimtainę trupmeną. Taikant šį metodą, sprendimas atrodo taip: .

Atsakymas:

23,0017 .

Trupmenų konvertavimas į baigtinius ir begalinius periodinius dešimtainius

Galite paversti ne tik paprastas trupmenas su vardikliais 10, 100, ... į dešimtainę trupmeną, bet ir paprastas trupmenas su kitais vardikliais. Dabar išsiaiškinsime, kaip tai daroma.

Kai kuriais atvejais pradinė paprastoji trupmena lengvai sumažinama iki vieno iš vardklių 10, 100, arba 1000, ... (žr. paprastosios trupmenos perkėlimą į naują vardiklį), po to nesunku pateikti gautą trupmeną kaip dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad trupmeną 2/5 galima sumažinti iki trupmenos, kurios vardiklis yra 10, tam reikia skaitiklį ir vardiklį padauginti iš 2, o tai duos trupmeną 4/10, o tai pagal taisyklės, aptartos ankstesnėje pastraipoje, lengvai konvertuojamos į dešimtainę trupmeną 0, 4.

Kitais atvejais turite naudoti kitą įprastos trupmenos konvertavimo į dešimtainį metodą, kurį dabar apsvarstysime.

Norint paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę trupmeną, trupmenos skaitiklis dalijamas iš vardiklio, skaitiklis pirmiausia pakeičiamas lygia dešimtaine trupmena su bet kokiu nulių skaičiumi po kablelio (apie tai kalbėjome skyriuje, lygus ir nelygios dešimtainės trupmenos). Šiuo atveju dalijimas atliekamas taip pat, kaip ir dalijimas natūraliųjų skaičių stulpeliu, o dalinyje dedamas kablelis po kablelio, kai baigiasi visos dividendo dalies dalijimas. Visa tai paaiškės iš toliau pateiktų pavyzdžių sprendimų.

Pavyzdys.

Paverskite trupmeną 621/4 į dešimtainę.

Sprendimas.

Pavaizduokime skaičių skaitiklyje 621 kaip dešimtainę trupmeną, pridėdami po kablelio po kablelio ir kelis nulius. Pirmiausia pridėkime 2 skaitmenis 0, vėliau, jei reikia, visada galime pridėti daugiau nulių. Taigi, mes turime 621,00.

Dabar skaičių 621 000 padalinkime iš 4 stulpeliu. Pirmieji trys žingsniai nesiskiria nuo natūraliųjų skaičių padalijimo iš stulpelio, po kurio gauname tokį paveikslėlį:

Taip gauname dividendų dešimtainį kablelį, o likusi dalis skiriasi nuo nulio. Tokiu atveju į koeficientą dedame dešimtainį tašką ir toliau dalijame stulpelyje, nekreipdami dėmesio į kablelius:

Tai užbaigia padalijimą ir gauname dešimtainę trupmeną 155,25, kuri atitinka pradinę paprastąją trupmeną.

Atsakymas:

155,25 .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite kito pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Konvertuokite trupmeną 21/800 į dešimtainę.

Sprendimas.

Norėdami konvertuoti šią bendrąją trupmeną į dešimtainę, dešimtainės trupmenos stulpeliu padalijame 21 000... iš 800. Atlikę pirmąjį veiksmą, į koeficientą turėsime įdėti kablelį, o tada tęsti padalijimą:

Galiausiai gavome likusią 0 dalį, tai užbaigia bendrosios trupmenos 21/400 konvertavimą į dešimtainę trupmeną ir gavome dešimtainę trupmeną 0,02625.

Atsakymas:

0,02625 .

Gali atsitikti taip, kad dalijant skaitiklį iš paprastosios trupmenos vardiklio, liekanos 0 vis tiek negauname. Tokiais atvejais padalijimas gali būti tęsiamas neribotą laiką. Tačiau, pradedant nuo tam tikro žingsnio, likučiai pradeda kartotis periodiškai, o koeficiento skaičiai taip pat kartojasi. Tai reiškia, kad pradinė trupmena paverčiama be galo periodine dešimtaine trupmena. Parodykime tai pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Parašykite trupmeną 19/44 kaip dešimtainį skaičių.

Sprendimas.

Norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, padalinkite iš stulpelio:

Jau aišku, kad dalijimosi likučiai 8 ir 36 pradėjo kartotis, o koeficiente kartojasi skaičiai 1 ir 8. Taigi pradinė bendroji trupmena 19/44 paverčiama periodine dešimtaine trupmena 0,43181818...=0,43(18).

Atsakymas:

0,43(18) .

Norėdami užbaigti šį klausimą, išsiaiškinsime, kurios paprastosios trupmenos gali būti paverstos baigtinėmis dešimtainėmis trupmenomis, o kurios gali būti konvertuojamos tik į periodines.

Turėkime prieš save neredukuojamą paprastąją trupmeną (jei trupmena redukuojama, tai pirmiausia trupmeną sumažiname), ir turime išsiaiškinti, į kurią dešimtainę trupmeną ją galima paversti – baigtinę ar periodinę.

Akivaizdu, kad jei paprastąją trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ..., tai gautą trupmeną galima nesunkiai paversti galutine dešimtaine trupmena pagal ankstesnėje pastraipoje aptartas taisykles. Bet į vardiklius 10, 100, 1000 ir t.t. Pateikiamos ne visos paprastosios trupmenos. Tik trupmenos, kurių vardikliai yra bent vienas iš skaičių 10, 100, ..., gali būti redukuojami į tokius vardiklius. O kokie skaičiai gali būti 10, 100, ... dalikliai? Skaičiai 10, 100, ... leis mums atsakyti į šį klausimą, ir jie yra tokie: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Iš to išplaukia, kad dalikliai yra 10, 100, 1000 ir kt. Gali būti tik skaičiai, kurių skaidymuose į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5.

Dabar galime padaryti bendrą išvadą apie paprastųjų trupmenų konvertavimą į dešimtaines:

jei skaidant vardiklį į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5, tai šią trupmeną galima paversti galutine dešimtaine trupmena;
jei vardiklio išplėtime, be dvejetų ir penketukų, yra ir kitų pirminiai skaičiai, tada ši trupmena konvertuojama į begalinę dešimtainę periodinę trupmeną.

Pavyzdys.

Nekonvertuodami įprastų trupmenų į dešimtainius, pasakykite man, kurios iš trupmenų 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 gali būti paverstos galutine dešimtaine trupmena, o kurias galima paversti tik periodine trupmena.

Sprendimas.

Trupmenos 47/20 vardiklis suskaidomas į pirminius koeficientus kaip 20=2·2·5. Šiame išplėtime yra tik dvejetai ir penketukai, todėl ši trupmena gali būti sumažinta iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ... (šiame pavyzdyje iki vardiklio 100), todėl gali būti konvertuojama į galutinį dešimtainį skaičių. trupmena.

Trupmenos 7/12 vardiklio išskaidymas į pirminius veiksnius yra 12=2·2·3. Kadangi joje yra pirminis koeficientas 3, kuris skiriasi nuo 2 ir 5, ši trupmena negali būti pavaizduota kaip baigtinis dešimtainis skaičius, bet gali būti konvertuojamas į periodinį dešimtainį skaičių.

Frakcija 21/56 – susitraukiantis, po susitraukimo įgauna formą 3/8. Vardiklio faktorinavimas į pirminius koeficientus turi tris koeficientus, lygius 2, todėl bendrąją trupmeną 3/8, taigi ir lygią trupmeną 21/56, galima paversti galutine dešimtaine trupmena.

Galiausiai trupmenos 31/17 vardiklio išplėtimas yra pats 17, todėl ši trupmena negali būti paversta į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet gali būti paversta begaline periodine trupmena.

Atsakymas:

47/20 ir 21/56 galima konvertuoti į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet 7/12 ir 31/17 galima konvertuoti tik į periodinę trupmeną.

Paprastosios trupmenos nekonvertuojamos į begalinius neperiodinius dešimtainius

Ankstesnėje pastraipoje pateikta informacija kelia klausimą: „Ar trupmenos skaitiklį padalijus iš vardiklio galima gauti begalinę neperiodinę trupmeną?

Atsakymas: ne. Konvertuojant bendrąją trupmeną, rezultatas gali būti baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Paaiškinkime, kodėl taip yra.

Iš dalijimosi su liekana teoremos aišku, kad liekana visada yra mažiau nei daliklis, tai yra, jei kurį nors sveikąjį skaičių padalinsime iš sveikojo skaičiaus q, tai liekana gali būti tik vienas iš skaičių 0, 1, 2, ..., q−1. Iš to išplaukia, kad stulpeliui padalijus sveikąją bendrosios trupmenos skaitiklio dalį iš vardiklio q, ne daugiau kaip q žingsniuose atsiras viena iš šių dviejų situacijų:

arba gausime 0 likutį, tai užbaigs padalijimą ir gausime galutinę dešimtainę trupmeną;
arba gausime jau anksčiau pasirodžiusią liekaną, po kurios likučiai pradės kartotis kaip ir ankstesniame pavyzdyje (kadangi dalijant lygius skaičius iš q gaunamos lygios liekanos, kas išplaukia iš jau minėtos dalijimosi teoremos), tai bus begalinė periodinė dešimtainė trupmena.

Kitų variantų negali būti, todėl paprastąją trupmeną konvertuojant į dešimtainę trupmeną, negalima gauti begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.

Iš šioje dalyje pateiktų argumentų taip pat matyti, kad dešimtainės trupmenos periodo ilgis visada yra mažesnis už atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklio reikšmę.

Dešimtainių skaičių konvertavimas į trupmenas

Dabar išsiaiškinkime, kaip dešimtainę trupmeną paversti įprastąja trupmena. Pradėkime nuo paskutinių dešimtainių trupmenų konvertavimo į paprastąsias trupmenas. Po to mes apsvarstysime begalinių periodinių dešimtainių trupmenų invertavimo metodą. Pabaigoje sakykime apie tai, kad neįmanoma begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų paversti paprastosiomis trupmenomis.

Dešimtainės dalies konvertavimas į trupmenas

Gauti trupmeną, kuri rašoma kaip paskutinis dešimtainis skaičius, yra gana paprasta. Galutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į paprastąją trupmeną taisyklė susideda iš trijų žingsnių:

pirma, į skaitiklį įrašykite nurodytą dešimtainę trupmeną, prieš tai atmetę dešimtainį tašką ir visus nulius kairėje, jei tokių yra;
antra, į vardiklį įrašykite vieną ir pridėkite tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
trečia, jei reikia, sumažinkite gautą frakciją.

Pažvelkime į pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Paverskite dešimtainį skaičių 3,025 į trupmeną.

Sprendimas.

Jei iš pradinės dešimtainės trupmenos pašalinsime kablelį, gausime skaičių 3 025. Kairėje nėra nulių, kuriuos išmestume. Taigi, norimos trupmenos skaitiklyje įrašome 3 025.

Į vardiklį įrašome skaičių 1, o jo dešinėje pridedame 3 nulius, nes pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio yra 3 skaitmenys.

Taigi gavome bendrąją trupmeną 3 025/1 000. Šią trupmeną galima sumažinti 25, gauname .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Paverskite dešimtainę trupmeną 0,0017 į trupmeną.

Sprendimas.

Be kablelio pradinė dešimtainė trupmena atrodo kaip 00017, atmetus nulius kairėje, gauname skaičių 17, kuris yra norimos paprastosios trupmenos skaitiklis.

Vardiklyje rašome vieną su keturiais nuliais, nes pradinė dešimtainė trupmena turi 4 skaitmenis po kablelio.

Dėl to mes turime paprastą dalį 17/10 000. Ši trupmena yra neredukuojama, o dešimtainė trupmena konvertuojama į paprastąją trupmeną.

Atsakymas:

Kai pradinės paskutinės dešimtainės trupmenos sveikoji dalis yra ne nulis, ją galima iš karto konvertuoti į mišrų skaičių, apeinant bendrąją trupmeną. Duokim paskutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių taisyklė:

skaičius prieš dešimtainį tašką turi būti parašytas kaip sveikoji norimo mišraus skaičiaus dalis;
trupmeninės dalies skaitiklyje reikia įrašyti skaičių, gautą iš pradinės dešimtainės trupmenos trupmeninės dalies, atmetus visus nulius kairėje;
trupmeninės dalies vardiklyje reikia užrašyti skaičių 1, prie kurio dešinėje pridėkite tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
jei reikia, sumažinkite gauto mišraus skaičiaus trupmeninę dalį.

Pažiūrėkime į dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių pavyzdį.

Pavyzdys.

Išreikškite dešimtainę trupmeną 152,06005 kaip mišrų skaičių