Nupjautos piramidės šoninės pusės plotas. Piramidė
Šioje pamokoje apžvelgsime nupjautinę piramidę, susipažinsime su taisyklingąja nupjautąja piramide, tyrinėsime jų savybes.
Prisiminkime n-kampės piramidės sampratą naudodami trikampės piramidės pavyzdį. Duotas trikampis ABC. Už trikampio plokštumos paimtas taškas P, sujungtas su trikampio viršūnėmis. Gautas daugiakampis paviršius vadinamas piramide (1 pav.).
Ryžiai. 1. Trikampė piramidė
Pjaukime piramidę plokštuma, lygiagrečia piramidės pagrindo plokštumai. Tarp šių plokštumų gauta figūra vadinama nupjautąja piramide (2 pav.).
Ryžiai. 2. Nupjauta piramidė
Esminiai elementai:
Viršutinė bazė;
ABC apatinė bazė;
Šoninis veidas;
Jei PH yra pradinės piramidės aukštis, tai yra nupjautinės piramidės aukštis.
Nupjautos piramidės savybės kyla dėl jos konstravimo būdo, būtent dėl pagrindų plokštumų lygiagretumo:
Visi nupjautos piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos. Apsvarstykite, pavyzdžiui, kraštą. Ji turi lygiagrečių plokštumų savybę (kadangi plokštumos lygiagrečios, jos išpjauna originalios AVR piramidės šoninį paviršių išilgai lygiagrečių tiesių), tačiau tuo pačiu nėra lygiagrečios. Akivaizdu, kad keturkampis yra trapecija, kaip ir visi nupjautos piramidės šoniniai paviršiai.
Pagrindų santykis yra vienodas visoms trapecijoms:
Turime keletą porų panašių trikampių su tuo pačiu panašumo koeficientu. Pavyzdžiui, trikampiai ir RAB yra panašūs dėl plokštumų lygiagretumo ir panašumo koeficiento:
Tuo pačiu metu trikampiai ir RVS yra panašūs su panašumo koeficientu:
Akivaizdu, kad visų trijų panašių trikampių porų panašumo koeficientai yra lygūs, todėl bazių santykis yra vienodas visoms trapecijoms.
Taisyklinga nupjauta piramidė – tai nupjautinė piramidė, gauta perpjaunant taisyklingą piramidę, kurios plokštuma lygiagreti pagrindui (3 pav.).
Ryžiai. 3. Taisyklinga nupjauta piramidė
Apibrėžimas.
Piramidė vadinama taisyklingąja, jei jos pagrindas yra taisyklingasis n-kampis, o jos viršūnė projektuojama į šio n-kampio centrą (įbrėžtojo ir apibrėžtojo apskritimo centrą).
Šiuo atveju piramidės pagrinde yra kvadratas, o viršus projektuojamas jo įstrižainių susikirtimo taške. Gauta taisyklinga keturkampė nupjauta piramidė ABCD turi apatinį ir viršutinį pagrindą. Pirminės piramidės aukštis RO, nupjautinės – (4 pav.).
Ryžiai. 4. Taisyklinga keturkampė nupjautinė piramidė
Apibrėžimas.
Nupjautinės piramidės aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš bet kurio vieno pagrindo taško į antrojo pagrindo plokštumą.
Pirminės piramidės apotemas yra RM (M – AB vidurys), nupjautinės piramidės apotemas – (4 pav.).
Apibrėžimas.
Nupjautos piramidės apotemas yra bet kurio šoninio paviršiaus aukštis.
Akivaizdu, kad visos nupjautinės piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, tai yra, šoniniai paviršiai yra lygios lygiašonės trapecijos.
Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusės pagrindų ir apotemos perimetrų sumos sandaugai.
Įrodymas (taisyklingai keturkampei nupjautinei piramidei – 4 pav.):
Taigi, turime įrodyti:
Šoninio paviršiaus plotas čia bus sudarytas iš šoninių paviršių plotų sumos - trapecijos. Kadangi trapecijos yra vienodos, turime:
Kvadratas lygiašonė trapecija yra pusės pagrindų sumos ir aukščio sandauga, apotemas yra trapecijos aukštis. Mes turime:
Q.E.D.
n kampų piramidei:
Kur n yra piramidės šoninių paviršių skaičius, a ir b yra trapecijos pagrindai ir apotemas.
Pagrindo šonai taisyklingai nupjauti keturkampė piramidė 
lygus 3 cm ir 9 cm, aukštis - 4 cm. Raskite šoninio paviršiaus plotą.
Ryžiai. 5. 1 uždavinio iliustracija
Sprendimas. Iliustruojame sąlygą:
Klausė: , ,
Per tašką O brėžiame tiesę MN, lygiagrečią dviem apatinio pagrindo kraštinėms, ir panašiai per tašką brėžiame tiesę (6 pav.). Kadangi nupjautinės piramidės pagrindų kvadratai ir konstrukcijos yra lygiagrečios, gauname trapeciją, lygią šoniniams paviršiams. Be to, jo pusė eis per šoninių paviršių viršutinių ir apatinių kraštų vidurius ir bus nupjautos piramidės apotema.
Ryžiai. 6. Papildomos konstrukcijos
Panagrinėkime gautą trapeciją (6 pav.). Šioje trapecijoje yra žinomas viršutinis pagrindas, apatinis pagrindas ir aukštis. Turite rasti pusę, kuri yra nurodytos nupjautos piramidės apotema. Brėžkime statmenai MN. Nuo taško nuleidžiame statmeną NQ. Pastebime, kad didesnė bazė yra padalinta į trijų centimetrų segmentus (). Apsvarstykite stačiakampį trikampį, kurio kojos yra žinomos, tai Egipto trikampis, naudodamiesi Pitagoro teorema nustatome hipotenuzės ilgį: 5 cm.
Dabar yra visi elementai, skirti nustatyti piramidės šoninio paviršiaus plotą:
Piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui. Pasitelkę trikampės piramidės pavyzdį, įrodykite, kad piramidės šoninės briaunos ir aukštis šios plokštumos dalijami į proporcingas dalis.
Įrodymas. Iliustruojame:
Ryžiai. 7. 2 uždavinio iliustracija
Pateikta RABC piramidė. PO – piramidės aukštis. Piramidė perpjaunama plokštuma, gaunama nupjauta piramidė ir. Taškas – RO aukščio susikirtimo taškas su nupjautinės piramidės pagrindo plokštuma. Būtina įrodyti:
Raktas į sprendimą yra lygiagrečių plokštumų savybė. Dvi lygiagrečios plokštumos kerta bet kurią trečiąją plokštumą taip, kad susikirtimo linijos būtų lygiagrečios. Iš čia: . Atitinkamų linijų lygiagretumas reiškia, kad yra keturios panašių trikampių poros:
Iš trikampių panašumo išplaukia atitinkamų kraštinių proporcingumas. Svarbi funkcija yra tai, kad šių trikampių panašumo koeficientai yra vienodi:
Q.E.D.
Taisyklinga trikampė piramidė RABC, kurios aukštis ir pagrindo kraštinė yra išskaidoma plokštuma, einančia per aukščio PH vidurį, lygiagrečią pagrindui ABC. Raskite gautos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Sprendimas. Iliustruojame:
Ryžiai. 8. 3 uždavinio iliustracija
ACB – taisyklingasis trikampis, H – šio trikampio centras (įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų centras). RM yra tam tikros piramidės apotemas. - nupjautos piramidės apotema. Pagal lygiagrečių plokštumų savybę (dvi lygiagrečios plokštumos nupjauna bet kurią trečią plokštumą taip, kad susikirtimo linijos būtų lygiagrečios), turime kelias poras panašių trikampių su vienodu panašumo koeficientu. Ypač mus domina santykiai:
Raskime NM. Tai yra apskritimo spindulys, įrašytas į pagrindą, mes žinome atitinkamą formulę:
Dabar iš dešiniojo trikampio PHM, naudodamiesi Pitagoro teorema, randame RM - pradinės piramidės apotemą:
Iš pradinio santykio:
Dabar žinome visus elementus, skirtus nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotui rasti:
Taigi, mes susipažinome su nupjautinės piramidės ir taisyklingos nupjautos piramidės sąvokomis, pateikėme pagrindinius apibrėžimus, išnagrinėjome savybes ir įrodėme teoremą apie šoninio paviršiaus plotą. Kitoje pamokoje pagrindinis dėmesys bus skiriamas problemų sprendimui.
Bibliografija
- I. M. Smirnova, V. A. Smirnovas. Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis mokiniams švietimo įstaigos(pagrindiniai ir profilio lygiai) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, red. ir papildomas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr.
- Sharygin I.F. Geometrija. 10-11 klasė: Bendrojo ugdymo vadovėlis švietimo įstaigos/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: iliustr.
- E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. Geometrija. 10 klasė: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu /E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6 leid., stereotipas. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: iliustr.
- Uztest.ru ().
- Fmclass.ru ().
- Webmath.expponenta.ru ().
Namų darbai
- 29.05.2016
Virpesių grandinė - elektros grandinė, kuriame yra induktorius, kondensatorius ir elektros energijos šaltinis. Kai grandinės elementai sujungiami nuosekliai, virpesių grandinė vadinama nuoseklia, o lygiagrečiai – lygiagrečia. Virpesių grandinė - paprasčiausia sistema, kuriame gali atsirasti laisvųjų elektromagnetinių virpesių. Grandinės rezonansinis dažnis nustatomas pagal vadinamąją Tomsono formulę: ƒ = 1/(2π√(LC)) Už ...
- 20.09.2014
Imtuvas skirtas priimti DV diapazono (150 kHz…300 kHz) signalus. Pagrindinis imtuvo bruožas yra antena, kurios induktyvumas yra didesnis nei įprastos magnetinės antenos. Tai leidžia naudoti derinimo kondensatoriaus talpą 4...20 pF diapazone, taip pat toks imtuvas turi priimtiną jautrumą ir nedidelį RF kelio stiprinimą. Imtuvas veikia su ausinėmis (ausinėmis), maitinamas...
- 24.09.2014
Šis prietaisas skirtas stebėti skysčio lygį rezervuaruose, kai tik skystis pakyla iki nustatytas lygisĮrenginys pradės nuolat pypsėti, kai skysčio lygis pasieks kritinį lygį. Įrenginys pradės pypsėti su pertrūkiais. Indikatorius susideda iš 2 generatorių, juos valdo jutiklio elementas E. Jis dedamas į baką lygiu iki ...
- 22.09.2014
KR1016VI1 yra skaitmeninis kelių programų laikmatis, sukurtas dirbti su ILC3-5\7 indikatoriumi. Jame galima skaičiuoti ir rodyti esamą laiką valandomis ir minutėmis, savaitės dieną ir valdymo kanalo numerį (9 aliarmai). Žadintuvo grandinė parodyta paveikslėlyje. Mikroschema yra su laikrodžiu. rezonatorius Q1 esant 32768Hz. maistas neigiamas, bendras pliusas tenka...
Piramidė. Nupjauta piramidė
Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .
Šoninis šonkaulis piramidės yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis vadinama piramidės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.
Šoninio paviršiaus plotas piramidė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Bendras paviršiaus plotas vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.
Teoremos
1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.
2. Jei piramidėje visos šoninės briaunos turi vienodo ilgio, tada piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, esančio šalia pagrindo, centrą.
3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įbrėžto apskritimo centrą.
Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga formulė yra:
Kur V- tūris;
S bazė– bazinis plotas;
H– piramidės aukštis.
Įprastos piramidės atveju teisingos šios formulės:
Kur p– bazinis perimetras;
h a– apotemas;
H- aukštis;
S pilnas
S pusė
S bazė– bazinis plotas;
V– taisyklingos piramidės tūris.
Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė yra taisyklingos piramidės dalis, esanti tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.
Pagrindai nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai – trapecijos. Aukštis Nupjautos piramidės atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis yra nupjautinės piramidės atkarpa plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.
Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:
(4)
Kur S 1 , S 2 – viršutinio ir apatinio pagrindo plotai;
S pilnas– bendras paviršiaus plotas;
S pusė– šoninio paviršiaus plotas;
H- aukštis;
V– nupjautinės piramidės tūris.
Taisyklingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:
Kur p 1 , p 2 – pagrindų perimetrai;
h a– taisyklingos nupjautinės piramidės apotema.
1 pavyzdys. Dešinėje trikampė piramidė dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite pasvirimo kampo liestinę šoninis šonkaulisį bazinę plokštumą.
Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).
 |
Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad prie pagrindo yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir kt. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo ir įbrėžto trikampio apskritimo centras ABC). Šoninio krašto pasvirimo kampas (pvz S.B.) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio S.B.šis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir O.B.. Tegul segmento ilgis BD lygus 3 A. Taškas APIE linijos segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: 
Iš randame: 
Atsakymas:
2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės lygios cm ir cm, o aukštis – 4 cm.
Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai lygios 2 cm ir 8 cm.
Atsakymas: 112 cm3.
3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.
Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).
Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikiami pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur ją rasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D– statmenai nuo A 1 proc AC. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Rasti DE Padarykime papildomą brėžinį, rodantį vaizdą iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE– viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai– spindulys, įrašytas į apskritimą ir 
OM– spindulys, įrašytas į apskritimą:
MK = DE.
Pagal Pitagoro teoremą iš
Šoninė veido sritis: 
Atsakymas:
4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai A Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.
Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.
Panaudokime teiginį, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE– viršūnių projekcija S piramidės pagrinde. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį pagrindo plokštumą. Naudodami teoremą apie plokštumos figūros ortogonaliosios projekcijos plotą, gauname:
Lygiai taip pat tai reiškia 
Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubraižykime trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE– į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.
Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Iš Pitagoro teoremos turime
