Figūros plotas yra apibrėžtas integralas. Figūros, apribotos tiesėmis y=f(x), x=g(y) ploto radimas

IN ankstesnis skyrius skirtą apibrėžtojo integralo geometrinės reikšmės analizei, gavome daugybę kreivinės trapecijos ploto skaičiavimo formulių:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x ištisinei ir neneigiamai funkcijai y = f (x) intervale [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x ištisinei ir neteigiamai funkcijai y = f (x) intervale [ a ; b ].

Šios formulės pritaikomos sprendžiant gana paprastas problemas. Iš tikrųjų dažnai turėsime dirbti su sudėtingesnėmis figūromis. Šiuo atžvilgiu šį skyrių skirsime algoritmų, skirtų apskaičiuoti figūrų plotą, kurį riboja funkcijos aiškia forma, t.y. kaip y = f(x) arba x = g(y).

Tegul funkcijos y = f 1 (x) ir y = f 2 (x) yra apibrėžtos ir tolydžios intervale [ a ; b ] ir f 1 (x) ≤ f 2 (x) bet kuriai x vertei iš [ a ; b ]. Tada figūros G ploto, apriboto tiesėmis x = a, x = b, y = f 1 (x) ir y = f 2 (x), apskaičiavimo formulė atrodys taip S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Panaši formulė bus taikoma ir figūros plotui, kurį riboja tiesės y = c, y = d, x = g 1 (y) ir x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Įrodymas

Pažvelkime į tris atvejus, kuriems formulė galios.

Pirmuoju atveju, atsižvelgiant į ploto adityvumo savybę, pradinės figūros G ir kreivinės trapecijos G 1 plotų suma yra lygi figūros G 2 plotui. Tai reiškia kad

Todėl S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Paskutinį perėjimą galime atlikti naudodami trečiąją apibrėžtojo integralo savybę.

Antruoju atveju lygybė yra teisinga: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafinė iliustracija atrodys taip:

Jei abi funkcijos yra neteigiamos, gauname: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafinė iliustracija atrodys taip:

Pereikime prie bendrojo atvejo, kai y = f 1 (x) ir y = f 2 (x) kerta O x ašį.

Susikirtimo taškus pažymime x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Šie taškai padalija atkarpą [a; b ] į n dalių x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, kur α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Vadinasi,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Paskutinį perėjimą galime atlikti naudodami penktąją apibrėžtojo integralo savybę.

Pavaizduokime bendrą atvejį grafike.

Formulė S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x gali būti laikoma įrodyta.

Dabar pereikime prie figūrų, kurias riboja linijos y = f (x) ir x = g (y), ploto apskaičiavimo pavyzdžių analizės.

Bet kurio iš pavyzdžių svarstymą pradėsime sudarydami grafiką. Vaizdas leis mums pavaizduoti sudėtingas formas kaip paprastesnių formų sąjungas. Jei dėl grafikų ir figūrų sudarymo ant jų kyla sunkumų, studijuodami funkciją galite perskaityti skyrių apie pagrindines elementariąsias funkcijas, geometrinę funkcijų grafikų transformaciją ir grafikų sudarymą.

1 pavyzdys

Būtina nustatyti figūros plotą, kurį riboja parabolė y = - x 2 + 6 x - 5 ir tiesės y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Sprendimas

Nubrėžkime grafiko linijas Dekarto koordinačių sistemoje.

Ant atkarpos [ 1 ; 4 ] parabolės y = - x 2 + 6 x - 5 grafikas yra virš tiesės y = - 1 3 x - 1 2. Šiuo atžvilgiu, norėdami gauti atsakymą, naudojame anksčiau gautą formulę, taip pat apibrėžtojo integralo apskaičiavimo metodą naudojant Niutono-Leibnizo formulę:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Atsakymas: S(G) = 13

Pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį.

2 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja linijos y = x + 2, y = x, x = 7.

Sprendimas

Šiuo atveju turime tik vieną tiesę, lygiagrečią x ašiai. Tai x = 7. Tam reikia patys rasti antrąją integracijos ribą.

Sukurkime grafiką ir nubraižykime jame uždavinio teiginyje pateiktas eilutes.

Turėdami grafiką prieš akis, galime nesunkiai nustatyti, kad apatinė integravimo riba bus tiesės y = x ir pusiau parabolės y = x + 2 grafiko susikirtimo taško abscisė. Norėdami rasti abscisę, naudojame lygybes:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Pasirodo, kad susikirtimo taško abscisė yra x = 2.

Atkreipiame jūsų dėmesį į tai, kad m bendras pavyzdys brėžinyje tiesės y = x + 2, y = x susikerta taške (2; 2), todėl tokios detalūs skaičiavimai gali pasirodyti nereikalingas. Mes atnešėme tai čia detalus sprendimas tik todėl, kad daugiau sunkių atvejų sprendimas gali būti ne toks akivaizdus. Tai reiškia, kad geriau visada analitiškai skaičiuoti tiesių susikirtimo koordinates.

Ant intervalo [ 2 ; 7] funkcijos y = x grafikas yra virš funkcijos y = x + 2 grafiko. Apskaičiuojant plotą, pritaikykime formulę:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Atsakymas: S (G) = 59 6

3 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja funkcijų y = 1 x ir y = - x 2 + 4 x - 2 grafikai.

Sprendimas

Nubraižykime linijas grafike.

Apibrėžkime integracijos ribas. Norėdami tai padaryti, mes nustatome linijų susikirtimo taškų koordinates, sulygindami išraiškas 1 x ir - x 2 + 4 x - 2. Jei x nėra nulis, lygybė 1 x = - x 2 + 4 x - 2 tampa lygiavertė trečiojo laipsnio lygčiai - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 su sveikųjų skaičių koeficientais. Norėdami atnaujinti atmintį apie tokių lygčių sprendimo algoritmą, galime kreiptis į skyrių „Kubinių lygčių sprendimas“.

Šios lygties šaknis yra x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Padalinę išraišką - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 iš dvinario x - 1, gauname: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x – 1) = 0

Likusias šaknis galime rasti iš lygties x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Radome intervalą x ∈ 1; 3 + 13 2, kuriame G paveikslas yra virš mėlynos ir žemiau raudonos linijos. Tai padeda mums nustatyti figūros plotą:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Atsakymas: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja kreivės y = x 3, y = - log 2 x + 1 ir abscisių ašis.

Sprendimas

Nubraižykime visas grafiko eilutes. Funkcijos y = - log 2 x + 1 grafiką galime gauti iš grafiko y = log 2 x, jei pastatysime jį simetriškai x ašies atžvilgiu ir perkelsime vienu vienetu aukštyn. X ašies lygtis yra y = 0.

Pažymėkime tiesių susikirtimo taškus.

Kaip matyti iš paveikslo, funkcijų y = x 3 ir y = 0 grafikai susikerta taške (0; 0). Taip atsitinka todėl, kad x = 0 yra vienintelė tikroji lygties x 3 = 0 šaknis.

x = 2 yra vienintelė lygties šaknis - log 2 x + 1 = 0, todėl funkcijų y = - log 2 x + 1 ir y = 0 grafikai susikerta taške (2; 0).

x = 1 yra vienintelė lygties šaknis x 3 = - log 2 x + 1 . Šiuo atžvilgiu funkcijų y = x 3 ir y = - log 2 x + 1 grafikai susikerta taške (1; 1). Paskutinis teiginys gali būti neaiškus, tačiau lygtis x 3 = - log 2 x + 1 negali turėti daugiau nei vienos šaknies, nes funkcija y = x 3 griežtai didėja, o funkcija y = - log 2 x + 1 yra griežtai mažėja.

Tolesnis sprendimas apima keletą variantų.

1 variantas

Figūrą G galime įsivaizduoti kaip dviejų kreivių trapecijų, esančių virš x ašies, sumą, iš kurių pirmoji yra žemiau vidurinės linijos atkarpoje x ∈ 0; 1, o antrasis yra žemiau raudonos linijos atkarpoje x ∈ 1; 2. Tai reiškia, kad plotas bus lygus S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Variantas Nr.2

G paveikslą galima pavaizduoti kaip dviejų figūrų skirtumą, iš kurių pirmoji yra virš x ašies ir žemiau mėlynos linijos atkarpoje x ∈ 0; 2, o antrasis tarp raudonos ir mėlynos linijų atkarpoje x ∈ 1; 2. Tai leidžia mums rasti sritį taip:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Šiuo atveju, norėdami rasti plotą, turėsite naudoti formulę, kurios forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Tiesą sakant, figūrą ribojančios linijos gali būti pavaizduotos kaip argumento y funkcijos.

Išspręskime lygtis y = x 3 ir - log 2 x + 1 x atžvilgiu:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Gauname reikiamą plotą:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Atsakymas: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5 pavyzdys

Būtina apskaičiuoti figūros plotą, kurį riboja linijos y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Sprendimas

Raudona linija braižome tiesę, apibrėžtą funkcija y = x. Liniją y = - 1 2 x + 4 nubrėžiame mėlyna spalva, o liniją y = 2 3 x - 3 juoda spalva.

Pažymėkime susikirtimo taškus.

Raskime funkcijų y = x ir y = - 1 2 x + 4 grafikų susikirtimo taškus:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Patikrinkite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ne Ar lygties sprendimas x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 yra lygties ⇒ (4; 2) susikirtimo taškas i y = x ir y = - 1 2 x sprendinys + 4

Raskime funkcijų y = x ir y = 2 3 x - 3 grafikų susikirtimo tašką:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Patikrinkite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 yra lygties ⇒ (9 ; 3) sprendinys taškas a s y = x ir y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Lygties sprendinio nėra

Raskime tiesių y = - 1 2 x + 4 ir y = 2 3 x - 3 susikirtimo tašką:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) susikirtimo taškas y = - 1 2 x + 4 ir y = 2 3 x - 3

1 būdas

Įsivaizduokime norimos figūros plotą kaip atskirų figūrų plotų sumą.

Tada figūros plotas yra:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

2 metodas

Pradinės figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip dviejų kitų figūrų suma.

Tada išsprendžiame tiesės lygtį x atžvilgiu ir tik po to pritaikome figūros ploto apskaičiavimo formulę.

y = x ⇒ x = y 2 raudona linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 juoda linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Taigi sritis yra:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 m + 9 2 - - 2 m + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 m + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 3 3 2 m. + 9 2 - y 2 d. = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kaip matote, vertės yra tos pačios.

Atsakymas: S (G) = 11 3

Norėdami rasti figūros plotą, kurį riboja nurodytos linijos, turime sukonstruoti linijas plokštumoje, rasti jų susikirtimo taškus ir pritaikyti formulę plotui rasti. IN šį skyrių Išnagrinėjome dažniausiai pasitaikančius problemų variantus.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tegul funkcija yra neneigiama ir tęstinė intervale. Tada pagal geometrinę apibrėžtojo integralo reikšmę kreivinės trapecijos plotas, kurį viršuje riboja šios funkcijos grafikas, žemiau ašies, kairėje ir dešinėje tiesiomis linijomis ir (žr. 2 pav.) apskaičiuojamas pagal formulę

9 pavyzdys. Raskite figūros, apribotos linija, plotą ir ašis.

Sprendimas. Funkcijų grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn. Pastatykime jį (3 pav.). Integravimo riboms nustatyti randame tiesės (parabolės) susikirtimo su ašimi (tiesia linija) taškus. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą

Mes gauname: , kur , ; vadinasi, , .

Ryžiai. 3

Figūros plotą randame pagal (5) formulę:

Jei funkcija yra neteigiama ir tęstinė atkarpoje , tada kreivinės trapecijos plotas, apribotas žemiau šios funkcijos grafiko, viršuje - ašimi, kairėje ir dešinėje - tiesėmis ir , apskaičiuojamas pagal formulę

. (6)

Jei funkcija yra ištisinė atkarpoje ir keičia ženklą baigtiniame taškų skaičiuje, tai užtamsintos figūros plotas (4 pav.) yra lygus algebrinė suma atitinkami apibrėžtieji integralai:

Ryžiai. 4

10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja ašis ir funkcijos grafikas ties .

Ryžiai. 5

Sprendimas. Padarykime piešinį (5 pav.). Reikalingas plotas yra plotų ir suma. Raskime kiekvieną iš šių sričių. Pirmiausia, išspręsdami sistemą, nustatome integracijos ribas Mes gauname , . Taigi:

;

.

Taigi, užtamsintos figūros plotas yra

(kv. vnt.).

Ryžiai. 6

Galiausiai, leiskite kreivinę trapeciją virš ir žemiau apriboti funkcijų grafikais, kurie tęsiasi segmente ir ,
o kairėje ir dešinėje – tiesios linijos ir (6 pav.). Tada jo plotas apskaičiuojamas pagal formulę

. (8)

11 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos ir.

Sprendimas.Šis paveikslas parodytas fig. 7. Apskaičiuokime jo plotą pagal (8) formulę. Išspręsdami lygčių sistemą randame, ; vadinasi, , . Segmente turime: . Tai reiškia, kad formulėje (8) imame kaip x, o kokybe – . Mes gauname:

(kv. vnt.).

Sudėtingesnės plotų skaičiavimo problemos išsprendžiamos padalijus figūrą į nesutampančius dalis ir visos figūros plotą apskaičiuojant kaip šių dalių plotų sumą.

Ryžiai. 7

12 pavyzdys Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , , .

Sprendimas. Padarykime piešinį (8 pav.). Ši figūra gali būti laikoma kreivine trapecija, kurią iš apačios riboja ašis, į kairę ir į dešinę - tiesiomis linijomis, o iš viršaus - su funkcijų grafikais ir. Kadangi figūrą iš viršaus riboja dviejų funkcijų grafikai, norėdami apskaičiuoti jos plotą, šią tiesės figūrą padalijame į dvi dalis (1 yra tiesių ir ) susikirtimo taško abscisė. Kiekvienos iš šių dalių plotas randamas pagal (4) formulę:

(kv. vnt.); (kv. vnt.). Taigi:

(kv. vnt.).

Ryžiai. 8

Ryžiai. 9

Apibendrinant pažymime, kad jei kreivinė trapecija yra apribota tiesiomis linijomis ir , ašimi ir ištisine kreive (9 pav.), tada jos plotas randamas pagal formulę

Revoliucijos kūno tūris

Tegul kreivinė trapecija, apribota atkarpoje ištisinės funkcijos grafiku, ašimi, tiesėmis ir , sukasi aplink ašį (10 pav.). Tada pagal formulę apskaičiuojamas gauto sukimosi kūno tūris

. (9)

13 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, ribojamos hiperbole, tiesėmis ir ašimi, ašį.

Sprendimas. Padarykime piešinį (11 pav.).

Iš problemos sąlygų matyti, kad . Iš (9) formulės gauname

.

Ryžiai. 10

Ryžiai. vienuolika

Kūno tūris, gautas sukantis aplink ašį OU kreivinė trapecija, apribota tiesiomis linijomis y = c Ir y = d, ašis OU ir atkarpoje ištisinės funkcijos grafikas (12 pav.), nustatoma pagal formulę

. (10)

Ryžiai. 12

14 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį OU kreivinė trapecija, apribota linijomis X 2 = 4adresu, y = 4, x = 0 (13 pav.).

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas randame integravimo ribas: , . Naudodami (10) formulę gauname:

Ryžiai. 13

Plokštumos kreivės lanko ilgis

Tegul kreivė, pateikta lygties , kur , yra plokštumoje (14 pav.).

Ryžiai. 14

Apibrėžimas. Lanko ilgis suprantamas kaip riba, iki kurios linksta į šį lanką įrašytos trūkinės linijos ilgis, kai trūkinės linijos grandžių skaičius linkęs į begalybę, o didžiausios grandies ilgis linkęs į nulį.

Jei funkcija ir jos išvestinė yra ištisinės atkarpoje, tai kreivės lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę

. (11)

15 pavyzdys. Apskaičiuokite kreivės, esančios tarp taškų, kurių lanko ilgį .

Sprendimas. Iš mūsų turimų probleminių sąlygų . Naudodami (11) formulę gauname:

.

4. Netinkami integralai
su begalinėmis integracijos ribomis

Įvedant apibrėžtojo integralo sąvoką, buvo daroma prielaida, kad tenkinamos šios dvi sąlygos:

a) integracijos ribos A ir yra baigtiniai;

b) integrandas apribotas intervalu.

Jei netenkinama bent viena iš šių sąlygų, iškviečiamas integralas ne savo.

Pirmiausia panagrinėkime netinkamus integralus su begalinėmis integravimo ribomis.

Apibrėžimas. Tegul funkcija yra apibrėžta ir tęstinė intervale o dešinėje neribota (15 pav.).

Jei netinkamasis integralas suartėja, tai ši sritis yra baigtinė; jei netinkamasis integralas išsiskiria, tai ši sritis yra begalinė.

Ryžiai. 15

Netinkamas integralas su begaline apatine integravimo riba apibrėžiamas panašiai:

. (13)

Šis integralas konverguoja, jei lygybės (13) dešiniosios pusės riba egzistuoja ir yra baigtinė; kitu atveju sakoma, kad integralas yra divergentinis.

Netinkamas integralas su dviem begalinėmis integravimo ribomis apibrėžiamas taip:

, (14)

kur с yra bet kuris intervalo taškas. Integralas konverguoja tik tada, jei abu integralai dešinėje lygybės (14) pusėje susilieja.

G) = [vardiklyje pasirinkite visą kvadratą: ] = [pakeitimas:

] =

Tai reiškia, kad netinkamas integralas suartėja ir jo reikšmė lygi .

Kaip įterpti matematines formulesį svetainę?

Jei kada nors reikės pridėti vieną ar dvi matematines formules į tinklalapį, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių pavidalu, kuriuos automatiškai sugeneruoja Wolfram Alpha. . Be paprastumo, šis universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemos. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet jau morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje nuolat naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią JavaScript biblioteką, kuri rodo matematinis žymėjimasžiniatinklio naršyklėse naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudotis MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, prie savo svetainės galite greitai prijungti MathJax scenarijų, kuris tinkamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) atsisiųskite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas – sudėtingesnis ir daug laiko reikalaujantis – pagreitins jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir vos per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba dokumentacijos puslapyje:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai seka ir įkeliama naujausios versijos MathJax. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. į šablono pradžią (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Bet kuris fraktalas konstruojamas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš likusių 20 mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą be galo, gauname Menger kempinę.

Šiame straipsnyje sužinosite, kaip rasti figūros plotą, apribotą linijomis, naudojant integralinius skaičiavimus. Pirmą kartą su tokios problemos formulavimu susiduriame vidurinėje mokykloje, kai ką tik baigėme apibrėžtųjų integralų studijas ir atėjo laikas praktiškai pradėti geometrinę įgytų žinių interpretaciją.

Taigi, ko reikia norint sėkmingai išspręsti figūros ploto, naudojant integralus, problemą:

• Gebėjimas atlikti kompetentingus brėžinius;
• Gebėjimas išspręsti apibrėžtą integralą naudojant garsioji formulė Niutonas-Leibnicas;
• Galimybė „pamatyti“ pelningesnį sprendimo variantą – t.y. supranti, kaip vienu ar kitu atveju bus patogiau vykdyti integraciją? Išilgai x ašies (OX) ar y ašies (OY)?
• Na, kur mes būtume be teisingų skaičiavimų?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti to kito tipo integralus, ir teisingus skaitinius skaičiavimus.

Figūros, apribotos linijomis, ploto skaičiavimo uždavinio sprendimo algoritmas:

1. Statome brėžinį. Patartina tai daryti ant languoto popieriaus lapo, dideliu mastu. Šios funkcijos pavadinimą pažymime pieštuku virš kiekvieno grafiko. Grafikai pasirašomi tik tolesnių skaičiavimų patogumui. Gavus norimos figūros grafiką, daugeliu atvejų iš karto bus aišku, kokios integracijos ribos bus naudojamos. Taigi problemą išsprendžiame grafiškai. Tačiau atsitinka taip, kad ribų reikšmės yra trupmeninės arba neracionalios. Todėl galite padaryti papildomi skaičiavimai, pereikime prie antrojo žingsnio.

2. Jei integravimo ribos nėra aiškiai nurodytos, tada randame grafikų susikirtimo taškus tarpusavyje ir žiūrime, ar mūsų grafinis sprendimas sutampa su analitiniu.

3. Toliau reikia išanalizuoti brėžinį. Priklausomai nuo to, kaip išdėstyti funkcijų grafikai, yra įvairių būdų, kaip rasti figūros plotą. Pasvarstykime skirtingų pavyzdžių kaip rasti figūros plotą naudojant integralus.

3.1. Klasikiškiausia ir paprasčiausia problemos versija yra tada, kai reikia rasti lenktos trapecijos plotą. Kas yra lenkta trapecija? Tai plokščia figūra, kurią riboja x ašis (y = 0), tiesės x = a, x = b ir bet kokia ištisinė kreivė intervale nuo a iki b. Be to, šis skaičius nėra neigiamas ir yra ne žemiau x ašies. Šiuo atveju kreivinės trapecijos plotas yra skaitiniu būdu lygus tam tikram integralui, apskaičiuotam pagal Niutono-Leibnizo formulę:

1 pavyzdys y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kokiomis linijomis riboja figūra? Turime parabolę y = x2 - 3x + 3, kuri yra virš OX ašies, ji yra neneigiama, nes turi visi šios parabolės taškai teigiamas vertes. Be to, pateiktos tiesės x = 1 ir x = 3, kurios eina lygiagrečiai operacinės stiprintuvo ašiai ir yra kairėje ir dešinėje esančios figūros ribinės linijos. Na, y = 0, kuri taip pat yra x ašis, kuri riboja figūrą iš apačios. Gauta figūra yra užtamsinta, kaip matyti iš paveikslo kairėje. Tokiu atveju galite nedelsiant pradėti spręsti problemą. Prieš mus yra paprastas išlenktos trapecijos pavyzdys, kurį išsprendžiame naudodami Niutono-Leibnizo formulę.

3.2. Ankstesnėje 3.1 pastraipoje nagrinėjome atvejį, kai lenkta trapecija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai problemos sąlygos yra tokios pačios, išskyrus tai, kad funkcija yra po x ašimi. Prie standartinės Niutono-Leibnizo formulės pridedamas minusas. Toliau apsvarstysime, kaip išspręsti tokią problemą.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN šiame pavyzdyje turime parabolę y = x2 + 6x + 2, kuri kyla iš po OX ašies, tiesės x = -4, x = -1, y = 0. Čia y = 0 riboja norimą skaičių iš viršaus. Tiesės x = -4 ir x = -1 yra ribos, per kurias bus skaičiuojamas apibrėžtasis integralas. Figūros ploto nustatymo problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su 1 pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad suteikta funkcija nėra teigiamas ir vis tiek tęsiasi intervale [-4; -1]. Ką reiškia ne teigiama? Kaip matyti iš paveikslo, figūra, esanti duotųjų x ribose, turi išskirtinai „neigiamas“ koordinates, kurias turime pamatyti ir atsiminti spręsdami problemą. Figūros ploto ieškome naudodami Niutono-Leibnizo formulę, tik su minuso ženklu pradžioje.

Straipsnis nebaigtas.

Pereikime prie integralinio skaičiavimo taikymo. Šioje pamokoje apžvelgsime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią plokštumos figūros ploto apskaičiavimo naudojant apibrėžtąjį integralą problemą. Galiausiai, tegul ją randa visi tie, kurie ieško prasmės aukštojoje matematikoje. Niekada nežinai. Mes turėsime tai priartinti gyvenime kaimo kotedžų rajonas elementariąsias funkcijas ir suraskite jos plotą naudodami apibrėžtąjį integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų susipažinti su Jo pamoka.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Nustatykite šiltai draugiškus santykius su apibrėžtaisiais integralais galite rasti puslapyje Apibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio konstravimą, todėl jūsų žinios ir įgūdžiai kuriant brėžinius taip pat bus svarbi problema. Bent jau turite mokėti sukurti tiesią liniją, parabolę ir hiperbolę.

Pradėkime nuo lenktos trapecijos. Išlenkta trapecija yra plokščia figūra, apribota kokios nors funkcijos grafiku y = f(x), ašis JAUTIS ir linijos x = a; x = b.

Kreivinės trapecijos plotas skaitine prasme yra lygus apibrėžtajam integralui

Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai sakėme, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingas faktas. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS. Tai yra, tam tikras integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą

Integrand

apibrėžia kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitinis lygus plotui atitinkama lenkta trapecija.

1 pavyzdys

, , , .

Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Svarbiausias punktas sprendimai – piešimas. Be to, brėžinys turi būti sudarytas TEISINGAI.

Statant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: pirmiausia geriau sukonstruoti visas tieses (jei yra) ir tik tada – paraboles, hiperboles ir kitų funkcijų grafikus. Taškinės konstrukcijos techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.

Padarykime piešinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis y= 0 nurodo ašį JAUTIS):

Išlenktos trapecijos neužtemdysime, čia aišku kokia sritis mes kalbame apie. Sprendimas tęsiasi taip:

Atkarpoje [-2; 1] funkcijų grafikas y = x 2 + 2 yra virš ašies JAUTIS, Štai kodėl:

Atsakymas:.

Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę

,

Žiūrėkite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai. Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Šiuo atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausiai keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą xy = 4, x = 2, x= 4 ir ašis JAUTIS.

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei po ašimi yra išlenkta trapecija JAUTIS?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = e-x, x= 1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jei lenkta trapecija yra visiškai po ašimi JAUTIS, tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:

Tokiu atveju:

.

Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x – x 2 , y = -x.

Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Konstruojant brėžinį ploto uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės susikirtimo taškus y = 2x – x 2 ir tiesiai y = -x. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Reiškia, apatinė riba integracija a= 0, viršutinė integravimo riba b= 3. Dažnai pelningiau ir greičiau konstruoti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Pakartokime, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai nustatomos „automatiškai“.

Ir dabar darbo formulė:

Jei segmente [ a; b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) yra didesnis arba lygus kokiai nors ištisinei funkcijai g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę:

Čia jau nebereikia galvoti, kur yra figūra – virš ašies ar žemiau ašies, o svarbu, kuris grafikas AUKŠČESČIAUS (kito grafiko atžvilgiu), o kuris PO.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl nuo 2 x – x 2 reikia atimti - x.

Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė y = 2x – x 2 viršuje ir tiesiai y = -x iš apačios.

2 segmente x – x 2 ≥ -x. Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:.

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos apatinėje pusplokštumoje (žr. 3 pavyzdį) yra specialus formulės atvejis.

.

Kadangi ašis JAUTIS pateikta lygtimi y= 0, ir funkcijos grafikas g(x), esantis žemiau ašies JAUTIS, Tai

.

O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl ​​neatsargumo... rastas netinkamos figūros plotas.

7 pavyzdys

Pirmiausia padarykime piešinį:

Figūra, kurios plotą turime rasti, yra nuspalvinta mėlyna spalva (atsargiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatsargumo jie dažnai nusprendžia, kad reikia rasti tamsesnę figūros sritį žalias!

Šis pavyzdys taip pat naudingas, nes jis apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje [-1; 1] virš ašies JAUTIS grafikas tiesus y = x+1;

2) Atkarpoje virš ašies JAUTIS yra hiperbolės grafikas y = (2/x).

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Pateikime lygtis „mokyklos“ forma

ir nupieškite tašką po taško:

Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: b = 1.

Bet kas yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra?

Gal būt, a=(-1/3)? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali taip pasirodyti a=(-1/4). Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?

Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.

Raskime grafikų susikirtimo taškus

Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

.

Vadinasi, a=(-1/3).

Tolesnis sprendimas yra trivialus. Svarbiausia nepainioti keitimų ir ženklų. Čia atlikti skaičiavimai nėra patys paprasčiausi. Ant segmento

, ,

pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.

Norėdami piešti tašką po taško, turite žinoti išvaizda sinusoidės. Apskritai pravartu žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikus, taip pat kai kurias sinusines reikšmes. Juos galima rasti verčių lentelėje trigonometrinės funkcijos. Kai kuriais atvejais (pavyzdžiui, šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.

Čia nėra problemų dėl integracijos ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos:

– „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:

Atkarpoje – funkcijos grafikas y= nuodėmė 3 x esantis virš ašies JAUTIS, Štai kodėl:

(1) Pamokoje Trigonometrinių funkcijų integralai galite pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami nelyginiais laipsniais. Nuskabome vieną sinusą.

(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę

(3) Pakeiskime kintamąjį t= cos x, tada: yra virš ašies, todėl:

.

.

Pastaba: atkreipkite dėmesį į tai, kaip čia naudojamas pagrindinės liestinės integralas trigonometrinė tapatybė

.