Nupjautos piramidės paviršiaus plotas. Internetinis skaičiuotuvas nupjautos piramidės paviršiaus plotui apskaičiuoti
yra daugiakampis, sudarytas iš piramidės pagrindo ir jam lygiagrečios atkarpos. Galima sakyti, kad nupjauta piramidė yra piramidė su nupjauta viršūne. Ši figūra turi daug unikalių savybių:
- Šoniniai piramidės paviršiai yra trapecijos formos;
- Taisyklingos nupjautinės piramidės šoniniai kraštai yra vienodo ilgio ir pasvirę į pagrindą tokiu pat kampu;
- Pagrindai yra panašūs daugiakampiai;
- Taisyklingoje nupjautoje piramidėje veidai yra identiškos lygiašonės trapecijos, kurių plotas yra lygus. Jie taip pat yra pasvirę į pagrindą vienu kampu.
Nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra jos kraštinių plotų suma: 
Kadangi nupjautos piramidės kraštinės yra trapecijos, norėdami apskaičiuoti parametrus turėsite naudoti formulę trapecijos plotas. Įprastai sutrumpintai piramidei galite taikyti kitokią ploto skaičiavimo formulę. Kadangi visos jo kraštinės, paviršiai ir kampai prie pagrindo yra lygūs, galima taikyti pagrindo ir apotemos perimetrus, taip pat išvesti plotą per kampą prie pagrindo.
Jei pagal sąlygas taisyklingoje nupjautinėje piramidėje pateikiamas apotemas (kraštinės aukštis) ir pagrindo kraštinių ilgiai, tai plotas gali būti apskaičiuojamas per perimetrų sumos pusgaminį. bazės ir apotemas:
Pažvelkime į nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Duota taisyklinga penkiakampė piramidė. Apotema l= 5 cm, krašto ilgis dideliame pagrinde yra a= 6 cm, o kraštas yra ties mažesniu pagrindu b= 4 cm Apskaičiuokite nupjautos piramidės plotą.
Pirmiausia suraskime pagrindų perimetrus. Kadangi mums duota penkiakampė piramidė, suprantame, kad pagrindai yra penkiakampiai. Tai reiškia, kad pagrinduose yra figūra su penkiomis identiškomis kraštinėmis. Raskime didesnės bazės perimetrą:
Tuo pačiu būdu randame mažesnio pagrindo perimetrą:
Dabar galime apskaičiuoti taisyklingos nupjautos piramidės plotą. Pakeiskite duomenis į formulę:
Taigi, mes apskaičiavome taisyklingos nupjautos piramidės plotą per perimetrus ir apotemą.
Kitas būdas apskaičiuoti šoninio paviršiaus plotą taisyklinga piramidė, tai yra formulė per kampus prie pagrindo ir tų pačių pagrindų plotą.
Pažvelkime į skaičiavimo pavyzdį. Atminkite, kad ši formulė taikoma tik taisyklingai nupjautai piramidei.
Tegu yra taisyklinga keturkampė piramidė. Apatinio pagrindo kraštas a = 6 cm, o viršutinio pagrindo kraštas b = 4 cm Dvikampis kampas prie pagrindo yra β = 60°. Raskite taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Pirmiausia apskaičiuokime pagrindų plotą. Kadangi piramidė yra taisyklinga, visos pagrindų briaunos yra lygios viena kitai. Atsižvelgiant į tai, kad pagrindas yra keturkampis, suprantame, kad reikės skaičiuoti aikštės plotas. Tai yra pločio ir ilgio sandauga, tačiau kvadratu šios reikšmės yra vienodos. Raskime didesnės bazės plotą: 
Dabar mes naudojame rastas vertes šoninio paviršiaus plotui apskaičiuoti. 
Žinodami keletą paprastų formulių, naudodami įvairias reikšmes, lengvai apskaičiavome nupjautos piramidės šoninės trapecijos plotą.
Piramidė. Nupjauta piramidė
Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazę ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .
Šoninis šonkaulis piramidės yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visi šoniniai šonkauliai Taisyklingosios piramidės yra lygūs vienas kitam, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis vadinama piramidės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.
Šoninio paviršiaus plotas piramidė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Bendras paviršiaus plotas vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.
Teoremos
1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.
2. Jei piramidėje visos šoninės briaunos turi vienodo ilgio, tada piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, esančio šalia pagrindo, centrą.
3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įbrėžto apskritimo centrą.
Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga formulė yra:
Kur V- tūris;
S bazė– bazinis plotas;
H– piramidės aukštis.
Taisyklingai piramidei tinka šios formulės:
Kur p– bazinis perimetras;
h a– apotemas;
H- aukštis;
S pilnas
S pusė
S bazė– bazinis plotas;
V– taisyklingos piramidės tūris.
Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.
Pagrindai nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai – trapecijos. Aukštis Nupjautos piramidės atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis yra nupjautinės piramidės atkarpa plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.
Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:
(4)
Kur S 1 , S 2 – viršutinio ir apatinio pagrindo plotai;
S pilnas– bendras paviršiaus plotas;
S pusė– šoninio paviršiaus plotas;
H- aukštis;
V– nupjautinės piramidės tūris.
Taisyklingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:
Kur p 1 , p 2 – pagrindų perimetrai;
h a– taisyklingos nupjautinės piramidės apotema.
1 pavyzdys. Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.
Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).
 |
Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad prie pagrindo yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir kt. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo centras ir įbrėžtas trikampio apskritimas ABC). Šoninio krašto pasvirimo kampas (pvz S.B.) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio S.B.šis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir O.B.. Tegul segmento ilgis BD lygus 3 A. Taškas APIE segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: 
Iš randame: 
Atsakymas:
2 pavyzdys. Raskite tinkamo sutrumpinto tūrį keturkampė piramidė, jei jo pagrindų įstrižainės lygios cm ir cm, o aukštis 4 cm.
Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai lygios 2 cm ir 8 cm.
Atsakymas: 112 cm3.
3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.
Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).
Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikiami pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur ją surasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D– statmenai nuo A 1 proc AC. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Norėdami rasti DE Padarykime papildomą brėžinį, rodantį vaizdą iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE– viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai– spindulys, įrašytas į apskritimą ir 
OM– spindulys, įrašytas į apskritimą:
MK = DE.
Pagal Pitagoro teoremą iš
Šoninė veido sritis: 
Atsakymas:
4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai A Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.
Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.
Pasinaudokime teiginiu, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE– viršūnių projekcija S piramidės pagrinde. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį pagrindo plokštumą. Naudodami teoremą apie plokštumos figūros ortogonaliosios projekcijos plotą, gauname:
Lygiai taip pat tai reiškia 
Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubraižykime trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE– į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.
Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Iš Pitagoro teoremos turime
- 09.10.2014
Paveikslėlyje parodytas išankstinis stiprintuvas skirtas naudoti su 4 tipų garso šaltiniais, pavyzdžiui, mikrofonu, CD grotuvu, radiju ir tt Šiuo atveju pirminis stiprintuvas turi vieną įėjimą, kuris gali keisti jautrumą nuo 50 mV iki 500 mV. stiprintuvo išėjimo įtampa 1000mV. Prisijungimas skirtingų šaltinių signalą perjungiant jungiklį SA1, visada gauname ...
- 20.09.2014
Maitinimo šaltinis skirtas 15…20 W apkrovai. Šaltinis pagamintas pagal vieno ciklo impulsinio aukšto dažnio keitiklio grandinę. Tranzistorius naudojamas 20…40 kHz dažniu veikiančiam savaiminiam generatoriui surinkti. Dažnis reguliuojamas talpa C5. Elementai VD5, VD6 ir C6 sudaro automatinio generatoriaus paleidimo grandinę. Antrinėje grandinėje po tilto lygintuvo yra įprastas linijinis mikroschemos stabilizatorius, kuris leidžia turėti ...
- 28.09.2014
Paveikslėlyje parodytas K174XA11 mikroschemos pagrindu sukurtas generatorius, kurio dažnį valdo įtampa. Pakeitus talpą C1 nuo 560 iki 4700 pF, galima gauti platų dažnių diapazoną, o dažnis reguliuojamas keičiant varžą R4. Taigi, pavyzdžiui, autorius išsiaiškino, kad esant C1 = 560pF, generatoriaus dažnis gali būti pakeistas naudojant R4 nuo 600Hz iki 200kHz, ...
- 03.10.2014
Įrenginys skirtas maitinti galingą ULF, jis skirtas ±27V išėjimo įtampai ir iki 3A apkrovai kiekvienai rankai. Maitinimo šaltinis yra dvipolis, pagamintas iš sudėtinių tranzistorių KT825-KT827. Abi stabilizatoriaus petys pagamintos pagal tą pačią grandinę, tačiau kitoje (neparodyta) keičiamas kondensatorių poliškumas ir naudojami kitokio tipo tranzistoriai...
Šioje pamokoje apžvelgsime nupjautinę piramidę, susipažinsime su taisyklingąja nupjautąja piramide, tyrinėsime jų savybes.
Prisiminkime n-kampės piramidės sampratą naudodami trikampės piramidės pavyzdį. Duotas trikampis ABC. Už trikampio plokštumos paimtas taškas P, sujungtas su trikampio viršūnėmis. Gautas daugiakampis paviršius vadinamas piramide (1 pav.).
Ryžiai. 1. Trikampė piramidė
Pjaukime piramidę plokštuma, lygiagrečia piramidės pagrindo plokštumai. Tarp šių plokštumų gauta figūra vadinama nupjautąja piramide (2 pav.).
Ryžiai. 2. Nupjauta piramidė
Pagrindiniai elementai:
Viršutinė bazė;
ABC apatinė bazė;
Šoninis veidas;
Jei PH yra pradinės piramidės aukštis, tai yra nupjautosios piramidės aukštis.
Nupjautos piramidės savybės kyla dėl jos konstravimo būdo, būtent dėl pagrindų plokštumų lygiagretumo:
Visi nupjautos piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos. Apsvarstykite, pavyzdžiui, kraštą. Jis turi lygiagrečių plokštumų savybę (kadangi plokštumos lygiagrečios, jos išpjauna originalios AVR piramidės šoninį paviršių išilgai lygiagrečių tiesių), tačiau tuo pat metu nėra lygiagrečios. Akivaizdu, kad keturkampis yra trapecija, kaip ir visi nupjautos piramidės šoniniai paviršiai.
Pagrindų santykis yra vienodas visoms trapecijoms:
Turime keletą porų panašių trikampių su tuo pačiu panašumo koeficientu. Pavyzdžiui, trikampiai ir RAB yra panašūs dėl plokštumų lygiagretumo ir panašumo koeficiento:
Tuo pačiu metu trikampiai ir RVS yra panašūs su panašumo koeficientu:
Akivaizdu, kad visų trijų panašių trikampių porų panašumo koeficientai yra lygūs, todėl bazių santykis yra vienodas visoms trapecijoms.
Taisyklinga nupjauta piramidė – tai nupjautoji piramidė, gauta perpjaunant taisyklingąją piramidę, kurios plokštuma lygiagreti pagrindui (3 pav.).
Ryžiai. 3. Taisyklinga nupjauta piramidė
Apibrėžimas.
Piramidė vadinama taisyklingąja, jei jos pagrindas yra taisyklingasis n-kampis, o jos viršūnė projektuojama į šio n-kampio centrą (įbrėžtojo ir apibrėžtojo apskritimo centrą).
Šiuo atveju piramidės pagrinde yra kvadratas, o viršus projektuojamas jo įstrižainių susikirtimo taške. Gauta taisyklinga keturkampė nupjauta piramidė ABCD turi apatinį pagrindą ir viršutinį pagrindą. Pirminės piramidės aukštis RO, nupjautinės – (4 pav.).
Ryžiai. 4. Taisyklinga keturkampė nupjautinė piramidė
Apibrėžimas.
Nupjautinės piramidės aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš bet kurio vieno pagrindo taško į antrojo pagrindo plokštumą.
Pirminės piramidės apotemas yra RM (M – AB vidurys), nupjautinės piramidės apotemas – (4 pav.).
Apibrėžimas.
Nupjautos piramidės apotema yra bet kurio šoninio paviršiaus aukštis.
Akivaizdu, kad visos nupjautinės piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, tai yra, šoniniai paviršiai yra lygios lygiašonės trapecijos.
Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusės pagrindų ir apotemos perimetrų sumos sandaugai.
Įrodymas (taisyklingai keturkampei nupjautinei piramidei – 4 pav.):
Taigi, turime įrodyti:
Šoninio paviršiaus plotas čia bus sudarytas iš šoninių paviršių plotų sumos - trapecijos. Kadangi trapecijos yra vienodos, turime:
Kvadratas lygiašonė trapecija- yra pusės pagrindų sumos ir aukščio sandauga, apotemas yra trapecijos aukštis. Turime:
Q.E.D.
n kampų piramidei:
Kur n yra piramidės šoninių paviršių skaičius, a ir b yra trapecijos pagrindai ir apotemas.
Taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės pagrindo kraštinės 
lygus 3 cm ir 9 cm, aukštis - 4 cm. Raskite šoninio paviršiaus plotą.
Ryžiai. 5. 1 uždavinio iliustracija
Sprendimas. Iliustruojame sąlygą:
Klausė: , ,
Per tašką O brėžiame tiesę MN, lygiagrečią dviem apatinio pagrindo kraštinėms, ir panašiai per tašką brėžiame tiesę (6 pav.). Kadangi nupjautinės piramidės pagrindų kvadratai ir konstrukcijos yra lygiagrečios, gauname trapeciją, lygią šoniniams paviršiams. Be to, jo pusė eis per šoninių paviršių viršutinių ir apatinių kraštų vidurio taškus ir bus nupjautos piramidės apotema.
Ryžiai. 6. Papildomos konstrukcijos
Panagrinėkime gautą trapeciją (6 pav.). Šioje trapecijoje yra žinomas viršutinis pagrindas, apatinis pagrindas ir aukštis. Reikia surasti pusėje, kuris yra duotosios nupjautinės piramidės apotemas. Brėžkime statmenai MN. Nuo taško nuleidžiame statmeną NQ. Pastebime, kad didesnė bazė yra padalinta į trijų centimetrų segmentus (). Apsvarstykite stačiakampį trikampį, kurio kojos yra žinomos, tai Egipto trikampis, naudodamiesi Pitagoro teorema nustatome hipotenuzės ilgį: 5 cm.
Dabar yra visi elementai, skirti nustatyti piramidės šoninio paviršiaus plotą:
Piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui. Pasitelkę trikampės piramidės pavyzdį, įrodykite, kad piramidės šoninės briaunos ir aukštis šios plokštumos dalijami į proporcingas dalis.
Įrodymas. Iliustruojame:
Ryžiai. 7. 2 uždavinio iliustracija
Pateikta RABC piramidė. PO – piramidės aukštis. Piramidė perpjaunama plokštuma, gaunama nupjauta piramidė ir. Taškas – RO aukščio susikirtimo taškas su nupjautinės piramidės pagrindo plokštuma. Būtina įrodyti:
Raktas į sprendimą yra lygiagrečių plokštumų savybė. Dvi lygiagrečios plokštumos kerta bet kurią trečiąją plokštumą taip, kad susikirtimo linijos būtų lygiagrečios. Iš čia:. Atitinkamų linijų lygiagretumas reiškia, kad yra keturios panašių trikampių poros:
Iš trikampių panašumo išplaukia atitinkamų kraštinių proporcingumas. Svarbi funkcija yra tai, kad šių trikampių panašumo koeficientai yra vienodi:
Q.E.D.
Taisyklinga trikampė piramidė RABC, kurios aukštis ir pagrindo kraštinė yra išskaidoma plokštuma, einančia per aukščio PH vidurį, lygiagrečią pagrindui ABC. Raskite gautos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Sprendimas. Iliustruojame:
Ryžiai. 8. 3 uždavinio iliustracija
ACB – taisyklingas trikampis, H – šio trikampio centras (įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų centras). RM yra tam tikros piramidės apotemas. - nupjautos piramidės apotema. Pagal lygiagrečių plokštumų savybę (dvi lygiagrečios plokštumos nupjauna bet kurią trečią plokštumą taip, kad susikirtimo tiesės būtų lygiagrečios), turime kelias poras panašių trikampių su vienodu panašumo koeficientu. Ypač mus domina santykiai:
Raskime NM. Tai yra apskritimo spindulys, įrašytas į pagrindą, mes žinome atitinkamą formulę:
Dabar iš dešiniojo trikampio PHM, naudodamiesi Pitagoro teorema, randame RM - pradinės piramidės apotemą:
Iš pradinio santykio:
Dabar žinome visus elementus, skirtus nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotui rasti:
Taigi, mes susipažinome su nupjautinės piramidės ir taisyklingos nupjautos piramidės sąvokomis, pateikėme pagrindinius apibrėžimus, išnagrinėjome savybes ir įrodėme teoremą apie šoninio paviršiaus plotą. Kitoje pamokoje pagrindinis dėmesys bus skiriamas problemų sprendimui.
Nuorodos
- I. M. Smirnova, V. A. Smirnovas. Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų(pagrindinis ir profilio lygiai) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, red. ir papildomas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr.
- Šaryginas I. F. Geometrija. 10-11 klasė: Bendrojo ugdymo vadovėlis švietimo įstaigų/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: iliustr.
- E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. Geometrija. 10 klasė: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu /E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6 leid., stereotipas. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: iliustr.
- Uztest.ru ().
- Fmclass.ru ().
- Webmath.expponenta.ru ().
Namų darbai
