Atlikite išsamų funkcijų tyrimą ir sukurkite jų grafikus. Pilnas funkcijų tyrimo pavyzdys internete

Atlikite išsamų tyrimą ir nubraižykite funkciją

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funkcijos apimtis. Kadangi funkcija yra trupmena, turime rasti vardiklio nulius.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Vienintelį tašką x=1x=1 pašaliname iš funkcijos apibrėžimo srities ir gauname:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Ištirkime funkcijos elgesį netoli nutrūkimo taško. Raskime vienpuses ribas:

Kadangi ribos yra lygios begalybei, taškas x=1x=1 yra antrojo tipo nenutrūkstamumas, o tiesė x=1x=1 yra vertikali asimptotė.

3) Nustatykime funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.

Raskime susikirtimo su ordinačių ašimi OyOy taškus, kuriems prilyginame x=0x=0:

Taigi susikirtimo taškas su OyOy ašimi turi koordinates (0;8)(0;8).

Raskime susikirtimo su abscisių ašimi OxOx taškus, kuriems nustatome y=0y=0:

Lygtis neturi šaknų, todėl nėra susikirtimo taškų su OxOx ašimi.

Atminkite, kad x2+8>0x2+8>0 bet kuriam xx. Todėl x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcija y>0y>0(užima teigiamas vertes, grafikas yra virš x ašies), esant x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funkcijai y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė, nes:

5) Panagrinėkime periodiškumo funkciją. Funkcija nėra periodinė, nes tai trupmeninė racionali funkcija.

6) Panagrinėkime ekstremalumo ir monotoniškumo funkciją. Norėdami tai padaryti, randame pirmąją funkcijos išvestinę:

Prilyginkime pirmąją išvestinę nuliui ir raskime stacionarius taškus (kuriuose y′=0y′=0):

Gavome tris kritinius taškus: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Visą funkcijos apibrėžimo sritį padalinkime į intervalus su šiais taškais ir kiekviename intervale nustatykime išvestinės požymius:

Jei x∈(−∞; −2),(4;+∞)x∈(−∞; −2),(4;+∞) išvestinė y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Jei x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) išvestinė y′>0y′>0, funkcija didėja šiais intervalais.

Šiuo atveju x=−2x=−2 yra lokalus minimumo taškas (funkcija mažėja, o po to didėja), x=4x=4 yra vietinis maksimalus taškas (funkcija didėja ir mažėja).

Raskime funkcijos reikšmes šiuose taškuose:

Taigi mažiausias taškas yra (−2;4)(−2;4), didžiausias (4;−8)(4;−8).

7) Panagrinėkime kinkų ir išgaubimo funkciją. Raskime antrąją funkcijos išvestinę:

Antrąją išvestinę prilyginkime nuliui:

Gauta lygtis neturi šaknų, todėl nėra ir vingio taškų. Be to, kai x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 yra tenkinama, tai yra, funkcija yra įgaubta, kai x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) tenkina y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Panagrinėkime funkcijos elgseną begalybėje, tai yra ties .

Kadangi ribos yra begalinės, horizontalių asimptočių nėra.

Pabandykime nustatyti formos y=kx+by=kx+b pasvirusias asimptotes. Apskaičiuojame k,bk,b reikšmes naudodami žinomas formules:

Mes nustatėme, kad funkcija turi vieną įstrižą asimptotę y=-x-1y=-x-1.

9) Papildomi taškai. Apskaičiuokime funkcijos reikšmę kai kuriuose kituose taškuose, kad būtų galima tiksliau sudaryti grafiką.

y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.

10) Pagal gautus duomenis sukonstruosime grafiką, papildysime jį asimptotėmis x=1x=1 (mėlyna), y=−x−1y=−x−1 (žalia) ir pažymime charakteringus taškus (violetinė sankirta su ordinate ašis, oranžinis ekstremumas, juodi papildomi taškai):

4 užduotis: geometrinės, ekonominės problemos (neįsivaizduoju kas, čia yra apytikslis uždavinių pasirinkimas su sprendimais ir formulėmis)

3.23 pavyzdys. a

Sprendimas. x Ir y y
y = a – 2×a/4 =a/2. Kadangi x = a/4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkime, ar pereinant per šį tašką keičiasi išvestinės ženklas. Jei xa/4 S " > 0 ir x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 pavyzdys.

Sprendimas.
R = 2, H = 16/4 = 4.

3.22 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ekstremalumą.

Sprendimas. Kadangi f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), tada kritiniai funkcijos x 1 = 2 ir x 2 = 3 taškai. Ekstrema gali būti tik ties Taigi, kai eidama per tašką x 1 = 2, išvestinė pakeičia savo ženklą iš pliuso į minusą, tai šiame taške funkcija turi maksimumą iki pliuso, todėl taške x 2 = 3 funkcija turi minimumą, apskaičiavus funkcijos reikšmes taškuose
x 1 = 2 ir x 2 = 3, randame funkcijos kraštutinumus: maksimalus f(2) = 14 ir minimalus f(3) = 13.

3.23 pavyzdys. Prie akmeninės sienos reikia pastatyti stačiakampį plotą, kad ji iš trijų pusių būtų aptverta vielos tinkleliu, o ketvirta – greta sienos. Tam yra a linijiniai metrai tinklelio. Kokiu formatu svetainė turės didžiausią plotą?

Sprendimas. Pažymėkime platformos šonus x Ir y. Svetainės plotas S = xy. Leisti y- tai kraštinės, esančios greta sienos, ilgis. Tada pagal sąlygą lygybė 2x + y = a turi galioti. Todėl y = a - 2x ir S = x(a - 2x), kur
0 ≤ x ≤ a/2 (trinkelės ilgis ir plotis negali būti neigiami). S " = a - 4x, a - 4x = 0, kai x = a/4, iš kur
y = a – 2×a/4 =a/2. Kadangi x = a/4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkime, ar pereinant per šį tašką keičiasi išvestinės ženklas. Jei xa/4 S " > 0 ir x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 pavyzdys. Reikia pagaminti uždarą cilindrinę talpą V=16p ≈ 50 m 3 . Kokie turi būti bako išmatavimai (spindulys R ir aukštis H), kad jo gamybai būtų sunaudojama kuo mažiau medžiagų?

Sprendimas. Bendras cilindro paviršiaus plotas yra S = 2pR(R+H). Žinome cilindro tūrį V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Tai reiškia, kad S(R) = 2p(R 2 +16/R). Mes randame šios funkcijos išvestinę:
S "(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R 2). S "(R) = 0, jei R3 = 8, todėl
R = 2, H = 16/4 = 4.

Susijusi informacija.

Norint visiškai ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1) rasti funkcijos apibrėžimo sritį;

2) rasti funkcijos ir vertikalių asimptočių (jei jos yra) nenutrūkstamų taškų taškus;

3) ištirti funkcijos elgseną begalybėje, rasti horizontalias ir įstrižas asimptotes;

4) išnagrinėti funkciją paritetui (keistumui) ir periodiškumui (trigonometrinėms funkcijoms);

5) rasti funkcijos monotoniškumo ekstremumus ir intervalus;

6) nustatyti išgaubimo intervalus ir vingio taškus;

7) rasti susikirtimo taškus su koordinačių ašimis ir, jei įmanoma, keletą papildomų taškų, kurie patikslina grafiką.

Funkcijos tyrimas atliekamas kartu su jos grafiko konstravimu.

9 pavyzdys Ištirkite funkciją ir sukurkite grafiką.

1. Apibrėžimo sritis: ;

2. Funkcija nutrūksta taškuose
,
;

Nagrinėjame vertikalių asimptotų buvimo funkciją.

;
,
─ vertikali asimptotė.

;
,
─ vertikali asimptotė.

3. Nagrinėjame įstrižų ir horizontalių asimptotų buvimo funkciją.

Tiesiai
─ įstrižas asimptotas, jei
,
.

,
.

Tiesiai
─ horizontali asimptotė.

4. Funkcija lygi, nes
. Funkcijos paritetas rodo grafiko simetriją ordinačių ašies atžvilgiu.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremumus.

Raskime kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose išvestinė yra 0 arba neegzistuoja:
;
. Turime tris taškus
;

. Šie taškai padalija visą realiąją ašį į keturis intervalus. Apibrėžkime ženklus ant kiekvieno iš jų.

Intervaluose (-∞; -1) ir (-1; 0) funkcija didėja, intervaluose (0; 1) ir (1; +∞) ─ mažėja. Kai eina per tašką
išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, todėl šioje vietoje funkcija turi maksimumą
.

6. Raskite išgaubimo ir vingio taškų intervalus.

Raskime taškus, kuriuose yra 0 arba neegzistuoja.

neturi tikrų šaknų.
,
,

Taškai
Ir
realiąją ašį padalinkite į tris intervalus. Apibrėžkime ženklą kiekvienu intervalu.

Taigi, intervalų kreivė
Ir
išgaubtas žemyn, ant intervalo (-1;1) išgaubtas į viršų; vingio taškų nėra, nes funkcija yra taškuose
Ir
nenustatyta.

7. Raskite susikirtimo su ašimis taškus.

Su ašimi
funkcijos grafikas kertasi taške (0; -1), ir su ašimi
grafikas nesikerta, nes šios funkcijos skaitiklis neturi realių šaknų.

Pateiktos funkcijos grafikas parodytas 1 pav.

1 pav. ─ Funkcijų grafikas

Išvestinės finansinės priemonės sampratos taikymas ekonomikoje. Elastingumo funkcija

Ekonominiams procesams tirti ir kitoms taikomoms problemoms spręsti dažnai vartojama funkcijos elastingumo sąvoka.

Apibrėžimas. Elastingumo funkcija
vadinama funkcijos santykinio prieaugio santykio riba iki santykinio kintamojo prieaugio adresu
, . (VII)

Funkcijos elastingumas parodo, kiek maždaug procentų funkcija pasikeis
kai pasikeičia nepriklausomas kintamasis 1 proc.

Elastingumo funkcija naudojama analizuojant paklausą ir vartojimą. Jei paklausos elastingumas (absoliučia verte)
, tada paklausa laikoma elastinga, jei
─ neutralus, jei
─ neelastingas kainos (arba pajamų) atžvilgiu.

10 pavyzdys Apskaičiuokite funkcijos elastingumą
ir suraskite tamprumo indekso reikšmę = 3.

Sprendimas: pagal (VII) formulę funkcijos elastingumas yra:

Tada tegul x = 3
.Tai reiškia, kad jei nepriklausomas kintamasis padidės 1%, tai priklausomo kintamojo reikšmė padidės 1,42%.

11 pavyzdys Tegul paklausa veikia dėl kainos atrodo kaip
, Kur ─ pastovus koeficientas. Raskite paklausos funkcijos tamprumo rodiklio reikšmę, kai kaina x = 3 den. vienetų

Sprendimas: apskaičiuokite paklausos funkcijos elastingumą pagal (VII) formulę

Tikėdamas
piniginių vienetų, gauname
. Tai reiškia, kad už kainą
piniginių vienetų 1% pabrangus paklausa sumažės 6%, t.y. paklausa yra elastinga.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Atskaitos taškai tiriant funkcijas ir konstruojant jų grafikus yra būdingi taškai - pertrūkio, ekstremumo, vingio, susikirtimo su koordinačių ašimis taškai. Naudojant diferencialinį skaičiavimą, galima nustatyti būdingus funkcijų kitimo požymius: didėjimą ir mažėjimą, maksimumus ir minimumus, grafiko išgaubimo ir įgaubimo kryptį, asimptotų buvimą.

Suradus asimptotes ir ekstremumo taškus galima (ir reikia) nubraižyti funkcijos grafiko eskizą, o studijuojant patogu pildyti funkcijos tyrimo suvestinę lentelę.

Paprastai naudojama tokia funkcijų tyrimo schema.

1.Raskite funkcijos apibrėžimo sritį, tęstinumo intervalus ir lūžio taškus.

2.Išnagrinėkite funkciją, ar nėra lygumo ar nelygumo (grafiko ašinė arba centrinė simetrija.

3.Raskite asimptotus (vertikalius, horizontalius arba įstrižus).

4.Raskite ir ištirkite funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, jos kraštutinius taškus.

5.Raskite kreivės išgaubimo ir įgaubimo intervalus, jos vingio taškus.

6.Raskite kreivės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis, jei jos yra.

7.Sudarykite apibendrintą tyrimo lentelę.

8.Sudaromas grafikas, atsižvelgiant į funkcijos tyrimą, atliktą pagal aukščiau aprašytus punktus.

Pavyzdys. Naršyti funkciją

ir sudaryti jo grafiką.

7. Funkcijos tyrinėjimui sudarykime suvestinę lentelę, kurioje surašysime visus charakteringus taškus ir intervalus tarp jų. Atsižvelgdami į funkcijos paritetą, gauname tokią lentelę:

Vienas iš svarbiausių diferencialinio skaičiavimo uždavinių yra bendrųjų funkcijų elgsenos tyrimo pavyzdžių kūrimas.

Jei funkcija y=f(x) yra ištisinė intervale , o jos išvestinė yra teigiama arba lygi 0 intervale (a,b), tada y=f(x) padidėja (f"(x)0) Jei funkcija y=f (x) yra ištisinė atkarpoje, o jos išvestinė yra neigiama arba lygi 0 intervale (a,b), tada y=f(x) sumažėja (f"(x)0). )

Intervalai, kuriuose funkcija nemažėja arba nedidėja, vadinami funkcijos monotoniškumo intervalais. Funkcijos monotoniškumas gali keistis tik tuose jos apibrėžimo srities taškuose, kuriuose kinta pirmosios išvestinės ženklas. Taškai, kuriuose pirmoji funkcijos išvestinė išnyksta arba yra nenutrūkstama, vadinami kritiniais.

1 teorema (1-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul funkcija y=f(x) yra apibrėžta taške x 0 ir tebūna tokia kaimynystė δ>0, kad funkcija intervale būtų ištisinė ir intervale diferencijuojama (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , o jo išvestinė kiekviename iš šių intervalų išlaiko pastovų ženklą. Tada jei ant x 0 -δ,x 0) ir (x 0 , x 0 +δ) išvestinės ženklai yra skirtingi, tai x 0 yra ekstremumo taškas, o jei jie sutampa, tai x 0 nėra ekstremumo taškas . Be to, jei, einant per tašką x0, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą (kairėje nuo x 0 f"(x)>0 tenkinama, tai x 0 yra maksimalus taškas; jei išvestinė keičia ženklą iš nuo minuso iki pliuso (dešinėje nuo x 0 vykdomas f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimalus ir mažiausias taškai yra vadinami funkcijos ekstremaliais taškais, o funkcijos maksimumas ir minimumas – kraštutinėmis reikšmėmis.

2 teorema (būtinas lokalaus ekstremumo požymis).

Jei funkcija y=f(x) turi ekstremumą, kai srovė yra x=x 0, tada arba f’(x 0)=0 arba f’(x 0) neegzistuoja.
Diferencijuojamosios funkcijos ekstremaliuose taškuose jos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

Ekstremumo funkcijos tyrimo algoritmas:

1) Raskite funkcijos išvestinę.
2) Raskite kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose funkcija yra ištisinė, o išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
3) Apsvarstykite kiekvieno taško kaimynystę ir išnagrinėkite išvestinės ženklą į kairę ir į dešinę nuo šio taško.
4) Nustatykite kraštutinių taškų koordinates, pakeiskite kritinių taškų reikšmes į šią funkciją. Naudodami pakankamas sąlygas ekstremumui, padarykite atitinkamas išvadas.

18 pavyzdys. Išnagrinėkite ekstremumo funkciją y=x 3 -9x 2 +24x

Sprendimas.
1) y" = 3x 2 -18x + 24 = 3 (x-2) (x-4).
2) Išvestinę prilyginę nuliui, randame x 1 =2, x 2 =4. Šiuo atveju išvestinė apibrėžiama visur; Tai reiškia, kad, be dviejų rastų taškų, kitų kritinių taškų nėra.
3) Išvestinės y"=3(x-2)(x-4) ženklas kinta priklausomai nuo intervalo, kaip parodyta 1 paveiksle. Einant per tašką x=2, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, o einant pro tašką x=4 - nuo minuso iki pliuso.
4) Taške x=2 funkcija turi didžiausią y max =20, o taške x=4 – mažiausią y min =16.

3. teorema (2-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegu f"(x 0) ir taške x 0 egzistuoja f""(x 0). Tada jei f""(x 0)>0, tai x 0 yra mažiausias taškas, o jei f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Atkarpoje funkcija y=f(x) gali pasiekti mažiausią (y mažiausia) arba didžiausią (y didžiausia) reikšmę arba kritiniuose funkcijos taškuose, esančiuose intervale (a;b), arba segmento galai.

Algoritmas, skirtas atkarpoje rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos y=f(x) reikšmes:

1) Raskite f"(x).
2) Raskite taškus, kuriuose f"(x)=0 arba f"(x) neegzistuoja, ir pasirinkite iš jų tuos, kurie yra atkarpos viduje.
3) Apskaičiuokite funkcijos y=f(x) reikšmę taškuose, gautuose 2 žingsnyje), taip pat atkarpos galuose ir iš jų pasirinkite didžiausią ir mažiausią: jie yra atitinkamai didžiausi (y didžiausia) ir mažiausia (y mažiausia) funkcijos reikšmės intervale.

19 pavyzdys. Raskite atkarpoje didžiausią tolydžios funkcijos y=x 3 -3x 2 -45+225 reikšmę.

1) Segmente yra y"=3x 2 -6x-45
2) Išvestinė y" egzistuoja visiems x. Raskime taškus, kuriuose y"=0; mes gauname:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę taškuose x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Atkarpoje yra tik taškas x=5. Didžiausia iš rastų funkcijos reikšmių yra 225, o mažiausia yra skaičius 50. Taigi, y max = 225, y min = 50.

Išgaubtumo funkcijos tyrimas

Paveiksle pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Pirmasis iš jų yra išgaubtas į viršų, antrasis yra išgaubtas žemyn.

Funkcija y=f(x) yra ištisinė atkarpoje ir diferencijuojama intervale (a;b), šiame segmente vadinama išgaubta aukštyn (žemyn), jei axb atveju jos grafikas yra ne aukščiau (ne žemiau) už liestinė nubrėžta bet kuriame taške M 0 (x 0 ;f(x 0)), kur axb.

4 teorema. Tegul funkcija y=f(x) turi antrą išvestinę bet kuriame vidiniame atkarpos taške x ir yra tolydi šios atkarpos galuose. Tada, jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (a;b), tai funkcija yra išgaubta žemyn intervale ; jei nelygybė f""(x)0 galioja intervale (a;b), tai funkcija yra išgaubta į viršų .

5 teorema. Jei funkcija y=f(x) turi antrą išvestinę intervale (a;b) ir ji keičia ženklą eidama per tašką x 0, tai M(x 0 ;f(x 0)) yra vingio taškas.

Posūkio taškų radimo taisyklė:

1) Raskite taškus, kuriuose f""(x) neegzistuoja arba išnyksta.
2) Išnagrinėkite ženklą f""(x) kairėje ir dešinėje nuo kiekvieno taško, rasto pirmame žingsnyje.
3) Remdamiesi 4 teorema, padarykite išvadą.

20 pavyzdys Raskite funkcijos y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 grafiko ekstremumo taškus ir vingio taškus.

Turime f"(x)=12x3 -24x2 +12x=12x(x-1) 2. Akivaizdu, kad f"(x)=0, kai x 1 =0, x 2 =1. Einant per tašką x=0, išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, bet važiuojant per tašką x=1 ženklo nekeičia. Tai reiškia, kad x=0 yra mažiausias taškas (y min =12), o taške x=1 ekstremumo nėra. Toliau randame . Antroji išvestinė išnyksta taškuose x 1 =1, x 2 =1/3. Antrosios išvestinės ženklai kinta taip: Ant spindulio (-∞;) turime f""(x)>0, intervale (;1) turime f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Todėl x= yra funkcijos grafiko vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo žemyn prie išgaubimo į viršų), o x=1 taip pat yra vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo aukštyn prie išgaubimo žemyn). Jei x=, tai y=; jei, tada x = 1, y = 13.

Grafo asimptotės radimo algoritmas

I. Jei y=f(x) kaip x → a, tai x=a yra vertikali asimptotė.
II. Jei y=f(x) kaip x → ∞ arba x → -∞, tai y=A yra horizontali asimptotė.
III. Norėdami rasti įstrižą asimptotą, naudojame šį algoritmą:
1) Apskaičiuokite. Jei riba egzistuoja ir lygi b, tai y=b yra horizontali asimptotė; jei , tada pereikite prie antrojo veiksmo.
2) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus k, pereikite prie trečio žingsnio.
3) Apskaičiuokite. Jeigu ši riba neegzistuoja, vadinasi, asimptotės nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus b, pereikite prie ketvirto žingsnio.
4) Užrašykite įstriosios asimptotės y=kx+b lygtį.

21 pavyzdys: Raskite funkcijos asimptotą

1)
2)
3)
4) Pasvirosios asimptotės lygtis turi formą

Funkcijos tyrimo ir jos grafiko sudarymo schema

I. Raskite funkcijos apibrėžimo sritį.
II. Raskite funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.
III. Raskite asimptotus.
IV. Raskite galimus ekstremalumo taškus.
V. Raskite kritinius taškus.
VI. Naudodami pagalbinę figūrą ištirkite pirmojo ir antrojo darinių ženklą. Nustatyti didėjančios ir mažėjančios funkcijos sritis, rasti grafiko išgaubimo kryptį, ekstremalių ir vingių taškus.
VII. Sudarykite grafiką, atsižvelgdami į 1-6 punktuose atliktus tyrimus.

22 pavyzdys: Sukurkite funkcijos grafiką pagal aukščiau pateiktą diagramą

Sprendimas.
I. Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių, išskyrus x=1, aibė.
II. Kadangi lygtis x 2 +1=0 neturi realių šaknų, funkcijos grafikas neturi susikirtimo taškų su Ox ašimi, o kerta Oy ašį taške (0;-1).
III. Išsiaiškinkime asimptotų egzistavimo klausimą. Ištirkime funkcijos elgseną šalia nutrūkimo taško x=1. Kadangi y → ∞ kaip x → -∞, y → +∞ kaip x → 1+, tai tiesė x=1 yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.
Jei x → +∞(x → -∞), tai y → +∞(y → -∞); todėl grafikas neturi horizontalios asimptotės. Be to, nuo ribų egzistavimo

Išsprendę lygtį x 2 -2x-1=0 gauname du galimus ekstremumo taškus:
x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2

V. Norėdami rasti kritinius taškus, apskaičiuojame antrąją išvestinę:

Kadangi f""(x) neišnyksta, kritinių taškų nėra.
VI. Panagrinėkime pirmojo ir antrojo išvestinių ženklą. Galimi ekstremumai, į kuriuos reikia atsižvelgti: x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2, funkcijos egzistavimo sritį padalinkite į intervalus (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) ir (1+√2;+∞).

Kiekviename iš šių intervalų vedinys išlaiko savo ženklą: pirmame - pliusas, antrasis - minusas, trečias - pliusas. Pirmosios išvestinės ženklų seka bus rašoma taip: +,-,+.
Pastebime, kad funkcija didėja ties (-∞;1-√2), mažėja ties (1-√2;1+√2) ir vėl didėja ties (1+√2;+∞). Ekstremalūs taškai: maksimalus, kai x=1-√2, ir f(1-√2)=2-2√2 minimalus, kai x=1+√2, ir f(1+√2)=2+2√2. Ties (-∞;1) grafikas yra išgaubtas aukštyn, o ties (1;+∞) – išgaubtas žemyn.
VII Padarykime gautų reikšmių lentelę

VIII Remdamiesi gautais duomenimis, sukonstruojame funkcijos grafiko eskizą