Tiesiojo apskritimo padėtis. Pamoka „Santykinė linijos ir apskritimo padėtis“

Abipusis susitarimas linija ir apskritimas Sužinokime, kiek bendrų taškų gali turėti tiesė ir apskritimas, priklausomai nuo jų santykinės padėties. Akivaizdu, kad jei tiesi linija eina per apskritimo centrą, tada ji kerta apskritimą abiejuose gulinčio skersmens galuose. šita prima.

Tegul būna tiesiai R nepereina per spindulio apskritimo centrą r. Nubrėžkime statmeną JISį tiesią liniją R ir pažymėkite raide dšio statmens ilgis, t.y. atstumas nuo šio apskritimo centro iki tiesės (1 pav. ). Mes tiriame santykinę tiesės ir apskritimo padėtį, priklausomai nuo santykio tarp d Ir r. Galimi trys atvejai.

1) d R nuo taško N atidėkite du segmentus ĮJUNGTA Ir NV, ilgiai, kurie yra lygūs (1 pav.) Pagal Pitagoro teoremą OA=,

0 B= Vadinasi, taškai A Ir IN guli ant apskritimo ir todėl yra bendri linijos taškai R ir duotas ratas.

Įrodykime, kad linija R ir šis ratas neturi kitų bendrų taškų. Tarkime, kad jie turi dar vieną bendrą tašką C. Tada mediana O.D. lygiašonis trikampis OAS. nuneštas į bazę kintamoji srovė, yra šio trikampio aukštis, taigi APIEDp. Segmentai O.D. Ir JIS nesutampa

nuo vidurio D segmentas AC nedera su tašku N - atkarpos vidurio taškas , AB. Mes nustatėme, kad iš taško O buvo nubrėžti du statmenai: JIS Ir OD-į tiesią liniją R, kas neįmanoma. Taigi Jeigu atstumas atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra mažesnis už apskritimo spindulį (d< р), Tai tiesi linija ir apskritimasYra du bendri punktai.Šiuo atveju linija vadinama sekantas apskritimo atžvilgiu.

2) d=r. Tokiu atveju OH=r, y. taškas N guli ant apskritimo ir todėl yra bendras linijos ir apskritimo taškas (1 pav., b). Tiesiai R ir apskritimas neturi kitų bendrų taškų, nes bet kuriam taškui M tiesiai R. Skirtingai nuo esmės N, OM>OH= r(įstrižas OM statmenesnis JIS), ir todėl , taškas M nėra ant apskritimo. Taigi, jei lenktynesAtstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra lygus spinduliui, tada tiesė ir apskritimas turi tik vieną bendrą tašką.

3) d>r Tokiu atveju -OH> rŠtai kodėl . bet kokiam taškui M tiesiai p 0MON.>r( ryžių . 1,A) Todėl taškas M nėra ant apskritimo. Taigi, .jei atstumas nuo apskritimo centroJei atstumas iki tiesės yra didesnis už apskritimo spindulį, tai tiesė ir apskritimas neturi bendrų taškų.

Mes įrodėme, kad tiesė ir apskritimas gali turėti vieną ar du bendrus taškus ir negali turėti bendrų taškų. Tiesi linija su apskritimu tik vienas bendras taškas vadinamas apskritimo liestine, ir jų bendras taškas vadinamas tiesės ir apskritimo lietimo tašku. 2 paveiksle yra tiesi linija R- apskritimo, kurio centras yra O, liestinė, A- susikirtimo taškas.

Įrodykime teoremą apie liestinės savybę.

Teorema. Apskritimo liestinė yra statmenaĮ spindulys nubrėžtas iki sąlyčio taško.

Įrodymas. Leisti R- apskritimo, kurio centras yra O, liestinė. A- sąlyčio taškas (žr. 2 pav.). Įrodykime tai. kokia liestinė R statmenai spinduliui OA.

Tarkime, kad taip nėra. Tada spindulys: OA yra linkęs į tiesią liniją R. Kadangi statmenas nubrėžtas iš taško APIEį tiesią liniją R, mažiau linkęs OA, tada atstumai nuo centro APIE apskritimas į tiesią liniją R mažesnis už spindulį. Todėl tiesiai R ir apskritimas turi du bendrus taškus. Tačiau tai prieštarauja sąlygai; tiesiai R- liestinė. Taigi, tiesiai R statmenai spinduliui OA. Teorema įrodyta.

Apsvarstykite dvi apskritimo su centru liestines APIE, einantis per tašką A ir palietę apskritimą taškuose IN ir C (3 pav.). Segmentai AB Ir AC paskambinsim liestinės segmentainyh, paimta iš taško A. Jie turi tokią savybę, kuri išplaukia iš įrodytos teoremos:

Iš vieno taško nubrėžto apskritimo liestinės atkarpos yra lygios ir lygios vienodi kampai su tiese, einančia per šį tašką ir apskritimo centrą.

Norėdami įrodyti šį teiginį, pereikime prie 3 paveikslo. Pagal teoremą apie liestinės savybę, kampai 1 ir 2 yra statūs kampai, todėl trikampiai ABO Ir ASO stačiakampio formos. Jie yra lygūs, nes turi bendrą hipotenuzą OA ir lygios kojos OB Ir OS. Vadinasi, AB = AC ir 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Ryžiai. 2 pav. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Skersmens brėžimas per sąlyčio tašką AŠ, turėsiu: ; Štai kodėl

Ryžiai. 1 pav. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Priklausomybė tarp lankų, stygų ir stygų atstumų nuo centro.

Teoremos. Viename rate arba V vienodi apskritimai :

1) jei lankai yra lygūs, tai juos surišančios stygos yra lygios ir vienodai nutolusios nuo centro;

2) jei du lankai, mažesni už puslankį, nėra lygūs, tai didesnis iš jų yra apribotas didesniu styga, o iš abiejų stygų didesnis yra arčiau centro .

1) Tegul lankas AB lygus lankui CD(1 pav.), reikia įrodyti, kad stygos AB ir CD lygus, taip pat lygus ir statmenas OE Ir APIE, nuleistas nuo centro iki akordų.

Pasukime sektorių OAJB aplink centrą APIE rodyklės nurodyta kryptimi tiek, kad spindulys APIE sutapo su OS. Tada lankas VA. eis lanku CD ir dėl jų lygybės šie lankai persidengs. Tai reiškia, kad styga AS sutampa su styga CD ir statmenai OE sutaps su APIE(iš vieno taško į tiesiąją galima nuleisti tik vieną statmeną), t.y. AB=CD Ir OE=APIE.

2) Tegul lankas AB(2 pav.) mažiau lanko CD, ir, be to, abu lankai yra mažesni už puslankį; reikia įrodyti, kad styga AB mažiau akordo CD, ir statmenai OE statmenesnis APIE. Padėkime ant lanko CD lankas SK, lygus AB, ir nubrėžkite pagalbinį akordą SK, kuri pagal tai, kas buvo įrodyta, yra lygi akordui AB ir vienodai toli nuo centro. Prie trikampių MENKĖ. Ir SULČIOS dvi vienos kraštinės yra lygios dviem kitoms kraštinėms (kaip spinduliai), tačiau tarp šių kraštinių esantys kampai nėra lygūs; šiuo atveju, kaip žinome, prieš didesnį iš kampų, t.y. lCOD, didesnė pusė turi gulėti, o tai reiškia CD>CK, ir dėl to CD>AB.

Norėdami tai įrodyti OE>APIE, mes diriguosime OLXCK ir atsižvelgti į tai, kad, remiantis tuo, kas buvo įrodyta, OE=OL; todėl mums užtenka palyginti APIE Su OL. Stačiakampiame trikampyje 0 FM(paveiksle padengta brūkšneliais) hipotenuzė OM daugiau kojos APIE; Bet OL>OM; tai reiškia dar daugiau OL>APIE. ir dėl to OE>APIE.

Teorema, kurią įrodėme vienam apskritimui, išlieka teisinga vienodi apskritimai, nes tokie apskritimai vienas nuo kito skiriasi tik padėtimi.

Konversinės teoremos. Kadangi ankstesnėje pastraipoje buvo nagrinėjami visi vienas kitą paneigiantys atvejai, susiję su dviejų to paties spindulio lankų lyginamuoju dydžiu, ir buvo gautos viena kitą paneigiančios išvados dėl lyginamojo stygų dydžio ir jų atstumų nuo centro, tai atvirkštiniai teiginiai turi būti tiesa, c. tiksliai:

IN vienas apskritimas arba lygūs apskritimai:

1) vienodos stygos yra vienodai nutolusios nuo centro ir yra vienodos lankos;

2) stygos, vienodai nutolusios nuo centro, yra lygios ir turi lygius lankus;

3) iš dviejų nelygių stygų, didesnis yra arčiau centro ir sulenkia didesnį lanką;

4) dviejų akordų nevienodu atstumu nuo centro, kuris yra arčiau centro, yra didesnis ir sulenkia didesnį lanką.

Šiuos teiginius galima lengvai įrodyti prieštaravimu. Pavyzdžiui, norėdami įrodyti pirmąjį iš jų, samprotaujame taip: jei šios stygos sulenktų nelygius lankus, tai pagal tiesioginę teoremą jie nebūtų lygūs, o tai prieštarauja sąlygai; Tai reiškia, kad vienodos stygos turi sudaryti vienodus lankus; o jei lankai lygūs, tai pagal tiesioginę teoremą juos surišančios stygos yra vienodai nutolusios nuo centro.

Teorema. Skersmuo yra didžiausias iš akordų .

Jei prisijungsime prie centro APIE kai kurių stygų, nepereinančių per centrą, galai, pavyzdžiui, styga AB(3 pav.) tada gauname trikampį AOB, kurioje viena kraštinė yra ši styga, o kitos dvi yra spinduliai, tačiau trikampyje kiekviena kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą; todėl akordas AB mažesnė už dviejų spindulių sumą; kadangi kiekvienas skersmuo CD lygi dviejų spindulių sumai. Tai reiškia, kad skersmuo yra didesnis nei bet kurios stygos, kuri neeina per centrą. Bet kadangi skersmuo taip pat yra styga, galime pasakyti, kad skersmuo yra didžiausias iš stygų.

Ryžiai. 1 pav. 2

Tangento teorema.

Kaip jau minėta, liestinės atkarpos, nubrėžtos į apskritimą iš vieno taško, yra vienodo ilgio. Šis ilgis vadinamas liestinės atstumas nuo taško iki apskritimo.

Be liestinės teoremos neįmanoma išspręsti daugiau nei vienos problemos apie įbrėžtus apskritimus, kitaip tariant, apie apskritimus, liečiančius daugiakampio kraštines.

Tangentiniai atstumai trikampyje.

Raskite atkarpų, kurioms skirtos trikampio kraštinės, ilgius ABC yra padalinti iš liečiamųjų taškų su įbrėžtu apskritimu (1,a pav.), pavyzdžiui, liestinės atstumas tа nuo taško Aį ratą. Pridėkime šonus b Ir c, tada iš sumos atimkite pusę A. Atsižvelgdami į liestinių, nubrėžtų iš vienos viršūnės, lygybę, gauname 2 tа. Taigi,

ta=(b+c-a)/ 2=p-a,

Kur p=(a+b+c)/ 2 yra šio trikampio pusperimetras. Šoninių segmentų, esančių greta viršūnių, ilgis IN Ir SU, yra atitinkamai vienodi p-b Ir p-c.

Lygiai taip pat už aplenkti trikampis, liečiantis (išorinę) pusę A(1 pav., b), liestinės atstumai nuo IN Ir SU yra atitinkamai vienodi p-c Ir p-b, ir iš viršaus A- Tiesiog p.

Atkreipkite dėmesį, kad šios formulės gali būti naudojamos ir priešinga kryptimi.

Leisk nueiti į kampą TUįbrėžtas apskritimas, o liestinės atstumas nuo kampo viršūnės iki apskritimo lygusp arbap- a, Kurp– trikampio pusperimetras ABC, A a=BC. Tada apskritimas paliečia liniją Saulė(atitinkamai trikampio išorėje arba viduje).

Tiesą sakant, tegul, pavyzdžiui, liestinės atstumas yra lygus p-a. Tada mūsų apskritimai liečia kampo kraštines tuose pačiuose taškuose kaip ir trikampio apskritimas ABC, tai reiškia, kad jis sutampa su juo. Todėl jis paliečia liniją Saulė.

Apribotasis keturkampis. Iš teoremos apie liestinių lygybę iškart išplaukia (2a pav.), kad

Jei apskritimas gali būti įrašytas į keturkampį, tada jo priešingų kraštinių sumos yra lygios:

AD+ BC = AB+ CD

Atkreipkite dėmesį, kad aprašytas keturkampis būtinai yra išgaubtas. Taip pat yra priešingai:

Jeigu keturkampis yra išgaubtas ir jo priešingų kraštinių sumos lygios, tai į jį galima įrašyti apskritimą.

Įrodykime tai keturkampiui, kuris nėra lygiagretainis. Tegul, pavyzdžiui, dvi priešingos keturkampio pusės AB Ir DC, tęsiant jie susikirs taške E(2 pav.,b). Įbrėžkime apskritimą į trikampį ADE. Jo liestinės atstumas te iki taško E išreikšta formule

te=½ (AE+ED-REKLAMA).

Bet pagal sąlygą keturkampio priešingų kraštinių sumos yra lygios, o tai reiškia AD+BC =AB+CD, arba AD=AB+CD-B.C.. Šią reikšmę pakeičiant išraiška for te, mes gauname

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+BC) = ½ (BE+EB+BC),

ir tai yra trikampio pusperimetras B.C.E.. Iš aukščiau įrodytos liesties sąlygos išplaukia, kad mūsų ratas liečiasi B.C..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Dvi apskritimo liestinės, nubrėžtos iš taško, esančio už jo ribų, yra lygios ir sudaro vienodus kampus su tiese, jungiančia šį tašką su centru, kuri išplaukia iš stačiųjų trikampių AOB ir AOB1 lygybės

Norėdami naudoti pristatymo peržiūras, susikurkite paskyrą ( sąskaitą) Google ir prisijunkite: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

TIESIOSIOS IR APRATUMO GEOMETRIJOS SANTYKINĖ PADĖTIS 8 klasė pagal L.A.Atanasyano vadovėlį

Kaip manote, kiek bendrų taškų gali turėti tiesi linija ir apskritimas? APIE

O Pirmiausia prisiminkime, kaip apibrėžti apskritimą Apskritimas (O, r) r – spindulys r A B AB – styga C D CD – skersmuo

Panagrinėkime tiesės ir apskritimo santykinę padėtį pirmuoju atveju: d – atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės O A B N d

Antrasis atvejis: O N r vienas bendras taškas d = r d – atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės d

Trečiasis atvejis: O H d r d > r d – atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės neturi bendrų taškų

Kiek bendrų taškų gali turėti tiesė ir apskritimas? d r du bendri taškai vienas bendras taškas neturi bendrų taškų Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra mažesnis už apskritimo spindulį, tai tiesė ir apskritimas turi du bendrus taškus. Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra lygus apskritimo spinduliui, tai tiesė ir apskritimas turi tik vieną bendrą tašką. Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra didesnis už apskritimo spindulį, tai tiesė ir apskritimas neturi bendrų taškų.

Apskritimo liestinė Apibrėžimas: Tiesė, turinti tik vieną bendrą tašką su apskritimu, vadinama apskritimo liestine, o jų bendras taškas vadinamas tiesės ir apskritimo liestinės tašku. O s = r M m

Išsiaiškinkite tiesės ir apskritimo santykinę padėtį, jei: r = 15 cm, s = 11 cm r = 6 cm, s = 5,2 cm r = 3,2 m, s = 4,7 m r = 7 cm, s = 0,5 dm r = 4 cm, s = 4 0 mm tiesi linija - skenanti linija - slenkanti linija nėra bendrų taškų tiesi linija - skenanti linija - liestinė

Liestinės savybė: apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam liesties taško. m – apskritimo liestinė su centru O M – sąlyčio taškas OM – spindulys O M m

Liestinių, einančių per vieną tašką, savybė: ▼ Pagal liestinės savybę ∆ ABO, ∆ ACO – stačiakampis ∆ ABO= ∆ ACO – pagal hipotenuzę ir koją: OA – bendrasis, OB=OS – spindulys AB=AC ir ▲ O BCA A 1 2 3 4 Apskritimo, nubrėžto iš vieno taško, liestinių atkarpos yra lygios ir sudaro lygius kampus su tiesia linija, einančia per šį tašką ir apskritimo centrą.

Liestinės ženklas: jei tiesė eina per spindulio galą, esantį ant apskritimo ir yra statmena spinduliui, tada ji yra liestinė. apskritimas, kurio centras O, kurio spindulys OM m – tiesė, einanti per tašką M ir m – liestinė O M m

Spręskite Nr. 633. Duota: OABC- kvadratas AB = 6 cm Apskritimas su centru O, kurio spindulys 5 cm Raskite: sekantus iš tiesių OA, AB, BC, AC O A B C O

Spręskite Nr. 638, 640. d/z: išmokite užrašus, Nr. 631, 635

Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos

Tikslas: įtvirtinti gebėjimą nustatyti tiesės ir plokštumos santykinę padėtį, patikrinti problemų sprendimo įgūdžius ir ugdyti komandinio darbo jausmą. ...

santykinė tiesės ir apskritimo padėtis. 8 klasė.

Pristatyme yra keturios žodinės problemos, išspręstos naudojant paruoštus brėžinius. Tikslas: paruošti mokinius mokytis naujos medžiagos....

Tiesės ir apskritimo santykinė padėtis. Santykinė dviejų apskritimų padėtis.

Santrauka ir pristatymas pamokai tema "Tiesės ir apskritimo santykinė padėtis. Santykinė dviejų apskritimų padėtis". Pamoka 6 klasėje naudojant vadovėlį „Matematika – 6“ red. G.V. Dorofejevas, aš...

Prisiminkime svarbų apibrėžimą - apskritimo apibrėžimą]

Apibrėžimas:

Apskritimas, kurio centras yra taške O ir spindulys R, yra visų plokštumos taškų, esančių atstumu R nuo taško O, rinkinys.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad apskritimas yra aibė Visi taškai, atitinkantys aprašytą sąlygą. Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kvadrato taškai A, B, C, D yra vienodu atstumu nuo taško E, bet jie nėra apskritimas (1 pav.).

Ryžiai. 1. Pavyzdžiui, iliustracija

Šiuo atveju figūra yra apskritimas, nes visa tai yra taškų rinkinys vienodu atstumu nuo centro.

Jei sujungsite bet kuriuos du apskritimo taškus, gausite stygą. Lyga, einanti per centrą, vadinama skersmeniu.

MB - akordas; AB - skersmuo; MnB yra lankas, jį sutraukia MV styga;

Kampas vadinamas centriniu.

Taškas O yra apskritimo centras.

Ryžiai. 2. Pavyzdžiui, iliustracija

Taigi mes prisiminėme, kas yra apskritimas ir pagrindiniai jo elementai. Dabar pereikime prie santykinės apskritimo ir tiesės padėties.

Duotas apskritimas, kurio centras O ir spindulys r. Tiesė P, atstumas nuo centro iki tiesės, tai yra, statmenas OM, yra lygus d.

Darome prielaidą, kad taškas O nėra tiesėje P.

Atsižvelgiant į apskritimą ir tiesią liniją, turime rasti bendrų taškų skaičių.

1 atvejis - atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra mažesnis už apskritimo spindulį:

Pirmuoju atveju, kai atstumas d yra mažesnis už apskritimo spindulį r, taškas M yra apskritimo viduje. Nuo šio taško nubraižysime du segmentus - MA ir MB, kurių ilgis bus . Mes žinome r ir d reikšmes, d yra mažesnės už r, o tai reiškia, kad išraiška egzistuoja ir yra taškai A ir B. Šie du taškai pagal konstrukciją yra tiesioje linijoje. Patikrinkime, ar jie guli ant apskritimo. Apskaičiuokime atstumą OA ir OB naudodami Pitagoro teoremą:

Ryžiai. 3. 1 atvejo iliustracija

Atstumas nuo centro iki dviejų taškų yra lygus apskritimo spinduliui, todėl įrodėme, kad taškai A ir B priklauso apskritimui.

Taigi taškai A ir B priklauso tiesei pagal konstrukciją, jie priklauso apskritimui pagal tai, kas buvo įrodyta – apskritimas ir tiesė turi du bendrus taškus. Įrodykime, kad kitų taškų nėra (4 pav.).

Ryžiai. 4. Iliustracija įrodymui

Norėdami tai padaryti, paimkite savavališką tašką C tiesėje ir manykite, kad jis yra apskritime - atstumas OS = r. Šiuo atveju trikampis yra lygiašonis, o jo mediana ON, kuri nesutampa su atkarpa OM, yra aukštis. Gauname prieštaravimą: iš taško O į tiesę numetama du statmenai.

Taigi tiesėje P su apskritimu kitų bendrų taškų nėra. Įrodėme, kad tuo atveju, kai atstumas d yra mažesnis už apskritimo spindulį r, tiesė ir apskritimas turi tik du bendrus taškus.

Antras atvejis - atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės lygus apskritimo spinduliui (5 pav.):

Ryžiai. 5. 2 atvejo iliustracija

Prisiminkite, kad atstumas nuo taško iki tiesės yra statmens ilgis, šiuo atveju OH yra statmenas. Kadangi pagal sąlygą ilgis OH yra lygus apskritimo spinduliui, tai taškas H priklauso apskritimui, taigi taškas H yra bendras tiesei ir apskritimui.

Įrodykime, kad kitų bendrų taškų nėra. Priešingai: tarkime, kad tiesės taškas C priklauso apskritimui. Šiuo atveju atstumas OS lygus r, o tada OS lygus OH. Tačiau stačiakampiame trikampyje hipotenuzė OC yra didesnė už koją OH. Mes turime prieštaravimą. Taigi, prielaida yra klaidinga ir nėra kito taško, išskyrus H, kuris būtų bendras tiesei ir apskritimui. Mes įrodėme, kad šiuo atveju yra tik vienas bendras dalykas.

3 atvejis - atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra didesnis už apskritimo spindulį:

Atstumas nuo taško iki linijos yra statmens ilgis. Nubrėžiame statmeną iš taško O į tiesę P, gauname tašką H, kuris nėra ant apskritimo, nes OH pagal sąlygą yra didesnis už apskritimo spindulį. Įrodykime, kad bet kuris kitas tiesės taškas nėra apskritime. Tai aiškiai matoma iš taisyklingas trikampis, kurio hipotenuzė OM yra didesnė už koją OH, taigi didesnė už apskritimo spindulį, taigi taškas M nepriklauso apskritimui, kaip ir bet kuris kitas tiesės taškas. Įrodėme, kad šiuo atveju apskritimas ir tiesė neturi bendrų taškų (6 pav.).

Ryžiai. 6. 3 atvejo iliustracija

Pasvarstykime teorema . Tarkime, kad tiesė AB turi du bendrus taškus su apskritimu (7 pav.).

Ryžiai. 7. Teoremos iliustracija

Turime akordą AB. Taškas H pagal susitarimą yra stygos AB vidurys ir yra ant skersmens CD.

Reikia įrodyti, kad šiuo atveju skersmuo yra statmenas stygai.

Įrodymas:

Apsvarstykite lygiašonį trikampį OAB, jis yra lygiašonis, nes .

Taškas H pagal susitarimą yra stygos vidurio taškas, o tai reiškia lygiašonio trikampio vidurio AB vidurio tašką. Žinome, kad lygiašonio trikampio mediana yra statmena jo pagrindui, o tai reiškia, kad ji yra aukštis: , taigi, įrodyta, kad skersmuo, einantis per stygos vidurį, yra statmenas jai.

Sąžininga ir atvirkštinė teorema : jei skersmuo yra statmenas stygai, tada jis eina per jo vidurį.

Duotas apskritimas su centru O, jo skersmuo CD ir styga AB. Žinoma, kad skersmuo yra statmenas stygai, reikia įrodyti, kad jis eina per jo vidurį (8 pav.).

Ryžiai. 8. Teoremos iliustracija

Įrodymas:

Apsvarstykite lygiašonį trikampį OAB, jis yra lygiašonis, nes . Pagal susitarimą OH yra trikampio aukštis, nes skersmuo yra statmenas stygai. Lygiašonio trikampio aukštis taip pat yra mediana, taigi AN = HB, o tai reiškia, kad taškas H yra stygos AB vidurio taškas, o tai reiškia, kad įrodyta, kad skersmuo, statmenas stygai, eina per jo vidurio tašką.

Tiesioginę ir atvirkštinę teoremą galima apibendrinti taip.

Teorema:

Skersmuo yra statmenas stygai tada ir tik tada, kai jis eina per jos vidurio tašką.

Taigi, mes išnagrinėjome visus tiesės ir apskritimo santykinės padėties atvejus. Kitoje pamokoje pažvelgsime į apskritimo liestinę.

Bibliografija

1. Aleksandrovas A.D. tt Geometrija 8 kl. - M.: Švietimas, 2006 m.
2. Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolovas V.V. Geometrija 8. - M.: Išsilavinimas, 2011 m.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija 8 klasė. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 m.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.expponenta.ru ().
3. Fmclass.ru ().

Namų darbai

Užduotis 1. Raskite dviejų stygos atkarpų, į kurias jį padalina apskritimo skersmuo, ilgius, jei stygos ilgis 16 cm, o skersmuo jai statmenas.

2 užduotis. Nurodykite tiesės ir apskritimo bendrųjų taškų skaičių, jei:

a) atstumas nuo tiesės iki apskritimo centro yra 6 cm, o apskritimo spindulys yra 6,05 cm;

b) atstumas nuo tiesės iki apskritimo centro yra 6,05 cm, o apskritimo spindulys yra 6 cm;

c) atstumas nuo tiesės iki apskritimo centro yra 8 cm, o apskritimo spindulys yra 16 cm.

Užduotis 3. Raskite stygos ilgį, jei skersmuo jai statmenas, o viena iš skersmeniu nuo jo atkirstų atkarpų yra 2 cm.

Apskritimas- geometrinė figūra, susidedanti iš visų plokštumos taškų, esančių tam tikru atstumu nuo nurodyto taško.

Šis taškas (O) vadinamas apskritimo centras.
Apskritimo spindulys- tai segmentas, jungiantis centrą su bet kuriuo apskritimo tašku. Visi spinduliai yra vienodo ilgio (pagal apibrėžimą).
Akordas- atkarpa, jungianti du apskritimo taškus. Vadinamas styga, einanti per apskritimo centrą skersmens. Apskritimo centras yra bet kurio skersmens vidurio taškas.
Bet kurie du apskritimo taškai padalykite jį į dvi dalis. Kiekviena iš šių dalių vadinama apskritimo lankas. Lankas vadinamas puslankiu, jei atkarpa, jungianti jo galus, yra skersmens.
Vienetinio puslankio ilgis žymimas π .
Dviejų apskritimo lankų su bendrais galais laipsnio matų suma lygi 360º.
Plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas, vadinama aplinkui.
Žiedinis sektorius- apskritimo dalis, kurią riboja lankas ir du spinduliai, jungiantys lanko galus su apskritimo centru. Lankas, kuris riboja sektorių, vadinamas sektoriaus lankas.
Vadinami du apskritimai, turintys bendrą centrą koncentrinis.
Vadinami du apskritimai, susikertantys stačiu kampu stačiakampis.

Tiesės ir apskritimo santykinė padėtis

1. Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra mažesnis už apskritimo spindulį ( d), tada tiesė ir apskritimas turi du bendrus taškus. Šiuo atveju linija vadinama sekantas apskritimo atžvilgiu.
2. Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra lygus apskritimo spinduliui, tai tiesė ir apskritimas turi tik vieną bendrą tašką. Ši linija vadinama apskritimo liestinė, o jų bendras taškas vadinamas tiesės ir apskritimo liesties taškas.
3. Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra didesnis už apskritimo spindulį, tada tiesė ir apskritimas neturi bendrų taškų
.

Centriniai ir įrašyti kampai

Centrinis kampas yra kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centre.
Įrašytas kampas- kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta apskritimą.

Įbrėžto kampo teorema

Įbrėžtas kampas matuojamas puse lanko, ant kurio jis yra.

• 1 išvada.
  Įbrėžti kampai, sulenkę tą patį lanką, yra lygūs.


• 2 išvada.
  Puslankiu įbrėžtas kampas yra stačiakampis.

Teorema apie susikertančių stygų atkarpų sandaugą.

Jei dvi apskritimo stygos susikerta, tai vienos stygos atkarpų sandauga yra lygi kitos stygos atkarpų sandaugai.

Pagrindinės formulės

• Apimtis:

• Apvalaus lanko ilgis:

• Skersmuo:

• Apvalaus lanko ilgis:

• Apskritimo plotas:

• Žiedinio sektoriaus plotas:

Apskritimo lygtis

• Stačiakampėje koordinačių sistemoje apskritimo su spinduliu lygtis yra r centruojamas taške C(x o;y o) turi tokią formą:

• Spindulio r apskritimo, kurio centras yra pradžioje, lygtis:

Sudarė matematikos mokytojas

MBOU 18 vidurinė mokykla, Krasnojarskas

Andreeva Inga Viktorovna

Tiesės ir apskritimo santykinė padėtis

APIE R – spindulys

SU D – skersmens

AB- akordas

• Apskritimas su centru taške APIE spindulys r
• Tiesi linija, kuri nekerta per centrą APIE
• Atstumą nuo apskritimo centro iki tiesės pažymėkime raide s

Galimi trys atvejai:

• 1) s

• mažiau apskritimo spindulys, tada tiesi linija ir apskritimas turi du bendri taškai .

Tiesioginė AB vadinama sekantas apskritimo atžvilgiu.

Galimi trys atvejai:

• 2 ) s = r

• Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės lygus apskritimo spindulys, tada tiesi linija ir apskritimas turi tik vienas bendras taškas .

s = r

Galimi trys atvejai:

• 3 ) sr

• Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės daugiau apskritimo spindulys, tada tiesi linija ir apskritimas neturi bendrų taškų .

Apskritimo liestinė

Apibrėžimas: P tiesė, turinti tik vieną bendrą tašką su apskritimu, vadinama apskritimo liestine, o jų bendras taškas vadinamas tiesės ir apskritimo liestinės tašku.

s = r

• tiesi linija - sekantas
• tiesi linija - sekantas
• nėra bendrų taškų
• tiesi linija - sekantas
• tiesi linija – liestinė

• r = 15 cm, s = 11 cm
• r = 6 cm, s = 5,2 cm
• r = 3,2 m, s = 4,7 m
• r = 7 cm, s = 0,5 dm
• r = 4 cm, s = 4 0 mm

Spręsti Nr.633.

• OABC- kvadratas
• AB = 6 cm
• Apskritimas su centru O, kurio spindulys 5 cm

sekantai nuo tiesių OA, AB, BC, AC

Tangentinė savybė: Apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam iki liesties taško.

m– apskritimo su centru liestinė APIE

M- susikirtimo taškas

OM- spindulys

Liestinės ženklas: Jei tiesė eina per spindulio galą, esantį ant apskritimo ir yra statmena spinduliui, tada ji yra asatyvus.

apskritimas su centru APIE

spindulys OM

m- tiesi linija, einanti per tašką M

m – liestinė

Lietinių, einančių per vieną tašką, savybė:

Liestinės segmentai į

nubrėžti apskritimai

iš to paties taško yra lygūs ir

padaryti vienodus kampus

su tiesia linija, einančia per

šis taškas ir apskritimo centras.

▼ Pagal liestinės savybę

∆ AVO, ∆ ASO–stačiakampis

∆ ABO= ∆ ACO – išilgai hipotenuzės ir kojos:

OA – bendras,