Išspręskite lygtis su laipsniais. Eksponentinės lygtys
Šioje pamokoje apžvelgsime sudėtingesnių eksponentinių lygčių sprendimą ir priminsime pagrindinius teorinius principus dėl eksponentinės funkcijos.
1. Eksponentinės funkcijos apibrėžimas ir savybės, paprasčiausių eksponentinių lygčių sprendimo būdai
Prisiminkime eksponentinės funkcijos apibrėžimą ir pagrindines savybes. Šiomis savybėmis pagrįstas visų eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimas.
Eksponentinė funkcija yra formos funkcija , kur bazė yra laipsnis, o čia x yra nepriklausomas kintamasis, argumentas; y yra priklausomasis kintamasis, funkcija.
Ryžiai. 1. Eksponentinės funkcijos grafikas
Grafike rodomi didėjantys ir mažėjantys eksponentai, iliustruojantys eksponentinė funkcija kurių bazė yra atitinkamai didesnė už vieną ir mažesnė už vieną, bet didesnė už nulį.
Abi kreivės eina per tašką (0;1)
Eksponentinės funkcijos savybės:
Domenas: ;
Vertybių diapazonas: ;
Funkcija yra monotoniška, didėja su, mažėja su.
Monotoninei funkcijai kiekvienai jos vertei suteikiama viena argumento reikšmė.
Kai argumentas padidėja nuo minuso iki pliuso begalybės, funkcija padidėja nuo nulio imtinai iki pliuso begalybės. Priešingai, kai argumentas didėja nuo minuso iki pliuso begalybės, funkcija sumažėja nuo begalybės iki nulio, o ne imtinai.
2. Standartinių eksponentinių lygčių sprendimas
Priminsime, kaip išspręsti paprasčiausias eksponentines lygtis. Jų sprendimas pagrįstas eksponentinės funkcijos monotoniškumu. Beveik visos sudėtingos eksponentinės lygtys gali būti sumažintos iki tokių lygčių.
Rodiklių lygybė ties lygiomis teisėmis dėl eksponentinės funkcijos savybės, būtent jos monotoniškumo.
Sprendimo būdas:
Išlyginti laipsnių pagrindus;
Sulyginkite eksponentus.
Pereikime prie sudėtingesnių eksponentinių lygčių, kurių tikslas yra sumažinti kiekvieną iš jų iki paprasčiausių.
Atsikratykime šaknies kairėje pusėje ir suveskime laipsnius į tą patį pagrindą:
Norint sumažinti sudėtingą eksponentinę lygtį iki paprasčiausios, dažnai naudojamas kintamųjų pakeitimas.
Naudokime galios savybę:
Pristatome pakaitalą. Tebūnie tada 
Gautą lygtį padauginkime iš dviejų ir visus terminus perkelkime į kairę:
Pirmoji šaknis netenkina y reikšmių diapazono, todėl ją atmetame. Mes gauname:
Sumažinkime laipsnius iki to paties rodiklio:
Pristatome pakaitalą:
Tegul tada būna 
. Su tokiu pakeitimu akivaizdu, kad y priima griežtai teigiamas vertes. Mes gauname:
Mes žinome, kaip išspręsti tokias kvadratines lygtis, galime užrašyti atsakymą:
Norėdami įsitikinti, kad šaknys randamos teisingai, galite patikrinti naudodami Vietos teoremą, t. y. rasti šaknų ir jų sandaugos sumą ir palyginti jas su atitinkamais lygties koeficientais.
Mes gauname:
3. Antrojo laipsnio vienarūšių eksponentinių lygčių sprendimo metodika
Išstudijuokime šiuos svarbius eksponentinių lygčių tipus:
Šio tipo lygtys yra vadinamos antrojo laipsnio vienarūšėmis funkcijų f ir g atžvilgiu. Kairėje pusėje yra kvadratinis trinaris santykinis su f su parametru g arba kvadratinis trinaris, palyginti su g su parametru f.
Sprendimo būdas:
Šią lygtį galima išspręsti kaip kvadratinę lygtį, tačiau lengviau tai padaryti kitaip. Yra du atvejai, į kuriuos reikia atsižvelgti:
Pirmuoju atveju gauname
Antruoju atveju turime teisę padalyti iš aukščiausio laipsnio ir gauti:
Turėtume įvesti kintamųjų pakeitimą, gauname kvadratinė lygtis palyginti su y:
Pastebėkime, kad funkcijos f ir g gali būti bet kokios, bet mus domina atvejis, kai tai yra eksponentinės funkcijos.
4. Vienarūšių lygčių sprendimo pavyzdžiai
Perkelkime visus terminus į kairę lygties pusę:
Kadangi eksponentinės funkcijos įgyja griežtai teigiamas reikšmes, mes turime teisę iš karto padalyti lygtį iš , neatsižvelgdami į atvejį, kai:
Mes gauname:
Pristatome pakaitalą: 
(pagal eksponentinės funkcijos savybes)
Gavome kvadratinę lygtį:
Šaknis nustatome naudodami Vietos teoremą:
Pirmoji šaknis neatitinka y reikšmių diapazono, ją atmetame, gauname:
Panaudokime laipsnių savybes ir sumažinkime visus laipsnius iki paprastų bazių:
Nesunku pastebėti f ir g funkcijas:
Kadangi eksponentinės funkcijos įgyja griežtai teigiamas reikšmes, mes turime teisę iš karto padalyti lygtį iš , neatsižvelgdami į atvejį, kai .
1º. Eksponentinės lygtys vadinamos lygtimis, kurių eksponente yra kintamasis.
Sprendžiant eksponentines lygtis remiamasi laipsnių savybe: dvi laipsniai, turintys tą pačią bazę, yra lygūs tada ir tik tada, kai jų eksponentai yra lygūs.
2º. Pagrindiniai eksponentinių lygčių sprendimo metodai:
1) paprasčiausia lygtis turi sprendinį;
2) logaritminės bazės formos lygtis a sumažinti iki formos;
3) formos lygtis yra lygiavertė lygčiai ;
4) formos lygtis 
yra lygiavertis lygčiai.
5) formos lygtis redukuojama pakeičiant lygtimi, o tada išsprendžiama paprastų eksponentinių lygčių rinkinys;
6) lygtis su atvirkštiniais skaičiais 
pakeitimu jie redukuoja į lygtį, o tada išsprendžia lygčių rinkinį;
7) lygtys vienarūšės atžvilgiu a g(x) Ir b g(x) turint omenyje 
malonus 
per pakeitimą jie redukuojami į lygtį, o tada išsprendžiama lygčių rinkinys.
Eksponentinių lygčių klasifikacija.
1. Lygtys išspręstos einant į vieną bazę.
18 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
.
Sprendimas: Pasinaudokime tuo, kad visos laipsnių bazės yra skaičiaus 5 laipsniai: .
2. Lygtys išspręstos pereinant prie vieno laipsnio.
Šios lygtys išsprendžiamos paverčiant pradinę lygtį į formą , kuris sumažinamas iki paprasčiausio naudojant proporcijos savybę.
19 pavyzdys. Išspręskite lygtį:
3. Lygtys išspręstos iš skliaustų išimant bendrą koeficientą.
Jei kiekvienas lygties rodiklis skiriasi nuo kito tam tikru skaičiumi, tada lygtys išsprendžiamos iš skliaustų išdedant eksponentą su mažiausiu rodikliu.
20 pavyzdys. Išspręskite lygtį.
Sprendimas: Paimkime laipsnį su mažiausiu eksponentu iš skliaustų kairėje lygties pusėje:
21 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
Sprendimas: Kairėje lygties pusėje atskirai sugrupuokime terminus, turinčius laipsnius su 4 baze, dešinėje - su baze 3, tada laipsnius su mažiausiu rodikliu išmeskite iš skliaustų:
4. Lygtys, redukuojančios į kvadratines (arba kubines) lygtis.
Šios lygtys redukuojamos į kvadratinę naujo kintamojo y lygtį:
a) pakeitimo tipas, šiuo atveju;
b) pakeitimo tipas ir .
22 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
.
Sprendimas: Pakeiskime kintamąjį ir išspręskime kvadratinę lygtį:
.
Atsakymas: 0; 1.
5. Lygtys, kurios yra vienalytės eksponentinių funkcijų atžvilgiu.
Formos lygtis yra vienalytė lygtis antrojo laipsnio, palyginti su nežinomaisiais a x Ir b x. Tokios lygtys sumažinamos iš pradžių padalijus abi puses iš ir pakeičiant jas kvadratinėmis lygtimis.
23 pavyzdys. Išspręskite lygtį.
Sprendimas: Padalinkite abi lygties puses iš:
Sudėjus , gauname kvadratinę lygtį su šaknimis .
Dabar uždavinys yra išspręsti lygčių rinkinį 
. Iš pirmosios lygties matome, kad . Antroji lygtis neturi šaknų, nes bet kokiai vertei x.
Atsakymas: -1/2.
6. Racionalios lygtys eksponentinių funkcijų atžvilgiu.
24 pavyzdys. Išspręskite lygtį.
Sprendimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš 3 x ir vietoj dviejų gauname vieną eksponentinę funkciją:
7. Formos lygtys 
.
Tokios lygtys su leistinų verčių rinkiniu (APV), nustatytos pagal sąlygą, imant abiejų lygties pusių logaritmą, sumažinamos iki lygiavertės lygties, kuri savo ruožtu yra lygiavertė dviejų lygčių rinkiniui arba.
25 pavyzdys. Išspręskite lygtį: .
.
Didaktinė medžiaga.
Išspręskite lygtis:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Raskite lygties šaknų sandaugą 
.
27. Raskite lygties šaknų sumą 
.
Raskite posakio prasmę:
28. , kur x 0- lygties šaknis;
29. , kur x 0– visa lygties šaknis 
.
Išspręskite lygtį:
31. 
; 32. .
Atsakymai: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11 val.; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Tema Nr.8.
Eksponentinės nelygybės.
1º. Nelygybė, kurios eksponente yra kintamasis, vadinama eksponentinė nelygybė.
2º. Formos eksponentinių nelygybių sprendimas grindžiamas šiais teiginiais:
jei , tada nelygybė yra lygiavertė ;
jei , tada nelygybė yra lygiavertė .
Sprendžiant eksponentines nelygybes, naudojami tie patys metodai, kaip ir sprendžiant eksponenlines lygtis.
26 pavyzdys. Išspręskite nelygybę 
(perėjimo prie vienos bazės būdas).
Sprendimas: Nuo 
, tada duotąją nelygybę galima parašyti taip: 
. Nuo tada ši nelygybė yra lygiavertė nelygybei 
.
Išsprendę paskutinę nelygybę, gauname .
27 pavyzdys. Išspręskite nelygybę: ( iš skliaustų išimant bendrą veiksnį).
Sprendimas: Išimkime iš skliaustų kairėje nelygybės pusėje , dešinėje nelygybės pusėje ir padalykime abi nelygybės puses iš (-2), pakeisdami nelygybės ženklą į priešingą:
Nuo tada, pereinant prie rodiklių nelygybės, nelygybės ženklas vėl pasikeičia į priešingą. Mes gauname. Taigi visų šios nelygybės sprendinių aibė yra intervalas.
28 pavyzdys. Išspręskite nelygybę ( įvedant naują kintamąjį).
Sprendimas: Leiskite. Tada ši nelygybė bus tokia: 
arba 
, kurio sprendimas yra intervalas .
Iš čia. Kadangi funkcija padidėja, tada .
Didaktinė medžiaga.
Nurodykite nelygybės sprendinių rinkinį:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Kokiomis vertybėmis x Ar funkcijos grafiko taškai yra žemiau tiesės?
7. Kokiomis vertybėmis x Ar funkcijos grafike esantys taškai yra bent taip žemai kaip tiesė?
Išspręskite nelygybę:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Nurodykite didžiausią sveikąjį nelygybės sprendinį 
.
14. Raskite nelygybės didžiausio ir mažiausio sveikojo skaičiaus sandaugą 
.
Išspręskite nelygybę:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Raskite funkcijos domeną:
27. 
; 28. 
.
29. Raskite argumentų reikšmių rinkinį, kurio kiekvienos funkcijos reikšmės yra didesnės nei 3:
Ir 
.
Atsakymai: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )
