Gretimi kampai. Gretimi ir vertikalūs kampai

Geometrija yra labai daugialypis mokslas. Jis lavina logiką, vaizduotę ir intelektą. Žinoma, dėl savo sudėtingumo ir daugybės teoremų bei aksiomų tai ne visada patinka moksleiviams. Be to, reikia nuolat įrodinėti savo išvadas naudojant visuotinai priimtus standartus ir taisykles.

Gretimi ir vertikalūs kampai yra neatsiejama geometrijos dalis. Žinoma, daugelis moksleivių juos tiesiog dievina dėl to, kad jų savybės yra aiškios ir lengvai įrodomos.

Kampų formavimas

Bet koks kampas sudaromas susikertant dviem tiesioms linijoms arba nubrėžus du spindulius iš vieno taško. Jie gali būti vadinami viena arba trimis raidėmis, kurios nuosekliai nurodo taškus, kuriuose yra sudarytas kampas.

Kampai matuojami laipsniais ir (priklausomai nuo jų vertės) gali būti vadinami skirtingai. Taigi, yra stačiu kampu, aštriu, buku ir neišsiskleidusiu. Kiekvienas iš pavadinimų atitinka tam tikro laipsnio matą arba jo intervalą.

Smailusis kampas yra kampas, kurio matmenys neviršija 90 laipsnių.

Bukus kampas yra kampas, didesnis nei 90 laipsnių.

Kampas vadinamas dešiniuoju, kai jo laipsnio matas yra 90.

Tuo atveju, kai jis sudarytas iš vienos ištisinės tiesės ir jos laipsnio matas yra 180, jis vadinamas išplėstiniu.

Kampai, turintys bendrą kraštinę, kurios antroji pusė tęsiasi viena kitą, vadinami gretimais. Jie gali būti aštrūs arba buki. Tiesės susikirtimas sudaro gretimus kampus. Jų savybės yra šios:

Tokių kampų suma bus lygi 180 laipsnių (yra tai įrodanti teorema). Todėl galima nesunkiai apskaičiuoti vieną iš jų, jei kitas žinomas.
Iš pirmojo taško matyti, kad gretimų kampų negali sudaryti du bukieji arba du smailiieji kampai.

Dėl šių savybių visada galima apskaičiuoti kampo laipsnį, atsižvelgiant į kito kampo reikšmę arba bent jau santykį tarp jų.

Vertikalūs kampai

Kampai, kurių kraštinės yra vienas kito tęsiniai, vadinami vertikaliais. Bet kuri iš jų veislių gali veikti kaip tokia pora. Vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam.

Jie susidaro susikertant tiesioms linijoms. Kartu su jais visada yra gretimų kampų. Kampas vienu metu gali būti gretimas vienam ir vertikalus kitam.

Kertant savavališką liniją, atsižvelgiama ir į keletą kitų tipų kampų. Tokia linija vadinama sekantine linija ir sudaro atitinkamus, vienpusius ir kryžminius kampus. Jie yra lygūs vienas kitam. Į juos galima žiūrėti atsižvelgiant į vertikalių ir gretimų kampų savybes.

Taigi kampų tema atrodo gana paprasta ir suprantama. Visas jų savybes lengva prisiminti ir įrodyti. Spręsti uždavinius nėra sunku, kol kampai turi skaitinę reikšmę. Vėliau, prasidėjus nuodėmės ir cos studijoms, teks įsiminti daugybę sudėtingų formulių, jų išvadų ir pasekmių. Iki tol galite tiesiog mėgautis lengvais galvosūkiais, kai jums reikia rasti gretimų kampų.

Studijuojant geometrijos kursą gana dažnai iškyla sąvokos „kampas“, „vertikalūs kampai“, „gretimi kampai“. Kiekvieno termino supratimas padės suprasti problemą ir teisingai ją išspręsti. Kas yra gretimi kampai ir kaip juos nustatyti?

Gretimi kampai – sąvokos apibrėžimas

Terminas „gretimi kampai“ apibūdina du kampus, sudarytus iš bendro spindulio ir dviejų papildomų puslinijų, esančių toje pačioje tiesėje. Visi trys spinduliai išeina iš to paties taško. Bendra puslinija vienu metu yra ir vieno, ir kito kampo pusė.

Gretimi kampai – pagrindinės savybės

1. Remiantis gretimų kampų formuluote, nesunku pastebėti, kad tokių kampų suma visada sudaro atvirkštinį kampą, kurio laipsnio matas yra 180°:

Jei μ ir η yra gretimi kampai, tai μ + η = 180°.
Žinodami vieno iš gretimų kampų dydį (pavyzdžiui, μ), galite lengvai apskaičiuoti antrojo kampo (η) laipsnio matą, naudodami išraišką η = 180° – μ.

2. Ši kampų savybė leidžia padaryti tokią išvadą: kampas, kuris yra gretimas stačiu kampu, taip pat bus tiesioginis.

3. Svarstant trigonometrinės funkcijos(sin, cos, tg, ctg), remiantis gretimų kampų μ ir η redukcijos formulėmis, yra teisinga:

sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Gretimi kampai – pavyzdžiai

1 pavyzdys

Duotas trikampis, kurio viršūnės M, P, Q – ΔMPQ. Raskite kampus, esančius greta kampų ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

Išplėskime kiekvieną trikampio kraštinę tiesia linija.
Žinodami, kad gretimi kampai papildo vienas kitą iki atvirkštinio kampo, sužinome, kad:

greta kampo ∠QMP yra ∠LMP,

greta kampo ∠MPQ yra ∠SPQ,

greta kampo ∠PQM yra ∠HQP.

2 pavyzdys

Vieno gretimo kampo vertė yra 35°. Koks antrojo gretimo kampo laipsnio matas?

Du gretimi kampai sudaro 180°.
Jei ∠μ = 35°, tai greta jo ∠η = 180° – 35° = 145°.

3 pavyzdys

Nustatykite gretimų kampų vertes, jei žinoma, kad vieno iš jų laipsnio matas yra tris kartus didesnis nei kito kampo laipsnio matas.

Vieno (mažesnio) kampo dydį pažymėkime – ∠μ = λ.
Tada pagal uždavinio sąlygas antrojo kampo reikšmė bus lygi ∠η = 3λ.
Remiantis pagrindine gretimų kampų savybe, seka μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Tai reiškia, kad pirmasis kampas yra ∠μ = λ = 45°, o antrasis kampas yra ∠η = 3λ = 135°.

Gebėjimas vartoti terminus, taip pat pagrindinių gretimų kampų savybių žinios padės išspręsti daugelį geometrinių problemų.

Du kampai vadinami gretimais, jei jų viena pusė yra bendra, o kitos šių kampų pusės yra vienas kitą papildantys spinduliai. 20 paveiksle kampai AOB ir BOC yra gretimi.

Gretimų kampų suma yra 180°

1 teorema. Gretimų kampų suma lygi 180°.

Įrodymas. Sija OB (žr. 1 pav.) eina tarp išskleisto kampo kraštinių. Štai kodėl ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Iš 1 teoremos išplaukia, kad jei du kampai yra lygūs, tai jų gretimi kampai yra lygūs.

Vertikalūs kampai yra lygūs

Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kraštinių vienas kitą papildantys spinduliai. Dviejų tiesių sankirtoje susidarę kampai AOB ir COD, BOD ir AOC yra vertikalūs (2 pav.).

2 teorema. Vertikalūs kampai lygūs.

Įrodymas. Panagrinėkime vertikalius kampus AOB ir COD (žr. 2 pav.). Kampas BOD yra greta kiekvieno iš kampų AOB ir COD. Pagal 1 teoremą ∠ AOB + ∠ BDS = 180°, ∠ COD + ∠ BDS = 180°.

Iš to darome išvadą, kad ∠ AOB = ∠ COD.

Išvada 1. Kampas, esantis greta stačiojo kampo, yra stačiu kampu.

Apsvarstykite dvi susikertančias tieses AC ir BD (3 pav.). Jie sudaro keturis kampus. Jei vienas iš jų yra tiesus (3 pav. 1 kampas), tai likę kampai taip pat yra statūs (kampai 1 ir 2, 1 ir 4 yra gretimi, 1 ir 3 kampai vertikalūs). Šiuo atveju jie sako, kad šios linijos susikerta stačiu kampu ir vadinamos statmenomis (arba viena kitai statmenomis). Tiesių AC ir BD statmena žymima taip: AC ⊥ BD.

Statmena atkarpai yra tiesė, statmena šiai atkarpai ir einanti per jos vidurio tašką.

AN – statmena tiesei

Panagrinėkime tiesę a ir tašką A, kuris nėra joje (4 pav.). Sujungkime tašką A su atkarpa su tašku H tiese a. Atkarpa AN vadinama statmenu, nubrėžtu iš taško A į tiesę a, jei tiesės AN ir a yra statmenos. Taškas H vadinamas statmens pagrindu.

Kvadrato piešimas

Ši teorema yra teisinga.

3 teorema. Iš bet kurio taško, esančio ne ant tiesės, galima nubrėžti statmeną šiai tiesei, o be to, tik vieną.

Norėdami nubrėžti statmeną nuo taško iki tiesės brėžinyje, naudokite piešimo kvadratą (5 pav.).

komentuoti. Teoremos formuluotė paprastai susideda iš dviejų dalių. Viena dalis kalba apie tai, kas duota. Ši dalis vadinama teoremos sąlyga. Kitoje dalyje kalbama apie tai, ką reikia įrodyti. Ši dalis vadinama teoremos išvada. Pavyzdžiui, 2 teoremos sąlyga yra ta, kad kampai yra vertikalūs; išvada – šie kampai lygūs.

Bet kurią teoremą galima detaliai išreikšti žodžiais, kad jos sąlyga prasidėtų žodžiu „jei“, o pabaiga – žodžiu „tada“. Pavyzdžiui, 2 teorema gali būti išsamiai išdėstyta taip: „Jei du kampai yra vertikalūs, jie yra lygūs“.

1 pavyzdys. Vienas iš gretimų kampų yra 44°. Kam tas kitas lygus?

Sprendimas. Kito kampo laipsnio matą pažymėkime x, tada pagal 1 teoremą.
44° + x = 180°.
Išspręsdami gautą lygtį, nustatome, kad x = 136°. Todėl kitas kampas yra 136°.

2 pavyzdys. Tegul kampas COD 21 paveiksle yra 45°. Kokie yra kampai AOB ir AOC?

Sprendimas. Kampai COD ir AOB yra vertikalūs, todėl pagal 1.2 teoremą yra lygūs, t.y. ∠ AOB = 45°. Kampas AOC yra greta kampo COD, o tai reiškia pagal 1 teoremą.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

3 pavyzdys. Raskite gretimus kampus, jei vienas iš jų yra 3 kartus didesnis už kitą.

Sprendimas. Mažesniojo kampo laipsnio matą pažymėkime x. Tada didesnio kampo laipsnio matas bus 3x. Kadangi gretimų kampų suma lygi 180° (1 teorema), tai x + 3x = 180°, iš kur x = 45°.
Tai reiškia, kad gretimi kampai yra 45° ir 135°.

4 pavyzdys. Dviejų vertikalių kampų suma yra 100°. Raskite kiekvieno iš keturių kampų dydį.

Sprendimas. Tegul 2 paveikslas atitinka uždavinio sąlygas. Vertikalūs kampai COD į AOB yra lygūs (2 teorema), tai reiškia, kad jų laipsniai taip pat yra vienodi. Todėl ∠ COD = ∠ AOB = 50° (jų suma pagal sąlygą yra 100°). Kampas BOD (taip pat kampas AOC) yra greta kampo COD, todėl pagal 1 teoremą
∠ BDS = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Klausimas 1. Kokie kampai vadinami gretimi?
Atsakymas. Du kampai vadinami gretimais, jei jų viena pusė yra bendra, o kitos šių kampų pusės yra viena kitą papildančios pusės linijos.
31 paveiksle kampai (a 1 b) ir (a 2 b) yra gretimi. Jie turi bendrą b pusę, o pusės a 1 ir a 2 yra papildomos pusės linijos.

2 klausimas.Įrodykite, kad gretimų kampų suma yra 180°.
Atsakymas. 2.1 teorema. Gretimų kampų suma yra 180°.
Įrodymas. Tegu kampui (a 1 b) ir kampui (a 2 b) pateikti gretimi kampai (žr. 31 pav.). Spindulys b eina tarp tiesiojo kampo kraštinių a 1 ir a 2. Todėl kampų (a 1 b) ir (a 2 b) suma lygi išskleistam kampui, ty 180°. Q.E.D.

3 klausimas.Įrodykite, kad jei du kampai yra lygūs, tai ir gretimi jų kampai yra lygūs.
Atsakymas.

Iš teoremos 2.1 Iš to išplaukia, kad jei du kampai yra lygūs, tai jų gretimi kampai yra lygūs.
Tarkime, kampai (a 1 b) ir (c 1 d) yra lygūs. Turime įrodyti, kad kampai (a 2 b) ir (c 2 d) taip pat yra lygūs.
Gretimų kampų suma yra 180°. Iš to išplaukia, kad a 1 b + a 2 b = 180° ir c 1 d + c 2 d = 180°. Vadinasi, a 2 b = 180° - a 1 b ir c 2 d = 180° - c 1 d. Kadangi kampai (a 1 b) ir (c 1 d) yra lygūs, gauname, kad a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Pagal lygybės ženklo tranzityvumo savybę išplaukia, kad a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

4 klausimas. Koks kampas vadinamas stačiu (smailus, bukas)?
Atsakymas. Kampas, lygus 90°, vadinamas stačiu kampu.
Kampas, mažesnis nei 90°, vadinamas smailiu kampu.
Didesnis nei 90° ir mažesnis nei 180° kampas vadinamas buku.

5 klausimas.Įrodykite, kad kampas, esantis greta stačiojo kampo, yra stačiu kampu.
Atsakymas. Iš gretimų kampų sumos teoremos išplaukia, kad kampas, esantis greta stačiojo kampo, yra stačiakampis: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

6 klausimas. Kokie kampai vadinami vertikaliais?
Atsakymas. Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra viena kitą papildančios pusės linijos.

7 klausimas.Įrodykite, kad vertikalūs kampai yra lygūs.
Atsakymas. 2.2 teorema. Vertikalūs kampai yra lygūs.
Įrodymas. Tegu (a 1 b 1) ir (a 2 b 2) yra pateikti vertikalūs kampai (34 pav.). Kampas (a 1 b 2) yra greta kampo (a 1 b 1) ir kampo (a 2 b 2). Iš čia, naudodamiesi teorema apie gretimų kampų sumą, darome išvadą, kad kiekvienas iš kampų (a 1 b 1) ir (a 2 b 2) papildo kampą (a 1 b 2) iki 180°, t.y. kampai (a 1 b 1) ir (a 2 b 2) yra lygūs. Q.E.D.

8 klausimas.Įrodykite, kad jei susikerta dvi tiesės, vienas iš kampų yra stačias, tai kiti trys kampai taip pat yra tiesūs.
Atsakymas. Tarkime, tiesės AB ir CD kerta viena kitą taške O. Tarkime, kampas AOD yra 90°. Kadangi gretimų kampų suma yra 180°, gauname, kad AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kampas COB yra vertikalus kampui AOD, todėl jie yra lygūs. Tai yra, kampas COB = 90°. Kampas COA yra vertikalus kampui BOD, todėl jie yra lygūs. Tai yra, kampas BOD = 90°. Taigi visi kampai yra lygūs 90°, tai yra, jie visi yra stačiakampiai. Q.E.D.

9 klausimas. Kurios linijos vadinamos statmenomis? Koks ženklas naudojamas linijų statmenumui nurodyti?
Atsakymas. Dvi tiesės vadinamos statmenomis, jei jos susikerta stačiu kampu.
Linijų statmenumą rodo ženklas \(\perp\). Įrašas \(a\perp b\) yra toks: „Tiesija a yra statmena linijai b“.

10 klausimas.Įrodykite, kad per bet kurį tiesės tašką galite nubrėžti jam statmeną liniją ir tik vieną.
Atsakymas. 2.3 teorema. Per kiekvieną liniją galite nubrėžti jai statmeną liniją ir tik vieną.
Įrodymas. Tegu a yra duotoji tiesė, o A yra duotas jos taškas. Vieną iš tiesės a su pradžios tašku A pustiesių pažymėkime a 1 (38 pav.). Iš pusės tiesės a 1 atimkime kampą (a 1 b 1), lygų 90°. Tada tiesė, kurioje yra spindulys b 1, bus statmena tiesei a.

Tarkime, kad yra kita tiesė, taip pat einanti per tašką A ir statmena tiesei a. Pažymėkime c 1 šios tiesės, esančios toje pačioje pusiau plokštumoje, pusę su spinduliu b 1 .
Kampai (a 1 b 1) ir (a 1 c 1), kiekvienas lygus 90°, yra išdėstyti vienoje pusiau plokštumoje nuo pusės linijos a 1. Tačiau iš pusės linijos 1 į nurodytą pusplokštumą galima įvesti tik vieną 90° kampą. Todėl negali būti kitos tiesės, einančios per tašką A ir statmenos tiesei a. Teorema įrodyta.

11 klausimas. Kas yra statmena linijai?
Atsakymas. Statmenas nurodytai tiesei yra tam tikrai tiesei statmenos linijos atkarpa, kurios vienas iš jos galų yra jų susikirtimo taške. Šis segmento galas vadinamas pagrindu statmenai.

12 klausimas. Paaiškinkite, iš ko susideda įrodymas pagal prieštaravimą.
Atsakymas.Įrodinėjimo metodas, kurį naudojome 2.3 teoremoje, vadinamas prieštaravimu. Šis įrodinėjimo metodas susideda iš to, kad pirmiausia daroma prielaida, priešinga tam, ką teigia teorema. Tada, samprotaudami, remdamiesi aksiomomis ir įrodytomis teoremomis, darome išvadą, kuri prieštarauja arba teoremos sąlygoms, arba vienai iš aksiomų, arba anksčiau įrodytai teoremai. Tuo remiantis darome išvadą, kad mūsų prielaida buvo neteisinga, todėl teoremos teiginys yra teisingas.

13 klausimas. Kas yra kampo pusiausvyra?
Atsakymas. Kampo bisektorius yra spindulys, sklindantis iš kampo viršūnės, einantis tarp jo kraštinių ir dalijantis kampą pusiau.

Seitmambetova Ilvira Alimseitovna

Pamokos tema: Gretimi kampai.

Pamokos tikslai:

Edukacinis: supažindinti su gretimų kampų samprata;

Išmokyti mokinius konstruoti gretimus kampus;

Įrodyti teoremą ir jos pasekmes;

Apsvarstykite skirtingi tipai kampuose

Švietimas: plėtra loginis mąstymas;

Geometrinės vaizduotės ugdymas;

Edukacinis: fiksavimo sprendimų matematinės kultūros formavimas.

Pamokos tipas: naujų žinių įsisavinimas;

Įranga: gretimų kampų modelis, interaktyvi lenta

Per užsiėmimus

aš Laiko organizavimas (mokiniai savarankiškai formuluoja sveikinimus, pamokos temos paskelbimą, pamokos tikslus)

II Namų darbų tikrinimas. (identifikuotų sunkumų analizė, atsitiktinis atsakymų ir sprendimų patikrinimas)

III Atnaujinti bendros žinios ir įgūdžius

Klasės užduotis

Nubrėžkite du papildomus spindulius OA ir OB (prisiminkite papildomų spindulių apibrėžimą spręsdami problemą)

Kokį kampą sudaro šie spinduliai?

Koks jo dydis?

Nubrėžkite spindulį, einantį tarp pasukto kampo kraštų

Kuris spindulys laikomas tarp kampo kraštinių? (bet koks spindulys, kylantis iš kampo viršūnės, išskyrus kampo kraštines)

Suformuluokite kampų matavimo aksiomą (paveikslėlyje parodyta spindulio OS, skaičiai rodo kampus ir įrašoma∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOB

IV Naujos medžiagos mokymasis

Sąvokos įvedamos taip, kad studentai savarankiškai formuluotų gretimų kampų apibrėžimą, teoremą ir bandytų tai įrodyti.

Sąvokos „gretimi kampai“ įvedimas

Klasės užduotis (vienas mokinys dirba lentoje)

Nubrėžkite du kampus, kurie dalijasi viena puse

Nubrėžkite du kampus, turinčius vieną pusę

pirmasis iš kampų yra papildomas antrojo kampo šono spindulys.

Nubrėžkite du kampus, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du yra papildomi spinduliai

Išvada: paskutiniame brėžinyje parodyti kampai yra

yra greta.

Suformuluokite gretimų kampų apibrėžimą:

Du kampai vadinami gretimi, jei jie turi vieną bendrą kraštinę ir

kiti du yra papildomi spinduliai.

Pirminis burnos sutvirtinimas

Raskite brėžinyje gretimus kampus ir užrašykite juos

a) b)

Klasės užduotis

Mokytojas lentoje pastato kampą.

Būtina sukonstruoti kampą, esantį šalia šio. Kiek šios problemos sprendimų? Kokią išvadą galima padaryti iš nagrinėjamos problemos?

Gretimų kampų savybė

Klasės užduotis:

Problema: pateikti du gretimi kampai∠ BCDIr∠ ACD, ir∠ BCD= 35 O

Rasti∠ ACD.

Motyvavimo variantas:∠ A.C.Todėl išskleidus jo laipsnio matas yra 180 O . RėjusCDeina tarp šio kampo kraštinių, nes jis iškyla iš savo viršūnės ir skiriasi nuo jo kraštų. Pagal aksiomą∠ ACD+ ∠ BCD= ∠ A.C.B, t.y.∠ ACD+ ∠ BCD=180 O . vadinasi,∠ ACD=180 O - ∠ BCD=180 O -35 O =145 O .

Kokią gretimų kampų savybę galite pastebėti?

Išvada: gretimų kampų suma yra 180 O .

Teoremos įrodymas.

Teorema: gretimų kampų suma yra 180 O .

Duota: ∠1 ir ∠2 – gretimi kampai

Įrodykite: ∠1 ir ∠2=180 O

Įrodymas:

Pagal sąlygą,∠1 ir ∠2 yra gretimi kampai, todėl CA ir CB yra papildomi spinduliai (gretimų kampų apibrėžimas). Tada ∠ACV-išvystyta (išvystyto kampo apibrėžimas).

∠DIA=180 O (aksioma).

RėjusCDeina tarp tiesiojo kampo kraštinių (pagal apibrėžimą). Taigi,∠1 ir ∠2=∠ASV, t.y. ∠1 ir ∠2=180 O

Teorema įrodyta.

Nagrinėjant kai kurias teoremos pasekmes ir kampų tipus, juo patogu naudotis paprastas modelis gretimų kampų. Jis pagamintas taip: sektoriai pritvirtinami prie kilnojamosios pusės, pritvirtinti gretimų kampų viršuje, iš abiejų pusių. Sukant su bendrąja puse, abu sektoriai juda grioveliais, padarytais išilgai kitų dviejų pusių. Sektoriuose pažymėtomis mastelėmis demonstruojami įvairaus dydžio gretimi kampai.

Išvados iš teoremos:

Jei du kampai yra lygūs, tada jų gretimi kampai yra lygūs

Įrodymas

Pažymime laipsnio matą vienodi kampai per x, tada kiekvieno gretimo kampo vertė bus lygi 180 O -x, t.y. šie kampai bus lygūs.

Jei kampas nėra pasuktas, jis yra mažesnis nei 180 O

Įrodymas

Tegu pateiktas savavališkas neišvystytas kampas∠( ab), todėl ∠(ab) nėra lygus180 O . Pastatykime spindulį 1, papildomas prie spindulio a. Pagal apibrėžimą, kampai( ab) Ir (A 1 b) bus greta. Pagal teoremą ∠ (ab) +∠ ( A 1 b)= 180 O arba∠ ( A 1 b) = 180 O - ∠ ( Ab). Tarkime, kad kampas (ab) ne mažiau180 O . Jei tai prieštarauja aksiomai. Tai reiškia kad. Reiškia,.

Kampas, esantis greta stačiojo kampo, yra teisingas

Įrodymas

Lygus kampas vadinamas stačiu kampu. Tegul vienas iš gretimų kampų yra tiesi, t.y. lygus. Kadangi gretimų kampų suma yra lygi, tai antrasis kampas yra lygus, todėl jis yra teisingas.

Kampų tipai (studentai jau žino, apibendrina iš lentelės)

V Naujų žinių ir įgūdžių įtvirtinimas

Problemų sprendimas

Dviejų kampų suma yra lygi, įrodykite, kad jie nėra gretimi.

Vienas iš gretimų kampų yra lygus, raskite antrąjį kampą.

Vienas iš gretimų kampų yra didesnis nei antrasis. Raskite šiuos kampus.

Tegul mažesniojo iš dviejų kampų laipsnio matas yra x. Tada didesnis kampas bus lygus (x+), o jų suma bus (x+(x+40)) arba (pagal teoremą).

Sudarykime ir išspręskime lygtį

x+(x+40)=;

Atsakymas: i.

Vienas iš gretimų kampų yra 3 kartus didesnis nei antrasis. Raskite šiuos kampus.

Vienas iš gretimų kampų yra didesnis nei antrasis. Raskite šiuos kampus.

Pastaba: paskutines dvi problemas galima išspręsti dviem būdais: naudojant lygtį ir nesukuriant lygties.

Gretimų kampų reikšmės yra santykiu 2:3. Raskite šiuos kampus.

Sprendimas (algebriškai)

Tegul gretimų kampų laipsnio matas yra x. Tada didesnis kampas bus lygus 3x, o mažesnis - 2x. Jų suma lygi 2x+3x=5x arba (pagal teoremą).

Sudarykime ir išspręskime lygtį

5x=;

Tai reiškia, kad mažesnis iš gretimų kampų yra lygus, o didesnis – lygus.

Atsakymas: i.

VI Pamokos apibendrinimas. Atspindys

Ar tiesa, kad jei dviejų kampų suma yra 180, tai jie yra gretimi? (Ne, tikslinga pateikti priešingą pavyzdį)

Ar dviejų gretimų kampų skirtumas gali būti lygus stačiajam kampui (taip,)

VII namų darbai

Dvi linijos susikerta. Kiek porų gretimų kampų susidarė? (atsakymas: 4)

Raskite gretimų kampų laipsnius, jei:

jie susiję kaip 7:29 (atsakymas);
ar jų skirtumas lygus? (atsakymas);

Išmokti gretimų kampų apibrėžimą, mokėti įrodyti teoremą apie gretimus kampus ir jos pasekmes.