Divida 6 números compostos em fatores primos. Fatorando um número

Cada número natural, além de um, possui dois ou mais divisores. Por exemplo, o número 7 é divisível sem resto apenas por 1 e 7, ou seja, possui dois divisores. E o número 8 tem divisores 1, 2, 4, 8, ou seja, até 4 divisores ao mesmo tempo.

Qual é a diferença entre números primos e compostos?

Números que possuem mais de dois divisores são chamados de números compostos. Números que possuem apenas dois divisores: um e o próprio número são chamados de números primos.

O número 1 possui apenas uma divisão, ou seja, o próprio número. Um não é um número primo nem um número composto.

• Por exemplo, o número 7 é primo e o número 8 é composto.

Os primeiros 10 números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. O número 2 é o único número primo par, todos os outros números primos chance.

O número 78 é composto, pois além de 1 e ele mesmo, também é divisível por 2. Quando dividido por 2, obtemos 39. Ou seja, 78 = 2*39. Nesses casos, dizem que o número foi fatorado em fatores de 2 e 39.

Qualquer número composto pode ser decomposto em dois fatores, cada um deles maior que 1. Esse truque não funcionará com um número primo. Assim vai.

Fatorando um número em fatores primos

Conforme observado acima, qualquer número composto pode ser fatorado em dois fatores. Tomemos, por exemplo, o número 210. Este número pode ser decomposto em dois fatores 21 e 10. Mas os números 21 e 10 também são compostos, vamos decompô-los em dois fatores. Obtemos 10 = 2*5, 21=3*7. E como resultado, o número 210 foi decomposto em 4 fatores: 2,3,5,7. Esses números já são primos e não podem ser expandidos. Ou seja, fatoramos o número 210 em fatores primos.

Ao fatorar números compostos em fatores primos, eles geralmente são escritos em ordem crescente.

Deve-se lembrar que qualquer número composto pode ser decomposto em fatores primos e de forma única, até a permutação.

• Normalmente, ao decompor um número em fatores primos, são utilizados critérios de divisibilidade.

Vamos fatorar o número 378 em fatores primos

Anotaremos os números, separando-os com uma linha vertical. O número 378 é divisível por 2, pois termina em 8. Quando dividido, obtemos o número 189. A soma dos dígitos do número 189 é divisível por 3, o que significa que o próprio número 189 é divisível por 3. O resultado é 63.

O número 63 também é divisível por 3, segundo a divisibilidade. Obtemos 21, o número 21 pode ser dividido novamente por 3, obtemos 7. Sete é dividido apenas por ele mesmo, obtemos um. Isso completa a divisão. À direita, após a linha, estão os fatores primos nos quais o número 378 é decomposto.

378|2
189|3
63|3
21|3

Tudo começa com progressão geométrica. Na primeira palestra sobre linhas (ver seção 18.1. Definições básicas) provamos que esta função é a soma da série , e a série converge para a função em
. Então,

.

Listamos diversas variedades desta série. Substituindo X sobre - X , Nós temos

ao substituir X sobre
Nós temos

etc.; A região de convergência de todas essas séries é a mesma:
.

2.
.

Todas as derivadas desta função no ponto X =0 são iguais
, então a série se parece

.

A área de convergência desta série é todo o eixo numérico (exemplo 6 da seção 18.2.4.3. Raio de convergência, intervalo de convergência e região de convergência de uma série de potências), É por isso
no
. Como consequência, o termo restante da fórmula de Taylor
. Portanto a série converge para
em qualquer ponto X .

3.
.

Esta série converge absolutamente em

, e sua soma é realmente igual
. O termo restante da fórmula de Taylor tem a forma
, Onde
ou
- função limitada, A
(este é o termo geral da expansão anterior).

4.
.

Esta expansão pode ser obtida, como as anteriores, calculando sequencialmente as derivadas, mas procederemos de forma diferente. Vamos diferenciar a série anterior termo a termo:

A convergência para uma função em todo o eixo decorre do teorema da diferenciação termo a termo de uma série de potências.

5. Prove independentemente que em todo o eixo numérico, .

6.
.

A série para esta função é chamada série binomial. Aqui calcularemos derivadas.

...A série Maclaurin tem a forma

Estamos procurando o intervalo de convergência: portanto, o intervalo de convergência é
. Não estudaremos o termo restante e o comportamento da série nos extremos do intervalo de convergência; acontece que quando
A série converge absolutamente em ambos os pontos
, no
a série converge condicionalmente em um ponto
e diverge em um ponto
, no
diverge em ambos os pontos.

7.
.

Aqui usaremos o fato de que
. Desde então, após a integração termo a termo,

A área de convergência desta série é o meio intervalo
, a convergência para uma função em pontos interiores segue do teorema da integração termo a termo de uma série de potências, no ponto X =1 - da continuidade da função e da soma das séries de potências em todos os pontos, arbitrariamente próximo de X =1 restante. Observe que tomar X =1, encontraremos a soma da série.

8. Integrando a série termo a termo, obtemos uma expansão para a função
. Faça você mesmo todos os cálculos, escreva a região de convergência.

9. Vamos escrever a expansão da função
de acordo com a fórmula da série binomial com
: . Denominador
representado como , fatorial duplo
significa o produto de todos os números naturais da mesma paridade que , não exceder . A expansão converge para a função em
. Integrando-o termo a termo de 0 a X , Nós receberemos . Acontece que esta série converge para a função em todo o intervalo
; no X =1 obtemos outra bela representação do número :
.

18.2.6.2. Resolução de problemas envolvendo expansão em série de funções. A maioria dos problemas em que é necessário expandir uma função elementar em uma série de potências
, é resolvido usando expansões padrão. Felizmente, toda função elementar básica possui uma propriedade que permite fazer isso. Vejamos vários exemplos.

1. Expanda a função
por graus
.

Solução. . A série converge em
.

2. Expanda a função
por graus
.

Solução.
. Área de convergência:
.

3. Expanda a função
por graus
.

Solução. . A série converge em
.

4. Expanda a função
por graus
.

Solução. . A série converge em
.

5. Expanda a função
por graus
.

Solução. . Região de convergência
.

6. Expanda a função
por graus
.

Solução. A expansão em uma série de frações racionais simples do segundo tipo é obtida pela diferenciação termo a termo das expansões correspondentes das frações do primeiro tipo. Neste exemplo. Além disso, por diferenciação termo a termo, podemos obter expansões das funções
,
etc.

7. Expanda a função
por graus
.

Solução. Se uma fração racional não for uma fração simples, ela será primeiro representada como uma soma frações simples:
e proceda como no exemplo 5: onde
.

Naturalmente, esta abordagem não é aplicável, por exemplo, para decompor a função por graus X . Aqui, se você precisar obter os primeiros termos da série de Taylor, a maneira mais fácil é encontrar os valores no ponto X =0 número necessário de primeiras derivadas.

O que significa fatoração? Como fazer isso? O que você pode aprender fatorando um número em fatores primos? As respostas a estas perguntas são ilustradas com exemplos específicos.

Definições:

Um número que possui exatamente dois divisores diferentes é chamado de primo.

Um número que possui mais de dois divisores é chamado composto.

Fatorar um número natural significa representá-lo como um produto de números naturais.

Fatorar um número natural em fatores primos significa representá-lo como um produto de números primos.

Notas:

• Na decomposição de um número primo, um dos fatores é igual a um e o outro é igual ao próprio número.
• Não faz sentido falar em fatorar a unidade.
• Um número composto pode ser fatorado em fatores, cada um dos quais é diferente de 1.

Durante a decomposição grandes números Para fatores primos, use a notação de coluna:

	O menor número primo divisível por 216 é 2. Divida 216 por 2. Obtemos 108.
	O número resultante 108 é dividido por 2. Vamos fazer a divisão. O resultado é 54.
	De acordo com o teste de divisibilidade por 2, o número 54 é divisível por 2. Depois de dividir, obtemos 27.
	O número 27 termina com o dígito ímpar 7. Isto Não é divisível por 2. O próximo número primo é 3. Divida 27 por 3. Obtemos 9. Menos primo O número pelo qual 9 é divisível é 3. Três é um número primo e é divisível por ele mesmo e por um; Vamos dividir 3 por nós mesmos. No final conseguimos 1.

• Um número é divisível apenas pelos números primos que fazem parte de sua decomposição.
• Um número é divisível apenas naqueles números compostos cuja decomposição em fatores primos está completamente contida nele.

Vejamos exemplos:

Encontre o quociente da divisão do número a pelo número b, se esses números forem decompostos em fatores primos da seguinte forma: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Nos bastidores de um livro de matemática. - M.: Educação, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática da 5ª à 6ª série. - M.: ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matemática 5-6. Um manual para alunos do 6º ano da escola por correspondência MEPhI. - M.: ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matemática: livro didático-interlocutor para as séries 5 a 6 ensino médio. - M.: Educação, Biblioteca de Professores de Matemática, 1989.

1. Portal da Internet Matematika-na.ru ().
2. Portal da Internet Math-portal.ru ().

Trabalho de casa

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nº 127, Nº 129, Nº 141.
2. Outras tarefas: Nº 133, Nº 144.

Esta calculadora online foi projetada para fatorar uma função.

Por exemplo, fatore: x 2 /3-3x+12. Vamos escrever como x^2/3-3*x+12. Você também pode usar isso serviço, onde todos os cálculos são salvos em formato Word.

Por exemplo, decomponha em termos. Vamos escrevê-lo como (1-x^2)/(x^3+x) . Para ver o progresso da solução, clique em Mostrar etapas. Se você precisar obter o resultado em formato Word, use este serviço.

Observação: o número "pi" (π) é escrito como pi; raiz quadrada como sqrt , por exemplo sqrt(3) , tangente tg é escrita tan . Para ver a resposta, consulte Alternativa.

1. Se for dada uma expressão simples, por exemplo, 8*d+12*c*d, então fatorar a expressão significa representá-la na forma de fatores. Para fazer isso, você precisa encontrar fatores comuns. Vamos escrever esta expressão como: 4*d*(2+3*c) .
2. Apresente o produto na forma de dois binômios: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Aqui você já precisa encontrar vários fatores comuns: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Tiramos (x+7z) e obtemos: (x+7z)(x + 3y) .

Veja também Dividindo polinômios com um canto(todas as etapas de divisão são mostradas em uma coluna)

Útil ao estudar as regras de fatoração será fórmulas de multiplicação abreviadas, com a ajuda da qual ficará claro como abrir colchetes com um quadrado:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (ab) 2 = (ab)(ab) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(ab) = a 2 - b 2
4. uma 3 +b 3 = (uma+b)(uma 2 -ab+b 2)
5. uma 3 -b 3 = (a-b)(uma 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (ab) 3 = (ab) (ab) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Métodos de fatoração

1. Usando fórmulas de multiplicação abreviadas.
2. Encontrando um fator comum.