Quais são os ângulos inscritos e centrais? N. Nikitin Geometria

Na maioria das vezes, o processo de preparação para o Exame Estadual Unificado em matemática começa com uma repetição de definições básicas, fórmulas e teoremas, inclusive sobre o tema “Ângulos centrais e inscritos em um círculo”. Geralmente, esta seção A planimetria tem sido estudada desde ensino médio. Não é de surpreender que muitos alunos se deparem com a necessidade de revisar conceitos e teoremas básicos sobre o tema “Ângulo Central de um Círculo”. Tendo entendido o algoritmo para resolver tais problemas, os alunos poderão contar com o recebimento de notas competitivas com base nos resultados da aprovação no exame estadual unificado.

Como se preparar de maneira fácil e eficaz para passar no teste de certificação?

Ao estudar antes de passar no exame estadual unificado, muitos alunos do ensino médio se deparam com o problema de encontrar as informações necessárias sobre o tema “Ângulos centrais e inscritos em um círculo”. Nem sempre livro escolar disponível em mãos. E procurar fórmulas na Internet às vezes leva muito tempo.

Nossa equipe irá ajudá-lo a “aumentar” suas habilidades e melhorar seu conhecimento em uma seção tão difícil da geometria como a planimetria portal educacional. “Shkolkovo” oferece aos alunos do ensino médio e seus professores uma nova forma de construir o processo de preparação para o exame estadual unificado. Todos material base apresentado pelos nossos especialistas da forma mais acessível. Depois de ler as informações na seção “Fundamentos Teóricos”, os alunos aprenderão quais propriedades ângulo central círculo, como encontrar seu tamanho, etc.

Depois, para consolidar os conhecimentos adquiridos e as competências práticas, recomendamos a realização de exercícios adequados. Uma grande variedade de tarefas para encontrar o tamanho de um ângulo inscrito em um círculo e outros parâmetros é apresentada na seção “Catálogo”. Para cada exercício, nossos especialistas escreveram uma solução detalhada e indicaram a resposta correta. A lista de tarefas do site é constantemente complementada e atualizada.

Alunos do ensino médio podem se preparar para o Exame de Estado Unificado praticando exercícios, por exemplo, para encontrar a magnitude de um ângulo central e o comprimento de um arco de círculo, online, de qualquer região da Rússia.

Se necessário, a tarefa concluída pode ser salva na seção “Favoritos” para voltar a ela posteriormente e analisar novamente o princípio de sua solução.

Ângulo centralé um ângulo cujo vértice está no centro do círculo.
Ângulo inscrito- um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados o cruzam.

A figura mostra os ângulos centrais e inscritos, bem como suas propriedades mais importantes.

Então, a magnitude do ângulo central é igual à magnitude angular do arco sobre o qual ele repousa. Isso significa que um ângulo central de 90 graus repousará sobre um arco igual a 90°, ou seja, um círculo. O ângulo central, igual a 60°, repousa sobre um arco de 60 graus, ou seja, na sexta parte do círculo.

A magnitude do ângulo inscrito é duas vezes menor que o ângulo central baseado no mesmo arco.

Além disso, para resolver problemas precisaremos do conceito de “acorde”.

Ângulos centrais iguais subtendem cordas iguais.

1. Qual é o ângulo inscrito subentendido pelo diâmetro do círculo? Dê sua resposta em graus.

Um ângulo inscrito subentendido por um diâmetro é um ângulo reto.

2. O ângulo central é 36° maior que o ângulo agudo inscrito subtendido pelo mesmo arco circular. Encontre o ângulo inscrito. Dê sua resposta em graus.

Seja o ângulo central igual a x, e o ângulo inscrito subtendido pelo mesmo arco seja igual a y.

Sabemos que x = 2y.
Portanto, 2y = 36 + y,
y = 36.

3. O raio do círculo é 1. Encontre a magnitude do ângulo obtuso inscrito subtendido pela corda, igual a. Dê sua resposta em graus.

Seja o acorde AB igual a . O ângulo obtuso inscrito com base nesta corda será denotado por α.
No triângulo AOB, os lados AO e OB são iguais a 1, o lado AB é igual a . Já encontramos esses triângulos. Obviamente, o triângulo AOB é retangular e isósceles, ou seja, o ângulo AOB é igual a 90°.
Então o arco ACB é igual a 90°, e o arco AKB é igual a 360° - 90° = 270°.
O ângulo inscrito α repousa sobre o arco AKB e é igual à metade do valor angular deste arco, ou seja, 135°.

Resposta: 135.

4. A corda AB divide o círculo em duas partes, cujos valores de grau estão na proporção 5:7. Em que ângulo esta corda é visível do ponto C, que pertence ao arco menor do círculo? Dê sua resposta em graus.

O principal nesta tarefa é desenho correto e compreender a condição. Como você entende a pergunta: “Em que ângulo a corda é visível do ponto C?”
Imagine que você está sentado no ponto C e precisa ver tudo o que está acontecendo no acorde AB. É como se o acorde AB fosse uma tela de cinema :-)
Obviamente, você precisa encontrar o ângulo ACB.
A soma dos dois arcos em que a corda AB divide o círculo é igual a 360°, ou seja
5x + 7x = 360°
Portanto x = 30°, e então o ângulo inscrito ACB repousa sobre um arco igual a 210°.
A magnitude do ângulo inscrito é igual à metade da magnitude angular do arco sobre o qual ele se apoia, o que significa que o ângulo ACB é igual a 105°.

Este é o ângulo formado por dois acordes, originando-se em um ponto do círculo. Diz-se que um ângulo inscrito é descansa no arco fechado entre seus lados.

Ângulo inscrito igual à metade do arco sobre o qual repousa.

Em outras palavras, ângulo inscrito inclui tantos graus angulares, minutos e segundos quanto graus de arco, minutos e segundos estão contidos na metade do arco sobre o qual ele repousa. Para justificar isso, analisemos três casos:

Primeiro caso:

O centro O está localizado na lateral ângulo inscrito ABC. Desenhando o raio AO, obtemos ΔABO, nele OA = OB (como raios) e, consequentemente, ∠ABO = ∠BAO. Em relação a isso triângulo, ângulo AOC - externo. E isso significa que é igual à soma dos ângulos ABO e BAO, ou igual ao duplo ângulo ABO. Então ∠ABO é igual à metade ângulo central COA. Mas este ângulo é medido pelo arco AC. Ou seja, o ângulo inscrito ABC é medido pela metade do arco AC.

Segundo caso:

O centro O está localizado entre os lados ângulo inscrito ABC Desenhado o diâmetro BD, dividimos o ângulo ABC em dois ângulos, dos quais, segundo o primeiro caso, um é medido pela metade. arcos AD e a outra metade do arco CD. E, consequentemente, o ângulo ABC é medido (AD+DC)/2, ou seja, 1/2 CA.

Terceiro caso:

O centro O está localizado fora ângulo inscrito ABC. Desenhando o diâmetro BD, teremos:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Mas os ângulos ABD e CBD são medidos com base na metade previamente justificada arco AD e CD. E como ∠ABC é medido por (AD-CD)/2, ou seja, metade do arco AC.

Corolário 1. Quaisquer baseados no mesmo arco são iguais, ou seja, iguais entre si. Como cada um deles é medido pela metade do mesmo arcos .

Corolário 2. Ângulo inscrito, com base no diâmetro - ângulo certo. Uma vez que cada um desses ângulos é medido por meio semicírculo e, portanto, contém 90°.

O conceito de ângulo inscrito e central

Vamos primeiro introduzir o conceito de ângulo central.

Nota 1

Observe que a medida em grau de um ângulo central é igual à medida em grau do arco sobre o qual ele repousa.

Vamos agora introduzir o conceito de ângulo inscrito.

Definição 2

Um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados cruzam o mesmo círculo é chamado de ângulo inscrito (Fig. 2).

Figura 2. Ângulo inscrito

Teorema do ângulo inscrito

Teorema 1

A medida do grau de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do grau do arco sobre o qual ele repousa.

Prova.

Seja-nos dado um círculo com centro no ponto $O$. Vamos denotar o ângulo inscrito $ACB$ (Fig. 2). Os três casos a seguir são possíveis:

• O raio $CO$ coincide com qualquer lado do ângulo. Seja este o lado $CB$ (Fig. 3).

Figura 3.

Neste caso, o arco $AB$ é menor que $(180)^(()^\circ )$, portanto o ângulo central $AOB$ é igual ao arco $AB$. Como $AO=OC=r$, então o triângulo $AOC$ é isósceles. Isso significa que os ângulos da base $CAO$ e $ACO$ são iguais entre si. Pelo teorema sobre ângulo externo triângulo, temos:

• Feixe $CO$ divide canto interno em dois ângulos. Deixe-o cruzar o círculo no ponto $D$ (Fig. 4).

Figura 4.

Nós temos

• O raio $CO$ não divide o ângulo interno em dois ângulos e não coincide com nenhum dos seus lados (Fig. 5).

Figura 5.

Consideremos os ângulos $ACD$ e $DCB$ separadamente. De acordo com o que foi provado no ponto 1, obtemos

Nós temos

O teorema foi provado.

Vamos dar consequências deste teorema.

Corolário 1:Ângulos inscritos que repousam no mesmo arco são iguais entre si.

Corolário 2: Um ângulo inscrito que subtende um diâmetro é um ângulo reto.

Ângulo inscrito, teoria do problema. Amigos! Neste artigo falaremos sobre tarefas para as quais você precisa conhecer as propriedades de um ângulo inscrito. Este é todo um grupo de tarefas, elas estão incluídas no Exame Estadual Unificado. A maioria deles pode ser resolvida de forma muito simples, com uma ação.

Existem problemas mais difíceis, mas não apresentarão muita dificuldade para você, você precisa conhecer as propriedades de um ângulo inscrito. Aos poucos iremos analisar todos os protótipos de tarefas, convido vocês para o blog!

Agora a teoria necessária. Lembremos o que é um ângulo central e inscrito, uma corda, um arco, sobre o qual repousam esses ângulos:

O ângulo central de uma circunferência é um ângulo plano comápice em seu centro.

A parte de um círculo localizada dentro de um ângulo planochamado de arco de círculo.

A medida de grau de um arco de círculo é chamada de medida de grauo ângulo central correspondente.

Diz-se que um ângulo está inscrito numa circunferência se o vértice do ângulo estiverem um círculo, e os lados do ângulo cruzam esse círculo.

Um segmento que conecta dois pontos de uma circunferência é chamadoacorde. A maior corda passa pelo centro do círculo e é chamadadiâmetro.

Para resolver problemas envolvendo ângulos inscritos em um círculo,você precisa conhecer as seguintes propriedades:

1. O ângulo inscrito é igual à metade do ângulo central, baseado no mesmo arco.

2. Todos os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais.

3. Todos os ângulos inscritos baseados na mesma corda e cujos vértices estão no mesmo lado desta corda são iguais.

4. Qualquer par de ângulos baseados na mesma corda, cujos vértices ficam ao longo lados diferentes acordes somam 180°.

Corolário: os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em um círculo somam 180 graus.

5. Todos os ângulos inscritos subentendidos por um diâmetro são ângulos retos.

Em geral, esta propriedade é uma consequência da propriedade (1); este é o seu caso especial. Veja - o ângulo central é igual a 180 graus (e esse ângulo desdobrado nada mais é que um diâmetro), o que significa, segundo a primeira propriedade, o ângulo inscrito C é igual à metade dele, ou seja, 90 graus.

Conhecer esta propriedade ajuda na resolução de muitos problemas e muitas vezes permite evitar cálculos desnecessários. Depois de dominá-lo bem, você poderá resolver oralmente mais da metade dos problemas desse tipo. Duas conclusões que podem ser tiradas:

Corolário 1: se um triângulo está inscrito em um círculo e um de seus lados coincide com o diâmetro deste círculo, então o triângulo é retângulo (vértice ângulo certo encontra-se no círculo).

Corolário 2: o centro do descrito sobre triângulo retângulo círculo coincide com o meio de sua hipotenusa.

Muitos protótipos de problemas estereométricos também são resolvidos usando esta propriedade e estas consequências. Lembre-se do fato em si: se o diâmetro de um círculo é um lado de um triângulo inscrito, então esse triângulo é retângulo (o ângulo oposto ao diâmetro é de 90 graus). Você mesmo pode tirar todas as outras conclusões e consequências; não precisa ensiná-las.

Via de regra, metade dos problemas sobre ângulos inscritos são apresentados com um esboço, mas sem símbolos. Para entender o processo de raciocínio na resolução de problemas (abaixo no artigo), são introduzidas notações para vértices (ângulos). Você não precisa fazer isso no Exame de Estado Unificado.Vamos considerar as tarefas:

Qual é o valor de um ângulo agudo inscrito subentendido por uma corda igual ao raio do círculo? Dê sua resposta em graus.

Vamos construir um ângulo central para um determinado ângulo inscrito e designar os vértices:

Pela propriedade de um ângulo inscrito em uma circunferência:

O ângulo AOB é igual a 60 0, pois o triângulo AOB é equilátero, e em um triângulo equilátero todos os ângulos são iguais a 60 0. Os lados do triângulo são iguais, pois a condição diz que a corda é igual ao raio.

Assim, o ângulo inscrito ACB é igual a 30 0.

Resposta: 30

Encontre a corda apoiada por um ângulo de 30 0 inscrito em um círculo de raio 3.

Este é essencialmente o problema inverso (do anterior). Vamos construir o ângulo central.

É duas vezes maior que o inscrito, ou seja, o ângulo AOB é igual a 60 0. Disto podemos concluir que o triângulo AOB é equilátero. Assim, a corda é igual ao raio, ou seja, três.

Resposta: 3

O raio do círculo é 1. Encontre a magnitude do ângulo obtuso inscrito subtendido pela corda igual à raiz de dois. Dê sua resposta em graus.

Vamos construir o ângulo central:

Conhecendo o raio e a corda, podemos encontrar o ângulo central ASV. Isso pode ser feito usando o teorema do cosseno. Conhecendo o ângulo central, podemos facilmente encontrar o ângulo inscrito ACB.

Teorema do cosseno: o quadrado de qualquer lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, sem o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Portanto, o segundo ângulo central é 360 0 – 90 0 = 270 0 .

O ângulo ACB, pela propriedade de um ângulo inscrito, é igual à metade dele, ou seja, 135 graus.

Resposta: 135

Encontre a corda subtendida por um ângulo de 120 graus inscrito em um círculo de raio raiz de três.

Vamos conectar os pontos A e B ao centro do círculo. Vamos denotá-lo como O:

Conhecemos o raio e o ângulo inscrito ASV. Podemos encontrar o ângulo central AOB (maior que 180 graus) e, em seguida, encontrar o ângulo AOB no triângulo AOB. E então, usando o teorema do cosseno, calcule AB.

De acordo com a propriedade do ângulo inscrito, o ângulo central AOB (que é maior que 180 graus) será igual ao dobro do ângulo inscrito, ou seja, 240 graus. Isso significa que o ângulo AOB no triângulo AOB é igual a 360 0 – 240 0 = 120 0.

De acordo com o teorema do cosseno:

Resposta:3

Encontre o ângulo inscrito subtendido por um arco que é 20% do círculo. Dê sua resposta em graus.

De acordo com a propriedade de um ângulo inscrito, ele tem metade do tamanho do ângulo central baseado no mesmo arco, neste caso estamos falando do arco AB.

Diz-se que o arco AB é 20 por cento da circunferência. Isso significa que o ângulo central AOB também é 20% de 360 ​​0.*Um círculo é um ângulo de 360 ​​graus. Significa,

Assim, o ângulo inscrito ACB é de 36 graus.

Resposta: 36

Arco de um círculo AC, não contendo um ponto B, é 200 graus. E o arco de um círculo BC, não contendo um ponto A, é 80 graus. Encontre o ângulo inscrito ACB. Dê sua resposta em graus.

Para maior clareza, denotaremos os arcos cujas medidas angulares são fornecidas. Arco correspondente a 200 graus – Cor azul, o arco correspondente a 80 graus é vermelho, a parte restante do círculo é amarelo.

Assim, a medida do grau do arco AB (amarelo) e, portanto, do ângulo central AOB é: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

O ângulo inscrito ACB tem metade do ângulo central AOB, ou seja, é igual a 40 graus.

Resposta: 40

Qual é o ângulo inscrito subtendido pelo diâmetro do círculo? Dê sua resposta em graus.