O que significa encontrar o maior valor de uma função. Maior e menor valor de uma função

Com este serviço você pode encontrar o maior e o menor valor de uma função uma variável f(x) com a solução formatada em Word. Se a função f(x,y) for dada, portanto, é necessário encontrar o extremo da função de duas variáveis. Você também pode encontrar os intervalos de funções crescentes e decrescentes.

Regras para inserir funções:

Condição necessária para o extremo de uma função de uma variável

Condição suficiente para o extremo de uma função de uma variável

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Então o ponto x * é o ponto de mínimo local (global) da função.

Se no ponto x * a condição for atendida:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Então o ponto x * é um máximo local (global).

Exemplo nº 1. Encontre os maiores e menores valores da função: no segmento.
Solução.

O ponto crítico é um x 1 = 2 (f’(x)=0). Este ponto pertence ao segmento. (O ponto x=0 não é crítico, pois 0∉).
Calculamos os valores da função nas extremidades do segmento e no ponto crítico.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Resposta: f min = 5/2 em x=2; f máx =9 em x=1

Exemplo nº 2. Usando derivadas de ordem superior, encontre o extremo da função y=x-2sin(x) .
Solução.
Encontre a derivada da função: y’=1-2cos(x) . Vamos encontrar os pontos críticos: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Encontramos y’’=2sin(x), calcule , o que significa x= π / 3 +2πk, k∈Z são os pontos mínimos da função; , o que significa x=- π / 3 +2πk, k∈Z são os pontos máximos da função.

Exemplo nº 3. Investigue a função de extremo na vizinhança do ponto x=0.
Solução. Aqui é necessário encontrar os extremos da função. Se o extremo x=0, então descubra seu tipo (mínimo ou máximo). Se entre os pontos encontrados não houver x = 0, calcule o valor da função f(x=0).
Deve-se notar que quando a derivada de cada lado de um determinado ponto não muda de sinal, as situações possíveis não se esgotam mesmo para funções diferenciáveis: pode acontecer que para uma vizinhança arbitrariamente pequena de um lado do ponto x 0 ou em ambos os lados a derivada muda de sinal. Nestes pontos é necessário utilizar outros métodos para estudar funções em extremos.

Maior e menor valor de uma função

O maior valor de uma função é o maior, o menor valor é o menor de todos os seus valores.

Uma função pode ter apenas um valor maior e apenas um valor menor, ou pode não ter nenhum. Encontrar os maiores e menores valores de funções contínuas é baseado nas seguintes propriedades dessas funções:

1) Se em um determinado intervalo (finito ou infinito) a função y=f(x) for contínua e tiver apenas um extremo e se este for máximo (mínimo), então será o maior (menor) valor da função neste intervalo.

2) Se a função f(x) é contínua em um determinado segmento, então ela necessariamente possui o maior e o menor valor neste segmento. Esses valores são alcançados em pontos extremos situados dentro do segmento ou nos limites deste segmento.

Para encontrar os maiores e menores valores de um segmento, é recomendado usar o seguinte esquema:

1. Encontre a derivada.

2. Encontre os pontos críticos da função nos quais =0 ou não existe.

3. Encontre os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do segmento e selecione entre eles o maior f max e o menor f max.

Na resolução de problemas aplicados, em particular de otimização, são importantes os problemas de encontrar os maiores e menores valores (máximo global e mínimo global) de uma função no intervalo X. Para resolver tais problemas, deve-se, com base na condição. , selecione uma variável independente e expresse o valor em estudo através desta variável. Em seguida, encontre o maior ou menor valor desejado da função resultante. Neste caso, o intervalo de mudança da variável independente, que pode ser finito ou infinito, também é determinado a partir das condições do problema.

Exemplo. O tanque, que tem a forma de um paralelepípedo retangular de topo aberto e fundo quadrado, deve ser estanhado por dentro com estanho. Quais devem ser as dimensões do tanque se sua capacidade for de 108 litros? água para que o custo de estanhagem seja mínimo?

Solução. O custo de revestir um tanque com estanho será mínimo se, para uma determinada capacidade, sua área superficial for mínima. Denotemos por a dm o lado da base, b dm a altura do tanque. Então a área S de sua superfície é igual a

E

A relação resultante estabelece a relação entre a área superficial do reservatório S (função) e o lado da base a (argumento). Vamos examinar a função S para um extremo. Vamos encontrar a primeira derivada, igualá-la a zero e resolver a equação resultante:

Portanto, a = 6. (a) > 0 para a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Exemplo. Encontre os maiores e menores valores de uma função no intervalo.

Solução: Função especificada contínuo em toda a reta numérica. Derivada de uma função

Derivada para e para . Vamos calcular os valores da função nestes pontos:

.

Os valores da função nas extremidades de um determinado intervalo são iguais. Por isso, valor mais alto função é igual a at , o menor valor da função é igual a at .

Perguntas de autoteste

1. Formule a regra de L'Hopital para revelar incertezas da forma. Lista Vários tipos incertezas para as quais a regra de L'Hopital pode ser usada.

2. Formule os sinais de funções crescentes e decrescentes.

3. Defina o máximo e o mínimo de uma função.

4. Formule uma condição necessária para a existência de um extremo.

5. Quais valores do argumento (quais pontos) são chamados de críticos? Como encontrar esses pontos?

6. Quais são os sinais suficientes da existência de um extremo de uma função? Descreva um esquema para estudar uma função em um extremo usando a primeira derivada.

7. Descreva um esquema para estudar uma função no extremo usando a segunda derivada.

8. Defina a convexidade e a concavidade de uma curva.

9. Como é chamado o ponto de inflexão do gráfico de uma função? Indique um método para encontrar esses pontos.

10. Formule os sinais necessários e suficientes de convexidade e concavidade de uma curva em um determinado segmento.

11. Defina a assíntota de uma curva. Como encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas do gráfico de uma função?

12. Esboço esquema geral pesquisando uma função e traçando seu gráfico.

13. Formule uma regra para encontrar os maiores e menores valores de uma função em um determinado intervalo.

Neste artigo falarei sobre algoritmo para encontrar o maior e o menor valor funções, pontos mínimo e máximo.

Da teoria, definitivamente será útil para nós tabela de derivadas E regras de diferenciação. Está tudo neste prato:

Algoritmo para encontrar o maior e o menor valor.

É mais conveniente para mim explicar em exemplo específico. Considerar:

Exemplo: Encontre o maior valor da função y=x^5+20x^3–65x no segmento [–4;0].

Passo 1. Tomamos a derivada.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Passo 2. Encontrando pontos extremos.

Ponto extremo chamamos aqueles pontos em que a função atinge seu valor maior ou mínimo.

Para encontrar os pontos extremos, você precisa igualar a derivada da função a zero (y" = 0)

5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65 = 0

Agora vamos resolver esse bi Equação quadrática e as raízes encontradas são os nossos pontos extremos.

Eu resolvo essas equações substituindo t = x^2, então 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Vamos reduzir a equação em 5, obtemos: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + quadrado(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - quadrado(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Fazemos a mudança inversa x^2 = t:

X_(1 e 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 e 4) = ±sqrt(-13) (excluímos, não pode haver números negativos, a menos, é claro, que estejamos falando de números complexos)

Total: x_(1) = 1 e x_(2) = -1 - esses são nossos pontos extremos.

Etapa 3. Determine o maior e o menor valor.

Método de substituição.

Na condição, recebemos o segmento [b][–4;0]. O ponto x=1 não está incluído neste segmento. Portanto, não estamos considerando isso. Mas além do ponto x=-1, também precisamos considerar os limites esquerdo e direito do nosso segmento, ou seja, os pontos -4 e 0. Para fazer isso, substituímos todos esses três pontos na função original. Observe que o original é aquele dado na condição (y=x^5+20x^3–65x), algumas pessoas começam a substituí-lo na derivada...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Isso significa que o maior valor da função é [b]44 e é alcançado no ponto [b]-1, que é denominado ponto máximo da função no segmento [-4; 0].

Decidimos e recebemos uma resposta, estamos ótimos, pode relaxar. Mas pare! Você não acha que calcular y(-4) é muito difícil? Em condições de tempo limitado, é melhor usar outro método, eu chamo assim:

Através de intervalos de constância de sinal.

Esses intervalos são encontrados para a derivada da função, ou seja, para nossa equação biquadrática.

Eu faço assim. Eu desenho um segmento direcionado. Coloco os pontos: -4, -1, 0, 1. Apesar de 1 não estar incluído no segmento dado, ainda deve ser anotado para determinar corretamente os intervalos de constância do sinal. Vamos pegar um número muitas vezes maior que 1, digamos 100, e substituí-lo mentalmente em nossa equação biquadrática 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Mesmo sem contar nada, fica óbvio que no ponto 100 o função tem sinal de mais. Isso significa que para intervalos de 1 a 100 possui um sinal de mais. Ao passar por 1 (vamos da direita para a esquerda), a função mudará de sinal para menos. Ao passar pelo ponto 0, a função manterá seu sinal, pois este é apenas o limite do segmento, e não a raiz da equação. Ao passar por -1, a função mudará novamente o sinal para mais.

Pela teoria sabemos que onde está a derivada da função (e desenhamos isso precisamente para ela) muda o sinal de mais para menos (ponto -1 no nosso caso) função atinge seu máximo local (y(-1)=44, conforme calculado anteriormente) neste segmento (isto é logicamente muito compreensível, a função parou de aumentar porque atingiu o máximo e começou a diminuir).

Assim, onde a derivada da função muda o sinal de menos para mais, é alcançado mínimo local de uma função. Sim, sim, também descobrimos que o ponto mínimo local é 1 e y(1) é o valor mínimo da função no segmento, digamos de -1 a +∞. Observe enorme atenção, que este é apenas um MÍNIMO LOCAL, ou seja, um mínimo em um determinado segmento. Já que o mínimo real (global) da função chegará em algum lugar aí, em -∞.

Na minha opinião, o primeiro método é mais simples teoricamente, e o segundo é mais simples do ponto de vista das operações aritméticas, mas muito mais complexo do ponto de vista teórico. Afinal, às vezes há casos em que a função não muda de sinal ao passar pela raiz da equação e, em geral, você pode se confundir com esses máximos e mínimos locais e globais, embora você tenha que dominar isso bem de qualquer maneira se você planeja ingressar em uma universidade técnica (e por que outro motivo fazer o Exame Estadual Unificado de perfil e resolver esse problema). Mas a prática e somente a prática o ensinarão a resolver esses problemas de uma vez por todas. E você pode treinar em nosso site. Aqui .

Se você tiver alguma dúvida ou algo não estiver claro, pergunte. Terei prazer em responder e fazer alterações e acréscimos ao artigo. Lembre-se que estamos fazendo este site juntos!

E para resolvê-lo você precisará de um conhecimento mínimo do assunto. O próximo termina ano acadêmico, todo mundo quer sair de férias, e para aproximar esse momento, vou direto ao assunto:

Vamos começar pela área. A área referida na condição é limitado fechado conjunto de pontos de um plano. Por exemplo, o conjunto de pontos delimitados por um triângulo, incluindo o triângulo TODO (se de fronteiras“retirar” pelo menos um ponto, então a região não estará mais fechada). Na prática, também existem áreas retangulares, circulares e um pouco maiores. formas complexas. Deve-se notar que na teoria da análise matemática são dadas definições estritas limitações, isolamento, limites, etc., mas acho que todos estão cientes desses conceitos em um nível intuitivo e agora nada mais é necessário.

Uma região plana é normalmente denotada pela letra e, como regra, é especificada analiticamente - por várias equações (não necessariamente linear); menos frequentemente desigualdades. Palavreado típico: “área fechada, delimitado por linhas ».

Parte integrante da tarefa em questão é a construção de uma área no desenho. Como fazer isso? Você precisa desenhar todas as linhas listadas (neste caso 3 direto) e analise o que aconteceu. A área pesquisada geralmente fica levemente sombreada e sua borda é marcada com uma linha grossa:


A mesma área também pode ser definida desigualdades lineares: , que por algum motivo são frequentemente escritos como uma lista enumerada em vez de sistema.
Como a fronteira pertence à região, então todas as desigualdades, é claro, relaxado.

E agora a essência da tarefa. Imagine que o eixo sai direto da origem em sua direção. Considere uma função que contínuo em cada ponto de área. O gráfico desta função representa alguns superfície, e a pequena felicidade é que para resolver o problema de hoje não precisamos de saber como é esta superfície. Ele pode estar localizado acima, abaixo, cruzar o plano - tudo isso não importa. E o seguinte é importante: de acordo com Teoremas de Weierstrass, contínuo V fechado limitado onde a função atinge seu maior valor (o mais alto") e o mínimo (o mais baixo") valores que precisam ser encontrados. Tais valores são alcançados ou V pontos estacionários, pertencente à regiãoD , ou em pontos que ficam na fronteira desta área. Isso leva a um algoritmo de solução simples e transparente:

Exemplo 1

Em limitado área fechada

Solução: Em primeiro lugar, você precisa representar a área no desenho. Infelizmente, é-me tecnicamente difícil fazer um modelo interativo do problema, por isso apresentarei imediatamente a ilustração final, que mostra todos os pontos “suspeitos” encontrados durante a pesquisa. Eles geralmente são listados um após o outro à medida que são descobertos:

Com base no preâmbulo, a decisão pode ser convenientemente dividida em dois pontos:

I) Encontre pontos estacionários. Esta é uma ação padrão que realizamos repetidamente em aula. sobre extremos de diversas variáveis:

Ponto estacionário encontrado pertenceáreas: (marque no desenho), o que significa que devemos calcular o valor da função em um determinado ponto:

- como no artigo Os maiores e menores valores de uma função em um segmento, destacarei resultados importantes em negrito. É conveniente desenhá-los em um caderno com um lápis.

Preste atenção à nossa segunda felicidade - não adianta verificar condição suficiente para um extremo. Por que? Mesmo que em um ponto a função atinja, por exemplo, mínimo local, então isso NÃO SIGNIFICA que o valor resultante será mínimo em toda a região (veja o início da lição sobre extremos incondicionais) .

O que fazer se o ponto estacionário NÃO pertence à área? Quase nada! Deve-se observar isso e passar para o próximo ponto.

II) Exploramos a fronteira da região.

Como a fronteira consiste nos lados de um triângulo, é conveniente dividir o estudo em 3 subseções. Mas é melhor não fazer isso de qualquer maneira. Do meu ponto de vista, é primeiro mais vantajoso considerar os segmentos paralelos aos eixos coordenados e, em primeiro lugar, aqueles que estão nos próprios eixos. Para compreender toda a sequência e lógica das ações, tente estudar o final “de uma só vez”:

1) Vamos lidar com o lado inferior do triângulo. Para fazer isso, substitua diretamente na função:

Alternativamente, você pode fazer assim:

Geometricamente, isso significa que o plano coordenado (que também é dado pela equação)"esculpe" fora superfícies uma parábola "espacial", cujo topo fica imediatamente sob suspeita. Vamos descobrir onde ela está localizada:

– o valor resultante “caiu” na área, e pode muito bem acontecer que no ponto (marcado no desenho) a função atinge o maior ou menor valor em toda a região. De uma forma ou de outra, vamos fazer os cálculos:

Os demais “candidatos” são, claro, as pontas do segmento. Vamos calcular os valores da função em pontos (marcado no desenho):

Aqui, aliás, você pode realizar uma miniverificação oral usando uma versão “simplificada”:

2) Para pesquisa lado direito substituímos o triângulo na função e “colocamos as coisas em ordem”:

Aqui realizaremos imediatamente uma verificação aproximada, “tocando” o final já processado do segmento:
, Ótimo.

A situação geométrica está relacionada com o ponto anterior:

– o valor resultante também “entrou na esfera dos nossos interesses”, o que significa que precisamos calcular a que é igual a função no ponto que apareceu:

Vamos examinar a segunda extremidade do segmento:

Usando a função , vamos realizar uma verificação de controle:

3) Provavelmente todos podem adivinhar como explorar o lado restante. Nós o substituímos na função e fazemos simplificações:

Extremidades do segmento já foram pesquisados, mas no rascunho ainda verificamos se encontramos a função corretamente :
– coincidiu com o resultado do primeiro parágrafo;
– coincidiu com o resultado do segundo parágrafo.

Resta saber se há algo interessante dentro do segmento:

- Há! Substituindo a reta na equação, obtemos a ordenada desse “interesse”:

Marcamos um ponto no desenho e encontramos o valor correspondente da função:

Vamos verificar os cálculos usando a versão “orçamento” :
, ordem.

E a etapa final: Examinamos CUIDADOSAMENTE todos os números “negritos”, recomendo que os iniciantes façam até uma única lista:

a partir do qual selecionamos os valores maiores e menores. Responder Vamos escrever no estilo do problema de encontrar os maiores e menores valores de uma função em um segmento:

Por precaução, comentarei mais uma vez o significado geométrico do resultado:
– aqui está o ponto mais alto da superfície da região;
– aqui está o ponto mais baixo da superfície na área.

Na tarefa analisada, identificamos 7 pontos “suspeitos”, mas o seu número varia de tarefa para tarefa. Para uma região triangular, o “conjunto de pesquisa” mínimo consiste em três pontos. Isso acontece quando a função, por exemplo, especifica avião– é completamente claro que não existem pontos estacionários, e a função pode atingir seus valores máximos/menores apenas nos vértices do triângulo. Mas há apenas um ou dois exemplos semelhantes - normalmente você tem que lidar com alguns superfície de 2ª ordem.

Se você resolver um pouco essas tarefas, os triângulos podem fazer sua cabeça girar, e é por isso que preparei exemplos incomuns para você torná-los quadrados :))

Exemplo 2

Encontre os maiores e menores valores de uma função em uma área fechada delimitada por linhas

Exemplo 3

Encontre os maiores e menores valores de uma função em uma região fechada limitada.

Atenção especial Preste atenção à ordem racional e técnica de estudo do limite da região, bem como à cadeia de verificações intermediárias, o que evitará quase completamente erros computacionais. De modo geral, você pode resolver da maneira que quiser, mas em alguns problemas, por exemplo, no Exemplo 2, há todas as chances de tornar sua vida muito mais difícil. Uma amostra aproximada das tarefas finais no final da aula.

Vamos sistematizar o algoritmo de solução, caso contrário, com minha diligência de aranha, ele de alguma forma se perdeu na longa sequência de comentários do 1º exemplo:

– Na primeira etapa construímos a área, é aconselhável sombreá-la e destacar a borda com uma linha em negrito. Durante a solução aparecerão pontos que precisam ser marcados no desenho.

– Encontre pontos estacionários e calcule os valores da função só naqueles deles que pertencem à região. Destacamos os valores resultantes no texto (por exemplo, circule-os com um lápis). Se um ponto estacionário NÃO pertence à região, marcamos esse fato com um ícone ou verbalmente. Se não houver nenhum ponto estacionário, concluímos por escrito que eles estão ausentes. De qualquer forma, este ponto não pode ser ignorado!

– Estamos explorando a fronteira da região. Primeiro, é benéfico compreender as linhas retas paralelas aos eixos coordenados (se houver algum). Destacamos também os valores da função calculados em pontos “suspeitos”. Muito foi dito acima sobre a técnica de solução e algo mais será dito abaixo - leia, releia, aprofunde-se!

– Dos números selecionados, selecione o maior e o menor valor e dê a resposta. Às vezes acontece que uma função atinge tais valores em vários pontos ao mesmo tempo - neste caso, todos esses pontos devem estar refletidos na resposta. Deixe, por exemplo, e descobriu-se que este é o menor valor. Então escrevemos isso

Os exemplos finais são dedicados a outros ideias úteis que será útil na prática:

Exemplo 4

Encontre os maiores e menores valores de uma função em uma região fechada .

Mantive a formulação do autor, em que a área é dada na forma de uma dupla desigualdade. Esta condição pode ser escrita por um sistema equivalente ou de uma forma mais tradicional para este problema:

Eu lembro que com não linear encontramos desigualdades em, e se você não entende o significado geométrico da notação, por favor não demore e esclareça a situação agora;-)

Solução, como sempre, começa com a construção de uma área que representa uma espécie de “único”:

Hmm, às vezes você tem que mastigar não só o granito da ciência...

I) Encontre pontos estacionários:

O sistema é o sonho de um idiota :)

Um ponto estacionário pertence à região, ou seja, situa-se no seu limite.

E então está tudo bem... a aula correu bem - é isso que significa beber o chá certo =)

II) Exploramos a fronteira da região. Sem mais delongas, vamos começar com o eixo x:

1) Se, então

Vamos descobrir onde está o vértice da parábola:
– aprecie esses momentos – você “acertou” direto no ponto a partir do qual tudo já está claro. Mas ainda não esquecemos de verificar:

Vamos calcular os valores da função nas extremidades do segmento:

2) Vamos tratar da parte inferior da “sola” “de uma só vez” - sem complexos substituímos na função, e estaremos interessados ​​​​apenas no segmento:

Ao controle:

Isso já traz um pouco de emoção à condução monótona em uma pista serrilhada. Vamos encontrar os pontos críticos:

Vamos decidir Equação quadrática, você se lembra de mais alguma coisa sobre isso? ...Porém, lembre-se, é claro, caso contrário você não estaria lendo estas linhas =) Se nos dois exemplos anteriores os cálculos em decimais(o que, aliás, é raro), então os habituais nos aguardam aqui frações comuns. Encontramos as raízes “X” e usamos a equação para determinar as coordenadas de “jogo” correspondentes dos pontos “candidatos”:


Vamos calcular os valores da função nos pontos encontrados:

Verifique você mesmo a função.

Agora estudamos cuidadosamente os troféus conquistados e anotamos responder:

Estes são “candidatos”, estes são “candidatos”!

Para resolver você mesmo:

Exemplo 5

Encontre os menores e maiores valores de uma função em uma área fechada

Uma entrada com chaves diz assim: “um conjunto de pontos tal que”.

Às vezes, nesses exemplos, eles usam Método do multiplicador de Lagrange, mas é improvável que haja uma necessidade real de usá-lo. Assim, por exemplo, se for dada uma função com a mesma área “de”, então após a substituição nela – com a derivada sem dificuldades; Além disso, tudo é elaborado em “uma linha” (com sinalização) sem a necessidade de considerar os semicírculos superior e inferior separadamente. Mas, claro, há mais casos complexos, onde sem a função de Lagrange (onde, por exemplo, é a mesma equação de um círculo)É difícil sobreviver – assim como é difícil sobreviver sem um bom descanso!

Boa diversão a todos e até breve na próxima temporada!

Soluções e respostas:

Exemplo 2: Solução: Vamos representar a área no desenho:

O maior (menor) valor de uma função é o maior (menor) valor aceito da ordenada no intervalo considerado.

Para encontrar o maior ou menor valor de uma função você precisa:

1. Verifique quais pontos estacionários estão incluídos em um determinado segmento.
2. Calcule o valor da função nas extremidades do segmento e em pontos estacionários do ponto 3
3. Selecione o maior ou menor valor dos resultados obtidos.

Para encontrar os pontos máximos ou mínimos você precisa:

1. Encontre a derivada da função $f"(x)$
2. Encontre pontos estacionários resolvendo a equação $f"(x)=0$
3. Fatore a derivada de uma função.
4. Desenhe uma linha de coordenadas, coloque pontos estacionários nela e determine os sinais da derivada nos intervalos resultantes, usando a notação da etapa 3.
5. Encontre os pontos máximo ou mínimo de acordo com a regra: se em um ponto a derivada muda de sinal de mais para menos, então este será o ponto máximo (se de menos para mais, então este será o ponto mínimo). Na prática, é conveniente utilizar a imagem das setas em intervalos: no intervalo onde a derivada é positiva, a seta é desenhada para cima e vice-versa.

Tabela de derivadas de algumas funções elementares:

Regras básicas de diferenciação

1. A derivada da soma e da diferença é igual à derivada de cada termo

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Encontre a derivada da função $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

A derivada da soma e da diferença é igual à derivada de cada termo

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivado do produto.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Encontre a derivada $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivada do quociente

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Encontre a derivada $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivada função complexa igual ao produto da derivada função externa para a derivada da função interna

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Encontre o ponto mínimo da função $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Encontre o ODZ da função: $x+11>0; x>-11$

2. Encontre a derivada da função $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Encontre pontos estacionários igualando a derivada a zero

$(2x+21)/(x+11)=0$

Uma fração é igual a zero se o numerador for zero e o denominador não for zero.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Vamos traçar uma linha de coordenadas, colocar pontos estacionários nela e determinar os sinais da derivada nos intervalos resultantes. Para fazer isso, substitua qualquer número da região mais à direita na derivada, por exemplo, zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. No ponto mínimo, a derivada muda de sinal de menos para mais, portanto, o ponto $-10,5$ é o ponto mínimo.

Resposta: $-10,5$

Encontre o maior valor da função $y=6x^5-90x^3-5$ no segmento $[-5;1]$

1. Encontre a derivada da função $y′=30x^4-270x^2$

2. Iguale a derivada a zero e encontre pontos estacionários

$30x^4-270x^2=0$

Vamos tirar o fator total $30x^2$ dos colchetes

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Vamos igualar cada fator a zero

$x^2=0; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Selecione pontos estacionários que pertencem ao segmento fornecido $[-5;1]$

Os pontos estacionários $x=0$ e $x=-3$ nos convêm

4. Calcule o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos estacionários da etapa 3