Como resolver uma fração com denominadores diferentes. Multiplicação de frações simples e mistas com denominadores diferentes

Uma das ciências mais importantes, cuja aplicação pode ser vista em disciplinas como química, física e até biologia, é a matemática. Estudar esta ciência permite desenvolver algumas qualidades mentais e melhorar sua capacidade de concentração. Um dos temas que merecem atenção especial no curso de Matemática é a adição e subtração de frações. Muitos estudantes têm dificuldade para estudar. Talvez nosso artigo o ajude a entender melhor este tópico.

Como subtrair frações cujos denominadores são iguais

Frações são os mesmos números com os quais você pode realizar várias operações. A diferença deles em relação aos números inteiros está na presença de um denominador. É por isso que, ao realizar operações com frações, é necessário estudar algumas de suas características e regras. Maioria caso simplesé subtração frações ordinárias, cujos denominadores são representados como o mesmo número. Realizar esta ação não será difícil se você conhecer uma regra simples:

Para subtrair um segundo de uma fração, é necessário subtrair o numerador da fração subtraída do numerador da fração que está sendo reduzida. Escrevemos esse número no numerador da diferença e deixamos o denominador igual: k/m - b/m = (k-b)/m.

Exemplos de subtração de frações cujos denominadores são iguais

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Do numerador da fração “7” subtraímos o numerador da fração “3” a ser subtraída, obtemos “4”. Escrevemos esse número no numerador da resposta, e no denominador colocamos o mesmo número que estava nos denominadores da primeira e da segunda frações - “19”.

A imagem abaixo mostra vários outros exemplos semelhantes.

Vamos considerar um exemplo mais complexo onde frações com denominadores semelhantes são subtraídas:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Do numerador da fração “29” sendo reduzido subtraindo sucessivamente os numeradores de todas as frações subsequentes - “3”, “8”, “2”, “7”. Como resultado, obtemos o resultado “9”, que anotamos no numerador da resposta, e no denominador anotamos o número que está nos denominadores de todas essas frações - “47”.

Adicionando frações que têm o mesmo denominador

A adição e subtração de frações ordinárias segue o mesmo princípio.

Para somar frações cujos denominadores são iguais, é necessário somar os numeradores. O número resultante é o numerador da soma, e o denominador permanecerá o mesmo: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vamos ver como fica usando um exemplo:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Ao numerador do primeiro termo da fração - “1” - adicione o numerador do segundo termo da fração - “2”. O resultado - “3” - é escrito no numerador da soma, e o denominador fica igual ao presente nas frações - “4”.

Frações com denominadores diferentes e sua subtração

Já consideramos a operação com frações que possuem o mesmo denominador. Como vemos, sabendo regras simples, resolver esses exemplos é bastante fácil. Mas e se você precisar realizar uma operação com frações que possuem denominadores diferentes? Muitos estudantes do ensino secundário ficam confusos com esses exemplos. Mas mesmo aqui, se você conhece o princípio da solução, os exemplos não serão mais difíceis para você. Há também uma regra aqui, sem a qual é simplesmente impossível resolver tais frações.

Para subtrair frações de denominadores diferentes, é necessário reduzi-los ao mesmo denominador mais baixo.

Falaremos com mais detalhes sobre como fazer isso.

Propriedade de uma fração

Para trazer várias frações ao mesmo denominador, é necessário usar a propriedade principal de uma fração na solução: após dividir ou multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número, obtém-se uma fração igual ao dado.

Assim, por exemplo, a fração 2/3 pode ter denominadores como “6”, “9”, “12”, etc., ou seja, pode ter a forma de qualquer número que seja múltiplo de “3”. Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador por “2”, obtemos a fração 4/6. Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador da fração original por “3”, obtemos 6/9, e se realizarmos uma operação semelhante com o número “4”, obtemos 8/12. Uma igualdade pode ser escrita da seguinte forma:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Como converter múltiplas frações para o mesmo denominador

Vejamos como reduzir múltiplas frações ao mesmo denominador. Por exemplo, vamos pegar as frações mostradas na imagem abaixo. Primeiro você precisa determinar qual número pode se tornar o denominador de todos eles. Para facilitar as coisas, vamos fatorar os denominadores existentes.

O denominador da fração 1/2 e da fração 2/3 não pode ser fatorado. O denominador 7/9 tem dois fatores 7/9 = 7/(3 x 3), o denominador da fração 5/6 = 5/(2 x 3). Agora precisamos determinar quais fatores serão os menores para todas essas quatro frações. Como a primeira fração possui o número “2” no denominador, significa que deve estar presente em todos os denominadores; na fração 7/9 existem dois trigêmeos, o que significa que ambos também devem estar presentes no denominador; Levando em consideração o exposto, determinamos que o denominador consiste em três fatores: 3, 2, 3 e é igual a 3 x 2 x 3 = 18.

Consideremos a primeira fração - 1/2. Existe um “2” em seu denominador, mas não existe um único dígito “3”, mas deveria haver dois. Para isso, multiplicamos o denominador por dois triplos, mas, segundo a propriedade de uma fração, devemos multiplicar o numerador por dois triplos:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 18/09.

Fazemos o mesmo com as frações restantes.

2/3 - falta um três e um dois no denominador:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 18/12.
7/9 ou 7/(3 x 3) - falta um dois no denominador:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 ou 5/(2 x 3) - falta um três no denominador:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Todos juntos ficam assim:

Como subtrair e adicionar frações com denominadores diferentes

Conforme mencionado acima, para somar ou subtrair frações que possuem denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador, e então utilizar as regras de subtração de frações que possuem o mesmo denominador, que já foram discutidas.

Vejamos isso como exemplo: 18/04 - 15/03.

Encontrando o múltiplo dos números 18 e 15:

O número 18 é composto por 3 x 2 x 3.
O número 15 é composto por 5 x 3.
O múltiplo comum serão os seguintes fatores: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Depois de encontrado o denominador, é necessário calcular o fator que será diferente para cada fração, ou seja, o número pelo qual será necessário multiplicar não só o denominador, mas também o numerador. Para fazer isso, divida o número que encontramos (o múltiplo comum) pelo denominador da fração para a qual fatores adicionais precisam ser determinados.

90 dividido por 15. O número resultante “6” será um multiplicador de 15/3.
90 dividido por 18. O número resultante “5” será um multiplicador de 18/4.

A próxima etapa da nossa solução é reduzir cada fração ao denominador “90”.

Já falamos sobre como isso é feito. Vamos ver como isso está escrito em um exemplo:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Se as frações tiverem números pequenos, você poderá determinar o denominador comum, como no exemplo mostrado na imagem abaixo.

O mesmo se aplica àqueles com denominadores diferentes.

Subtração e tendo partes inteiras

Já discutimos detalhadamente a subtração de frações e sua adição. Mas como subtrair se uma fração tem parte inteira? Novamente, vamos usar algumas regras:

Converta todas as frações que possuem uma parte inteira em impróprias. Falando em palavras simples, remova a peça inteira. Para fazer isso, multiplique o número da parte inteira pelo denominador da fração e some o produto resultante ao numerador. O número que sai após essas ações é o numerador Não fração própria. O denominador permanece inalterado.
Se as frações tiverem denominadores diferentes, devem ser reduzidas ao mesmo denominador.
Execute adição ou subtração com os mesmos denominadores.
Ao receber uma fração imprópria, selecione a parte inteira.

Existe outra maneira de somar e subtrair frações com partes inteiras. Para isso, as ações são realizadas separadamente com partes inteiras e as ações com frações separadamente, e os resultados são registrados em conjunto.

O exemplo dado consiste em frações que possuem o mesmo denominador. Caso os denominadores sejam diferentes, deve-se trazê-los para o mesmo valor e, a seguir, realizar as ações conforme mostrado no exemplo.

Subtraindo frações de números inteiros

Outro tipo de operação com frações é o caso em que uma fração deve ser subtraída. À primeira vista, tal exemplo parece difícil de resolver. No entanto, tudo é bastante simples aqui. Para resolvê-lo, é necessário converter o número inteiro em fração, e com o mesmo denominador que está na fração subtraída. A seguir, realizamos uma subtração semelhante à subtração com denominadores idênticos. Em um exemplo fica assim:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

A subtração de frações (nota 6) apresentada neste artigo é a base para resolver mais exemplos complexos, que serão discutidos nas aulas subsequentes. O conhecimento deste tópico é posteriormente usado para resolver funções, derivadas e assim por diante. Portanto, é muito importante compreender e compreender as operações com frações discutidas acima.

Esta lição abordará adição e subtração. frações algébricas com denominadores diferentes. Já sabemos somar e subtrair frações comuns com denominadores diferentes. Para fazer isso, as frações devem ser reduzidas a um denominador comum. Acontece que as frações algébricas seguem as mesmas regras. Ao mesmo tempo, já sabemos como reduzir as frações algébricas a um denominador comum. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes é um dos tópicos mais importantes e difíceis do curso da 8ª série. Além disso, este tópico aparecerá em muitos tópicos do curso de álgebra que você estudará no futuro. Como parte da lição, estudaremos as regras para somar e subtrair frações algébricas com denominadores diferentes e também analisaremos vários exemplos típicos.

Vamos considerar exemplo mais simples para frações ordinárias.

Exemplo 1. Adicione frações: .

Solução:

Vamos lembrar a regra para somar frações. Para começar, as frações devem ser reduzidas a um denominador comum. O denominador comum para frações ordinárias é mínimo múltiplo comum(LCM) dos denominadores originais.

Definição

O menor número natural que é divisível por ambos os números e .

Para encontrar o MMC é necessário decompor os denominadores em fatores primos e, em seguida, selecione todos os fatores primos incluídos na expansão de ambos os denominadores.

; . Então o MMC dos números deve incluir dois dois e dois três: .

Depois de encontrar o denominador comum, você precisa encontrar um fator adicional para cada fração (na verdade, divida o denominador comum pelo denominador da fração correspondente).

Cada fração é então multiplicada pelo fator adicional resultante. Obtemos frações com os mesmos denominadores, que aprendemos a somar e subtrair nas lições anteriores.

Nós temos: .

Responder:.

Consideremos agora a adição de frações algébricas com denominadores diferentes. Primeiro, vejamos as frações cujos denominadores são números.

Exemplo 2. Adicione frações: .

Solução:

O algoritmo de solução é absolutamente semelhante ao exemplo anterior. É fácil encontrar o denominador comum dessas frações: e fatores adicionais para cada uma delas.

Responder:.

Então, vamos formular algoritmo para adicionar e subtrair frações algébricas com denominadores diferentes:

1. Encontre o menor denominador comum das frações.

2. Encontre fatores adicionais para cada uma das frações (dividindo o denominador comum pelo denominador da fração dada).

3. Multiplique os numeradores pelos fatores adicionais correspondentes.

4. Adicione ou subtraia frações usando as regras para adicionar e subtrair frações com denominadores semelhantes.

Consideremos agora um exemplo com frações cujo denominador contém expressões de letras.

Exemplo 3. Adicione frações: .

Solução:

Como as expressões das letras em ambos os denominadores são iguais, você deve encontrar um denominador comum para os números. O denominador comum final será semelhante a: . Então a solução este exemplo tem a forma:.

Responder:.

Exemplo 4. Subtraia frações: .

Solução:

Se você não pode “trapacear” ao escolher um denominador comum (você não pode fatorá-lo ou usar fórmulas de multiplicação abreviadas), então você terá que considerar o produto dos denominadores de ambas as frações como o denominador comum.

Responder:.

Em geral, ao resolver tais exemplos, a tarefa mais difícil é encontrar um denominador comum.

Vejamos um exemplo mais complexo.

Exemplo 5. Simplificar: .

Solução:

Ao encontrar um denominador comum, você deve primeiro tentar fatorar os denominadores das frações originais (para simplificar o denominador comum).

Neste caso específico:

Então é fácil determinar o denominador comum: .

Determinamos fatores adicionais e resolvemos este exemplo:

Responder:.

Agora vamos estabelecer as regras para somar e subtrair frações com denominadores diferentes.

Exemplo 6. Simplificar: .

Solução:

Responder:.

Exemplo 7. Simplificar: .

Solução:

Responder:.

Consideremos agora um exemplo em que não são adicionadas duas, mas três frações (afinal, as regras de adição e subtração para mais as frações permanecem as mesmas).

Exemplo 8. Simplificar: .

Expressões fracionárias são difíceis de serem compreendidas por uma criança. A maioria das pessoas tem dificuldades com. Ao estudar o tema “somar frações com números inteiros”, a criança cai em estupor, tendo dificuldade para resolver o problema. Em muitos exemplos, antes de executar uma ação, uma série de cálculos devem ser realizados. Por exemplo, converta frações ou converta uma fração imprópria em uma fração adequada.

Vamos explicar isso claramente para a criança. Vamos pegar três maçãs, duas das quais inteiras, e cortar a terceira em 4 partes. Separe uma fatia da maçã cortada e coloque as três restantes ao lado de duas frutas inteiras. Obtemos ¼ de maçã de um lado e 2 ¾ do outro. Se os combinarmos, obteremos três maçãs. Vamos tentar reduzir 2 ¾ maçãs em ¼, ou seja, retirar outra fatia, obtemos 2 2/4 maçãs.

Vamos dar uma olhada mais de perto nas operações com frações que contêm números inteiros:

Primeiro, vamos lembrar a regra de cálculo para expressões fracionárias com denominador comum:

À primeira vista, tudo é fácil e simples. Mas isso só se aplica a expressões que não requerem conversão.

Como encontrar o valor de uma expressão onde os denominadores são diferentes

Em algumas tarefas você precisa encontrar o significado de uma expressão onde os denominadores são diferentes. Vejamos um caso específico:
3 2/7+6 1/3

Vamos encontrar o valor desta expressão encontrando um denominador comum para duas frações.

Para os números 7 e 3, isso é 21. Deixamos as partes inteiras iguais e trazemos as partes fracionárias para 21, para isso multiplicamos a primeira fração por 3, a segunda por 7, obtemos:
21/06 + 21/07, não esqueça que partes inteiras não podem ser convertidas. Como resultado, obtemos duas frações com o mesmo denominador e calculamos sua soma:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
E se o resultado da adição for uma fração imprópria que já possui uma parte inteira:
2 1/3+3 2/3
Neste caso, somando as partes inteiras e as partes fracionárias, obtemos:
5 3/3, como você sabe, 3/3 é um, o que significa 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Encontrar a soma está tudo claro, vamos dar uma olhada na subtração:

De tudo o que foi dito, segue a regra para operações com números mistos:

Se precisar subtrair um número inteiro de uma expressão fracionária, não é necessário representar o segundo número como uma fração, basta realizar a operação apenas nas partes inteiras;

Vamos tentar calcular nós mesmos o significado das expressões:

Vamos dar uma olhada mais de perto no exemplo da letra “m”:

4 5/11-2 8/11, o numerador da primeira fração é menor que o da segunda. Para fazer isso, pegamos emprestado um número inteiro da primeira fração, obtemos,
3 5/11+11/11=3 inteiro 16/11, subtraia o segundo da primeira fração:
3 16/11-2 8/11 = 1 inteiro 8/11

Tenha cuidado ao completar a tarefa, não se esqueça de converter frações impróprias em frações mistas, destacando a parte inteira. Para isso é necessário dividir o valor do numerador pelo valor do denominador, então o que acontece ocupa o lugar da parte inteira, o resto será o numerador, por exemplo:

19/4=4 ¾, vamos verificar: 4*4+3=19, o denominador 4 permanece inalterado.

Resumir:

Antes de começar a realizar uma tarefa relacionada a frações, você precisa analisar que tipo de expressão é, quais transformações precisam ser feitas na fração para que a solução seja correta. Procure uma solução mais racional. Não siga o caminho mais difícil. Planeje todas as ações, resolva-as primeiro em forma de rascunho e depois transfira-as para o seu caderno escolar.

Para evitar confusão ao resolver expressões fracionárias, você deve seguir a regra da consistência. Decida tudo com cuidado, sem pressa.

Você pode realizar diversas operações com frações, por exemplo, somar frações. A adição de frações pode ser dividida em vários tipos. Cada tipo de adição de frações possui suas próprias regras e algoritmo de ações. Vejamos cada tipo de adição em detalhes.

Adicionando frações com denominadores semelhantes.

Vejamos um exemplo de como adicionar frações com denominador comum.

Os turistas fizeram uma caminhada do ponto A ao ponto E. No primeiro dia, eles caminharam do ponto A ao B ou \(\frac(1)(5)\) o trajeto inteiro. No segundo dia eles caminharam do ponto B ao D ou \(\frac(2)(5)\) o caminho inteiro. Qual a distância percorrida desde o início da viagem até o ponto D?

Para encontrar a distância do ponto A ao ponto D, você precisa adicionar as frações \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Adicionar frações com denominadores semelhantes significa que você precisa adicionar os numeradores dessas frações, mas o denominador permanecerá o mesmo.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

Na forma literal, a soma das frações com os mesmos denominadores ficará assim:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Resposta: os turistas caminharam \(\frac(3)(5)\) todo o caminho.

Adicionando frações com denominadores diferentes.

Vejamos um exemplo:

Você precisa adicionar duas frações \(\frac(3)(4)\) e \(\frac(2)(7)\).

Para somar frações com denominadores diferentes, primeiro você deve encontrar e, em seguida, use a regra para adicionar frações com denominadores semelhantes.

Para os denominadores 4 e 7, o denominador comum será o número 28. A primeira fração \(\frac(3)(4)\) deve ser multiplicada por 7. A segunda fração \(\frac(2)(7)\ ) deve ser multiplicado por 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ vezes \cor(vermelho) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

Na forma literal, obtemos a seguinte fórmula:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Adicionando números mistos ou frações mistas.

A adição ocorre de acordo com a lei da adição.

você frações mistas Adicionamos partes inteiras com partes inteiras e partes fracionárias com partes fracionárias.

Se partes fracionárias números mistos têm os mesmos denominadores, então somamos os numeradores, mas o denominador permanece o mesmo.

Vamos adicionar os números mistos \(3\frac(6)(11)\) e \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\cor(vermelho) (3) + \cor(azul) (\frac(6)(11))) + ( \color(vermelho) (1) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = (\color(vermelho) (3) + \color(vermelho) (1)) + (\color( azul) (\frac(6)(11)) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = \color(vermelho)(4) + (\color(azul) (\frac(6 + 3)(11))) = \color(vermelho)(4) + \color(azul) (\frac(9)(11)) = \color(vermelho)(4) \color(azul) (\frac (9)(11))\)

Se as partes fracionárias dos números mistos tiverem denominadores diferentes, encontramos o denominador comum.

Vamos realizar a adição de números mistos \(7\frac(1)(8)\) e \(2\frac(1)(6)\).

O denominador é diferente, então precisamos encontrar o denominador comum, é igual a 24. Multiplique a primeira fração \(7\frac(1)(8)\) por um fator adicional de 3, e a segunda fração \( 2\frac(1)(6)\) por 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\vezes \cor(vermelho) (4))(6\vezes \cor(vermelho) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Perguntas relacionadas:
Como adicionar frações?
Resposta: primeiro você precisa decidir que tipo de expressão é: as frações têm os mesmos denominadores, denominadores diferentes ou frações mistas. Dependendo do tipo de expressão, procedemos ao algoritmo de solução.

Como resolver frações com denominadores diferentes?
Resposta: você precisa encontrar o denominador comum e depois seguir a regra para somar frações com os mesmos denominadores.

Como resolver frações mistas?
Resposta: adicionamos partes inteiras com inteiros e partes fracionárias com frações.

Exemplo 1:
A soma de dois pode resultar em uma fração adequada? Fração imprópria? Dar exemplos.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

A fração \(\frac(5)(7)\) é uma fração própria, é o resultado da soma de duas frações próprias \(\frac(2)(7)\) e \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \vezes 9 + 8 \vezes 5)(5 \vezes 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

A fração \(\frac(58)(45)\) é uma fração imprópria, é o resultado da soma das frações próprias \(\frac(2)(5)\) e \(\frac(8) (9)\).

Resposta: A resposta para ambas as perguntas é sim.

Exemplo #2:
Adicione as frações: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Exemplo #3:
Escreva a fração mista como uma soma número natural e fração própria: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Exemplo #4:
Calcule a soma: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13)\)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\vezes 3)(5\vezes 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Tarefa nº 1:
No almoço comemos \(\frac(8)(11)\) do bolo, e à noite no jantar comemos \(\frac(3)(11)\). Você acha que o bolo foi comido completamente ou não?

Solução:
O denominador da fração é 11, indica em quantas partes o bolo foi dividido. No almoço comemos 8 pedaços de bolo de 11. No jantar comemos 3 pedaços de bolo de 11. Vamos somar 8 + 3 = 11, comemos pedaços de bolo de 11, ou seja, o bolo inteiro.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Resposta: o bolo inteiro foi comido.

Esta lição abordará adição e subtração de frações algébricas com denominadores semelhantes. Já sabemos como somar e subtrair frações comuns com denominadores semelhantes. Acontece que as frações algébricas seguem as mesmas regras. Aprender a trabalhar com frações com denominadores semelhantes é um dos pilares para aprender como trabalhar com frações algébricas. Em particular, a compreensão deste tópico facilitará o domínio de um tópico mais complexo - adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Como parte da lição, estudaremos as regras para somar e subtrair frações algébricas com denominadores semelhantes e também analisaremos vários exemplos típicos

Regra para adicionar e subtrair frações algébricas com denominadores semelhantes

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih frações de um para você -mi know-me-na-te-la-mi (coincide com a regra análoga para batidas de tiro comuns): Isso é para adição ou cálculo de frações al-geb-ra-i-che-skih com um para você conheça-me-no-la-mi necessário -ho-di-mo-compilar uma soma de números al-geb-ra-i-che correspondente, e o sinal-me-na-tel sai sem nenhum.

Entendemos esta regra tanto para o exemplo de ven-draws comuns quanto para o exemplo de al-geb-ra-i-che-draws.

Exemplos de aplicação da regra para frações ordinárias

Exemplo 1. Adicione frações: .

Solução

Vamos somar o número de frações e deixar o sinal igual. Depois disso, decompomos o número e o sinal em multiplicidades e combinações simples. Vamos obtê-lo: .

Nota: um erro padrão que é permitido ao resolver tipos semelhantes de exemplos, para -klu-cha-et-sya na seguinte solução possível: . Este é um erro grosseiro, pois o sinal permanece o mesmo das frações originais.

Exemplo 2. Adicione frações: .

Solução

Este não é em nada diferente do anterior: .

Exemplos de aplicação da regra para frações algébricas

Dos dro-beats comuns, passamos para al-geb-ra-i-che-skim.

Exemplo 3. Adicione frações: .

Solução: como já mencionado acima, a composição das frações al-geb-ra-i-che não difere em nada da palavra, a mesma das lutas de tiro habituais. Portanto, o método de solução é o mesmo: .

Exemplo 4. Você é a fração: .

Solução

You-chi-ta-nie de frações al-geb-ra-i-che-skih da adição apenas pelo fato de que no número pi-sy-va-et-sya há diferença no número de frações usadas. É por isso .

Exemplo 5. Você é uma fração: .

Solução: .

Exemplo 6. Simplifique: .

Solução: .

Exemplos de aplicação da regra seguida de redução

Em uma fração que tem o mesmo significado no resultado da composição ou do cálculo, as combinações são possíveis nia. Além disso, não se esqueça do ODZ das frações al-geb-ra-i-che-skih.

Exemplo 7. Simplifique: .

Solução: .

Em que. Em geral, se a ODZ das frações iniciais coincidir com a ODZ do total, então ela pode ser omitida (afinal, a fração está na resposta, também não existirá com as correspondentes alterações significativas). Mas se a ODZ das frações usadas e a resposta não corresponderem, então a ODZ precisa ser indicada.

Exemplo 8. Simplifique: .

Solução: . Ao mesmo tempo, y (o ODZ das frações iniciais não coincide com o ODZ do resultado).

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Para adicionar e ler frações al-geb-ra-i-che com diferentes know-me-on-the-la-mi, fazemos ana-lo -giyu com frações ordinárias-ven-ny e transferimos para al-geb -ra-i-che-frações.

Vejamos o exemplo mais simples para frações ordinárias.

Exemplo 1. Adicione frações: .

Solução:

Vamos lembrar as regras para somar frações. Para começar com uma fração, é necessário trazê-la para um sinal comum. No papel de sinal geral para frações ordinárias, você atua mínimo múltiplo comum(NOK) sinais iniciais.

Definição

O menor número, que é dividido ao mesmo tempo em números e.

Para encontrar o NOC, você precisa dividir o conhecimento em conjuntos simples e, em seguida, selecionar tudo o que há muitos, que estão incluídos na divisão de ambos os signos.

; . Então o MMC dos números deve incluir dois dois e dois três: .

Depois de encontrar o conhecimento geral, é necessário que cada uma das frações encontre um residente de multiplicidade completo (na verdade, despeje o sinal comum no sinal da fração correspondente).

Então cada fração é multiplicada por um fator meio cheio. Vamos pegar algumas frações das mesmas que você conhece, somá-las e lê-las – estudadas nas lições anteriores.

Vamos comer: .

Responder:.

Vejamos agora a composição das frações al-geb-ra-i-che com sinais diferentes. Agora vamos olhar para as frações e ver se há algum número.

Adição e subtração de frações algébricas com denominadores diferentes

Exemplo 2. Adicione frações: .

Solução:

Al-go-ritmo da decisão ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen ao exemplo anterior. É fácil obter o sinal comum das frações fornecidas: e multiplicadores adicionais para cada uma delas.

Responder:.

Então, vamos formar al-go-ritmo de adição e cálculo de frações al-geb-ra-i-che-skih com sinais diferentes:

1. Encontre o menor sinal comum da fração.

2. Encontre multiplicadores adicionais para cada uma das frações (na verdade, o sinal comum do sinal é dado -ésima fração).

3. Até muitos números nas multiplicidades correspondentes até o total.

4. Some ou calcule frações, usando as regras de composição e cálculo de frações com o mesmo conhecimento -me-na-te-la-mi.

Agora vejamos um exemplo com frações, cujo sinal contém as letras you -nia.