Calculadora online. Redução de frações (irregulares, mistas). Regras para redução de frações com exemplos

Se precisarmos dividir 497 por 4, então, ao dividir, veremos que 497 não é divisível por 4, ou seja, o restante da divisão permanece. Nesses casos diz-se que está concluído divisão com resto, e a solução é escrita da seguinte forma:
497: 4 = 124 (1 restante).

Os componentes da divisão no lado esquerdo da igualdade são chamados da mesma forma que na divisão sem resto: 497 - dividendo, 4 - divisor. O resultado da divisão quando dividido com resto é chamado privado incompleto. No nosso caso, este é o número 124. E finalmente, o último componente, que não está na divisão ordinária, é restante. Nos casos em que não há resto, diz-se que um número está dividido por outro sem deixar vestígios ou completamente. Acredita-se que com tal divisão o resto seja zero. No nosso caso, o resto é 1.

O resto é sempre menor que o divisor.

A divisão pode ser verificada por multiplicação. Se, por exemplo, houver uma igualdade 64: 32 = 2, então a verificação pode ser feita assim: 64 = 32 * 2.

Muitas vezes, nos casos em que a divisão com resto é realizada, é conveniente usar a igualdade
uma = b * n + r,
onde a é o dividendo, b é o divisor, n é o quociente parcial, r é o resto.

O quociente dos números naturais pode ser escrito como uma fração.

O numerador de uma fração é o dividendo e o denominador é o divisor.

Como o numerador de uma fração é o dividendo e o denominador é o divisor, acreditar que a linha de uma fração significa a ação da divisão. Às vezes é conveniente escrever a divisão como uma fração sem usar o sinal “:”.

O quociente da divisão dos números naturais m e n pode ser escrito como uma fração \(\frac(m)(n) \), onde o numerador m é o dividendo e o denominador n é o divisor:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

As seguintes regras são verdadeiras:

Para obter a fração \(\frac(m)(n)\), você precisa dividir a unidade em n partes iguais (ações) e pegar m dessas partes.

Para obter a fração \(\frac(m)(n)\), você precisa dividir o número m pelo número n.

Para encontrar uma parte de um todo, é necessário dividir o número correspondente ao todo pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador da fração que expressa essa parte.

Para encontrar um inteiro a partir de sua parte, é necessário dividir o número correspondente a esta parte pelo numerador e multiplicar o resultado pelo denominador da fração que expressa esta parte.

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados pelo mesmo número (exceto zero), o valor da fração não mudará:
\(\grande \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Se o numerador e o denominador de uma fração forem divididos pelo mesmo número (exceto zero), o valor da fração não mudará:
\(\grande \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Esta propriedade é chamada propriedade principal de uma fração.

As duas últimas transformações são chamadas reduzindo uma fração.

Se as frações precisam ser representadas como frações com o mesmo denominador, então esta ação é chamada reduzindo frações a um denominador comum.

Frações próprias e impróprias. Números mistos

Você já sabe que uma fração pode ser obtida dividindo um todo em partes iguais e tomando várias dessas partes. Por exemplo, a fração \(\frac(3)(4)\) significa três quartos de um. Em muitos dos problemas do parágrafo anterior, as frações foram usadas para representar partes de um todo. O bom senso dita que a parte deve ser sempre menor que o todo, mas e quanto a frações como \(\frac(5)(5)\) ou \(\frac(8)(5)\)? É claro que isso não faz mais parte da unidade. Provavelmente é por isso que as frações cujo numerador é maior ou igual ao denominador são chamadas frações impróprias. As frações restantes, ou seja, frações cujo numerador é menor que o denominador, são chamadas frações corretas.

Como você sabe, qualquer fração comum, tanto correto quanto incorreto, pode ser considerado como o resultado da divisão do numerador pelo denominador. Portanto, em matemática, diferentemente da linguagem comum, o termo “fração imprópria” não significa que fizemos algo errado, mas apenas que o numerador desta fração é maior ou igual ao denominador.

Se um número consiste em uma parte inteira e uma fração, então frações são chamadas de mistas.

Por exemplo:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 é a parte inteira e \(\frac(2)(3) \) é a parte fracionária.

Se o numerador da fração \(\frac(a)(b)\) for divisível por um número natural n, então para dividir esta fração por n, seu numerador deve ser dividido por este número:
\(\grande \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Se o numerador da fração \(\frac(a)(b)\) não for divisível por um número natural n, então para dividir esta fração por n, você precisa multiplicar seu denominador por este número:
\(\grande \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Observe que a segunda regra também é verdadeira quando o numerador é divisível por n. Portanto, podemos utilizá-lo quando for difícil determinar à primeira vista se o numerador de uma fração é divisível por n ou não.

Ações com frações. Adicionando frações.

Você pode realizar operações aritméticas com números fracionários, assim como acontece com números naturais. Vejamos primeiro como adicionar frações. É fácil adicionar frações com denominadores semelhantes. Vamos encontrar, por exemplo, a soma de \(\frac(2)(7)\) e \(\frac(3)(7)\). É fácil entender que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador igual.

Usando letras, a regra para somar frações com denominadores semelhantes pode ser escrita da seguinte forma:
\(\grande \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Se você precisar adicionar frações com denominadores diferentes, então eles devem primeiro ser levados a um denominador comum. Por exemplo:
\(\grande \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Para frações, assim como para números naturais, são válidas as propriedades comutativas e associativas de adição.

Adicionando frações mistas

Notações como \(2\frac(2)(3)\) são chamadas frações mistas. Neste caso, o número 2 é chamado parte inteira fração mista, e o número \(\frac(2)(3)\) é seu partes fracionadas. A entrada \(2\frac(2)(3)\) é lida da seguinte forma: “dois e dois terços”.

Ao dividir o número 8 pelo número 3, você pode obter duas respostas: \(\frac(8)(3)\) e \(2\frac(2)(3)\). Eles expressam o mesmo número fracionário, ou seja, \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Assim, a fração imprópria \(\frac(8)(3)\) é representada como uma fração mista \(2\frac(2)(3)\). Nesses casos dizem que a partir de uma fração imprópria destacou toda a parte.

Subtraindo frações (números fracionários)

Subtração números fracionários, como os números naturais, é determinado com base na ação da adição: subtrair outro de um número significa encontrar um número que, quando adicionado ao segundo, dá o primeiro. Por exemplo:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) já que \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

A regra para subtrair frações com denominadores semelhantes é semelhante à regra para adicionar tais frações:
Para encontrar a diferença entre frações com os mesmos denominadores, você precisa subtrair o numerador da segunda do numerador da primeira fração e deixar o denominador igual.

Usando letras, esta regra é escrita assim:
\(\grande \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplicando frações

Para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores e escrever o primeiro produto como numerador e o segundo como denominador.

Usando letras, a regra para multiplicar frações pode ser escrita da seguinte forma:
\(\grande \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Usando a regra formulada, você pode multiplicar uma fração por um número natural, por uma fração mista, bem como multiplicar frações mistas. Para fazer isso, você precisa escrever um número natural como uma fração com denominador 1, uma fração mista - como uma fração imprópria.

O resultado da multiplicação deve ser simplificado (se possível) reduzindo a fração e isolando toda a parte da fração imprópria.

Para as frações, assim como para os números naturais, são válidas as propriedades comutativas e combinativas da multiplicação, bem como a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Divisão de frações

Vamos pegar a fração \(\frac(2)(3)\) e “invertê-la”, trocando o numerador e o denominador. Obtemos a fração \(\frac(3)(2)\). Essa fração é chamada reverter frações \(\frac(2)(3)\).

Se agora “invertermos” a fração \(\frac(3)(2)\), obteremos a fração original \(\frac(2)(3)\). Portanto, frações como \(\frac(2)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) são chamadas mutuamente inverso.

Por exemplo, as frações \(\frac(6)(5) \) e \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) e \(\frac (18) )(7)\).

Usando letras, as frações recíprocas podem ser escritas da seguinte forma: \(\frac(a)(b) \) e \(\frac(b)(a) \)

É claro que o produto das frações recíprocas é igual a 1. Por exemplo: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Usando frações recíprocas, você pode reduzir a divisão de frações à multiplicação.

A regra para dividir uma fração por uma fração é:
Para dividir uma fração por outra, você precisa multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.

Usando letras, a regra para divisão de frações pode ser escrita da seguinte forma:
\(\grande \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Se o dividendo ou divisor for número natural ou uma fração mista, então, para usar a regra de divisão de frações, ela deve primeiro ser representada como uma fração imprópria.

À primeira vista, as frações algébricas parecem muito complexas, e um aluno despreparado pode pensar que nada pode ser feito com elas. O acúmulo de variáveis, números e até graus evoca medo. No entanto, para reduzir o habitual (por exemplo, 15/25) e frações algébricas as mesmas regras são usadas.

Passos

Reduzindo Frações

Confira as atividades com frações simples. As operações com frações ordinárias e algébricas são semelhantes. Por exemplo, tomemos a fração 15/35. Para simplificar esta fração, você deve encontrar divisor comum . Ambos os números são divisíveis por cinco, então podemos isolar 5 no numerador e no denominador:

Agora você pode reduzir fatores comuns, ou seja, risque 5 no numerador e no denominador. Como resultado, obtemos a fração simplificada 3/7 . EM expressões algébricas os fatores comuns são alocados da mesma forma que os fatores comuns. No exemplo anterior conseguimos selecionar facilmente 5 de 15 - o mesmo princípio se aplica a mais expressões complexas, como 15x – 5. Vamos encontrar o fator comum. Neste caso será 5, pois ambos os termos (15x e -5) são divisíveis por 5. Como antes, selecione o fator comum e mova-o esquerda.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Para verificar se está tudo correto, basta multiplicar a expressão entre colchetes por 5 – o resultado serão os mesmos números do início. Os membros complexos podem ser isolados da mesma forma que os simples. Os mesmos princípios se aplicam às frações algébricas e às frações comuns. Esta é a maneira mais fácil de reduzir uma fração. Considere a seguinte fração:

Observe que tanto o numerador (parte superior) quanto o denominador (parte inferior) contêm um termo (x+2), portanto pode ser reduzido da mesma forma que o fator comum 5 na fração 15/35:

Como resultado, obtemos uma expressão simplificada: (x-3)/(x+10)

Reduzindo frações algébricas

Encontre o fator comum no numerador, ou seja, no topo da fração. Ao reduzir uma fração algébrica, o primeiro passo é simplificar ambos os lados. Comece com o numerador e tente decompor-lo em tantos número maior multiplicadores. Vamos considerar em esta seção a seguinte fração:

Vamos começar com o numerador: 9x – 3. Para 9x e -3, o fator comum é o número 3. Vamos tirar 3 dos colchetes, como é feito com os números comuns: 3 * (3x-1). O resultado desta transformação é a seguinte fração:

Encontre o fator comum no numerador. Vamos continuar com o exemplo acima e anotar o denominador: 15x+6. Como antes, vamos descobrir por qual número ambas as partes são divisíveis. E neste caso o fator comum é 3, então podemos escrever: 3 * (5x +2). Vamos reescrever a fração na seguinte forma:

Encurte os mesmos termos. Nesta etapa você pode simplificar a fração. Cancele os mesmos termos no numerador e no denominador. No nosso exemplo, esse número é 3.

Determine que a fração tem forma mais simples. Uma fração é completamente simplificada quando não há mais fatores comuns no numerador e no denominador. Observe que você não pode cancelar termos que aparecem entre parênteses – no exemplo acima não há como isolar x de 3x e 5x, pois os termos completos são (3x -1) e (5x + 2). Assim, a fração não pode ser mais simplificada e a resposta final é a seguinte:

Pratique a redução de frações por conta própria. A melhor maneira aprenda o método é decisão independente tarefas. As respostas corretas são fornecidas abaixo dos exemplos.

Responder:(x=13)

Responder:(2x-1)/5

Movimentos Especiais

Coloque o sinal negativo fora da fração. Suponha que você receba a seguinte fração:

Observe que (x-4) e (4-x) são “quase” idênticos, mas não podem ser reduzidos imediatamente porque estão “invertidos”. No entanto, (x - 4) pode ser escrito como -1 * (4 - x), assim como (4 + 2x) pode ser escrito como 2 * (2 + x). Isso é chamado de “reversão de sinal”.

Agora você pode reduzir termos idênticos (4-x):

Assim, obtemos a resposta final: -3/5 . Aprenda a reconhecer a diferença entre quadrados. Uma diferença de quadrados ocorre quando o quadrado de um número é subtraído do quadrado de outro número, como na expressão (a 2 - b 2). A diferença de quadrados perfeitos sempre pode ser decomposta em duas partes - a soma e a diferença dos correspondentes raízes quadradas. Então a expressão assumirá a seguinte forma:

UMA 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Esta técnica é muito útil para encontrar termos comuns em frações algébricas.

• Verifique se você fatorou corretamente esta ou aquela expressão. Para fazer isso, multiplique os fatores - o resultado deve ser a mesma expressão.
• Para simplificar completamente uma fração, isole sempre os maiores fatores.

As crianças na escola aprendem as regras de redução de frações na 6ª série. Neste artigo, primeiro diremos o que significa esta ação e, em seguida, explicaremos como converter uma fração redutível em uma fração irredutível. O próximo ponto serão as regras para redução de frações, e depois passaremos gradativamente aos exemplos.

O que significa “reduzir uma fração”?

Então todos nós sabemos disso frações ordinárias são divididos em dois grupos: redutíveis e irredutíveis. Já pelos nomes dá para entender que os que são contratíveis são contraídos, e os que são irredutíveis não são contraídos.

• Reduzir uma fração significa dividir seu denominador e numerador por seu (diferente de um) divisor positivo. O resultado, claro, é uma nova fração com denominador e numerador menores. A fração resultante será igual à fração original.

É importante notar que em livros de matemática com a tarefa “reduzir uma fração”, isso significa que é necessário reduzir a fração original a esta forma irredutível. Se conversarmos em palavras simples, então dividir o denominador e o numerador pelo seu máximo divisor comum é uma redução.

Como reduzir uma fração. Regras para redução de frações (nota 6)

Portanto, existem apenas duas regras aqui.

1. A primeira regra para reduzir frações é primeiro encontrar o máximo divisor comum do denominador e do numerador da sua fração.
2. A segunda regra: divida o denominador e o numerador pelo máximo divisor comum, obtendo no final uma fração irredutível.

Como reduzir uma fração imprópria?

As regras para redução de frações são idênticas às regras para redução de frações impróprias.

A fim de reduzir Fração imprópria, primeiro você precisará escrever fatores primos denominador e numerador, e só então reduzir os fatores comuns.

Reduzindo frações mistas

As regras para redução de frações também se aplicam à redução de frações mistas. Há apenas uma pequena diferença: não podemos tocar na parte inteira, mas reduzir a fração ou converter a fração mista em uma fração imprópria, depois reduzi-la e convertê-la novamente em uma fração própria.

Existem duas maneiras de reduzir frações mistas.

Primeiro: escreva a parte fracionária em fatores primos e depois deixe a parte inteira como está.

A segunda maneira: primeiro converta-a em uma fração imprópria, escreva-a em fatores comuns e depois reduza a fração. Converta a fração imprópria já obtida em uma fração própria.

Exemplos podem ser vistos na foto acima.

Esperamos realmente ter ajudado você e seus filhos. Afinal, muitas vezes eles ficam desatentos nas aulas, por isso têm que estudar mais intensamente em casa, por conta própria.

Baseia-se em sua propriedade básica: se o numerador e o denominador de uma fração forem divididos pelo mesmo polinômio diferente de zero, será obtida uma fração igual.

Você só pode reduzir multiplicadores!

Membros de polinômios não podem ser abreviados!

Para reduzir uma fração algébrica, os polinômios no numerador e no denominador devem primeiro ser fatorados.

Vejamos exemplos de redução de frações.

O numerador e o denominador da fração contêm monômios. Eles representam trabalhar(números, variáveis ​​e suas potências), multiplicadores podemos reduzir.

Reduzimos os números pelo seu máximo divisor comum, ou seja, por maior número, pelo qual cada um desses números é dividido. Para 24 e 36, isso é 12. Após a redução, resta 2 de 24 e 3 de 36.

Reduzimos os graus pelo grau com o índice mais baixo. Reduzir uma fração significa dividir o numerador e o denominador pelo mesmo divisor e subtrair os expoentes.

a² e a⁷ são reduzidos a a². Nesse caso, um permanece no numerador de a² (escrevemos 1 apenas no caso em que, após a redução, não restam outros fatores. De 24 resta 2, portanto não escrevemos 1 restante de a²). De a⁷, após a redução, a⁵ permanece.

b e b são reduzidos por b; as unidades resultantes não são escritas.

c³º e c⁵ são abreviados para c⁵. De c³º o que resta é c²⁵, de c⁵ é um (não escrevemos). Por isso,

O numerador e o denominador desta fração algébrica são polinômios. Você não pode cancelar termos de polinômios! (você não pode reduzir, por exemplo, 8x² e 2x!). Para reduzir essa fração, você precisa de . O numerador tem um fator comum de 4x. Vamos tirar isso dos colchetes:

Tanto o numerador quanto o denominador têm o mesmo fator (2x-3). Reduzimos a fração por este fator. No numerador obtivemos 4x, no denominador - 1. De acordo com 1 propriedade das frações algébricas, a fração é igual a 4x.

Você só pode reduzir fatores (você não pode reduzir essa fração em 25x²!). Portanto, os polinômios do numerador e denominador da fração devem ser fatorados.

O numerador é o quadrado completo da soma, o denominador é a diferença dos quadrados. Após a decomposição usando fórmulas de multiplicação abreviadas, obtemos:

Reduzimos a fração em (5x+1) (para isso, riscamos os dois no numerador como expoente, deixando (5x+1)² (5x+1)):

O numerador tem um fator comum de 2, vamos tirar isso dos colchetes. O denominador é a fórmula para a diferença de cubos:

Como resultado da expansão, o numerador e o denominador receberam o mesmo fator (9+3a+a²). Reduzimos a fração por isso:

O polinômio no numerador consiste em 4 termos. o primeiro termo com o segundo, o terceiro com o quarto, e remova o fator comum x² dos primeiros colchetes. Decompomos o denominador usando a fórmula da soma dos cubos:

No numerador, vamos tirar o fator comum (x+2) dos colchetes:

Reduza a fração em (x+2):

Divisão e o numerador e denominador da fração em seus divisor comum, diferente de um, é chamado reduzindo uma fração.

Para reduzir uma fração comum, é necessário dividir seu numerador e denominador pelo mesmo número natural.

Este número é o máximo divisor comum do numerador e denominador da fração dada.

O seguinte é possível formulários de registro de decisão Exemplos de redução de frações comuns.

O aluno tem o direito de escolher qualquer forma de gravação.

Exemplos. Simplifique frações.

Reduza a fração por 3 (divida o numerador por 3;

divida o denominador por 3).

Reduza a fração em 7.

Realizamos as ações indicadas no numerador e denominador da fração.

A fração resultante é reduzida em 5.

Vamos reduzir essa fração 4) sobre 5·7³- o máximo divisor comum (MDC) do numerador e do denominador, que consiste nos fatores comuns do numerador e do denominador, elevados à potência do menor expoente.

Vamos fatorar o numerador e o denominador desta fração em fatores primos.

Nós temos: 756=2²·3³·7 E 1176=2³·3·7².

Determine o MDC (máximo divisor comum) do numerador e denominador da fração 5) .

Este é o produto de fatores comuns tomados com os expoentes mais baixos.

mdc(756, 1176)= 2²·3·7.

Dividimos o numerador e o denominador desta fração pelo seu mdc, ou seja, por 2²·3·7 obtemos uma fração irredutível 9/14 .

Ou era possível escrever a decomposição do numerador e do denominador como um produto de fatores primos, sem usar o conceito de potência, e depois reduzir a fração riscando os mesmos fatores no numerador e no denominador. Quando não houver mais fatores idênticos, multiplicamos os fatores restantes separadamente no numerador e separadamente no denominador e escrevemos a fração resultante 9/14 .

E finalmente foi possível reduzir esta fração 5) gradualmente, aplicando sinais de divisão de números ao numerador e ao denominador da fração. Raciocinamos assim: números 756 E 1176 terminam em um número par, o que significa que ambos são divisíveis por 2 . Reduzimos a fração em 2 . O numerador e o denominador da nova fração são números 378 E 588 também dividido em 2 . Reduzimos a fração em 2 . Notamos que o número 294 - mesmo, e 189 é ímpar e a redução por 2 não é mais possível. Vamos verificar a divisibilidade dos números 189 E 294 sobre 3 .

(1+8+9)=18 é divisível por 3 e (2+9+4)=15 é divisível por 3, daí os próprios números 189 E 294 são divididos em 3 . Reduzimos a fração em 3 . Avançar, 63 é divisível por 3 e 98 - Não. Vejamos outros fatores primos. Ambos os números são divisíveis por 7 . Reduzimos a fração em 7 e obtemos a fração irredutível 9/14 .