Quando menos vezes menos dá mais. Ações com menos

"O inimigo do meu inimigo é meu amigo"

Há muito tempo atrás, as pessoas conheciam apenas números naturais: eles eram usados ​​para contar utensílios, saques, inimigos, etc. Mas os números em si são totalmente inúteis - você precisa ser capaz de lidar com eles. A adição é clara e compreensível e, além disso, a soma de dois números naturais também é um número natural (um matemático diria que o conjunto dos números naturais é fechado pela operação de adição). A multiplicação é essencialmente o mesmo que a adição quando se trata de números naturais. Na vida, muitas vezes realizamos ações relacionadas a essas duas operações (por exemplo, ao fazer compras, somamos e multiplicamos), e é estranho pensar que nossos ancestrais as encontraram com menos frequência - a adição e a multiplicação foram dominadas pela humanidade há muito tempo. atrás. Muitas vezes você tem que dividir algumas quantidades por outras, mas aqui o resultado nem sempre é expresso como um número natural - é assim números fracionários.

Claro, você também não pode prescindir da subtração. Mas, na prática, normalmente subtraímos o número menor do número maior e não há necessidade de usar números negativos. (Se eu tiver doces e der para minha irmã, então terei alguns doces sobrando, mas não posso dar doces a ela, mesmo que queira.) Isso pode explicar por que as pessoas não usam números negativos há muito tempo.

Números negativos aparecem em documentos indianos desde o século VII d.C.; Os chineses aparentemente começaram a usá-los um pouco antes. Eram utilizados para contabilizar dívidas ou em cálculos intermediários para simplificar a solução de equações - eram apenas uma ferramenta para obter uma resposta positiva. O facto de os números negativos, ao contrário dos números positivos, não expressarem a presença de nenhuma entidade causou forte desconfiança. As pessoas evitavam literalmente números negativos: se um problema tivesse uma resposta negativa, elas acreditavam que não havia resposta alguma. Esta desconfiança persistiu por muito tempo, e até Descartes - um dos “fundadores” da matemática moderna - chamou-os de “falsos” (no século XVII!).

Vamos considerar a equação como exemplo. Pode ser resolvido desta forma: mova os termos com a incógnita para o lado esquerdo e o resto para a direita, verifica-se , , . Com esta solução, nem encontramos números negativos.

Mas foi possível acidentalmente fazer de forma diferente: mover os termos com a incógnita para o lado direito e obter , . Para encontrar a incógnita, você precisa dividir um número negativo por outro: . Mas a resposta correta é conhecida e resta concluir isso.

O que este exemplo simples demonstra? Em primeiro lugar, fica clara a lógica que determinou as regras para ações sobre números negativos: os resultados dessas ações devem coincidir com as respostas obtidas de forma diferente, sem números negativos. Em segundo lugar, ao permitir o uso de números negativos, nos livramos do tedioso (se a equação for mais complicada, com um grande número termos) buscando um caminho de solução em que todas as ações sejam executadas apenas em números naturais. Além disso, podemos já não pensar sempre no significado das quantidades transformadas - e isto já é um passo no sentido de transformar a matemática numa ciência abstracta.

As regras para operar com números negativos não foram formadas imediatamente, mas tornaram-se uma generalização de numerosos exemplos que surgiram na resolução de problemas aplicados. Em geral, o desenvolvimento da matemática pode ser dividido em etapas: cada etapa seguinte difere da anterior em um novo nível de abstração no estudo de objetos. Assim, no século XIX, os matemáticos perceberam que inteiros e polinômios, apesar de todas as suas diferenças externas, têm muito em comum: ambos podem ser somados, subtraídos e multiplicados. Essas operações estão sujeitas às mesmas leis - tanto no caso dos números quanto no caso dos polinômios. Mas nem sempre é possível dividir números inteiros entre si para que o resultado seja inteiro novamente. É o mesmo com polinômios.

Em seguida, foram descobertos outros conjuntos de objetos matemáticos nos quais tais operações poderiam ser realizadas: séries de potências formais, funções contínuas... Finalmente, chegou-se ao entendimento de que se você estudar as propriedades das próprias operações, os resultados poderão então ser aplicados a todos esses conjuntos de objetos (esta abordagem é típica de toda a matemática moderna).

Como resultado, surgiu um novo conceito: o anel. É apenas um conjunto de elementos mais ações que podem ser executadas neles. As regras fundamentais aqui são precisamente as regras (chamadas de axiomas) às quais as ações estão sujeitas, e não a natureza dos elementos do conjunto (aqui está, novo nível abstrações!). Querendo enfatizar que é a estrutura que surge após a introdução dos axiomas que é importante, os matemáticos dizem: um anel de inteiros, um anel de polinômios, etc. A partir dos axiomas, podem-se deduzir outras propriedades dos anéis.

Formularemos os axiomas do anel (que, é claro, são semelhantes às regras para operar com números inteiros) e depois provaremos que, em qualquer anel, multiplicar um menos por um menos produz um mais.

Um anel é um conjunto com duas operações binárias (ou seja, cada operação envolve dois elementos do anel), que são tradicionalmente chamadas de adição e multiplicação, e os seguintes axiomas:

Observe que os anéis, na construção mais geral, não requerem nem a comutabilidade da multiplicação, nem sua invertibilidade (ou seja, a divisão nem sempre pode ser feita), nem a existência de uma unidade - um elemento neutro na multiplicação. Se introduzirmos esses axiomas, obteremos diferentes estruturas algébricas, mas nelas todos os teoremas comprovados para anéis serão verdadeiros.

Agora vamos provar que para quaisquer elementos e um anel arbitrário é verdadeiro, em primeiro lugar, e em segundo lugar,. Declarações sobre unidades seguem facilmente disto: e .

Para fazer isso, precisaremos estabelecer alguns fatos. Primeiro provamos que cada elemento pode ter apenas um oposto. Na verdade, deixe um elemento ter dois opostos: e . Aquilo é . Vamos considerar o valor. Utilizando as leis associativas e comutativas e a propriedade do zero, descobrimos que, por um lado, a soma é igual a e, por outro lado, é igual a. Significa, .

Observe agora que ambos e são opostos do mesmo elemento, portanto devem ser iguais.

O primeiro fato acontece assim: isto é, é oposto, o que significa que é igual.

Para sermos matematicamente rigorosos, vamos explicar também o porquê de qualquer elemento. De fato, . Ou seja, somar não altera o valor. Portanto, este produto é igual a zero.

E o fato de haver exatamente um zero no anel (afinal, os axiomas dizem que tal elemento existe, mas nada é dito sobre sua singularidade!), deixaremos ao leitor como um simples exercício.

Evgeny Epifanov
"Elementos"

Jacques Sesiano

Ao longo de dois milênios, ocorreram três expansões importantes do domínio numérico. Primeiro, por volta de 450 AC. Cientistas da escola pitagórica provaram a existência de números irracionais. Deles meta inicial era expressão numérica diagonais de um quadrado unitário. Em segundo lugar, nos séculos XIII-XV, os cientistas europeus, resolvendo sistemas equações lineares, permitiu a possibilidade de uma decisão negativa. E em terceiro lugar, em 1572, o algebrista italiano Raphael Bombelli usou números complexos para obter uma solução real para uma determinada equação cúbica.

Proskuriakov I. V.

O objetivo deste livro é definir estritamente números, polinômios e frações algébricas e justificar suas propriedades já conhecidas na escola, e não apresentar ao leitor novas propriedades. Portanto, o leitor não encontrará aqui fatos novos para ele (com a possível exceção de algumas propriedades, números reais e complexos), mas aprenderá como são provadas coisas que lhe são bem conhecidas, começando com “duas vezes dois é quatro” e terminando com as regras de operações com polinômios E frações algébricas. Mas o leitor conhecerá uma série de conceitos gerais, desempenhando um papel importante na álgebra.

Ilya Shchurov

Matemático Ilya Shchurov o decimais, transcendência e irracionalidade do número Pi.

Leon Takhtajyan

Serão quatro contos. Começaremos com números, depois falaremos sobre movimento, sobre mudança, depois discutiremos formas e tamanhos, e depois o início e o fim. Neste estilo um tanto criptografado, tentaremos olhar a matemática de dentro e de fora, e precisamente como uma disciplina. O que os matemáticos pensam e vivem - podemos falar sobre isso mais tarde.

Vladlen Timorim

O matemático Vladlen Timorin sobre as vantagens dos números complexos, os quatérnios de Hamilton, os números de Cayley octadimensionais e a variedade de números na geometria.

Jacques Sesiano

Sabemos pouco sobre Diofanto. Acho que ele morava em Alexandria. Nenhum dos matemáticos gregos o mencionou antes do século IV, então ele provavelmente viveu em meados do século III. A maioria trabalho principal Diofanta, “Aritmética” (Ἀριθμητικά), ocorreu no início de 13 “livros” (βιβλία), ou seja, capítulos. Hoje temos 10 deles, a saber: 6 no texto grego e outros 4 na tradução árabe medieval, cujo lugar está no meio dos livros gregos: livros I-III em grego, IV-VII em árabe, VIII-X em grego . A "Aritmética" de Diofanto é principalmente uma coleção de problemas, cerca de 260 no total. Para dizer a verdade, não existe teoria; há apenas Instruções gerais na introdução do livro e comentários privados em alguns problemas, quando necessário. A "aritmética" já possui características de um tratado algébrico. Primeiro Diofanto usa sinais diferentes para expressar o desconhecido e seus poderes, também alguns cálculos; como todo simbolismo algébrico da Idade Média, seu simbolismo vem de palavras matemáticas. Então, Diofanto explica como resolver o problema algebricamente. Mas os problemas de Diofanto não são algébricos no sentido usual, porque quase todos eles se resumem a resolver uma equação indeterminada ou sistemas de tais equações.

O mundo da matemática é impensável sem eles – sem números primos. O que aconteceu números primos, o que há de especial neles e que significado eles têm para Vida cotidiana? Neste filme, o professor de matemática britânico Marcus du Sautoy revelará o segredo dos números primos.

Georgy Shabat

Na escola, todos nós somos inculcados com a ideia errônea de que no conjunto dos números racionais Q existe uma distância natural única (o módulo da diferença), em relação à qual todas as operações aritméticas são contínuas. Porém, existe também um número infinito de distâncias, as chamadas p-ádicas, uma para cada número p. De acordo com o teorema de Ostrovsky, a distância “comum”, juntamente com todas as distâncias p-ádicas, já esgota realmente todas as distâncias razoáveis ​​Q. O termo democracia adélica foi introduzido por Yu. De acordo com o princípio da democracia adélica, todas as distâncias razoáveis ​​em Q são iguais perante as leis da matemática (talvez apenas o tradicional “um pouco=ligeiramente igual...”). O curso irá introduzir o anel adélico, que lhe permite trabalhar. com todas essas distâncias ao mesmo tempo.

Wladimir Arnold

JL Lagrange provou que uma sequência de quocientes incompletos (começando em um determinado lugar) é periódica se e somente se o número x for uma irracionalidade quadrática. R. O. Kuzmin provou que na sequência de quocientes incompletos de quase qualquer número real, a fração d_m igual a m quocientes incompletos é a mesma (para números reais típicos). A fração d_m diminui conforme m→∞ como 1/m^2 e seu valor foi previsto por Gauss (que não provou nada). V.I. Arnol expressou (cerca de 20 anos atrás) a hipótese de que a estatística de Gauss-Kuzmin d_m também é válida para períodos de frações contínuas de raízes. equações quadráticas x^2+px+q=0 (com inteiro p e q): se escrevermos juntos os quocientes incompletos que compõem os períodos de todas as frações contínuas das raízes de tais equações com p^2+q^2≤R ^2, então a parcela do quociente incompleto m entre eles tenderá ao número d_m como R→∞. V. A. Bykovsky e seus alunos de Khabarovsk provaram recentemente esta hipótese de longa data. Apesar disso, a questão da estatística não das letras, mas das palavras compostas por elas, que são os períodos das frações contínuas de quaisquer raízes x das equações x^2+px+q=0, está longe de ser resolvida.

Reed Milhas

Deixo o título e o resumo o mais vagos possível, para poder falar sobre o que me apetecer no dia. Muitas variedades de interesse na classificação de variedades são obtidas como Spec ou Proj de um anel de Gorenstein. Na codimensão 3, a conhecida teoria da estrutura fornece métodos explícitos de cálculo com anéis de Gorenstein. Em contraste, não existe uma teoria de estrutura utilizável para anéis de codimensão 4. No entanto, em muitos casos, a projeção de Gorenstein (e seu inverso, a não projeção de Kustin-Miller) fornece métodos de ataque a esses anéis. Esses métodos se aplicam a classes esporádicas de anéis canônicos de superfícies algébricas regulares e a construções mais sistemáticas de dobras triplas de Q-Fano, ligações de Sarkisov entre elas e as viradas triplas do Tipo A da teoria de Mori.

Menos e mais são sinais de números negativos e positivos em matemática. Eles interagem entre si de maneira diferente, portanto, ao realizar qualquer operação com números, por exemplo, divisão, multiplicação, subtração, adição, etc., é necessário levar em consideração assinar regras. Sem essas regras, você nunca será capaz de resolver nem mesmo o problema algébrico ou geométrico mais simples. Sem conhecer essas regras, você não poderá estudar não só matemática, mas também física, química, biologia e até geografia.

Vamos dar uma olhada nas regras básicas dos sinais.

Divisão.

Se dividirmos “mais” por “menos”, sempre obteremos “menos”. Se dividirmos “menos” por “mais”, sempre obteremos “menos” também. Se dividirmos “mais” por “mais”, obtemos “mais”. Se dividirmos “menos” por “menos”, então, curiosamente, também obteremos “mais”.

Multiplicação.

Se multiplicarmos “menos” por “mais”, sempre obteremos “menos”. Se multiplicarmos “mais” por “menos”, sempre obteremos “menos” também. Se multiplicarmos “mais” por “mais”, obtemos um número positivo, ou seja, “mais”. O mesmo se aplica a dois números negativos. Se multiplicarmos “menos” por “menos”, obtemos “mais”.

Subtração e adição.

Eles são baseados em princípios diferentes. Se um número negativo for maior em magnitude que o nosso número positivo, então o resultado, é claro, será negativo. Certamente, você está se perguntando o que é um módulo e por que ele está aqui. Tudo é muito simples. O módulo é o valor de um número, mas sem sinal. Por exemplo -7 e 3. O módulo -7 será simplesmente 7 e 3 permanecerá 3. Como resultado, vemos que 7 é maior, ou seja, verifica-se que nosso número negativo é maior. Então resulta -7+3 = -4. Isso pode ser ainda mais simples. Basta colocar um número positivo em primeiro lugar e sairá 3-7 = -4, talvez isso seja mais claro para alguém. A subtração funciona exatamente com o mesmo princípio.

Entendemos a multiplicação corretamente?

“- A e B estavam sentados no cano. A caiu, B desapareceu, o que sobrou no cano?
“Sua carta permanece.”

(Do filme "Jovens no Universo")

Por que multiplicar um número por zero resulta em zero?

7 * 0 = 0

Por que a multiplicação de dois números negativos produz um número positivo?

7 * (-3) = + 21

Os professores inventam tudo o que podem para dar respostas a essas duas perguntas.

Mas ninguém tem coragem de admitir que existem três erros semânticos na formulação da multiplicação!

É possível cometer erros na aritmética básica? Afinal, a matemática se posiciona como uma ciência exata...

Os livros didáticos de matemática escolar não fornecem respostas a essas questões, substituindo as explicações por um conjunto de regras que precisam ser memorizadas. Talvez este tópico seja considerado difícil de explicar no ensino médio? Vamos tentar entender essas questões.

7 é o multiplicando. 3 é um multiplicador. 21-trabalho.

De acordo com a redação oficial:

• multiplicar um número por outro significa adicionar tantos multiplicandos quanto o multiplicador prescreve.

De acordo com a formulação aceita, o fator 3 nos diz que deveria haver três setes no lado direito da igualdade.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Mas esta formulação da multiplicação não pode explicar as questões colocadas acima.

Vamos corrigir a redação da multiplicação

Geralmente em matemática há muita coisa que se quer dizer, mas não é falada nem escrita.

Isso se refere ao sinal de mais antes dos sete primeiros no lado direito da equação. Vamos anotar esse plus.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Mas a que se somam os sete primeiros? Isso significa zero, é claro. Vamos anotar zero.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

E se multiplicarmos por três menos sete?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Escrevemos a adição do multiplicando -7, mas na verdade estamos subtraindo de zero várias vezes. Vamos abrir os colchetes.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Agora podemos fornecer uma formulação refinada de multiplicação.

• Multiplicação é o processo de adicionar repetidamente (ou subtrair de zero) o multiplicando (-7) quantas vezes o multiplicador indicar. O multiplicador (3) e seu sinal (+ ou -) indicam o número de operações que são adicionadas ou subtraídas de zero.

Usando esta formulação de multiplicação refinada e ligeiramente modificada, as “regras de sinais” para multiplicação quando o multiplicador é negativo são facilmente explicadas.

7 * (-3) - deve haver três sinais de menos após o zero = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - novamente deve haver três sinais de menos após o zero =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Multiplique por zero

7 * 0 = 0 + ... sem adição de zero operações.

Se a multiplicação é uma adição a zero, e o multiplicador mostra o número de operações de adição a zero, então o multiplicador zero mostra que nada foi adicionado a zero. É por isso que permanece zero.

Assim, na formulação existente de multiplicação, encontramos três erros semânticos que bloqueiam a compreensão das duas “regras de sinais” (quando o multiplicador é negativo) e da multiplicação de um número por zero.

1. Você não precisa somar o multiplicando, mas some-o a zero.
2. Multiplicar não é apenas somar zero, mas também subtrair de zero.
3. O multiplicador e seu sinal não mostram o número de termos, mas o número de sinais de mais ou menos ao decompor a multiplicação em termos (ou subtraídos).

Tendo esclarecido um pouco a formulação, pudemos explicar as regras dos sinais para a multiplicação e a multiplicação de um número por zero sem a ajuda da lei comutativa da multiplicação, sem a lei distributiva, sem envolver analogias com a reta numérica, sem equações , sem prova do inverso, etc.

As regras de sinais para a formulação refinada da multiplicação são derivadas de forma muito simples.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

O multiplicador e seu sinal (+3 ou -3) indicam o número de sinais “+” ou “-” no lado direito da equação.

A formulação modificada da multiplicação corresponde à operação de elevar um número a uma potência.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 = 1 (um não é multiplicado ou dividido por nada, então permanece um)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Os matemáticos concordam que elevar um número a uma potência positiva é multiplicar um muitas vezes. E elevando um número para grau negativoé uma divisão múltipla de uma unidade.

A operação de multiplicação deve ser semelhante à operação de exponenciação.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (nada é adicionado a zero e nada é subtraído de zero)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

A formulação modificada da multiplicação não muda nada na matemática, mas retorna o significado original da operação de multiplicação, explica as “regras dos sinais”, multiplicando um número por zero, e reconcilia multiplicação com exponenciação.

Vamos verificar se a nossa formulação de multiplicação é consistente com a operação de divisão.

15: 5 = 3 (inverso da multiplicação 5 * 3 = 15)

O quociente (3) corresponde ao número de operações de adição a zero (+3) durante a multiplicação.

Dividir o número 15 por 5 significa descobrir quantas vezes você precisa subtrair 5 de 15. Isso é feito por subtração sequencial até que um resultado zero seja obtido.

Para encontrar o resultado da divisão, você precisa contar o número de sinais negativos. Há três deles.

15: 5 = 3 operações de subtração de cinco de 15 para obter zero.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (divisão 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (multiplicando 5 * 3)

Divisão com resto.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 e 2 resto

Se há divisão com resto, por que não multiplicação com apêndice?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Vejamos a diferença no texto da calculadora

Formulação existente de multiplicação (três termos).

10 + 10 + 10 = 30

Formulação de multiplicação corrigida (três adições a zero operações).

0 + 10 = = = 30

(Pressione “igual” três vezes.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Um multiplicador de 3 indica que o multiplicando 10 deve ser adicionado a zero três vezes.

Tente multiplicar (-10) * (-3) adicionando o termo (-10) menos três vezes!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

O que significa o sinal de menos para três? Talvez sim?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops... Não consigo decompor o produto na soma (ou diferença) dos termos (-10).

A redação revisada faz isso corretamente.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

O multiplicador (-3) indica que o multiplicando (-10) deve ser subtraído de zero três vezes.

Assine regras para adição e subtração

Acima mostramos uma maneira simples de derivar as regras dos sinais para multiplicação, alterando o significado do texto da multiplicação.

Mas para a conclusão utilizamos as regras de sinais para adição e subtração. Eles são quase iguais aos da multiplicação. Vamos criar uma visualização das regras de sinais para adição e subtração, para que até um aluno da primeira série possa entendê-la.

O que é “menos”, “negativo”?

Não há nada negativo na natureza. Não temperatura negativa, sem direção negativa, sem massa negativa, sem cargas negativas... Mesmo o seno, por sua natureza, só pode ser positivo.

Mas os matemáticos criaram números negativos. Para que? O que significa "menos"?

Um sinal de menos significa a direção oposta. Esquerda direita. Parte superior inferior. Sentido horário - anti-horário. Vai e volta. Frio quente. Luz pesada. Devagar rápido. Se você pensar bem, poderá dar muitos outros exemplos onde é conveniente usar valores negativos quantidades

No mundo que conhecemos, o infinito começa do zero e vai até mais infinito.

“Menos infinito” não existe no mundo real. Esta é a mesma convenção matemática do conceito de “menos”.

Assim, “menos” denota a direção oposta: movimento, rotação, processo, multiplicação, adição. Vamos analisar as diferentes direções ao adicionar e subtrair números positivos e negativos (aumentando na outra direção).

A dificuldade de compreensão das regras de sinais de adição e subtração se deve ao fato de que essas regras geralmente são explicadas na reta numérica. Na reta numérica, três componentes diferentes são misturados, dos quais derivam as regras. E devido à confusão, devido ao amontoamento de diferentes conceitos em uma só pilha, criam-se dificuldades de compreensão.

Para entender as regras, precisamos dividir:

• o primeiro termo e a soma (estarão no eixo horizontal);
• o segundo termo (ficará no eixo vertical);
• direção das operações de adição e subtração.

Esta divisão é claramente mostrada na figura. Imagine mentalmente que o eixo vertical pode girar, sobrepondo-se ao eixo horizontal.

A operação de adição é sempre realizada girando o eixo vertical no sentido horário (sinal de mais). A operação de subtração é sempre realizada girando o eixo vertical no sentido anti-horário (sinal de menos).

Exemplo. Diagrama no canto inferior direito.

Pode-se ver que dois estão próximos sinal de pé O sinal de menos (o sinal da operação de subtração e o sinal do número 3) têm significados diferentes. O primeiro sinal de menos mostra a direção da subtração. O segundo sinal de menos é o sinal do número no eixo vertical.

Encontre o primeiro termo (-2) no eixo horizontal. Encontramos o segundo termo (-3) no eixo vertical. Gire mentalmente o eixo vertical no sentido anti-horário até que (-3) se alinhe com o número (+1) no eixo horizontal. O número (+1) é o resultado da adição.

Operação de subtração

dá o mesmo resultado que a operação de adição no diagrama no canto superior direito.

Portanto, dois sinais de menos adjacentes podem ser substituídos por um sinal de mais.

Estamos todos acostumados a usar regras aritméticas prontas sem pensar em seu significado. Portanto, muitas vezes nem percebemos como as regras de sinais para adição (subtração) diferem das regras de sinais para multiplicação (divisão). Eles parecem iguais? Quase... Uma ligeira diferença pode ser vista na ilustração a seguir.

Agora temos tudo o que precisamos para derivar as regras de sinais para multiplicação. A sequência de saída é a seguinte.

1. Mostramos claramente como são obtidas as regras de sinais para adição e subtração.
2. Fazemos alterações semânticas na formulação existente de multiplicação.
3. Com base na formulação modificada de multiplicação e nas regras de sinais para adição, derivamos as regras de sinais para multiplicação.

Observação.

Abaixo estão escritos Assine regras para adição e subtração, obtido a partir da visualização. E em vermelho, para comparação, as mesmas regras de sinais do livro de matemática. O sinal de mais cinza entre colchetes é um sinal de mais invisível, que não é escrito para um número positivo.

Há sempre dois sinais entre os termos: o sinal de operação e o sinal de número (não escrevemos mais, mas queremos dizer isso). As regras de sinais prescrevem a substituição de um par de caracteres por outro par sem alterar o resultado da adição (subtração). Na verdade, existem apenas duas regras.

Regras 1 e 3 (para visualização) - regras duplicadas 4 e 2.. As regras 1 e 3 na interpretação escolar não coincidem com o esquema visual, portanto, não se aplicam às regras de sinais para adição. Estas são algumas outras regras...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Regra escolar 1. (cor vermelha) permite substituir dois pontos positivos consecutivos por um sinal positivo. A regra não se aplica à substituição de sinais de adição e subtração.

Regra escolar 3. (vermelho) permite que você não escreva um sinal de mais para um número positivo após uma operação de subtração. A regra não se aplica à substituição de sinais de adição e subtração.

O significado das regras de sinais para adição é a substituição de um PAR de sinais por outro PAR de sinais sem alterar o resultado da adição.

Os metodologistas escolares misturaram duas regras em uma:

Duas regras de sinais ao adicionar e subtrair números positivos e negativos (substituindo um par de sinais por outro par de sinais);

Duas regras para não escrever um sinal de mais para um número positivo.

Dois regras diferentes, misturados em um, são semelhantes às regras de sinais na multiplicação, onde dois sinais resultam em um terceiro. Eles são exatamente iguais.

Grande confusão! A mesma coisa novamente, para melhor desembaraçar. Vamos destacar os sinais de operação em vermelho para distingui-los dos sinais numéricos.

1. Adição e subtração. Duas regras de sinais segundo as quais pares de sinais entre termos são trocados. Sinal de operação e sinal numérico.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Duas regras segundo as quais o sinal de mais para um número positivo não pode ser escrito. Estas são as regras do formulário de inscrição. Não se aplica a adição. Para um número positivo, apenas o sinal da operação é escrito.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Quatro regras de sinais para multiplicação. Quando dois sinais de fatores resultam em um terceiro sinal do produto. As regras dos sinais de multiplicação contêm apenas sinais numéricos.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Agora que separamos as regras de forma, deve ficar claro que as regras de sinais para adição e subtração não são nada semelhantes às regras de sinais para multiplicação.

V. Kozarenko

Duas negativas fazem uma afirmativa- Esta é uma regra que aprendemos na escola e aplicamos ao longo da vida. E qual de nós estava interessado em saber por quê? Claro, é mais fácil lembrar essa afirmação sem fazer perguntas desnecessárias e sem se aprofundar na essência do problema. Agora já existem informações suficientes que precisam ser “digeridas”. Mas para quem ainda está interessado nesta questão, tentaremos dar uma explicação deste fenômeno matemático.

Desde os tempos antigos, as pessoas usam números naturais positivos: 1, 2, 3, 4, 5,... Os números eram usados ​​para contar gado, colheitas, inimigos, etc. Ao somar e multiplicar dois números positivos, sempre obtinham um número positivo; ao dividir uma quantidade por outra, nem sempre obtinham números naturais - era assim que apareciam os números fracionários. E quanto à subtração? Desde a infância sabemos que é melhor somar menos a mais e subtrair menos de mais e, novamente, não usamos números negativos. Acontece que se eu tiver 10 maçãs, só posso dar a alguém menos de 10 ou 10. Não tenho como dar 13 maçãs, porque não as tenho. Por muito tempo não houve necessidade de números negativos.

Somente a partir do século 7 DC. Números negativos foram utilizados em alguns sistemas de contagem como grandezas auxiliares que possibilitaram a obtenção de um número positivo na resposta.

Vejamos um exemplo, 6x – 30 = 3x – 9. Para encontrar a resposta é necessário deixar os termos com incógnitas no lado esquerdo, e o restante à direita: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 . Ao resolver esta equação, não havia números negativos. Poderíamos mover termos com incógnitas para o lado direito e sem incógnitas para a esquerda: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Ao dividir um número negativo por um número negativo, obtemos uma resposta positiva: x = 7.

O que vemos?

Trabalhar com números negativos deveria nos levar à mesma resposta que trabalhar apenas com números positivos. Não precisamos mais pensar na impossibilidade prática e no significado das ações - elas nos ajudam a resolver o problema com muito mais rapidez, sem reduzir a equação a uma forma apenas com números positivos. No nosso exemplo, não utilizamos cálculos complexos, mas se houver um grande número de termos, cálculos com números negativos podem facilitar nosso trabalho.

Com o tempo, após longos experimentos e cálculos, foi possível identificar as regras que regem todos os números e operações sobre eles (em matemática são chamados de axiomas). Foi daqui que veio um axioma que afirma que quando dois números negativos são multiplicados, obtemos um número positivo.

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1) Por que menos um vezes menos um é igual a mais um?

2) Por que menos um vezes mais um é igual a menos um?

O inimigo do meu inimigo é meu amigo

A resposta mais fácil é: “Porque estas são as regras para operar com números negativos”. Regras que aprendemos na escola e aplicamos ao longo da vida. No entanto, os livros didáticos não explicam por que as regras são como são. Tentaremos primeiro compreender isto com base na história do desenvolvimento da aritmética e depois responderemos a esta questão do ponto de vista da matemática moderna.

Há muito tempo, as pessoas conheciam apenas números naturais: 1, 2, 3, ... Eles eram usados ​​para contar utensílios, saques, inimigos, etc. A adição é clara e compreensível e, além disso, a soma de dois números naturais também é um número natural (um matemático diria que o conjunto dos números naturais é fechado pela operação de adição). A multiplicação é essencialmente o mesmo que a adição quando se trata de números naturais. Na vida, muitas vezes realizamos ações relacionadas a essas duas operações (por exemplo, ao fazer compras, somamos e multiplicamos), e é estranho pensar que nossos ancestrais as encontraram com menos frequência - a adição e a multiplicação foram dominadas pela humanidade há muito tempo. atrás. Muitas vezes é necessário dividir algumas quantidades por outras, mas aqui o resultado nem sempre é expresso como um número natural - foi assim que surgiram os números fracionários.

Claro, você também não pode prescindir da subtração. Mas, na prática, normalmente subtraímos o número menor do número maior e não há necessidade de usar números negativos. (Se eu tiver 5 doces e der 3 para minha irmã, então terei 5 - 3 = 2 doces restantes, mas não posso dar a ela 7 doces mesmo que queira.) Isso pode explicar por que as pessoas não usaram números negativos para um muito tempo.

Números negativos aparecem em documentos indianos desde o século VII d.C.; Os chineses aparentemente começaram a usá-los um pouco antes. Eram utilizados para contabilizar dívidas ou em cálculos intermediários para simplificar a solução de equações - eram apenas uma ferramenta para obter uma resposta positiva. O facto de os números negativos, ao contrário dos números positivos, não expressarem a presença de nenhuma entidade causou forte desconfiança. As pessoas evitavam literalmente números negativos: se um problema tivesse uma resposta negativa, elas acreditavam que não havia resposta alguma. Esta desconfiança persistiu por muito tempo, e até Descartes - um dos “fundadores” da matemática moderna - chamou-os de “falsos” (no século XVII!).

Considere, por exemplo, a equação 7x – 17 = 2x – 2. Pode ser resolvido desta forma: mova os termos com a incógnita para a esquerda e o resto para a direita, vai acabar 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. Com esta solução, nem encontramos números negativos.

Mas foi possível acidentalmente fazer diferente: mover os termos com o desconhecido para o lado direito e obter 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) ​​​​= (–5)x. Para encontrar a incógnita, você precisa dividir um número negativo por outro: x = (–15)/(–5). Mas a resposta correta é conhecida e resta concluir que (–15)/(–5) = 3 .

O que este exemplo simples demonstra? Em primeiro lugar, fica clara a lógica que determinou as regras para operar com números negativos: os resultados dessas ações devem corresponder às respostas obtidas de outra forma, sem números negativos. Em segundo lugar, ao permitir o uso de números negativos, nos livramos da tediosa (se a equação for mais complicada, com grande número de termos) de busca por uma solução em que todas as ações sejam realizadas apenas em números naturais. Além disso, podemos já não pensar sempre no significado das quantidades transformadas - e isto já é um passo no sentido de transformar a matemática numa ciência abstracta.

As regras para operar com números negativos não foram formadas imediatamente, mas tornaram-se uma generalização de numerosos exemplos que surgiram na resolução de problemas aplicados. Em geral, o desenvolvimento da matemática pode ser dividido em etapas: cada etapa seguinte difere da anterior em um novo nível de abstração no estudo de objetos. Assim, no século XIX, os matemáticos perceberam que inteiros e polinômios, apesar de todas as suas diferenças externas, têm muito em comum: ambos podem ser somados, subtraídos e multiplicados. Essas operações estão sujeitas às mesmas leis - tanto no caso dos números quanto no caso dos polinômios. Mas nem sempre é possível dividir números inteiros entre si para que o resultado seja inteiro novamente. É o mesmo com polinômios.

Em seguida, foram descobertos outros conjuntos de objetos matemáticos nos quais tais operações poderiam ser realizadas: séries de potências formais, funções contínuas... Finalmente, chegou-se ao entendimento de que se você estudar as propriedades das próprias operações, os resultados poderão então ser aplicados a todos esses conjuntos de objetos (esta abordagem é típica de toda a matemática moderna).

Como resultado, surgiu um novo conceito: anel. É apenas um conjunto de elementos mais ações que podem ser executadas neles. As regras fundamentais aqui são as regras (elas são chamadas axiomas), que estão sujeitos às ações, e não à natureza dos elementos do conjunto (aqui está, um novo nível de abstração!). Querendo enfatizar que é a estrutura que surge após a introdução dos axiomas que é importante, os matemáticos dizem: um anel de inteiros, um anel de polinômios, etc. A partir dos axiomas, podem-se deduzir outras propriedades dos anéis.

Formularemos os axiomas do anel (que, é claro, são semelhantes às regras para operar com números inteiros) e depois provaremos que, em qualquer anel, multiplicar um menos por um menos produz um mais.

Anelé um conjunto com duas operações binárias (ou seja, cada operação envolve dois elementos do anel), que são tradicionalmente chamadas de adição e multiplicação, e os seguintes axiomas:

• a adição de elementos do anel está sujeita a comutatividade ( A + B = B + A para quaisquer elementos A E B) e associativo ( A + (B + C) = (A + B) + C) leis; há um elemento especial no anel 0 (elemento neutro por adição) tal que UMA+0=UMA, e para qualquer elemento A existe um elemento oposto (denotado (-A)), O que UMA + (–A) = 0;
• a multiplicação obedece à lei combinacional: A·(B·C) = (A·B)·C;
• Adição e multiplicação estão relacionadas pelas seguintes regras para abertura de parênteses: (A + B) C = A C + B C E A (B + C) = A B + A C.

Observe que os anéis, na construção mais geral, não requerem nem a comutabilidade da multiplicação, nem sua invertibilidade (ou seja, a divisão nem sempre pode ser feita), nem a existência de uma unidade - um elemento neutro na multiplicação. Se introduzirmos esses axiomas, obteremos diferentes estruturas algébricas, mas nelas todos os teoremas comprovados para anéis serão verdadeiros.

Agora provamos que para quaisquer elementos A E B de um anel arbitrário é verdadeiro, em primeiro lugar, (–A) B = –(A B), E em segundo lugar (–(–A)) = UMA. Declarações sobre unidades seguem facilmente disto: (–1) 1 = –(1 1) = –1 E (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Para fazer isso, precisaremos estabelecer alguns fatos. Primeiro provamos que cada elemento pode ter apenas um oposto. Na verdade, deixe o elemento A existem dois opostos: B E COM. Aquilo é A + B = 0 = A + C. Vamos considerar a quantia A+B+C. Utilizando as leis associativas e comutativas e a propriedade do zero, obtemos que, por um lado, a soma é igual a B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, e por outro lado, é igual C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Significa, B=C.

Notemos agora que A, E (-(-A)) são opostos do mesmo elemento (-A), então eles devem ser iguais.

O primeiro fato é assim: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, aquilo é (–A)·B oposto A·B, o que significa que é igual –(AB).

Para ser matematicamente rigoroso, vamos também explicar por que 0·B = 0 para qualquer elemento B. De fato, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Ou seja, a adição 0·B não altera o valor. Portanto, este produto é igual a zero.

E o fato de haver exatamente um zero no anel (afinal, os axiomas dizem que tal elemento existe, mas nada é dito sobre sua singularidade!), deixaremos ao leitor como um simples exercício.