O cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é chamado. Definição de seno, cosseno, tangente e cotangente

A trigonometria é um ramo da ciência matemática que estuda funções trigonométricas e seu uso em geometria. O desenvolvimento da trigonometria começou na Grécia antiga. Durante a Idade Média contribuição importante Cientistas do Médio Oriente e da Índia contribuíram para o desenvolvimento desta ciência.

Este artigo é dedicado aos conceitos básicos e definições de trigonometria. Discute as definições das funções trigonométricas básicas: seno, cosseno, tangente e cotangente. Seu significado é explicado e ilustrado no contexto da geometria.

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Inicialmente, as definições de funções trigonométricas cujo argumento é um ângulo foram expressas em termos da razão dos lados de um triângulo retângulo.

Definições de funções trigonométricas

O seno de um ângulo (sin α) é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

Cosseno do ângulo (cos α) - razão perna adjacenteà hipotenusa.

Tangente angular (t g α) - a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.

Ângulo cotangente (ct g α) - a razão entre o lado adjacente e o lado oposto.

Estas definições são dadas para o ângulo agudo de um triângulo retângulo!

Vamos dar uma ilustração.

No triângulo ABC com ângulo reto C, o seno do ângulo A é igual à razão entre a perna BC e a hipotenusa AB.

As definições de seno, cosseno, tangente e cotangente permitem calcular os valores dessas funções a partir dos comprimentos conhecidos dos lados do triângulo.

Importante lembrar!

O intervalo de valores de seno e cosseno é de -1 a 1. Em outras palavras, seno e cosseno assumem valores de -1 a 1. O intervalo de valores de tangente e cotangente é a reta numérica inteira, isto é, essas funções podem assumir qualquer valor.

As definições fornecidas acima se aplicam a ângulos agudos. Na trigonometria, é introduzido o conceito de ângulo de rotação, cujo valor, ao contrário de um ângulo agudo, não se limita a 0 a 90 graus. O ângulo de rotação em graus ou radianos é expresso por qualquer número real de - ∞ a + ∞. .

Neste contexto, podemos definir seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de magnitude arbitrária. Imaginemos um círculo unitário com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas.

O ponto inicial A com coordenadas (1, 0) gira em torno do centro do círculo unitário através de um certo ângulo α e vai para o ponto A 1. A definição é dada em termos das coordenadas do ponto A 1 (x, y).

Seno (sin) do ângulo de rotação

O seno do ângulo de rotação α é a ordenada do ponto A 1 (x, y). pecado α = y

Cosseno (cos) do ângulo de rotação

O cosseno do ângulo de rotação α é a abcissa do ponto A 1 (x, y). cos α = x

Tangente (tg) do ângulo de rotação

A tangente do ângulo de rotação α é a razão entre a ordenada do ponto A 1 (x, y) e sua abcissa. t g α = y x

Cotangente (ctg) do ângulo de rotação

A cotangente do ângulo de rotação α é a razão entre a abcissa do ponto A 1 (x, y) e sua ordenada. c t g α = x y

Seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação. Isso é lógico, porque a abcissa e a ordenada de um ponto após a rotação podem ser determinadas em qualquer ângulo. A situação é diferente com tangente e cotangente. A tangente é indefinida quando um ponto após a rotação vai para um ponto com abscissa zero (0, 1) e (0, - 1). Nesses casos, a expressão para a tangente t g α = y x simplesmente não faz sentido, pois contém divisão por zero. A situação é semelhante com a cotangente. A diferença é que a cotangente não é definida nos casos em que a ordenada de um ponto vai para zero.

Importante lembrar!

Seno e cosseno são definidos para quaisquer ângulos α.

A tangente é definida para todos os ângulos, exceto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A cotangente é definida para todos os ângulos, exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Ao resolver exemplos práticos, não diga “seno do ângulo de rotação α”. As palavras “ângulo de rotação” são simplesmente omitidas, o que implica que já está claro no contexto o que está sendo discutido.

Números

E quanto à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente de um número, e não do ângulo de rotação?

Seno, cosseno, tangente, cotangente de um número

Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número té um número que é respectivamente igual a seno, cosseno, tangente e cotangente em t radiano.

Por exemplo, o seno do número 10 π é igual ao seno do ângulo de rotação de 10 π rad.

Existe outra abordagem para determinar o seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Vamos dar uma olhada nisso.

Qualquer número real t um ponto no círculo unitário está associado ao centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Seno, cosseno, tangente e cotangente são determinados através das coordenadas deste ponto.

O ponto inicial do círculo é o ponto A com coordenadas (1, 0).

Número positivo t

Número negativo t corresponde ao ponto para onde irá o ponto inicial se ele se mover ao redor do círculo no sentido anti-horário e passar pelo caminho t.

Agora que a ligação entre um número e um ponto de uma circunferência foi estabelecida, passamos à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente.

Seno (pecado) de t

Seno de um número t- ordenada de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t. pecado t = y

Cosseno (cos) de t

Cosseno de um número t- abscissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. cos t = x

Tangente (tg) de t

Tangente de um número t- a razão entre a ordenada e a abcissa de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t. t g t = y x = sin t cos t

As últimas definições estão de acordo e não contradizem a definição dada no início deste parágrafo. Aponte no círculo correspondente ao número t, coincide com o ponto para onde vai o ponto inicial após girar um ângulo t radiano.

Funções trigonométricas de argumento angular e numérico

Cada valor do ângulo α corresponde a um determinado valor do seno e cosseno deste ângulo. Assim como todos os ângulos α diferentes de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) correspondem a um determinado valor da tangente. A cotangente, como afirmado acima, é definida para todo α exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Podemos dizer que sen α, cos α, t g α, c t g α são funções do ângulo alfa, ou funções do argumento angular.

Da mesma forma, podemos falar de seno, cosseno, tangente e cotangente como funções de um argumento numérico. Cada número real t corresponde a um determinado valor do seno ou cosseno de um número t. Todos os números diferentes de π 2 + π · k, k ∈ Z, correspondem a um valor tangente. A cotangente, da mesma forma, é definida para todos os números, exceto π · k, k ∈ Z.

Funções básicas da trigonometria

Seno, cosseno, tangente e cotangente são as funções trigonométricas básicas.

Geralmente fica claro no contexto com qual argumento da função trigonométrica (argumento angular ou argumento numérico) estamos lidando.

Voltemos às definições dadas no início e ao ângulo alfa, que está na faixa de 0 a 90 graus. As definições trigonométricas de seno, cosseno, tangente e cotangente são totalmente consistentes com definições geométricas, dado usando as proporções de um triângulo retângulo. Vamos mostrar.

Vamos pegar um círculo unitário com centro em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Vamos girar o ponto inicial A (1, 0) em um ângulo de até 90 graus e traçar uma perpendicular ao eixo das abcissas a partir do ponto resultante A 1 (x, y). No triângulo retângulo resultante, ângulo A 1 O H igual ao ângulo gire α, o comprimento da perna O H é igual à abcissa do ponto A 1 (x, y). O comprimento da perna oposta ao ângulo é igual à ordenada do ponto A 1 (x, y), e o comprimento da hipotenusa é igual a um, pois é o raio do círculo unitário.

De acordo com a definição da geometria, o seno do ângulo α é igual à razão entre o lado oposto e a hipotenusa.

pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Isso significa que determinar o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo através da proporção é equivalente a determinar o seno do ângulo de rotação α, com alfa situado na faixa de 0 a 90 graus.

Da mesma forma, a correspondência de definições pode ser mostrada para cosseno, tangente e cotangente.

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Começaremos nosso estudo de trigonometria com o triângulo retângulo. Vamos definir o que são seno e cosseno, bem como tangente e cotangente de um ângulo agudo. Este é o básico da trigonometria.

Lembremos que ângulo certoé um ângulo igual a 90 graus. Em outras palavras, meio ângulo virado.

Canto afiado- menos de 90 graus.

Ângulo obtuso- superior a 90 graus. Em relação a tal ângulo, “obtuso” não é um insulto, mas um termo matemático :-)

Vamos desenhar um triângulo retângulo. Um ângulo reto é geralmente denotado por . Observe que o lado oposto ao canto é indicado pela mesma letra, apenas pequena. Assim, o lado oposto ao ângulo A é designado .

O ângulo é indicado pela letra grega correspondente.

Hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ângulo certo.

Pernas- lados opostos a ângulos agudos.

A perna oposta ao ângulo é chamada oposto(em relação ao ângulo). A outra perna, que fica em um dos lados do ângulo, é chamada adjacente.

Seio O ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto e a hipotenusa:

Cossenoângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o lado oposto e o adjacente:

Outra definição (equivalente): a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno do ângulo e seu cosseno:

Co-tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o lado adjacente e o oposto (ou, o que é o mesmo, a razão entre cosseno e seno):

Observe as relações básicas para seno, cosseno, tangente e cotangente abaixo. Eles serão úteis para nós na resolução de problemas.

Vamos provar alguns deles.

Ok, demos definições e escrevemos fórmulas. Mas por que ainda precisamos de seno, cosseno, tangente e cotangente?

Nós sabemos isso a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a.

Conhecemos a relação entre festas triângulo retângulo. Este é o teorema de Pitágoras: .

Acontece que conhecendo dois ângulos em um triângulo, você pode encontrar o terceiro. Conhecendo os dois lados de um triângulo retângulo, você pode encontrar o terceiro. Isso significa que os ângulos têm sua própria proporção e os lados têm a sua própria. Mas o que você deve fazer se em um triângulo retângulo você conhece um ângulo (exceto o ângulo reto) e um lado, mas precisa encontrar os outros lados?

Isso é o que as pessoas encontravam no passado ao fazer mapas da área e do céu estrelado. Afinal, nem sempre é possível medir diretamente todos os lados de um triângulo.

Seno, cosseno e tangente - também são chamados funções de ângulo trigonométrico- dar relacionamentos entre festas E cantos triângulo. Conhecendo o ângulo, você pode encontrar todas as suas funções trigonométricas usando tabelas especiais. E conhecendo os senos, cossenos e tangentes dos ângulos de um triângulo e um de seus lados, você pode encontrar o resto.

Também traçaremos uma tabela dos valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para ângulos “bons” de a.

Observe os dois traços vermelhos na tabela. Em valores de ângulo apropriados, tangente e cotangente não existem.

Vejamos vários problemas de trigonometria do Banco de Tarefas FIPI.

1. Em um triângulo, o ângulo é , . Encontrar .

O problema é resolvido em quatro segundos.

Porque o , .

2. Em um triângulo, o ângulo é , , . Encontrar .

Vamos encontrá-lo usando o teorema de Pitágoras.

O problema está resolvido.

Freqüentemente, nos problemas existem triângulos com ângulos e ou com ângulos e. Lembre-se de cor das proporções básicas para eles!

Para um triângulo com ângulos e o cateto oposto ao ângulo em é igual a metade da hipotenusa.

Um triângulo com ângulos e é isósceles. Nele, a hipotenusa é vezes maior que a perna.

Vimos problemas para resolver triângulos retângulos - isto é, encontrar lados ou ângulos desconhecidos. Mas isso não é tudo! EM Opções do Exame Estadual Unificado em matemática existem muitos problemas onde aparece o seno, cosseno, tangente ou cotangente do ângulo externo de um triângulo. Mais sobre isso no próximo artigo.

Neste artigo mostraremos como dar definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo e número em trigonometria. Aqui falaremos sobre notações, daremos exemplos de entradas e daremos ilustrações gráficas. Concluindo, traçamos um paralelo entre as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente em trigonometria e geometria.

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Definição de seno, cosseno, tangente e cotangente

Vamos ver como se forma a ideia de seno, cosseno, tangente e cotangente em curso escolar matemática. Nas aulas de geometria, é dada a definição de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo. E posteriormente estuda-se a trigonometria, que fala sobre seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação e número. Apresentaremos todas essas definições, daremos exemplos e faremos os comentários necessários.

Ângulo agudo em um triângulo retângulo

Do curso de geometria conhecemos as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo. Eles são dados como a proporção dos lados de um triângulo retângulo. Deixe-nos dar suas formulações.

Definição.

Seno de um ângulo agudo em um triângulo retânguloé a razão entre o lado oposto e a hipotenusa.

Definição.

Cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retânguloé a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa.

Definição.

Tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo– esta é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.

Definição.

Cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo- esta é a razão entre o lado adjacente e o lado oposto.

As designações para seno, cosseno, tangente e cotangente também são introduzidas ali - sin, cos, tg e ctg, respectivamente.

Por exemplo, se ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto C, então o seno do ângulo agudo A é igual à razão entre o lado oposto BC e a hipotenusa AB, ou seja, sen∠A=BC/AB.

Essas definições permitem calcular os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo a partir dos comprimentos conhecidos dos lados de um triângulo retângulo, bem como a partir dos valores conhecidos de seno, cosseno, tangente, cotangente e o comprimento de um dos lados para encontrar os comprimentos dos outros lados. Por exemplo, se soubéssemos que em um triângulo retângulo o cateto AC é igual a 3 e a hipotenusa AB é igual a 7, então poderíamos calcular o valor do cosseno do ângulo agudo A por definição: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Ângulo de rotação

Na trigonometria, eles começam a olhar para o ângulo de forma mais ampla - introduzem o conceito de ângulo de rotação. A magnitude do ângulo de rotação, ao contrário de um ângulo agudo, não está limitada a 0 a 90 graus; o ângulo de rotação em graus (e em radianos) pode ser expresso por qualquer número real de −∞ a +∞.

Sob esta luz, as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente são dadas não como um ângulo agudo, mas como um ângulo de tamanho arbitrário - o ângulo de rotação. Eles são dados através das coordenadas xey do ponto A 1, para o qual o chamado ponto inicial A(1, 0) vai após sua rotação por um ângulo α em torno do ponto O - o início do sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o centro do círculo unitário.

Definição.

Seno do ângulo de rotaçãoα é a ordenada do ponto A 1, ou seja, sinα=y.

Definição.

Cosseno do ângulo de rotaçãoα é chamado de abcissa do ponto A 1, ou seja, cosα=x.

Definição.

Tangente do ângulo de rotaçãoα é a razão entre a ordenada do ponto A 1 e sua abcissa, ou seja, tanα=y/x.

Definição.

Cotangente do ângulo de rotaçãoα é a razão entre a abscissa do ponto A 1 e sua ordenada, ou seja, ctgα=x/y.

O seno e o cosseno são definidos para qualquer ângulo α, pois sempre podemos determinar a abcissa e a ordenada do ponto, que é obtida girando o ponto inicial pelo ângulo α. Mas tangente e cotangente não são definidas para nenhum ângulo. A tangente não é definida para ângulos α em que o ponto inicial vai para um ponto com abscissa zero (0, 1) ou (0, −1), e isso ocorre em ângulos 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·krad). Na verdade, em tais ângulos de rotação, a expressão tgα=y/x não faz sentido, pois contém divisão por zero. Quanto à cotangente, ela não está definida para ângulos α em que o ponto inicial vai até o ponto com ordenada zero (1, 0) ou (−1, 0), e isso ocorre para ângulos 180° k, k ∈Z (π·krad).

Portanto, seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação, a tangente é definida para todos os ângulos, exceto 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), e a cotangente é definida para todos os ângulos, exceto 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

As definições incluem as designações já conhecidas por nós sin, cos, tg e ctg, também são usadas para designar seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação (às vezes você pode encontrar as designações tan e cotcorrespondentes a tangente e cotangente) . Portanto, o seno de um ângulo de rotação de 30 graus pode ser escrito como sen30°, as entradas tg(−24°17′) e ctgα correspondem à tangente do ângulo de rotação −24 graus 17 minutos e à cotangente do ângulo de rotação α . Lembre-se de que ao escrever a medida em radianos de um ângulo, a designação “rad” é frequentemente omitida. Por exemplo, o cosseno de um ângulo de rotação de três pi rad é geralmente denotado por cos3·π.

Concluindo este ponto, é importante notar que quando se fala em seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação, a frase “ângulo de rotação” ou a palavra “rotação” é frequentemente omitida. Ou seja, em vez da frase “seno do ângulo de rotação alfa”, geralmente é usada a frase “seno do ângulo alfa” ou, ainda mais curto, “seno alfa”. O mesmo se aplica ao cosseno, tangente e cotangente.

Diremos também que as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo são consistentes com as definições dadas para seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de rotação variando de 0 a 90 graus. Vamos justificar isso.

Números

Definição.

Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número t é um número igual ao seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação em t radianos, respectivamente.

Por exemplo, o cosseno do número 8·π por definição é um número igual ao cosseno do ângulo de 8·π rad. E o cosseno de um ângulo de 8·π rad é igual a um, portanto, o cosseno do número 8·π é igual a 1.

Existe outra abordagem para determinar o seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Consiste no fato de que cada número real t está associado a um ponto do círculo unitário com centro na origem do sistema de coordenadas retangulares, sendo o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente determinados através das coordenadas deste ponto. Vejamos isso com mais detalhes.

Vamos mostrar como se estabelece uma correspondência entre números reais e pontos de um círculo:

• ao número 0 é atribuído o ponto inicial A(1, 0);
• número positivo t está associado ao ponto do círculo unitário, ao qual chegaremos se nos movermos ao longo do círculo a partir do ponto inicial no sentido anti-horário e percorrermos um caminho de comprimento t;
• número negativo t está associado ao ponto do círculo unitário, ao qual chegaremos se nos movermos ao longo do círculo a partir do ponto inicial no sentido horário e percorrermos um caminho de comprimento |t| .

Passamos agora às definições de seno, cosseno, tangente e cotangente do número t. Suponhamos que o número t corresponde a um ponto do círculo A 1 (x, y) (por exemplo, o número &pi/2; corresponde ao ponto A 1 (0, 1)).

Definição.

Seno do número t é a ordenada do ponto no círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, sint=y.

Definição.

Cosseno do número t é chamada de abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, custo=x.

Definição.

Tangente do número t é a razão entre a ordenada e a abcissa de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, tgt=y/x. Em outra formulação equivalente, a tangente de um número t é a razão entre o seno desse número e o cosseno, ou seja, tgt=sint/custo.

Definição.

Cotangente do número t é a razão entre a abscissa e a ordenada de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t, ou seja, ctgt=x/y. Outra formulação é esta: a tangente do número t é a razão entre o cosseno do número t e o seno do número t: ctgt=custo/sint.

Aqui notamos que as definições fornecidas são consistentes com a definição dada no início deste parágrafo. Na verdade, o ponto no círculo unitário correspondente ao número t coincide com o ponto obtido girando o ponto inicial em um ângulo de t radianos.

Ainda vale a pena esclarecer este ponto. Digamos que temos a entrada sin3. Como podemos entender se estamos falando do seno do número 3 ou do seno do ângulo de rotação de 3 radianos? Isso geralmente fica claro no contexto; caso contrário, provavelmente não terá importância fundamental.

Funções trigonométricas de argumento angular e numérico

De acordo com as definições dadas no parágrafo anterior, cada ângulo de rotação α corresponde a um valor muito específico sinα, assim como ao valor cosα. Além disso, todos os ângulos de rotação diferentes de 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) correspondem a valores tgα, e valores diferentes de 180°k, k∈Z (πk rad ) – valores de ctgα. Portanto sinα, cosα, tanα e ctgα são funções do ângulo α. Em outras palavras, estas são funções do argumento angular.

Podemos falar de forma semelhante sobre as funções seno, cosseno, tangente e cotangente de um argumento numérico. Na verdade, cada número real t corresponde a um valor muito específico de sint, bem como de custo. Além disso, todos os números diferentes de π/2+π·k, k∈Z correspondem aos valores tgt, e os números π·k, k∈Z - valores ctgt.

As funções seno, cosseno, tangente e cotangente são chamadas funções trigonométricas básicas.

Geralmente fica claro pelo contexto se estamos lidando com funções trigonométricas de um argumento angular ou com um argumento numérico. Caso contrário, podemos pensar na variável independente tanto como uma medida do ângulo (argumento angular) quanto como um argumento numérico.

Porém, na escola estudamos principalmente funções numéricas, ou seja, funções cujos argumentos, bem como seus correspondentes valores de função, são números. Portanto, se estamos falando sobre especificamente sobre funções, é aconselhável considerar as funções trigonométricas como funções de argumentos numéricos.

Relação entre definições de geometria e trigonometria

Se considerarmos o ângulo de rotação α variando de 0 a 90 graus, então as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação no contexto da trigonometria são totalmente consistentes com as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo, que são dados no curso de geometria. Vamos justificar isso.

Vamos representar o círculo unitário no sistema de coordenadas cartesianas retangulares Oxy. Vamos marcar o ponto de partida A(1, 0) . Vamos girá-lo em um ângulo α variando de 0 a 90 graus, obtemos o ponto A 1 (x, y). Vamos deixar cair a perpendicular A 1 H do ponto A 1 ao eixo do Boi.

É fácil ver que em um triângulo retângulo o ângulo A 1 OH é igual ao ângulo de rotação α, o comprimento da perna OH adjacente a este ângulo é igual à abcissa do ponto A 1, ou seja, |OH |=x, o comprimento da perna A 1 H oposta ao ângulo é igual à ordenada do ponto A 1, ou seja, |A 1 H|=y, e o comprimento da hipotenusa OA 1 é igual a um, já que é o raio do círculo unitário. Então, por definição da geometria, o seno de um ângulo agudo α em um triângulo retângulo A 1 OH é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou seja, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. E por definição da trigonometria, o seno do ângulo de rotação α é igual à ordenada do ponto A 1, ou seja, sinα=y. Isto mostra que determinar o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é equivalente a determinar o seno do ângulo de rotação α quando α está entre 0 e 90 graus.

Da mesma forma, pode-se mostrar que as definições de cosseno, tangente e cotangente de um ângulo agudo α são consistentes com as definições de cosseno, tangente e cotangente do ângulo de rotação α.

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Instruções

Se você precisar encontrar o cosseno ângulo em um triângulo arbitrário, você precisa usar o teorema do cosseno:
se o ângulo for agudo: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
se ângulo: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), onde a, b são os comprimentos dos lados adjacentes ao canto, c é o comprimento do lado oposto ao canto.

Conselho util

Notação matemática cosseno – cos.
O valor do cosseno não pode ser maior que 1 e menor que -1.

Fontes:

• como calcular o cosseno de um ângulo
• Funções trigonométricas no círculo unitário

Cossenoé uma função trigonométrica básica do ângulo. A capacidade de determinar o cosseno será útil em álgebra vetorial ao determinar as projeções de vetores em vários eixos.

Instruções

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Existe um triângulo com lados a, b, c iguais a 3, 4, 5 mm, respectivamente.

Encontrar cosseno o ângulo entre os lados maiores.

Denotemos o ângulo oposto ao lado a por ?, então, de acordo com a fórmula derivada acima, temos:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Resposta: 0,8.

Se o triângulo for retângulo, então para encontrar cosseno e para um ângulo basta saber os comprimentos de dois lados quaisquer ( cossenoângulo reto é 0).

Seja um triângulo retângulo com lados a, b, c, onde c é a hipotenusa.

Vamos considerar todas as opções:

Encontre cos?, se os comprimentos dos lados a e b (do triângulo) forem conhecidos

Utilizemos adicionalmente o teorema de Pitágoras:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Para garantir que a fórmula resultante esteja correta, substituímos nela o exemplo 1, ou seja,

Depois de fazer alguns cálculos básicos, obtemos:

Da mesma forma encontrado cosseno em um retângulo triângulo Em outros casos:

Conhecidos a e c (hipotenusa e lado oposto), encontre cos?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Substituindo os valores a=3 e c=5 do exemplo, obtemos:

Conhecidos b e c (hipotenusa e perna adjacente).

Encontrar porque?

Tendo feito transformações semelhantes (mostradas nos exemplos 2 e 3), obtemos que neste caso cosseno V triângulo calculado usando uma fórmula muito simples:

A simplicidade da fórmula derivada pode ser explicada de forma simples: de fato, adjacente ao canto? a perna é uma projeção da hipotenusa, seu comprimento é igual ao comprimento da hipotenusa multiplicado por cos?.

Substituindo os valores b=4 e c=5 do primeiro exemplo, obtemos:

Isso significa que todas as nossas fórmulas estão corretas.

Dica 5: Como encontrar um ângulo agudo em um triângulo retângulo

Diretamente carbônico o triângulo é provavelmente uma das figuras geométricas mais famosas, do ponto de vista histórico. As “calças” pitagóricas só podem competir com “Eureka!” Arquimedes.

Você vai precisar

• - desenho de um triângulo;
• - governante;
• - transferidor

Instruções

A soma dos ângulos de um triângulo é 180 graus. Em um retângulo triângulo um ângulo (reto) será sempre de 90 graus e os demais serão agudos, ou seja, menos de 90 graus cada. Para determinar qual é o ângulo de um retângulo triânguloé reto, use uma régua para medir os lados do triângulo e determinar o maior. É a hipotenusa (AB) e está localizada oposta ao ângulo reto (C). Os dois lados restantes formam um ângulo reto e pernas (AC, BC).

Depois de determinar qual ângulo é agudo, você pode usar um transferidor para calcular o ângulo usando fórmulas matemáticas.

Para determinar o ângulo usando um transferidor, alinhe seu topo (vamos denotá-lo com a letra A) com uma marca especial na régua no centro do transferidor AC deve coincidir com sua borda superior; Marque na parte semicircular do transferidor o ponto por onde passa a hipotenusa AB. O valor neste ponto corresponde ao ângulo em graus. Se houver 2 valores indicados no transferidor, então para um ângulo agudo você precisa escolher o menor, para um ângulo obtuso - o maior.

Encontre o valor resultante nos livros de referência Bradis e determine a qual ângulo corresponde o valor numérico resultante. Nossas avós usaram esse método.

No nosso basta levar com a função de calcular fórmulas trigonométricas. Por exemplo, a calculadora integrada do Windows. Inicie o aplicativo "Calculadora", no item de menu "Visualizar" selecione "Engenharia". Calcule o seno do ângulo desejado, por exemplo, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Mude a calculadora para funções inversas, clicando no botão INV no visor da calculadora e, em seguida, clique no botão de função arco seno (indicado no visor como sen elevado a menos a primeira potência). A seguinte mensagem aparecerá na janela de cálculo: asind (0,5) = 30. Ou seja o valor do ângulo desejado é 30 graus.

Fontes:

• Tabelas Bradis (senos, cossenos)

O teorema do cosseno em matemática é mais frequentemente usado quando é necessário encontrar o terceiro lado de um ângulo e dois lados. No entanto, às vezes a condição do problema é invertida: você precisa encontrar um ângulo com determinados três lados.

Instruções

Imagine que você recebe um triângulo no qual os comprimentos de dois lados e o valor de um ângulo são conhecidos. Todos os ângulos deste triângulo não são iguais entre si e seus lados também têm tamanhos diferentes. O ângulo γ fica oposto ao lado do triângulo, designado AB, que é esta figura. Através deste ângulo, bem como através dos restantes lados AC e BC, pode-se encontrar o lado do triângulo que é desconhecido utilizando o teorema do cosseno, derivando dele a fórmula apresentada a seguir:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, onde a=BC, b=AB, c=AC
O teorema do cosseno também é chamado de teorema de Pitágoras generalizado.

Agora imagine que todos os três lados da figura são dados, mas seu ângulo γ é desconhecido. Sabendo que a forma a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transforme esta expressão para que o valor desejado se torne o ângulo γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Em seguida, coloque a equação acima em uma forma ligeiramente diferente: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Esta expressão deve então ser convertida para a seguinte: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Resta substituir os números na fórmula e fazer os cálculos.

Para encontrar o cosseno, denotado por γ, ele deve ser expresso em termos do inverso da trigonometria, chamado arco cosseno. O arco cosseno do número m é o valor do ângulo γ para o qual o cosseno do ângulo γ é igual a m. A função y=arccos m está diminuindo. Imagine, por exemplo, que o cosseno do ângulo γ seja igual à metade. Então o ângulo γ pode ser definido através do arco cosseno da seguinte forma:
γ = arcos, m = arcos 1/2 = 60°, onde m = 1/2.
De maneira semelhante, você pode encontrar os ângulos restantes do triângulo com seus outros dois lados desconhecidos.

Seno e cosseno são duas funções trigonométricas chamadas "diretas". São eles que têm de ser calculados com mais frequência do que outros, e para resolver este problema hoje cada um de nós tem uma escolha considerável de opções. Abaixo estão alguns dos mais maneiras simples.

Instruções

Use um transferidor, um lápis e um pedaço de papel se nenhum outro meio de cálculo estiver disponível. Uma das definições de cosseno é dada em termos de ângulos agudos em um triângulo retângulo - é igual à razão entre o comprimento da perna oposta a esse ângulo e o comprimento. Desenhe um triângulo em que um dos ângulos seja reto (90°) e o outro seja o ângulo que você deseja calcular. O comprimento dos lados não importa - desenhe-os da maneira que for mais conveniente para você medir. Meça o comprimento da perna e da hipotenusa desejadas e divida a primeira pela segunda usando qualquer de uma maneira conveniente.

Aproveite o valor das funções trigonométricas usando a calculadora integrada mecanismo de busca Nigma, se você tiver acesso à internet. Por exemplo, se você precisa calcular o cosseno de um ângulo de 20°, depois de carregar a página principal do serviço http://nigma.ru, digite no campo consulta de pesquisa“cosseno 20” e clique no botão “Encontrar!” Você pode omitir “graus” e substituir a palavra “cosseno” por cos - em qualquer caso, o mecanismo de busca mostrará o resultado com precisão de 15 casas decimais (0,939692620785908).

Abra o programa padrão instalado com sistema operacional Windows, se não houver acesso à Internet. Você pode fazer isso, por exemplo, pressionando simultaneamente as teclas win e r, inserindo o comando calc e clicando no botão OK. Para calcular funções trigonométricas, aqui está uma interface chamada “engenharia” ou “científica” (dependendo da versão do sistema operacional) - selecione o item desejado na seção “Visualizar” do menu da calculadora. Depois disso, insira o valor do ângulo e clique no botão cos na interface do programa.

Vídeo sobre o tema

Dica 8: Como determinar ângulos em um triângulo retângulo

Retangular é caracterizado por certas relações entre cantos e lados. Conhecendo os valores de alguns deles, você pode calcular outros. Para tanto, são utilizadas fórmulas, baseadas, por sua vez, nos axiomas e teoremas da geometria.

Os conceitos de seno, cosseno, tangente e cotangente são as principais categorias da trigonometria, um ramo da matemática, e estão intimamente ligados à definição de ângulo. O domínio desta ciência matemática requer memorização e compreensão de fórmulas e teoremas, bem como pensamento espacial desenvolvido. É por isso que os cálculos trigonométricos costumam causar dificuldades para crianças em idade escolar e estudantes. Para superá-los, você deve se familiarizar mais com funções e fórmulas trigonométricas.

Conceitos em trigonometria

Para entender os conceitos básicos da trigonometria, você deve primeiro entender o que são um triângulo retângulo e um ângulo em um círculo e por que todos os cálculos trigonométricos básicos estão associados a eles. Um triângulo em que um dos ângulos mede 90 graus é retangular. Historicamente, esta figura foi frequentemente usada por pessoas em arquitetura, navegação, arte e astronomia. Assim, ao estudar e analisar as propriedades desta figura, as pessoas chegaram a calcular as proporções correspondentes de seus parâmetros.

As principais categorias associadas aos triângulos retângulos são a hipotenusa e os catetos. A hipotenusa é o lado de um triângulo oposto ao ângulo reto. As pernas, respectivamente, são os dois lados restantes. A soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre 180 graus.

A trigonometria esférica é uma seção da trigonometria que não é estudada na escola, mas em ciências aplicadas, como astronomia e geodésia, os cientistas a utilizam. A peculiaridade de um triângulo na trigonometria esférica é que ele sempre tem uma soma de ângulos maior que 180 graus.

Ângulos de um triângulo

Em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo desejado e a hipotenusa do triângulo. Conseqüentemente, o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Ambos os valores sempre têm magnitude menor que um, pois a hipotenusa é sempre maior que a perna.

A tangente de um ângulo é um valor igual à razão entre o lado oposto e o lado adjacente do ângulo desejado, ou seno para cosseno. A cotangente, por sua vez, é a razão entre o lado adjacente do ângulo desejado e o lado oposto. A cotangente de um ângulo também pode ser obtida dividindo um pelo valor da tangente.

Círculo unitário

Um círculo unitário em geometria é um círculo cujo raio é igual a um. Tal círculo é construído num sistema de coordenadas cartesianas, com o centro do círculo coincidindo com o ponto de origem, e posicão inicial O vetor raio é determinado pela direção positiva do eixo X (eixo das abcissas). Cada ponto do círculo possui duas coordenadas: XX e YY, ou seja, as coordenadas da abscissa e da ordenada. Selecionando qualquer ponto do círculo no plano XX e traçando uma perpendicular dele ao eixo das abcissas, obtemos um triângulo retângulo formado pelo raio do ponto selecionado (denotado pela letra C), a perpendicular traçada ao eixo X (o ponto de intersecção é indicado pela letra G), e o segmento é o eixo das abcissas entre a origem (o ponto é indicado pela letra A) e o ponto de intersecção G. O triângulo resultante ACG é um triângulo retângulo inscrito em um círculo, onde AG é a hipotenusa e AC e GC são os catetos. O ângulo entre o raio do círculo AC e o segmento do eixo das abcissas com a designação AG é definido como α (alfa). Então, cos α = AG/AC. Considerando que AC é o raio do círculo unitário e é igual a um, verifica-se que cos α=AG. Da mesma forma, sen α=CG.

Além disso, conhecendo esses dados, você pode determinar a coordenada do ponto C no círculo, já que cos α=AG, e sen α=CG, o que significa que o ponto C possui as coordenadas fornecidas (cos α;sin α). Sabendo que a tangente é igual à razão entre seno e cosseno, podemos determinar que tan α = y/x e cot α = x/y. Ao considerar ângulos em um sistema de coordenadas negativas, você pode calcular que os valores de seno e cosseno de alguns ângulos podem ser negativos.

Cálculos e fórmulas básicas

Valores de função trigonométrica

Tendo considerado a essência das funções trigonométricas através do círculo unitário, podemos derivar os valores dessas funções para alguns ângulos. Os valores estão listados na tabela abaixo.

As identidades trigonométricas mais simples

As equações nas quais existe um valor desconhecido sob o sinal da função trigonométrica são chamadas trigonométricas. Identidades com o valor sin x = α, k - qualquer número inteiro:

1. sen x = 0, x = πk.
2. 2. sen x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sen x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sen x = uma, |uma| > 1, sem soluções.
5. sen x = uma, |uma| ≦ 1, x = (-1)^k * arco seno α + πk.

Identidades com o valor cos x = a, onde k é qualquer número inteiro:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. porque x = uma, |uma| > 1, sem soluções.
5. porque x = uma, |uma| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identidades com o valor tg x = a, onde k é qualquer número inteiro:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Identidades com o valor ctg x = a, onde k é qualquer número inteiro:

1. berço x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Fórmulas de redução

Esta categoria de fórmulas constantes denota métodos com os quais você pode passar de funções trigonométricas da forma para funções de um argumento, ou seja, reduzir o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de qualquer valor aos indicadores correspondentes do ângulo de o intervalo de 0 a 90 graus para maior comodidade dos cálculos.

As fórmulas para reduzir funções para o seno de um ângulo são assim:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• pecado(1800 - α) = pecado α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• pecado (3600 + α) = pecado α.

Para cosseno do ângulo:

• cos(900 - α) = sen α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sen α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

A utilização das fórmulas acima é possível sujeita a duas regras. Primeiro, se o ângulo puder ser representado como um valor (π/2 ± a) ou (3π/2 ± a), o valor da função muda:

• do pecado ao cos;
• do cos ao pecado;
• de tg para ctg;
• de ctg a tg.

O valor da função permanece inalterado se o ângulo puder ser representado como (π ± a) ou (2π ± a).

Em segundo lugar, o sinal da função reduzida não muda: se era inicialmente positivo, permanece assim. O mesmo com funções negativas.

Fórmulas de adição

Essas fórmulas expressam os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente da soma e diferença de dois ângulos de rotação através de suas funções trigonométricas. Normalmente, os ângulos são denotados como α e β.

As fórmulas são assim:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Estas fórmulas são válidas para quaisquer ângulos α e β.

Fórmulas de ângulo duplo e triplo

As fórmulas trigonométricas de ângulo duplo e triplo são fórmulas que relacionam as funções dos ângulos 2α e 3α, respectivamente, às funções trigonométricas do ângulo α. Derivado de fórmulas de adição:

1. sen2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Transição da soma para o produto

Considerando que 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificando esta fórmula, obtemos a identidade sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Da mesma forma sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sen(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transição do produto para a soma

Essas fórmulas decorrem das identidades da transição de uma soma para um produto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Fórmulas de redução de grau

Nessas identidades, as potências quadradas e cúbicas do seno e do cosseno podem ser expressas em termos do seno e do cosseno da primeira potência de um ângulo múltiplo:

• sen^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sen^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Substituição universal

As fórmulas para substituição trigonométrica universal expressam funções trigonométricas em termos da tangente de um meio ângulo.

• sen x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), com x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), onde x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), onde x = π + 2πn;
• berço x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), com x = π + 2πn.

Casos especiais

Casos especiais das equações trigonométricas mais simples são fornecidos abaixo (k é qualquer número inteiro).

Quocientes para seno:

Quocientes para cosseno:

Quocientes para tangente:

Quocientes para cotangente:

Teoremas

Teorema dos senos

Existem duas versões do teorema - simples e estendida. Teorema do seno simples: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Neste caso, a, b, c são os lados do triângulo e α, β, γ são os ângulos opostos, respectivamente.

Teorema do seno estendido para um triângulo arbitrário: a/sen α = b/sen β = c/sen γ = 2R. Nesta identidade, R denota o raio do círculo no qual o triângulo dado está inscrito.

Teorema do cosseno

A identidade é exibida da seguinte forma: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Na fórmula, a, b, c são os lados do triângulo e α é o ângulo oposto ao lado a.

Teorema da tangente

A fórmula expressa a relação entre as tangentes de dois ângulos e o comprimento dos lados opostos a eles. Os lados são rotulados como a, b, c e os ângulos opostos correspondentes são α, β, γ. Fórmula do teorema da tangente: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Teorema cotangente

Conecta o raio de um círculo inscrito em um triângulo com o comprimento de seus lados. Se a, b, c são os lados do triângulo e A, B, C, respectivamente, são os ângulos opostos a eles, r é o raio do círculo inscrito e p é o semiperímetro do triângulo, o seguinte identidades são válidas:

• berço A/2 = (p-a)/r;
• berço B/2 = (p-b)/r;
• berço C/2 = (p-c)/r.

Aplicativo

A trigonometria não é apenas uma ciência teórica relacionada fórmulas matemáticas. Suas propriedades, teoremas e regras são utilizadas na prática por diversos ramos da atividade humana - astronomia, aérea e navegação marítima, teoria musical, geodésia, química, acústica, óptica, eletrônica, arquitetura, economia, engenharia mecânica, trabalho de medição, computação gráfica, cartografia, oceanografia e muitos outros.

Seno, cosseno, tangente e cotangente são os conceitos básicos da trigonometria, com os quais se pode expressar matematicamente as relações entre os ângulos e comprimentos dos lados de um triângulo e encontrar as quantidades necessárias por meio de identidades, teoremas e regras.