A expectativa matemática é maior que 1. Fórmula da expectativa matemática

A expectativa matemática de uma variável aleatória X é o valor médio.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), Onde C= const

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Se variáveis ​​aleatórias X E S são independentes, então M(XY) = M(X) M(Y)

Dispersão

A variância de uma variável aleatória X é chamada

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) –M 2 (X).

A dispersão é uma medida do desvio dos valores de uma variável aleatória em relação ao seu valor médio.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), Onde C= const

4. Para variáveis ​​aleatórias independentes

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

A raiz quadrada da variância de uma variável aleatória X é chamada de desvio padrão .

@Tarefa 3: Deixe a variável aleatória X assumir apenas dois valores (0 ou 1) com probabilidades q, p, Onde p + q = 1. Encontre a expectativa matemática e a variância.

Solução:

M(X) = 1p + 0q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@Tarefa 4: Expectativa e variância de uma variável aleatória X são iguais a 8. Encontre a expectativa matemática e a variância das variáveis ​​​​aleatórias: a) X-4; b) 3X – 4.

Solução: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@Tarefa 5: A totalidade das famílias tem a seguinte distribuição por número de filhos:

Definir x 1, x 2 E p2, se for sabido que M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Solução: A probabilidade p 2 é igual a p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. As incógnitas x são encontradas a partir das equações: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x1 = 0; x 2 = 1.

População e amostra. Estimativas de parâmetros

Observação seletiva

Observação estatística Você pode organizar contínuos e não contínuos. A observação contínua envolve o exame de todas as unidades da população em estudo (população geral). População é um conjunto de recursos físicos ou entidades legais, que o pesquisador estuda de acordo com sua tarefa. Isto muitas vezes não é economicamente viável e, por vezes, impossível. A este respeito, apenas uma parte da população em geral é estudada - população amostral .

Os resultados obtidos de uma amostra populacional podem ser generalizados para a população em geral se seguirmos seguindo princípios:

1. A população amostral deve ser determinada aleatoriamente.

2. O número de unidades da população amostral deve ser suficiente.

3. Deve ser fornecido representatividade ( representatividade) da amostra. Uma amostra representativa é um modelo menor, mas preciso, da população que se pretende refletir.

Tipos de amostra

Os seguintes tipos de amostras são usados ​​na prática:

a) estritamente aleatório, b) mecânico, c) típico, d) serial, e) combinado.

Amostragem aleatória adequada

No amostra aleatória real a seleção das unidades da população amostral é feita de forma aleatória, por exemplo, por sorteio ou gerador de números aleatórios.

As amostras podem ser repetidas ou não repetidas. Na reamostragem, uma unidade amostrada é retornada e mantém oportunidades iguais de ser amostrada novamente. Na amostragem não repetitiva, uma unidade populacional incluída na amostra não participa da amostra no futuro.

Os erros inerentes à observação amostral, decorrentes do fato de a população amostral não reproduzir completamente a população geral, são chamados erros padrão . Representam a diferença quadrática média entre os valores dos indicadores obtidos na amostra e os valores correspondentes dos indicadores da população geral.

As fórmulas de cálculo do erro padrão para amostragem aleatória repetida são as seguintes: , e para amostragem aleatória não repetitiva são as seguintes: , onde S 2 é a variância da população amostral, n/N – amostra compartilhada, não, não- o número de unidades da amostra e da população em geral. No n = N erro padrão m = 0.

Amostragem mecânica

No amostragem mecânica A população é dividida em intervalos iguais e uma unidade é selecionada aleatoriamente de cada intervalo.

Por exemplo, com uma taxa de amostragem de 2%, cada 50 unidades são selecionadas da lista populacional.

O erro padrão da amostragem mecânica é definido como o erro de uma amostragem verdadeiramente aleatória e não repetitiva.

Amostra típica

No amostra típica a população geral é dividida em grupos típicos homogêneos e, em seguida, unidades são selecionadas aleatoriamente de cada grupo.

Uma amostra típica é usada no caso de uma população heterogênea. Uma amostra típica fornece mais resultados precisos, porque a representatividade está garantida.

Por exemplo, os professores, como população em geral, são divididos em grupos de acordo com os seguintes critérios: género, experiência, qualificações, educação, ambiente urbano e escolas rurais etc.

Os erros padrão de uma amostra típica são definidos como erros de uma amostra verdadeiramente aleatória, com a única diferença de que S2é substituído pela média das variações dentro do grupo.

Amostragem em série

No amostragem em série a população geral é dividida em grupos separados (séries) e, em seguida, grupos selecionados aleatoriamente são submetidos a observação contínua.

Os erros padrão de uma amostra serial são definidos como os erros de uma amostra verdadeiramente aleatória, com a única diferença sendo que S2é substituído pela média das variâncias entre grupos.

Amostra combinada

Amostra combinadaé uma combinação de dois ou mais tipos de amostra.

Ponto estimado

O objetivo final observação amostral é encontrar as características da população. Como isso não pode ser feito diretamente, as características da população amostral são estendidas à população em geral.

A possibilidade fundamental de determinar a média aritmética da população a partir de dados amostra média está comprovado Teorema de Chebyshev. Com ampliação ilimitada n a probabilidade de que a diferença entre a média amostral e a média geral seja arbitrariamente pequena tende a 1.

Isto significa que as características da população com uma precisão de . Essa avaliação é chamada apontar .

Estimativa de intervalo

A base da estimativa de intervalo é Teorema do limite central.

Estimativa de intervalo permite-nos responder à pergunta: dentro de que intervalo e com que probabilidade está localizado o valor desconhecido e desejado do parâmetro populacional?

Geralmente falamos sobre probabilidade de confiança p = 1 – a, com o qual estará no intervalo – D< < + D, где D = t cr m > 0 erro marginal amostras, um - nível de significância (probabilidade de que a desigualdade seja falsa), t cr- valor crítico, que depende dos valores n e um. Para uma pequena amostra n< 30 t cré especificado usando o valor crítico da distribuição t de Student para um teste bilateral com n– 1 grau de liberdade com nível de significância a ( t cr(n- 1, a) encontra-se na tabela “Valores críticos da distribuição t de Student”, Apêndice 2). Para n > 30, t cré um quantil da lei de distribuição normal ( t cré encontrado na tabela de valores da função de Laplace F(t) = (1 – a)/2 como argumento). Em p = 0,954 o valor crítico t cr= 2 em p = 0,997 valor crítico t cr= 3. Isso significa que o erro marginal é geralmente 2 a 3 vezes maior que o erro padrão.

Assim, a essência do método de amostragem é que, com base nos dados estatísticos de uma determinada pequena parte da população, é possível encontrar um intervalo em que, com probabilidade de confiança p a característica desejada da população em geral é encontrada ( número médio trabalhadores, pontuação média, produtividade média, média desvio padrão etc.).

@Tarefa 1. Para determinar a velocidade de liquidação com credores das empresas da corporação, foi realizada uma amostra aleatória de 100 documentos de pagamento em um banco comercial, para o qual o tempo médio de transferência e recebimento de dinheiro foi de 22 dias (= 22) com desvio padrão 6 dias (S = 6). Com probabilidade p= 0,954 determina o erro máximo da média amostral e intervalo de confiança duração média liquidações de empresas desta corporação.

Solução: Erro marginal da média amostral de acordo com(1)igual a D = 2· 0,6 = 1,2, e o intervalo de confiança é definido como (22 – 1,2; 22 + 1,2), ou seja, (20,8; 23,2).

§6.5 Correlação e regressão

Características dos DSVs e suas propriedades. Expectativa, variância, desvio padrão

A lei de distribuição caracteriza totalmente a variável aleatória. Porém, quando for impossível encontrar a lei de distribuição, ou isso não for necessário, você pode limitar-se a encontrar valores chamados características numéricas de uma variável aleatória. Esses valores determinam algum valor médio em torno do qual os valores da variável aleatória são agrupados e o grau em que eles estão espalhados em torno desse valor médio.

Expectativa matemática Uma variável aleatória discreta é a soma dos produtos de todos os valores possíveis da variável aleatória e suas probabilidades.

A expectativa matemática existe se a série do lado direito da igualdade convergir absolutamente.

Do ponto de vista da probabilidade, podemos dizer que a expectativa matemática é aproximadamente igual à média aritmética dos valores observados da variável aleatória.

Exemplo. A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é conhecida. Encontre a expectativa matemática.

Solução:

9.2 Propriedades expectativa matemática

1. A expectativa matemática de um valor constante é igual à própria constante.

2. O fator constante pode ser considerado um sinal da expectativa matemática.

3. A expectativa matemática do produto de duas variáveis ​​aleatórias independentes é igual ao produto de suas expectativas matemáticas.

Esta propriedade é verdadeira para um número arbitrário de variáveis ​​aleatórias.

4. A expectativa matemática da soma de duas variáveis ​​aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas dos termos.

Esta propriedade também é verdadeira para um número arbitrário de variáveis ​​aleatórias.

Sejam realizadas n tentativas independentes, cuja probabilidade de ocorrência do evento A é igual a p.

Teorema. A expectativa matemática M(X) do número de ocorrências do evento A em n tentativas independentes é igual ao produto do número de tentativas pela probabilidade de ocorrência do evento em cada tentativa.

Exemplo. Encontre a expectativa matemática da variável aleatória Z se as expectativas matemáticas de X e Y forem conhecidas: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Solução:

9.3 Dispersão de uma variável aleatória discreta

No entanto, a expectativa matemática não pode caracterizar totalmente o processo aleatório. Além da expectativa matemática, é necessário inserir um valor que caracterize o desvio dos valores da variável aleatória em relação à expectativa matemática.

Este desvio é igual à diferença entre a variável aleatória e sua expectativa matemática. Neste caso, a expectativa matemática do desvio é zero. Isso se explica pelo fato de alguns desvios possíveis serem positivos, outros negativos e, como resultado do seu cancelamento mútuo, obter-se zero.

Dispersão (dispersão) de uma variável aleatória discreta é a expectativa matemática do desvio quadrático da variável aleatória em relação à sua expectativa matemática.

Na prática, este método de cálculo da variância é inconveniente, porque leva a cálculos complicados para um grande número de valores de variáveis ​​​​aleatórias.

Portanto, outro método é usado.

Teorema. A variância é igual à diferença entre a expectativa matemática do quadrado da variável aleatória X e o quadrado de sua expectativa matemática.

Prova. Levando em conta o fato de que a expectativa matemática M(X) e o quadrado da expectativa matemática M2(X) são quantidades constantes, podemos escrever:

Exemplo. Encontre a variância de uma variável aleatória discreta dada pela lei de distribuição.

Solução: .

9.4 Propriedades de dispersão

1. A variância de um valor constante é zero. .

2. O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado. .

3. A variância da soma de duas variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma das variâncias dessas variáveis. .

4. A variância da diferença entre duas variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma das variâncias dessas variáveis. .

Teorema. A variância do número de ocorrências do evento A em n tentativas independentes, em cada uma das quais a probabilidade p da ocorrência do evento é constante, é igual ao produto do número de tentativas pelas probabilidades de ocorrência e não- ocorrência do evento em cada tentativa.

9.5 Desvio padrão de uma variável aleatória discreta

Desvio padrão variável aleatória X é chamada Raiz quadrada da dispersão.

Teorema. O desvio padrão da soma de um número finito de variáveis ​​aleatórias mutuamente independentes é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padrão dessas variáveis.

2. Fundamentos da teoria das probabilidades

Valor esperado

Considere uma variável aleatória com valores numéricos. Muitas vezes é útil associar um número a esta função - o seu “valor médio” ou, como se costuma dizer, “valor médio”, “índice de tendência central”. Por uma série de razões, algumas das quais ficarão claras mais tarde, a expectativa matemática é normalmente utilizada como o “valor médio”.

Definição 3. Expectativa matemática de uma variável aleatória X número chamado

aqueles. a expectativa matemática de uma variável aleatória é uma soma ponderada dos valores de uma variável aleatória com pesos, probabilidades iguais eventos elementares correspondentes.

Exemplo 6. Vamos calcular a expectativa matemática do número que aparece na face superior do dado. Segue-se diretamente da Definição 3 que

Declaração 2. Deixe a variável aleatória X leva valores x 1, x 2,…, xeu. Então a igualdade é verdadeira

(5)

aqueles. a expectativa matemática de uma variável aleatória é uma soma ponderada dos valores da variável aleatória com pesos iguais às probabilidades de a variável aleatória assumir determinados valores.

Ao contrário de (4), onde a soma é realizada diretamente sobre eventos elementares, um evento aleatório pode consistir em vários eventos elementares.

Às vezes, a relação (5) é tomada como a definição de expectativa matemática. Porém, utilizando a Definição 3, conforme mostrado a seguir, é mais fácil estabelecer as propriedades da expectativa matemática necessária para a construção de modelos probabilísticos de fenômenos reais do que utilizando a relação (5).

Para provar a relação (5), agrupamos em (4) termos com os mesmos valores variável aleatória:

Como o fator constante pode ser retirado do sinal da soma, então

Ao determinar a probabilidade de um evento

Usando as duas últimas relações obtemos o necessário:

O conceito de expectativa matemática na teoria estatística probabilística corresponde ao conceito de centro de gravidade na mecânica. Vamos colocar isso em pontos x 1, x 2,…, xeu no eixo do número de massa P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) respectivamente. Então a igualdade (5) mostra que o centro de gravidade deste sistema de pontos materiais coincide com a expectativa matemática, o que mostra a naturalidade da Definição 3.

Declaração 3. Deixar X- valor aleatório, M(X)– sua expectativa matemática, A– um certo número. Então

1) M(uma)=uma; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .

Para provar isso, consideremos primeiro uma variável aleatória que é constante, ou seja, a função mapeia o espaço de eventos elementares para um único ponto A. Como o fator constante pode ser retirado além do sinal da soma, então

Se cada membro de uma soma for dividido em dois termos, então toda a soma será dividida em duas somas, das quais a primeira é composta pelos primeiros termos e a segunda é composta pelo segundo. Portanto, a expectativa matemática da soma de duas variáveis ​​​​aleatórias X+Y, definido no mesmo espaço de eventos elementares, é igual à soma das expectativas matemáticas M(X) E M(U) estas variáveis ​​aleatórias:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

E portanto M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Como mostrado acima, M(M(X)) = M(X). Por isso, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Porque o (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Que M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Vamos simplificar a última igualdade. Conforme mostrado no início da prova da Afirmação 3, a expectativa matemática de uma constante é a própria constante e, portanto, M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Como o fator constante pode ser retirado além do sinal da soma, então M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). O lado direito da última igualdade é 0 porque, como mostrado acima, M(X-M(X))=0. Por isso, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , que era o que precisava ser comprovado.

Do exposto segue-se que M[(X- a) 2 ] atinge um mínimo A, igual M[(X- M(X)) 2 ], no uma = M(X), já que o segundo termo na igualdade 3) é sempre não negativo e é igual a 0 apenas para o valor especificado A.

Declaração 4. Deixe a variável aleatória X leva valores x 1, x 2,…, xeu, e f é alguma função do argumento numérico. Então

Para provar isso, vamos agrupar no lado direito da igualdade (4), que define a expectativa matemática, termos com os mesmos valores:

Usando o fato de que o fator constante pode ser retirado do sinal da soma e a definição da probabilidade de um evento aleatório (2), obtemos

Q.E.D.

Declaração 5. Deixar X E você– variáveis ​​aleatórias definidas no mesmo espaço de eventos elementares, A E b- alguns números. Então M(machado+ por)= sou(X)+ bM(S).

Usando a definição da expectativa matemática e as propriedades do símbolo de soma, obtemos uma cadeia de igualdades:

O necessário foi comprovado.

O acima mostra como a expectativa matemática depende da transição para outro ponto de referência e para outra unidade de medida (transição S=machado+b), bem como para funções de variáveis ​​aleatórias. Os resultados obtidos são constantemente utilizados na análise técnica e económica, na avaliação da actividade financeira e económica de uma empresa, na transição de uma moeda para outra nos cálculos económicos estrangeiros, na documentação regulamentar e técnica, etc. uso das mesmas fórmulas de cálculo para vários parâmetros de escala e deslocamento.

Cada valor individual é completamente determinado pela sua função de distribuição. Além disso, para resolver problemas práticos, basta conhecer diversas características numéricas, graças às quais é possível apresentar de forma abreviada as principais características de uma variável aleatória.

Essas quantidades incluem principalmente valor esperado E dispersão .

Valor esperado— o valor médio de uma variável aleatória na teoria das probabilidades. Denotado como .

A maioria de uma forma simples expectativa matemática de uma variável aleatória X(w), descubra como integranteLebesgue em relação à medida de probabilidade R original espaço de probabilidade

Você também pode encontrar a expectativa matemática de um valor como Integral de Lebesgue de X por distribuição de probabilidade R X quantidades X:

onde está o conjunto de todos os valores possíveis X.

Expectativa matemática de funções de uma variável aleatória X encontrado através da distribuição R X. Por exemplo, Se X- uma variável aleatória com valores em e f(x)- inequívoco do Borelfunção X , Que:

Se F(x)- função de distribuição X, então a expectativa matemática é representável integranteLebesgue - Stieltjes (ou Riemann - Stieltjes):

neste caso integrabilidade X Em termos de ( * ) corresponde à finitude da integral

Em casos específicos, se X tem uma distribuição discreta com valores prováveis x k, k = 1, 2, . , e probabilidades, então

Se X tem uma distribuição absolutamente contínua com densidade de probabilidade p(x), Que

neste caso, a existência de uma expectativa matemática equivale à convergência absoluta da série ou integral correspondente.

Propriedades da expectativa matemática de uma variável aleatória.

• A expectativa matemática de um valor constante é igual a este valor:

C- constante;

• M=C.M[X]

• A expectativa matemática da soma dos valores obtidos aleatoriamente é igual à soma de suas expectativas matemáticas:

• A expectativa matemática do produto de variáveis ​​independentes tomadas aleatoriamente = o produto de suas expectativas matemáticas:

M=M[X]+M[Y]

Se X E S independente.

se a série converge:

Algoritmo para cálculo de expectativa matemática.

Propriedades de variáveis ​​aleatórias discretas: todos os seus valores podem ser renumerados por números naturais; atribua a cada valor uma probabilidade diferente de zero.

1. Multiplique os pares um por um: XI sobre eu.

2. Some o produto de cada par x eu p eu.

Por exemplo, Para n = 4 :

Função de distribuição de uma variável aleatória discreta gradualmente, aumenta abruptamente nos pontos cujas probabilidades têm um sinal positivo.

Exemplo: Encontre a expectativa matemática usando a fórmula.

Características numéricas básicas de variáveis ​​aleatórias discretas e contínuas: expectativa matemática, dispersão e desvio padrão. Suas propriedades e exemplos.

A lei de distribuição (função de distribuição e série de distribuição ou densidade de probabilidade) descreve completamente o comportamento de uma variável aleatória. Mas em vários problemas, basta conhecer algumas características numéricas do valor em estudo (por exemplo, o seu valor médio e possível desvio dele) para responder à questão colocada. Consideremos as principais características numéricas das variáveis ​​​​aleatórias discretas.

Definição 7.1.Expectativa matemática Uma variável aleatória discreta é a soma dos produtos de seus valores possíveis e suas probabilidades correspondentes:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Se o número de valores possíveis de uma variável aleatória for infinito, então se a série resultante convergir absolutamente.

Nota 1. A expectativa matemática às vezes é chamada média ponderada, uma vez que é aproximadamente igual à média aritmética dos valores observados da variável aleatória em número grande experimentos.

Nota 2. Da definição de expectativa matemática segue-se que seu valor não é inferior ao menor valor possível de uma variável aleatória e não superior ao maior.

Nota 3. A expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é não aleatório(constante. Veremos mais tarde que o mesmo se aplica a variáveis ​​aleatórias contínuas.

Exemplo 1. Encontre a expectativa matemática de uma variável aleatória X- o número de peças padrão entre três selecionadas de um lote de 10 peças, incluindo 2 peças defeituosas. Vamos criar uma série de distribuição para X. Das condições do problema segue-se que X pode assumir os valores 1, 2, 3. Então

Exemplo 2. Determine a expectativa matemática de uma variável aleatória X- o número de lançamentos de moeda antes do primeiro aparecimento do brasão. Esta quantidade pode assumir um número infinito de valores (o conjunto de valores possíveis é o conjunto números naturais). Sua série de distribuição tem a forma:

+ (ao calcular, a fórmula para a soma dos valores infinitamente decrescentes progressão geométrica: , onde ).

Propriedades da expectativa matemática.

1) A expectativa matemática de uma constante é igual à própria constante:

M(COM) = COM.(7.2)

Prova. Se considerarmos COM como uma variável aleatória discreta assumindo apenas um valor COM com probabilidade R= 1, então M(COM) = COM?1 = COM.

2) O fator constante pode ser retirado do sinal da expectativa matemática:

M(Experiência do cliente) = CM(X). (7.3)

Prova. Se a variável aleatória X dado por série de distribuição

Então M(Experiência do cliente) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = COM(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Definição 7.2. Duas variáveis ​​aleatórias são chamadas independente, se a lei de distribuição de um deles não depender dos valores que o outro assumiu. Caso contrário, as variáveis ​​aleatórias dependente.

Definição 7.3. Vamos ligar produto de variáveis ​​​​aleatórias independentes X E S variável aleatória XY, cujos valores possíveis são iguais aos produtos de todos os valores possíveis X para todos os valores possíveis S, e as probabilidades correspondentes são iguais aos produtos das probabilidades dos fatores.

3) A expectativa matemática do produto de duas variáveis ​​aleatórias independentes é igual ao produto de suas expectativas matemáticas:

M(XY) = M(X)M(S). (7.4)

Prova. Para simplificar os cálculos, nos restringimos ao caso em que X E S tome apenas dois valores possíveis:

Por isso, M(XY) = x 1 sim 1 ?p 1 g 1 + x 2 sim 1 ?p 2 g 1 + x 1 sim 2 ?p 1 g 2 + x 2 sim 2 ?p 2 g 2 = sim 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + sim 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (sim 1 g 1 + sim 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(X)?M(S).

Nota 1. Podemos similarmente provar esta propriedade para mais valores possíveis dos fatores.

Nota 2. A propriedade 3 é verdadeira para o produto de qualquer número de variáveis ​​aleatórias independentes, o que é comprovado por indução matemática.

Definição 7.4. Vamos definir soma de variáveis ​​aleatórias X E S como uma variável aleatória X+Y, cujos valores possíveis são iguais às somas de cada valor possível X com todos os valores possíveis S; as probabilidades de tais somas são iguais aos produtos das probabilidades dos termos (para variáveis ​​​​aleatórias dependentes - os produtos da probabilidade de um termo pela probabilidade condicional do segundo).

4) A expectativa matemática da soma de duas variáveis ​​aleatórias (dependentes ou independentes) é igual à soma das expectativas matemáticas dos termos:

M (X+Y) = M (X) + M (S). (7.5)

Prova.

Consideremos novamente as variáveis ​​aleatórias definidas pela série de distribuição dada na prova da propriedade 3. Então os valores possíveis X+Y são X 1 + no 1 , X 1 + no 2 , X 2 + no 1 , X 2 + no 2. Vamos denotar suas probabilidades respectivamente como R 11 , R 12 , R 21 e R 22. Nós vamos encontrar M(X+S) = (x 1 + sim 1)p 11 + (x 1 + sim 2)p 12 + (x 2 + sim 1)p 21 + (x 2 + sim 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + sim 1 (p 11 + p 21) + sim 2 (p 12 + p 22).

Vamos provar isso R 11 + R 22 = R 1. Na verdade, o evento que X+Y assumirá valores X 1 + no 1 ou X 1 + no 2 e cuja probabilidade é R 11 + R 22 coincide com o evento que X = X 1 (sua probabilidade é R 1). Está provado de maneira semelhante que p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Significa,

M(X+Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + sim 1 g 1 + sim 2 g 2 = M (X) + M (S).

Comente. Da propriedade 4 segue-se que a soma de qualquer número de variáveis ​​aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas dos termos.

Exemplo. Encontre a expectativa matemática da soma do número de pontos obtidos ao lançar cinco dados.

Vamos encontrar a expectativa matemática do número de pontos lançados ao lançar um dado:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) O mesmo número é igual à expectativa matemática do número de pontos lançados em qualquer dado. Portanto, pela propriedade 4 M(X)=

Dispersão.

Para se ter uma ideia do comportamento de uma variável aleatória, não basta conhecer apenas a sua expectativa matemática. Considere duas variáveis ​​aleatórias: X E S, especificado por série de distribuição da forma

Nós vamos encontrar M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(S) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Como você pode ver, as expectativas matemáticas de ambas as quantidades são iguais, mas se por HM(X) descreve bem o comportamento de uma variável aleatória, sendo seu valor mais provável possível (e os demais valores não diferem muito de 50), então os valores S significativamente removido de M(S). Portanto, junto com a expectativa matemática, é desejável saber o quanto os valores da variável aleatória se desviam dela. Para caracterizar este indicador, é utilizada dispersão.

Definição 7.5.Dispersão (dispersão) de uma variável aleatória é a expectativa matemática do quadrado do seu desvio da sua expectativa matemática:

D(X) = M (XM(X))². (7.6)

Vamos encontrar a variância da variável aleatória X(número de peças padrão entre as selecionadas) no exemplo 1 desta palestra. Vamos calcular o desvio quadrático de cada valor possível da expectativa matemática:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Por isso,

Nota 1. Na determinação da dispersão, não é o desvio da média em si que é avaliado, mas o seu quadrado. Isso é feito para que desvios de sinais diferentes não se anulem.

Nota 2. Da definição de dispersão segue-se que esta quantidade assume apenas valores não negativos.

Nota 3. Existe uma fórmula de cálculo da variância mais conveniente para os cálculos, cuja validade é comprovada no seguinte teorema:

Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Prova.

Usando o que M(X) é um valor constante, e as propriedades da expectativa matemática, transformamos a fórmula (7.6) na forma:

D(X) = M(XM(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), que era o que precisava ser comprovado.

Exemplo. Vamos calcular as variâncias das variáveis ​​​​aleatórias X E S discutido no início desta seção. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(S) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5.000 - 2.500 = 2.500. Portanto, a variância da segunda variável aleatória é vários milhares de vezes maior que a variância da primeira. Assim, mesmo sem conhecer as leis de distribuição dessas grandezas, com base nos valores de dispersão conhecidos podemos afirmar que X se desvia pouco de sua expectativa matemática, enquanto para S este desvio é bastante significativo.

Propriedades de dispersão.

1) Variância de um valor constante COM igual a zero:

D (C) = 0. (7.8)

Prova. D(C) = M((CM(C))²) = M((CC)²) = M(0) = 0.

2) O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado:

D(Experiência do cliente) = C² D(X). (7.9)

Prova. D(Experiência do cliente) = M((CX-M(Experiência do cliente))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( XM(X))²) =

= C² D(X).

3) A variância da soma de duas variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias:

D(X+Y) = D(X) + D(S). (7.10)

Prova. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + S²) - ( M(X) + M(S))² = M(X²) + 2 M(X)M(S) +

+ M(S²) - M²( X) - 2M(X)M(S) - M²( S) = (M(X²) - M²( X)) + (M(S²) - M²( S)) = D(X) + D(S).

Corolário 1. A variância da soma de várias variáveis ​​aleatórias mutuamente independentes é igual à soma de suas variâncias.

Corolário 2. A variância da soma de uma constante e uma variável aleatória é igual à variância da variável aleatória.

4) A variância da diferença entre duas variáveis ​​aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias:

D(X-Y) = D(X) + D(S). (7.11)

Prova. D(X-Y) = D(X) + D(-S) = D(X) + (-1)² D(S) = D(X) + D(X).

A variância fornece o valor médio do desvio quadrático de uma variável aleatória em relação à média; Para avaliar o desvio em si, é utilizado um valor denominado desvio padrão.

Definição 7.6.Desvio padrãoσ variável aleatória Xé chamada de raiz quadrada da variância:

Exemplo. No exemplo anterior, as médias desvio padrão X E S são iguais respectivamente