Os maiores e menores valores de uma função em um segmento. Os maiores e menores valores de uma função de duas variáveis ​​​​em um domínio fechado

Muitas vezes, em física e matemática, você precisa encontrar menor valor funções. Agora vamos lhe dizer como fazer isso.

Como encontrar o menor valor de uma função: instruções

1. Para calcular o menor valor de uma função contínua em um determinado segmento, você precisa seguir o seguinte algoritmo:
2. Encontre a derivada da função.
3. Encontre em um determinado segmento os pontos em que a derivada é igual a zero, bem como todos os pontos críticos. Depois descubra os valores da função nesses pontos, ou seja, resolva a equação onde x é igual a zero. Descubra qual valor é o menor.
4. Identifique o valor que uma função tem nos terminais. Determine o menor valor da função nesses pontos.
5. Compare os dados obtidos com o valor mais baixo. O menor dos números resultantes será o menor valor da função.

Observe que se uma função em um segmento não possui pontos menores, isso significa que ela é crescente ou decrescente nesse segmento. Portanto, o menor valor deve ser calculado nos segmentos finitos da função.

Em todos os outros casos, o valor da função é calculado de acordo com o algoritmo especificado. Em cada ponto do algoritmo você precisará resolver um problema simples equação linear com uma raiz. Resolva a equação usando uma imagem para evitar erros.

Como encontrar o menor valor de uma função em um segmento semiaberto? Em um período semiaberto ou aberto da função, o menor valor deve ser encontrado da seguinte forma. Nos pontos finais do valor da função, calcule o limite unilateral da função. Em outras palavras, resolva uma equação em que os pontos de tendência são dados pelos valores a+0 e b+0, onde a e b são os nomes pontos críticos.

Agora você sabe como encontrar o menor valor de uma função. O principal é fazer todos os cálculos de maneira correta, precisa e sem erros.

Dada uma função definida e contínua em um determinado intervalo. Você precisa encontrar o maior (menor) valor da função neste intervalo.

Fundamentos teóricos.
Teorema (Segundo Teorema de Weierstrass):

Se uma função é definida e contínua em um intervalo fechado, ela atinge seus valores máximo e mínimo nesse intervalo.

A função pode atingir seus maiores e menores valores nos pontos internos do intervalo ou em seus limites. Vamos ilustrar todas as opções possíveis.

Explicação:
1) A função atinge seu maior valor no limite esquerdo do intervalo no ponto , e seu valor mínimo no limite direito do intervalo no ponto .
2) A função atinge seu valor máximo no ponto (este é o ponto máximo) e seu valor mínimo no limite direito do intervalo no ponto.
3) A função atinge seu valor máximo no limite esquerdo do intervalo no ponto , e seu valor mínimo no ponto (este é o ponto mínimo).
4) A função é constante no intervalo, ou seja, atinge seus valores mínimo e máximo em qualquer ponto do intervalo, e os valores mínimo e máximo são iguais entre si.
5) A função atinge seu valor máximo no ponto e seu valor mínimo no ponto (apesar de a função ter um máximo e um mínimo neste intervalo).
6) A função atinge seu valor máximo em um ponto (este é o ponto máximo) e seu valor mínimo em um ponto (este é o ponto mínimo).
Comentário:

“Máximo” e “valor máximo” são coisas diferentes. Isto decorre da definição de máximo e da compreensão intuitiva da frase “valor máximo”.

Algoritmo para resolver o problema 2.



4) Selecione o maior (menor) dos valores obtidos e anote a resposta.

Exemplo 4:

Determine o maior e o menor valor de uma função no segmento.
Solução:
1) Encontre a derivada da função.

2) Encontre pontos estacionários (e pontos suspeitos de extremo) resolvendo a equação. Preste atenção aos pontos em que não há derivada finita bilateral.

3) Calcule os valores da função em pontos estacionários e nos limites do intervalo.

4) Selecione o maior (menor) dos valores obtidos e anote a resposta.

A função neste segmento atinge seu maior valor no ponto com coordenadas .

A função neste segmento atinge seu valor mínimo no ponto com coordenadas.

Você pode verificar a exatidão dos cálculos observando o gráfico da função em estudo.


Comentário: A função atinge seu maior valor no ponto máximo e seu mínimo no limite do segmento.

Um caso especial.

Suponha que você precise encontrar os valores máximo e mínimo de alguma função em um segmento. Depois de completar o primeiro ponto do algoritmo, ou seja, cálculo da derivada, fica claro que, por exemplo, basta valores negativos em todo o segmento considerado. Lembre-se de que se a derivada for negativa, a função diminui. Descobrimos que a função diminui em todo o segmento. Esta situação é mostrada no gráfico nº 1 no início do artigo.

A função diminui no segmento, ou seja, não tem pontos extremos. Pela imagem fica claro que a função assumirá seu menor valor no limite direito do segmento, e valor mais alto- à esquerda. se a derivada do segmento for positiva em todos os lugares, então a função aumenta. O menor valor está na borda esquerda do segmento, o maior está na direita.

Do ponto de vista prático, o maior interesse está em utilizar a derivada para encontrar o maior e o menor valor de uma função. Com o que isso está relacionado? Maximizar lucros, minimizar custos, determinar a carga ideal de equipamentos... Ou seja, em muitas áreas da vida temos que resolver problemas de otimização de alguns parâmetros. E essas são as tarefas de encontrar os maiores e menores valores de uma função.

Deve-se notar que os maiores e menores valores de uma função geralmente são buscados em um determinado intervalo X, que é todo o domínio da função ou parte do domínio de definição. O próprio intervalo X pode ser um segmento, um intervalo aberto , um intervalo infinito.

Neste artigo falaremos sobre como encontrar explicitamente os maiores e menores valores dada função uma variável y=f(x) .

Navegação na página.

O maior e o menor valor de uma função - definições, ilustrações.

Vejamos brevemente as principais definições.

O maior valor da função isso para qualquer um a desigualdade é verdadeira.

O menor valor da função y=f(x) no intervalo X é chamado de tal valor isso para qualquer um a desigualdade é verdadeira.

Estas definições são intuitivas: o maior (menor) valor de uma função é o maior (menor) valor aceito no intervalo em consideração na abcissa.

Pontos estacionários– estes são os valores do argumento em que a derivada da função se torna zero.

Por que precisamos de pontos estacionários para encontrar os valores maiores e menores? A resposta a esta questão é dada pelo teorema de Fermat. Segue-se deste teorema que se uma função diferenciável tem um extremo (mínimo local ou máximo local) em algum ponto, então este ponto é estacionário. Assim, a função geralmente assume seu maior (menor) valor no intervalo X em um dos pontos estacionários desse intervalo.

Além disso, uma função muitas vezes pode assumir seus valores máximo e mínimo em pontos onde a primeira derivada desta função não existe e a própria função é definida.

Vamos responder imediatamente a uma das perguntas mais comuns sobre este tema: “É sempre possível determinar o maior (menor) valor de uma função”? Não, nem sempre. Às vezes, os limites do intervalo X coincidem com os limites do domínio de definição da função, ou o intervalo X é infinito. E algumas funções no infinito e nos limites do domínio de definição podem assumir valores infinitamente grandes e infinitamente pequenos. Nestes casos, nada pode ser dito sobre o maior e o menor valor da função.

Para maior clareza, daremos uma ilustração gráfica. Olhe as fotos e muito ficará mais claro.

No segmento

Na primeira figura, a função assume os valores maior (max y) e menor (min y) em pontos estacionários localizados dentro do segmento [-6;6].

Considere o caso representado na segunda figura. Vamos mudar o segmento para . Neste exemplo, o menor valor da função é alcançado em um ponto estacionário, e o maior no ponto com a abcissa correspondente ao limite direito do intervalo.

Na Figura 3, os pontos limites do segmento [-3;2] são as abcissas dos pontos correspondentes ao maior e ao menor valor da função.

Em um intervalo aberto

Na quarta figura, a função assume o maior (max y) e o menor (min y) valores em pontos estacionários localizados dentro do intervalo aberto (-6;6).

No intervalo, nenhuma conclusão pode ser tirada sobre o maior valor.

No infinito

No exemplo apresentado na sétima figura, a função assume o maior valor (max y) em um ponto estacionário com abcissa x=1, e o menor valor (min y) é alcançado no limite direito do intervalo. No infinito negativo, os valores da função se aproximam assintoticamente de y=3.

Durante o intervalo, a função não atinge nem o menor nem o maior valor. À medida que x=2 se aproxima pela direita, os valores da função tendem a menos infinito (a reta x=2 é uma assíntota vertical), e à medida que a abcissa tende a mais infinito, os valores da função se aproximam assintoticamente de y=3. Uma ilustração gráfica deste exemplo é mostrada na Figura 8.

Algoritmo para encontrar o maior e o menor valor de uma função contínua em um segmento.

Vamos escrever um algoritmo que nos permita encontrar o maior e o menor valor de uma função em um segmento.

1. Encontramos o domínio de definição da função e verificamos se ele contém todo o segmento.
2. Encontramos todos os pontos nos quais a primeira derivada não existe e que estão contidos no segmento (geralmente tais pontos são encontrados em funções com argumento sob o sinal de módulo e em funções de potência com expoente racional fracionário). Se não existirem tais pontos, passe para o próximo ponto.
3. Determinamos todos os pontos estacionários pertencentes ao segmento. Para fazer isso, igualamos a zero, resolvemos a equação resultante e selecionamos raízes adequadas. Se não houver pontos estacionários ou nenhum deles cair no segmento, passe para o próximo ponto.
4. Calculamos os valores da função em pontos estacionários selecionados (se houver), em pontos onde a primeira derivada não existe (se houver), bem como em x=uma e x=b.
5. A partir dos valores obtidos da função, selecionamos o maior e o menor - eles serão os maiores e menores valores necessários da função, respectivamente.

Vamos analisar o algoritmo de resolução de um exemplo para encontrar o maior e o menor valor de uma função em um segmento.

Exemplo.

Encontre o maior e o menor valor de uma função

• no segmento;
• no segmento [-4;-1] .

Solução.

O domínio de definição de uma função é todo o conjunto dos números reais, isto é, com exceção de zero. Ambos os segmentos se enquadram no domínio de definição.

Encontre a derivada da função em relação a:

Obviamente, a derivada da função existe em todos os pontos dos segmentos e [-4;-1].

Determinamos pontos estacionários a partir da equação. A única raiz real é x=2. Este ponto estacionário cai no primeiro segmento.

Para o primeiro caso, calculamos os valores da função nas extremidades do segmento e no ponto estacionário, ou seja, para x=1, x=2 e x=4:

Portanto, o maior valor da função é alcançado em x = 1, e o menor valor – em x=2.

Para o segundo caso, calculamos os valores da função apenas nas extremidades do segmento [-4;-1] (já que não contém um único ponto estacionário):

Como encontrar o maior e o menor valor de uma função em um segmento?

Por esta seguimos um algoritmo bem conhecido:

1 . Encontrando as funções ODZ.

2 . Encontrando a derivada da função

3 . Igualando a derivada a zero

4 . Encontramos os intervalos nos quais a derivada mantém seu sinal e a partir deles determinamos os intervalos de aumento e diminuição da função:

Se no intervalo I a derivada da função for 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta nesse intervalo.

Se no intervalo eu a derivada da função , então a função diminui nesse intervalo.

5 . Nós encontramos pontos máximo e mínimo da função.

EM no ponto máximo da função, a derivada muda de sinal de “+” para “-”.

EM ponto mínimo da funçãoa derivada muda de sinal de "-" para "+".

6 . Encontramos o valor da função nas extremidades do segmento,

• então comparamos o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos máximos, e escolha o maior deles se precisar encontrar o maior valor da função
• ou compare o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos mínimos, e escolha o menor deles se precisar encontrar o menor valor da função

Porém, dependendo de como a função se comporta no segmento, este algoritmo pode ser significativamente reduzido.

Considere a função . O gráfico desta função fica assim:

Vejamos vários exemplos de resolução de problemas de Banco Aberto tarefas para

1. Tarefa B15 (nº 26695)

No segmento.

1. A função é definida para todos os valores reais de x

Obviamente, esta equação não tem solução e a derivada é positiva para todos os valores de x. Consequentemente, a função aumenta e assume o maior valor na extremidade direita do intervalo, ou seja, em x=0.

Resposta: 5.

2 . Tarefa B15 (nº 26702)

Encontre o maior valor da função no segmento.

1. Funções ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

A derivada é igual a zero em , porém, nestes pontos ela não muda de sinal:

Portanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume o maior valor na extremidade direita do intervalo, em .

Para tornar óbvio por que a derivada não muda de sinal, transformamos a expressão da derivada da seguinte forma:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Resposta: 5.

3. Tarefa B15 (nº 26708)

Encontre o menor valor da função no segmento.

1. Funções ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Vamos colocar as raízes desta equação no círculo trigonométrico.

O intervalo contém dois números: e

Vamos colocar cartazes. Para fazer isso, determinamos o sinal da derivada no ponto x=0: . Ao passar pelos pontos e, a derivada muda de sinal.

Vamos representar a mudança de sinal da derivada de uma função na reta coordenada:

Obviamente, o ponto é um ponto mínimo (no qual a derivada muda de sinal de “-” para “+”), e para encontrar o menor valor da função no segmento, você precisa comparar os valores da função em o ponto mínimo e na extremidade esquerda do segmento, .

O maior (menor) valor de uma função é o maior (menor) valor aceito da ordenada no intervalo considerado.

Para encontrar o maior ou menor valor de uma função você precisa:

1. Verifique quais pontos estacionários estão incluídos em um determinado segmento.
2. Calcule o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos estacionários da etapa 3
3. Selecione o maior ou menor valor dos resultados obtidos.

Para encontrar os pontos máximos ou mínimos você precisa:

1. Encontre a derivada da função $f"(x)$
2. Encontre pontos estacionários resolvendo a equação $f"(x)=0$
3. Fatore a derivada de uma função.
4. Desenhe uma linha de coordenadas, coloque pontos estacionários nela e determine os sinais da derivada nos intervalos resultantes, usando a notação da etapa 3.
5. Encontre os pontos máximo ou mínimo de acordo com a regra: se em um ponto a derivada muda de sinal de mais para menos, então este será o ponto máximo (se de menos para mais, então este será o ponto mínimo). Na prática, é conveniente utilizar a imagem das setas em intervalos: no intervalo onde a derivada é positiva, a seta é desenhada para cima e vice-versa.

Tabela de derivadas de algumas funções elementares:

Regras básicas de diferenciação

1. A derivada da soma e da diferença é igual à derivada de cada termo

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Encontre a derivada da função $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

A derivada da soma e da diferença é igual à derivada de cada termo

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivado do produto.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Encontre a derivada $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivada do quociente

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Encontre a derivada $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivada função complexa igual ao produto da derivada função externa para a derivada da função interna

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Encontre o ponto mínimo da função $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Encontre o ODZ da função: $x+11>0; x>-11$

2. Encontre a derivada da função $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Encontre pontos estacionários igualando a derivada a zero

$(2x+21)/(x+11)=0$

Uma fração é igual a zero se o numerador for zero e o denominador não for zero.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Vamos traçar uma linha de coordenadas, colocar pontos estacionários nela e determinar os sinais da derivada nos intervalos resultantes. Para fazer isso, substitua qualquer número da região mais à direita na derivada, por exemplo, zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. No ponto mínimo, a derivada muda de sinal de menos para mais, portanto, o ponto $-10,5$ é o ponto mínimo.

Resposta: $-10,5$

Encontre o maior valor da função $y=6x^5-90x^3-5$ no segmento $[-5;1]$

1. Encontre a derivada da função $y′=30x^4-270x^2$

2. Iguale a derivada a zero e encontre pontos estacionários

$30x^4-270x^2=0$

Vamos tirar o fator total $30x^2$ dos colchetes

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Vamos igualar cada fator a zero

$x^2=0; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Selecione pontos estacionários que pertencem ao segmento fornecido $[-5;1]$

Os pontos estacionários $x=0$ e $x=-3$ nos convêm

4. Calcule o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos estacionários da etapa 3