Determine se é uma fração própria ou imprópria sem calcular. Fração imprópria

As frações comuns são divididas em frações \textit (próprias) e \textit (impróprias). Esta divisão é baseada na comparação do numerador e do denominador.

Frações próprias

Fração própria Uma fração ordinária $\frac(m)(n)$ é chamada, na qual o numerador é menor que o denominador, ou seja, $ milhões

Exemplo 1

Por exemplo, as frações $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ estão corretas , então como em cada um deles o numerador é menor que o denominador, o que atende à definição fração própria.

Existe uma definição de fração própria, que se baseia na comparação da fração com uma.

correto, se for menor que um:

Exemplo 2

Por exemplo, a fração comum $\frac(6)(13)$ é adequada porque condição $\frac(6)(13) é satisfeita

Frações impróprias

Fração imprópria Uma fração ordinária $\frac(m)(n)$ é chamada, na qual o numerador é maior ou igual ao denominador, ou seja, $m\ge n$.

Exemplo 3

Por exemplo, as frações $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ são irregulares , então como em cada um deles o numerador é maior ou igual ao denominador, o que atende à definição de fração imprópria.

Vamos dar uma definição de fração imprópria, que se baseia em sua comparação com uma.

A fração comum $\frac(m)(n)$ é errado, se for igual ou maior que um:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Exemplo 4

Por exemplo, a fração comum $\frac(21)(4)$ é imprópria porque a condição $\frac(21)(4) >1$ é satisfeita;

a fração comum $\frac(8)(8)$ é imprópria porque a condição $\frac(8)(8)=1$ é satisfeita.

Vamos dar uma olhada mais de perto no conceito de fração imprópria.

Tomemos a fração imprópria $\frac(7)(7)$ como exemplo. O significado desta fração é pegar sete partes de um objeto, que é dividido em sete partes iguais. Assim, a partir das sete ações disponíveis, todo o objeto pode ser composto. Aqueles. a fração imprópria $\frac(7)(7)$ descreve o objeto inteiro e $\frac(7)(7)=1$. Assim, frações impróprias, nas quais o numerador é igual ao denominador, descrevem um objeto inteiro e tal fração pode ser substituída pelo número natural $1$.

$\frac(5)(2)$ -- é bastante óbvio que destas cinco segundas partes você pode criar $2$ objetos inteiros (um objeto inteiro será composto de $2$ partes, e para compor dois objetos inteiros você precisa de $2+2=4$ ações) e resta uma segunda ação. Ou seja, a fração imprópria $\frac(5)(2)$ descreve $2$ de um objeto e $\frac(1)(2)$ a parte deste objeto.

$\frac(21)(7)$ -- a partir de vinte e um sétimos de partes você pode fazer $3$ objetos inteiros ($3$ objetos com $7$ partes em cada um). Aqueles. a fração $\frac(21)(7)$ descreve $3$ objetos inteiros.

Dos exemplos considerados, podemos tirar a seguinte conclusão: uma fração imprópria pode ser substituída por um número natural se o numerador for divisível pelo denominador (por exemplo, $\frac(7)(7)=1$ e $\frac (21)(7)=3$) , ou a soma de um número natural e uma fração própria, se o numerador não for completamente divisível pelo denominador (por exemplo, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). É por isso que essas frações são chamadas errado.

Definição 1

O processo de representar uma fração imprópria como a soma de um número natural e uma fração própria (por exemplo, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) é chamado separando a parte inteira de uma fração imprópria.

Ao trabalhar com frações impróprias, existe uma estreita ligação entre elas e números mistos.

Uma fração imprópria geralmente é escrita como um número misto - um número que consiste em uma parte inteira e uma parte fracionária.

Para escrever uma fração imprópria como um número misto, você deve dividir o numerador pelo denominador com resto. O quociente será a parte inteira do número misto, o resto será o numerador da parte fracionária e o divisor será o denominador da parte fracionária.

Exemplo 5

Escreva a fração imprópria $\frac(37)(12)$ como um número misto.

Solução.

Divida o numerador pelo denominador com resto:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (restante\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Responder.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Para escrever um número misto como uma fração imprópria, você precisa multiplicar o denominador pela parte inteira do número, adicionar o numerador da parte fracionária ao produto resultante e escrever o valor resultante no numerador da fração. O denominador da fração imprópria será igual ao denominador da parte fracionária do número misto.

Exemplo 6

Escreva o número misto $5\frac(3)(7)$ como uma fração imprópria.

Solução.

Responder.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Adicionando números mistos e frações próprias

Adição de números mistos$a\frac(b)(c)$ e fração adequada$\frac(d)(e)$ é realizado adicionando a uma determinada fração a parte fracionária de um determinado número misto:

Exemplo 7

Adicione a fração adequada $\frac(4)(15)$ e o número misto $3\frac(2)(5)$.

Solução.

Vamos usar a fórmula para somar um número misto e uma fração própria:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\esquerda(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\direita)=3+\ esquerda(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\direita)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Ao dividir pelo número \textit(5) podemos determinar que a fração $\frac(10)(15)$ é redutível. Vamos realizar a redução e encontrar o resultado da adição:

Portanto, o resultado da adição da fração adequada $\frac(4)(15)$ e do número misto $3\frac(2)(5)$ é $3\frac(2)(3)$.

Responder:$3\frac(2)(3)$

Adicionando números mistos e frações impróprias

Adicionando frações impróprias e números mistos reduz-se à adição de dois números mistos, para o que basta isolar a parte inteira da fração imprópria.

Exemplo 8

Calcule a soma do número misto $6\frac(2)(15)$ e da fração imprópria $\frac(13)(5)$.

Solução.

Primeiro, vamos extrair a parte inteira da fração imprópria $\frac(13)(5)$:

Responder:$8\frac(11)(15)$.

A palavra “frações” dá arrepios em muitas pessoas. Porque me lembro da escola e das tarefas que eram resolvidas em matemática. Este era um dever que tinha que ser cumprido. E se você tratasse problemas envolvendo frações próprias e impróprias como um quebra-cabeça? Afinal, muitos adultos decidem digital e Palavras cruzadas japonesas. Descobrimos as regras e é isso. É a mesma coisa aqui. Basta mergulhar na teoria - e tudo se encaixará. E os exemplos se transformarão em uma forma de treinar seu cérebro.

Que tipos de frações existem?

Vamos começar com o que é. Uma fração é um número que possui alguma parte de um. Pode ser escrito de duas formas. O primeiro é chamado comum. Ou seja, aquele que possui uma linha horizontal ou inclinada. É equivalente ao sinal de divisão.

Nesta notação, o número acima da linha é chamado de numerador, e o número abaixo dela é chamado de denominador.

Entre as frações ordinárias, distinguem-se as frações próprias e impróprias. Para o primeiro, o valor absoluto do numerador é sempre menor que o denominador. Os errados são chamados assim porque têm tudo ao contrário. O valor de uma fração própria é sempre menor que um. Enquanto o incorreto é sempre maior que esse número.

Existem também os números mistos, ou seja, aqueles que possuem uma parte inteira e uma parte fracionária.

O segundo tipo de notação é uma fração decimal. Há uma conversa separada sobre ela.

Como as frações impróprias são diferentes dos números mistos?

Em essência, nada. Estas são apenas gravações diferentes do mesmo número. Frações impróprias tornam-se facilmente números mistos após etapas simples. E vice versa.

Tudo depende da situação específica. Às vezes é mais conveniente usar uma fração imprópria nas tarefas. E às vezes é necessário convertê-lo para um número misto e aí o exemplo será resolvido com muita facilidade. Portanto, o que usar: frações impróprias, números mistos, depende da capacidade de observação de quem resolve o problema.

O número misto também é comparado com a soma da parte inteira e da parte fracionária. Além disso, o segundo é sempre menor que um.

Como representar um número misto como uma fração imprópria?

Se você precisar realizar alguma ação com vários números escritos em tipos diferentes, então você precisa torná-los iguais. Um método é representar números como frações impróprias.

Para isso, você precisará executar o seguinte algoritmo:

multiplique o denominador pela parte inteira;
adicione o valor do numerador ao resultado;
escreva a resposta acima da linha;
deixe o denominador igual.

Aqui estão alguns exemplos de como escrever frações impróprias de números mistos:

17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.

Como escrever uma fração imprópria como um número misto?

A próxima técnica é o oposto da discutida acima. Isto é, quando todos os números mistos são substituídos por frações impróprias. O algoritmo de ações será o seguinte:

divida o numerador pelo denominador para obter o resto;
escreva o quociente no lugar da parte inteira da mista;
o restante deve ser colocado acima da linha;
o divisor será o denominador.

Exemplos de tal transformação:

76/14; 76:14 = 5 com resto 6; a resposta será 5 inteiros e 14/6; a parte fracionária neste exemplo precisa ser reduzida em 2, resultando em 3/7; a resposta final é 5 ponto 3/7.

108/54; após a divisão, obtém-se o quociente de 2 sem resto; isto significa que nem todas as frações impróprias podem ser representadas como um número misto; a resposta será um número inteiro - 2.

Como transformar um número inteiro em uma fração imprópria?

Existem situações em que tal ação é necessária. Para obter frações impróprias com denominador conhecido, você precisará executar o seguinte algoritmo:

multiplique um número inteiro pelo denominador desejado;
escreva este valor acima da linha;
coloque o denominador abaixo dele.

A opção mais simples é quando o denominador é igual a um. Então você não precisa multiplicar nada. Basta simplesmente escrever o número inteiro dado no exemplo e colocar um abaixo da linha.

Exemplo: Faça de 5 uma fração imprópria com denominador 3. Multiplicar 5 por 3 dá 15. Este número será o denominador. A resposta para a tarefa é uma fração: 15/3.

Duas abordagens para resolver problemas com números diferentes

O exemplo requer o cálculo da soma e da diferença, bem como do produto e do quociente de dois números: 2 inteiros 3/5 e 14/11.

Na primeira abordagem o número misto será representado como uma fração imprópria.

Após realizar as etapas descritas acima, você obterá o seguinte valor: 13/5.

Para descobrir a soma, você precisa reduzir as frações para mesmo denominador. 13/5 depois de multiplicar por 11 torna-se 143/55. E 14/11 depois de multiplicar por 5 ficará assim: 70/55. Para calcular a soma, basta somar os numeradores: 143 e 70, e depois anotar a resposta com um denominador. 213/55 – esta fração imprópria é a resposta para o problema.

Ao encontrar a diferença, os mesmos números são subtraídos: 143 - 70 = 73. A resposta será uma fração: 73/55.

Ao multiplicar 13/5 e 14/11, não é necessário reduzi-los a um denominador comum. Basta multiplicar os numeradores e denominadores aos pares. A resposta será: 182/55.

O mesmo vale para a divisão. Para a decisão certa você precisa substituir a divisão pela multiplicação e inverter o divisor: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Na segunda abordagem uma fração imprópria torna-se um número misto.

Após realizar as ações do algoritmo, 14/11 se transformará em um número misto com parte inteira 1 e parte fracionária 3/11.

Ao calcular a soma, você precisa somar as partes inteiras e fracionárias separadamente. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. A resposta final é 3 pontos 48/55. Na primeira abordagem a fração era 213/55. Você pode verificar sua exatidão convertendo-o em um número misto. Depois de dividir 213 por 55, o quociente é 3 e o resto é 48. É fácil ver que a resposta está correta.

Ao subtrair, o sinal “+” é substituído por “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Para verificar, a resposta da abordagem anterior precisa ser convertida em um número misto: 73 é dividido por 55 e o quociente é 1 e o resto é 18.

Para encontrar o produto e o quociente, é inconveniente usar números mistos. É sempre recomendado passar para frações impróprias aqui.

Fração própria

Trimestres

Ordem. a E b existe uma regra que permite identificar exclusivamente um e apenas um dos três relacionamentos entre eles: “< », « >"ou" = ". Esta regra é chamada regra de ordenação e é formulado da seguinte forma: dois números não negativos e estão relacionados pela mesma relação que dois inteiros e; dois números não positivos a E b estão relacionados pela mesma relação que dois números não negativos e; se de repente a não negativo, mas b- negativo, então a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Adicionando Frações
Operação de adição. Para quaisquer números racionais a E b existe um chamado regra de soma c. Ao mesmo tempo, o próprio número c chamado quantia números a E b e é denotado por, e o processo de encontrar tal número é chamado soma. A regra de soma tem o seguinte formato: .
Operação de multiplicação. Para quaisquer números racionais a E b existe um chamado regra de multiplicação, o que lhes atribui algum número racional c. Ao mesmo tempo, o próprio número c chamado trabalhar números a E b e é denotado por, e o processo de encontrar tal número também é chamado multiplicação. A regra de multiplicação é assim: .
Transitividade da relação de ordem. Para qualquer triplo de números racionais a , b E c Se a menos b E b menos c, Que a menos c, e se aé igual a b E bé igual a c, Que aé igual a c. 6435">Comutatividade da adição. Mudar os lugares dos termos racionais não altera a soma.
Associatividade de adição. A ordem em que os três números racionais são somados não afeta o resultado.
Presença de zero. Existe um número racional 0 que preserva todos os outros números racionais quando adicionados.
A presença de números opostos. Qualquer número racional tem um número racional oposto, que quando somado dá 0.
Comutatividade da multiplicação. Mudar a posição dos fatores racionais não altera o produto.
Associatividade da multiplicação. A ordem em que três números racionais são multiplicados não afeta o resultado.
Disponibilidade da unidade. Existe um número racional 1 que preserva todos os outros números racionais quando multiplicado.
Presença de números recíprocos. Qualquer número racional tem um número racional inverso, que quando multiplicado por dá 1.
Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação é coordenada com a operação de adição através da lei de distribuição:
Conexão da relação de ordem com a operação de adição. O mesmo número racional pode ser adicionado aos lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional a, você pode pegar tantas unidades que sua soma exceda a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriedades adicionais

Todas as outras propriedades inerentes aos números racionais não são distinguidas como básicas, porque, de modo geral, não se baseiam mais diretamente nas propriedades dos inteiros, mas podem ser provadas com base nas propriedades básicas dadas ou diretamente pela definição de algum objeto matemático. . Existem muitas dessas propriedades adicionais. Faz sentido listar apenas alguns deles aqui.

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Contabilidade de um conjunto

Numeração de números racionais

Para estimar o número de números racionais, você precisa encontrar a cardinalidade de seu conjunto. É fácil provar que o conjunto dos números racionais é contável. Para isso, basta fornecer um algoritmo que enumere os números racionais, ou seja, estabeleça uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais e naturais.

O mais simples desses algoritmos se parece com isso. Uma mesa infinita é criada frações ordinárias, em cada eu-ésima linha em cada j a enésima coluna em que a fração está localizada. Para maior precisão, assume-se que as linhas e colunas desta tabela são numeradas a partir de um. As células da tabela são indicadas por , onde eu- o número da linha da tabela na qual a célula está localizada, e j- número da coluna.

A tabela resultante é percorrida usando uma “cobra” de acordo com o seguinte algoritmo formal.

Essas regras são pesquisadas de cima para baixo e a próxima posição é selecionada com base na primeira correspondência.

No processo de tal travessia, cada novo número racional está associado a outro número natural. Ou seja, a fração 1/1 é atribuída ao número 1, a fração 2/1 ao número 2, etc. Deve-se notar que apenas as frações irredutíveis são numeradas. Um sinal formal de irredutibilidade é que o máximo divisor comum do numerador e denominador da fração é igual a um.

Seguindo este algoritmo, podemos enumerar todos os números racionais positivos. Isso significa que o conjunto dos números racionais positivos é contável. É fácil estabelecer uma bijeção entre os conjuntos de números racionais positivos e negativos simplesmente atribuindo a cada número racional o seu oposto. Que. o conjunto dos números racionais negativos também é contável. A sua união também é contável pela propriedade dos conjuntos contáveis. O conjunto dos números racionais também é contável como a união de um conjunto contável com um conjunto finito.

A afirmação sobre a contabilização do conjunto dos números racionais pode causar alguma confusão, pois à primeira vista parece que é muito mais extenso que o conjunto dos números naturais. Na verdade, não é assim e existem números naturais suficientes para enumerar todos os racionais.

Falta de números racionais

A hipotenusa de tal triângulo não pode ser expressa por nenhum número racional

Números racionais da forma 1/ n em geral n quantidades arbitrariamente pequenas podem ser medidas. Este fato cria a impressão enganosa de que números racionais podem ser usados para medir quaisquer distâncias geométricas. É fácil mostrar que isso não é verdade.

Pelo teorema de Pitágoras sabemos que a hipotenusa de um triângulo retângulo é expressa como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus catetos. Que. comprimento da hipotenusa de uma isósceles triângulo retângulo com cateto unitário é igual a, ou seja, um número cujo quadrado é 2.

Se assumirmos que um número pode ser representado por algum número racional, então existe tal número inteiro eu e um número tão natural n, isso , e a fração é irredutível, ou seja, números eu E n- mutuamente simples.

Se então , ou seja eu 2 = 2n 2. Portanto, o número eu 2 é par, mas o produto de dois números ímparesímpar, o que significa que o próprio número eu também mesmo. Então existe um número natural k, tal que o número eu pode ser representado na forma eu = 2k. Quadrado numérico eu Nesse sentido eu 2 = 4k 2, mas por outro lado eu 2 = 2n 2 significa 4 k 2 = 2n 2, ou n 2 = 2k 2. Como mostrado anteriormente para o número eu, isso significa que o número n- mesmo como eu. Mas então eles não são relativamente primos, uma vez que ambos são divididos ao meio. A contradição resultante prova que não é um número racional.

Ao estudar a rainha de todas as ciências - a matemática, em algum momento todos se deparam com frações. Embora este conceito (como os próprios tipos de frações ou operações matemáticas com elas) não seja nada complicado, deve ser tratado com cuidado, porque em Vida real Será muito útil fora da escola. Então, vamos atualizar nossos conhecimentos sobre frações: o que são, para que servem, que tipos são e como realizar diversas operações aritméticas com elas.

Fração de Sua Majestade: o que é

Em matemática, frações são números, cada um dos quais consiste em uma ou mais partes de uma unidade. Essas frações também são chamadas de ordinárias ou simples. Via de regra, são escritos na forma de dois números separados por uma linha horizontal ou barra, chamada de linha “fracionária”. Por exemplo: ½, ¾.

O superior, ou primeiro, desses números é o numerador (mostra quantas partes são retiradas do número), e o inferior, ou segundo, é o denominador (demonstra em quantas partes a unidade está dividida).

A barra de fração funciona, na verdade, como um sinal de divisão. Por exemplo, 7:9=7/9

Tradicionalmente, as frações comuns são menores que um. Embora os decimais possam ser maiores que isso.

Para que servem as frações? Sim, para tudo, porque no mundo real nem todos os números são inteiros. Por exemplo, duas estudantes no refeitório compraram juntas uma deliciosa barra de chocolate. Quando estavam prestes a dividir a sobremesa, encontraram uma amiga e decidiram presenteá-la também. Porém, agora é necessário dividir corretamente a barra de chocolate, visto que ela é composta por 12 quadrados.

No início, as meninas queriam dividir tudo igualmente, e depois cada uma ficava com quatro pedaços. Mas, depois de pensar bem, decidiram presentear o amigo, não com 1/3, mas com 1/4 do chocolate. E como as alunas não estudavam bem as frações, não levaram em conta que nessa situação acabariam com 9 peças, que são muito difíceis de dividir em duas. Este exemplo bastante simples mostra como é importante encontrar corretamente uma parte de um número. Mas na vida existem muitos mais casos assim.

Tipos de frações: ordinárias e decimais

Todas as frações matemáticas são divididas em duas grandes categorias: ordinárias e decimais. As características do primeiro deles foram descritas no parágrafo anterior, agora vale a pena prestar atenção ao segundo.

Decimal é uma notação posicional de uma fração de um número, que é escrita por escrito separada por vírgula, sem travessão ou barra. Por exemplo: 0,75, 0,5.

Na verdade, uma fração decimal é idêntica a uma fração ordinária, porém, seu denominador é sempre um seguido de zeros – daí seu nome.

O número que precede a vírgula é uma parte inteira e tudo o que vem depois é uma fração. Eu amo isso fração simples pode ser convertido em decimal. Assim, as frações decimais indicadas no exemplo anterior podem ser escritas normalmente: ¾ e ½.

É importante notar que tanto as frações decimais quanto as ordinárias podem ser positivas ou negativas. Se forem precedidas do sinal “-”, esta fração é negativa, se “+” for uma fração positiva.

Subtipos de frações ordinárias

Existem esses tipos de frações simples.

Subtipos de fração decimal

Ao contrário de uma fração simples, uma fração decimal é dividida em apenas 2 tipos.

Final - recebeu este nome devido ao fato de após a vírgula possuir um número limitado (finito) de dígitos: 19,25.
Uma fração infinita é um número com um número infinito de dígitos após a vírgula. Por exemplo, ao dividir 10 por 3, o resultado será uma fração infinita 3,333...

Adicionando Frações

Realizar várias manipulações aritméticas com frações é um pouco mais difícil do que com números comuns. Porém, se você entender as regras básicas, não será difícil resolver qualquer exemplo com elas.

Por exemplo: 2/3+3/4. O mínimo múltiplo comum para eles será 12, portanto, é necessário que esse número esteja em cada denominador. Para fazer isso, multiplicamos o numerador e o denominador da primeira fração por 4, resulta 8/12, fazemos o mesmo com o segundo termo, mas multiplicamos apenas por 3 - 9/12. Agora você pode resolver facilmente o exemplo: 8/12+9/12= 17/12. A fração resultante é uma unidade incorreta porque o numerador é maior que o denominador. Pode e deve ser transformado em misto correto dividindo 17:12 = 1 e 5/12.

Ao adicionar frações mistas, as operações são realizadas primeiro com números inteiros e depois com frações.

Se o exemplo contiver uma fração decimal e uma fração ordinária, é necessário simplificar ambas, depois trazê-las para o mesmo denominador e somá-las. Por exemplo 3,1+1/2. O número 3.1 pode ser escrito como fração mista 3 e 1/10 ou como incorreto - 31/10. O denominador comum para os termos será 10, então você precisa multiplicar o numerador e o denominador de 1/2 por 5 alternadamente, você obtém 5/10. Então você pode calcular tudo facilmente: 31/10+5/10=35/10. O resultado obtido é uma fração redutível imprópria, trazemos para a forma normal, reduzindo-a em 5: 7/2 = 3 e 1/2, ou decimal - 3,5.

Ao adicionar 2 frações decimais, é importante que haja o mesmo número de dígitos após a vírgula. Caso contrário, basta somar o número necessário de zeros, pois em decimal isso pode ser feito sem dor. Por exemplo, 3,5+3,005. Para resolver este problema, você precisa adicionar 2 zeros ao primeiro número e depois somar um por um: 3,500+3,005=3,505.

Subtraindo Frações

Ao subtrair frações, deve-se fazer o mesmo que ao somar: reduzir a um denominador comum, subtrair um numerador do outro e, se necessário, converter o resultado em uma fração mista.

Por exemplo: 16/20-5/10. O denominador comum será 20. Você precisa trazer a segunda fração para esse denominador multiplicando ambas as partes por 2, você obtém 10/20. Agora você pode resolver o exemplo: 16/20-10/20= 6/20. Porém, este resultado se aplica a frações redutíveis, então vale a pena dividir os dois lados por 2 e o resultado é 3/10.

Multiplicando frações

Dividindo e multiplicando frações – muito mais passos simples do que adição e subtração. O fato é que ao realizar essas tarefas não há necessidade de buscar um denominador comum.

Para multiplicar frações, basta multiplicar os dois numeradores, um por um, e depois os dois denominadores. Reduza o resultado resultante se a fração for uma quantidade redutível.

Por exemplo: 4/9x5/8. Após multiplicação alternada, o resultado é 4x5/9x8=20/72. Essa fração pode ser reduzida em 4, então a resposta final no exemplo é 18/5.

Como dividir frações

Dividir frações também é uma operação simples, na verdade, ainda se resume a multiplicá-las; Para dividir uma fração por outra, é necessário inverter a segunda e multiplicar pela primeira.

Por exemplo, dividindo as frações 5/19 e 5/7. Para resolver o exemplo, você precisa trocar o denominador e o numerador da segunda fração e multiplicar: 5/19x7/5=35/95. O resultado pode ser reduzido em 5 - resulta 19/07.

Se precisar dividir uma fração por um número primo, a técnica é um pouco diferente. Inicialmente, você deve escrever esse número como uma fração imprópria e depois dividir de acordo com o mesmo esquema. Por exemplo, 2/13:5 deve ser escrito como 2/13: 5/1. Agora você precisa virar 5/1 e multiplicar as frações resultantes: 2/13x1/5= 2/65.

Às vezes você tem que dividir frações mistas. Você precisa tratá-los como faria com números inteiros: transformá-los em frações impróprias, inverter o divisor e multiplicar tudo. Por exemplo, 8 ½: 3. Converta tudo em frações impróprias: 17/2: 3/1. Isto é seguido por uma inversão de 3/1 e multiplicação: 17/2x1/3= 17/6. Agora você deve converter a fração imprópria na correta - 2 inteiros e 5/6.

Então, tendo descoberto o que são frações e como você pode realizar várias operações aritméticas com elas, você precisa tentar não se esquecer disso. Afinal, as pessoas estão sempre mais inclinadas a dividir algo em partes do que a somar, então você precisa saber fazer isso corretamente.

Fração imprópria

Trimestres

Ordem. a E b existe uma regra que permite identificar exclusivamente um e apenas um dos três relacionamentos entre eles: “< », « >"ou" = ". Esta regra é chamada regra de ordenação e é formulado da seguinte forma: dois números não negativos e estão relacionados pela mesma relação que dois inteiros e; dois números não positivos a E b estão relacionados pela mesma relação que dois números não negativos e; se de repente a não negativo, mas b- negativo, então a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Adicionando Frações
Operação de adição. Para quaisquer números racionais a E b existe um chamado regra de soma c. Ao mesmo tempo, o próprio número c chamado quantia números a E b e é denotado por, e o processo de encontrar tal número é chamado soma. A regra de soma tem o seguinte formato: .
Operação de multiplicação. Para quaisquer números racionais a E b existe um chamado regra de multiplicação, o que lhes atribui algum número racional c. Ao mesmo tempo, o próprio número c chamado trabalhar números a E b e é denotado por, e o processo de encontrar tal número também é chamado multiplicação. A regra de multiplicação é assim: .
Transitividade da relação de ordem. Para qualquer triplo de números racionais a , b E c Se a menos b E b menos c, Que a menos c, e se aé igual a b E bé igual a c, Que aé igual a c. 6435">Comutatividade da adição. Mudar os lugares dos termos racionais não altera a soma.
Associatividade de adição. A ordem em que os três números racionais são somados não afeta o resultado.
Presença de zero. Existe um número racional 0 que preserva todos os outros números racionais quando adicionados.
A presença de números opostos. Qualquer número racional tem um número racional oposto, que quando somado dá 0.
Comutatividade da multiplicação. Mudar a posição dos fatores racionais não altera o produto.
Associatividade da multiplicação. A ordem em que três números racionais são multiplicados não afeta o resultado.
Disponibilidade da unidade. Existe um número racional 1 que preserva todos os outros números racionais quando multiplicado.
Presença de números recíprocos. Qualquer número racional tem um número racional inverso, que quando multiplicado por dá 1.
Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação é coordenada com a operação de adição através da lei de distribuição:
Conexão da relação de ordem com a operação de adição. O mesmo número racional pode ser adicionado aos lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional a, você pode pegar tantas unidades que sua soma exceda a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriedades adicionais

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Contabilidade de um conjunto

Numeração de números racionais

O mais simples desses algoritmos se parece com isso. Uma interminável tabela de frações ordinárias é compilada, em cada eu-ésima linha em cada j a enésima coluna em que a fração está localizada. Para maior precisão, assume-se que as linhas e colunas desta tabela são numeradas a partir de um. As células da tabela são indicadas por , onde eu- o número da linha da tabela na qual a célula está localizada, e j- número da coluna.

A tabela resultante é percorrida usando uma “cobra” de acordo com o seguinte algoritmo formal.

Essas regras são pesquisadas de cima para baixo e a próxima posição é selecionada com base na primeira correspondência.

No processo de tal travessia, cada novo número racional é associado a outro número natural. Ou seja, a fração 1/1 é atribuída ao número 1, a fração 2/1 ao número 2, etc. Deve-se notar que apenas as frações irredutíveis são numeradas. Um sinal formal de irredutibilidade é que o máximo divisor comum do numerador e denominador da fração é igual a um.

Falta de números racionais

A hipotenusa de tal triângulo não pode ser expressa por nenhum número racional

Pelo teorema de Pitágoras sabemos que a hipotenusa de um triângulo retângulo é expressa como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus catetos. Que. o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles com cateto unitário é igual a , ou seja, o número cujo quadrado é 2.