Área de superfície de uma pirâmide truncada. Calculadora online para calcular a área da superfície de uma pirâmide truncada

é um poliedro formado pela base da pirâmide e uma seção paralela a ela. Podemos dizer que uma pirâmide truncada é uma pirâmide com o topo cortado. Esta figura tem muitas propriedades exclusivas:

• As faces laterais da pirâmide são trapézios;
• As arestas laterais de uma pirâmide truncada regular têm o mesmo comprimento e estão inclinadas em relação à base no mesmo ângulo;
• As bases são polígonos semelhantes;
• Em uma pirâmide truncada regular, as faces são trapézios isósceles idênticos, cuja área é igual. Eles também estão inclinados em relação à base em um ângulo.

A fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada é a soma das áreas de seus lados:

Como os lados de uma pirâmide truncada são trapézios, para calcular os parâmetros você terá que usar a fórmula área trapézio. Para uma pirâmide truncada regular, você pode aplicar uma fórmula diferente para calcular a área. Como todos os seus lados, faces e ângulos na base são iguais, podemos aplicar os perímetros da base e do apótema, e também derivar a área através do ângulo na base.

Se, de acordo com as condições de uma pirâmide truncada regular, são dados o apótema (altura do lado) e os comprimentos dos lados da base, então a área pode ser calculada através do meio produto da soma dos perímetros de as bases e o apótema:

Vejamos um exemplo de cálculo da área da superfície lateral de uma pirâmide truncada.
Dada uma pirâmide pentagonal regular. Apótema eu= 5 cm, o comprimento da borda na base grande é a= 6 cm, e a borda fica na base menor b= 4 cm. Calcule a área da pirâmide truncada.

Primeiro, vamos encontrar os perímetros das bases. Como temos uma pirâmide pentagonal, entendemos que as bases são pentágonos. Isto significa que as bases contêm uma figura com cinco lados idênticos. Vamos encontrar o perímetro da base maior:

Da mesma forma encontramos o perímetro da base menor:

Agora podemos calcular a área de uma pirâmide truncada regular. Substitua os dados na fórmula:

Assim, calculamos a área de uma pirâmide truncada regular através dos perímetros e apótemas.

Outra maneira de calcular a área da superfície lateral pirâmide regular, esta é a fórmula através dos ângulos da base e da área dessas mesmas bases.

Vejamos um exemplo de cálculo. Lembramos que esta fórmula se aplica apenas a uma pirâmide truncada regular.

Seja dada uma pirâmide quadrangular regular. A borda da base inferior é a = 6 cm, e a borda da base superior é b = 4 cm. O ângulo diédrico na base é β = 60°. Encontre a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular.

Primeiro vamos calcular a área das bases. Como a pirâmide é regular, todas as arestas das bases são iguais entre si. Considerando que a base é um quadrilátero, entendemos que será necessário calcular área da praça. É o produto da largura pelo comprimento, mas quando elevados ao quadrado esses valores são iguais. Vamos encontrar a área da base maior:


Agora usamos os valores encontrados para calcular a área da superfície lateral.

Conhecendo algumas fórmulas simples, calculamos facilmente a área do trapézio lateral de uma pirâmide truncada usando vários valores.

Pirâmide. Pirâmide truncada

Pirâmideé um poliedro, uma de cujas faces é um polígono ( base ), e todas as outras faces são triângulos com um vértice comum ( faces laterais ) (Fig. 15). A pirâmide é chamada correto , se sua base for um polígono regular e o topo da pirâmide for projetado no centro da base (Fig. 16). Uma pirâmide triangular com todas as arestas iguais é chamada tetraedro .

Costela lateral de uma pirâmide é o lado da face lateral que não pertence à base Altura pirâmide é a distância do seu topo ao plano da base. Todos costelas laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si, todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir do vértice é chamada apótema . Seção diagonal é chamada de seção de uma pirâmide por um plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Superfície lateral pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais. Superfície total é chamada de soma das áreas de todas as faces laterais e da base.

Teoremas

1. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

2. Se numa pirâmide todas as arestas laterais têm comprimentos iguais, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

3. Se todas as faces de uma pirâmide estiverem igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide será projetado no centro de um círculo inscrito na base.

Para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária, a fórmula correta é:

Onde V- volume;

base S– área base;

H– altura da pirâmide.

Para uma pirâmide regular, as seguintes fórmulas estão corretas:

Onde p– perímetro da base;

ha– apótema;

H- altura;

Está cheio

Lado S

base S– área base;

V– volume de uma pirâmide regular.

Pirâmide truncada chamada de parte da pirâmide delimitada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide (Fig. 17). Pirâmide truncada regular chamada de parte de uma pirâmide regular delimitada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide.

Terrenos pirâmide truncada - polígonos semelhantes. Faces laterais – trapézios. Altura de uma pirâmide truncada é a distância entre suas bases. Diagonal uma pirâmide truncada é um segmento que conecta seus vértices que não estão na mesma face. Seção diagonal é uma seção de uma pirâmide truncada por um plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Para uma pirâmide truncada, as seguintes fórmulas são válidas:

(4)

Onde S 1 , S 2 – áreas das bases superior e inferior;

Está cheio– área superficial total;

Lado S– superfície lateral;

H- altura;

V– volume de uma pirâmide truncada.

Para uma pirâmide truncada regular a fórmula está correta:

Onde p 1 , p 2 – perímetros das bases;

ha– apótema de uma pirâmide truncada regular.

Exemplo 1. Em uma pirâmide triangular regular, o ângulo diédrico na base é 60º. Encontre a tangente do ângulo de inclinação da aresta lateral ao plano da base.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 18).

A pirâmide é regular, o que significa que na base existe um triângulo equilátero e todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. O ângulo diédrico na base é o ângulo de inclinação da face lateral da pirâmide em relação ao plano da base. O ângulo linear é o ângulo a entre duas perpendiculares: etc. O topo da pirâmide é projetado no centro do triângulo (o centro do círculo circunscrito e do círculo inscrito do triângulo abc). O ângulo de inclinação da borda lateral (por exemplo SB) é o ângulo entre a própria aresta e sua projeção no plano da base. Para a costela SB este ângulo será o ângulo SBD. Para encontrar a tangente você precisa conhecer as pernas ENTÃO E O.B.. Deixe o comprimento do segmento BDé igual a 3 A. Ponto SOBRE segmento de linha BDé dividido em partes: e De encontramos ENTÃO: De encontramos:

Responder:

Exemplo 2. Encontre o volume do truncado correto pirâmide quadrangular, se as diagonais de suas bases forem iguais a cm e cm, e sua altura for 4 cm.

Solução. Para encontrar o volume de uma pirâmide truncada, usamos a fórmula (4). Para encontrar a área das bases, é necessário encontrar os lados dos quadrados da base, conhecendo suas diagonais. Os lados das bases são iguais a 2 cm e 8 cm, respectivamente. Isso significa as áreas das bases e Substituindo todos os dados na fórmula, calculamos o volume da pirâmide truncada:

Responder: 112cm3.

Exemplo 3. Encontre a área da face lateral de uma pirâmide truncada triangular regular, cujos lados das bases são 10 cm e 4 cm, e a altura da pirâmide é 2 cm.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 19).

A face lateral desta pirâmide é um trapézio isósceles. Para calcular a área de um trapézio, você precisa conhecer a base e a altura. As bases são dadas de acordo com a condição, apenas a altura permanece desconhecida. Nós a encontraremos de onde A 1 E perpendicular a um ponto A 1 no plano da base inferior, A 1 D– perpendicular a A 1 por AC. A 1 E= 2 cm, pois esta é a altura da pirâmide. Encontrar DE Faremos um desenho adicional mostrando a vista superior (Fig. 20). Ponto SOBRE– projeção dos centros das bases superior e inferior. desde (ver Fig. 20) e Por outro lado OK– raio inscrito na circunferência e OM– raio inscrito em um círculo:

MK = DE.

De acordo com o teorema de Pitágoras de

Área lateral da face:

Responder:

Exemplo 4. Na base da pirâmide encontra-se um trapézio isósceles, cujas bases A E b (a> b). Cada face lateral forma um ângulo igual ao plano da base da pirâmide j. Encontre a área total da superfície da pirâmide.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 21). Superfície total da pirâmide SABCD igual à soma das áreas e à área do trapézio ABCD.

Usemos a afirmação de que se todas as faces da pirâmide estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o vértice é projetado no centro do círculo inscrito na base. Ponto SOBRE– projeção de vértice S na base da pirâmide. Triângulo SODé a projeção ortogonal do triângulo CSD ao plano da base. Usando o teorema da área da projeção ortogonal de uma figura plana, obtemos:

Da mesma forma significa Assim, o problema se reduziu a encontrar a área do trapézio ABCD. Vamos desenhar um trapézio ABCD separadamente (Fig. 22). Ponto SOBRE– o centro de um círculo inscrito em um trapézio.

Como um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então ou Do teorema de Pitágoras temos

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Nesta lição, veremos uma pirâmide truncada, conheceremos uma pirâmide truncada regular e estudaremos suas propriedades.

Vamos relembrar o conceito de pirâmide n-gonal usando o exemplo de uma pirâmide triangular. O triângulo ABC é dado. Fora do plano do triângulo, é tomado um ponto P, conectado aos vértices do triângulo. A superfície poliédrica resultante é chamada de pirâmide (Fig. 1).

Arroz. 1. Pirâmide triangular

Vamos cortar a pirâmide com um plano paralelo ao plano da base da pirâmide. A figura obtida entre esses planos é chamada de pirâmide truncada (Fig. 2).

Arroz. 2. Pirâmide truncada

Elementos essenciais:

Base superior;

Base inferior ABC;

Face lateral;

Se PH for a altura da pirâmide original, então é a altura da pirâmide truncada.

As propriedades de uma pirâmide truncada decorrem do método de sua construção, nomeadamente do paralelismo dos planos das bases:

Todas as faces laterais de uma pirâmide truncada são trapézios. Consideremos, por exemplo, a borda. Tem a propriedade de planos paralelos (como os planos são paralelos, eles cortam a face lateral da pirâmide AVR original ao longo de linhas retas paralelas), mas ao mesmo tempo não são paralelos. Obviamente, o quadrilátero é um trapézio, como todas as faces laterais da pirâmide truncada.

A proporção das bases é a mesma para todos os trapézios:

Temos vários pares de triângulos semelhantes com o mesmo coeficiente de similaridade. Por exemplo, triângulos e RAB são semelhantes devido ao paralelismo dos planos e , coeficiente de similaridade:

Ao mesmo tempo, triângulos e RVS são semelhantes com o coeficiente de similaridade:

Obviamente, os coeficientes de similaridade para todos os três pares de triângulos semelhantes são iguais, de modo que a proporção das bases é a mesma para todos os trapézios.

Uma pirâmide truncada regular é uma pirâmide truncada obtida cortando uma pirâmide regular com um plano paralelo à base (Fig. 3).

Arroz. 3. Pirâmide truncada regular

Definição.

Uma pirâmide é chamada regular se sua base for um n-gon regular e seu vértice for projetado no centro desse n-gon (o centro do círculo inscrito e circunscrito).

Neste caso, existe um quadrado na base da pirâmide e o topo é projetado na intersecção de suas diagonais. A pirâmide truncada quadrangular regular resultante ABCD tem uma base inferior e uma base superior. A altura da pirâmide original é RO, a pirâmide truncada é (Fig. 4).

Arroz. 4. Pirâmide truncada quadrangular regular

Definição.

A altura de uma pirâmide truncada é uma perpendicular traçada de qualquer ponto de uma base ao plano da segunda base.

O apótema da pirâmide original é RM (M é o meio de AB), o apótema da pirâmide truncada é (Fig. 4).

Definição.

O apótema de uma pirâmide truncada é a altura de qualquer face lateral.

É claro que todas as arestas laterais da pirâmide truncada são iguais entre si, ou seja, as faces laterais são trapézios isósceles iguais.

A área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular é igual ao produto da metade da soma dos perímetros das bases e do apótema.

Prova (para uma pirâmide truncada quadrangular regular - Fig. 4):

Então, precisamos provar:

A área da superfície lateral aqui consistirá na soma das áreas das faces laterais - trapézios. Como os trapézios são iguais, temos:

Quadrado trapézio isóscelesé o produto da metade da soma das bases pela altura, o apótema é a altura do trapézio. Nós temos:

Q.E.D.

Para uma pirâmide n-gonal:

Onde n é o número de faces laterais da pirâmide, aeb são as bases do trapézio e é o apótema.

Lados da base de uma pirâmide quadrangular truncada regular igual a 3 cm e 9 cm, altura - 4 cm.

Arroz. 5. Ilustração para o problema 1

Solução. Vamos ilustrar a condição:

A pedido de: , ,

Através do ponto O traçamos uma linha reta MN paralela aos dois lados da base inferior, e da mesma forma através do ponto traçamos uma linha reta (Fig. 6). Como os quadrados e construções nas bases da pirâmide truncada são paralelos, obtemos um trapézio igual às faces laterais. Além disso, seu lado passará pelos pontos médios das bordas superior e inferior das faces laterais e será o apótema da pirâmide truncada.

Arroz. 6. Construções adicionais

Consideremos o trapézio resultante (Fig. 6). Neste trapézio são conhecidas a base superior, a base inferior e a altura. Precisa encontrar lado, que é o apótema da pirâmide truncada dada. Vamos desenhar uma perpendicular a MN. A partir do ponto baixamos a perpendicular NQ. Descobrimos que a base maior está dividida em segmentos de três centímetros (). Considere um triângulo retângulo, os catetos dele são conhecidos, isso Triângulo egípcio, usando o teorema de Pitágoras determinamos o comprimento da hipotenusa: 5 cm.

Agora existem todos os elementos para determinar a área da superfície lateral da pirâmide:

A pirâmide é cortada por um plano paralelo à base. Usando o exemplo de uma pirâmide triangular, prove que as arestas laterais e a altura da pirâmide são divididas por este plano em partes proporcionais.

Prova. Vamos ilustrar:

Arroz. 7. Ilustração para o problema 2

A pirâmide RABC é dada. PO - altura da pirâmide. A pirâmide é cortada por um plano, obtém-se uma pirâmide truncada e. Ponto - o ponto de intersecção da altura do RO com o plano da base da pirâmide truncada. É necessário provar:

A chave para a solução é a propriedade dos planos paralelos. Dois planos paralelos interceptam qualquer terceiro plano de modo que as linhas de intersecção sejam paralelas. Daqui: . O paralelismo das retas correspondentes implica a presença de quatro pares de triângulos semelhantes:

Da semelhança dos triângulos segue-se a proporcionalidade dos lados correspondentes. Recurso importanteé que os coeficientes de similaridade desses triângulos são iguais:

Q.E.D.

Uma pirâmide triangular regular RABC com altura e lado da base é dissecada por um plano que passa pelo meio da altura PH paralelo à base ABC. Encontre a área da superfície lateral da pirâmide truncada resultante.

Solução. Vamos ilustrar:

Arroz. 8. Ilustração para o problema 3

ACB é um triângulo regular, H é o centro deste triângulo (o centro dos círculos inscritos e circunscritos). RM é o apótema de uma determinada pirâmide. - apótema de uma pirâmide truncada. De acordo com a propriedade dos planos paralelos (dois planos paralelos cortam qualquer terceiro plano de modo que as linhas de intersecção sejam paralelas), temos vários pares de triângulos semelhantes com coeficiente de similaridade igual. Em particular, estamos interessados ​​no relacionamento:

Vamos encontrar NM. Este é o raio de um círculo inscrito na base, conhecemos a fórmula correspondente:

Agora, a partir do triângulo retângulo PHM, usando o teorema de Pitágoras, encontramos RM - o apótema da pirâmide original:

Da proporção inicial:

Agora conhecemos todos os elementos para encontrar a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada:

Assim, conhecemos os conceitos de pirâmide truncada e de pirâmide truncada regular, demos definições básicas, examinamos as propriedades e provamos o teorema da área da superfície lateral. A próxima lição se concentrará na resolução de problemas.

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